Bacen Econometria - aula 7.pdf

8/10/2019 Bacen Econometria - aula 7.pdf

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CURSO ON-LINE – ECONOMETRIA PARA ANALISTA DO BACENPROFESSORES: ALEXANDRE DE LIMA E ANDRÉ CUNHA

www.pontodosconcursos.com.br

PONTO DOS CONCURSOS

Econometria BACEN

Aula 7

Alexandre Barbosa de Lima e André Cunha

08/01/2010

Este documento aborda os seguintes tópicos: distribuição dos estimadoresde mínimos quadrados, Teorema de Gauss-Markov e Análise de Variância.




2

Alexandre/André www.pontodosconcursos.com.br BACEN 2k9




3


Conteúdo

1. Introdução ........................................................................................................ 4

2. O modelo de RLM ........................................................................................... 4

3. Pressupostos do modelo de RLM ............................................................. 5

4. Valores esperados de β1, β2,..., βk .......................................................... 6

5. Variâncias e Covariâncias ........................................................................... 7

6. O Teorema de Gauss-Markov .................................................................... 9

7. Análise de Variância (ANOVA) .................................................................. 9

8. Exercícios de Fixação .................................................................................. 11

9. Gabarito ........................................................................................................... 15

10. Resolução dos Exercícios de Fixação ................................................... 15

Complemento de Séries Temporais .................................................................. 24




4


1. Introdução

Nesta aula estenderemos o modelo de regressão linear simples,apresentado nas Aulas 3 e 5, para o modelo de regressão linearmúltipla (RLM)

Sugerimos comparar as propriedades da RLM com as da RLS,posto que a segunda pode ser interpretada como um caso particularda primeira.

Ao final desta aula encontra-se um complemento sobre sériestemporais que preparamos, junto com uma batelada de exercíciospara fixação da matéria.

2. O modelo de RLM

O modelo de RLM é

ikik iii x x x y ε β β β β +++++= ...33221 , (1)

sendo:

• y é a variável dependente

• x2,...,xk são as variáveis independentes (ou explanatórias)• β1 o intercepto

• βt, t ≥ 2, o coeficiente da variável xt

• εi os termos de erro.

• xti a i-ésima observação da variável xt

• (y1, x21, x31,..., xk1), ... , (yn, x2n, x3n,..., xkn) são as nk-uplas ordenadas que queremos ajustar ao modelo.

A vantagem do modelo de RLM sobre o de RLS é o fato de oprimeiro permitir que a variável y dependa de mais de uma variávelindependente, como na maioria dos problemas do mundo real.

Quando k = 3 temos duas variáveis dependentes (três β`s paraestimar) e o modelo gera o gráfico de um plano. Quando k ≥ 4 não épossível representar graficamente.

Ainda que não possamos sempre representar graficamente umaequação de RLM, continuaremos a chamar β1 de intercepto. β1 é ovalor esperado de y quando todas as variáveis explanatórias são

iguais a zero, e o encontro do plano com o eixo y no caso particularquando k = 3.




5


βt representa a variação estimada de y quando xt varia umaunidade, mantendo todos os outros x`s constantes.

3. Pressupostos do modelo de RLMOs pressupostos do modelo de RLM são muito parecidos com

os do modelo de RLS. São eles:

1. o valor de y i para cada valor de ( x 2i , x 3i , ... , x ki ) é

ikik iii x x x y ε β β β β +++++= ...33221

2. não há relação linear exata entre duas ou mais variá-veis independentes

3. o valor médio do erro aleatório é

0)( =ε E

pois admitimos que

k k k x x x y E x x x y E β β β β ++++== ...][],...,,/[ 3322132

4. a variância do erro aleatório é

)var()var( 2Y == σ ε

5. qualquer par de erros aleatóriosi

ε e jε , i ≠ j, são

independentes, o que implica

0),cov(),cov( == ji ji

Y Y ε ε

6. ( x 2, x 3, ... , x k ) são variáveis não aleatórias.

7. A variável ε têm distribuição Normal

ε ~ ),0( 2σ N

Se Y tem distribuição Normal e vice-versa.

O único pressuposto novo em relação ao modelo de RLS é osegundo, de que não há relação linear exata entre duas ou mais




6


variáveis independentes. Em outras palavras, o pressuposto afirma

que não existe (λ2,..., λk) ≠ (0, ... ,0) de forma que ∑=

=k

t

tit x2

0λ .

4. Valores esperados de β1, β2, ... , βk

Para calcular os β`s da equação (1), assim como fizemos para ocaso de k = 2 (RLS), temos de minimizar a soma dos quadrados doserros residuais. Posto de outra forma,

∑ ∑∑ −−−−−=−==i i

kik iiiii

i

i x x x y y yeSQE 2

33221

22 )ˆ...ˆˆˆ(min)ˆ(minminmin β β β β

Vamos escrever n equações usando (1) e as n observações (y1,x21, x31,..., xk1), ... , (yn, x2n, x3n,..., xkn). Temos então:

⎪⎪

⎩

⎪⎨⎪⎧

+++++=

+++++=

+++++=

nknk nnn

k k

k k

x x x y

x x x y

x x x y

ε β β β β

ε β β β β

ε β β β β

...

................................................................

...

...

33221

2232322212

1131321211

(2)

Ou em notação matricial: Y = Xβ + ε (3)

Onde:

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n y

y

y

Y ...

2

1

,

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

knn

k

k

x x

x x

x x

X

...1

............

...1

...1

2

222

121

,

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

k β

β

β

β ...

2

1

, e

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nε

ε

ε

ε ...

2

1

, (4)

Mantendo a notação matricial, é facilmente verificável que

β ̂ˆ X Y = , (5)




7


onde

⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

k β

β

β

β

ˆ

...

ˆ

ˆ

ˆ 2

1

e

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n

y

y

y

Y

ˆ

...

ˆ

ˆ

ˆ 2

1

é a matriz1 dos valores estimados pelo

modelo.

Sendo Y Y ˆˆ −=ε a matriz n x 1 dos resíduos e t ε ̂ sua transposta,

nosso trabalho agora é minimizar ε ε ε ˆˆˆ1

2 t n

i

iSQE == ∑=

.

Prova-se, e não é trivial para quem não tem forte basematemática, que a matriz k x 1

)()(ˆ1

Y X X X t t −

= β ,2

(6)Onde A-1 denota a inversa da matriz A.

No caso de k = 3, o modelo ficaiiii x x y ε β β β +++= 33221 , e

aplicando (6) temos

∑ ∑∑∑∑∑∑

−−−−−

−−⋅−−−−⋅−−=

2

3322

2

33

2

22

332233

2

3322

2)))((()()(

))(())(()())((ˆ

x x x x x x x x

x x x x y y x x x x y y x x

iiii

iiiiiii β

∑ ∑∑∑∑∑∑

−−−−−

−−⋅−−−−⋅−−=

2

3322

2

33

2

22

332222

2

2233

3)))((()()(

))(())(()())((ˆ x x x x x x x x

x x x x y y x x x x y y x x

iiii

iiiiiii β

33221ˆˆˆ x x y β β β −−=

Não se preocupe em memorizar essas fórmulas. Nós ascolocamos aqui apenas ilustrativamente, pois esperamos um mínimo

de bom senso da banca examinadora em não cobrá-las. Normalmenteas estimativas dos parâmetros da equação são fornecidas nasquestões.

5. Variâncias e Covariâncias

1 Uma matriz que tenha apenas uma linha ou apenas uma coluna também recebe o nome de vetor.

2

Não acreditamos que o conhecimento da notação matricial será cobrado em prova. Entretanto, caso osdados sejam apresentados na forma matricial, acreditamos que estaremos já familiarizados com essanotação.




8


Usando a notação matricial de (4), prova-se que

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

)ˆvar(...)ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov(

...............)

ˆ,

ˆcov(...)

ˆvar()

ˆ,

ˆcov()

ˆ,

ˆcov(

)ˆ,ˆcov(...)ˆ,ˆcov()ˆvar()ˆ,ˆcov(

)ˆ,ˆcov(...)ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov()ˆvar(

)(

321

333231

232221

131211

12

k k k k

k

k

k

t

X X

β β β β β β β




σ (7)

Mais uma vez, não é trivial a demonstração de (7) e nemesperamos que se exija o cálculo das variâncias. Veremos emquestões de concursos passadas (na próxima aula) que a matriz (7),também chamada de matriz de variância-covariância, muitas vezes éfornecida pela questão.

