Capacitores y dieléctricos. Circuitos RC

E. Acebal, J. C. Fortunatti

Departamento de Física – Universidad Nacional del Sur

Av. Alem 1253, (8000) Bahía Blanca, Argentina

e-mail: emi_acebal@hotmail.com

e-mail: juan2_fortunatti@hotmail.com

Objetivo

Estudiar las propiedades básicas de los capacitores, la dependencia de la capacitancia con

la geometría y con los dieléctricos. Analizar las características de circuitos RC. Calcular la

constante de tiempo de un circuito RC por diferentes métodos.

Introducción

Un capacitor (originalmente conocido como condensador) es un dispositivo electrónico

pasivo utilizado para almacenar energía electroestáticamente sustentando un campo

eléctrico[1]

. Está formado por un par de superficies conductoras, generalmente en forma de

placas o láminas, separadas por un material aislante, llamado dieléctrico, o por el vacío. Las

placas, al ser sometidas a una diferencia de potencial, adquieren una determinada carga

eléctrica, positiva en una de ellas y negativa en la otra, siendo nula la variación de carga total.

Véase Figura 1.

Figura 1. Capacitor de placas paralelas.

Al contrario de los resistores, los capacitores no disipan la energía, sino que la almacenan

en la forma de un campo electroestático entre los conductores.

La carga almacenada en una de las placas es proporcional a la diferencia de potencial entre

ellas. Esta constante de proporcionalidad es llamada capacidad o capacitancia, en el SI se

mide en Faradios (F), siendo un faradio la capacidad de un condensador en el que, sometidas

sus placas a una diferencia de potencial de un volt, estas adquieren una carga eléctrica de un

coulomb. La capacidad de un capacitor está dada por la siguiente ecuación:

(1)

donde C es la capacitancia en faradios, Q es la carga en coulombs y V es la caída de potencial

sobre el mismo en volts.

La capacitancia es una propiedad puramente geométrica de los capacitores. Para un

capacitor de placas paralelas la capacidad C es:

(2)

siendo ε0 la permitividad del vacío (8,854 x 10-12

F/m), A el área de las placas, d la distancia

entre las mismas y εr la permitividad relativa del material dieléctrico entre las placas. Para el

caso del aire εr ≈ 1.

Al disponer dos capacitores en serie, la carga se distribuirá de tal forma que será igual en

ambos capacitores (ya que si fuera diferente, la carga en las placas que están conectadas se

distribuiría sobre el equipotencial, haciendo que sea igual en ambos)[1]

. Teniendo en cuenta

esto, la capacidad equivalente resulta ser para la asociación en serie:

(3)

Por el contrario, en la asociación de los capacitores en paralelo, la diferencia de potencial

sobre las placas de cada uno será la misma. Por lo tanto, la capacidad equivalente para un

paralelo entre dos capacitores estará dada por:

(4)

Al conectar un capacitor en serie con una resistencia y alimentarlos con una fuente de

corriente continua, circuito RC (véase Figura 2), la corriente empezará a circular por la malla.

A su vez, el capacitor ira acumulando carga entre sus placas. Cuando el capacitor se encuentra

totalmente cargado, la corriente deja de fluir a través del circuito, a esta etapa del circuito RC

se le llama etapa de carga del capacitor.

Figura 2. Circuito RC

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito de la Figura 2, se encuentra la ecuación

diferencial que determina la relación entre las caídas de potencial para este último:

(5)

donde V0 es la diferencia de potencial generada por la fuente de CC, q la carga del capacitor,

C la capacitancia, I la corriente y R la resistencia.

