Apuntes Resistencia de Materiales Iei

7/23/2019 Apuntes Resistencia de Materiales Iei

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA

FACULTAD DE INGENIERIA

APUNTES ASIGNATURA

RESISTENCIA DE MATERIALES

INGENIERIA DE EJECUCION INDUSTRIAL

PROFESOR: RAUL ROSAS LOZANO

2006

Autor: Ral Rosas Lozano

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INDICE

I CONCEPTO DE ESFUERZO 1

1.1 Introduccin 1

1.1.1 Fuerzas y esfuerzos 1

1. Car!a a"ia# y esfuerzo nor$a# %

1.& Esfuerzo cortante '

1.( Esfuerzos so)re *#anos o)#icuos 1&

1.% Esfuerzo )a+o car!as )ia"ia#es 1,

1.- Esfuerzos *rinci*a#es 1 1.' Defor$acin de e#e$entos so$etidos a car!a a"ia# ,

II TORSIN (1

.1 Introduccin (1

. Esfuerzo cortante ((

.& Defor$acin *or cortante (,

.( F#ec/as !iratorias %0

III FE2IN -(

&.1 Introduccin -(

&. Esfuerzo de f#e"in -%

I3 ESFUERZOS CO45IN6DOS '%

(.1 Introduccin '%

(. Car!as co$)inadas a"ia#es y de f#e"in '-

(..1 F#e"in asi$7trica ',

(.. Car!as e"c7ntricas ,1


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3 TEOR86S DE F66 ,%

%.1 Introduccin ,%

%. Teor9a de# esfuerzo nor$a# $:"i$o ,,

%.& Teor9a de# esfuerzo cortante $:"i$o 0;

%.( Teor9a de #a ener!9a de distorsin 01

3I Co de e+es de trans$isin se!?n e# cdi!o 6S4E 0,

-.& Dise>o de e+es *or ri!idez torsiona# 1;;

3II EE4ENTOS DE SU=ECIN 1;0 '.1 Introduccin 1;0

'. Uniones re$ac/adas 11;

'..1 6n:#isis de #as +untas re$ac/adas 11

'.& =untas atorni##adas 11

'.( =untas so#dadas 1

'.(.1 Dise>o de so#daduras 1%

3III EE4ENTOS DE TR6NS4ISIN 1&1

,.1 6co*#a$ientos de f#ec/as 1&1


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I CONCEPTO DE ESFUERZO

1.1 INTRODUCCIN

E# *rinci*a# o)+eti@o de# estudio de #a resistencia de $ateria#es es dar a# in!eniero

#os $edios necesarios *ara ana#izar y dise>ar diferentes e#e$entos de $:Auinas y

estructuras. Tanto e# an:#isis co$o e# dise>o de una estructura i$*#ican #a

deter$inacin de esfuerzos y deformaciones.

1.1.1 Fuerzas y esfuerzos

En #a fi!ura 1B se $uestra una estructuraB #a cua# consta de dos e#e$entos 65 y

5C Aue en con+unto so*ortan una car!a de &; N.

Fi!ura 1


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Por consideraciones de #a est:tica se reconoce Aue 65 y 5C son e#e$entos de

dos fuerzas *or #o Aue estar:n so$etidos a car!as a"ia#es o*uestas y de# $is$o

@a#or en sus e"tre$osB co$o se indica en #a fi!ura .

Fi!ura

6# construir un dia!ra$a de s#ido #i)re de #a estructura y a*#icando #as

corres*ondientes ecuaciones de eAui#i)rioB se deter$ina Aue e# e#e$ento 65 se

encuentra so$etido a #a fuerza FA! "# $N y e# e#e$ento 5C a FC! %# $N.

Cortando #a )arra 5C en un *unto ar)itrario DB se o)tienen dos *artes 5D y CD

fi!ura &. Co$o de)en a*#icarse fuerzas de %; N en D a a$)as *orciones de #a)arra *ara $antener#as en eAui#i)rioB se deduce Aue se *roduce una fuerza interna

de %; N en #a )arra 5C cuando se a*#ica en 5 una fuerza de &; N yB se nota

ade$:sB Aue #a )arra 5C est: so$etida a tensin. Un an:#isis si$i#ar de$uestra

Aue #a fuerza en #a )arra 65 es de (; N y Aue est: so$etida a co$*resin.


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Fi!ura&

6unAue #os resu#tados o)tenidos re*resentan un *aso inicia#B necesario en e#

an:#isis de #a estructuraB no dice si #a car!a dada *uede so*ortarse con se!uridad.

E# Aue #a )arra 5CB se ro$*a o no )a+o esta car!a de*ende no so#o de# @a#or de

F5Csino ta$)i7n de# @a#or de #a seccin trans@ersa# de #a )arra y de# $ateria# de

Aue est: /ec/a.

a fuerza *or unidad de :reaB o intensidad de #as fuerzas distri)uidas so)re una

seccin dadaB se conoce co$o e# esfuerzo en dic/a seccin y se desi!na *or #a

#etra !rie!a . E# esfuerzo en un e#e$ento de #a seccin trans@ersa# de :rea A

so$etido a una fuerza a"ia# Pco$o se indica en #a fi!ura ( se o)tiene di@idiendo#a $a!nitud P de #a car!a *or e# :rea 6.

& ! P ' A (1)

Fi!ura (


6

(a)

(b)


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Un si!no *ositi@o indicar: un esfuerzo de tensin e#e$ento en tensin y un si!no

ne!ati@o se>a#ar: un esfuerzo de co$*resin e#e$ento co$*ri$ido.

En e# S.I. #a unidad de esfuerzo se e"*resa en NG$. Esta unidad es un *asca+

(Pa). Sin e$)ar!oB e# *asca# es una cantidad $uy *eAue>a y en #a *r:ctica se

usan sus $?#ti*#os co$o e# i#o*asca# PaB e# $e!a *asca# 4*a y e# !i!a*asca#

H*a. Se tiene Aue

1 Pa J 1;&Pa J 1;&NG$

1 4Pa J 1;-Pa J 1;-NG$

1 HPa J 1;0Pa J 1;0NG$

Cuando se usan #as unidades a$ericanasB e# esfuerzo se e"*resa en #)G*u#! *si

#)G*u#!*si.


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1. C6RH6 62I6 K ESFUERZO NOR46

Co$o ya se /a @istoL #a )arra 5C es un e#e$ento de dos fuerzas y *or #o tanto #a

fuerza F5Cest: diri!ida a #o #ar!o de# e+e de #a )arra. Se dice entonces Aue #a )arra

est: so$etida a car!a a"ia#. a seccin Aue se /izo en #a )arra *ara deter$inar #a

fuerza interna y e# esfuerzo corres*ondiente era *er*endicu#ar a# e+e de #a )arraB #a

fuerza interna era *or tanto nor$a# a# *#ano de #a seccin y e# esfuerzo

corres*ondiente es conocido co$o un esfuerzo norma+. 6s9B #a e"*resin de#

esfuerzo nor$a# en un e#e$ento so$etido a car!a a"ia#B es

& ! P ' A (,)

De)e notarse Aue en esta e"*resinB se o)tiene di@idiendo #a $a!nitud PB de #a

resu#tante de #as fuerzas internas distri)uidas en #a seccin trans@ersa#B *or e# :rea

6 de dic/a seccinL re*resenta entonces e# @a#or $edio de# esfuerzo so)re #a

seccinB $:s Aue e# @a#or de# esfuerzo en un *unto es*ec9fico de #a seccintrans@ersa#.

Para definir e# esfuerzo en un *unto M de #a seccin trans@ersa#B se de)e

considerar una *eAue>a :rea 6 fi!ura %

Fi!ura %


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Di@idiendo e# @a#or F *or 6 se o)tiene e# @a#or $edio de# esfuerzo so)re 6.

aciendo Aue 6 tienda a ceroB se /a##a e# esfuerzo en e# *unto M

( )AFA

Q

=lim

0

En !enera# Qmed B aunAue e# esfuerzo @ar9a *oco en una seccin a#e+ada de#

*unto de a*#icacin de #a car!a. En #a *r:cticaB se su*ondr: Aue #a distri)ucin de

esfuerzos nor$a#es en un e#e$ento car!ado a"ia#$ente es unifor$eB e"ce*to en

#a in$ediata @ecindad de #os *untos de a*#icacin de #as fuerzas.


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1.& ESFUERZO CORT6NTE

as fuerzas internas estudiadas anterior$ente y #os corres*ondientes esfuerzos

eran nor$a#es a #a seccin considerada. Un ti*o $uy diferente de esfuerzo se

o)tiene a# a*#icar #as fuerzas trans@ersa#es P y P a# e#e$ento 65 $ostrado en #a

fi!ura -a.

a ) c

Fi!ura -

as fuerzas internas Aue a*arecen a# cortar e# e#e$ento 65 en #a seccin CB co$ose indica en #a fi!ura -)B y cuya resu#tante de)e ser i!ua# a P fi!ura -c son #as

fuerzas cortantes. ue!o en funcin de estoB e# esfuerzo cortanteB Aue se desi!na

*or #a #etra !rie!a tauB se define co$o


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A

Pmed = (-)

a distri)ucin de# esfuerzo cortante nunca *uede su*onerse unifor$e de)ido a

Aue 7ste @ar9a desde cero /asta un @a#or $:"i$o Aue *uede ser $uc/o $ayor

Aue e# @a#or $edio.

os esfuerzos cortantes se *resentan *rinci*a#$ente en *ernosB *asadores y

re$ac/es usados *ara unir di@ersos e#e$entos estructura#es y co$*onentes de

$:Auinas.

Eercicio N/ 1

Una !r?a est: co$*uesta de un *oste de $adera 5C de (Q( *u#! y un tirante

)arrenado de acero 65 de 1 *u#!. de di:$etroB co$o se $uestra en #a fi!ura '. a

!r?a #e@anta una car!a de ';;; #). Deter$inar e# esfuerzo nor$a# en #os

$ie$)ros 65 y5C y e# esfuerzo cortante trans@ersa# en e# *erno de 1 *u#!. de

di:$etroB en 6B Aue est: tra)a+ando a do)#e corte.


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Fi!ura '

So+uci0n o *ri$ero Aue se de)e /acer es deter$inar #as car!as Aue so*orta

cada $ie$)roL *ara e##o se de)e considerar e# dia!ra$a de s#ido #i)re de #a !r?a

y de #a cone"in en 6B ta# co$o se $uestra en #a fi!ura ,.

