BANDAS DE ENERGÍA. DIELÉCTRICOS, SEMICONDUCTORES Y METALES..pptx

7/21/2019 BANDAS DE ENERGA. DIELCTRICOS, SEMICONDUCTORES Y METALES..pptx

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BANDAS DE ENERGA.DIELCTRICOS,

SEMICONDUCTORES YMETALES.

Fsica del Estado SlidoDra. Mnica Trejo Duran


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Bandas de energa

Los electrones en un tomo solo toman ciertos valores de energadiscretos.

En un slido cada nivel atmico se junta en muchos niveles de energacercanos formando bandas de energa.

De acuerdo con el principio de eclusin de !auli solamente doselectrones "con diferente spin# pueden ocupar un nivel de energaatmico con un conjunto de n$meros cunticos n, l %.

!N electrones de&en ocupar una &anda de energa conteniendo Nnivelesde energa. 'l igual (ue en los tomos los niveles de energa ms &ajos sellenan primero % los ms altos (uedan vacos) as las &andas de energams &ajas son llenados % las &andas de ms alta energa estn vacas.

Las &andas de energa permitidas estn separadas por estados o &andasde energa prohi&idas.

Las &andas vacas o parcialmente llenas se llaman bandas de "#nd$""%&n% las &andas completamente llenas por electrones de valencia se llamanbandas de 'alen"%a.


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Electrn li&re

gap+anda

de

,alencia

+anda de

-onduccin

-uando el mnimo de la &anda deconduccin % el mimo de la &andade valencia estn en diferentes


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MASA E(ECTI)A.

-erca del mnimo de conduccin la dependencia de la energa del electrn enel vector de onda puede ser aproimada a una funcin para&lica similar a la

del electrn en el espacio li&re. Sin em&argo) la curvatura de esta dependenciaes diferente a la del espacio li&re) as como las direcciones cristalogrcas sondiferentes % la curvatura depende de la direccin.

!ara encontrar su forma se introduce el *ens#r de asa e+e"*%'a soncomponentes denidos como/

+andade

,alencia

+anda de-onduccin

-uando el mnimo de la&anda de conduccin %el mimo de la &andadevalencia estn en


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Donde % son las pro%ecciones del vector de onda .

-uando depende solamente de la magnitud de % no de la direccin de ) estetensor se reduce a la masa efectiva

!ara el caso del 'rsenio de 0alio "0a 's#

!ara el caso de Silicio "Si#

Donde % son componentes transversales *-% longitudinales "l# del vector

masa efectiva longitudinal masa efectiva transversal


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!rimera 1ona de +rillouin de F--

!untos de simetra

Lneas de simetra

Dependencia angular de di&ujandosupercie en el espacio correspondiente ala misma energa del electrn.

Supercies esf2ricas de igual energa "0a's#.

Mnima energa en el punto


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Supercies elipsoidales de igual energa "Si#.

Mnima energa en el punto

3guales

,alleL ,alle

4

E

5o%ospesados

5o%osligeros

+anda Split6o7

'rseniuro de 0alio

recordar (ue 899:; % 89:9;

8:::; % 8:::;son e(uivalentes para la sim2trica c$&ica

En todos los semiconductores c$&icos elpunto ms alto de la &anda de valencia estalocali1ado en el punto de la :< 1ona de

+rillouin 5a% dos &andas de valencia llamadas bandas

huecos ligeros y huecos pesados (uetienen la misma energa en el punto "sondegenerados#. Mientras (ue la tercera &andaseparada de las otras dos se llama bandasplit-of


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,alle

L ,alle4

E

5o%ospesados

5o%os

ligeros

+andaSplit6o7

Silicio

-uando iluminamos con lu1 unsemiconductor) un electrn de la &andade valencia toma energa del fotn %

eperimenta una transicin a la &andade conduccin. ' esta transicin sellama transicin interbanda oabsorcin de otones.

-uando un campo el2ctrico es ampliado asemiconductor "ejemplo/ 0a's#) losportadores de carga gana energa delcampo el2ctrico % ocupan estados deenerga ms altos.