Ilustrando para k = 3,

∑ −−=

)1()()ˆvar(

23

2

22

2

2r x x i

σ β (8)

∑ −−=

)1()()ˆvar(

23

2

33

2

3r x x

i

σ β , (9)

Onde r23, o coeficiente de correlação amostral entre x2 e x3, é tal que

∑ ∑∑

−−

−−=

2

33

2

22

3322

23

)()(

))((

x x x x

x x x xr

ii

ii (10)

Repare que nas equações (8) e (9), se fizermos r23 = 1anulamos seus denominadores. Isso mostra as consequências, para k

= 3, da violação do pressuposto 2 do modelo de RLM. Quando hárelação linear exata entre duas ou mais variáveis independentesocorre o que chamamos de multicolinearidade exata, e o processo demínimos quadrados não pode ser aplicado.

Para encerrar esse item, faltou mencionar o estimador nãotendencioso de 2σ , s2. Demonstra-se que

k nk n

SQE

k n

es

t

−=

−=

−== ∑ ε ε

σ ˆˆ

ˆ

2

22 ,

em que k é o número de parâmetros que queremos estimar, e n – kos graus de liberdade (gl) da SQE.




9


6. O Teorema de Gauss-Markov

O teorema de Gauss-Markov permanece válido para o modelode RLM. Dessa forma, os k estimadores contidos na matriz β ̂ de (5)são os de menor variância dentre todos os estimadores linearespossíveis não viesados para os elementos da matriz β. Ademonstração deste teorema mais uma vez foge ao escopo destetrabalho.

7. Análise de Variância (ANOVA)

Inicialmente, SQT, SQE, SQR e o coeficiente de determinaçãoR2 no modelo de RLM são definidos de forma idêntica à que vimos nomodelo de RLS no item 7 da Aula 3. Reproduzimos abaixo algunsresultados, por conveniência.

SQT = SQE + SQR (11)

Onde

SQT = Soma dos quadrados total = Syy =

(ou variação total)

SQE = Soma dos quadrados dos erros = (12)

(ou variação residual)

SQR = Soma dos quadrados da regressão =

(ou variação explicada)

Definimos

SQT

SQE

SQT

SQR R −== 12 (13)




10


Da definição, 0 ≤ R2 ≤ 1

Assim como no caso da RLS, na RLM quanto mais R2

seaproxima de 1, mais a variação de y é explicada pela regressão emelhor é o ajuste à equação. De forma oposta, quanto mais R2 seaproxima de 0, menos a variação de y é explicada pela regressão epior é o ajuste à equação.

Entretanto, uma característica indesejável de R2 é que ele podeser aumentado artificialmente adicionando-se mais variáveis aomodelo, mesmo que essa adição não seja suportada pela teoriaeconômica. Quando se acrescenta uma variável explanatória aomodelo, SQE diminui ou permanece igual, desta forma o novo

coeficiente de determinação é no mínimo igual ao do modelo semessa variável.

Para resolver esse problema definimos agora o R2 ajustado, ou2

R , da seguinte forma:

)1/(

)/(12

−−

−=nSQT

k nSQE R (14)

A fórmula de 2 R é muito parecida com a de R2, com a diferença

que em 2 R dividimos as somas dos quadrados por seus respectivosgraus de liberdade, n – k e n – 1.

Prova-se facilmente que)(

)1()1(1 22

k n

n R R

−−

−−= (15)

Nota 1: 2 R não mais representa o percentual da variação

explicada. Esse papel permanece com R2.

Nota 2: De (14) ou de (15), segue que, se k > 1, então2

R < R2.

Nota 3:2

R pode ser negativo. Este resultado corrobora a Nota1.

Podemos montar agora tabela de ANOVA semelhante à quefizemos na Aula 5, e que é o ponto de partida para testes dehipóteses que estudaremos na próxima aula.

Retornemos aos graus de liberdade

a) SQR tem k - 1 graus de liberdade (número de variáveisexplanatórias do modelo)

b) SQE tem n - k graus de liberdade (número de observaçõesmenos o número de parâmetros)




11


c) SQT tem n - 1 graus de liberdade (número de observaçõesmenos 1 porque tivemos de calcular a média)

Vale ainda a seguinte relação:

glSQT = glSQR + glSQE

Tabela de Análise de Variância

Fonte davariação

gl Soma Média daSoma

Estatística F

Regressão k - 1 SQR SQR/(k-1)

)/(

)1/(

k nSQE

k SQR

−

−

Erros residuais n - k SQE SQE/(n-k)Total n - 1 SQT

A estatística F constante da tabela será usada, como veremos,para testar a hipótese de que nenhuma variável explanatória ajuda aexplicar a variação total SQT ou Syy. De forma equivalente, testar ahipótese conjunta β2= β3= ... = βk=0.

8. Exercícios de Fixação

Considere as seguintes informações para resolver as questões denúmeros 1 e 2.

Uma das principais aplicações da Econometria tem sido suautilização na obtenção de modelos que explicam a procura deprodutos nos diversos setores da Economia. Por exemplo, em um

determinado país, adotou-se o modelo zi = α + βxi + γyi + εi paraavaliar a demanda per capita de um determinado produto, com baseem observações nos últimos dez anos.

Dados:

• zi = ln(Qi), em que ln é o logaritmo neperiano (ln(e) = 1)e Qi um índice representando a demanda per capita doproduto no ano i;

• xi = ln(Pi), em que Pi é o índice de preço do produto noano i;

• yi = ln(Ri), em que Ri é a renda per capita do país no anoi;




12


• α, β e γ são parâmetros desconhecidos;

• εi é o erro aleatório com as respectivas hipótesesconsideradas para o modelo de regressão linear múltipla.

Utilizando-se o método dos mínimos quadrados, obteve-se aequação do plano:

iii y x z 76,012,04ˆ +−=

Dados obtidos do quadro de análise de variância:

Soma dos quadrados referente à regressão: 0,6160

Variação residual: 0,0140

1. (Analista BACEN – 2006/FCC) Considerando a equação do

plano obtida pelo método dos mínimos quadrados para esse país, ovalor da previsão em um determinado ano do índice de demanda percapita Q do produto analisado em função do índice de preço P e umarenda per capita R (PxQ ≠ 0) pode ser obtido pela fórmula:

A)76,012,0

4

RP

eQ

⋅=

B)76,012,0

4−− ⋅

= RP

Q

C) 76,012,0

4

−⋅= RPeQ

D)76,012,0

4ln

RPQ

⋅=

E)76,012,0

4ln

RPQ

⋅=

−

2. (Analista BACEN – 2006/FCC) Com relação à equação do planoajustado pelo método dos mínimos quadrados e considerando oquadro de análise de variância correspondente, é correto afirmarque:

A) O coeficiente de determinação (R2) da regressão linear múltipla éinferior a 97%.

B) Para o teste de hipótese de existência de regressão, tem-se que onúmero de graus de liberdade a considerar referente à variaçãoresidual é 9.

C) Como na regressão linear simples, o coeficiente de determinação(R2) da regressão linear múltipla é igual ao quociente da divisão davariação residual pela variação explicada pela regressão.




13


D) A relação entre o número de graus de liberdade referente àvariação residual e o número de graus de liberdade referente àvariação explicada pela regressão é 3,5.

E) O valor da estatística F (F calculado) utilizado para a comparação

com o F tabelado (variável F de Snedecor com m graus de liberdadeno numerador e n graus de liberdade no denominador, ao nível designificância α) é igual a 44.

Julgue as questões 3 e 4, considerando o modelo de regressãolinear múltipla para dados seccionais

.,,1,22110 niu x x x y ikik iii KL =+++++= β β β β

3. (ANPEC – 2003) Para que os estimadores de mínimos quadradossejam os melhores estimadores lineares não-tendenciosos énecessário que os erros sejam normalmente distribuídos.

4. (ANPEC – 2003) A inclusão de uma nova variável explicativa nomodelo reduzirá o coeficiente de determinação R2.

Julgue as questões 5 e 6, considerando o modelo de regressãomúltipla

u x x x y ++++= 3322110 β β β β ,

cujos parâmetros tenham sido estimados pelo método dos mínimosquadrados ordinários.

5. (ANPEC – 2008) Se o R2 = 1, então y é uma combinação linearde x1, x2 e x3.

6. (ANPEC – 2008) Se o modelo satisfaz as hipóteses do teoremade Gauss-Markov, então 1

ˆ β é o estimador linear não viesado de β1

com menor variância possível.