)

Fi!ura ,

os $ie$)ros 65 y 5C est:n so$etidos a car!a a"ia#. Si se a*#ica #as ecuaciones

de eAui#i)rio a# dia!ra$a de s#ido #i)re de #a fi!ura ,aB se o)tiene #os si!uientes

resu#tados

( ) ( ) ( ) ==

= TlbFFM AAC 13000057000713

5:0

#ue!o ( )

( )TpsiA

FAB

AB

AAB 1,16552

41

130002

===

( ) ( ) ( ) === ClbFFF CCY 56,16970013513000700021:0


12

(a)


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#ue!o ( )CpsiAF

BCBC

C

BC 66,10604!4

56,16970

===

K de# dia!ra$a de s#ido #i)re de #a fi!ura 1.,) Aue es e# de #a cone"in en 6B

se tiene

=== lbVVFF AX 650002:0

#ue!o

( ) psi

A

VP

P

P 05,8276

4

1

65002

===


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Eercicio N/ ,

En #a fi!ura 0a e# esfuerzo a"ia# de co$*resin en e# *oste de $adera 5 es de

11%; *si y e# esfuerzo de tensin en #a )arra de acero 6 es de 10;;; *si.

Deter$inar e# @a#or de #a car!a P.

C2

Fi!ura 0


14

"

#$

%

(a)

(b)


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So+uci0n En #a fi!ura 0) se $uestra e# dia!ra$a de s#ido #i)re de #a )arra

/orizonta#B *#anteando #a ecuacin de eAui#i)rio de $o$ento con res*ecto a#

e"tre$o C y considerando e# sentido anti/orario co$o *ositi@oB se tiene

0)16()16()6(:0 =+= PNTMC

*ero de #as condiciones de# *ro)#e$a se *uede esta)#ecer Aue

805071150

95005,019000

===

===

NxAxN

TxAxT

A

AA

Ree$*#azando estos dos @a#ores en #a ecuacin de $o$entoB se o)tiene e# @a#or

lbP 5,11612=


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1.( ESFUERZOS SO5RE P6NOS O5ICUOS

asta aAu9 se /a @isto Aue #as fuerzas a"ia#es e+ercidas so)re e#e$entos de dos

fuerzas !enera)an esfuerzos nor$a#es en dic/os e#e$entosB $ientras Aue #as

fuerzas trans@ersa#es causa)an esfuerzos cortantes. a razn *ara Aue se

o)ser@ara ta# re#acin entre fuerzas a"ia#es y esfuerzos nor$a#esB *or una *arteB y

fuerzas trans@ersa#es y esfuerzos cortantes *or otraB era Aue #os esfuerzos

esta)an deter$in:ndose s#o en *#anos *er*endicu#ares a# e+e de# e#e$ento.

6# considerar un e#e$ento de dos fuerzas so$etido a #as fuerzas P y PB co$o se

$uestra en #a fi!ura 1;a. Si se /ace un corte Aue for$e un :n!u#o con e# *#anonor$a# fi!ura 1;) y se di)u+a e# dia!ra$a de cuer*o #i)re de #a *arte de#

e#e$ento a #a izAuierda de #a seccin fi!ura 1;c se deter$inaB *artiendo de #as

ecuaciones de# eAui#i)rioB Aue #as fuerzas distri)uidas en #a seccin de)en ser

eAui@a#entes a #a fuerza P.

( a) (b)

c d e


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Fi!ura 1;

Desco$*oniendo P en sus co$*onentes F y 3B nor$a# y tan!encia# a #a seccin

res*ecti@a$ente fi!ura 1;dB se tiene Aue

senPVyPF == &os

a fuerza F re*resenta #a resu#tante de #as fuerzas nor$a#es en #a seccin y 3

re*resenta #a resu#tante de #as fuerzas cortantes. E# @a#or $edio de #os esfuerzos

en dic/a seccin son

&osAAdonde

AVy

AF ===

Ree$*#azando #as e"*resiones de F y 3 en #as de y res*ecti@a$enteB se tiene

&os&os 0

2

0 senA

P

yA

P

== (")

De estas e"*resiones se *uede deducir Aue es $:"i$o cuando @a#e ; o 1,;L

Aue es $:"i$o cuando @a#e (% o 1&% y ta$)i7n AueB2

mxmx

=

Por #o tantoB #os esfuerzos $:"i$os est:n dados *or

A

Pmx = y A

Pmx

2=


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Se de)e considerar dos cosas res*ecto de estas ecuaciones. a *ri$era es Aue

son a*#ica)#es a *artes Aue est:n car!adas ya sea a tensin o a co$*resin. a

se!unda y $:s i$*ortante es Aue #a #9nea de accin de #a car!a de)e *asar a

tra@7s de# centroide de #a seccin trans@ersa# y de)e coincidir con e# e+e.

Sie$*re e# esfuerzo nor$a# ser: $:"i$o o $9ni$o en #os *#anos *ara #os cua#es

e# esfuerzo cortante es cero.

Eercicio N -

Dos e#e$entos de $aderaB con seccin trans@ersa# unifor$e de & " % *u#!B est:n

unidos con *e!a$ento. Si P J ,;; #)B deter$ine #os esfuerzos nor$a# y cortante

en #a unin $ostrada en #a fi!ura 11.

'iura 11

So+uci0n

6*#icando #as ecuaciones (")B se tiene Aue

( ) ( ) ( ) ( ) psisenTpsi 4,2025&os2515

8008,4325&os

15

800 2 ====


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Se *uede de$ostrar Aue si e"iste un esfuerzo cortante en un *unto de cua#Auier

*#anoB de)e ta$)i7n e"istir en dic/o *unto un esfuerzo cortante de #a $is$a

$a!nitud *ero con si!no contrario en un *#ano orto!ona#. Para este efectoB se

considerar: e# dia!ra$a de s#ido #i)re de un *eAue>o )#oAue rectan!u#ar de

es*esor dzB se!?n se $uestra en #a fi!ura 1.

Fi!ura 1

Si una fuerza cortante dzdxV yxx = se a*#ica a #a cara su*erior de# )#oAueB #a e

cuacin = 0xF o)#i!a a esta)#ecer una fuerza diri!ida en sentido o*uesto a 3"en #a *arte inferior de# )#oAueB Auedando as9 e# )#oAue so$etido a un *ar de

sentido /orarioB este *ar de)er: ser co$*ensado *or otro *ar en sentido

anti/orario co$*uesto *or #as fuerzas dzdyV xyy = a*#icadas a #as caras

@ertica#es de# )#oAue. Por ?#ti$o #a a*#icacin de #a ecuacin de eAui#i)rio

= 0zM da #a si!uiente e"*resin

( ) ( ) == 0:0 dydzdxdxdzdyM yxxyz


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de #a Aue se o)tiene Aue

yxxy =

Con #o cua# Aueda de$ostrado #o Aue se *retend9a. Este *rinci*io es ta$)i7n

@:#ido cuando est:n actuando esfuerzos nor$a#es so)re #os *#anosB *uesto Aue

estos esfuerzos se *resentan en for$a de *ares co#inea#esB *ero de direccin

o*uesta y as9 e# $o$ento es cero con res*ecto a cua#Auier e+e.


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1.% ESFUERZO 56=O C6RH6S 5I62I6ES

6unAue se de+ esta)#ecido Aue #as e"*resiones desarro##adas en #a seccin

anterior son de @a#idez restrin!idaB #i$itada a #os casos de car!as centradasB e#

$7todo de# dia!ra$a de s#ido #i)re Aue se e$*#eo *ara deter$inar#as *uede

ta$)i7n ser usado *ara reso#@er #os *ro)#e$as en #os Aue inter@en!an car!as en

dos direcciones )ia"ia#es. a $anera de co$o *roceder Auedar: esta)#ecida en

e# si!uiente e+e$*#o.

Eercicio N/ "

En un *unto dado de un e#e$ento de una $:AuinaB se e@a#uaron #os si!uientes

esfuerzos ,;;; *si T y corte ceroB en un *#ano /orizonta# y (;;; *si C en un

*#ano @ertica#. Deter$ine #os esfuerzos en este *untoB en un *#ano inc#inado con

*endiente de & unidades @ertica#es *or ( /orizonta#es.

So+uci0n. Co$o una for$a de @isua#izar de $e+or $anera #os datos entre!adosB

se de)e di)u+ar e# )#oAue diferencia# Aue se $uestra en #a fi!ura 1&a Aue es un

di)u+o de #os esfuerzos y no un dia!ra$a de s#ido #i)re. En se!uida se traza e#

dia!ra$a de s#ido #i)reB donde de)en a*arecer #os @ectores de fuerza ordinarios.

Para este efecto se *uede uti#izar @arios dia!ra$as de s#ido #i)re acordes con #a

situacinB ta# co$o e# de# e#e$ento en for$a de cu>a definido *or #os tres *#anos

dados en #a fi!ura 1&) en #a Aue e# :rea so$)reada indica e# *#ano en Aue e#

esfuerzo Aue de)e ser e@a#uado act?a. 6 esta :rea se #e asi!nar: en for$a

ar)itraria #a $a!nitud diferencia# dA B #ue!o #as :reas corres*ondientes a #as caras

@ertica# y /orizonta# de# e#e$ento ser:n dAydA 8,06,0 B res*ecti@a$ente.


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as fuerzas Aue act?an so)re estas :reas son #as Aue est:n indicadas en e#

dia!ra$a. No se de)e o#@idar Aue son #os @ectores de fuerza #os Aue act?an so)re

dic/as :reas. Para #os fines *r:cticosB e# dia!ra$a de s#ido #i)re en e# *#ano de #a

fi!ura 1&c )astar:. 6/ora se a*#ican #as ecuaciones de eAui#i)rioB es decirB se

su$ar:n #as fuerzas en #a direccin nor$a# y tan!encia# *ara o)tener #os esfuerzos

*edidos.

Fi!ura 1&


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(a)

(b) (&)


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( ) ( ) ( ) ( ) ( )TpsidAdAdAFn 368008,08,080006,06,04000:0 ==+=

( ) ( ) ( ) ( ) psidAdAdAFt 576006,08,080008,06,04000:0 ==++=

ay Aue recordar Aue e# esfuerzo nor$a# sie$*re de)er: ser desi!nado co$o de

tensin T o de co$*resin C.