-ampo el2ctrico &ajo Los electrones primero ocupan estados de

energa en el mnimo ms &ajo de la &anda

de conduccin "mnimo #.


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-ampo el2ctrico altoLos electrones primero ocupan estados de energa en el mnimo msalto "L-de la &anda de conduccin.


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(UNCIONESDE DISTRIBUCIN Y DENSIDAD DE ESTADOS.

El n$mero de niveles llenos en la &anda de conduccin % de nivelesdesocupados en la &anda de ,alencia depende de la *e/era*$ra.

' ms altas temperaturas ms electrones ad(uieren suciente energa t2rmicapara pasar a estados de energa ms altos en la &anda de conduccin.

'hora calcularemos la concentracin de electrones en la &anda de conduccin.

-onsideremos un sistema con una gran cantidad de partculas "N- como un

gas de mol2culas) donde cada partcula puede tomar ciertos valores deenerga )=) . Si tenemos (ue el n$mero de estados es mucho ms grande (ueel n$mero de partculas entonces la pro&a&ilidad de encontrar una partculaen un cierto estado es mucho menor (ue uno.

La pro&a&ilidad de encontrar una partcula en el estado con energa E% estdado por.

La energa promedio de las partculas es/

es el n$mero de partculas enel estado


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En e(uili&rio la pro&a&ilidad de tener partculas en > estados de energa %estn relacionados por los +a"*#res de B#l*0ann.

Esta ecuacin signica (ue la pro&a&ilidad de encontrar una partcula en uncierto estado de energa ) decrece eponencialmente con .

!ara un espectro continuo de energa) la pro&a&ilidad de encontrar unapartcula entre % est dado por/

Donde +es llamada ($n"%&n de D%s*r%b$"%&n de B#l*0ann.

!ara electrones) el principio de Eclusin de !auli esta&lece (ue no ms de doselectrones pueden ocupar un nivel de energa dado. Los electrones tienden a

ocupar primero los estados con ms &ajas energas.

's) todos los estados con energas &ajas son llamados eactamente en lamisma forma. 's (ue para &ajas energas) la +$n"%&n de /r#bab%l%dadele"*r&n%"a f, de&e ser igual a uno %a (ue todos esos estados estn ocupados.


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La +$n"%&n de d%s*r%b$"%&n ele"*r&n%"a es1

($n"%&n de d%s*r%b$"%&n de (er%2D%ra".

La energa es llamada Energa de (er%#N%'el de (er% % se dene como laenerga por la cual . -uando por algunos, % la distri&ucin de Fermi6 Dirac sereduce a la distri&ucin de +olt1mann. -uando E es mucho menos (ue poralgunos ) de acuerdo con el principio de Eclusin de !auli.


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-uando funcin escaln

La nos permite encontrar lapro&a&ilidad de (ue un estado est2lleno.

Mas adelante veremos cmo

encontrar ) por lo prontosupondremos (ue la conocemos.


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La concentracin total de electrones en la &anda de conduccin ser/


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ELECTRONES Y 3UECOS EN SEMICONDUCTORES.

!ara entender % descri&ir la operacin de un dispositivo semiconductornecesitamos conocer cmo los portadores de corriente el2ctrica "electrones %huecos# estn distri&uidos en un material semiconductor en energa % espacio)cmo cam&ian sus concentraciones % cmo se mueven los electrones % huecosen un campo el2ctrico ampliado % las ecuaciones &sicas (ue descri&en elmovimiento.

E


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La densidad de estados de energa permitidos por unidad de volumen en una&anda de valencia para&lica "Densidad de estados de huecos#/

La concentracin de huecos/

Donde/

Los huecos ligeros tienen masa efectiva % los huecos pesados tienen masa

efectiva

's para la &anda de huecos) la densidad efectiva de estados est dada por/


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's/

CONCENTRACIONES DE ELECTRONES Y 3UECOS.

-uando el nivel de Fermi) ) est en el ga/de energa % es ms grande (uevarias energas ) el semiconductor se dice (ue es n# degenerad#.

