Ay t mod7-8

85Álgebra y trigonometría

Introducción

En este módulo se definirá lo que es una función polinómica. Se analizará, en parti-cular, la función cuadrática, su gráfica y el dominio y el rango de esta función.

Objetivos

1. Definir la función polinómica de grado n.2. Definir el polinomio cuadrático.3. Conocer el dominio y el rango del polinomio cuadrático.

Preguntas básicas

1. ¿Qué es una función polinómica?2. ¿Cómo es la gráfica de una ecuación cuadrática?3. ¿Cómo se hallan el dominio y el rango de una función cuadrática?4. ¿Cómo se llama la gráfica de una función cuadrática?

Contenido

7.1 Función polinómica7.1.1 Ceros de una función polinómica

7.2 El polinomio cuadrático7.2.1 Polinomio cuadrático7.2.2 Dominio y rango

Vea el módulo 7 delprograma de televisión

Álgebra y trigonometría

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7El polinomio cuadrático

Ilustración del movimiento parabólico.

86

Capítulo 3: Polinomios. Polinomio cuadrático

7.1 Función polinómica

Una función polinómica P, de grado n , es una expresión de la forma

( ) 11 1 0...n n

n nP x a x a x a x a−−= + + + + , con 0,na ≠ donde los coeficientes son rea-

les o complejos y los exponentes son enteros no negativos.

Ejemplo 14

( ) 22 1P x x= + es una función polinómica de grado 2.

( ) 3 2P x x x= − es una función polinómica de grado 3.

( ) 5 22 7P x x x= − + es una función polinómica de grado 5.

7.1.1 Ceros de una función polinómica

Se dice que γ es un cero de la función P, o un cero del polinomio ( ) ,P x o una

solución o raíz de la ecuación ( ) 0,P x = si ( ) 0.P γ =

Ejemplo 15

2γ = − es un cero de 4 2( ) 7 4 20P x x x x= − + + porque:

( ) ( ) ( ) ( )4 22 2 7 2 4 2 20

16 28 8 20

0.

P − = − − − + − += − − +=

Así mismo, 2γ = − es una solución o raíz de la ecuación polinómica

4 27 4 20 0.x x x− + + =

7.2 El polinomio cuadrático

7.2.1 Polinomio cuadrático

Una función cuadrática o polinomio cuadrático es una expresión de la forma

( ) 2P x ax bx c= + + o 2 ,y ax bx c= + + donde a, b, c serán, en este caso, números

reales.

La gráfica de la función cuadrática será una parábola con la concavidad dirigidahacia arriba si 0,a > y con la concavidad dirigida hacia abajo si 0.a <

7.2.2 Dominio y rango

Es claro que el dominio de la función 2y ax bx c= + + serán todos los números

reales.


Módulo 7: El polinomio cuadrático

Para hallar el rango de una función cuadrática hay que analizar los valores admisi-bles que puede tomar la variable y en los casos en que 0a > y 0.a < Si 0a > hayque analizar el valor mínimo que puede tomar la variable y, ya que la gráfica de laparábola es cóncava hacia arriba.

En este caso se tiene:

2

2

2 22

2

2 2

44

4.

2 4

y ax bx c

ba x x c

a

b b ba x x c

a aa

b ac ba x

a a

= + +

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞

= + + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

El valor mínimo de la función se obtiene cuando 0,2

bx

a+ = o sea cuando .

2

bx

a= −

En este caso el valor mínimo de y es 2

min

4.

4

ac by

a

−= Por tanto, el rango serán los

valores de y, tales que 24

.4

ac by

a

−≥ Similarmente, si 0a < el rango de la función

cuadrática serán los valores de y, tales que 24

.4

ac by

a

−≤

Ejemplo 16

Grafique y encuentre el rango de la función cuadrática 23 1.y x x= + −

Solución

Como 3 0,a = > la gráfica es una parábola con la concavidad dirigida hacia arriba.

Como 3,a = 1,b = 1,c = − entonces el rango serán todos los valores de y reales

que cumplan que

( ) ( )24 3 1 1

,4 3

y× × − −

≥× o sea

13.

12y ≥ −

Una gráfica aproximada de la función la muestra la figura 7.1.