Considerando o modelo de regressão múltipla

jkjk j j j

X X X Y ε β β β β +++++= K22110

julgue as afirmações das questões 7 a 10.




14


7. (ANPEC – 1993) A análise de variância da regressão testa setodos os coeficientes estimados da regressão ( $ β

j) são significantes

simultaneamente.

8. (ANPEC – 1993) O vetor de soluções para os parâmetros β j é

expresso por $ ( ' ) ' β = − X X X Y

1 .

9. (ANPEC – 1993) Para estimar os parâmetros β j da regressão é

necessário que as variáveis explicativas sejam independentes entresi.

10. (ANPEC – 1993) O coeficiente de determinação múltiplacorrigido para graus de liberdade ( R

2 ) pode ser negativo.

Utilize o seguinte modelo de regressão linear múltipla na formamatricial:

Y X = +. ,onde as dimensões das matrizes e dos vetores envolvidos são: Y =>(n × 1); X => (n × k ); => (k × 1); e => (n × 1).

Então, julgue as seguintes afirmações:

11. (ANPEC – 1993) Um dos pressupostos básicos do modelo é: Oselementos da matriz X são estocásticos com valores fixados emamostras repetidas.

12. (ANPEC – 1993) Outro pressuposto básico é: nenhuma dasvariáveis independentes deve estar perfeitamente correlacionada comqualquer outra variável independente ou com qualquer combinação

linear de outras variáveis independentes.13. (ANPEC – 1993) Quando testamos a existência do modelo deregressão, fazemos as seguintes hipóteses sobre os coeficientes β daregressão (admitindo que β 1 0≠ , ou seja, a regressão não passa pelaorigem):

Hipótese nula => H0: β β β 2 3 0= = = =...k

Hipótese alternativa => H1: Todos os β

i ≠ 0 , para i = 2,

3,…, k.

14. (ANPEC – 1993) Os intervalos de confiança dos coeficientes daregressão podem ser calculados da seguinte maneira:




15


( $ . ; $ . )$ $

β β β β i n k i n k

t s t si i

− +− −

onde $ β i = estimativa do coeficiente β

i; t

n k − = abcissa de umadistribuição “t ” com (n - k ) graus de liberdade, fixado o grau de

confiança de intervalo; e si

$ β = erro padrão estimado de $ β

i .

9. Gabarito

1 – C

2 – D

3 – FALSO

4 – FALSO

5 – VERDADEIRO

6 – VERDADEIRO

7 – FALSO

8 – VERDADEIRO

9 – FALSO10 – VERDADEIRO

11 – FALSO

12 – VERDADEIRO

13 – FALSO

14 – VERDADEIRO

10. Resolução dos Exercícios de Fixação

Considere as seguintes informações para resolver as questõesde números 1 e 2.

Uma das principais aplicações da Econometria tem sido suautilização na obtenção de modelos que explicam a procura deprodutos nos diversos setores da Economia. Por exemplo, em umdeterminado país, adotou-se o modelo zi = α + βxi + γyi + εi para




16


avaliar a demanda per capita de um determinado produto, com baseem observações nos últimos dez anos.

Dados:

• zi = ln(Qi), em que ln é o logaritmo neperiano (ln(e) = 1)e Qi um índice representando a demanda per capita doproduto no ano i;

• xi = ln(Pi), em que Pi é o índice de preço do produto noano i;

• yi = ln(Ri), em que Ri é a renda per capita do país no anoi;

• α, β e γ são parâmetros desconhecidos;

• εi é o erro aleatório com as respectivas hipóteses

consideradas para o modelo de regressão linear múltipla.Utilizando-se o método dos mínimos quadrados, obteve-se aequação do plano:

iii y x z 76,012,04ˆ +−=

Dados obtidos do quadro de análise de variância:

Soma dos quadrados referente à regressão: 0,6160

Variação residual: 0,0140

1. (Analista BACEN – 2006/FCC) Considerando a equação doplano obtida pelo método dos mínimos quadrados para esse país, ovalor da previsão em um determinado ano do índice de demanda percapita Q do produto analisado em função do índice de preço P e umarenda per capita R (PxQ ≠ 0) pode ser obtido pela fórmula:

A)76,012,0

4

RP

eQ

⋅=

B)76,012,0

4

−− ⋅=

RP

Q

C)76,012,0

4

−⋅=

RP

eQ

D)76,012,0

4ln

RPQ

⋅=

E)76,012,0

4ln

RPQ

⋅=

−

Resolução




17


y x z 76,012,04 +−=

Substituindo com as informações fornecidas:

)ln(76,0)ln(12,04)ln( RPQ +−= 76,012,0 lnln4)ln(76,0)ln(12,04)ln(76,0)ln(12,04 RP RP RP

eeeeeeeQ ⋅⋅=⋅⋅== −−+−

Usando a relação ,)ln( xe

x =

76,012,0

476,012,04

−−

⋅=⋅⋅=

RP

e RPeQ

GABARITO: C

2. (Analista BACEN – 2006/FCC) Com relação à equação do planoajustado pelo método dos mínimos quadrados e considerando oquadro de análise de variância correspondente, é correto afirmarque:

A) O coeficiente de determinação (R2) da regressão linear múltipla éinferior a 97%.

B) Para o teste de hipótese de existência de regressão, tem-se que onúmero de graus de liberdade a considerar referente à variaçãoresidual é 9.

C) Como na regressão linear simples, o coeficiente de determinação(R2) da regressão linear múltipla é igual ao quociente da divisão davariação residual pela variação explicada pela regressão.

D) A relação entre o número de graus de liberdade referente àvariação residual e o número de graus de liberdade referente àvariação explicada pela regressão é 3,5.

E) O valor da estatística F (F calculado) utilizado para a comparaçãocom o F tabelado (variável F de Snedecor com m graus de liberdadeno numerador e n graus de liberdade no denominador, ao nível designificância α) é igual a 44.

Resolução

Há 10 observações e 3 parâmetros estimados.

Logo, glSQE = n – k = 10 – 3 = 7

Há 2 variáveis independentes.




18


Logo, glSQR = k – 1 = 3 – 1 = 2

Portanto, 5,3

2

7==

SQR

SQE

gl

gl

GABARITO: D

Julgue as questões 3 e 4, considerando o modelo de regressãolinear múltipla para dados seccionais

.,,1,22110 niu x x x y ikik iii KL =+++++= β β β β

3. (ANPEC – 2003) Para que os estimadores de mínimos quadradossejam os melhores estimadores lineares não-tendenciosos énecessário que os erros sejam normalmente distribuídos.

Resolução

Antes de resolver essa questão, um alerta: Nós baseamos todasas fórmulas no modelo dado na equação (1), com k parâmetros e k-1variáveis independentes. Na equação deste exercício, e isso podeacontecer na prova do BACEN, o modelo conta com k+1 parâmetrose k variáveis independentes. Essa diferença não tem importâncianeste exercício, mas com certeza teria em um no qual teríamos decalcular gl ou estatísticas F.

Vamos à questão agora.

Assim como no modelo de RLS, no modelo de RLM, para que osestimadores de mínimos quadrados sejam BLUE, a hipótese denormalidade dos erros é a única não necessária dentre as 7enunciadas no item 3.

GABARITO: FALSO

4. (ANPEC – 2003) A inclusão de uma nova variável explicativa nomodelo reduzirá o coeficiente de determinação R2.




19


Resolução

Vimos que ocorre exatamente o contrário: A inclusão de umanova variável explicativa no modelo não reduzirá o coeficiente dedeterminação R2, podendo aumentá-lo ou não alterá-lo.

GABARITO: FALSO

Julgue as questões 5 e 6, considerando o modelo de regressãomúltipla

u x x x y ++++= 3322110 β β β β ,cujos parâmetros tenham sido estimados pelo método dos mínimosquadrados ordinários.

5. (ANPEC – 2008) Se o R2 = 1, então y é uma combinação linearde x1, x2 e x3.

Resolução

Se R2 = 1, então 100% da variação de y é explicada pelomodelo. Isso só ocorre se y for combinação linear das variáveisindependentes.

GABARITO: VERDADEIRO

6. (ANPEC – 2008) Se o modelo satisfaz as hipóteses do teorema

de Gauss-Markov, então 1ˆ β é o estimador linear não viesado de β1

com menor variância possível.

Resolução

A afirmação é o próprio enunciado do teorema.





20


Considerando o modelo de regressão múltipla

,22110 jkjk j j j X X X Y ε β β β β +++++= K

julgue as afirmações das questões 7 a 10.