C$and#

De donde

@ s


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-omo puede verse las concentraciones n % / en un semiconductor nodegenerado son mucho ms pe(ueAos (ue la densidad efectiva de estados) N"% N') en la &anda de conduccin % de valencia respectivamente.

-uando el nivel de Fermi en la &anda de conduccin es o el nivel de Fermi en

la &anda de valencia es el semiconductor es llamado Degenerado.

!ara un semiconductor degenerado tipo n

@ para un tipo 7

Bivel de Fermi para un semiconductor degenerado

Tipo n Tipo/


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CONCENTRACIN DE ELECTRONES Y 3UECOS.

n

distancia

distancia


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9.C

:

energa

energa

Densidad de estados Funcin dedistri&ucin

Bo degenerado

energa

energa

9.C

:

Degenerado

Tipo n


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Densidad de electrones por unidad deenerga "tipo n#

energa

Degenerad

o

energa

Bo degenerado


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Densidad de estados Funcin dedistri&ucin

Bo degenerado

Degenerado

Tipo p

energa

energa

9.C

:

energa

9.C

:

energa


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Densidad de electrones por unidad deenerga "tipo p#

Degenerado

energa

Bo degenerado

energa

!ara un semiconductor no degenerado

Es la energa gap. Esta ecuacin se puede reescri&ir

Donde


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El producto n/para un semiconductor no degenerado es independientementedel nivel de Fermi % est determinado por la densidad de estados en la &andade valencia % conduccin) la energa gap % la temperatura.

La le% de accin masa es vlida en e(uili&rio t2rmico.

Si se (uiere reali1ar una estimacin aproimada de la dependencia de conrespecto a asumamos (ue % con los (ue podremos calcular % tenemos(ue

!ara 99 ) la grca de esta ecuacin se muestra en la gura siguiente. "paraSi ) para 0a's #

'lgunas constantes importantes


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La "#n"en*ra"%&n de/#r*ad#res es /e5$e8a"#/arada "#n la"#n"en*ra"%&n de ele"*r#nesde 'alen"%a en $nse%"#nd$"*#r

De la le% de accin6masa)tenemos


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SEMICONDUCTORES INTRNSECOS, DO7ADOS Y COM7ENSADOS.

Donadores % 'ceptores.

En un semiconductor puro neutral) la concentracin de electrones cargadosnegativamente de&e ser igual a los huecos cargados positivamente) en estecaso se dice (ue es intrnseco.

-omo entonces

@ el nivel de Fermi es llamado Nivel de Fermi intrnseco

Donde % a temperatura am&iente "99 #.

-omo son cualidades pe(ueAas) (ueda aproimadamente a la mitad del gap.


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-uando se introducen en un semiconductor dopantes/

Donadores "tipo n) electrones# o aceptores "tipo p) huecos# se les llamase%"#nd$"*#res e9*rnse"#s.

!ara el Silicio los donadores o impure1as introducen niveles de energa dentrodel gap mu% cercanas al mnimo de la &anda de conduccin. Estos son'ntimonio "S) Fsforo "!#) % 'rs2nico "'s#

Gn donador es neutral cuando ocupado por un electrn despu2s de donado a la&anda de conduccin (ueda cargado positivamente.

!ara el silicio los aceptores son +oro "+#) 'luminio "'l#) 0alio "0a# % 3ndio "3n# %a(ue pierde un electrn de valencia para formar H enlaces con un vecino desilicio cercanos. 's el tomo provee un nivel vaco disponi&le de energa porun electrn) crea un hueco.

distancia


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Los niveles de energa de los aceptores superciales estn arri&a % cerca delmimo de la &anda de valencia. Gn aceptor est negativamente cargadocuando es ocupado por un electrn % se hace neutral despu2s de aceptar unelectrn de la &anda de valencia.

Las energas para donadores % para aceptores son llamadas Energa de%#n%0a"%&n d#nad#r # a"e/*#r.

Los donadores % aceptores ms llamados superciales cuando sus energasde ioni1acin son ms pe(ueAas o cercanas a la energa t2rmica .