Reemplazando I = dq/dt en la ec.(5), y haciendo las operaciones matemáticas pertinentes,

se obtiene la expresión para la carga de un capacitor en un circuito RC:

( ) ( ) (6)

Dividiendo ambos términos de la ec.(6) por C, se obtiene una expresión para la caída de

potencial en el capacitor en función del tiempo :

( ) ( ) (7)

También, derivando la ec.(6) respecto del tiempo se obtiene la variación de la corriente con

el tiempo:

( )

(8)

Y, por lo tanto, multiplicando ambos términos de la ec.(8) por la resistencia R dará como

resultado la caída de potencial sobre la resistencia:

( ) (9)

Por otro lado, se denomina como constante de tiempo del circuito τ al tiempo que le tarda

al voltaje de la resistencia en alcanzar el valor de V0/e:

(10)

Derivando la ec.(7) respecto al tiempo se obtiene la siguiente expresión:

( )

(11)

y escribiéndola en términos de VC, resulta:

( )

(12)

Si se quitara la fuente del circuito RC y se la sustituyera por un cortocircuito (véase Figura

3), la carga comenzaría a fluir desde una de las placas del capacitor hacia la otra a través de la

resistencia. Esta última disipara la energía en forma de calor, hasta que la carga en las dos

placas del capacitor sea nula. A esta parte se la denomina etapa de descarga del capacitor.

Figura 3. Circuito RC sin fuente de tensión. La carga almacenada en el capacitor es disipada

en la resistencia.

Utilizando, nuevamente, la segunda ley de Kirchhoff, la ecuación diferencial encontrada en

este caso es:

(13)

Reemplazando I = dq/dt y siendo V0, en este caso, la diferencia de potencial inicial en el

capacitor. Resolviendo la ecuación diferencial se obtiene la expresión para la descarga de un

capacitor en un circuito RC.

( ) (14)

Derivando esta última se obtiene la expresión para la corriente en función del tiempo:

( )

(15)

La caída de potencial para el capacitor en el proceso de descarga será:

( ) (16)

La energía almacenada en un capacitor está dada por:

(17)

Se define tiempo de subida ts, como el tiempo que tarda el capacitor en incrementar la

diferencia de potencial entre sus placas desde el 10% al 90% del valor máximo. El tiempo de

subida y la constante de tiempo del circuito RC están relacionados por la siguiente ecuación:

(18)

Se tiene la misma relación para cuando el capacitor disminuye la diferencia de potencial

entre sus placas desde el 90% al 10% del valor máximo, a este intervalo se lo denomina

tiempo de caída tc.

Materiales

Fuente de tensión continua (PASCO).

Generador de funciones (Topward 8170).

Capacitor variable PASCO ES-9043.

Interface y PC.

Osciloscopio.

Multímetro.

Calibre.

Resistencias de carbón ¼ W.

Capacitores electrolíticos y cerámicos.

Placas metálicas rígidas (aluminio).

Planchas de cartón, acrílico y vidrio.

Protoboard.

Método

Parte A: Determinación de la constante de tiempo de un circuito RC.

En esta primera parte se determinó la constante de tiempo de un circuito RC, tanto para un

proceso rápido de descarga como para uno lento.

Proceso rápido de descarga

Se armó el circuito representado esquemáticamente en la Figura 4. Con un multímetro se

precisaron los valores de la resistencia R y la capacitancia C, para determinar mediante la

ec.(10) la constante de tiempo característica τ.

Figura 4. Esquema de un circuito RC alimentado por un generador de funciones.

Con el generador de funciones (GF) se introdujo una señal cuadrada en el circuito, y

mediante un sistema de adquisición de datos conectado a una computadora, se determinó la

caída de tensión en la resistencia y el capacitor en función del tiempo.

Se hizo uso de distintos métodos, tanto experimentales como de procesamiento de los

datos, con la finalidad de obtener un resultado para τ y de comparar la eficacia de dichos

métodos.

Por último, utilizando un osciloscopio, se mesuró el tiempo de subida y caída de la

diferencia de potencial sobre el capacitor. Valiéndose de la ec.(18), se halló el valor de τ tanto

para etapa de carga como la de descarga.

Proceso lento de descarga

Para el proceso lento de descarga, se armó el circuito descripto en la Figura 1.

Determinando los valores para C y R con un multímetro, se halló el valor teórico para la

constante de tiempo para este circuito particular.

