Bioestadística

Tema 3: Probabilidad

Cuando realizamos un experimento, diremos que es:

Determinista: dadas unas condiciones iniciales, el resultado es siempre el mismo.

Aleatorio: dadas unas condiciones iniciales, conocemos el conjunto de resultados posibles, pero NO el resultado final.

SUCESOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS

Un experimento que está sujeto al azar con n posibles resultados equiprobables y mutuamente excluyentes y nA es la cantidad de sucesos que presentan la característica A entonces la probabilidad de que suceda A es:

P(A) = nA/n Ejemplos:

Con una baraja española, al sacar una carta ¿cuál es la probabilidad de sacar un número menor o igual que 3?

12/40=3/10

Al lanzar un dado perfectamente equilibrado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número impar?

3/6=1/2

¿Qué hacemos si los sucesos no son equiprobables?

CONCEPCIÓN CLÁSICA DE LA PROBABILIDAD

La probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa de veces

que ocurriría el suceso al realizar un experimento repetidas veces.

OSTEOPOROSIS

OSTEOPENIA

NORMAL

0 10 20 30 40 50

Porcentaje

CLASIFICACION OMSCLASIFICACION OMS

469 46,9%

467 46,7%

64 6,4%

1000 100,0

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

Total

VálidosFrecuencia Porcentaje

CONCEPCIÓN FRECUENTISTA DE LA PROBABILIDAD

P(Normal)=0,469 P(Osteopenia)=0,467 P(Osteoporosis)=0,064

¿Y si el experimento no puede repetirse “demasiadas” veces? Control de calidad (tipo destructivo) Eventos poco frecuentes (asegurar unos juegos alímpicos)

Subjetiva: Grado de certeza que se posee sobre un suceso. Es personal y se puede formular, por ejemplo, en términos de apuestas:

CONCEPCIÓN SUBJETIVA DE LA PROBABILIDAD

En todas las definiciones nos referimos a sucesos.Recordemos qué son y qué las operaciones típicas.

Ejemplo: Dos individuos apuestan 5 euros por el equipo A y 12 euros por el equipo B, respectivamente, entonces La probabilidad de que gane A es 5/(5+12) La probabilidad de que gane B es 12/(5+12)

Sucesos Suceso es cada posibles resultados de un experimento aleatorio

El conjunto de todos los resultados posibles es el espacio muestral (E)

Se llama suceso a un subconjunto del espacio muestral

Dado un suceso A, el suceso contrario (complementario), A’ (ó AC), es el formado por los elementos que no están en A

Se llama suceso unión de A y B, AUB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos.

Se llama suceso intersección de A y B, A∩B (o simplemente AB), al formado por los elementos que están en A y B

E espacio muestral

E espacio muestral

A

A’

E espacio muestral

A

B

E espacio muestral

A

B

E espacio muestral

A

B

UNIÓN INTERS.

Ejemplo 1: En el experimento aleatorio “lanzar un dado” el espacio muestral es

{1,2,3,4,5,6}

Algunos eventos: Sacar un número impar: A={1,3,5} Sacar un número primo: B={1,2,3,5} Sacar un número que no sea impar: A’={2,4,6} Sacar un número primo no impar: B ∩ A’={2}

Ejemplo 2: En el experimento aleatorio “lanzar una moneda y un dado” el espacio muestral es

{{1,C}, {1,X}, {2,C}, {2,X}, {3,C}, {3,X}, {4,C}, {4,X}, {5,C}, {5,X}, {6,C}, {6,X}}

Algunos eventos: Sacar cruz y un número par: A={{2,X}, {4,X}, {6,X}} Sacar cara B={{1,C}, {2,C}, {3,C}, {4,C}, {5,C}, {6,C}} Sacar un número par

D={{2,C}, {2,X}, {4,C}, {4,X}, {6,C}, {6,X}} Sacar cara o un número par

B U C= {{2,C}, {2,X}, {4,C}, {4,X}, {6,C}, {6,X}, {1,C}, {3,C}, {5,C}} Sacar cara y un número par

B ∩ C= {{2,C}, {4,C}, {6,C}}

Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada suceso A un valor numérico P(A) y que verifica las siguientes reglas (axiomas)

P(E)=1 (E es el evento seguro)

0≤P(A) ≤1

P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø Ø es el conjunto vacío.