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1.- ESFUERZOS PRINCIP6ES

En #a fi!ura 1( se i#ustra un e#e$ento de# estado !enera# de esfuerzo

tridi$ensiona# donde se $uestran tres esfuerzos nor$a#es 2 3 y 3 z B todos

*ositi@osL y seis esfuerzos cortantes 2y B y2 3 yz 3 zy 3 z2 y 2z B ta$)i7n

*ositi@os. Este e#e$ento est: en eAui#i)rio est:tico yB *or #o tanto

2y ! y2 yz ! zy z2J 2z

os esfuerzos nor$a#es diri!idos /acia afuera de# e#e$ento se consideran

*ositi@os y son de tensin. os cortantes son *ositi@os siact?an en #a direccin

*ositi@a de un e+e de referencia. E# *ri$er su)9ndice de una co$*onente de

esfuerzo cortante indica e# e+e coordenadoB Aue es *er*endicu#ar a #a cara de#

e#e$entoL e# se!undo indica e# e+e de coordenadas *ara#e#o a dic/a co$*onente.


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Fi!ura 1(

Un esfuerzo cortante *ositi@o a*unta en #a direccin*ositi@a de# e+e coordenado

de# se!undo su)9ndice si act?a so)re una su*erficie Aue ten!a su nor$a# /acia

afuera en #a direccin *ositi@a. Contraria$enteB si #a nor$a# /acia afuera de #a

su*erficie esta en #a direccin ne!ati@a entonces e# esfuerzo cortante *ositi@oa*unta en #a direccin ne!ati@a de# e+e coordenado corres*ondiente a# se!undo

su)9ndice. ue!oB co$o ya se /a)9a $encionado anterior$enteB #os esfuerzos

Aue se $uestran en #a fi!ura 1( son todos *ositi@os

a fi!ura 1%a i#ustra un estado de esfuerzo *#ano o )ia"ia#B Aue es #o $:s usua#.

Una @ez Aue #os esfuerzos nor$a# y cortante so)re estos *#anos orto!ona#es sean

conocidosB #os esfuerzos nor$a# y cortante en cua#Auier *#ano o)#icuo es*ec9fico

Aue *ase *or e# $is$o *untoB *ueden f:ci#$ente ser deter$inados $ediante e#

$7todo de# dia!ra$a de s#ido #i)re estudiado en #a seccin anterior. Desde e#

*unto de @ista de# dise>oB !enera#$enteB #os esfuerzos cr9ticos son #os @a#ores

$:"i$os de tensinB de co$*resin y de $:"i$o esfuerzo cortante. Por #o tantoB


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e# $7todo de #a seccin 1.% no resu#ta adecuado a $enos Aue se conozcan #as

#oca#izaciones de ta#es *#anos.

a )

Fi!ura 1%

os esfuerzos nor$a#es $:"i$o y $9ni$o en un *unto de# cuer*o car!ado son

definidos co$o #os esfuerzos *rinci*a+es y #os *#anos en Aue e##os act?an se

deno$inan *+anos *rinci*a+es. E# tercer esfuerzo *rinci*a# en e# caso de

esfuerzo en e# *#ano "y es zAue es i!ua# a cero.

Para deter$inar #as fr$u#as Aue *er$itan e@a#uar y #oca#izar estos esfuerzos

*rinci*a#es se su*uso Aue e# e#e$ento de #a fi!ura 1%a fue cortado *or un *#ano

inc#inado en un :n!u#o B co$o se @e en #a fi!ura 1%)L e# :n!u#o es considerado

*ositi@o cuando se cuenta en sentido anti/orario. a fi!ura 1%) es e# dia!ra$a

de s#ido #i)re de# e#e$ento en for$a de cu>a de# cua# fueron deducidas #as

fr$u#as antes $encionadas y Aue son #as si!uientes

( ) ( )

2

2yx

xytg

=

(%)


*

+*

+*

+nt-A

n-A

+*

-A&os.

+*

-As/n.

*-A&os.

-As/n.

..

nt

26


27/143

( )( ) 2

2

2,122

xy

yxyx

+

+=

(4)

( ) 22

2

xy

yx

mx

+

= (5)

( )

2

21

=

mx (6)

os @a#ores de de #a fr$u#a (%) dan #a orientacin de #os *#anos *rinci*a#es.

Para un +ue!o dado de @a#ores de "yB "y y /ay dos @a#ores de se*arados 0;.

Esto *rue)a Aue #os *#anos *rinci*a#es son nor$a#es entre s9. Cuando #a t! es

*ositi@aB es *ositi@o y #a rotacin es en sentido anti/orario desde #os e+es " e y a

#os *#anos en Aue #os esfuerzos *rinci*a#es act?an. Cuando #a t! es ne!ati@aB

#a rotacin es en sentido /orario. Se de)e de+ar indicado Aue un @a#or de se

encontrar: sie$*re entre #os (% *ositi@os y ne!ati@os inc#usi@e con e# otro @a#or

0; $:s !rande. E# esfuerzo *rinci*a# de @a#or nu$7rico $ayor actuar: en e#

*#ano Aue for$e un :n!u#o de (% o $enor con e# *#ano de# $ayor nu$7rica$ente

de #os dos esfuerzos nor$a#es dados. Ta$)i7n se de)e notar Aue si uno o a$)os

esfuerzos *rinci*a#es son ne!ati@osB e# $:"i$o esfuerzo a#!e)raico *uede tener

un @a#or a)so#uto $enor Aue e# $9ni$o esfuerzo.

a fr$u#a (4)da #os dos esfuerzos *rinci*a#es en e# *#ano "y y e# tercero es & J

z J ;.


27


28/143

a fr$u#a (5) da #os @a#ores de #os $:"i$os esfuerzos cortantesB estos ocurren

en *#anos Aue se encuentran a (% de #os *#anos *rinci*a#es.

a fr$u#a (6)esta)#ece una re#acin $uy ?ti# entre #os esfuerzos *rinci*a#es y e#

esfuerzo cortante $:"i$o.

Si #os @a#ores de 1y de #a fr$u#a (4)tienen e# $is$o si!noB entonces e# tercer

esfuerzo *rinci*a# & i!ua# a ceroB ser: e# $:"i$o o e# $9ni$o esfuerzo nor$a#.

ue!o e# $:"i$o esfuerzo cortante *uede ser 1 GB V ; G o 1V ; GB

se!?n #as $a!nitudes re#ati@as y #os si!nos de #os esfuerzos *rinci*a#es.

a direccin de# esfuerzo cortante $:"i$o se *uede deter$inar di)u+ando un

)#oAue de for$a de cu>a con dos caras *ara#e#as a #os *#anos en #os Aue se

*resentan e# $:"i$o y $9ni$o esfuerzo *rinci*a# y con #a tercera cara a (% con

#as otras dos. a direccin de# esfuerzo cortante $:"i$o de)er: ser o*uesta a#

$ayor de #os esfuerzos *rinci*a#es.

Otra re#acin $uy ?ti# entre #os esfuerzos *rinci*a#es y #os esfuerzos nor$a#es en

*#anos orto!ona#esB se o)tiene su$ando #os @a#ores de #os dos esfuerzos

*rinci*a#es dados *or #a fr$u#a (4). E# resu#tado es

yx +=+ 21 (7)

Aue se e"*resa diciendo AueB *ara esfuerzos *#anosB #a su$a de #os esfuerzos

nor$a#es en dos *#anos orto!ona#es cua#esAuiera en un *unto de un cuer*o esuna constante.

En todo #o Aue se /a @isto anterior$enteB #os esfuerzos W$:"i$oX y W$9ni$oX se

/an considerado co$o cantidades a#!e)raicas. Sin e$)ar!oB en #as a*#icaciones a


28


29/143

*ro)#e$as de in!enier9a Aue son #os de este cursoB e# t7r$ino W$:"i$oX sie$*re

indicar: a# $ayor @a#or a)so#utoB es decirB #a $ayor $a!nitud.

En #os si!uientes e+e$*#os se @er: #a a*#icacin de #as fr$u#as @istas en esta

seccin.

Eercicio N/ %

En un *unto de un $ie$)ro estructura# so$etido a esfuerzo *#anoB e"isten #os

esfuerzos Aue se $uestran en #a fi!ura 1-aB en #os *#anos /orizonta# y @ertica#Aue *asan *or e# *unto $encionado.

a Deter$inar #os esfuerzos *rinci*a#es y e# $:"i$o esfuerzo cortante en e#

*unto.

) oca#izar #os *#anos en #os Aue dic/os esfuerzos act?an y $ostrar#os en un

croAuis.

So+uci0n. a De acuerdo con #a con@encin de si!nos Aue se /a esta)#ecidoB "

es *ositi@oB $ientras Aue y y "y son ne!ati@os. Para ser sustituidos en #as

fr$u#as (4)B (5)y (%)#os @a#ores dados son

" J 1;;;; *siB y J -,;;; *si y "y J (;;; *si

6# ree$*#azar estos @a#ores en #a fr$u#a (4)3se o)tieneB


29


30/143

( )22

2,1 40002

800010000

2

800010000+

+

=

#ue!o

1 J 1;,(0 *si T y J ,,(0 *si C

*uesto Aue 1 y son de si!nos contrariosB e# $:"i$o esfuerzo cortante es

$:". J [1;,(0 ,,(0 ]G $:". J 0,(0 *si

) Cuando #os @a#ores dados se sustituyen en #a fr$u#a (%)se o)tiene

t! J (;;; G 0;;; J ;B(((( J 11B0, 11B0,

E# croAuis reAuerido es e# Aue se $uestra en #a fi!ura 1- c ).


30


31/143

Fi!ura 1-

1.' DEFOR46CIN DE EE4ENTOS SO4ETIDOS 6 C6RH6 62I6

Considere una )arra /o$o!7nea 5C de #on!itud y seccin trans@ersa# unifor$e

6B so$etida a una car!a a"ia# P fi!ura 1'.


31

(a)

(b)

(&)


32/143

Fi!ura 1'

Se define #a defor$acin unitaria nor$a# en una )arra )a+o car!a a"ia# co$o e#

a#ar!a$iento *or unidad de #on!itud de dic/a )arra. Re*resent:ndo#a *or eB se

tiene

Le

= (1#)

donde es #a @ariacin de #on!itud y L #a #on!itud inicia#.

Si e# esfuerzo a"ia# no e"cede e# #9$ite de *ro*orciona#idad de# $ateria#B *uede

a*#icarse #a #ey de ooe y escri)ir


32

(a) (b)


33/143

doreemplazanentonesL

eomoA

Pe!l"egoA

Pye! ====

!ALP= (11)

Esta ?#ti$a e"*resin *uede usarse s#o si #a )arra es /o$o!7nea ! constanteB

tiene seccin trans@ersa# A constante y esta car!ada en sus e"tre$os. Si #a )arra

est: car!ada en otras *artes o si consta de @arias secciones trans@ersa#esB y

*osi)#e$enteB de di@ersos $ateria#esB se de)e di@idir en tantas *artes

co$*onentes co$o sea necesarioB de ta# for$a Aue cada una de e##as satisfa!a

#as condiciones *ara usar 7sta ecuacin. #a$ando res*ecti@a$ente

iiii !ALP ,,, B #a fuerza internaB #on!itudB :rea de #a seccin trans@ersa# y $du#o

de e#asticidad Aue corres*onde a #a *arte i B e# a#ar!a$iento de #a )arra co$*#eta

ser:

=

=n

i ii

ii

!A

LP

1

(1,)

Eercicio N 4

Deter$ine #a defor$acin de #a )arra de acero E J 0 " 1;-*si indicada en #a

fi!ura 1,a )a+o #as car!as dadas.