7. (ANPEC – 1993) A análise de variância da regressão testa setodos os coeficientes estimados da regressão ( $ β

j) são significantes

simultaneamente.

Resolução

A estatística F dada na tabela de ANOVA serve para testar a hipóteseconjunta H0: β2= β3= ... = βk=0. A hipótese alternativa é a de quepelo menos um (não todos) βi (que não o intercepto) seja diferentede 0, ou seja, significante.

GABARITO: FALSO

8. (ANPEC – 1993) O vetor de soluções para os parâmetros β j é

expresso por $ ( ' ) ' β = − X X X Y

1 .

Resolução

É a equação (6).


9. (ANPEC – 1993) Para estimar os parâmetros β j da regressão é

necessário que as variáveis explicativas sejam independentes entresi.

Resolução

As variáveis explicativas podem estar correlacionadas. O que opressuposto 2 do modelo de RLM exige é que não haja relação linear

exata entre duas ou mais variáveis independentes.




21


GABARITO: FALSO

10. (ANPEC – 1993) O coeficiente de determinação múltiplacorrigido para graus de liberdade ( R

2 ) pode ser negativo.

Resolução

Ver Nota 3 do item 7.


Utilize o seguinte modelo de regressão linear múltipla na formamatricial:

Y X = +. ,onde as dimensões das matrizes e dos vetores envolvidos são: Y =>(n × 1); X => (n × k ); => (k × 1); e => (n × 1).

Então, julgue as seguintes afirmações:

11. (ANPEC – 1993) Um dos pressupostos básicos do modelo é: Oselementos da matriz X são estocásticos com valores fixados emamostras repetidas.

Resolução

Pressuposto 6: ( x 2, x 3, ... , x k ) são variáveis não aleatórias.

Portanto, não estocásticas.

GABARITO: FALSO

12. (ANPEC – 1993) Outro pressuposto básico é: nenhuma dasvariáveis independentes deve estar perfeitamente correlacionada comqualquer outra variável independente ou com qualquer combinaçãolinear de outras variáveis independentes.

Resolução

Ver resolução da questão 9.





22


13. (ANPEC – 1993) Quando testamos a existência do modelo deregressão, fazemos as seguintes hipóteses sobre os coeficientes β da

regressão (admitindo que β 1 0≠ , ou seja, a regressão não passa pelaorigem):

Hipótese nula => H0: β β β 2 3 0= = = =...k

Hipótese alternativa => H1: Todos os β

i ≠ 0 , para i = 2,

3,…, k.

Resolução

Testar a existência do modelo é testar se pelo menos uma variávelindependente é relevante. Em outras palavras, se pelo menos um βi

(que não o intercepto) é diferente de 0, não todos.

GABARITO: FALSO

14. (ANPEC – 1993) Os intervalos de confiança dos coeficientes daregressão podem ser calculados da seguinte maneira:

( $ . ; $ . )$ $

β β β β i n k i n k

t s t si i

− +− −

onde $ β i = estimativa do coeficiente β

i; t

n k − = abcissa de umadistribuição “t ” com (n - k ) graus de liberdade, fixado o grau de

confiança de intervalo; e si

$ β = erro padrão estimado de $ β

i .

Resolução

Questão “antecipada” da Aula 8.Se os pressupostos do modelo se verificam, inclusive o da

normalidade dos erros, então prova-se que

i

st ii

k n

β

β β

ˆ

ˆ −=− segue distribuição t com (n – k) graus de liberdade,

onde

i

s β ˆ é o desvio padrão amostral do estimador

i β ̂ de

i β .




23


Seguindo o mesmo raciocínio do item 3 da Aula 5, concluímosque a afirmação é verdadeira.





24


PONTO DOS CONCURSOS

Econometria BACEN

Complemento de Séries Temporais

Alexandre Barbosa de Lima e André Cunha

08/01/2010

Este documento aborda o seguinte tópico: modelagem de sériestemporais: construção do modelo e região de admissibilidade.




25


Conteúdo

1. Modelagem de Séries Temporais ............................................................... 261.1. Construção do Modelo ......................................................................... 26

1.2. Estacionariedade e Invertibilidade.................................................. 29

2. Exercícios Extras .............................................................................................. 31

3. GABARITO ........................................................................................................... 34

4. Resolução dos Exercícios Extras ................................................................ 35




26


1. Modelagem de Séries Temporais

A modelagem de uma série temporal t x consiste na estimação de uma função invertível (.)h , denominada modelo de t x , tal que

(1) ,...),,,,(..., 2112 ++−−= t t t t t t h x ε ε ε ε ε

em que IIDt ~ε (seqüência independente e identicamente distribuída)

e

(2) t t t t t t

x x x x xg ε =++−−

,...),,,,(...,2112

em que 1(.)(.) −= hg .

As Eqs. (1) e (2) estão ilustradas na Fig. 1.

O processo t ε é a inovação no instante t e representa a novainformação sobre a série que é obtida no instante t .

Na prática, o modelo ajustado é causal, ou seja,

(3) ,...),,( 21 −−= t t t t h x ε ε ε .

1 . 1 . Con s t r u ção d o M o d e l o

A metodologia de construção de um modelo é baseada nociclo iterativo ilustrado pela Fig. 2 [BOX94], [MOR04]:

Figura 1: modelagem de uma série temporal.




27


(a) uma classe geral de modelos é considerada para a análise(especificação);

(b) há a identificação de um modelo, com base em critérios

estatísticos;(c) segue-se a fase de estimação, na qual os parâmetros do

modelo são obtidos. Na prática, é importante que omodelo seja parcimonioso. Diz-se que um modelo éparcimonioso quando o mesmo utiliza poucos parâmetros.A utilização de um número excessivo de parâmetros éindesejável porque o grau de incerteza no procedimentode inferência estatística aumenta com o aumento donúmero de parâmetros (Princípio da Parcimônia).

(d) finalmente, há o diagnóstico do modelo ajustado por

meio de uma análise estatística da série t ε ̂ de resíduos

( t ε ̂ é compatível com um ruído branco?).

Postular a classe

geral

do modelo

Identificação

do modelo

Estimação dos

parâmetros

Diagnóstico

Não Sim




28


O processo t x de (3) é linear quando corresponde à convolução

de um processo IIDt ~ε com uma seqüência determinística t x

(4) ∑∞

=−=∗=

0k

k t k t t t hh x ε ε

...2211 +++= −− t t t hh ε ε ε

t Bh Bh ε ...)1( 2

21 +++=

t B H ε )(= .

em que o símbolo ∗ denota a operação de convolução e h0=1. A Eq.(4) também é conhecida como representação de média móvel deordem infinita (MA(∞)) [BRO96].

A forma geral ARMA( p,q) de (4) é

(5) ∑∑=

−=

− −+=q

k

k t k

p

k

k t k t t x x11

)( ε θ ε φ .

A seqüência ht é denominada resposta impulsiva do modeloARMA( p,q) (5).

Numa forma mais compacta, tem-se que

(6) t t B x B ε θ φ )()( =

em que )( Bφ é o operador auto-regressivo de ordem p

p

p B B B B φ φ φ φ −−−= ...1)( 2

21

e )( Bθ denota o operador de média móvel de ordem q

....1)( 2

21

q

q B B B B θ θ θ θ −−−=

O leitor mais atento deve ter percebido que o processo deinovação }{

t ε foi definido simplesmente como uma seqüência IID.

Fizemos assim por que as definições apresentadas até o momentosão bastante gerais: elas englobam, por exemplo, a classe das séries

Figura 2: ciclo iterativo Box-Jenkins.




29


ARMA( p,q) de variância infinita3. Daqui para frente, restringiremos}{ t ε à classe dos processos IID com variância finita, e isto quer dizer

que a inovação t ε passa a ser do tipo t

ε ~RB(0,σ 2) (ruído branco demédia zero e variância σ 2)

1 . 2 . Es t a c io n a r i e d a d e e I n v e r t i b i l id a d e

Demonstra-se que um modelo ARMA(p ,q ) é estacionário einvertível se todas as raízes de )( Bφ e )( Bθ estão fora do círculounitário (região de admissibilidade) [MOR04], [MOR08]

(7) ⎩⎨⎧

>=

>=

1||,0)(

1||,0)(

B B

B B

θ

φ

Sendo assim, a região de admissibilidade de um modeloARMA(1,1) é dada por

(8) ⎩⎨⎧

<<−

<<−

11

11

θ

φ

Como os modelos estimados na prática são invertíveis (ou seja,a condição (7) é válida), pode-se definir o operador inverso

(9) )()( 1 B H BG −=

e reescrever (4) na forma auto-regressiva de ordem infinita (AR(∞))

(10) t t t t xg xg x ε +++= −− ...2211

t

k

k t k xg ε += ∑∞

=−

1

Portanto, x t pode ser interpretado como uma soma ponderada deseus valores passados x t-1, x t-2, ..., mais uma inovação ε t. O modeloequivalente AR(∞) sugere que pode-se calcular a probabilidade deum valor futuro x t+k estar entre dois limites especificados, ou seja,(9) afirma que é possível fazer inferências ou previsões devalores futuros da série.