Se alimentó el circuito con una fuente de tensión continua para cargar al capacitor. Se

procedió sustituyendo la fuente por un cortocircuito, conectando la resistencia y el capacitor

en paralelo. Utilizando un cronómetro y un voltímetro conectado en paralelo a la resistencia

se tomaron datos de la diferencia de potencial sobre la resistencia cada 5 segundos, para luego

poder determinar la constante de tiempo para el circuito.

Parte B: Variación de la capacidad con la geometría.

En esta parte, se analizó la dependencia entre la capacidad y la geometría de un capacitor.

Para esto, se utilizó un capacitor el cual era posible variar la distancia entre las placas.

Este último constaba de dos placas circulares montadas perpendicularmente sobre una

plataforma rectangular. A su vez, una de estas placas se encontraba adosada a un riel móvil

sobre la plataforma, el cual era posible regular con precisión micrométrica. Haciendo uso de

un multímetro se determinó la magnitud de la capacidad para cada incremento de la

separación entre las placas. Un diagrama de este capacitor puede apreciarse en la Figura 5.

Figura 5. Diagrama del capacitor de placas móviles.

A modo de analizar el comportamiento de la capacidad con el área de las placas, se

confeccionaron cuatro capacitores utilizando placas rectangulares de aluminio, empleando un

calibre se tomó nota del ancho, largo y espesor de cada una.

Las placas fueron separadas por medio de tacos de madera, dispuestos en las esquinas de

las mismas, como se muestra en la Figura 6.

Figura 6. Esquema de los capacitores construidos para el estudio de la capacitancia con el

área.

Parte C: Variación de la capacidad con un medio dieléctrico.

Para estudiar el comportamiento de la capacitancia respecto al medio dieléctrico que separa

las placas, se utilizó el capacitor de placas circulares móviles de la Figura 5. Entre medio de

las placas se colocaron planchas de diversos materiales (vidrio, acrílico y cartón). Variando la

distancia entre las placas del capacitor y manteniendo el dieléctrico pegado contra una de

ellas, se determinó el valor de la capacitancia para cada caso.

Al variar la distancia entre las placas del capacitor, entre medio de estas no solo se

encontraba la plancha de dieléctrico (vidrio, acrílico o cartón), sino también, una parte era

ocupada por aire. Cuando se tiene dos dieléctricos en el espacio entre las placas de un

capacitor, se lo puede considerar a este último, como dos capacitores con dos dieléctricos

diferentes en serie. En este caso, para uno será el aire, y para el otro la plancha a usar. Con lo

que, utilizando las ec.(2) y ec.(3), la capacitancia medida estará dada por la ecuación

siguiente:

(19)

y por lo tanto, como la distancia total será la distancia que ocupa el aire y la plancha entre las

placas (d = daire+dplancha), la capacidad equivalente será:

(

)

(20)

con esta última es posible ajustar los datos obtenidos experimentalmente y determinar un

valor para la permitividad relativa del material en cada caso.

Parte D: Arreglo de capacitores en serie, paralelo y combinado.

Con el fin de determinar la distribución de la carga almacenada en un circuito compuesto

por capacitores, se utilizaron los circuitos mostrados en la Figura 7. Con un multímetro se

determinó la capacidad real de cada uno de los capacitores a utilizar en los circuitos.

Circuito A Circuito B Circuito C

Figura 7. Circuitos utilizados en la parte D.

Antes de tomar nota de la caída de potencial sobre cada uno de los capacitores, se dejó

estabilizar los circuitos. También se hizo el cálculo teórico de la distribución de carga de estos

circuitos para hacer una comparación con los valores experimentales.

Resultados y discusión

Parte A

Proceso rápido de descarga

Los valores para la resistencia y el capacitor utilizados en el circuito del proceso rápido de

descarga, fueron: R = (10,00 ± 0,01) kΩ y C = (11,30 ± 0,01) nF, con estos fue posible

obtener un valor teórico para la constante de tiempo del circuito, con una magnitud de τ1 =

[(1,130 ± 0,002) x 10-4

] segundos. La señal del generador fue ajustada con una frecuencia de f

= (500 ± 1) Hz y una amplitud V0 = (4,00 ± 0,01) V. En la Figura 8 se presentan los datos

obtenidos con la interfaz conectada a la computadora para la diferencia de potencial en el

capacitor.

