1

sistema el sobre salrededore lospor

comunicado trabajode neta cidad velo

salrededore los a sistema elpor

comunicado trabajode neta cidad velo

conducciónpor calor deadición de

neta ad velocid+

convectivo movimientopor

interna e cinéticaenergía de salida

de ad velocid

convectivo movimientopor

interna e cinéticaenergía de entrada

de ad velocid

interna e cinéticaenergía de

nacumulació de ad velocid

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−

+−=

GENERACIÓNSALIDAENTRADANACUMULACIÓ +−= )(

Δx

Δy

Δz

BALANCE DE ENERGÍA: TERMINOS A CONSIDERAR

2

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+∂

∂ΔΔΔ=+ΔΔΔ∂

∂=+∂

∂≈ 2 21ˆ ˆˆ)(

interna e cinéticaenergía de

nacumulació de ad velocid

vUt

zyxKUzyxt

KUt

ρρρρ

ΔxΔz

( )( )zzzqzzqyx Δ+−ΔΔ+

++−++−= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΔyyyqyyqΔxΔzΔxxxqxxqΔyΔz :

conducciónpor calor deentradade neta Velocidad

BALANCE DE ENERGÍA: TERMINOS DE ACUMULACIÓN Y CONDUCCIÓN

dS n qdQ rr•=

3

KρUρ QiónConcentrac entra Caudal

elemento del cara unapor convecciónpor interna

e cinética energía de salida o entrada de ad velocid

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+•=•=

EJEMPLO: Cara situada en posición y de dimensiones Δx -ΔzΔx

Δz( ) zxzx 0 1 0 zx vndS vn ΔΔ=ΔΔ=ΔΔ•=⇒•=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

yv

zvyvxv

QdQ rrrr

y

2v2

1U

aconsiderad cara lapor convección movimientopor

interna e cinética energía de entrada de ad velocid

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +•ΔΔ=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

ρρzxyv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ++−+ΔΔ+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ++−+ΔΔ+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ++−+ΔΔ

=

zzvUzv

zvUzvyx

yyvUyv

yvUyvzx

xxvUxv

xvUxvzy

)221ˆ()2

21ˆ(

)221ˆ()2

21ˆ(

)221ˆ()2

21ˆ(

convección movimientopor

interna e cinéticaenergía de entradade velocidad

ρρρρρ

ρρρρ

ρρρρ

BALANCE DE ENERGÍA: ENTRADA-SALIDA POR CONVECCIÓN*

4

BALANCE DE ENERGÍA: TRABAJO COMUNICADO AL/POR EL SISTEMA

CONSIDERACIONES PREVIAS:

FUERZAS QUE ACTÚAN:

vdtdr dr •=•=⇒•= FF

dtdWFdW

rrr

La fuerza de la gravedad (de los alrededores sobre el sistema):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== zgygxggF ρρ rr

Esfuerzos viscosos (del sistema hacia los alrededores): dSπrrrr

•= nFd

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+==p

pp

zzzyzxyzyyyxxzxyxx

zzzyzxyzyyyxxzxyxx

000000

τττττττττ

πππππππππ

πrr

EJEMPLO: Cara situada en posición y + Δ y de dimensiones Δx -Δz

( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ΔΔ

ΔΔ+

ΔΔ

=ΔΔ+

++

=Δ•=

zxyz

zxpyy

zxyxzx

pzzzyzxyzpyyyxxzxypxx

nFτ

τ

τ

τττττττττ

π 010S rrrr

( )010=nr

5

VELOCIDAD DE TRABAJO COMUNICADO POR LOS ALREDEDORES SOBRE SISTEMA

La fuerza de la gravedad:

Esfuerzos viscosos:⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++==•= zvzgyvygxvxg

zvyvxv

zgygxgvgdt

dW ρρρ rr

( ) ( )yyzzvxyzyzvxpyyxzvxyx

zvyvxv

zxyzzxpyyzxyxydtdW

Δ+ΔΔΔΔ+ΔΔ=ΔΔΔΔ+ΔΔ= ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ττττττ

EJEMPLO: Cara situada en posición y + Δ y de dimensiones Δx -Δz

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++−Δ+++ΔΔ+

+++−Δ+++ΔΔ+

+++−Δ+++ΔΔ

zzvzzyvzyxvzxzzzvzzyvzyxvzxyx

yzvyzyvyyxvyxyyzvyzyvyyxvyxzx

xzvxzyvxyxvxxxxzvxzyvxyxvxxzy

)()(

)()(

)()(

ττττττ

ττττττ

ττττττ=dt

dW

( )010=nr

La contribución total de todas las caras:

BALANCE DE ENERGÍA: TRABAJO COMUNICADO AL/POR EL SISTEMA

6

)()()(

)zvyvx(v+

)221ˆ()2

21ˆ()2

21ˆ()2

21ˆ(

⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++++++++−

−++−++++−

−+++++−=+

zvzzyvzyxvzxzzvyzyvyyxvyxyzvxzyvxyxvxxx

zpvzypvyxpvxzgygxgzzq

yyq

xxq

vUzvzvUyvyvUxvxvUt

τττ∂∂τττ∂

∂τττ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ρ∂

∂∂

∂∂

∂

ρρ∂∂ρρ∂

∂ρρ∂∂ρρ∂

∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅∇− vUv rr)ˆ2

21( ρρ

qrr

⋅∇−)( vpr

r⋅∇−

[ ]vrrrr•• τ∇−

[ ])••()()()()()221ˆ())2

21ˆ(()2

21ˆ( vvpgvqvtvUvUvvUt

rrrrrrrrrrrrrr τρρ∂∂ρρ∂

∂ρ ∇−⋅∇−⋅+⋅∇−=⋅∇++++∇⋅++⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

[ ])••()()()()221ˆ( vvpgvqvUDt

D rrrrrrrrrrτρρ ∇−⋅∇−⋅+⋅∇−=+

Dividiendo por el volumen del elemento considerado(ΔxΔyΔz) y haciendo Δx,Δy,Δz 0

GENERACIÓNSALIDAENTRADANACUMULACIÓ +−= )(

Ecuación de continuidad

( )gvρ rr ⋅

BALANCE DE ENERGÍA

7

[ ] ):()()()()(221 vvgvvpvpvDt

D rrrrrrrrrrrrrr∇+⋅⋅∇−⋅+⋅∇−⋅∇=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ττρρ

=DtUD ˆρ )•( qr

r∇− ( )vp rr

•∇−):( vrrrr ∇− τ

[ ])••()()()()221ˆ( vvpgvqvUDt

D rrrrrrrrrrτρρ ∇−⋅∇−⋅+⋅∇−=+

Ecuación energía mecánica

dTvCVdVdT

dpTpdTVT

UVdTV

UUd ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ ++−=+=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

U

pdVTdSUd −=ˆ

pTV

STTV

U −∂∂=

∂∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ˆ

TVS

VTP

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂=

∂∂

TERMODINÁMICA

DtDT

vCDtVD

VdTdpTpDt

UD ˆˆˆ

ˆ ρρρ ++−=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

)(11ˆ vDtD

DtD

DtVD rr

⋅∇=−== ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ρρρρρ

):()(ˆ

)(ˆ vvVT

pTqDtDT

vC rrrrrrrr∇−⋅∇−⋅∇−= ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ τ∂∂ρ

BALANCE DE ENERGÍA

8

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN SISTEMAS NO ISOTERMOS

Radiación

Radiación

Convección

Convección

Conducción

Conducción

1. Las características de flujo están determinadas por el efecto de flotación del fluido caliente.

2. Los perfiles de velocidad y temperatura están íntimamente relacionados.

3. El número de Nusselt depende de los números de Grashof y Prandtl.

Convección LIBRE

1. Las características de flujo estás determinadas fundamentalmente por una fuerza externa.

2. Primeramente se hallan los perfiles de velocidad, que se utilizan después para calcular los perfiles de temperatura (procedimiento general para fluidos cuyas propiedades físicas son constantes).

3. El número de Nusselt depende de los números de Reynolds y Prandtl.

Convección FORZADA

9

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN SISTEMAS NO ISOTERMOS

gpDtvD rrrrrr

ρτρ +⋅∇−∇−= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

gp rrρ=∇

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= TV

V ∂∂β 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )TTTTTV

VTT

TVTT

T−−=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂−=−

∂

∂+=−

∂∂+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛βρρρρρρρρ 11

Convección forzada

Convección natural:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+⋅∇−=−++⋅∇−−= TTgTTgggDt

vD βρτβρρτρρrrrrrrrrr

10

∂∂

∂

∂vx

vy

x y+ = 0Balances materia

vvx

vvy

vy

xx

yx x∂

∂∂∂

υ∂

∂+ =

2

2

vv

vv

x y

∞ ∞= = 0 v

vx

∞= 1Balance cantidad de movimiento

v Tx

v Ty

Ty

x y∂∂

∂∂

α∂

∂+ =

2

2Balance energía∞=∞→

==TT ,y

TsT 0,y

1TsT

Ts-T ,y

0Ts-T

Ts-T 0,y

=−

∞→

==

∞

∞

ANÁLISIS EXACTO DE LA CAPA LIMITE

11

SOLUCIÓN AL ANÁLISIS EXACTO DE LA CAPA LIMITE

f '= =−−∞ ∞

2 2vv

T TT T

x s

sη

υ υ= = =∞ ∞y v

xyx

xv yx x2 2 2

Re

dd

d v v

d y x

d T T T T

d y xy

x

x y

s s

x y

f f' ' ' ( )( / )

( / ) Re

( ) / ( )

( / ) Re.

