Ayuda 6 SistemasNoLineales

Prof. Martha Medalit Campos Villegas

CICLO 2013-3 Módulo: I Unidad: III Semana:06

MÉTODOS NUMÉRICOS

ORIENTACIONES

• Siga cuidadosamente todas las

definiciones hechas.

• Resuelva paso a paso los ejemplos y

ejercicios propuestos.

• Revise los links correspondiente a esta

semana.

Contenido

Newton para Sistemas.

Ejemplo de aplicación.

Punto fijo para Sistemas.

Ejemplo de aplicación.

3

4

Newton para Sistemas

Sea el sistema NO lineal: F(x, y) = 0

G(x, y) = 0

Sea (x0, y0) un punto inicial cercano a la solución:

(xn, yn) 1

. .

( , )

y y

n n

F G G Fx x

J F G

1

. .

( , )x x

n n

G F F Gy y

J F G

(xn, yn)

x y

x y

F FF F

x y

G GG G

x y

( , ) . .x y x yJ F G F G G F

5

Ejemplo de Aplicación

El siguiente sistema NO lineal:

( , ) ( )

( , ) cos( )0.01

F x y sen y x

G x y y x

Tiene solución en el siguiente cuadrante de solución según la gráfica:

Cuadrante de solución (0, 1)x(0, 1) F(x, y)

G(x, y)

0 0( , )(0.6,0.7)x y

6


Necesitamos analizar las siguientes funciones:

( , ) ( )

( , ) cos( ) 0.01

( , ) 1

( , ) cos( )

( , ) ( )

( , ) 1

( , ) . .

x

y

x

y

x y y x

F x y sen y x

G x y y x

F x y

F x y y

G x y sen x

G x y

J F G F G F G

7


Iteración 1: 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

( , ) ( ) (0.7)0.6 0.04422

( , ) cos( ) 0.01 0.7 cos(0.6) 0.01 0.11534

( , ) 1

( , ) cos( ) cos(0.7) 0.76484

( , ) ( ) (0.6) 0.56464

( , ) 1

( , ) . .

x

y

x

y

x y y x

F x y sen y x sen

G x y y x

F x y

F x y y

G x y sen x sen

G x y

J F G F G F G

1.43186

1 0

1

1

. .

( , )

(0.04422 *1)( 0.11534 *0.76484)0.6

1.43186

0.69249

y yF G G Fx x

J F G

x

x

1 0

1

1

. .

( , )

( 0.11534 * 1)(0.04422 *0.56464)0.7

1.43186

0.76311

x xG F F Gy y

J F G

y

y

8


Iteración 2: 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

( , ) 0.00131

( , ) 0.00345

( , ) 1

( , ) 0.72269

( , ) 0.63845

( , ) 1

( , ) . . 1.46140

x

y

x

y

x y y x

F x y

G x y

F x y

F x y

G x y

G x y

J F G F G F G

2 1

2

. .

( , )

0.68988

y yF G G Fx x

J F G

x

2 1

2

. .

( , )

0.76132

x xG F F Gy y

J F G

y

Error_x =0.003 k=2, n=2 Error _y=0.002 k=2, n=2

9

Ejercicio

Resolver el sistemas:

Para la solución cercana a (x0, y0) = (3.4, 2.2)

Emplee el método de Newton para sistemas y encuentre la solución

con 3 dígitos correctos. Use redondeo a 6 decimales.

152),(

)ln(3),(

2

2

xxyxyxG

yxxyxF

10

Punto Fijo para Sistemas

Sea el sistema NO lineal: F(x, y) = 0

G(x, y) = 0

Sea (x0, y0) un punto inicial cercano a la solución:

Creterio de convergencia

11


Considere el Sistema no lineal:

X2 – Y2 – 6X + 8 = 0

X2 + 9Y2 – 18Y - 6X + 9 = 0

Completamos cuadrados en ambas ecuaciones tenemos lo siguiente::

(X2 – 6x) - Y2 + 8 = 0

(X – 3)2 – Y2 + 8 – 9 = 0

(X – 3)2 – Y2 = 1 Hipérbola

Encuentre dichas soluciones con 2

dígitos correctos, tanto para x

como para y. Trabaje con

redondeo a 4 decimales.

12


Considere el Sistema no lineal:

X2 – Y2 – 6X + 8 = 0

X2 +9Y2 – 18Y - 6X + 9 = 0

Completamos cuadrados en ambas ecuaciones tenemos lo siguiente::

(X2 – 6x) + 9(Y2 – 2y + 1) = 0

(X – 3)2 + 9(Y- 1)2 – 9 = 0

(X – 3)2 + 9(Y-1)2 = 9

Elipse (X – 3)2 + (Y – 1)2

= 1 32 12

13


Ahora el sistema queda expresado de la siguiente forma:

(X – 3)2 + (Y – 1)2 = 1

32 12

F (x, y) = (x – 3)2 – y2 = 1

G (x, y) =

F

G

14


Ahora el sistema queda expresado de la siguiente forma:

(X – 3)2 + (Y – 1)2 = 1

32 12

F (x, y) = (x – 3)2 – y2 = 1

G (x, y) =

(0.5, 1.5) x (1, 2)

Sugerimos tomar

(x0, y0) = (1, 1.6)

15


Vamos ha estudiar ahora la convergencia, para ello debemos

despejar de la función F, la variable x, y de la función G, la variable y.