Figura 8. Resultados y ajuste de la señal de salida sobre el capacitor (izquierda: carga,

derecha: descarga). Curvas de ajuste: VC(carga) = -7,2e(-t/1,7)

+3,9 con R2 = 0,97 y

VC(descarga) = 8,2e(-t/1,78)

-4,02 con R2 = 0,995.

A partir del análisis del gráfico de la Figura 8 es posible ver que tanto la carga como la

descarga del capacitor se comportan exponencialmente, verificando la teoría. Del ajuste de los

datos se obtiene τ con un valor de τ2 = [(1,7 ± 0,1) x 10-4

] segundos para la carga y τ3 = [(1,78

± 0,06) x 10-4

] segundos para la descarga.

A continuación se muestra el gráfico de la derivada numérica de VC respecto a VC.

Figura 9. Ajuste lineal de la derivada numérica de VC respecto de VC (izquierda: carga,

derecha: descarga). Rectas de ajuste izquierda: dVC(t)/dt = -6937VC+26557 con R2 = 0,998,

derecha: dVC(t)/dt = -6297VC-24943 con R2 = 0,997.

Observando la Figura 9 es clara la linealidad predicha en la teoría entre Vc y su derivada.

La inversa del módulo de la pendiente obtenida en el ajuste es la constante de tiempo

característica de este circuito, para la carga τ4 = [(1,59 ± 0,02) x 10-4

] segundos y para la

descarga τ5 = [(1,44 ± 0,02) x 10-4

] segundos.

También, se determinó τ utilizando un osciloscopio, midiendo los tiempos de subida y

caída (ts y tc), los cuales arrojaron el mismo valor para la carga como la descarga, τ6 = τ7 =

[(1,18 ± 0,05) x 10-4

] segundos.

El tiempo característico obtenido mediante los distintos métodos utilizados para el proceso

rápido de descarga se muestran en la Tabla 1, cada uno con su respectivo error porcentual

frente al valor teórico calculado.

Tabla 1. Tiempo característico para el circuito RC de la parte A, determinado por varios

métodos.

Método Valor de τ [10^-4

s] % error

(teórico) τ1 = RC 1,130 ± 0,002

Ajuste de VC (carga) τ2 1,7 ± 0,1 51%

Ajuste de VC (descarga) τ3 1,78 ± 0,06 58%

Ajuste de dVC/dt vs Vc (carga) τ4 1,59 ± 0,02 41%

Ajuste de dVC/dt vs Vc (descarga) τ5 1,44 ± 0,02 27%

Tiempo de subida y caída τ6, τ7 1,18 ± 0,05 4%

Comparando los valores obtenidos a través de los distintos métodos para el tiempo

característico del circuito RC, cabe destacar el pequeño error porcentual respecto al valor

teórico presentado por el medido con el osciloscopio (τ6, τ7).

Por otra parte, el error porcentual entre τ2-5 y el valor real es muy significativo, entre el

25% y el 50%, denunciando que estos métodos son muy imprecisos para hallar el tiempo

característico. Este error puede ser introducido por la adquisidora de datos con la cual se

realizaron las mediciones, ya que los componentes internos que posee actúan a la vez como

una carga más del sistema.

Proceso lento de descarga

La resistencia y el capacitor utilizados en el segundo circuito comprendían valores de R =

(38,30 ± 0,01) kΩ y C = (4620 ± 1) µF. Con estos valores se determinó la constante de tiempo

teórica para el circuito, con una magnitud de τ7 = (177,00 ± 0,06) segundos.

El capacitor fue cargado utilizando una fuente de tensión continua, fijada en (20,0 ± 0,1)

V. En la siguiente figura se presentan los datos obtenidos para la diferencia de potencial entre

los extremos del capacitor en función del tiempo.

Figura 10. Resultados y ajuste de la diferencia de potencial sobre el capacitor en función del

tiempo para el proceso lento de descarga. Curva de ajuste: VC = 1,7095e(-t/209)

+0,0105 con

un R2 = 0,99996.