33


34/143

Fi!ura 1,

So+uci0n Se di@ide #a )arra en tres *artes co$o se $uestra en #a fi!ura 1,)B yse tiene

1= J 1 *u#! &J 1- *u#! 61J 6J ;B0 *u#! 6&J ;B& *u#!

Para encontrar #as fuerzas internas P1B PB y P&, se de)e *asar secciones *or cada

*arte co$*onente di)u+ando en cada caso e# dia!ra$a de cuer*o #i)re de #a

*orcin de )arra #oca#izada a #a derec/a de #a seccin fi!ura 1,c. Sa)iendo Aue

cada uno de #os cuer*os #i)res est: en eAui#i)rioB se o)tiene

P1J -; #) PJ 1% #) P&J &; #)


34

(a)

(b)


35/143

Ree$*#azando todos #os @a#ores o)tenidos en #a ecuacin (1,)B se tiene

( )( ) ( )( ) ( )( )l10!9,75

3,0

1610!30

9,0

1210!15

9,0

1210!60

10!29

1 3333

6 p"=

+

+=

a )arra de #a fi!ura 1'B Aue se uti#iz *ara deducir #a ecuacin (11)y #a )arra de#

*ro)#e$a anteriorB ten9an a$)as un e"tre$o unido a un so*orte fi+o. En cada casoB

entoncesB e# a#ar!a$iento de #a )arra era i!ua# a# des*#aza$iento de su

e"tre$o #i)re. Sin e$)ar!oB cuando a$)os e"tre$os de #a )arra se $ue@enB e#a#ar!a$iento de #a )arra se $ide *or e# desplazamiento relativode un e"tre$o de

#a )arra con res*ecto a# otro. Si a# con+unto de #a fi!ura 10a Aue consta de tres

)arras e#:sticas de #on!itud L B conectadas *or un *asador r9!ido en 6B se #e

a*#ica una car!a P en 5 fi!ura 10)B cada )arra se defor$ar:.


35

(a)

(b)


36/143

Fi!ura 10

Co$o #as )arras 6C y 6C est:n unidas a so*ortes fi+os en C y CB su acorta$iento

co$?n es A de# *unto 6. Por otra *arteB co$o a$)os e"tre$os de #a )arra 65

se $ue@enB e# a#ar!a$iento de 65 est: $edido *or #a diferencia entre #os

des*#aza$ientos A y B de #os *untos 6 y 5B es decirB *or e# des*#aza$iento

re#ati@o de 5 con res*ecto a 6. Re*resentando este des*#aza$iento *or AB B se

escri)e

!A

LP

ABAB ==

dnde A es e# :rea de #a seccin trans@ersa# 65 y ! e# $du#o de e#asticidad.

Eercicio N/ 5

a )arra co$*uesta de acero E J 0Q1;&*si $ostrada en #a fi!ura ;a consta

de dos se!$entosB 65 y 5DB cuyas :reas trans@ersa#es son 1 *u#!

y *u#!

res*ecti@a$ente. Deter$ine e# des*#aza$iento @ertica# de# e"tre$o 6 y e#

des*#aza$iento de 5 res*ecto a C.


36

(a)(b)


37/143

Fi!ura ;

So+uci0n De)ido a #a a*#icacin de #as car!as e"ternasB #as fuerzas a"ia#es

internas en #as secciones 65B 5C y CD ser:n todas diferentes. Esas fuerzas se

o)tienen a*#icando e# $7todo de #as secciones y #a ecuacin de eAui#i)rio *or

fuerza @ertica#B co$o se indica en #a fi!ura ;). Usando #a con@encin de si!nos

Aue esta)#ece Aue fuerzas internas de tensin son *ositi@as y fuerzas internas de

co$*resin son ne!ati@asB e# des*#aza$iento @ertica# de 6 res*ecto a# so*orte fi+o

D es

( )( ) ( )( ) ( )( )l0127,0

2

12!19

2

12!5,17

1

12!215

10!29

13

p"AA =

+=

Co$o e# resu#tado es *ositi@oB #a )arra se a#ar!a y e# des*#aza$iento de 6 es /acia

arri)a.

6*#icando #a ecuacin (11)entre #os *untos 5 y CB se o)tiene

( )( )

( )( ) l00217,0

10!292

12!5,173

p"!A

LPCB

BC

BCBC

CB ===

6Au9 5 se a#e+a de CB ya Aue e# se!$ento se a#ar!a.


37


38/143

Eercicio resue+8o N/ 6

E# con+unto $ostrado en #a fi!ura 1a consiste en un tu)o 65 de a#u$inio con

:rea trans@ersa# de (;; $$. Una )arra de acero con di:$etro de 1; $$ est:

unida a un co##ar9n r9!ido y *asa a tra@7s de# tu)o. Si se a*#ica una car!a de

tensin de ,; N a #a )arraB deter$ine e# des*#aza$iento de# e"tre$o C de #a

)arra. Considere EacJ ;; HPa y Ea#J '; HPa.

Fi!ura 1

So+uci0n E# dia!ra$a de cuer*o #i)re de# tu)o y de #a )arra fi!ura 1)B

$uestra Aue #a )arra est: so$etida a una tensin de ,; N y e# tu)o a una

co$*resin de ,; N.

6# deter$inar e# des*#aza$iento de# e"tre$o C con res*ecto a# e"tre$o 5B se

tiene

( )( )( ) ( )

m!A

LPBCBC 003056,0

10!200005,0

6,010!8092

3

===


38

(a) (b)


39/143

E# si!no *ositi@o indica Aue e# e"tre$o C se $ue@e /acia #a derec/a con res*ecto

a# e"tre$o 5B ya Aue #a )arra se a#ar!a. E# des*#aza$iento de# e"tre$o 5 con

res*ecto a# e"tre$o fi+o 6 es

( )( )( )

m!A

LPBB 001143,0

10!7010!400

4,010!8096

3

=

==

E# si!no $enos indica aAu9 Aue e# tu)o se acortaB *or #o Aue 5 se $ue@e /acia #a

derec/a res*ecto a 6.

Co$o a$)os des*#aza$ientos son /acia #a derec/aB e# des*#aza$iento resu#tante

de C res*ecto a 6 es

mmmCBCBC 199,4004199,0003056,0001143,0 ==+=+=


39


40/143

Eercicio resue+8o N/ 7

Una @i!a r9!ida 65 descansa so)re #os dos *ostes cortos $ostrados en #a fi!ura

a. 6C es de acero E J ;; HPa y tiene un di:$etro de ; $$L 5D es de

a#u$inio E J '; HPa y tiene un di:$etro de (; $$. Deter$ine e#

des*#aza$iento de# *unto F cuando se a*#ica una car!a @ertica# de 0; N so)re

este *unto.

Fi!ura

So+uci0n as fuerzas de co$*resin Aue act?an so)re cada *oste se deter$inan

a *artir de# eAui#i)rio de# e#e$ento 65B fi!ura ). Esas fuerzas son i!ua#es a #as

fuerzas internas en cada *osteB fi!ura c.


40

(a)

(b)

(-)(&)


41/143

E# des*#aza$iento de #a *arte su*erior de# *oste 6C es

( )( )( ) ( )

=

== m!A

LPA

aAC

ACAC

A

4

92

3

10!86,210!20001,0

3,010!60

E# des*#aza$iento de #a *arte su*erior de# *oste 5D es

( )( )( ) ( )

=== m!A

LPB

alB#

B#B#B

4

92

3

10!02,110!7002,0

3,010!30

En #a fi!ura d se $uestra un dia!ra$a de #os des*#aza$ientos de #os *untos

6B 5 y F situados en e# e+e de #a @i!a. Por *ro*orciones en e# tri:n!u#o so$)readoB

e# des*#aza$iento de# *unto F es

=

+= mmFF 225,0600

400184,0102,0


41


42/143

Eercicio resue+8o N/ 1#

a )arra CE de Y *u#! de di:$etro y #a )arra DF de *u#! de di:$etro est:n

unidas a #a )arra r9!ida 65CD co$o se $uestra en #a fi!ura &a. Sa)iendo Aue

#as )arras son de a#u$inio y Aue E J 1;B1 Q 1; -*siB deter$ine a #a fuerza en

cada )arra y ) e# des*#aza$iento de# *unto 6.

Fi!ura &

So+uci0n Considerando e# dia!ra$a de cuer*o #i)re de #a )arra 65CDB fi!ura

&)B se o)ser@a Aue #as reacciones en 5 as9 co$o #as fuerzas Aue e+ercen #as

)arras son indeter$inadas. Sin e$)ar!o recurriendo a #a est:tica se escri)e


42

(a)

(-)

(b)

(&)


43/143

( ) ( ) ( ) 020121810 == #FC!B FFM Q

Des*u7s de a*#icar #a fuerza de 1; #)B #a *osicin de #a )arra es 65CD fi!ura

&c. De #os tri:n!u#os se$e+antes 566B 5CC y 5DD se tiene

#C#C

6,02012

=

=

QQ

#A#A

9,02018

=

=

QQQ

Considerando #os des*#aza$ientos de #os e"tre$os C y D de #as )arras EC y FD

*roducidos *or #as fuerzas FCEy FDF res*ecti@a$enteB se tiene

!A

LF

!A

LF

#F

#F#F#

C!

C!C!C ==

Sustituyendo C y # en QQB

( )

( ) #FC!#FC!

#F

#F#F

C!

