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ARTÍCULO DE REVISIÓNMÉTODOS BIOESTADÍSTICOS PARA EL DESARROLLO E IMPLEMENTACIÓN DEL RIGOR CIENTÍFICO EN LAS INVESTIGACIONES

PARTE III: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN

Un conjunto de datos puede ser descrito rápi-damente con un solo número. Si el investigador en ortodoncia informa que se necesita una fuer-za promedio 25 Mega-Pascales para desprender una resina de un bracket, está indicando un punto central que representa varias medidas; pero pue-de explicar esta fuerza hablando de la variabilidad de las fuerzas que reflejan la tendencia a desviarse de dicho punto central, para lo cual utiliza medias de dispersión.

Nota: Las medidas que se toman generalmente están dadas en Newton’s sin embargo los artículos traen estas medidas en Mega Pascales; para hacer la conversión de Newton a Mega Pascal divida los Newton obtenidos, por el área de la superficie en cm2 y en estas condiciones podrá comparar sus re-sultados con otros obtenidos. Para el desarrollo de ésta parte se estudia:

Dr. Gerardo Ardila Duarte

* Profesor asociado Fundación Universitaria UniCIEO

Medidas de tendencia central Medidas de dispersión

• Media• Mediana• Moda• Media ponderada• Media geométrica

• Varianza• Desviación estándar• Error estándar• Regla empírica de la distribución normal• Error de medición de Dalberg• Cartas de control de Calidad

Otras medidas (Medidas de posición)

Cubos OLAP

• Percentil• Rango• Rango intercuartilico• Diagramas Box-plot

• Coeficiente de sesgo a o asimetría de Pearson

• Coeficiente de variación

A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

DEFINICIÓN: Media Aritmética es la medida de tendencia central normalmente llamada, media, promedio o valor esperado.

Media Poblacional: µ

Media Muestral: x

Nota: Existe el teorema central de límite que dice: entre mayor sea el tamaño de la muestra aleato-ria, más cercano se estará a la media de la población.

Artículo de Revisión

Métodos bioestadísticos para el desarrollo e implementación del rigor científico en las investigaciones

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DEFINICIÓN: Mediana ( x ): Es la observación que queda en la mitad, de los datos después que han sido ordenados.

Ubicación de la mediana, para una cantidad impar de datos:

Ubicación de la mediana, para una cantidad par de datos:

x de los dos datos que quedan ubicados en el centro.

DEFINICIÓN: Moda (mo): Es la observación que más se repite, pueden existir varias modas.

Ejemplo: Una Dra. de Rehabilitación Oral desea calcular los espacios en micrómetros entre el mar-gen del muñón protésico y el margen del borde protésico en una prótesis fija de tres unidades con balanceo sin ser seccionada antes y después de ser tratada con laser. Halle y explique : media, media-na y moda de los espacios en micrómetros entre el margen del muñón protésico y el margen del borde protésico en una prótesis fija de tres unidades con balanceo sin ser seccionada antes de usar láser.

Lado de la medición

Prelaser Postlaser

1AE 176,2 47,991AL 154,12 161AV 68 321BE 239 56,041BL 208 44,051BV 32,98 42AE 144,01 112,292AL 56,04 48,662AW 110,16 64,52BE 140,01 32,982BL 92 322BV 134 243AE 114 11,313AL 68,03 563AW 78 643BE 56,56 143BL 80 22,093BV 16 84AE 32,98 16,17

Lado de la medición

Prelaser Postlaser

4AL 88,36 184AW 40 84BE 16,12 84BL 32 64BV 80 48

El promedio de mediciones con prelaser: x = (176,2+154,12+…+80)/24= 94,06µ

La mediana: x

1. Ordenamos los datos:

Prelaser16

16,1232

32,9832,98

4056,0456,56

6868,03

788080

88,3692

110,16114134

140,01144,01154,12

176,2208239

2 Hay 24 datos, (un número par de datos), la mediana se ubica en el promedio de los datos del centro: Los datos ubicados en el centro son 80 y 80, entonces se calcula el promedio de ambos. x = (80+80)/2=80 µ



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La moda: Hay dos modas: 32.98 y 80µ

La Media ponderada:

Donde:= Media ponderada

= Observación individual= Peso o ponderación de cada observación.