Los donadores % aceptores superciales estn cerca de ser totalmenteioni1ados) esto es) todas cercanas a ellos proporcionan electrones a la &andade conduccin % huecos a la &anda de valencia respectivamente.

distanciaDonador

distancia'ceptor


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La siguiente gura muestra el modelo (ue puede ser usando para estimar laenerga de ioni1acin del donador .

M#del# del :*## de ;%dr&gen#.


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La energa del estado &ase est determinado por la energa de +ohr donde lapermisividad del espacio li&re es reempla1ada por la permisividad diel2ctricadel semiconductor % es rempla1ada por " masa efectiva del electrn.#

El radio tam&i2n se modica


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!ara una concentracin de tomos donadores) la concentracin de donadoresioni1ados "o vacos# est dada por/

Donde es el nivel de energa donador % es llamado +a"*#r de degenera"%&n ded#nad#res.La ra1n de las concentraciones de vacos % llenos es.

Similarmente) para n$cleos aceptores

donde es el nivel de energa aceptor % el factor de degeneracin de aceptor.

CONCENTRACIN DE ELECTRONES Y 3UECOS. Gn semiconductor uniforme en un campo el2ctrico cero de&e ser neutral %a

(ue la carga el2ctrica ms un campo el2ctrico. La posicin del nivel de Fermi

puede encontrarse de condicin de neutralidad.


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-uando el semiconductor es dopado solamente por donadores tenemos

'hora encontramos la concentracin de electrones "nindica tipo deconducti&ilidad#

!ara los donadores ioni1ados superciales as (ue/

La concentracin de huecos en un material tipo n es/

En la ma%ora de los casos en los semiconductores tipo n, as (ue


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!ara un semiconductor tipo 7, la condicin de carga neutral es/

-uando

C$and#

)al%d# s#l# /ara se%"#nd$"*#res n# degenerad#s-

-uando am&os donadores % aceptores estn presentes en un semiconductor se dice(ue esta "#/ensad#.

En un semiconductor compensado) el *%/# de "#nd$"*%'%dad / # n-es determinada porla gran concentracin de impure1as.

Si ) la densidad efectiva donador es


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Si

Si las impure1as estn totalmente ioni1adas podemos usar la ecuacin %para concentracin de portadores de n %/si sustituimos por % por

La ra1n de compensacin se dene como/

I I I I I6 6

I I I I I

6 6 6 6 6 6 6

I I

6 6 6


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Ejemplo

El silicio es dopado con tomos de fsforo "concentracin # % tomos de +oro "#

-alcule la concentracin de electrones % huecos en este material a J99

C## se /$ede 'er, dad# 5$e el B#r# es $n a"e/*#r, el a*er%al es *%/# 7.

La "#n"en*ra"%&n e+e"*%'a de a"e/*#res es1

Ya 5$e a =>> ? *#d#s l#s a"e/*#res es*:n %#n%0ad#s

La "#n"en*ra"%&n de ele"*r#nes l# 5$e se n#s /%de- se "al"$la de s&l# n#s +al*a"#n#"er

A @>> ) , /#r *an*#

Ne"es%*a#s "#n#"er


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!or tanto

De diapositivas anteriores tenemos

Donde es la masa del electrn li&re) por tanto

'plicando la frmula

De&emos aplicar una regla de tres puesto (ue como el pro&lema nos pide paraT?J99 no conocemos % por tanto


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MO)ILIDAD DE ELECTRONES Y 3UECOS Y )ELOCIDADES DE

ARRASTRE. Los electrones % huecos "en la &anda de conduccin % &anda de valencia# son

capaces de moverse en un semiconductor.

Ellos portan la unidad de carga elemental son llamados fundamentalmente

/#r*ad#res de "arga # /#r*ad#res l%bres.En ausencia de campo el2ctrico losportadores de carga eperimentan movimiento t2rmino aleatorio catico.

La energa cin2tica promedio por movimiento t2rmico por electrn es

La velocidad t2rmica del electrn es/

'un(ue tienen velocidad el promedio de movimiento es cero.

