Prof. Martha Medalit Campos Villegas
CICLO 2013-3 Módulo: I Unidad: III Semana:06
MÉTODOS NUMÉRICOS
ORIENTACIONES
• Siga cuidadosamente todas las
definiciones hechas.
• Resuelva paso a paso los ejemplos y
ejercicios propuestos.
• Revise los links correspondiente a esta
semana.
Contenido
Newton para Sistemas.
Ejemplo de aplicación.
Punto fijo para Sistemas.
Ejemplo de aplicación.
3
4
Newton para Sistemas
Sea el sistema NO lineal: F(x, y) = 0
G(x, y) = 0
Sea (x0, y0) un punto inicial cercano a la solución:
(xn, yn) 1
. .
( , )
y y
n n
F G G Fx x
J F G
1
. .
( , )x x
n n
G F F Gy y
J F G
(xn, yn)
x y
x y
F FF F
x y
G GG G
x y
( , ) . .x y x yJ F G F G G F
5
Ejemplo de Aplicación
El siguiente sistema NO lineal:
( , ) ( )
( , ) cos( )0.01
F x y sen y x
G x y y x
Tiene solución en el siguiente cuadrante de solución según la gráfica:
Cuadrante de solución (0, 1)x(0, 1) F(x, y)
G(x, y)
0 0( , )(0.6,0.7)x y
6
Ejemplo de Aplicación
Necesitamos analizar las siguientes funciones:
( , ) ( )
( , ) cos( ) 0.01
( , ) 1
( , ) cos( )
( , ) ( )
( , ) 1
( , ) . .
x
y
x
y
x y y x
F x y sen y x
G x y y x
F x y
F x y y
G x y sen x
G x y
J F G F G F G
7
Ejemplo de Aplicación
Iteración 1: 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
( , ) ( ) (0.7)0.6 0.04422
( , ) cos( ) 0.01 0.7 cos(0.6) 0.01 0.11534
( , ) 1
( , ) cos( ) cos(0.7) 0.76484
( , ) ( ) (0.6) 0.56464
( , ) 1
( , ) . .
x
y
x
y
x y y x
F x y sen y x sen
G x y y x
F x y
F x y y
G x y sen x sen
G x y
J F G F G F G
1.43186
1 0
1
1
. .
( , )
(0.04422 *1)( 0.11534 *0.76484)0.6
1.43186
0.69249
y yF G G Fx x
J F G
x
x
1 0
1
1
. .
( , )
( 0.11534 * 1)(0.04422 *0.56464)0.7
1.43186
0.76311
x xG F F Gy y
J F G
y
y
8
Ejemplo de Aplicación
Iteración 2: 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
( , ) 0.00131
( , ) 0.00345
( , ) 1
( , ) 0.72269
( , ) 0.63845
( , ) 1
( , ) . . 1.46140
x
y
x
y
x y y x
F x y
G x y
F x y
F x y
G x y
G x y
J F G F G F G
2 1
2
. .
( , )
0.68988
y yF G G Fx x
J F G
x
2 1
2
. .
( , )
0.76132
x xG F F Gy y
J F G
y
Error_x =0.003 k=2, n=2 Error _y=0.002 k=2, n=2
9
Ejercicio
Resolver el sistemas:
Para la solución cercana a (x0, y0) = (3.4, 2.2)
Emplee el método de Newton para sistemas y encuentre la solución
con 3 dígitos correctos. Use redondeo a 6 decimales.
152),(
)ln(3),(
2
2
xxyxyxG
yxxyxF
10
Punto Fijo para Sistemas
Sea el sistema NO lineal: F(x, y) = 0
G(x, y) = 0
Sea (x0, y0) un punto inicial cercano a la solución:
Creterio de convergencia
11
Ejemplo de Aplicación
Considere el Sistema no lineal:
X2 – Y2 – 6X + 8 = 0
X2 + 9Y2 – 18Y - 6X + 9 = 0
Completamos cuadrados en ambas ecuaciones tenemos lo siguiente::
(X2 – 6x) - Y2 + 8 = 0
(X – 3)2 – Y2 + 8 – 9 = 0
(X – 3)2 – Y2 = 1 Hipérbola
Encuentre dichas soluciones con 2
dígitos correctos, tanto para x
como para y. Trabaje con
redondeo a 4 decimales.
12
Ejemplo de Aplicación
Considere el Sistema no lineal:
X2 – Y2 – 6X + 8 = 0
X2 +9Y2 – 18Y - 6X + 9 = 0
Completamos cuadrados en ambas ecuaciones tenemos lo siguiente::
(X2 – 6x) + 9(Y2 – 2y + 1) = 0
(X – 3)2 + 9(Y- 1)2 – 9 = 0
(X – 3)2 + 9(Y-1)2 = 9
Elipse (X – 3)2 + (Y – 1)2
= 1 32 12
13
Ejemplo de Aplicación
Ahora el sistema queda expresado de la siguiente forma:
(X – 3)2 + (Y – 1)2 = 1
32 12
F (x, y) = (x – 3)2 – y2 = 1
G (x, y) =
F
G
14
Ejemplo de Aplicación
Ahora el sistema queda expresado de la siguiente forma:
(X – 3)2 + (Y – 1)2 = 1
32 12
F (x, y) = (x – 3)2 – y2 = 1
G (x, y) =
(0.5, 1.5) x (1, 2)
Sugerimos tomar
(x0, y0) = (1, 1.6)
15
Ejemplo de Aplicación
Vamos ha estudiar ahora la convergencia, para ello debemos
despejar de la función F, la variable x, y de la función G, la variable y.