Cuando se estima la media, se asume que todas las observaciones tienen la misma importancia. Sin embargo existen casos en los que se debe dar ma-yor peso a algunas observaciones. Por ejemplo, si el grupo investigador pone un peso a los costos del desarrollo de su trabajo, el valor promedio a asumir por investigador se estima con:

Tema Costo PesoCosto x Peso

Reuniones con grupo 10.000 x hora 5% 500

Reuniones con investigador principal

15.000 x hora 10% 1,500

Viajes 800.000 30% 240,000

Levantamiento Muestra 2.000.000 40% 800,000

Análisis 15.000 x hora 10% 1,500

Tiempo organización 15.000 x hora 5% 750

Costo Total promedio por investigador 1,044,250 Media Geométrica: MG=

Definición: La media geométrica proporciona una medida precisa de un cambio porcentual pro-medio de una serie de números.

La media geométrica se halla tomando la raíz n-ésima del producto de los n - números indicadores.

Con frecuencia se utiliza para calcular la tasa de crecimiento porcentual promedio de algunas series dadas a través del tiempo.

Ejemplo: Un investigación desarrollada en el CIEO, para la determinación de marcadores de reabsorción ósea, calcio en suero y piridinolinas en orina como predictores precoces de cambios en la densidad ósea, mostró los siguientes indicadores de piridinolina (Nm DPD/mM Creatinuria) y cal-cio (mg/dl) en 20 pacientes mujeres seleccionadas aleatoriamente con edades entre 48 y 67 años).

Es decir que se espera que el índice de creatinuaria en una paciente mayor de 47 años sea de 8,84.

B. MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Aunque es muy útil ubicar el centro de los datos y explicarlo, una descripción más completa de ellos se da cuando se analiza la dispersión alrededor del punto central y esto es lo que se hace con las me-didas de dispersión, indican cuánto se desvían las observaciones alrededor de su media.

Definición: Las Medidas de dispersión miden que tanto se dispersan las observaciones alrededor de su media. Ejemplo: En una investigación desarrollada du-rante 2010 por Ortodoncistas del CIEO se buscó Comparar las medidas Sn-Sd: Sn (Subnasal (Sn): Punto de unión de la Columnella con el labio superior)-Sd Supradental (Sd: Según la escuela bio-métrica se localiza en la intersección del plano me-dio con la línea que une los bordes superiores de los incisivos) en la población de hombres y mujeres.

Tres de las medidas encontradas en hombres por 3 de los investigadores fueron:

Investigador 1: 11.9; 12 y 12.1mm

Investigador 2: 10; 12 y 14mm

Investigador 3: 12; 12 y 12mm

Las tres medidas tienen una media de 12mm, pero podemos afirmar que los conjuntos de datos son similares? No podemos afirmarlo, de hecho solo



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observando las medias sin tener en cuenta las de-más observaciones habría similitud, pero obser-vando cada conjunto de datos, los investigadores 1 y 2 presentan dispersión alrededor de la media, especialmente el 2º investigador, mientras el 3º no muestra dispersión. En este sentido, las medidas de dispersión son muy útiles e informativas.

Definición: el Rango R o recorrido es la medida de dispersión más simple, se calcula como la di-ferencia entre la medida máxima y la mínima. Los rangos de las medidas de los tres investigadores en el ejemplo anterior fueron respectivamente: 0.2, 4 y 0 mm respectivamente.

Definición: El promedio de las observaciones res-pecto a su media, elevadas al cuadrado se llama la varianza.

Definición: La varianza poblacional σ2 es:

σ2=∑(Xi-µ)2/N

Donde: Xi, son las observaciones, µ, es la media poblacional, N, es el tamaño de la población.

Definición: La desviación estándar poblacional es la raíz de la varianza:

σ= √σ2

La desviación estándar se explica como una medi-da de dispersión que de halla en las mismas unida-des que el promedio. Como rara vez es posible ac-ceder a toda la población para calcular la varianza y desviación estándar, se debe recurrir a calcular estas medidas sobre muestras, las definiciones son:

Definición: Varianza de la muestra:

Definición: La desviación estándar de la muestra es:

s=√(s 2 )

La razón de utilizar n-1 grados de libertad, es que la muestra generalmente es menos dispersa que la población, y por tanto al restar una unidad al co-ciente se hace mayor para intentar explicar la de la población.

Definición: El error estandar de la muestra es:

σx=s/√n

Es una medida de dispersión que se utiliza como mejor ajuste alrededor de la media para explicarla.