La parábola es una cónica

88


Figura 7.1. Gráfica de la función y = 3x2 + x − 1

En la figura 7.1, los interceptos con el eje x serán los ceros de ( ) 23 1,P x x x= + − o

alternativamente, las raíces de la ecuación 23 1 0.x x+ − = Más adelante se tendránfórmulas para hallar las raíces de una ecuación cuadrática.

Ejemplo 17

Grafique y encuentre el rango de la función cuadrática 2 1.y x= − +

Solución

Como 1 1,a = − < la gráfica es una parábola con la concavidad dirigida hacia abajo.

Como 1,a = − 0,b = 1,c = entonces el rango serán todos los valores reales de y

que cumplan que:

( ) ( )( )

24 1 1 0

,4 1

y× − × −

≤× − o sea 1.y ≤

Una gráfica aproximada de la función la muestra la figura 7. 2. En esta figura, los

interceptos con el eje x, o sea las raíces de la ecuación 2 1 0,x− + = se hallan por

inspección y son 1 y –1.

Figura 7.2. Gráfica de la función y = − x2 + 1


Módulo 7: El polinomio cuadráticoEjemplo 18

Grafique y encuentre el rango de la función cuadrática 23 12 13.y x x= + +

Solución

Como a = 3 > 0, la gráfica es una parábola con la concavidad dirigida hacia arriba.Como a = 3, b = 12, c = 13, entonces el rango serán todos los valores reales de y quecumplan que:

2 2

min

4 4(3)(13) (12)1.

4 4(3)

ac by y

a

− −≥ = = =

Este valor mínimo se encuentra cuando:

122.

2 6

bx

a= − = − = −

Más adelante veremos que cuando la expresión 24ac b− es positiva, la ecuaciónax2 + bx + c = 0 no tiene raíces reales, es decir la gráfica no corta el eje x. En este

caso, como 24 12 0,ac b− = > la gráfica no corta el eje x. La gráfica de la función es(figura 7.3):

Figura 7.3. Gráfica de la función y =3x2 +12x + 3

Ejemplo 19

Grafique y encuentre el rango de la función cuadrática 25 10 8.y x x= − + −

Solución

Como 5 0,a = − < la gráfica es una parábola con la concavidad dirigida hacia abajo.

Como 5,a = − b = 10, 8,c = − entonces el rango serán todos los valores reales dey que cumplan que:

90

2 2

máx

4 4( 5)( 8) (10)3.

4 4( 5)

ac by y

a

− − − −≤ = = = −−

Este valor máximo se encuentra cuando:

101.

2 10

bx

a= − = − =

−

En este caso, como 24 60 0,ac b− = > la gráfica no corta el eje x. La gráfica de lafunción es (figura 7.4):

Figura 7.4. Gráfica de la función y = − 5x2+10x − 8

Ejemplo 20

Grafique y encuentre el rango de la función cuadrática 2 4 4.y x x= + +

Solución

Como 1 0,a = > la gráfica es una parábola con la concavidad dirigida hacia arriba.Como a = 1, b = 4, c = 4, entonces el rango serán todos los valores reales de y quecumplan que:

2 2

mín

4 4(1)(4) (4)0.

4 4(1)

ac by y

a

− −≥ = = =

Este valor mínimo se encuentra cuando:

42.

2 2

bx

a= − = − = −



Más adelante veremos que cuando la expresión 2 0ax bx c+ + = tiene una sola raíz

real, la gráfica corta el eje x en un único punto 4

2.2 2

bx

a= − = − = − Esto ocurre

pues la función se factoriza como un cuadrado perfecto 2 24 4 ( 2) .y x x x= + + = +La gráfica de la función es (figura 7.5):

Figura 7.5. Gráfica de la función y = x2 + 4 x + 4

Módulo 7: El polinomio cuadrático


Introducción

Se aborda en esta sección la deducción de la fórmula para hallar las raíces de unaecuación cuadrática. Se analizan las características de las soluciones, según la for-ma del discriminante de la ecuación. Por último se encuentran expresiones querelacionan la suma y el producto de las raíces de una ecuación cuadrática en térmi-nos de los coeficientes de la ecuación cuadrática.

Objetivos del módulo

1. Conocer una expresión para las raíces de una ecuación cuadrática.2. Conocer los tipos de soluciones de una ecuación cuadrática.3. Conocer una expresión para la suma y el producto de una ecuación cuadrática.