Podéis imaginar la probabilidad de un subconjunto como el tamaño relativo con respecto al total (suceso seguro)

Definición axiomática de probabilidad

E espacio muestral

100%

B

E espacio muestral

A

A

Probabilidad condicionada Se llama probabilidad de A condicionada a B, o

probabilidad de A suponiendo que ha sucedido B:

)(

)()|(

BP

BAPBAP

E espacio muestral

B

“tam

año”

de

uno

resp

ecto

al

otro

Error frecuentíiiiiiisimo: No confundáis probabilidad condicionada con intersección. En ambos medimos efectivamente la intersección, pero…

En P(A∩B) con respecto a P(E)=1 En P(A|B) con respecto a P(B)

Concepción clásica:

¿casos

posibles?

¿casos

favorables?

Intuir la probabilidad condicionada

B

A

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,10

B

A

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=1 P(A|B)=0,8

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,08

Intuir la probabilidad condicionada

A

B

A

B

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=0,05 P(A|B)=0

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,005

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0

Los problema de probabilidad pueden resolverse a partir de los axiomas, pero es más cómodo si usas algunas reglas de cálculo: P(A’) = 1 - P(A)

P(E)=1, P(Ø)=0

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)(Generaliza esta expresión para 3 o más (n) eventos. Utiliza una notación adecuada)

P(A ∩ B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B)

P(A∩B∩C)= P(A) P(B|A) P(C|A∩B) (Esta es la regla de la multiplicación. Generaliza esta expresión para 4 o más (n) eventos Utiliza una notación adecuada)

Ejemplo: considerar el siguiente sistema de filtros junto con la probabilidad de que cada el filtro funcione correctamente.Calcular la probabilidad de que el sistema filtre correctamente:

P(A)=0,9

P(A U (B∩C)) = P(A)+P(B∩C)-P(A∩B∩C)=P(A)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)

= 0,9 + 0,8 x 0,7 - 0,9 x 0,8 x 0,7 = 0,956

P(C)=0,7P(B)=0,8

Ejemplo: Tenemos en un cajón dos tipos de analgésicos: 20 de tipo A y 10 de tipo B. Si cogemos tres analgésicos al azar ¿cuál es la probabilidad de los tres sean de tipo A?

Llamamos Ai = el i-ésimo analgésico extraído es de tipo A.P(A1∩A2∩A3)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2) = (20/30)(19/29)(18/28)=0,28079

Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno no añade información sobre el otro.

A es independiente de B

P(A|B) = P(A)

P(A ∩ B) = P(A) P(B)

Independencia de sucesos

Recuento

189 280 469

108 359 467

6 58 64

303 697 1000

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

CLASIFICACIONOMS

Total

NO SI

MENOPAUSIA

TotalEjemplo (I)

Se ha repetido en 1000 ocasiones el experimento de elegir a una mujer de una población muy grande. El resultado está en la tabla. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga

osteoporosis? P(Osteoporosis)=64/1000=0,064=6,4%

Coincide con la noción frecuentista de probabilidad P(osteoporosis)=P(osteoporosis y menopausia)+P(osteoporosis y No menopausia)

Es la probabilidad marginal (de la ostporosis. respecto de la menopausia) ó probabilidad total.

Recuento

189 280 469

108 359 467

6 58 64

303 697 1000

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

CLASIFICACIONOMS

Total

NO SI

MENOPAUSIA

TotalEjemplo (II)

¿Probabilidad de tener osteopenia u osteoporosis? P(OsteopeniaUOsteoporosis)=467/1000+64/1000=0,531

Son sucesos disjuntos Osteopenia ∩ Osteoporosis=Ø

¿Probabilidad de tener osteoporosis o menopausia? P(OsteoporosisUMenopausia)=64/1000+697/1000-58/1000=0,703

No son sucesos disjuntos

¿Probabilidad de una mujer sin osteoporosis o menopausia? P(Normal)=469/1000=0,469 P(Normal)=1-P(Normal’)=1-P(OsteopeniaUOsteoporosis) =1-0,531=0,469