C!C! FFFF!A

LF

!A

LF333,0

24

306,06,0

2

4

3

4

1

2

2

1

4

1

=

==


43


44/143

Sustituyendo C!F en QB se tiene

( ) ( ) ( ) $lbFy$lbFFF C!#F#F#F 5,25,702012)333,0(1810 ===

E# des*#aza$iento de# *unto D es

( )( )( ) ( )

l0504,010!1,10

3010!5,762

43

41

3

p"!A

LF#

#F

#F#F# ===

Ree$*#azando # en QQQB se tiene

( ) l04536,00504,09,0 p"AA ==


44


45/143

II TORSION

.1 INTRODUCCIN

En e# $ateria# descrito en #a seccin anteriorB #as car!as e"teriores se a*#icaron

en ta# for$a Aue se *roduc9an ya esfuerzos nor$a#esB ya esfuerzos cortantes

en #os $ie$)ros. En 7sta unidad se estudiar: e# efecto de car!as de torsin

so)re #os $ie$)ros. Estas car!as !enera#$ente se *resentan en for$a de

*ares Aue /acen !irar #os $ie$)rosB yB co$o se @er: $:s ade#anteB *roducen

esfuerzos cortantes.

as f#ec/as o e+es circu#ares son #os $ie$)ros $:s co$?n$ente asociados con

car!as de torsin y se *resentan $uc/as a*#icaciones *r:cticas *ara e##osB

es*ecia#$ente en e# ca$*o de# dise>o de $:Auinas. as car!as de torsin

!enera#$ente se a*#ican *or $edio de *o#eas o en!ranes Aue $ue@en o son

$o@idos *or #as f#ec/as.

Co$o e+e$*#os de $ie$)ros su+etos a car!as de torsinB considere$os #as

fi!uras ( y %. a fi!ura (a i#ustra una f#ec/a ci#9ndrica fi+a en un

e"tre$oB con un disco en e# otro e"tre$o. Se a*#ican dos fuerzas i!ua#es y

o*uestas P en e# *#ano de# discoB co$o se $uestra. Estas dos fuerzasB

se*aradas una distancia d for$an una *ar. E# efecto de este *ar o *ar de

torsinB co$o !enera#$ente se #e ##a$aB es torcer e# e+e a#rededor de su e+e

#on!itudina#. En #u!ar de re*resentar e# *ar co$o dos fuerzasB se usar: #a

desi!nacin a#ternati@a de una #9nea cur@a cuya *unta indica #a direccin de#

*arB co$o se $uestra en #a fi!ura ().


45


46/143

Fi!ura (

E# *ar resistente interno *uede deter$inarse a*#icando #a ecuacin de

eAui#i)rio [4e+eJ ; a un dia!ra$a de cuer*o #i)re de #a f#ec/a. Es decirB *ara

deter$inar e# *ar interno en cua#Auier *osicin de #a f#ec/aB corta$os 7sta

$ediante un *#ano i$a!inario *er*endicu#ar a# e+e de #a $is$a en e# #u!ar

deseado y /a##a$os #a su$a de #os $o$entos de# dia!ra$a de cuer*o #i)re

resu#tanteB con res*ecto a# e+e #on!itudina#. Para e# caso considerado aAu9B #a

fi!ura (d indica Aue e# *ar resistente interno es i!ua# a# *ar e"terno T. Para

una f#ec/a Aue est7 su+eta a @arios *ares a*#icados en diferentes #u!aresB es

necesario /acer e# dia!ra$a de cuer*o #i)re de @arias secciones. E# *ar

resistente interno es #a su$a de todos #os *ares e"ternos /asta e# *#ano en

cuestin.


46

(a)

(&)(-)

(b)


47/143

Otro $7todo co$?n *ara a*#icar car!as torsiona#es se i#ustra en #a fi!ura

%a. En este casoB se a*#ica una so#a car!a P a una distancia r de# e+e

#on!itudina#. Por est:ticaB esta fuerza *uede desco$*onerse en una fuerza

y un *ar en e# centro de #a f#ec/aB co$o se indica en #a fi!ura %) y c.

Fi!ura %

En este casoB #a f#ec/a esta su+eta a un *ar TB Aue #a /ace !irar res*ecto a

su e+eB y ta$)i7n a una fuerza P. Si #a f#ec/a est: a*oyada en e# *unto de

a*#icacin de #a fuerzaB e# *ro)#e$a es de torsin si$*#e. Sin e$)ar!oB si

ade$:s #a f#ec/a *uede f#e"ionarse #i)re$ente )a+o #a a*#icacin de esta

fuerzaB e# *ro)#e$a se con@ierte en uno en Aue se co$)ina f#e"in y torsin.

os *ro)#e$as Aue contienen una co$)inacin de esfuerzos de torsin y de

f#e"in yGo esfuerzos a"ia#es se estudiar:n $:s ade#ante. En esta seccinB

se tratar: so#a$ente #a teor9a de #a torsin en f#ec/as de seccin circu#ar.

Por consi!uienteB en cua#Auier *ro)#e$a Aue se *resente en este ca*9tu#oB

se su*one Aue #as f#ec/as est:n a*oyadas de ta# $anera Aue todos #os

esfuerzos Aue no sean de torsinB se des*recian.

Esta seccin cu)re e# an:#isis y dise>o de f#ec/as circu#ares su+etas a

esfuerzos *or de)a+o de# # 9$ite de *ro*orciona#idad de# $ateria#. Se

discutir: )re@e$ente #a torsin de f#ec/as no circu#ares. as f#ec/as

circu#ares su+etas a esfuerzos en e# inter@a#o ine#:stico no se discuten en

este a*unte.


47

(a) (b) (&)


48/143

. ESFUERZO CORT6NTE

Cuando un $ie$)ro de seccin circu#ar es so$etido a car!as de torsinB se

*roducen en e#B fuerzas cortantes internas. E# *roducto de estas fuerzas

cortantes *or sus res*ecti@as distancias desde e# e+e de #a f#ec/a *roduce

$o$entosB cuya su$a o resu#tante es e# *ar resistente interno descrito en #a

seccin anterior.

a fi!ura -) i#ustra #a accin de #as fuerzas internas Aue for$an e# *ar

resistente. Ka Aue estas fuerzas son tan!entes a #a su*erficie de# $ateria#B*roducen esfuerzos cortantes. a re#acin entre #as fuerzas tan!encia#es y

sus esfuerzos cortantes asociados es AP= . En este casoB es e#

esfuerzo cortante so)re e# :rea so$)readaB y P es #a fuerza cortante

actuando so)re esa :rea. as fuerzas cortantes y #os esfuerzos cortantes

act?an en direccin *er*endicu#ar a# radio @ector Aue une a# *unto en

cuestin con e# e+e de# $ie$)ro.

Fi!ura -


48

(a) (b)

(&) (-)


49/143

Para in@esti!ar #a torsin en #os e+esB se de)e conocer #a re#acin entre e#

*ar a*#icado y #os esfuerzos internos *roducidos *or ese *ar. Para

esta)#ecer esa re#acinB se /acen #as si!uientes su*osiciones

a) Una seccin de #a f#ec/a Aue es *#ana antes de #a torsinB *er$anece

*#ana des*u7s de #a torsin. Esto si!nifica Aue una seccin

trans@ersa# de #a f#ec/a no se a#a)ea des*u7s de #a car!a.

b) E#

di:$etro de #a f#ec/a no ca$)ia durante #a car!a.

&) os esfuerzos est:n en e# ran!o e#:stico. Es decirB #os esfuerzos

est:n de)a+o de# #9$ite de *ro*orciona#idad cortanteB y se a*#ica #a

ey de ooe.

-) as defor$aciones *or cortante @ar9an #inea#$ente desde cero en

e# e+e de# e#e$entoB /asta un $:"i$o en #as fi)ras e"tre$as.

a o)ser@acin y #a @erificacin e"*eri$enta# co$*rue)an Aue estas

su*osiciones est:n +ustificadas.

Ka Aue #as defor$aciones *or cortante @ar9an *ro*orciona#$ente a #a

distancia a# e+eB #os esfuerzos cortantes de)en tener #a $is$a re#acin ey

de ooe. Esto se $uestra en #a fi!ura -dB donde #os esfuerzos so)re

cua#Auier ani##o de#!adoB ta# co$o e# :rea n #oca#izada a una distancia

radica# p a *artir de# e+eB son directa$ente *ro*orciona#es a #os esfuerzos

$:"i$osB Aue ocurren en #as fi)ras e"teriores e"tre$as.


49


50/143

6# deter$inar #a re#acin entre estos esfuerzos $:"i$os y e# *ar Aue #os

*roduceB se ##e!a a #a si!uiente re#acin

%

T=

(1-)

donde

es e# $:"i$o esfuerzo cortante en e# e+e

T es e# *ar interno

es e# radio de #a seccin trans@ersa# de #a f#ec/a % es e# $o$ento *o#ar de inercia de #a seccin circu#ar

Para secciones circu#ares $acizasB

232

44 %

==

Para secciones circu#ares /uecas tu)osB

2

)(

32

)( 4444 ieie %

=

=

E# esfuerzo so)re cua#Auier fi)ra interna situada a una distancia a *artir

de# e+e de# $ie$)ro es

%

T=

(1")


50


51/143

Eercicio N/ 11

Deter$inar e# $:"i$o esfuerzo cortante en un e+e de & *u#! de di:$etro. E#

*ar a*#icado es de &;;; #)*ies.

So+uci0n 6*#icando #a ecuacin (1-)*ara ca#cu#ar e# esfuerzo cortante en

#as fi)ras $as a#e+adasB se tiene

( ) ( )

( )6,6790

32

3

5,112!30004

psi%

T===

Eercicio N/ 1,

Ca#cu#ar e# *ar $:"i$o Aue *uede trans$itir un e+e $acizo de aceroB de (;

$$ de di:$etroB sin e"ceder un esfuerzo cortante de -; 4Pa.

So+uci0n Des*e+ando e# *ar T de #a ecuacin (1-)B se tiene

( )

mmNT

%T

%

T=

=== 23,75398220

324060

4


51


52/143

.& DEFOR46CION POR CORT6NTE

os esfuerzos cortantes descritos en #as secciones anteriores son tan!entes

a #a su*erficie de #as secciones trans@ersa#es de# e+e. En #a discusin de

esfuerzos cortantes y #as defor$aciones *or cortante corres*ondientesB es

$:s con@eniente considerar un cu)o e#e$enta# de $ateria#B en @ez de una

su*erficie *#ana. En #a fi!ura ') se $uestra un cu)o e#e$enta# t9*ico deun e+e. E# ta$a>o de# cu)o es e"tre$ada$ente *eAue>oB tan *eAue>oB Aue

#os esfuerzos Aue act?an so)re #as su*erficies de# cu)o *ueden

considerarse co$o unifor$e$ente distri)uidos.


52

(&) (-) (/)()

(a)(b)


53/143

Fi!ura '

En cua#Auier $o$ento en Aue se *resenten esfuerzos cortantes so)re una

su*erficie de un cu)o e#e$enta#B de)en *resentarse en #as cuatro

su*erficiesB co$o se $uestra en #a fi!ura '). Si se consideraB *or e+e$

*#oB e# cu)o e#e$enta# de $ateria# $ostrado en #a fi!ura 'c. So)re #a cara

ab act?a /acia arri)a una fuerza cortante @ertica#. Ka Aue e# cu)o de)e estar

en eAui#i)rioB [FyJ ; y de)e /a)er una fuerza @ertica# a P sAue act?e /acia

a)a+o. Esta fuerza act?a so)re #a cara cd fi!ura 'd.