Preguntas básicas

1. ¿En qué consiste el discriminante de una ecuación cuadrática?2. ¿A qué es igual la suma de las raíces de una ecuación cuadrática?3. ¿A qué es igual el producto de las raíces de una ecuación cuadrática?

Contenidos del módulo

8.1 Forma de las raíces8.2 Características de las soluciones8.3 Suma y producto de raíces

Vea el módulo 8 delprograma de televisión


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8Raíces de una ecuación cuadrática

Pierre de Fermat (1601-1665)

Fermat fue abogado y gobernante oficial, más recordadopor su trabajo en la teoría de números; las matemáticaseran para él su entretenimiento.

En 1636 propuso un sistema de geometría analítica similara uno de Descartes, que éste presentó unos años después.El trabajo de Fermat estaba basado en una reconstruccióndel trabajo de Apolonio usado en el álgebra de FrancoisViète. Similar trabajo dejó al descubrir métodos dediferenciación e integración y encontrar máximos ymínimos.

Fermat es famoso por el teorema que lleva su nombre yque dice que dado cualquier entero positivo n > 2, esimposible que existan números enteros diferentes de cero,x, y, z, tales que xn + yn = zn. Si n = 2 habrá infinitas tripletas(x, y, z) llamadas ternas pitagóricas, como por ejemplo(3, 4, 5).

Fermat dijo que había descubierto una prueba («pruebamaravillosa»), pero que no había en la página suficientemargen para darla. Se sospecha que dados los avances de laépoca, Fermat había dado con una demostración equivocada.El teorema fue finalmente demostrado en 1995.

94


8.1 Forma de las raíces

La forma de las raíces de la ecuación cuadrática 2 0ax bx c+ + = se puede ver de la

manera siguiente:

Si 2 0ax bx c+ + = , entonces 2 .ax bx c+ = − Por tanto, 2 b

a x x ca

⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

2 22

2.

44

b b ba x x c

a aa

⎛ ⎞+ + = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Se tiene entonces que

2 2 4.

2 4

b b aca x

a a

−⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Despejando 2

,2

ba x

a⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

se tiene que 2 2

2

4.

2 4

b b acx

a a

−⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros,

2

2

4.

2 4

b b acx

a a

−+ = ±

En consecuencia, 2 4

.2

b b acx

a

− ± −=

Las dos raíces de la ecuación cuadrática vienen dadas por

2

1

4,

2

b b acx

a

− + −=

2

2

4.

2

b b acx

a

− − −=

8.2 Características de las soluciones

En la solución de la ecuación cuadrática aparece el término 2 4b ac− . La expresión2 4b ac− se llamará el discriminante de la ecuación, y según la naturaleza de éste, las

soluciones serán así:

1. 2 4 0b ac− > , entonces la ecuación cuadrática tendrá dos soluciones reales

distintas.

2. 2 4 0b ac− = , entonces la ecuación tendrá dos soluciones reales iguales.

3. 2 4 0b ac− < , entonces la ecuación no tendrá soluciones reales sino dos

soluciones complejas conjugadas.

Escuche La conjetura de Pierrede Fermat en su multimedia de



Módulo 8: Raíces de una ecuación cuadráticaEjemplo 21

Encuentre las raíces de la ecuación 2 4 3 0.x x− + =

Solución

En este caso se tiene que a = 1, 4,b = − 3.c =

( )22 4 4 4 1 3 4 0.b ac− = − − × × = >

La ecuación tiene dos raíces reales distintas que son:

2

1 1

4, 3.

2

b b acx x

a

− + −= =

2

2

4,

2

b b acx

a

− − −= 2

1.x =

8.3 Suma y producto de raíces

Como las raíces de la ecuación cuadrática vienen dadas por:

2

1

4,

2 2

b b acx

a a

− −= +

2

2

4,

2 2

b b acx

a a

− −= −

se pueden derivar, de las fórmulas anteriores, las siguientes consecuencias:

1 2 ,b

x xa

−+ =

1 2· .c

x xa

=

O sea que en toda ecuación cuadrática la suma de sus raíces es b

a− y el producto

de ellas es .c

a

Ejemplo 22

En cierta ecuación cuadrática, la suma de sus raíces es 5 y su producto es 6.Halle la ecuación.