3 Vide SAMORODNITSKY, G; TAQQU, M. S. Stable non-Gaussian random processes.London: Chapman & Hall, 1994.




30


Bibliografia

[BOX94] BOX, G. E. P.; JENKINS, G. M.; REINSEL, G. C. Time Series Analysis: Forecasting and Control . 3rd ed. Prentice Hall, 1994.

[BRO96] BROCKWELL, P. J.; DAVIS, R. A. An Introduction to TimeSeries and Forecasting. Springer-Verlag, 1996.

[BUE08] BUENO, Rodrigo de Losso da Silveira. Econometria de SériesTemporais. São Paulo: Cengage Learning, 2008.

[GUJ00] GUJARATI, Damodar N. Econometria Básica, 3ª Edição. SãoPaulo: Pearson Makron Books, 2000.

[MOR04] MORETTIN, Pedro A.; TOLOI, Clélia M. C. Análise de SériesTemporais. São Paulo: Editora Edgard Blücher, 2004.

[MOR08] MORETTIN, Pedro A. Econometria Financeira – Um Cursoem Séries Temporais Financeiras. São Paulo: Editora Blücher, 2008.

[PER93] PERCIVAL, Donald B.; Walden, Andrew T. Spectral Analysisfor Physical Applications. Cambridge, 1993.

[SHU06] SHUMWAY, Robert H.; STOFFER, David S. Time Series Analysis and Its Applications with R Examples. Springer, 2006.

[TSA05] TSAY, Ruey S. Analysis of Financial Time Series. 2nd ed.Wiley-Interscience, 2005.

[ZIV03] ZIVOT, Eric; WANG, Jiahui. Modeling Financial Time Serieswith S-PLUS. Springer, 2003.




31


2. Exercícios Extras

Considere que o número de pousos e decolagens em um aeroportosiga um processo autorregressivo na forma

1121 5,05,05,1 −−− −+−= t t t t aa Z Z Z , em quet Z representa o número

observado de pousos e decolagens no tempo t ( ,...,3,2,1,0=t ) e t a representa um ruído branco com média igual a zero e variância iguala 8. Com base nessas informações e considerando que 1−−=

t t t Z Z Y ,

julgue os próximos itens.4 (Especialista em Regulação de AviaçãoCivil – Área 4 – ANAC/CESPE/2009)

1. A série temporal }{ t Z não é estacionária.

2. A série diferenciada }{ t Y segue um ruído branco.

3. A variância do processo }{t Y é igual 8.

4. A autocorrelação entre t Y e 1−t Y é superior a 0,01.

5. A autocorrelação entret Y e 2−t Y é igual a zero.

6. A variância do passeio aleatório ∑=

=t

k

k t Y S 1

é igual a3

32t .

7. (MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006) Seja Z = {Z(t), t ∈ T} um processo estocástico, considere asseguintes condições

(i) E{Z(t)} = µ(t) = µ = constante, para todo t ∈ T;

(ii) E{Z(t)} = 0, para todo t ∈ T;

(iii) E{Z2(t)} < ∞, para todo t ∈ T;(iv) E{Z2(t)} = t, para todo t ∈ T;

(v) Cov{Z(t1), Z(t2)} é um função de |t1-t2|

Dizemos que Z é estacionário de segunda ordem ou fracamenteestacionário se e somente se estiverem satisfeitas as condições, alémda (v)

A) (i) e (ii)

4 São 6 itens.




32


B) (ii) e (iv)

C) (i) e (iii)

D) (i) e (iv)

E) (ii) e (iii)

8. (MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006) De um modo geral, a análise espectral de séries temporaisestacionárias decompõe a série em

A) componentes senoidais com coeficientes aleatórioscorrelacionados.

B) um componente de tendência e uma componente sazonal.

C) uma componente polinomial, uma componente cíclica e uma

componente sazonal.D) componentes senoidais com coeficientes aleatórios correlacionadose componentes cossenoidais com coeficientes aleatórios nãocorrelacionados.

E) componentes senoidais com coeficientes aleatórios nãocorrelacionados.

9. (MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006) Seja Z = {Zt, t ∈ T} um processo AR(1) dado por Zt = φZt-1 + at, onde

at é o ruído branco com média zero e variância um. Seja ρ j, j ≥ 1 afunção de autocorrelação do processo Zt. É correto afirmar:

A) ρ1=φ e ρ j=0, se j≥2

B) ρ j=φ j, j≥1

C) ρ j=1/(1-φ j), j≥1

D) ρ j=φ j /(1-φ j), j≥1

E) ρ j=1/φ j, j≥1

10.(MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006) Para o processo ARIMA(1,d,1), onde φ é o coeficiente autoregressivoe θ é o coeficiente de médias móveis, é correto afirmar:

A) a função de autocorrelação parcial só é diferente de zero no lag 1

B) a função de autocorrelação só é diferente de zero nos lags 1 e 2.

C) Se d=1, o processo é estacionário.

D) A região de admissibilidade é dada por |φ|<1 e |θ|<1

E) A função de autocorrelação é dominada por senóides amortecidas.




33


(Exame Nacional ANPEC/Prova de Estatística/2009) Julgue ositens a seguir.

11. A estatística de Dickey-Fuller para testar a presença de raiz

unitária em séries temporais possui sempre distribuição Normal.12. O teste t em regressões envolvendo variáveis não-estacionáriasnão será válido caso a regressão seja espúria.

13. No processo AR(1), ,110 t t t eY y ++= −φ φ , em que |φ1|<1 e t e é umruído branco de média nula e variância σ2, a média de y t será igual aφ0.

14. O processo MA(1), ,1−+= t t t ee y θ , em que

t e é um ruído branco de

média nula e variância constante, será estacionário mesmo que1|| >θ .

15. (Adaptada) Seja a função de autocorrelação do processo AR(1)definido no item (13) dada por ρ j . É correto afirmar que j

j 1φ ρ = .




34


3. GABARITO

1 – CERTO

2 – CERTO

3 – CERTO

4 – ERRADO

5 – CERTO

6 – ERRADO

7 – C8 – E

9 – B

10 - D

11- FALSO

12 – VERDADEIRO

13 – FALSO

14 – VERDADEIRO

15 - VERDADEIRO




35


4. Resolução dos Exercícios Extras

Considere que o número de pousos e decolagens em um aeroportosiga um processo autorregressivo na forma

1121 5,05,05,1 −−− −+−= t t t t aa Z Z Z , em que

t Z representa o númeroobservado de pousos e decolagens no tempo t ( ,...,3,2,1,0=t ) e t a representa um ruído branco com média igual a zero e variância iguala 8. Com base nessas informações e considerando que 1−−=

t t t Z Z Y ,

julgue os próximos itens5 (Especialista em Regulação de AviaçãoCivil – Área 4 – ANAC/CESPE/2009)

Comentários preliminaresPrimeiramente, é preciso notar que há um erro tipográfico

no enunciado, uma vez que aparece o termo 1a em vez de t a nolado direito da equação que define o modelo t Z . Lembre que umprocesso ARMA( p,q) t X de média nula é definido pela equação dediferenças6

qt qt t pt pt t X X X −−−− −−−+++= ε θ ε θ ε φ φ ...... 1111

em que pφ φ φ ,...,, 21 denotam coeficientes auto-regressivos, q

θ θ θ ,...,, 21

representam parâmetros de médias móveis e t ε ~RB(0,σ 2) (ruído

branco de média zero e variância σ 2). Logo, não faz sentido definir oprocesso da forma como está no enunciado. Por este motivo, os seisitens que dependem deste enunciado deveriam ter sido anulados(não foram, até onde é do nosso conhecimento).

Não obstante, prossigamos com a questão, porque ela tem valordidático.

