AREA DE UNA SUPERFICIE EN REVOLUCION UTILIZANDO PARAMETROS

CALCULO VECTORIAL

AREA DE UNA SUPERFICIE EN REVOLUCION

Si una curva tal dada por x=f(t) y y=g(t) no se corta a sí misma en un intervalo 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, entonces el área S de la superficie de revolución generada por rotación de esa curva tal, en torno a uno de los ejes de coordenadas, está dada por:

𝑆 = 2𝜋 𝑎

𝑏

𝑔 𝑡𝑑𝑥

𝑑𝑡

2

+𝑑𝑦

𝑑𝑡

2

𝑑𝑡

Revolución en torno al eje x

𝑆 = 2𝜋 𝑎

𝑏

𝑓 𝑡𝑑𝑥

𝑑𝑡

2

+𝑑𝑦

𝑑𝑡

2

𝑑𝑡

Revolución en torno al eje y

Encontrar el área de una superficie

generada por revolución de la

curva 𝑥 = 𝑡𝑦 = 2𝑡

alrededor del eje x y eje y cuyo intervalo

es: 0 ≤ 𝑡 ≤ 4

SOLUCION:

Primero comenzamos con derivar ambas funciones:

𝑓 𝑡 = 𝑥 = 𝑡 𝑔 𝑡 = 𝑦 = 2𝑡𝑑𝑥

𝑑𝑡= 1

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 2

Ahora si, sustituyendo estos datos con los del ejercicio dado, obtenemos el resultado final:

*PARA EL EJE X

𝑆 = 2𝜋 𝑎

𝑏

𝑔 𝑡𝑑𝑥

𝑑𝑡

2

+𝑑𝑦

𝑑𝑡

2

𝑑𝑡

= 2𝜋 0

4

2𝑡 1 2 + 2 2 𝑑𝑡

= 2𝜋 0

4

2𝑡 5 𝑑𝑡

= 4 5𝜋 0

4

𝑡 𝑑𝑡

= 4 5𝜋𝑡2

2

4

0

= 32 5𝜋

*PARA EL EJE Y

𝑆 = 2𝜋 𝑎

𝑏

𝑓 𝑡𝑑𝑥

𝑑𝑡

2

+𝑑𝑦

𝑑𝑡

2

𝑑𝑡

= 2𝜋 0

4

𝑡 1 2 + 2 2 𝑑𝑡

= 2𝜋 0

4

𝑡 5 𝑑𝑡

= 2 5𝜋 0

4

𝑡 𝑑𝑡 = 2 5𝜋𝑡2

2

4

0= 16 5𝜋

ASI QUE LAS AREAS CON SUS RESPECTIVOS EJES SON:

𝑆 = 32 5 𝜋 𝑃𝐴𝑅𝐴 𝐸𝐿 𝐸𝐽𝐸 𝑋

𝑆 = 16 5 𝜋 𝑃𝐴𝑅𝐴 𝐸𝐿 𝐸𝐽𝐸 𝑌

GRAFICAS DE:𝑥 = 𝑡𝑦 = 2𝑡

CUYO INTERVALO ES:

0 ≤ 𝑡 ≤ 4

Encontrar el área de una superficie generada por revolución de la curva

𝑥 = 4cos𝜃𝑦 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝜃

alrededor del eje y cuyo intervalo es:

0 ≤ 𝑡 ≤𝜋

2

SOLUCION:

Primero comenzamos con derivar ambas funciones:

𝑓 𝑡 = 𝑥 = 4 cos 𝜃 𝑔 𝑡 = 𝑦 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑑𝑥

𝑑𝑡= −4 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 4 cos 𝜃

Ahora si, sustituyendo estos datos con los del ejercicio dado, obtenemos el resultado final:

*PARA EL EJE Y

𝑆 = 2𝜋 𝑎

𝑏

𝑓 𝑡𝑑𝑥

𝑑𝑡

2

+𝑑𝑦

𝑑𝑡

2

𝑑𝑡

= 2𝜋 𝑎

𝑏

𝑓 𝜃𝑑𝑥

𝑑𝑡

2

+𝑑𝑦

𝑑𝑡

2

𝑑𝜃

= 2𝜋 0

𝜋24 𝑐𝑜𝑠 𝜃 −4 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 + 4 cos 𝜃 2 𝑑𝜃

= 2𝜋 0

𝜋24 𝑐𝑜𝑠 𝜃 16 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 16 cos2 𝜃 𝑑𝜃

= 2𝜋 0

𝜋24 𝑐𝑜𝑠 𝜃 16 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + cos2 𝜃 𝑑𝜃

= 2𝜋 0

𝜋24 𝑐𝑜𝑠 𝜃 16 1 𝑑𝜃 = 2𝜋

0

𝜋24 𝑐𝑜𝑠 𝜃 16 𝑑𝜃

= 32𝜋 0

𝜋2𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃

= 32𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝜋20

= 32𝜋 1 − 0

= 32𝜋

ASI QUE EL RESULTADO FINAL ES:

𝑆 = 32𝜋

GRAFICAS DE:𝑥 = 4cos𝜃𝑦 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝜃

CUYO INTERVALO ES:

0 ≤ 𝑡 ≤𝜋

2

BIBLIOGRAFIAS

LARSON, HOSTETLER y EDWARDS, “Cálculo de varias variables. Matemáticas 3”, 1ra Edición, 2009, Editorial Mc Graw Hill 352 págs.

Swokowski, Earl, “Cálculo con geometría analítica”, 1989, Grupo Editorial Iberoamericana, 2da Edición, Estados Unidos de América,

1097

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GRAPH

WOLFRAM-ALPHA

DERIVE