Solución

Como 1 2

bx x

a+ = − , se tiene que 5.

b

a− =

96


Como 1 2· ,c

x xa

= se tiene que 6.c

a= Por tanto, 6c a= y 5 .b a= −

Si en las expresiones anteriores se toma a = 1, se tiene que 6c = , 5b = − . En

consecuencia, la ecuación es 2 5 6 0.x x− + =

Si a toma otros valores en los reales, se obtendrán otras ecuaciones. La forma

general de estas ecuaciones es 2 5 6 0.ax ax a− + =

Ejemplo 23

Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones:

a. 23 10 8 0.x x+ − =

Solución

Aplicando la fórmula tenemos:

2 24 (10) 4(3)( 8) 100 96 196 0.b ac− = − − = + = >

Por tanto, la ecuación tiene dos raíces reales:

2

1

2

2

4 10 196 4 2,

2 6 6 3

4 10 196 244.

2 6 6

b b acx

a

b b acx

a

− + − − += = = =

− − − − − −= = = = −

b. 4 213 36 0.x x− + =

Solución

Haciendo la sustitución y = x2 se obtiene la ecuación cuadrática 2 13 36 0.y y− + =Aplicando la fórmula tenemos:

2 24 ( 13) 4(1)(36) 169 144 25 0.b ac− = − − = − = >

Por tanto, la ecuación obtenida tiene dos raíces reales:

2

1

2

2

4 13 25 189,

2 2 2

4 13 25 84.

2 2 2

b b acy

a

b b acy

a

− + − += = = =

− − − −= = = =

Entonces las soluciones de la ecuación original son 1 23, 3,x x= = − 3 2x = y

4 2.x = −


Módulo 8: Raíces de una ecuación cuadrática

c. 6 37 8.x x+ =

Solución

Haciendo la sustitución y = x3 se obtiene la ecuación cuadrática 2 7 8 0.y y+ − =


2 24 (7) 4(1)( 8) 49 32 81 0.b ac− = − − = + = >

Por tanto, la ecuación obtenida tiene dos raíces reales:

2

1

2

2

4 7 81 21,

2 2 2

4 7 81 168.

2 2 2

b b acy

a

b b acy

a

− + − − += = = =

− − − − − −= = = = −

Entonces las soluciones de la ecuación original son 31 1 1x = = y 3

2 8 2.x = − = −

d. 2 4 5 0.x x− + =

Solución


2 24 ( 4) 4(1)(5) 16 20 4 0.b ac− = − − = − = − <

Por tanto, la ecuación no tiene raíces reales sino dos raíces complejas conjugadas:

2

1

2

2

4 4 4 4 22 ,

2 2 2

4 4 4 4 22 .

2 2 2

b b ac ix i

a

b b ac ix i

a

− + − + − += = = = +

− − − − − −= = = = −

Ejemplo 24

Escriba una ecuación cuadrática cuyas raíces sean 3 y 5.−

Solución

1 2 3 ( 5) 2 ;b

x xa

−+ = + − = − = entonces, 2 .b a=

1 2 3( 5) 15 ;c

x xa

= − = − = entonces, 15 .c a= −

98

La ecuación general será

2 22 15 ( 2 15) 0.ax ax a a x x+ − = + − =

Tomando a = 1 obtenemos la ecuación

2 2 15 0.x x+ − =

Ejemplo 25

Escriba una ecuación cuadrática cuyas raíces sean 2/3 y 1/2.

Solución

1 2

2 1 7

3 2 6

bx x

a

−+ = + = = entonces 7

.6

b a= −

1 2

2 1 1

3 2 3

cx x

a= ⋅ = = entonces

1.

3c a=

La ecuación general será

2 27 1 7 1( ) 0.

6 3 6 3ax ax a a x x− + = − + =

Tomando a = 6 obtenemos la ecuación

26 7 2 0.x x− + =

Ejemplo 26

Halle el valor de k de modo tal que la suma de las raíces de la siguiente ecuación seaigual al producto de las mismas:

23 2 3 0.x x k− + − =

Solución

Planteando la igualdad entre la suma y el producto de las raíces tenemos:

1 2 1 2

2 3,

3 3

b c kx x x x

a a

− −+ = = = = =

de donde 2 3k= − y por tanto k = 5.