Sin e$)ar!oB estas dos fuerzasB for$an un *ar. Ka Aue [4 J ; *ara e# cu)oB

de)e /a)er un *ar i!ua# y de sentido o*uesto *ara i$*edir #a rotacin. Esteact?a en #as caras ac y bd fi!ura 'e.

os esfuerzos cortantes Aue act?an so)re un cu)o e#e$enta# de $ateria#

/acen Aue e# cu)o se defor$e. Esta defor$acinB !enera#$ente se

considera co$o un :n!u#o fi!ura 'f. a re#acin entre e# esfuerzo

cortante y #a defor$acin se e"*resa co$o e# :n!u#o de #a fi!ura 'f y

est: dada *or #a ey de ooe. a constante de *ro*orciona#idad se ##a$a

$du#o de e#asticidad a# cortanteB ' $du#o de ri!idez a #a torsin.

E"*resada a#!e)raica$enteB

'= (1%)

donde

es e# esfuerzo cortante

' es e# $du#o de e#asticidad a# esfuerzo cortante

es #a defor$acin *or cortante


53


54/143

,.-.1 9n:u+o de 8orsi0n

E# $:"i$o esfuerzo cortante en una f #ec/a su+eta a torsin *uede

deter$inarse a *artir de %T= . E# *ar a*#icado ta$)i7n /ace Aue e# e+e

se tuerza. E# :n!u#o de torsin es de i$*ortancia en $uc/as a*#icaciones

de in!enier9a. 4uc/as f#ec/as *ara $aAuinaria de)en dise>arse de ta#

$anera Aue no se defor$en de$asiadoL es decirB Aue no se tuerzan e"ce

si@a$ente. as /erra$ientas y $aAuinaria de *recisin frecuente$ente

reAuieren Aue e# :n!u#o de torsin Auede dentro de ciertos #9$ites es

*ecificados.

Si se considera una *arte de una f#ec/a so$etida a torsin $ediante *aresB

co$o se $uestra en #a fi!ura ,L #a #9nea interru$*ida indica #a *osicin de

una fi)ra #on!itudina# antes de #a torsinB y #a #9nea continua re*resenta su

*osicin des*u7s de Aue se /an a*#icado #os *ares. a defor$acin *or

cortante \ se $uestra en #a fi!ura , co$o e# :n!u#o n]$n. De)ido a Aue se

*roducen :n!u#os re#ati@a$ente *eAue>os co$o consecuencia de esfuerzos

cortantes $enores Aue e# #9$ite de *ro*orciona#idad a cortanteB #a tan!ente

de# :n!u#o *uede darse $ediante e# :n!u#o \ en radianes. E"*resado

$ate$:tica$ente

L

nntg

==


54


55/143

Fi!ura ,

E# :n!u#o de torsin de #a f#ec/a es e# :n!u#o de rotacin de #a seccin

trans@ersa# y es e# :n!u#o $ostrado en e# e"tre$o 5 de #a fi!ura ,.

a e"*resin Aue *er$ite deter$inar e# @a#or de 7ste :n!u#o es

%'

LT=

(14)

donde es e# :n!u#o de torsinB en radianes

T es e# *ar interno

L es #a #on!itud de #a seccin de #a f#ec/a

' es e# $du#o de ri!idez a #a torsin

% es e# $o$ento de inercia *o#ar de #a seccin trans@ersa#

a ecuacin (14) e usarse ?nica$ente si e# e+e es /o$o!7neo H J

constanteB de seccin trans@ersa# constante y car!ado s#o en sus

e"tre$os.

Si e# e+e est: car!ado de otra $anera o si consta de @arias *orciones con

diferentes secciones y *osi)#e$ente de diferentes $ateria#esB se de)e

di@idir en sus *artes co$*onentes Aue satisfacen indi@idua#$ente #as

condiciones reAueridas *ara #a a*#icacin de #a ecuacin (14).


55


56/143

Fi!ura 0

En e# caso de# e+e 65 de #a fi!ura 0 de)en considerarse cuatro *artes

diferentes 6CB CDB DE y E5. E# :n!u#o tota# de torsin entre 6 y 5 se

o)tiene su$ando a#!e)raica$ente #os :n!u#os de torsin de cada *arte

co$*onente. #a$ando iT B iL B i% y i' B e# torAue internoB #on!itudB

$o$ento *o#ar de inercia de #a seccin y $du#o de ri!idez corres*ondiente

a #a *arte i B e# :n!u#o de torsin tota# de# e+e se e"*resa co$o

=i ii

ii

'%

LT

(15)

E# torAue interno iT en cada *arte de# e+e se o)tiene /aciendo un corte a

tra@7s de esa *arte y di)u+ando e# dia!ra$a de cuer*o #i)re de #a *orcin de

e+e #oca#izada a un #ado de #a seccin.

Eercicio N/ 1-

Deter$inar e# :n!u#o de torsin en una f#ec/a de acero H J 1;;; *si de

*u#! de di:$etro y - *ies de #on!itud. E# *ar es de 1;;; #)*ie.

So+uci0n E# :n!u#o de torsin *uede ca#cu#arse se!?n #a ecuacin (14)B

( )( )

( ) ( )rad

%'

LT0458,0

322

10!12

12!612!10004

6

=

==


56


57/143

Eercicio N/ 1"

Un e+e $acizo de & $ de #on!itud de)e trans$itir un *ar de &;;; N$ sin

e"ceder un esfuerzo cortante de '% 4PaB y ta$)i7n sin e"ceder un :n!u#o

tota# de torsin de &. Considerando Aue H J '' HPaB deter$ine e# di:$etro

$9ni$o Aue de)e tener este e+e.

So+uci0n To$ando co$o condicin cr9tica e# esfuerzo cortanteB se tiene

( )( ) mmm##

#%T 8,580588,0

32

2300010!754

6 ====

To$ando a/ora co$o condicin cr9tica e# :n!u#o de torsinB se tiene

( )

( ) ( )

( )( ) mmm##%'LT

69069,03210!77

33000

180!3 49 ====

6Au9B co$o en #a $ayor9a de #os *ro)#e$as de dise>oB #os reAuisitos de#

$ateria# re*resentado *or e# esfuerzo y su co$*orta$iento re*resentado

*or #a defor$acin no est:n re#acionadosB resu#tando dos di$ensiones

diferentes *ara e# dise>o. Co$o de)e$os esco!er un di:$etro Aue

satisfa!a tanto #os reAuisitos de# $ateria# co$o su co$*orta$ientoL estede)e ser e# $ayor de #os dosB es decirB e# di:$etro $9ni$o de# e+e de)e ser

-0 $$.


57


58/143

Eercicio N/ 1%

E# e+e @ertica# 6D est: unido a una )ase fi+a en D y so$etido a #os torsores

$ostrados en #a fi!ura &;a. Un /ueco de (( $$ de di:$etro /a sido

*erforado en #a *orcin CD de# e+e. Sa)iendo Aue todo e# e+e est: /ec/o de

acero con H J ,; HPaB deter$ine e# :n!u#o de torsin en e# e"tre$o 6.

a


58

(&)


59/143

d e

Fi!ura &;

So+uci0n Co$o e# e+e consta de tres *orciones 65B 5C y CDB cada una de

seccin unifor$e y con torAue interno constanteB *uede usarse #a ecuacin

(15).

aciendo un corte en e# e+e entre 6 y 5B y usando e# dia!ra$a de cuer*o

#i)re $ostrado en #a fi!ura &;)B se deter$ina Aue

mNTTM ABABy === 2500250:0

6/ora /aciendo un corte entre 5 y CB y usando e# dia!ra$a de cuer*o #i)re

de #a fi!ura &;cB se tiene

mNTTMBCBCy ==+=

225002000250:0

Co$o no /ay torAue a*#icado en D entonces TCDJ T5CJ %; N$.

Ca#cu#ando #os $o$entos de inercia *o#ar de #as secciones indicadas en #a

fi!ura &;dB se tiene


59


60/143

( )

( )

( ) ( )[ ] 4744

46

4

48

4

10!043,9044,0060,032

10!272,132

060,0

10!952,732

030,0

m%%

m%%

m%%

C#C#

BCBC

ABAB

==

==

==

Uti#izando #a ecuacin (15)y recordando Aue H es constante *ara todo e#

e+eB se tiene

( )( ) ( )( ) ( )( )radAA 0388,010!043,9

6,02250

10!272,1

2,02250

10!952,7

4,0250

10!80

17689 =

++=

Eercicio N/ 14

Un e+e circu#ar 65 consta de un ci#indro de acero de 1; *u#! de #on!itud y

'G, *u#! de di:$etroB a# cua# se #e /a a)ierto una ca@idad de % *u#! de #ar!o

y %G, *u#! de di:$etro desde e# e"tre$o 5. E# e+e est: unido a so*ortes fi+osen a$)os e"tre$os y se #e a*#ica un torAue de 0; #)*ie en su seccin

centra#B co$o se $uestra en #a fi!ura &1a. Deter$ine e# torAue e+ercido

so)re e# e+e *or cada uno de #os so*ortes.


60


61/143

a )

c d

Fi!ura &1

So+uci0n Construyendo e# dia!ra$a de cuer*o #i)re de# e+e y ##a$ando T6yT5#os torAues e+ercidos *or #os so*ortes fi!ura &1)B se tiene

T6^ T5J 0; #)*ie

Co$o esta ecuacin no es suf iciente *ara deter$inar #os torAuesdesconocidos T6y T5B e# e+e es est:tica$ente indeter$inado.

Sin e$)ar!oB estos torAues *ueden ser ca#cu#ados si se considera Aue e#

:n!u#o tota# de torsin de# e+e 65 de)e ser ceroB ya Aue a$)os e"tre$os

est:n restrin!idos. Si 1 y son #os :n!u#os de torsin de #as *artes 6C y

C5B se tiene Aue

J 1^ J ;

En #os dia!ra$as de cuer*o #i)re de una *eAue>a *orcin de# e+e inc#uyendo

e# e"tre$o 6 fi!ura &1c y e# e"tre$o 5 fi!ura &1dB se o)ser@a Aue T 1J


61


62/143

T6y Aue TJ T5. Recordando #a ecuacin (15)y notando Aue #as *orciones

6C y C5 de# e+e est:n so$etidas a torAues o*uestosB se tiene

( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] ABB

ABBA

TTT

T%L

%LTdondede

'%

LT

'%

LT

739,087325

8587325

0

4

44

12

21

2

2

1

121

=

=

===+=

Sustituyendo esta ?#ti$a e"*resin en #a ecuacin de eAui#i)rio ori!ina#B

resu#ta

1B'&0 T6J 0; #ue!o entonces T6J %1B'% #)*ie y T5J &,B% #)*ie.