La velocidad de arrastre de un electrn causada por un campo el2ctrico) seso&repone a este movimiento t2rmico catico.

D l d l d B t


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De la segunda le% de BeKton

En un semiconductor se sustitu%e la masa efectiva

!ero ha% colisiones causadas por vi&raciones de tomos cercanos) impure1ase imperfecciones del cristal

!ara campos el2ctricos &ajos es independiente de

Se dene al camino li&re promedio como el camino (ue recorre el electrnantes de chocar con otros n$cleos o electrones

' &ajas frecuencias % por tanto por lo (ue


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Donde hemos denido ) la movilidaddel electrn. "El signo negativo indica elsentido opuesto al campo el2ctrico

Ejemplo La movilidad del electrn en el 0a's a T? % T? 99 es igual a %

respectivamente. La masa efectiva del electrn es . Encuentre el caminopromedio li&re a esas temperaturas.

Solucin

L d id d d i d l l d d


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La densidad de corriente del electrn est dada por

El tiempo de relajacin del momento est dado aproimadamente por

De donde

Similarmente ocurre para huecos.

@a (ue a &ajos campos el2ctricos % son independientes del campo el2ctrico)la velocidad de arrastre del electrn es proporcional al campo el2ctrico.

!ara altos campos el2ctricos) cuando los electrones ganan una energaconsidera&le del campo el2ctrico) % en ciertos casos son funcionesfuertemente ligadas a la energa del electrn) por ende) al campo el2ctrico.!ara este caso la ecuacin de &alance de energa (ueda

f i d


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% son funciones de

'(u es la energa del electrn % es la energa del electrn &ajo e(uili&riot2rmico) es la temperatura del semiconductor % es el tiempo de relajacinefectiva "

Se introduce el t2rmino temperatura del electrn tal (ue

!ara campos el2ctricos grandes . En este caso los electrones son llamadoselectrones calientes

Los electrones calientes transeren energa como vi&raciones t2rmicas a la redcristalina) tales vi&raciones pueden moldearse como oscilaciones armnicas

con una cierta frecuencia. El electrn es acelerado en el campo el2ctrico hasta (ue gana suciente

energa para ecitar a la red

D d l i l id d d t d l l t E t l


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Donde es la mima velocidad de arrastre del electrn. Entonces ocurre elproceso de dispersin % los electrones pierden todo el eceso de energa %toda la velocidad de arrastre

El promedio de la velocidad de arrastre es entonces independiente del campo

el2ctrico

Donde es llamada velocidad de saturacin del electrn 's la velocidad de

arrastre es casi constante para campos el2ctricos altos


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En algunos semiconductores vemos

(ue

Ecepto en el Si.


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,elocidad del electrn vs hueco en Si

La velocidad de huecos es considera&lemente menor (uela velocidad del electrn en casi todos lossemiconductores

Frmulas de velocidades de huecos % electrones


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Frmulas de velocidades de huecos % electrones

Frmulas de movilidades de huecos % electrones

D3FGS3B


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D3FGS3B El proceso de difusin est relacionado con el movimiento t2rmico aleatorio.

!ara ilustrarlo usamos un modelo unidimensional simple (ue supone (ue losportadores de&en moverse aleatoriamente de i1(uierda a derecha) con igual

pro&a&ilidad. -onsideremos las regiones ad%acentes de longitud ) donde es el camino li&re

medio en la direccin % es la componente de la velocidad t2rmica de .Supongamos (ue la regin i1(uierda tiene ms electrones (ue la derecha. Enpromedio la mitad de los electrones se mover de i1(uierda a derecha %viceversa % entonces el Nujo neto de difusin el cual tiende a igualar la

concentracin de electrones en las dos regiones

-oncentracin -oncentracin

!roceso de difusin

La densidad de corriente de difusin "Nu%endo de i1(uierda a derecha# puede


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La densidad de corriente de difusin"Nu%endo de i1(uierda a derecha# puedecalcularse como

Donde

Son los n$meros de electrones (ue cru1an la frontera entre regiones endirecciones opuestas.