F (x, y) = 0, entonces x = 1 + y2 + 3

f (x, y)

G (x, y) = 0, entonces y = 9 – (x – 3)2 + 1

3

g (x, y)

16


Calculamos las derivadas parciales de f, respecto de x e y

respectivamente:

f (x, y) = 1 + y2 + 3

fx (x, y) = 0

fy (x, y) = 2y

2 1 + y2

y

1 + y2

=

17


Calculamos las derivadas parciales de f, respecto de x e y

respectivamente:

gx (x, y) =

gy (x, y) = 0

-2(x-3)

2 9 – (x-3)2

=

g (x, y) = 9 – (x – 3)2

3 + 1

1

3

-(x-3)

3 9 – (x-3)2

18


Ahora evaluamos en el punto inicial (x0, y0) = (1, 1.6):

fx (x0, y0) + fy (x0, y0) = 0 + 1.6

1.8868 = 0.8480 < 1

gx (x0, y0) + gy (x0, y0) = 0 +

2

6.7082 = 0.2981 < 1

Por lo tanto f y g, son convergentes en el punto (1, 1.6)

f (xn, yn) = - 1 + yn2 + 3

g (xn, yn) = 9 – (xn – 3)2

3 + 1

Xn+1 =

Yn+1 =

19


Comenzamos el proceso iterativo con el punto inicial (x0, y0) = (1, 1.6):

Iteración 1

f (x0, y0) = - 1 + y02 + 3

g (x0, y0) = 9 – (x0 – 3)2

3 + 1

= - 1 +1.62 + 3 = 1.1132

= 9 – (1 – 3)2

3 + 1 = 1.7454

∆x = x1 – x0 1.1132 – 1 =

∆y = y1 – y0 1.7454 – 1.6 =

= 0.1132 k = 0, n = 1

= 0.1454 k = 0, n = 1

X1 =

Y1 =

20


Iteración 2

f (x1, y1) = - 1 + y12 + 3

g (x1, y1) = 9 – (x1 – 3)2

3 + 1

= - 1 +1.74542 + 3 = 0.9884

= 9 – (1.1132 – 3)2

3 + 1 = 1.7775

∆x = x2 – x1 0.9884 – 1.1132 =

∆y = y2 – y1 1.7775 – 1.7454 =

= 0.1248 k = 0, n = 0

= 0.0321 k = 1, n = 2

X2 =

Y2 =

21


Iteración 3

f (x2, y2) = - 1 + y22 + 3

g (x2, y2) = 9 – (x2 – 3)2

3 + 1

= - 1 +1.77752 + 3 = 0.9605

= 9 – (0.9884 – 3)2

3 + 1 = 1.7419

∆x = x3 – x2 0.9605 – 0.9884 =

∆y = y3 – y2 1.7419 – 1.7775 =

= 0.0279 k = 1, n = 1

= 0.0356 k = 1, n = 2

X3 =

Y3 =

22


Iteración 5

f (x4, y4) = - 1 + y42 + 3

g (x4, y4) = 9 – (x4 – 3)2

3 + 1

= - 1 +1.73342 + 3 = 0.9988

= 9 – (0.9915 – 3)2

3 + 1 = 1.7428

∆x = x5 – x4 0.9988 – 0.9915 =

∆y = y5 – y4 1.7428 – 1.7334 =

= 0.0073 k = 1, n = 1

= 0.0094 k = 1, n = 2

X5 =

Y5 =

23


Iteración 6

f (x5, y5) = - 1 + y52 + 3

g (x5, y5) = 9 – (x5 – 3)2

3 + 1

= - 1 +1.74282 + 3 = 0.9907

= 9 – (0.9988 – 3)2

3 + 1 = 1.7450

∆x = x6 – x5 0.9907 – 0.9988 =

∆y = y6 – y5 1.7450 – 1.7428 =

= 0.0082 k = 1, n = 1

= 0.0022 k = 2, n = 3

X6 =

Y6 =

24


Iteración 7

f (x6, y6) = - 1 + y62 + 3

g (x6, y6) = 9 – (x6 – 3)2

3 + 1

= - 1 +1.74502 + 3 = 0.9888

= 9 – (0.9907 – 3)2

3 + 1 = 1.7426

∆x = x7 – x6 0.9888 – 0.9907 =

∆y = y7 – y6 1.7426 – 1.7450 =

= 0.0019 k = 2, n = 2

= 0.0024 k = 2, n = 3

X7 =

Y7 =

Podemos decir que la solución aproximada es: X = 0.98 88 Y = 1.74 26

25

Ejercicio

Resolver el sistema:

Si (x0, y0) = (0.9, 0.85), emplee el método de punto fijo para sistemas y

encuentre la solución aproximada con 3 dígitos correctos para x e y.

Trabaje con redondeo a 6 decimales.

)cos(),(

)(),(

yxyyxG

yxsenxyxF

GRACIAS

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