Ejemplo: Una investigación llevada a cabo por Rehabilitadores Orales para estudiar “la correla-ción entre las calibraciones óseas: clínica preope-ratoria, tomográfica e intraoperatoria, utilizando el tomógrafo de rayo de cono y el software Galileo como ayudas de diagnóstico en los rebordes edén-tulos” para la colocación de implantes dentales arrojo los siguientes resultados (mm):

La varianza, desviación estándar y el error típico de las medidas obtenidas en la muestra de los 33 pacientes seleccionados aleatoriamente de la clíni-ca del CIEO para estudiar la Medida Crestal pre-operatoria fueron:

Promedio: x = (6+9+…+3+3)/33 = 5,14mm,

La varianza es:

=



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La desviación es: s=√(s 2 )=√

=√4,54=2,13

Interpretación: Respecto de la longitud promedio de la medida crestal preoperatoria hay una desvia-ción de 2,13mm.

La varianza no se debe interpretar porque está en unidades cuadradas.

El error típico σx=s/√n =2,13/√33=0.371

Interpretación: Respecto de la longitud promedio de la medida crestal preoperatoria hay un error de 0.371mm.



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C. DISTRIBUCIÓN NORMAL Y REGLA EMPÍRICA

Una distribución normal es un arreglo de datos con-tinuos que produce una curva simétrica en forma de campana (Una discusión minuciosa de ésta distribu-ción se presenta en capítulos posteriores). Si los da-tos presentan una distribución normal, la desviación estándar puede usarse para sacar conclusiones.

Construyendo una tabla dinámica, se obtiene:

Medidas en mmCuenta de Crestal

Preoperatoria

1 — 2,5 2

2, 5 — 4 7

4 — 5,5 8

5, 5 — 7 8

7 — 8,5 6

8,5 — 10 2

Total general 33

Graficando la cantidad de medidas en cada clase:

Es importante observar que la mitad de las obser-vaciones (área bajo la curva) está por encima de la media y la otra mitad por debajo. Para ilustrar como aplicar la desviación estándar se utiliza la regla em-pírica donde usamos el promedio y la desviación obtenidos así:

• 68.3% de las medidas están entre el promedio ± una desviación: 5,14mm±2,13mm

• 95.5% de las medidas están entre el promedio ± dos desviaciones: 5,14mm±1.96x2,13mm

• 99.7% de las medidas están entre el promedio ± tres desviaciones: 5,14mm±2.57x2,13mm

D. GRÁFICAS DE INTERVALO

Aprovechando la regla empírica se pueden trazar gráficas de intervalo, que permiten comparar la dis-persión de las medidas en estudio, y en capítulos posteriores se utilizaran para hacer comparaciones, y verificar la existencia de diferencia o no significati-va por comparaciones múltiples.

Ejemplo: Del ejemplo anterior, la comparación por intervalos de confianza del 95% de las medidas, se grafica de la siguiente forma, donde los datos a uti-lizar para cada una de las variables, son el máximo x+1.96σ⁄√n , el mínimo x–1.96σ⁄√n y la desviación y/o error típico σ⁄√n se muestran en la tabla:



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En Excel:

• Selecciona la información en este caso es de las celdas K1:T5.

• Clic en Insertar• Gráficos• Cotizaciones y de acá el primero.

Obteniendo:

E. OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Otras medidas de dispersión y/o posición son los cuartiles, deciles y percentiles.

Un conjunto de datos ordenado tiene 3 cuartiles que lo dividen en 4 partes iguales, el 1er cuartil está representado por todas las observaciones que están por debajo del 25% de las mismas, el segun-do es la mediana o 50%, el 3er cuartil por todas las observaciones por debajo del 75% de las mismas y encima del cual se encuentra el 25% restante.

Los deciles separan las observaciones en 10 partes iguales y los percentiles en 100 partes.

Definición: La ubicación de un percentil se define por: Lp= (n+1)P/100

Donde: Lp Es el sitio del percentil deseado en una serie

ordenadan Es el número de observacionesP Es el percentil deseado

Ejemplo: Los resultados corresponden a una in-vestigación de ortondocistas por establecer están-dares de medidas entre dientes (Ver tabla siguiente).

La información está ordenada por las medidas infe-riores: ∑16-11 Hombres

Determinar los P25, P50, P75, el Rango Intercuatilico

La base de datos esta compuesta por medidas de 24 individuos.

L25 = (24+1)*25/100=6.25

Es decir el 25% de las medidas ∑16-11, para hom-bres está ubicada entre la 6ª y 7ª posición, (como esta señalado con amarillo en la base de datos que se anexa a continuación), es decir que: P25 = 18.5 + (1-0.25)(18.59-18.475) = 18.56125 mm, o 25% de los pacientes latinos hombres se espera que pre-senten medidas entre 17.8 mm y 18.56 mm para la distancia entre los dientes inferiores 16 al 11.