Módulo 8: Raíces de una ecuación cuadráticaEjemplo 27

Halle el valor de k de modo tal que la suma de las raíces de la siguiente ecuación seaigual al producto de las mismas:

23 ( 2) 2 1 0.x k x k+ + + + =

Solución

Planteando la igualdad entre la suma y el producto de las raíces tenemos:

1 2 1 2

( 2) 2 1,

3 3

b k c kx x x x

a a

− − + ++ = = = = =

de donde 2 2 1k k− − = + y por tanto 1.k = −

Ejemplo 28

Encuentre dos números cuya suma sea 21 y su producto 104.

Solución

Sean x1 y x

2 los números buscados; entonces 1 2 21x x+ = y 1 2 104.x x = Tomando

a = 1, 1 2 21x x b+ = = − y 1 2 104 ,x x c= = tenemos que estos números son raíces

de la ecuación cuadrática 2 21 104 0.x x− + = Aplicando la fórmula tenemos:

22

1

22

2

21 (21) 4(104)4 21 25 2613,

2 2 2 2

21 (21) 4(104)4 21 25 168.

2 2 2 2

b b acx

a

b b acx

a

+ −− + − += = = = =

− −− − − −= = = = =

Ejemplo 29

La suma de un numero y su recíproco es 13

.6

Halle el número.

Solución

Sea x el número buscado; entonces:

2

2

13 1,

6

13 1,

6

13 6 6,

xx

x

x

x x

= +

+=

= +

100

Capítulo 3: Polinomios. Polinomio cuadrático26 13 6 0.x x− + =

Las raíces de esta ecuación cuadrática son:

22

1

22

2

13 (13) 4(6)(6)4 13 25 18 3,

2 12 12 12 2

13 (13) 4(6)(6)4 13 25 8 2,

2 12 6 12 3

b b acx

a

b b acx

a

+ −− + − += = = = =

− −− − − −= = = = =

que son los números buscados.

Ejemplo 30

Un avión realiza un vuelo entre dos ciudades situadas a 4.992 km una de la otra. Siel avión aumenta su velocidad en 32 km/h puede hacer el trayecto en 1 hora menos.¿Cuál es la velocidad del avión?

Solución

Suponiendo que la velocidad del avión es v km/h y realiza el trayecto en t horas,tenemos entonces que

4.992.t

v=

Si al aumentar la velocidad en 32 km/h se demora una hora menos, tenemos laecuación

4.9921 .

32t

v− =

+

Por tanto, reemplazando tenemos:

4.992 4.9921 ,

32v v− =

+

4.992 4.992,

32

v

v v

− =+

(4.992 )( 32) 4.992 ,v v v− + =

2

2

2

4.992 159.744 32 4.992 ,

159.744 32 0,

32 159.744 0.

v v v v

v v

v v

+ − − =− − =

+ − =

Las soluciones de esta ecuación cuadrática son:


Módulo 8: Raíces de una ecuación cuadrática

22

1

22

2

32 (32) 4(1)( 159.744)4 32 640.000 768384,

2 2 2 2

32 (32) 4(1)( 159.744)4 32 640.000 832416.

2 2 2 2

b b acv

a

b b acv

a

− + − −− + − − += = = = =

− − − −− − − − − −= = = = = −

Obviamente la solución buscada es x1 y así la velocidad del avión es de 384 km/h.

Ejemplo 31

Dos ciudades A y B se encuentran a una distancia de 490 km una de otra. Dosciclistas parten simultáneamente de A y B, cada uno hacia la otra ciudad. A partir delsitio donde se cruzan, el ciclista que partió de A demora 9 horas en llegar a B y el quepartió de B demora 16 horas en llegar a A. Encuentre la velocidad de cada ciclista.

Solución

Sea x la distancia desde A al sitio donde se cruzan y t el tiempo en que se cruzan. Apartir de este sitio, el ciclista que salió de A recorre 490 x− km en 9 horas y el quepartió de B recorre x km en 16 horas. La velocidad de cada ciclista es:

490 490,

9 16A B

x x x xv v

t t

− −= = = = .

Despejando t e igualando tenemos:

9 16(490 ).