F (x, y) = 0, entonces x = 1 + y2 + 3
f (x, y)
G (x, y) = 0, entonces y = 9 – (x – 3)2 + 1
3
g (x, y)
16
Ejemplo de Aplicación
Calculamos las derivadas parciales de f, respecto de x e y
respectivamente:
f (x, y) = 1 + y2 + 3
fx (x, y) = 0
fy (x, y) = 2y
2 1 + y2
y
1 + y2
=
17
Ejemplo de Aplicación
Calculamos las derivadas parciales de f, respecto de x e y
respectivamente:
gx (x, y) =
gy (x, y) = 0
-2(x-3)
2 9 – (x-3)2
=
g (x, y) = 9 – (x – 3)2
3 + 1
1
3
-(x-3)
3 9 – (x-3)2
18
Ejemplo de Aplicación
Ahora evaluamos en el punto inicial (x0, y0) = (1, 1.6):
fx (x0, y0) + fy (x0, y0) = 0 + 1.6
1.8868 = 0.8480 < 1
gx (x0, y0) + gy (x0, y0) = 0 +
2
6.7082 = 0.2981 < 1
Por lo tanto f y g, son convergentes en el punto (1, 1.6)
f (xn, yn) = - 1 + yn2 + 3
g (xn, yn) = 9 – (xn – 3)2
3 + 1
Xn+1 =
Yn+1 =
19
Ejemplo de Aplicación
Comenzamos el proceso iterativo con el punto inicial (x0, y0) = (1, 1.6):
Iteración 1
f (x0, y0) = - 1 + y02 + 3
g (x0, y0) = 9 – (x0 – 3)2
3 + 1
= - 1 +1.62 + 3 = 1.1132
= 9 – (1 – 3)2
3 + 1 = 1.7454
∆x = x1 – x0 1.1132 – 1 =
∆y = y1 – y0 1.7454 – 1.6 =
= 0.1132 k = 0, n = 1
= 0.1454 k = 0, n = 1
X1 =
Y1 =
20
Ejemplo de Aplicación
Iteración 2
f (x1, y1) = - 1 + y12 + 3
g (x1, y1) = 9 – (x1 – 3)2
3 + 1
= - 1 +1.74542 + 3 = 0.9884
= 9 – (1.1132 – 3)2
3 + 1 = 1.7775
∆x = x2 – x1 0.9884 – 1.1132 =
∆y = y2 – y1 1.7775 – 1.7454 =
= 0.1248 k = 0, n = 0
= 0.0321 k = 1, n = 2
X2 =
Y2 =
21
Ejemplo de Aplicación
Iteración 3
f (x2, y2) = - 1 + y22 + 3
g (x2, y2) = 9 – (x2 – 3)2
3 + 1
= - 1 +1.77752 + 3 = 0.9605
= 9 – (0.9884 – 3)2
3 + 1 = 1.7419
∆x = x3 – x2 0.9605 – 0.9884 =
∆y = y3 – y2 1.7419 – 1.7775 =
= 0.0279 k = 1, n = 1
= 0.0356 k = 1, n = 2
X3 =
Y3 =
22
Ejemplo de Aplicación
Iteración 5
f (x4, y4) = - 1 + y42 + 3
g (x4, y4) = 9 – (x4 – 3)2
3 + 1
= - 1 +1.73342 + 3 = 0.9988
= 9 – (0.9915 – 3)2
3 + 1 = 1.7428
∆x = x5 – x4 0.9988 – 0.9915 =
∆y = y5 – y4 1.7428 – 1.7334 =
= 0.0073 k = 1, n = 1
= 0.0094 k = 1, n = 2
X5 =
Y5 =
23
Ejemplo de Aplicación
Iteración 6
f (x5, y5) = - 1 + y52 + 3
g (x5, y5) = 9 – (x5 – 3)2
3 + 1
= - 1 +1.74282 + 3 = 0.9907
= 9 – (0.9988 – 3)2
3 + 1 = 1.7450
∆x = x6 – x5 0.9907 – 0.9988 =
∆y = y6 – y5 1.7450 – 1.7428 =
= 0.0082 k = 1, n = 1
= 0.0022 k = 2, n = 3
X6 =
Y6 =
24
Ejemplo de Aplicación
Iteración 7
f (x6, y6) = - 1 + y62 + 3
g (x6, y6) = 9 – (x6 – 3)2
3 + 1
= - 1 +1.74502 + 3 = 0.9888
= 9 – (0.9907 – 3)2
3 + 1 = 1.7426
∆x = x7 – x6 0.9888 – 0.9907 =
∆y = y7 – y6 1.7426 – 1.7450 =
= 0.0019 k = 2, n = 2
= 0.0024 k = 2, n = 3
X7 =
Y7 =
Podemos decir que la solución aproximada es: X = 0.98 88 Y = 1.74 26
25
Ejercicio
Resolver el sistema:
Si (x0, y0) = (0.9, 0.85), emplee el método de punto fijo para sistemas y
encuentre la solución aproximada con 3 dígitos correctos para x e y.
Trabaje con redondeo a 6 decimales.
)cos(),(
)(),(
yxyyxG
yxsenxyxF
GRACIAS
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