L50=(24+1)*50/100=12,5

Es decir el 50% de las medidas ∑16-11, para hom-bres está ubicada entre la 12ª y 13ª posición, (como esta señalado con amarillo en la base de datos que se anexa a continuación), es decir que: P50= 19.1+ 0.5(19.14-19.09)=19.115= 19.115mm, o 50% de los pacientes latinos hombres se espera que pre-senten medidas entre 17.8mm y 19.115mm para la distancia entre los dientes inferiores 16 al 11.



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L75=(24+1)*75/100=18,75

Es decir el 75% de las medidas ∑16-11, para hombres está ubicada entre la 18ª y 19ª posición, (como esta señalado con amarillo en la base de datos que se anexa a continuación), es decir que: P75= 20.1+ (1-0.75)(20.335-20.125)=20.1775 mm, o 75% de los pacientes latinos hombres se espera que presenten medidas entre 17.8 mm y 20.1775 mm para la distancia entre los dientes in-feriores 16 al 11.

Rango Intercuartilico = P75 – P25 = 20.2875-6.25 = 22,0375 mm

Es decir que un 50%, de la población masculi-na presenta medidas de ∑ 16-11 entre 6.25 y 20.2875 mm.

Desarrollando el ejercicio con Excel, observe el procedimiento:



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DIAGRAMA DE BOX PLOT

DIAGRAMAS BOX-PLOT

Los diagramas Box-Plot, llamados también de caja y bigotes o Box and Janquins, se utilizan para com-parar, medias, medianas, cuartiles y búsqueda de puntos atípicos o outliers. En el caso de marcado-res de reabsorción ósea se tiene: Análisis:

1. 25% (Q1=1er Cuartil, corresponde al 25% de los datos ordenados)de los pacientes presen-tan un índice de creatinuaria entre 5 y 7,5

2. 50% (Q2= 2º Cuartil o mediana, corresponde al 50% de los datos ordenados) de los pacientes presentan índices de creatinuaria entre 5 y 8,7

3. En promedio un paciente esta presentando un índice de creatinuaria de 9,16

4. 75% (Q3= 3er cuartil corresponde al 75% de los datos ordenados) de los pacientes están pre-sentando índices de creatinuaria entre 5 y 9,6

5. Existen 4 datos atípicos (pacientes con muy alto índice de creatinuria) que se encuentran en el intervalo de confianza del 99%.

6. Q3-Q1 (Rango intercuartilico); 9,6-7,5=2,1. La diferencia en creatinuaria entre el 25 y 75% de los pacientes es de 2,1.

Como se crea un Box-plot?Si esta instalado Statplus siga los siguientes pasos, en Excel:

1. Complementos2. StatPlus3. Single variable charts4. Boxplot5. Values in separte columns6. Data values7. Use Range references8. Señala los datos incluyendo el titulo9. Output10. As a new chart sheet11. Escribe el nombre que identifique la hoja (allí

saldrá el gráfico)

Si va a usar a R los pasos gráficos son:

1.

2.



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Datos-importar dato-desde Excel.

3. Busca la ubicación de su archivo en Excel 97-

2003 4. Gráficas-Diagrama de caja

5.

CUBOS OLAP OnLine Analytical Processing o procesamiento Analítico En Línea

Ideados por el Sr. Edgard Cood, de una compañía de software con el objeto de integrar bases de da-tos, en Excel se pueden generar en forma comple-ja con tablas dinámicas y macros para relacionar bases de datos, y/o en forma sencilla, utilizando varios campos de variables numéricas (cuantitati-vas) de una sola base de datos, resumiendo toda la estadística descriptiva de todas estas variables, y haciendo más fácil su análisis.

En estadística se ha convertido en una potente he-rramienta para el análisis descriptivo de bases de datos de variables continuas.

Un ejemplo de aplicación:

Los estudiantes de primer semestre de especializa-ción en odontología seleccionaron muestras alea-torias en su lugar de trabajo de su especialización, con mínimo dos variables ellos deberían aplicar un Cubo OLAP y analizar los resultados obtenidos.

Pasos para generar un Cubo OLAP en Excel.

1. Instalación de la Herramienta Análisis de Da-tos (Office 2007)

1.1 Haga clic en el botón de Microsoft Office y, a continuación, haga clic en Opciones de Excel.

1.2 Haga clic en Complementos y, en el cuadro Ad-ministrar, seleccione Complementos de Excel.

1.3 Haga clic en Ir. 1.4 Active todas las casillas y a continuación, haga

clic en Aceptar.1.5 Pinche en Si, y esperar a que se instale la he-

rramienta.