490

x xt

x x

−= =−

Se obtiene entonces la ecuación cuadrática:

2 2 216(490 ) 9 7 15.680 7.840 0x x x x− − = − + =

cuyas raíces son 280 y 1.960. Como x < 490, entonces el punto de encuentro está a280 km de A y por tanto

490 210 70 280 70km/h, km/h.

9 9 3 16 16 4A B

x xv v

−= = = = = =

Ejemplo 32

Dos obreros A y B trabajando juntos pueden realizar un trabajo de 4 horas. ¿Cuán-tas horas se necesitan para que cada obrero realice el trabajo por si solo, si el obreroB requiere 3 horas más de trabajo que el obrero A?

102

Solución

Sea x el número de horas que tarda el obrero A realizando el trabajo por sí solo;entonces el obrero B tarda x + 3 horas. La velocidad de trabajo de cada obrero porseparado y trabajando juntos es:

1,AV

x= 1

,3BV

x=

+1

.4ABV =

Por tanto tenemos que

1 1 1,

3 4x x+ =

+

de donde se obtiene la ecuación cuadrática

2 5 12 0.x x− − =

Las raíces de esta ecuación son 5 73

2

± y la raíz negativa no tiene sentido, así que

el obrero A necesitaría aproximadamente 5 73

6.772

+ ≈ horas y el obrero B aproxi-

madamente 9.77 horas.



Capítulo 4: Funciones

Ejercicios del capítulo 3 (módulos 6 al 8)

1. Factorice completamente en los enteros:

a. 4 100x − . RTA: 2 2( 10)( 10).x x− +

b. 2 3 10x x+ − . RTA: ( 5)( 2).x x+ −

c. 4 25 6z z+ + . RTA: 2 2( 3)( 2).z z+ +

d. 23 19 14x x+ − . RTA: ( 7)(3 2).x x+ −

e. 5 1a + . RTA: 4 3 2( 1)( 1).a a a a a+ − + − +

f. 318 8x x− . RTA: 2 (3 2)(3 2).x x x− +

g. 4 2 25x x+ + . RTA: 2 2( 3 5)( 3 5).x x x x− + + +

h. 42 16t t− . RTA: 22 ( 2)( 2 4).t t t t− + +

2. Factorice en R completamente las siguientes expresiones:

a. ( ).x y a x y− − + +

b. 4 3 1.x x x+ − −

c. ( )21 4.x + −

d. 2.xy yz xz x+ − −

e. 23 10.x x− −f. 3 25 5.x x x− − +

g.2 2

.4 2 4

x ax a− +

h. 2 2 20.x y xy− −

i.6

1.64

x −

j. 5 1.x x+ +

3. Factorice completamente en los reales y en los complejos:

a. 4 100x − . RTA: En los reales 2( 10)( 10)( 10).x x x− + +

En los complejos ( 10)( 10)( 10)( 10).x x x i x i− + − +

b. 4 33 24m mn− . RTA: En los reales 2 23 ( 2 )( 2 4 ).m m n m mn n− + +

En los complejos 3 ( 2 )( (1 3) )( (1 3) ) .m m n m i n m i n− + + + −

c. 4 25 6z z+ + . RTA: En los reales 2 2( +3) ( +2) .z z

En los complejos ( 3)( 3)( 2)( 2).z i z i z i z i+ − + −

104

d. 5 3 2 1x x x+ − − . RTA: En los reales 2 2( 1)( 1)( 1).x x x x− + + +

En los complejos 1 3 1 3

( 1) ( )( ).2 2

i ix x x x i x i

⎛ ⎞⎛ ⎞+ −− + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

e. 4 2 25x x+ + . RTA: En los reales 2 2( 3 5)( 3 5).x x x x− + + +

En los complejos 3 11 3 11 3 11 3 11

.2 2 2 2

i i i ix x x x

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ − + −− − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

