Introducción

Se presenta en estos apuntes un resumen de la materia perteneciente a los apartados de trigonometría básica (4º ESO) y los fundamentos de la trigonometría de Bachillerato. En estas páginas se exponen los conceptos básicos que sustentan a las definiciones de las razones trigonométricas y unas explicaciones en las que se suelen presentar más dudas por parte el alumno, todo ello a un nivel, como se ha dicho, muy básico.

El objetivo de estos apuntes es reforzar lo aprendido y aclarar algunas dudas que surgen durante el aprendizaje de los rudimentos de la trigonometría que luego aplicaremos o profundizaremos. Luego, más que a una exposición del tema detallado, pueden entenderse como un resumen, exposición esquemática de ideas, o más próximo a su uso, una chuleta.

El uso de estos apuntes no es recomendable hasta que no se halla leído el tema o los temas correspondientes en el libro de texto del alumno de la materia de trigonometría. Una vez hecho, se puede leer estos apuntes, y consultarlos cuantas veces se quieran. Insistimos en que su objetivo es de refuerzo.

Conceptos básicos

Triangulo rectángulo- Denominamos triángulo rectángulo a aquel triángulo compuesto por dos ángulos agudos cualesquiera y uno recto. Los lados que forman un ángulo recto se denominan catetos y el otro hipotenusa.

Ejes cartesianos: Son dos rectas ortogonales que pasan por el origen de coordenadas y dividen al plano en cuatro cuadrantes. Los puntos de cada cuadrante tienen coordenadas distintas.

Origen de coordenadas- Es el punto en el que se cortan los dos ejes de ordenadas. Se le asocia las coordenadas O=(0,0).

Circunferencia goniométrica: Denominamos circunferencia goniométrica a la circunferencia de radio 1 y centrada en el origen de coordenadas. También puede expresarse como el lugar geométrico donde todos los puntos distan una unidad del origen de coordenadas.

Apuntes de trigonometría-1

Ilustración 1: Triángulos rectángulos

Radían: Denominamos radian a la medida de un ángulo que se define como la razón de la longitud de un arco determinado por un ángulo en una circunferencia entre el radio. Un ángulo de 360º son 2π rad. Para pasar de una medida a otra un ángulo, utilizamos los siguientes factores de conversión.

Razones trigonométricas

Razones trigonométricas (definición)- Sea un triángulo rectángulo como el de la figura. Se define como razones trigonométricas de uno de sus ángulos α a los cocientes del margen superior derecho.

Apuntes de trigonometría-2

Ilustración 2: Cuadrantes y circunferencia goniométrica

(ángulo en radianes)× 360º2π rad

(ángulo en grados)× 2π rad360º

Las razones trigonométricas son independientes al triangulo rectángulo usado y son únicas para cada ángulo. Es decir, dos ángulos distintos tienen también razones trigonométricas distintas.

Ángulos en la circunferencia trigonométrica- Sea P=(P1, P2) de la circunferencia goniométrica. El ángulo que forman la recta que une el punto con el origen de coordenadas y el eje horizontal de la circunferencia tiene como como razones trigonométricas cos(α)=P1, sen(α)=P2 y tg(α)=1.

Relaciones trigonométricas fundamentales- Son dos las razones fundamentales para un ángulo.

Ángulos complementarios: Se denomina ángulos complementarios a dos ángulos tales que su suma es de 90º (π /2 en radianes). Por ejemplo, 60º y 30º son ángulos complementarios. Recordemos que en estos ángulos el seno de uno es el coseno del otro y viceversa y que la tangente de uno es la inversa del otro.

Valores de las razones trigonométricas según el cuadrante- Según esté un ángulo en uno de los cuatro cuadrantes, sus razones trigonométricas tendrán que ser positivas o negativas. Las resumimos en general en la siguiente imagen.

Apuntes de trigonometría-3

Suma de cuadrados

(cosα)2+sen(α)

2= 1

La definición de tangente

tg (α) =sen(α)

cos(α)

Ilustración 3: Punto de la circunferencia goniométrica

Observaciones para las razones de triángulos mayores que 90º en la circunferencia goniométrica

Para hallar las razones trigonométricas de ángulos mayores que 90º ( segundo, tercer y cuarto cuadrante) lo que haremos será identificar el ángulo como suma de dos distintos, uno de los cuales este en el primer cuadrante, y le daremos el valor numérico de las razones trigonométricas de este, teniendo en cuenta si son negativas o positivas, según en que cuadrante se encuentren, como indicamos más arriba. Estudiaremos algunos casos particulares, que suelen ser los más frecuentes. Señalamos que trabajamos con grados por comodidad de lenguaje y nos sostenemos en la Ilustración 5.

Los casos que se nos presentan con más frecuencias son los siguientes:

Para ángulos entre 90º y 180º- (imagen a-) ) Lo que hacemos es expresar β, situado en el segundo cuadrante, como β=180º-α, con α en el primer cuadrante. Así pues cos(β)= -cos(α) y sen(β)=sen(α).

Para ángulos entre 180º y 270º- (imagen b-) ) Tenemos que expresar β, que está en el tercer cuadrante, como β=180º+α. Así pues cos(β)= -cos(α) y sen(β)= -sen(α).

Para ángulos entre 270º y 360º- (imagen c-) ) Al igual que las anteriores, buscamos encontrar β, hallándose en el cuarto cuadrante, como β=270º+α. Así pues cos(β)=cos(α) y sen(β)= -sen(α).

Para ángulos negativos- (imagen d-) ) Un ángulo negativo es aquel que ha sido definido siguiendo la dirección de las agujas del reloj. Así pues, tenemos -α equivale a un ángulo β=360-α. Posteriormente, recurrimos a las propiedades anteriormente estudiadas y le asignaremos a sus razones trigonométricas un valor positivo o negativo según en qué cuadrante se encuentre el ángulo β.

Apuntes de trigonometría-4

Ilustración 4: Signo de las razones trigonométricas de ángulos en cualquier cuadrante

Para ángulos mayores que 360º- Lo que hacemos es expresar el ángulo dado, que llamaremos β , como β =360º+α, con un ángulo α situado en cualquiera de los cuadrantes . Posteriormente, definimos su razones trigonométricas usando los pasos anteriores y teniendo en cuenta en qué cuadrante se encuentre.

Bibliografía

Imago Matemáticas, ed. Santillana, colección Biblioteca temática en esquemas y síntesis.

Enciclopedia de las Ciencias Larousse, Tomo 1. Ed. Planeta.

Matemáticas Especiales, varios autores, editorial Sanz y Torres.

Apuntes de trigonometría-5

Ilustración 5: Ángulos mayores que 90º y negativos