η =

∞

=

∞

=

= = =− −

=0 0 0

02

2

2

21 328

[[ ]( )

[ ]( ) ( ) ( )sxsx

yy

s TTx

TTxyd

Tdyd

TTd−=−==

−∞∞

==

Re332.0Re4328.1)(

00

qQA

h T T k Tyy

yx s

y= = − = −∞

=( ) ∂

∂ 0h k

T TTy

kxx

s yx= −

−=

∞ =( ). Re /∂

∂ 0

1 20 332

h xk

Nuxx x= = 0 332 1 2. Re / Pr=1

12

δδ t

= Pr /1 3 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=

∂∂

∞=

3/12/1xs

0yPrRe

x332.0)TT(

yT

h kxx x= 0 332 1 2 1 3. Re Pr/ / h x

kNux

x x= = 0 332 1 2 1 3. Re Pr/ /

dA)TT(h)TT(AhQ A sxsLy ∫ −=−= ∞∞ dxx

Re)TT(PrkW332.0)TT)(WL(h L0

2/1x

s3/1

sL ∫−=− ∞∞

2/13/12/12/1

3/10

2/12/1

3/1 RePr0.664Pr664.0Pr332.0 LL

L kLv

kdxxv

kLh =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∞−∞ ∫ μ

ρμ

ρ

Nu =h L

k= 0.664L

L Pr Re/ /1 3 1 2L

SOLUCIÓN AL ANÁLISIS EXACTO DE LA CAPA LIMITE

13

ANALOGÍAS ENTRE TRANSFERENCIAS DE ENERGÍA Y MOMENTO

Ts

T∞v∞

ddy

vxv

ddy

T TsT T

y s y∞ = ∞ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 0

kμCp1Pr =⇒=00 =∞=∞

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ysyTTsTT

dydk

vxv

dydCpμ

( ) ( ) ( ) 0ys

0y sTTdyd

TTk

xvdyd

vμCp

=∞

=∞

−−

=

( ) )(0

∞−==

−− TsT

fkh

ydysTTd

( ) ( ) ( )ss

0y TTTTxv

dyd

vμCp

−−

= ∞∞

=∞ f

f

khk ( ) h=

=∞

0yxvdyd

vμCp

14

Cv v

dvxdyD

y= =

∞ ∞ =

τ

ρ

μ

ρ02 2

022

/

ANALOGÍAS ENTRE TRANSFERENCIAS DE ENERGÍA Y MOMENTO

( ) h==

∞0yxv

dyd

vμCp

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∞∞

∞∞DD CC

2ρvCp

2ρv

vCphτ

vCp 2

0 2C

vρ Cph D=

∞Pr=1

h xk

Nuxx x= = 0 332 1 2 1 3. Re Pr/ / 2/1

xxD

Re

664.0C =

32

31

31 Pr

2PrReRe

2PrReStCNuCNu DxDx ==⇒=

15

LA ECUACIÓN DE ENERGÍA EN RÉGIMEN TURBULENTO

T

t

T’T'TT +=

v

t

v’'v vv+=

ρ∂∂

∂∂

ρ∂∂

ρ∂∂

ρ$ $ $ $CTt x

C v Ty

C v Tz

C v Tp p x p y p z= − + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ++ k

∂

∂

∂

∂

∂

∂

2

2

2

2

2

2T

xT

yT

x+ +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

+ 2vx

vy

vy

vx

x x x yμ

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

2 22 ...

( )( ) ( )T''vT'vT'vTvCρx

T'T'vvCρx

TvCρx xxxxpxxpxp +++=++=

∂∂

∂∂

∂∂

( ) ( )T''v00TvCρx

T''vT'vT'vTvCρx

TvCρx xxpxxxxpxp +++=+++=

∂∂

∂∂

∂∂

Promedio con el tiempo:

16

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=Φzv

yv

xv

xv

zv

zv

yv

yv

xv

zv

yv

xv zyxzxyxxyzyx

v ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

322

222222

( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

++

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 '''kkx

TTy

TTx

TTxT

yT

xT

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Promedio con el tiempo:

( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2kk

xT

yT

xT

xT

yT

xT

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

( )0

'' 2222

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛x

vxv

xvv

xv xxxxx

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

xvv

yvv

yvv

xvv

yvv

xvv

yv

xv yyxxxxyyxxyyxy

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ''