Ejemplo (III)

Si es menopáusica… ¿probabilidad de osteoporosis? P(Osteoporosis|Menopausia)=58/697=0,098

¿Probabilidad de menopausia y osteoporosis? P(Menop ∩ Osteoporosis) = 58/1000=0,058

Otra forma:

Recuento

189 280 469

108 359 467

6 58 64

303 697 1000

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

CLASIFICACIONOMS

Total

NO SI

MENOPAUSIA

Total

058,01000/58697

58

1000

697

)|()()(

MenopisOsteoporosPMenopPisOsteoporosMenopP

Ejemplo (IV)

¿Son independientes menopausia y osteoporosis? Una forma de hacerlo

P(Osteoporosis)=64/1000=0,064 P(Osteoporosis|Menopausia)=58/697=0,098

La probabilidad de tener osteoporosis es mayor si ha pasado la menopausia. Añade información extra. ¡No son independientes!

¿Otra forma? P(Menop ∩ Osteoporosis) = 58/1000 = 0,058 P(Menop) P(Osteoporosis)= (697/1000) x (64/1000) = 0,045

La probabilidad de la intersección no es el producto de probabilidades. No son independientes.

Recuento

189 280 469

108 359 467

6 58 64

303 697 1000

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

CLASIFICACIONOMS

Total

NO SI

MENOPAUSIA

Total

Partición disjunta del espacio muestral

A1 A2

A3 A4

Es una colección de sucesos

A1, A2, A3, A4…

tal que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas.

¿Recordáis cómo formar intervalos en tablas de frecuencias?

Sucesoseguro

A1

A2

A3

A4

Divide y vencerás

A1 A2

A3 A4

B

Todo suceso B, puede ser descompuesto en sus componentes respecto de la partición disjunta

B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )

Descomponemos el problema B en subproblemas más simples.

Sucesoseguro

A1

A2

A3

A4

B

B

B

B

Teorema de la probabilidad total

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada una de las componentes de una partición disjunta del espacio muestral, entonces…

… podemos calcular la probabilidad de B.

P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2) + P(B∩A3) + P( B∩A4)

= P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)+ P(A3) P(B|A3) + P(A4) P(B|A4)

Sucesoseguro

A1

A2

A3

A4

B

B

B

B

P(A1)

P(A2)

P(A3)

P(A4)

P(B|A1)

P(B|A2)

P(B|A3)

P(B|A4)

Ejemplo (I): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el 20%.

¿Qué porcentaje de fumadores hay? P(F) = P(M∩F) + P(H∩F)

= P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H)

=0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2

= 0,13 =13%

Prob. Total. Hombres y mujeres forman una partición disjunta

Estudiante

Mujer

No fuma

Hombre

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

•Los caminos a través de nodos representan intersecciones.

•Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.

Hombre

MujerFuman

Teorema de Bayes

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada una de las componentes de una partición disjunta del espacio muestral, entonces…

…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.

donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )

= = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)+ P(A3) P(B|A3) + P(A4) P(B|A4)

ii

P(B A )P(A |B)

P(B)

Ejemplo (II): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.

Se elije a un individuo al azar y es… fumador¿Probabilidad de que sea un hombre?

Estudiante

Mujer

No fuma

Hombre

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

( ) ( ) ( | )( | )

( ) ( )

( ) ( | )

( ) ( | ) ( ) ( | )

0,3 0,2 0,3 0,20,46

0,3 0,2 0,7 0,1 0,13

P H F P H P F HP H F

P F P F

P H P F H

P H P F H P M P F M

FumanHombre

Mujer

¿Qué hemos visto?

Álgebra de sucesos Unión, intersección, complemento

Probabilidad Definiciones

Clásica Frecuentista Subjetiva Axiomática.

Probabilidad condicionada Reglas de cálculo

Complementario, Unión, Intersección Independencia de sucesos Particiones disjuntas del espacio muestral

Teorema probabilidad total. Teorema de Bayes

http://www.bioestadistica.uma.es/baron/apuntes/ficheros/estad_uma_04.ppt

http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/icascos/esp/presentacion_probabilidad.pdf