f. 42 16t t+ . RTA: En los reales 22 ( 2)( 2 4).t t t t− + +

En los complejos 2 ( 2)( 1 3)( 1 3).t t t i t i− + − + +

4. Factorice completamente sobre C los siguientes polinomios:

a. 2 26 7 8 .x x y y− − − −

b. 2 24 4 4.x y y− + −

c. 7 4 316 16.x x x+ − −

d. ( )23 9 15 45 .x a b x ab− + +

e. ( )6 37 3 .y y xy x y− + +

f. ( )3 3 3 .x y xy x y+ + +

g 2 26 6 2 9.x x y y xy− + − + +

h. 2 34 2 8 .x x x− + − −i. 3 7 6.x x− +j. 2 27 7 2 8.x x y y xy+ + − − −

k. 4 25 6.x x− +

l. 4 25 6.x x− +

5. Encuentre el rango de las siguientes funciones cuadráticas y el punto de máximo o de mínimo según corresponda:

a. 2( ) 3 6 .f x x x= − RTA: 3,y ≥ 1.x =

b. 2( ) 5 20 60.f x x x= − − + RTA: 80,y ≤ 2.x = −

c. 2( ) 7 42 65.f x x x= − − − RTA: 2y ≤ − 3.x = −

d. 2( ) 2 16 37.f x x x= − + RTA: 5,y ≥ 4.x =

e. 2( ) 4 28 49.f x x x= − + RTA: 0,y ≥ 7

.2

x =

f. 2( ) 4 32.f x x x= − − RTA: 36,y ≥ − 2.x =


6. Encuentre el rango de las siguientes funciones cuadráticas:

a. 2( ) 2 1.P x x x= − −

b. 2( ) 3 4 .P x x= − −

c. 2( ) 4 .P x x x= −

d. 2( ) 2 17.P x x x= − +

e. 2( ) 3 17 7.P x x x= − +

f. 2( ) 1.P x x= −

7. Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones:

a. 24 4 15 0.x x+ − = RTA: 3 2, 5 2.−

b. 210 21 9 0.x x+ + = RTA: 3 2, 3 5.− −

c. 236 35 72 .x x+ = RTA: 7 6, 5 6.

d. 3 3(19 ) 216.x x+ = RTA: 2, 3.−

e. 2 2 15 0.x x− − = RTA:5, 3.−

f. 2( ) 2 4 .a b x bx a− = + RTA: 2 ( ) , 2.a a b+ −

8. Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones:

a. 218 9 4 0.x x− + =b. 2 4 4 0.x x− + =c. 6 34 4 0.x x− + =d. 4 25 6 0.x x− − =e. 2 17 1 0.x x− + =f. 4 2 0.ax bx c+ + =

9. Escriba una ecuación cuadrática cuyas raíces sean 4 y 3. RTA: 2 7 12 0.x x− + =

10. Encuentre una ecuación cuadrática tal que la suma de sus raíces sea 2 y el producto sea –3.

11. Escriba una ecuación cuadrática cuyas raíces sean 1 3

.2

i± RTA: 2 1 0.x x− + =

12. Si 2 0,x x k− − = encuentre los valores de k para que la ecuación tenga dos soluciones distintas.

106

13. Halle el valor de k de modo tal que la suma de las raíces de las siguientes ecuaciones sea igual al producto de lasmismas.

a. 2 (3 2) 0.x k x k+ − − = RTA: k = 1.

b. 2( 5) 2( 1) 2 0.k x k x− + − − = RTA: k = 2.

14. Escriba una ecuación cuyas raíces sean el doble de las raíces de la ecuación 2 5 4 0.x x− + =

15. Encuentre dos números cuya suma sea 23 y su producto 132. RTA: 11 y 12.

16. La suma de dos números es 25 y su producto es 136. Encuentre los números.

17. La suma de un número y su recíproco es 26

.5

Halle el número. RTA: 5 y 1/5.

18. Encuentre los valores de k para que la ecuación 2x x k− + no tenga raíces reales.

19. Un tren recorre 300 km a velocidad uniforme. Si la velocidad hubiese sido 5 km más por hora, hubiera tardado en elrecorrido 2 horas menos. Halle la velocidad del tren. RTA: 25.

20. Un piloto realiza un vuelo de 600 km. Si aumenta su velocidad en 40 km por hora puede recorrer esa distancia en media hora menos. ¿Cuál es su velocidad?

21. Un obrero y su hijo pueden realizar un trabajo en 15 días. Después de trabajar juntos 6 días, el hijo trabajando solotermina el trabajo en 30 días. ¿En cuánto tiempo podría terminar cada uno de ellos trabajando sin ayuda? RTA: elpadre, 3

721 días; el hijo, 50 días.