2'''' 2222

LA ECUACIÓN DE ENERGÍA EN RÉGIMEN TURBULENTO

17

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

yvvvvvvvv

yv

yv

xv

xv

yv

xv yxyxyxyxxxyyxy

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ''''

2''' 22222

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

yvvvv

yv

yv

xv

xv

yv

xv yxyxxxyyxy

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ''00

2''' 22222

2xy

2xy

2xy

y'v

x'v

yv

xv

yv

xv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

++

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

zv

yv

xv

z'vv

y'vv

x'vv

zv

yv

xv zyxzzyyxxzyx

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

vt

vl

v Φ+Φ=Φ

LA ECUACIÓN DE ENERGÍA EN RÉGIMEN TURBULENTO

18

( )(t)v

(l)v

z(l)

y(l)

x(l)

zpypxpzpypxpp

ΦΦμz

qy

qx

q

T''vCρz

T''vCρy

T''vCρx

TvCρz

TvCρy

TvCρxt

TCρ

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

q C v T' q C v T' q C v T'xt

p x yt

p y zt

p z( ) ( ) ( )$ ' ; $ ' ; $ '= = =ρ ρ ρ

( )(t)v

(l)v

ztl)

ytl)

x(t)

z(l)

y(l)

x(l)

zpypxpp

ΦΦμz

qy

qx

q

zq

yq

xqTvCρ

zTvCρ

yTvCρ

xtTCρ

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρ μΦ μΦ$ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )CDTDt

q qpl t

vl

vt= − ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + +

r r r r

( )r r∇ ⋅ =v 0 [ ] [ ]ρ τ τ ρ

DvDt

p gl tr

r r r r r r= −∇ − ∇ ⋅ − ∇ ⋅ +( ) ( )

LA ECUACIÓN DE ENERGÍA EN RÉGIMEN TURBULENTO

19

yyLy dy

TdLTT ±+=±

DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURA A PARTIR DE LA TEORÍA DE LONGITUD DE MEZCLA

T

t

T’T'TT +=

T

y

L

T T LdTdyy L y

y± − = ± T L dT

dy'= ±

=== )T''(vCρA

Qq yp

turb

y(t)y dy

TdL'vCρdyTdL'vCρ ypyp =

α ( )t

Pr/

'

/

/

( )

( )turbt

tx

y

x

x

L dv dy

Lv

L dv dy

L dv dy= = = =

υ

α

2 2

2 1

20

DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURA A PARTIR DE LA TEORÍA DE LONGITUD DE MEZCLA

qQA

CdTdyy

yp

t= = − +ρ α α$ ( )( )

− = =τ ρυ τdvdy

x0 dv dyx

v x0

00ξ

τρυ

ξ∫ = ∫ vx ξτ ξρυ

= 0

SUBCAPA LAMINAR

dTq

CdyT

T y

psξ

ρ αξ∫ = − ∫$ 0q

QA

CdTdyy

yp= = −ρ α$ T T

q

Csy

p− =ξ

ξ

ρ α$

ρυ

τ

ρ αξξ

v Cq

T Tx p

ys

0= −

$( )

NÚCLEO TURBULENTO

hC v v

C

p x

Dρ

ξ$ ( )∞ −

=2

q

C v v T T v vy

p x xρ

τ

ρξ ξ ξ$ ( )( ) ( )∞ ∞ ∞− −

=−

02

ρ

τρ

ξ ξ( )

$( )v v

CT T

q

xp

y

∞ ∞−=

−

0

21

ρυ

τ

ρ αξξ

v Cq

T Tx p

ys

0= −

$( )

ρ

τρ

ξ ξ( )

$( )v v

CT T

q

xp

y

∞ ∞−=

−

0

ρτ

υα

ρξ0

1v v CT T

qx ps

y∞

∞+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

−$ ( )

Cv

D =∞

τ

ρ02 2/

( )hq

T Ty

s=

− ∞

v v

v C

Ch

x

D

p∞

∞

+ −=

ξυ α ρ( / )

/

$1

22

hC v

Cv vp

D

xρ υ αξ

$/

( / )( / )∞ ∞=

+ −

21 1

22

hC v

Cv vp

D

xρ υ αξ

$/

( / )( / )∞ ∞=

+ −

21 1

5== ++ yv

5)2/()/( 0 D

xx

Cv

vvv

∞

+ == ξξ

ρτ 25

)(Dx C

v

v=

∞

ξ

St CC

D

D=

+ −/

/ (Pr )2

1 5 2 1

Analogía de Prandtl

[ ]{ })1(Pr1ln1Pr2/C512/CSt

65

D

D−++−+

=

Analogía de Von KarmanSubcapa laminarCapa de transiciónNúcleo turbulento