62


63/143

.( FEC6S HIR6TORI6S

4uc/os *ro)#e$as en dise>o de $:Auinas contienen f#ec/as Aue trans$iten

*otencia desde una fuente /asta e# #u!ar donde se e+ecuta e# tra)a+o. Por

e+e$*#oB una f#ec/a trans$ite *otencia desde un $otor *ara /acer !irar #a

/7#ice de un )arco.

De)ido a su !ran uti#idad en esta seccin @ere$os #a re#acin entre #a

*otencia desarro##ada y e# *ar en una f#ec/a.

Si se considera una f#ec/a de radio R con una fuerza F a*#icada a su

su*erficie e"teriorB co$o se $uestra en #a fi!ura &.

Fi!ura &


63


64/143

E# tra)a+o /ec/o *or #a fuerza P se define co$o #a fuerza $u#ti*#icada *or #a

distancia recorrida en #a direccin de #a fuerza. En una re@o#ucin

co$*#etaB #a fuerza /a)r: recorrido una distancia i!ua# a #a circunferencia

de #a f#ec/aB o R. EntoncesB e# tra)a+o desarro##ado *or #a fuerza es

Tra)a+o J PR a

Si #a f#ec/a est: !irando a una @e#ocidad de N re@o#uciones *or $inuto

r*$B #a distancia tota# recorrida *or $inuto es RN. Co$o #a Potencia

se define co$o #a cantidad de tra)a+o rea#izada en #a unidad de tie$*oB #a

*otencia desarro##ada *or #a fuerza P ser9a

Potencia J P R N )

a unidad usua# de *otencia es e# ca)a##o de fuerza /*B Aue es i!ua# a

&&;;; *ie#)G$in. Si en #a ecuacin ) P esta en #). y R en *u#!.B *ode$os

entonces di@idir#a entre 1 *u#!G*ie *ara con@ertir #a *otencia a #as unidades

*ie#)G$in. y di@idir#a nue@a$ente *or &&;;; *ie#)G$in.B #a e"*resin

entonces se con@ierte en

Potencia J P R N G 1Q&&;;; J PRN G -&;;; c

Refiri7ndose otra @ez a #a fi!ura &B se encuentra Aue e# *ar en #a f#ec/a es

TJ PR. Sustituyendo esta e"*resin en #a ecuacin cB se o)tiene


64


65/143

(PNT

Potenia63000

= (16)

donde

Potenia J *otencia en ca)a##os de fuerza.

T J *ar en #a f#ec/a en #) *u#!

N J @e#ocidad de #a f#ec/a en r*$.

Eercicio N/ 15

Deter$inar #a *otencia trans$itida *or una f#ec/a si e# *ar es de 1;;; *u#!

#) y #a @e#ocidad es de -&; r*$.

So+uci0n. Usando #a ecuacin (16)B se ca#cu#a #a *otencia en ca)a##os de

fuerzaB co$o si!ue

( ) ( )(PPotenia

NTPotenia 10

63000

6301000

63000===

Eercicio N/ 16

Un $otor $ediante un con+unto de en!rana+esB $ue@e un e+e a -&; r*$.B

co$o se $uestra en #a fi!ura &&. E# $otor entre!a -; /* en 6 y (; /* en C.E# esfuerzo cortante *er$isi)#e es de -;;; *siB y e# :n!u#o de torsin

*er$isi)#e es de 1G1 rad. Si este e+e de)e ser $acizo y con un ?nico

di:$etroB deter$ine e# @a#or $9ni$o de este di:$etro.


65


66/143

Fi!ura &&

So+uci0n. a so#ucin de este *ro)#e$a in@o#ucra cuatro consideraciones.

os esfuerzos cortantes en #a f#ec/a 65 y #a f#ec/a 5C no de)en e"ceder de

-;;; *siB y e# :n!u#o de torsin en estos dos e+es no de)e e"ceder de 1G1

rad.

E# *ri$er *aso consiste en deter$inar e# *ar en #os e+es 65 y 5C.

F#ec/a 65

( ) ( )l6000

630

6300060

63000p"lbTT

NTPotenia ===

F#ec/a 5C

( ) ( )l4000

630

6300040

63000p"lbTT

NTPotenia ===


66


67/143

E# si!uiente *aso es dise>ar e# di:$etro so)re #a )ase de #a #i$itacin de#

esfuerzo cortante. Co$o%T= B so#a$ente de)e dise>arse e# e+e 65

*ara esta condicin. E# *ar en #a f#ec/a 5C es $enor Aue en #a f#ec/a 65B

de $odo Aue e# esfuerzo cortante no re!ir: #a f#ec/a 5C. ue!o

l(72,16000

6000

2

32

4

p"##

#

T

%

%

T==

==

Fina#$ente #as f#ec/as se dise>ar:n so)re #a )ase de #a #i$itacin de#

:n!u#o de torsin. En este caso no es entera$ente e@idente cua# f#ec/a

ri!e e# dise>oB ya Aue aunAue 65 es $:s corta Aue 5CB e# *ar en 65 es

$ayor Aue en 5C. Para estar se!urosB se dise>ar:n a$)as f#ec/as.

F#ec/a 65

( ) ( )

( )( ) l65,1

1211012

12106000

32 6

4

p"##

'

LT%

%'

LT=

===

F#ec/a 5C

( ) ( )

( )( ) l87,1

1211012

12254000

32 6

4

p"##

'

LT%

%'

LT=

===


67


68/143

a co$*aracin de #os tres di:$etros ca#cu#ados indica Aue e# di:$etro

necesario *ara #a f#ec/a de)e ser D J 1B,' *u#!. !o)ierna e# :n!u#o de

torsin en 5C.

IIIF;Eo. En e# an:#isisB se conocen #as di$ensiones de #a @i!aB y

e# *ro)#e$a consiste en deter$inar ya e# esfuerzo $:"i$o *ara una car!a

dadaB ya #a car!a *er$isi)#e *ara un esfuerzo *er$isi)#e dado. En

*ro)#e$as de dise>oB se conocen #a #uz de #a @i!aB #as condiciones de car!a

y #os esfuerzos *er$isi)#esL y e# *ro)#e$a consiste en deter$inar #as

di$ensiones necesarias de #a seccin trans@ersa# de #a @i!a. 6# dise>ar


68


69/143

sur!en $uc/as cuestiones *r:cticasB ta#es co$o #a se!uridadB econo$9a y

deta##es !enera#es. 6unAue estas *re!untas se res*onden $:s

co$*#eta$ente en un curso de dise>oB a#!unos de estos as*ectos se

considerar:n en esta unidad.

&. ESFUERZO DE FE2IN

Para descri)ir #a accin de #os esfuerzos de f#e"inB se considerar: una @i!a

su+eta a f#e"in *uraB co$o #a indicada en #a fi!ura &(a.

Su*on!a Aue #a @i!a est: for$ada de un !ran n?$ero de fi)ras

#on!itudina#es.

Cuando #a @i!a se f#e"ionaB #as fi)ras de #a *orcin su*erior se co$*ri$enB

$ientras Aue #as de #a *orcin inferior se a#ar!an. Intuiti@a$ente *ode$os

@er Aue en a#!una su*erficie se de)e *roducir #a transicin entre

co$*resin y tensin.

Esta su*erficie en #a cua# e# esfuerzo es cero se conoce co$o #a su*erficie

neutra o e+e neutroB y est: #oca#izada en e# centro de !ra@edad de #a seccin

trans@ersa#.

a fi!ura &() es un dia!ra$a de s#ido #i)re de #a *orcin izAuierda de #a

@i!a y $uestra #a distri)ucin de #as fuerzas en #as fi)ras de #a @i!a.


69


70/143

Fi!ura &(

as fuerzas resu#tantes de tensin y co$*resin C y T son i!ua#es en$a!nitud y for$an e# $o$ento interno resistente de #a @i!a. a $a!nitud

de #os esfuerzos $:"i$os de tensin y de co$*resin en #a @i!aB asociados

a este $o$ento *uede deter$inarse a *artir de #a fr$u#a de #a f#e"inB Aue

se *resenta en #a seccin si!uiente.

En #a deduccin y uso de #a fr$u#a de #a f#e"inB se /acen ciertas su

*osiciones con res*ecto a #a accin de #a @i!a. En un tra)a+o de dise>onor$a#B estas su*osiciones se a*ro"i$an a #a accin rea# de #a @i!a. Si en

casos re#ati@a$ente raros de dise>o e#e$enta# sur!en situaciones donde

estas su*osiciones no son @:#idasB de)en e$*#earse otros $7todos de

an:#isisL #os cua#es est:n fuera de# a#cance de este curso.

as su*osiciones Aue se /acen a# usar #a fr$u#a de #a f#e"in son

1 a @i!a inicia#$ente es rectaB tiene seccin trans@ersa# constante y se

conser@a esencia#$ente recta cuando est: car!ada.

as car!as se a*#ican de ta# for$a Aue no se *roduce torsin.


70

(a)(b)


71/143

& Todos #os esfuerzos en #a @i!a est:n *or de)a+o de# #9$ite de

*ro*orciona#idadL es decirB #a #ey de ooe es @:#ida.

( E# $du#o de e#asticidad de #as fi)ras a co$*resin es i!ua# a# de #as

fi)ras a tensin.

% a *arte de #a @i!a Aue est: co$*ri$idaB est: restrin!ida *ara $o@erse

#atera#$ente.

- as secciones *#anas antes de #a f#e"in se conser@an *#anas des*u7s de

#a f #e"in. Es decirB un *#ano Aue *ase a tra@7s de una seccin

trans@ersa# antes de #a f#e"in no se a#a)ear: des*u7s de Aue se car!ue#a @i!a. Esta su*osicin e"*#ica #a distri)ucin de esfuerzos en for$a

#inea# O6B y O5 $ostrada en #a fi!ura &().

Estas su*osiciones y #as caracter9sticas f9sicas asociadas con #a f#e"in

*ueden @erse en #a fi!ura &%. a fi!ura &%a y ) $uestra #a @i!a y dos

secciones *#anas a) y cd antes y des*u7s de #a f#e"in.