Nós já aprendemos que o operador auto-regressivo de ordem p édado por

p

p B B B B φ φ φ φ −−−= ...1)( 2

21

e que o operador de médias móveis de ordem q é definido como

....1)( 2

21

q

q B B B B θ θ θ θ −−−=

5 São 6 itens.6 Aula 4.




36


Deste modo, o modelo ARMA( p,q)

qt qt t pt pt t X X X −−−− −−−+++= ε θ ε θ ε φ φ ...... 1111

pode ser escrito na forma compacta

t t B X B ε θ φ )()( = .

Observação: a definição

t t B X B ε θ φ )()( =

requer que os polinômios )( Bφ e )( Bθ não tenham fatores comuns

[SHU06, pág. 95]. Explicaremos o que isto quer dizer por meio doExemplo A abaixo.

Exemplo A. Considere um ruído brancot t X ε = . Também podemos

defini-lo na forma equivalente 11 5,05,0 −− = t t X ε (para tal, basta i) aplicar

o operador atraso unitário nos dois lados det t X ε = e ii) multiplicar os

dois membros por 0,5). Subtraindo as duas representações obtemos

,5,05,0 11 −− −=− t t t t X X ε ε

ou

,5,05,0 11 −− −+= t t t t X X ε ε

que tem a aparência (enganosa!) de um processo ARMA(1,1). É claroque

t X continua a ser um ruído branco, poist t X ε = é a solução de

11 5,05,0 −− −+= t t t t X X ε ε .

Diz-se que 11 5,05,0 −− −+= t t t t X X ε ε é uma representação sobre-parametrizada ou com parâmetros redundantes do ruído brancot t X ε = . Desta forma, demonstra-se que a sobre-parametrização

“mascara” a característica de ruído branco de X t .

A forma compacta do modelo redundante é

.)5,01()5,01(t t B X B ε −=−

Se aplicarmos o operador 11 )5,01()( −− −= B Bφ em ambos os lados do

modelo acima obtemos




37


t t t t B B X B B X ε ε =−−=−−= −− )5,01()5,01()5,01()5,01( 11

que é o modelo original.

Observe que o modelo t t B X B ε )5,01()5,01( −=− é redundante porque ospolinômios )( Bφ e )( Bθ têm o fator comum )5,01( B− , o qual, diga-sede passagem, é o único fator presente. Se descartarmos o fatorcomum, tem-se que )( Bφ = )( Bθ = 1 e deduzimos que o modelorepresenta um ruído branco.

A consideração da sobre-parametrização é crucial para a estimaçãode modelos ARMA. O exemplo acima mostrou que é possível ajustarum modelo ARMA(1,1) para dados provenientes de um ruído branco esupor que as estimativas dos parâmetros são significativas. Se nãoestivermos cientes do fenômeno da redundância, estamos sujeitos aafirmar que os dados são correlacionados quando na verdade nãosão.

Assumiremos, para os 6 itens que se seguem, que o número depousos e decolagens Z t seja modelado por

121 5,05,05,1 −−− −+−= t t t t t aa Z Z Z

De acordo com os dados, tem-se quet a ~RB(0,8).

1. A série temporal }{t Z não é estacionária.

Resolução

121 5,05,05,1 −−− −+−= t t t t t aa Z Z Z

121 5,05,05,1 −−− −=+− t t t t t aa Z Z Z

t t t t t aa Z Z Z +−=+− −−− 112 5,05,15,0

t t

a B Z B B )15,0()15,15,0( 2 −−=+−

)2()15,0()2()15,15,0( 2 ×−−=×+− t t a B Z B B

t t a B Z B B )2()20,3( 2 −−=+−

Fatorando o polinômio do lado esquerdo da última equação acima,temos que

t t a B Z B B )2()2)(1( −−=−−

e, assim, constatamos a presença do fator comum )2( − B nos doislados da equação. Simplificando o modelo redundante, obtemos




38


t t a Z B −=− )1(

t t t a Z Z −=−−1

t t t a Z Z += −1 ⇒ passeio aleatório.

O passeio aleatório é não estacionário porque possui uma raizunitária. Logo, o item está CORRETO (supondo-se que

121 5,05,05,1 −−− −+−= t t t t t aa Z Z Z ).

GABARITO: CERTO

2. A série diferenciada }{t Y segue um ruído branco.

Resolução

t t t a Z Z += −1 ⇒ t t t a Z Z =− −1 ⇒ t t aY = . Logo }{ t Y segue um ruído branco eo item está CERTO (supondo-se que 121 5,05,05,1 −−− −+−=

t t t t t aa Z Z Z ).Observe que o “gabarito oficial definitivo” do CESPE é ERRADO (tudoleva a crer que o examinador “enrolou-se” com a sua própriaquestão, tendo classificado }{

t Y como um pseudo-ARMA(1,1)!).

GABARITO: CERTO

3. A variância do processo }{ t Y é igual 8.

Resolução

t t aY = . Logo 8]var[]var[ == t t Y a ⇒ CERTO. Observe que o “gabarito

oficial definitivo” do CESPE é ERRADO.

Suponha que você não tivesse identificado que o modelo éredundante. Como você calcularia a variância 0γ do pseudo-processo

ARMA(1,1)? Indo mais longe, como você determinaria aautocovariância de lag 1 ( 1γ ) do pseudo-processo ARMA(1,1)?

Cálculo de 0γ e 1γ de uma ARMA(1,1):

Seja o modelo ARMA(1,1)

11 −− −+= t t t t aaY Y θ φ .

A autocovariância de lag 0, denotada por ][]var[0 t t t Y Y E Y ==γ (pois a

média de Y t é nula) é dada por




39


][ 110 t t t t t t Y aY aY Y E −− −+= θ φ γ

][][][ 110 t t t t t t Y a E Y a E Y Y E −− −+= θ φ γ

][][][ 110 t t t t t t Y a E Y a E Y Y E −− −+= θ φ γ

Observe que 11 ][ φγ φ =− t t Y Y E . Logo,

][][ 110 t t t t Y a E Y a E −−+= θ φγ γ . Note que é preciso calcular as esperanças][

t t Y a E e ][ 1 t t Y a E −θ (tratam-se de covariâncias cruzadas).

CÁLCULO DE ][t t Y a E :

][][][)]([][ 1

2

111 −−−− −+=−+= t t t t t t t t t t t aa E a E Y a E aaY a E Y a E θ φ θ φ

mas 0][1

=−t t

aa E (at é ruído branco) e 0][1

=−t t

Y a E , pois1−t

Y só dependedos choques aleatórios passados },,{..., 123 −−− t t t aaa , ou seja, 1−t Y nãodepende dos choques aleatórios futuros ,...},,{ 21 ++ t t t aaa . Sendo assim,

22 ][][ σ == t t t a E Y a E

CÁLCULO DE ][ 1 t t Y a E −θ :

])][][][)]([][ 2

1

2

1111111 −−−−−−−− −+=−+= t t t t t t t t t t t a E aa E Y a E aaY a E Y a E θ θ θφ θ φ θ θ 2222

1 )(0][ σ θ φ θ σ θ θ θφσ θ −=−×+=− t t Y a E

Voltando ao cálculo da variância,

22

10 )( σ θ φ θ σ φγ γ −−+= (1)

A autocovariância de lag 1 é dada por

][ 111

2

11 −−−− −+= t t t t t Y aY aY E θ φ γ

][][][ 111

2

11 −−−− −+= t t t t t Y a E Y a E Y E φ γ θ 2

0

2

01 0 θσ φγ θσ φγ γ −=−+= (2)

Chegamos ao seguinte sistema de duas equações a duas incógnitas:

⎩⎨⎧

−=

−−+=2

01

22

10 )(

θσ φγ γ

σ θ φ θ σ φγ γ

cujas soluções são




40


2

2

2

01

21σ

φ

θφ θ γ

−−+

=

e

2

211

))(1(σ

φ

θ φ φθ γ

−−−

= .

Agora, observe que

885,01

5,05,025,012

2

0 =×−

××−+=γ ⇒ o que confirma a resolução dada para a

questão e o problema da redundância do modelo.

GABARITO: CERTO

4. A autocorrelação entre t Y e 1−t Y é superior a 0,01.

Resolução

Comot Y é um ruído branco, tem-se que 0][ =−τ t t Y Y E . Logo, a

autocorrelação entret Y e 1−t Y é nula ⇒ item ERRADO. Observe que o

“gabarito oficial definitivo” do CESPE é CERTO.