Si es pe(ueAa comparada con una distancia caracterstica de la variacin dela concentracin de electrones entonces

O&tenemos

Donde el coeciente de difusin es


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Donde el coeciente de difusin es

@a (ue

De donde o&tenemos

La movilidad a campos &ajos ) est dada por

@


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@

Ejemplo/ Las #'%l%dades de ele"*r#nes ;$e"#s en S% a *e/era*$ra ab%en*e

T6@>> ?- s#n % respectivamente. -alcule los coecientes de difusin deelectrones % huecos.

Solucin

T?99

+ajo condiciones de e(uili&rio "j?9# un dopamiento no uniforme deja un campoel2ctrico

-ampo el2ctrico +uilt6in "se aplica en Transitores +PT

Ejemplo/ La concentracin de electrones en un dispositivo de longitud : vara


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Ejemplo/ La concentracin de electrones en un dispositivo de longitud : varalinealmente con la distancia desde a 0raca el campo el2ctrico &uilt6in comouna funcin de la distancia a T? 99

Solucin

!ara un perl lineal % el campo el2ctrico &uilt6in est dado por

El signo negativo indica (ue el campo va en direccin negativa de

Ecuaciones +sicas de Semiconductor


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Ecuaciones +sicas de Semiconductor

Modelo Difusin6'rrastre El mimo de la &anda de conduccin % el mimo de la &anda de valencia

corresponden a energas potenciales de electrones % huecos respectivamente

-uando un campo el2ctrico es aplicado a un semiconductor) las &andas seQinclinanR % los electrones % huecos se mueven en direcciones opuestascreando una corriente el2ctrica.

En un campo el2ctrico &ajo) la conductividad de densidad de corriente paraelectrones % huecos estn dados por la suma de la densidad de corriente dearrastre % la densidad de corriente de difusin

6

I

electrn

hueco

Energ

a

Distancia


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En un semiconductor % estas ecuaciones se reducen a

's (ue la densidad de corriente total es

Donde

La corriente el2ctrica 3 est dada por

Donde? resistenciaS? seccin de cruceL? LongitudG? voltaje aplicado

!ara campos el2ctricos grandes los portadores ad(uieren energa del campo


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!ara campos el2ctricos grandes) los portadores ad(uieren energa del campoel2ctrico % la energa del portador es ms grande (ue la energa t2rmicapromedio . -omo una consecuencia) la velocidad de los electrones % loshuecos no son proporcionalmente grandes al campo el2ctrico cuando 2ste esalto.

Los coecientes de difusin dependen de .

@a (ue las velocidades de arrastre del electrn % el hueco dependen de lassiguientes ecuaciones fenomenolgicas son frecuentemente usadas paramodelar un dispositivo semiconductor.

Donde se suponen (ue son las mismas funciones del campo el2ctrico como laso&tenidas por condiciones de estado esta&le.

Este modelo de difusin % arrastre no descri&e lo (ue ocurre realmente . Es unmodelo &urdo.

El campo el2ctrico en si mismo depende de la distri&ucin de cargas en elsemiconductor "llamado espacio de carga#. La dependencia del campoel2ctrico en la densidad del espacio de carga est descrita por la ecuacin de

!oisson


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Donde

son las densidades de carga de cual(uier otra impure1a cargada (ue est2presente en el semiconductor. Frecuentemente esas impure1as son despreciadasas (ue

!ara un semiconductor uniforme &ajo condiciones de e(uili&rio t2rmico lasrelaciones son sencillas.

!ero los semiconductores rara ve1 son uniformes % usualmente operan &ajocondiciones de no e(uili&rio.

a1n de 0eneracin "0#.6 Este proceso descri&e el fenmeno (ue ocurrecuando un fotn a&sor&ido promueve un electrn de la &anda de valenciahacia la &anda de conduccin) creando en am&as un electrn un la &anda deconduccin % un hueco en la &anda de valencia "par electrn6hueco#. Estara1n es igual a la concentracin de pares electrn6hueco producidos en :

segundo .

a1n de recom&inacin "#.6 -uando un electrn de la &anda de conduccin


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a1n de recom&inacin "#. -uando un electrn de la &anda de conduccincae hacia un espacio vacante en la &anda de valencia ) los pares electrn6hueco son destruidos. ' este proceso se le llama ecom&inacin (ue es iguala la concentracin de pares electrn6hueco recom&inados en : segundo.