22. Dos obreros A y B, trabajando juntos, pueden hacer una tarea en 1

72

horas. Trabajando solo, A tardaría 8 horas más

que B para hacer dicha tarea. ¿Cuánto tardaría cada uno trabajando solo?

23. El producto de un número de dos dígitos y el número obtenido al intercambiar sus dígitos es 252. Si la diferencia delos números es 9, encuentre dichos números. RTA: 12 y 21.

24. El producto de un número de dos dígitos y el número obtenido al intercambiar sus dígitos es 736. Si la diferencia delos números es 9, encuentre los números.

25. Dada la ecuación 2 ( 1) 4 0,x k x k+ − + − = halle los valores de k tales que la ecuación tenga:

a. Dos raíces reales iguales. RTA: 3k = − y 5.k = −b. Una de ellas igual a cero. RTA: k = 4.

26. Dada la ecuación ( )28 1 7 0,x k x k− − + − = qué valores debe tomar k para que las raíces sean:

a. Reales e iguales.b. Recíprocas.c. Una de ellas 0.


27. Un corredor recorre una carretera con velocidad de 80 km/h a partir de un punto A de la misma. Media hora más tardeparte de ese punto A otro corredor a 90 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo y a qué distancia de A se encuentran?RTA: 4h; 360 km.

28. A y B son dos ciudades que están 300 km una de la otra. Si dos trenes parten simultáneamente de A y de B, cada unohacia la otra estación, y después de que se encuentran, el tren que salió de A llegó a B en 9 horas, en tanto que el quesalió de B llegó a A en 4 horas, encuentre la velocidad de cada tren.

29. Se construye una caja sin tapa cortando de las esquinas de una hoja de aluminio cuadrados de 3 dm de lado. Si lalongitud de la hoja de aluminio es el doble de su ancho, halle las dimensiones de la hoja que producirá una caja de60 decímetros cúbicos. RTA: ancho, 8 dm; largo, 16 dm.

30. ¿En cuánto tiempo pueden tres obreros A, B, C realizar una tarea trabajando juntos, si A solo puede hacerlo en 6horas, B solo en una hora más y C solo en el doble del tiempo de A?

31. Un bote en un río demora 1.6 horas más para recorrer 36 km cuando va en contra de la corriente que de regresocuando recorre los mismos 36 km a favor de la corriente. Si la velocidad de la corriente es de 4 km por hora, ¿cuál esla velocidad del bote en aguas tranquilas? RTA: a favor de la corriente, 2 horas; en contra de la corriente, 3.6 horas.

32. Dos grifos llenan un tanque en 6 horas. ¿Cuánto tiempo necesitará cada grifo para llenarlo solo, sabiendo que uno deellos tarda 5 horas más que el otro?

33. Un depósito de gasolina se puede llenar en 4 horas cuando se utilizan dos llaves. ¿Cuántas horas se necesitarán paraque cada llave por si sola llene el depósito, si la llave de menor diámetro requiere 3 horas más que la de mayordiámetro? RTA: la de mayor diámetro, 6.77 horas, y la de menor diámetro, 9.77 horas.

34. Un avión despega de un portaviones y vuela hacia el occidente durante 2 horas a razón de 600 kilómetros por hora.Después regresa a 500 km por hora. Mientras tanto, el barco ha viajado hacia el occidente a 30 km por hora. ¿A lascuántas horas se encontrarán?

35. Un automóvil está viajando a una velocidad desconocida. Si viajara 15 km por hora más rápido se tardaría 90 minutos menos en recorrer 450 km. ¿A qué velocidad va el automóvil? RTA: 60 km/h.

36. Un avión vuela de Bogotá a Buenos Aires una distancia de 4.200 km. La velocidad del viaje de regreso fue de 100 kmpor hora mayor que el de ida. Si el total del viaje tomó 13 horas, ¿cuál fue la velocidad de Bogotá a Buenos Aires?

37. Encuentre dos enteros pares consecutivos cuyo producto sea 168. RTA: 14, 12− − y 12, 14.

38. Una lancha tarda 1 hora más en viajar 24 km contra la corriente de un río que en el viaje de regreso. Si la lancha tieneuna velocidad de 10 km por hora en aguas tranquilas, ¿cuál es la velocidad de la corriente?

Ay t mod7-8

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