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Para generar el Cubo OLAP

1. Construya la base de datos con las variables de trabajo

2. Pinche en la ventana de Datos3. Pinche en el menú de Análisis de Datos4. Pinche en el reglón de Estadística descriptiva5. Pinche en el cuadro de rango de entrada y se-

ñale la base de datos con sus rótulos (títulos y/o nombres de variables)

6. Pinche cada casilla cuadrada7. Aceptar

Gráficamente

Los resultados obtenidos son: En este punto el investigador cuenta con los re-sultados de estadística descriptiva, básicos para proceder a evaluar y analizar el paciente que está ingresando a la EPS, que problemática está presen-tando, con el objeto de incentivar programas de salud, cuidado y cultura de aseo dental. La base de datos que se levanto trae en este caso dos variables discretas como son edad, y número de dientes per-didos. Sin embargo los Cubos OLAP son utilizados en general para variables continuas.



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El coeficiente de sesgo o asimetría de Pearson

Es una medida de dispersión que determina el ses-go positivo o negativo de los datos, si éste es menor que cero la mayoría de datos se encuentran por encima del promedio, en caso contrario se encuen-tran por debajo del promedio.

Donde: x=promedio y x=mediana. 3 veces el pro-medio menos la mediana sobre la desviación estan-dar, si P<0, los datos estan sesgados a la izquierda, es decir hay una cola larga a este lado, la media se verá afectada hacia la izquierda y la moda se halla en el lado derecho, si P>0, sucede lo contrario y los datos afectan la media de esta forma. La importan-cia que tiene es precisamente que informa el sesgo de los datos.

El Coeficiente de Variación

Es una medida relativa de dispersión, determina el grado de dispersión de un conjunto de datos, rela-tivo a su media. Se utiliza para comparar la disper-sión de los datos.

CURTOSIS

Esta medida determina el grado de concentra-ción que presentan los valores en la región cen-tral de la distribución. Por medio del Coeficien-te de Curtosis, podemos identificar si existe una gran concentración de valores (Leptocúrtica), una concentración normal (Mesocúrtica) ó una baja concentración (Platicúrtica) y/o existencia de pun-tos atípicos siempre que el coeficiente sea mucho menor que cero.

Una curtosis bastante menor que cero (Leptocúrti-ca), enseña la presencia de datos atípicos.

El error de medición DAHLBERG

El error de medición de Dahlberg, es una medida muy utilizada, para comparar operadores y deter-minar el de menor error en la toma de medidas.

Para control debe ejecutarse después de 2 medidas tomadas, sobre los mismos objetivos y el operador seleccionado deberá someterse a juicio nuevamente.

Ejemplo: Una investigación de ortodoncia duran-te 2013 en la Fundación CIEO-UniCIEO llevada a cabo por los Drs. Usgame y Támara cuyo objetivo fue: “Determinar la relación del radio anterior y la inclina-ción anteroposterior de los dientes con y sin forma de pala”, los Dres. Tuvieron que someterse al juicio de sus mediciones, el error de medición de Dahlberg (e), el coeficiente de variación (CV) y su mediciones de prueba piloto tomados en una fecha determinada y 15 días después fueron: (Ver figura: Prueba piloto)



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Observe que el operador 1 está cometiendo un error de medición menor en una centésima.

Los coeficientes de variación de cada operador son: (Ver figura: Coeficientes)

Observe que se está que los que se está evaluan-do es la relación del radio anterior y la inclinación anteroposterior que es el Bolton, y el operador 1 minimiza las variaciones de sus medidas al hacer el ejercicio por 2ª ocasión.

Carta de Control de Calidad

x±3σ

Comparar mediciones y operadores pueden ser de-finidos mediante cartas de control de calidad, para ello debe:

Determinar el dato máximo y mínimo permisibles al 99% de confianza, usando el intervalo a continua-ción, donde el máximo corresponde a la expresión sumada y el mínimo a la expresión restada:

Figura 1. Prueba piloto

Figura 2. Coeficientes



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Se grafican las mediciones fijando máximo y mí-nimo, si se hallan medidas por fuera hay error en el operador.

Ejemplo: Para la selección del operador del ejem-plo anterior en Bolton se obtiene:

Observe que ambos operadores se encuentran dentro de los límites esperados, para el cálculo de estos límites se utiliza el promedio y desviación del operador que comete menor error.

BIBLIOGRAFIA

1. Ardila G. Apuntes de Bioestadística aplicada, Fundación UniCIEO

2. Armitage y Berry, Estadística para la investigación Biomé-dica (1992) .Ed. DOYMA

3. Stell y Torrie, Bioestadística Principios y procedimientos, (1998). Ed 4ª. Mc

4. Devore J. Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias. (2007), Ed 7ª Thomson.

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