Podemos chegar ao mesmo resultado aplicando a fórmula

0

11

γ

γ ρ =

2

211

))(1(σ

φ

θ φ φθ γ

−−−

=

08

5,01

)5,05,0)(5,01(2

2

1 =×

−

−−=γ ⇒ 01 = ρ ⇒ como 1−= τ τ φρ ρ , 1>τ , então 0=τ ρ

para 1>τ ⇒ Y t é um ruído branco.

GABARITO: ERRADO

5. A autocorrelação entre t Y e 2−t Y é igual a zero.

Resolução

A questão aborda o tema da Identificação do modelo.




41


Os processos AR(p), MA(q) e ARMA(p,q) apresentam FAC comcaracterísticas especiais. Assim [MOR08]:

(i) Um processo AR(p) tem FAC que decai de acordo com

exponenciais e/ou senóides amortecidas, infinitaem extensão;

(ii) Um processo MA(q) tem FAC finita, pois é igual a zeropara lag superior a q;

(iii) Um processo ARMA(p,q) tem FAC infinita em extensão,que decai de acordo com exponenciais e/ou senóidesamortecidas após o lag q- p.

Estas observações são úteis no procedimento de identificação domodelo que será ajustado à série observada; calculando-se as

estimativas das FAC que acreditamos reproduzir adequadamente asverdadeiras FAC desconhecidas e comparando seu comportamentocom o descrito acima, para cada modelo, tentamos escolher um (oumais) modelo(s) que descreva(m) a série dada.

Em particular, a FAC é útil para identificar modelos MA, dada acaracterística (ii) acima, não sendo útil para identificar modelosARMA, que têm FAC complicada [MOR08].

Box, Jenkins e Reisel [BOX94] propuseram um procedimento

alternativo de identificação baseado na função de autocorrelaçãoparcial (FACP).

Pode-se demonstrar que, para os processos AR(p), MA(q) eARMA(p,q), temos:

(i) Um processo AR(p) tem FACP 0≠kk

φ , para pk ≤ e 0=kk

φ

para pk > ;

(ii) Um processo MA(q) tem FACP que se comporta de

maneira similar à FAC de um processo AR(p): édominada por exponenciais e/ou senóidesamortecidas;

(iii) Um processo ARMA(p,q) tem FACP que se comporta comoa FACP de um processo MA puro.

Segue-se que a FACP é útil para identificar modelos AR puros, nãosendo tão útil para identificar modelos MA e ARMA.

Ora, a função de autocorrelação parcial (FACP) de um ruído branco é

igual a zero para qualquer lag maior que zero ⇒ CERTO.




42


GABARITO: CERTO

6. A variância do passeio aleatório ∑=

=t

k

k t Y S 1

é igual a3

32t .

Resolução

Seja um processo estacionário t Y . A soma ∑=

=t

k

k t Y S 1

é denominada

tendência estocástica.

Se ),0(~ 2σ RBY t então t S é conhecido como passeio aleatório,pois

t t t Y S S += −1 .

Demonstra-se que a variância do passeio aleatório é dada por

22 σ σ t t = ⇒ logo o item está ERRADO.

GABARITO: ERRADO

7. (MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006)

Seja Z = {Z(t), t ∈ T} um processo estocástico, considere as seguintescondições

(i) E{Z(t)} = µ(t) = µ = constante, para todo t ∈ T;

(ii) E{Z(t)} = 0, para todo t ∈ T;

(iii) E{Z2(t)} < ∞, para todo t ∈ T;

(iv) E{Z2(t)} = t, para todo t ∈ T;

(v) Cov{Z(t1), Z(t2)} é um função de |t1-t2|

Dizemos que Z é estacionário de segunda ordem ou fracamente esta-cionário se e somente se estiverem satisfeitas as condições, além da (v)

A) (i) e (ii)

B) (ii) e (iv)

C) (i) e (iii)

D) (i) e (iv)

E) (ii) e (iii)

Resolução




43


Um processo estocástico }),({ T t t Z ∈ é fracamente estacionário ouestacionário de segunda ordem se e somente se

a) μ == )()]([ t t Z E , constante, para todo T t ∈ ;b) ∞<)]([ 2

t Z E , para todo T t ∈ ;c) ),( 21 t t γ é uma função apenas do valor absoluto da defasagem

|| 21 t t − .

A primeira condição afirma que a média é igual para todo período,mesmo que a distribuição da variável aleatória vá se alterando aolongo do tempo. A segunda condição afirma apenas que o segundomomento não centrado deve ser finito, ainda que desigual emdiferentes instantes. A terceira condição estabelece que a variânciaé sempre igual para todo instante de tempo e que aautocovariância não depende do tempo, mas apenas dadistância temporal (defasagem) || 21 t t − entre as observações.

GABARITO: C

8. (MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006)De um modo geral, a análise espectral de séries temporaisestacionárias decompõe a série em

A) componentes senoidais com coeficientes aleatórioscorrelacionados.

B) um componente de tendência e uma componente sazonal.

C) uma componente polinomial, uma componente cíclica e umacomponente sazonal.

D) componentes senoidais com coeficientes aleatórios correlacionadose componentes cossenoidais com coeficientes aleatórios nãocorrelacionados.

E) componentes senoidais com coeficientes aleatórios não

correlacionados.

Resolução

Primeiramente, é importante ressaltar que o tópico “Análise Espectralde Séries Temporais” não aparece de forma explícita no conteúdoprogramático da prova de Econometria do BACEN, o que nos leva acrer que a probabilidade desse assunto ser cobrado na prova épraticamente nula. Mas vamos à resolução, por via das dúvidas.

Vejam só o seguinte parágrafo da pág. 415 do livro de Morettin eToloi [MOR04]:




44


“De uma forma geral, a a n ál i s e e s p ec t r a l d e sér i e s t em p o r a i s

e s t a c i o n ár i a s { Z t } d e c om p õe a sér i e em com p o n e n t e s

s e n o i d a i s c om c o e f i c i e n t e s a l e a t ó r i o s não c o r r e l a c i o n a d o s .

Juntamente com essa decomposição, existe a correspondentedecomposição, em senóides, da função de autocovariância γ (t). Assim, a decomposição espectral de um processo estacionário é umanálogo à representação de Fourier de funções determinísticas.”

A afirmação feita por Morettin e Toloi está baseada no Teorema daRepresentação Espectral de Cramér7. O Cap. 4 do livro [PER93] dePercival e Walden apresenta a motivação do Teorema e o discute emprofundidade. Entretanto, a prova rigorosa do teorema não é dada8,pois ela é muito (mas muito mesmo) complicada!

Vamos analisar brevemente cada uma das alternativas.

(A) ⇒ está errada porque diz que os coeficientes aleatórios dassenóides são correlacionados.

(B) ⇒ está errada porque refere-se a uma análise que pertence aodomínio do tempo (a questão trata da análise de séries no domínio dafreqüência).

(C) ⇒ está errada pelo mesmo motivo da alternativa acima.

(D) ⇒ está errada pelo mesmo motivo da alternativa (A).

(E) ⇒ correta, conforme explicado acima.

Enfim, para a prova, basta memorizar o enunciado do teorema darepresentação espectral.

Aproveitamos a oportunidade para apresentar a definição da funçãodensidade espectral de um processo aleatório estacionário.

Seja )}({ t Z , ,...2,1,0 ±±=t , um processo estacionário com média zero efunção de autocovariância )(τ γ , em que τ denota lag. A funçãodensidade espectral f (λ ) ou, simplesmente, espectro de Z t , édefinida como a transformada de Fourier de )(τ γ , dada por

7 Cramér, H. (1942) On Harmonic Analysis in Certain Functional Spaces. Arvik för

Matematik, Astronomi och Fysik , 28B, 1-78 Ela pode ser encontrada em: Priestley, M. B. (1981) Spectral Analysis and TimeSeries. London: Academic Press.




45


∑∞

−∞=

−=τ

λτ τ γ π

λ ie f )(

2

1)(

com λτ λτ λτ sincos +=ie e 1−=i . A definição dada acima está de

acordo com a notação de Morettin e Toloi em [MOR04, pág. 416].Percival e Walden [PER93] usam o símbolo S(f ), em que f =λ /2π, paradenotar o espectro de Z (t ). Neste caso a definição de espectro fica naforma

∑∞

−∞=

−=τ

τ π τ γ f ie f S

2)()(

Resumindo para a prova: a função de autocovariância )(τ γ de Z (t ) ea função densidade espectral de Z (t ) possuem uma relação de Fourier(ou formam um par de Fourier)

)()( f S ↔τ γ .