Mediante el ajuste de los datos se obtuvo τ para este circuito, con un valor de τ8 = (209,0 ±

0,2) segundos.

Al comparar el valor del tiempo característico obtenido mediante el ajuste de los datos de

la descarga del capacitor se observa un error relativo porcentual del 18%. Sin embargo, cabe

destacar, que el comportamiento observado en la Figura 10 es puramente exponencial, lo cual

refuerza el valor obtenido por este método.

Para finalizar, se analizó qué sucede con la carga y energía almacenadas en el capacitor.

De la ec.(1) se obtuvo la cantidad de carga en el capacitor enseguida este fue desconectado de

la fuente Q = [(7,946 ± 0,005) 10-3

] C y se determinó la energía máxima almacenada con un

valor de EMAX = [(6,834 ± 0,007) 10-3

] J. Una vez descargado el capacitor, tanto la carga

como la energía almacenada son nulas, esto se debe a que ésta es disipada en forma de calor

por la resistencia involucrada en el circuito.

Parte B

Los resultados obtenidos para la variación de la capacidad en función de la distancia son

mostrados en la Figura 11. El ajuste se realizó teniendo en cuenta la ec.(2), se observa que a

medida que la distancia entre las placas crece, la capacitancia disminuye con 1/d, encontrando

un buen acuerdo con la teoría.

Figura 11. Variación de la capacidad con la distancia entre las placas. Curva de ajuste: C =

(3x10-12

+2,83x10-13

/d con R2 = 0,993.

Para el estudio de la variación de la capacidad con el área del capacitor, se confeccionaron

cuatro capacitores de placas rectangulares de distintos tamaños. Las áreas comprendidas por

cada uno de estos fueron: (59,57 ± 0,01) cm2, (70,84 ± 0,01) cm

2, (76,56 ± 0,01) cm

2 y

(130,88 ± 0,01) cm2. Se adoptó la misma separación d = (8,50 ± 0,06) mm para todos los

capacitores. Los resultados son mostrados en la Figura 12, puede observarse el

comportamiento claramente lineal como era de esperarse por la teoría.

Figura 12. Variación de la capacidad con el área de las placas. Recta de ajuste: C =

1,28x10-9

A+5,6x10-12

con R2 = 0,98. El dato en rojo fue descartado ya que claramente hubo

un error en su medición.

Parte C

Los valores medidos para C, utilizando las distintas planchas de material dieléctrico, en

función de la separación entre las placas del capacitor se muestran en la Figura 13.

Figura 13. Variación de la capacidad respecto a la distancia entre las placas para distintos

materiales dieléctricos.

Puede observarse que a medida que el dieléctrico que predomina entre las placas del

capacitor es el aire, como es de esperarse, los valores de C tienden hacía los datos obtenidos

utilizando solo aire entre las placas.

Para ajustar los datos obtenidos, fue utilizada la ec.(20). La permitividad del aire fue

sacada de tabla, la cual es aproximadamente εr ≈ 1. El área comprendida por las placas del

capacitor era de A = (306,6 ± 0,1) cm2. En el ajuste se utilizó una ecuación de la forma: y =

c+a/(x+b), la constante a fue fijada con a = Aε0.

En las siguientes figuras pueden observarse los datos obtenidos con cada material

dieléctrico y sus respectivas curvas de ajuste.

Figura 14. Variación de la capacidad con la distancia entre las placas para cada material

dieléctrico. Curvas de ajuste: Vidrio: C = 5,6 x 10-12+Aε0/(d-0,00227) R

2 = 0,997, Cartón: C

= 6,2 x 10-12+Aε0/(d-0,00065) R

2 = 0,998 y Acrílico: C = 5,9 x 10

-12+Aε0/(d-0,0018) R

2 =

0,998.

Utilizando los datos arrojados por las curvas de ajuste se calcularon los respectivos valores

para la permitividad de cada material. Estos últimos son mostrados en la Tabla 2, junto con

valores característicos sacados de tablas[2][3]

.