En un semiconductor uniforme

En estado estacionario

La ra1n de recom&inacin es

Donde es la concentracin de portadores minoritarios "huecos# en unsemiconductor tipo n) es la concentracin de huecos en e(uili&rio % es el tiempo

de recom&inacin o tiempo de vida de un hueco

!ara un semiconductor no uniforme

Ecuaciones de continuidad


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Bote (ue en un semiconductor no uniforme) el eceso de concentracin deelectrones o huecos de&e eistir a$n cuando la ra1n de generacin sea cero)

los portadores adicionales vienen de fuera "por ejemplo) los contactos#

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

Estadoestacionario

H dejaron la& de valencia

,olumen incrementadodos recom&inados

Ejemplo


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je p o

Encuentre el perl de campo el2ctrico en un semiconductor tipo ! con unamovilidad de huecos % una concentracin de huecos con una densidad decorriente . La regin tipo ! es cercana a una regin altamente dopada . "Gna

regin altamente dopada es llamada una regin #.Depreciando la corriente de difusin % suponiendo (ue los huecos tienen unavelocidad de arrastre donde es el campo el2ctrico aplicado. El semiconductortiene una permisividad diel2ctrica

Solucin

La concentracin de huecos de&e ser una funcin continua de la distancia. Estovara desde en la regin de frontera hasta lejos de la frontera. Estas variacionesestn descritas por la ecuacin de continuidad donde ponemos 0?9) ?9)


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Tenemos > incgnitas ) pero la ecuacin de !oisson dice

Susti%endo

3ntroduciendo un campo adimensional % coordenadas adimensionales

3ntegrando


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g

!ara valores dados de parmetros

El perl del campo (ueda

:9 >9

>9

H9

J9

Distancia "nm#

-ampoel2ctrico

Ejemplo


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j p

La ra1n de generacin 0) en un semiconductor tipo n es uniforme e igual a Elsemiconductor es dopado con donadores superciales con concentracin Eltiempo de vida de un hueco es de :.

-ul es la concentracin de electrones en el estado esta&leU

S#l$"%&nLos electrones % los huecos son generados en pares) el eceso de concentracinde electrones % huecos son iguales .

De la ecuacin

Suponiendo (ue todos los donadores superciales estn ioni1ados tenemos

Semiconductor -uasi neutral


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-uando los electrones % huecos son generados en pares en un semiconductoruniforme) el semiconductor permanece neutral o cuasi neutral. Gn ejemplosera una pie1a de semiconductor tipo n donde los portadores etras son

generados por lu1. Esta situacin ocurre en un diodo semiconductor) en untransistor unin &ipolar) en una celda solar % en otros dispositivos.

'plicamos la ecuacin &sica de un semiconductor a un semiconductor cuasineutral. !or simplicidad) consideremos una situacin de estado esta&le.

Sustitu%endo en la ecuacin para densidad de corriente

+ajo la suposicin (ue el semiconductor es un cuasi metal tenemos


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@a (ue % las ecuaciones se simplican

Donde

-uando ) )

Densidades de despla1amiento % corriente total


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Las ecuaciones de continuidad dan paso a una $til ecuacin parasemiconductor

De

Derivando la ecuacin de !oisson con respecto al tiempo encontramos

3ntegrando so&re el espacio) o&tenemos

La corriente total es la integral de la densidad de corriente so&re una seccin


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transversal de la muestra

!ara una muestra con seccin transversal constante S % una densidad decorriente uniforme o&tenemos

BANDAS DE ENERGÍA. DIELÉCTRICOS, SEMICONDUCTORES Y METALES..pptx

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