A função de autocovariância )(τ γ é uma caracterização de Z (t ) nodomínio do tempo. O espectro S(f ) é uma caracterização(equivalente) que é feita no domínio da freqüência.

GABARITO: E

9. (MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006)Seja Z = {Zt, t ∈ T} um processo AR(1) dado por Zt = φZt-1 + at, ondeat é o ruído branco com média zero e variância um. Seja ρ j, j ≥ 1 afunção de autocorrelação do processo Zt. É correto afirmar:

A) ρ1=φ e ρ j=0, se j≥2

B) ρ j=φ j, j≥1

C) ρ j=1/(1-φ j), j≥1

D) ρ j=φ j /(1-φ j), j≥1

E) ρ j=1/φ j, j≥1

Resolução

Seja o processo AR(1) t t t a Z Z += −1φ . Vimos na Aula 4 que podemosexpressar a autocovariância de defasagem τ na forma

2

21σ

φ

φ γ

τ

τ ⎟⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎜⎛

−=




46


em que 2σ denota a variância de at .

A FAC de um processo AR(1) satisfaz

,1−= τ τ φρ ρ 0>τ .

Como 10 = ρ , temos que

,τ

τ φ ρ = 1≥τ .

Este resultado nos diz que o valor absoluto da FAC de um modeloestacionário AR(1) decai exponencialmente à taxa φ com valor

10 = ρ . O decaimento exponencial da FAC de um modelo AR(1) com φ

positivo é monotônico. Por outro lado, o plot da FAC de um modelo

AR(1) com φ negativo mostra que há dois decaimentos exponenciaisalternados (um positivo e outro negativo) com taxa 2φ .

GABARITO: B

10.(MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006)Para o processo ARIMA(1,d,1), onde φ é o coeficiente autoregressivoe θ é o coeficiente de médias móveis, é correto afirmar:

A) a função de autocorrelação parcial só é diferente de zero no lag 1

B) a função de autocorrelação só é diferente de zero nos lags 1 e 2.C) Se d=1, o processo é estacionário.

D) A região de admissibilidade é dada por |φ|<1 e |θ|<1

E) A função de autocorrelação é dominada por senóides amortecidas.

Resolução

As alternativas sugerem que a questão aborda os seguintes tópicos:procedimento de identificação e critérios de estacionariedadee invertibilidade (“região de admissibilidade”) de processosARIMA( p,d,q).

Segue-se transcrição de parte do item 6.2 de Morettin e Toloi[MOR04].

O objetivo da identificação é determinar os valores de p, d e q domodelo ARIMA( p,d ,q), além de estimativas preliminares dosparâmetros a serem usadas no estágio de estimação.

O procedimento de identificação consiste de 3 partes:




47


(a) Verificar se existe necessidade de uma transformação nasérie original, com o objetivo de estabilizar sua variância.

(b) Tomar diferenças da série obtida no item (a), tantas vezes

quantas necessárias para se obter uma série estacionária, demodo que o processo ΔdZ (t ) seja reduzido a um ARMA( p,q).O número de diferenças, d , necessárias para que o processose torne estacionário, é alcançado quando a FAC amostralde Wt = ΔdZ (t ) decresce rapidamente para zero. Neste está-gio a utilização de um teste (como o teste tau de Dickey-Fuller) para verificar a existência de raízes unitárias nopolinômio auto-regressivo, pode ser de grande utilidade.

(c) Identificar o processo ARMA( p,q) resultante, através daanálise das autocorrelações e autocorrelações parciaisestimadas, cujos comportamentos devem imitar oscomportamentos das respectivas quantidades teóricas,conforme resumido pela Tabela abaixo:

(1,d,0) (0,d,1) ρ k decaimento exponencial somente ρ 1≠0φ kk somente φ 11≠0 decaimento exponencial

dominanteregião deadmissibilidade

-1<φ <1(estacionariedade9)

-1<θ <1(invertibilidade10)

(2,d,0) (0,d,2) ρ k mistura de exponenciais

ou senóides amortecidassomente ρ 1≠0 e ρ 2≠0

φ kk somente φ 11≠0 e φ 22≠0 dominada por mistura deexponenciais ou senóidesamortecidas

região deadmissibilidade

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<+

<−

<<−

1

1

11

12

12

2

φ φ

φ φ

φ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<+

<−

<<−

1

1

11

12

12

2

θ θ

θ θ

θ

(1,d,1) ρ k decai exponencialmente após o lag 1φ kk dominada por decaimento exponencial após o lag 1

região deadmissibilidade

-1<φ <1-1<θ <1

Análise das alternativas:

(A) ⇒ errada. A FACP de uma ARIMA(1,d,1) é dominada pordecaimento exponencial após o lag 1.

9 Qualquer processo AR( p) é invertível.10 Qualquer processo MA(q) é estacionário.




49


⎩⎨⎧

<↔<

=↔=

0:1:

0:1: 00

γ ρ

γ ρ

aa H H

H H

Nós já aprendemos que 1−−=Δ t t t y y y é a primeira diferença de t y .

Se t y é um passeio aleatório, então 0=γ e

t t y ε =Δ

é um ruído branco (processo estacionário).

O estimador de mínimos quadrados de ρ no modelo AR(1)mencionado anteriormente tem distribuição assintoticamente normalquando o modelo é estacionário. No caso de raízes unitárias, a

aproximação normal não se aplica e a estatística t não possuidistribuição t . Portanto, não podemos aplicar a distribuição t para oteste de hipóteses. Quando isto acontece, a estatística t passa a serchamada de estatística

τ

(tau), a qual deve ser comparada comvalores críticos tabelados. Originalmente, estes valores críticos foramcalculados por Dickey e Fuller com base em simulações de MonteCarlo e o teste que usa esses valores críticos tornou-se conhecidocomo teste tau ou teste de Dickey-Fuller (DF). Note que, se ahipótese nula 1= ρ (passeio aleatório) for rejeitada, podemos usar oteste t (de Student) da forma usual.

A estatística τ é dada por

.ˆ

γ̂

γ τ

s=

Após ter calculado o valor de τ, consultamos a tabela de Dickey-Fullerpara ver se a hipótese nula 1= ρ é rejeitada. O critério a ser usado éo seguinte: se o valor da estatística τ

é menor que os valorescríticos τc de DF, então a série é estacionária, ou seja, se τ < τc

série sob teste é estacionária. Se, por outro lado, τ for maiorque o valor crítico τc de DF, então a série temporal não éestacionária, isto é, se τ > τc série sob teste tem raiz unitária(é não estacionária do tipo I(1)).

O item é falso porque a estatística de Dickey-Fuller nunca temdistribuição Normal. Ela poderá ter distribuição t-Student caso asérie seja estacionária.

GABARITO: FALSO




50


12. O teste t em regressões envolvendo variáveis não-estacionáriasnão será válido caso a regressão seja espúria.

Resolução

Aprendemos na Aula 6 que os procedimentos de teste t e F não sãoválidos caso a regressão seja espúria ⇒ item verdadeiro.


13. No processo AR(1), ,110 t t t eY y ++= −φ φ , em que |φ1|<1 et e é um

ruído branco de média nula e variância σ2, a média de y t será igual aφ0.

ResoluçãoTomando a esperança de ambos os membros de ,110 t t t eY y ++= −φ φ

obtemos

][][ 110 −+= t t y E y E φ φ ,

pois 0][ =t e E . Como o modelo é estacionário, pois foi dito que |φ1|<1,tem-se que == − ][][ 1t t y E y E e portanto

φ φ μ 10 += ou

0

1

0

1][ φ

φ

φ μ ≠

−==t y E ⇒ portanto o item é FALSO.

GABARITO: FALSO

14. O processo MA(1), ,1−+= t t t ee y θ , em quet e é um ruído branco de

média nula e variância constante, será estacionário mesmo que1|| >θ .

Resolução

Um processo MA(q) é estacionário por definição, pois 1−+= t t t ee y θ

sempre será uma série limitada, ou seja, ∞<< M yt || . Contudo a série

é não invertível se 1|| >θ .





51

15. (Adaptada) Seja a função de autocorrelação do processo AR(1)definido no item (13) dada por ρ j . É correto afirmar que j

j 1φ ρ = .

Resolução

Para o modelo AR(1) do item (13), vale ,1

j

j φ ρ = 1≥ j . O enunciado

não especificou a condição 1≥ j . Apesar disso, não vemos motivopara considerar o item como sendo falso.


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