Tabla 2. Valores experimentales y sacados de tablas para la permitividad de los materiales

utilizados.

Material Valor experimental Valor de tabla

Vidrio 4,290 ± 0,004 3,7 – 10,0

Cartón 1,9 ± 0,1 2,0

Acrílico 2,55 ± 0,07 2,1 – 3,9

Parte D

Los valores reales para los capacitores utilizados en los circuitos de la parte D son

mostrados en la Tabla 3.

Tabla 3. Valores reales para los capacitores utilizados en la parte D.

Capacitor Valor medido

10 µF (43,15 ± 0,01) µF

47 µF (9,39 ± 0,01) µF

100 µF (1) (87,70 ± 0,01) µF

100 µF (2) (99,20 ± 0,01) µF

100 µF (3) (33,00 ± 0,01) µF

A partir de estos valores, se realizó el cálculo teórico para la distribución de la carga para

cada circuito. Estos últimos, junto con los resultados experimentales son mostrados en las

Tablas 4-6.

Tabla 4. Resultados teóricos y experimentales para el circuito A.

Circuito A C1 (10 µF) C2 (47 µF)

VEXPERIMENTAL (6,22 ± 0,01) V (5,79 ± 0,01) V

VTEORICO (9,85 ± 0,02) V (2,144 ± 0,003) V

Tabla 5. Resultados teóricos y experimentales para el circuito B.

Circuito B C1 (100 µF) (1) C2 (47 µF)

VEXPERIMENTAL (12,00 ± 0,01) V (12,00 ± 0,01) V

VTEORICO (12,00 ± 0,01) V (12,00 ± 0,01) V

Tabla 6. Resultados teóricos y experimentales para el circuito C.

Circuito C C1 (100 µF) (1) C2 (100 µF) (2) C3 (100 µF) (3)

VEXPERIMENTAL (9,21 ± 0,01) V (2,80 ± 0,01) V (2,80 ± 0,01) V

VTEORICO (6,5866 ± 0,0002) V (5,41 ± 0,01) V (5,41 ± 0,01) V

Como puede observarse, los datos obtenidos experimentalmente difieren de los teóricos en

una magnitud mayor al 50% en algunos casos. Se le atribuye este problema a que no se dejó

que los circuitos se estabilizaran completamente, y por lo tanto, los capacitores no llegaron a

cargarse en su totalidad.

Conclusión

En las distintas secciones del trabajo se logró estudiar las propiedades básicas de los

capacitores, como se propuso inicialmente.

En primer lugar, se obtuvo la constante de tiempo de un circuito RC por diferentes

métodos y se comparó cada una con la hallada a partir de los valores de resistencia y

capacidad medidos con un multímetro. Se concluye que el método más adecuado para

mesurar dicha magnitud es obteniendo el tiempo de caída y subida con un osciloscopio,

debido a que su error relativo es muy bajo. El gran error relativo observado en los resultados

obtenidos por otros métodos, se le atribuye al equipamiento de medición utilizado. Este

último, al no tener sus circuitos internos aislados correctamente, actúa como una carga más

sobre el sistema, y por lo tanto, modificando el comportamiento del circuito.

En segundo lugar, se logró verificar la relación existente entre la capacidad y las

propiedades geométricas de un capacitor de placas paralelas, el área y distancia entre ambas.

A su vez, se determinó la permitividad relativa de distintos materiales dieléctricos: vidrio,

cartón y acrílico, todos con una magnitud aceptable dentro de los valores estándar.

Por último, se midió la distribución de carga entre capacitores en serie y en paralelo, con

resultados en desacuerdo con los teóricos. Se atribuyó esta discrepancia al escaso tiempo de

relajación que se le dio a los circuitos, lo que no permitió que los capacitores se cargaran

totalmente.

Referencias

[1] Wikipedia: Capacitor – http://en.wikipedia.org/wiki/Capacitor

[2] http://www.clippercontrols.com/pages/Dielectric-Constant-Values.html

[3] Wikipedia: Relative permitivity - http://en.wikipedia.org/wiki/Relative_permittivity