71


72/143

Fi!ura &%

Co$o #as secciones *#anas antes de #a f#e"in se conser@an *#anas des

*u7s de #a f#e"in su*osicin -B #as fi)ras de #a @i!a de)en ca$)iar de

#on!itud.

a *osicin ori!ina# de #as fi)ras Aue se $uestran en #a fi!ura &%c con

#9neas interru$*idas se /a $o@ido des*u7s de #a f#e"in a #a *osicin

$ostrada *or #a #9nea continua. as fi)ras su*eriores se /an acortadoB #as

fi)ras inferiores se /an a#ar!ado y #as fi)ras #oca#izadas en e# e+e neutro no

/an ca$)iado de #on!itud.

a fi!ura &%d es un dia!ra$a de #a distri)ucin de #a defor$acin en #a

seccin trans@ersa#. O)ser@e Aue #a defor$acin @ar9a #inea#$ente desde

cero en e# e+e neutro /asta un @a#or $:"i$o de co$*resin en #as fi)ras

su*eriores y /asta un @a#or $:"i$o de tensin en #as fi)ras inferiores.

Co$oB *or #a #ey de ooeB e# esfuerzo es *ro*orciona# a #a defor$acinB #a

distri)ucin de esfuerzos de #a fi!ura &%e tiene #a $is$a for$a Aue #a

distri)ucin de defor$acionesB *ero a una esca#a diferente. Por consi

!uienteB #os esfuerzos en una @i!a @ar9an ta$)i7n desde cero en e# e+e

neutro /asta un $:"i$oen #as fi)ras e"tre$as.

-.,.1 F0rmu+a de +a f+e2i0n

En #a fr$u#a de #a f#e"in se esta)#ece #a re#acin entre #os esfuerzos en

#as fi)ras y e# $o$ento resistente internoB #o cua# se #o!ra /acer de #a

si!uiente $anera


72


73/143

a Se ana#iza una fi)ra #oca#izada a una distancia cua#Auiera a *artir de# e+e

neutroB y se deter$ina #a fuerza e+ercida en esta fi)ra de)ida a su

esfuerzoB y e# $o$ento de esta fuerza con res*ecto a# e+e neutro.

) Se o)tiene #a su$a de todos #os $o$entos de todas #as fi)rasB con

res*ecto a# e+e neutro. E# resu#tado ser: e# $o$ento interno resistente

de #a @i!a. Des*u7s de rea#izar todo este desarro# #o en for$a

$ate$:ticaB se o)tiene Aue #a fr$u#a de #a f#e"in es

)

M= (17)

donde

J esfuerzo en #as fi)ras e"tre$as de #a @i!a.

M J $o$ento f#ector interno en #a @i!a.

) J $o$ento de inercia de #a seccin trans@ersa# de #a @i!a.

J distancia desde e# e+e neutro de #a @i!a /asta #as fi)ras

e"tre$as.

Se de)e notar Aue e# e+e neutro sie$*re coincide con e# centroide de #a

seccin trans@ersa# si #a @i!a est: su+eta a esfuerzos $enores a #os de#

*unto de f#uencia yno se *resentan fuerzas a"ia#es.

Se su!iere Aue antes de a*#icar #a fr$u#a de #a f#e"in 3 re@ise sus a*untes

de #a asi!natura de $ec:nica en #o Aue res*ecta a# c:#cu#o de $o$ento

f#ectorB centroides y $o$entos de inercia.

a fr$u#a de #a f#e"in *uede ser usada *ara deter$inar #os esfuerzos

$:"i$os en #as fi)ras de @i!as en #as cua#es se conocen 4B cB e IB o se

*ueden deter$inar a *artir de #as car!as dadas y de #as di$ensiones.


73


74/143

Frecuente$enteB #as @i!as tienen secciones trans@ersa#es asi$7tricas

se$e+antes a #as indicadas en #a fi!ura &-.

Fi!ura &-

E# *rocedi$iento *ara ana#izar estas @i!as es se$e+ante a# usado *ara

ana#izar @i!as con seccin trans@ersa# si$7trica. a ?nica diferencia es Aue

e"isten dos @a#ores de c. Si se Auiere deter$inar e# esfuerzo $:"i$o se

de)e usar #a $ayor distancia c. Sin e$)ar!oB si se @an a deter$inar #os

esfuerzos tanto en #as fi)ras de #a *arte su*erior co$o en #as fi)ras de #a

*arte inferiorB se a*#ica #a fr$u#a de #a f#e"in dos @ecesB usando #as

res*ecti@as distancias c.

Eercicio N/ 17

Deter$inar e# esfuerzo en #as fi)ras e"tre$as de #a @i!a $ostrada en #a

fi!ura &'.a Des*recie e# *eso de #a @i!aB

) Inc#uya e# *eso de #a @i!a densidad J &- #)G*ie&.


74

(a)(b)

(&) (-)


75/143

Fi!ura &'

So+uci0n. a Tanto e# $o$ento $:"i$o de)ido a #a car!a concentrada

co$o e# $o$ento de inercia *uede deter$inarse uti# izando #os

*rocedi$ientos descritos en #a asi!natura de 4ec:nica. os res*ecti@os

@a#ores son (;; *ie#) y ' *u#! (.

E# esfuerzo en #as fi)ras e"tre$as su*eriores o inferiores es

( ) ( ) psi)M 1200

723122400 ===

) Si se inc#uye e# *eso de #a @i!a co$o una car!a unifor$e$ente

distri)uida de

_ J ( - &- G 1(( J - #)G*ie

e# $o$ento adiciona# de)ido a esta car!a es 1;, *ie#). E# esfuerzo

adiciona# de)ido a este $o$ento es


75

(a) (b)


76/143

( ) ( )psi

)

M54

72

312108=

==

E# esfuerzo $:"i$o en #a @i!aB inc#uyendo su *ro*io *esoB es entonces

psi1254541200 =+=

De)e indicarse en a$)os casosB Aue si )ien e# esfuerzo en #as fi)ras

e"tre$as tiene e# $is$o @a#orB #a so#icitacin en #as fi)ras su*eriores es de

co$*resin y en #as fi)ras inferiores de tensin.

Eercicio N/ ,#

Deter$inar e# esfuerzo en #as fi)ras e"tre$as de #a @i!a $ostrada en #a

fi!ura &,.


76

(a)

(b)


77/143

Fi!ura &,

So+uci0n. E# esfuerzo $:"i$o *uede deter$inarse a *artir de #a fr$u#a de

#a f#e"in. Sin e$)ar!oB en este caso se de)e ca#cu#ar *ri$ero I. Este

$o$ento de inercia con res*ecto a# e+e neutro #o de)e ca#cu#ar ustedB

a*#icando #os *rocedi$ientos *resentados en #a asi!natura de 4ec:nica. E#

@a#or de este $o$ento es -0& *u#!(.

E# $o$ento f#ector $:"i$o se deter$ina de #a $is$a $anera Aue en e#

e+ercicio anterior y su @a#or es de 1;; #)*ies.

6/ora se ca#cu#a e# esfuerzo y se o)tiene

( ) ( )$psi

)

M39,10

693

612100=

==

Eercicio N/ ,1

Deter$inar #os esfuerzos en #as fi)ras e"tre$as su*eriores e inferiores de #a

@i!a de seccin T $ostrada en#a fi!ura &0.


77

(a)

(b)

(&)


78/143

Fi!ura &0

So+uci0n. Para a*#icar #a fr$u#a de #a f#e"inB se de)e conocer 4B I y c.

Todos estos @a#ores *ueden ser deter$inados a *artir de #o estudiado en #a

asi!natura de 4ec:nicaB *or #o tanto aAu9 se dar:n so#a$ente #os @a#ores y

usted de)er: @erificar#os. En #a fi!ura &0c se indica #a *osicin de# e+e

neutro y #os @a#ores de c. E# $o$ento f#ector $:"i$o @a#e (B% N$ y e#

$o$ento de inercia con res*ecto a# e+e neutro 1B'- Q 1; -$(.

ue!o e# esfuerzo en #as fi)ras e"tre$as inferiores es

( )( )( )T

m$N

)

M26

3

15,206801076,21

101005,4=

==

E# esfuerzo en #as fi)ras e"tre$as su*eriores es

( )( )( )C

m$N

)

M26

3

124081076,21

10605,4=

==


78


79/143

IVESFUERZOS CO=INADOS

(.1 INTRODUCCIN

asta e# $o$entoB so#a$ente se /a tra)a+ado con car!as Aue *roducen un

so#o ti*o de esfuerzo. En #a rea#idad frecuente$ente se encuentran car!as

Aue no concuerdan con #as condiciones )a+o #as cua#es #as teor9as ):sicas

son @:#idas. a fi!ura (; $uestra @arios e+e$*#os de *ro)#e$as de este

ti*o. Estos *ro)#e$as *ueden reso#@erse $ediante una co$)inacin

adecuada de #os $7todos ya estudiados.


79


80/143

Fi!ura (;

En esta unidad ana#izare$os a#!unos *ro)#e$as Aue in@o#ucran #a

su*er*osicin de esfuerzos PG6 y 4cGI.

(. C6RH6S CO45IN6D6S 62I6ES K DE FE2IN

Considere #a @i!a e$*otrada en un e"tre$o y su+eta a una car!a inc#inada

PB co$o se $uestra en #a fi!ura (1a. Esta car!a no es una car!a de

f#e"in *ura ni a"ia# *uraB sino Aue una co$)inacin de a$)as. Si se

desco$*one esta fuerza en sus co$*onentes /orizonta# y @ertica#B co$o se

indica en #a fi!ura (1) y cB estas co$*onentes act?an en #as direcciones

Aue *er$iten a*#icar #as t7cnicas ):sicas @istas con anterioridad.


80

(a) (b) (&) (-)(/)


81/143

Fi!ura (1

a fuerza a"ia# P"*roduce esfuerzos de tensin J P"G6 en todas #as fi)ras.

a fuerza Py *roduce esfuerzos de f#e"in J 4cGI. Co$o estos dos

esfuerzos act?an *ara a#ar!ar o acortar #as fi)rasB *ueden co$)inarse

a#!e)raica$ente. os esfuerzos en cua#Auier fi)ra *ueden ca#cu#arse co$o

)

M

A

P =

(,#)

Todos #os esfuerzos de tensin se consideran *ositi@osB $ientras Aue #os de

co$*resin ne!ati@os. Esta con@encin de si!nos ayuda a deter$inar #a

natura#eza de #os esfuerzos fina#es. E# t7r$ino *uede ree$*#azarse *or

#a distancia !enera# y a *artir de# e+e neutroB si se reAuiere e# esfuerzo en

un *unto diferente a# de #as fi)ras e"tre$as.

Eercicio N/ ,,


81

(a) (b) (&)


82/143

Ca#cu#ar #os esfuerzos $:"i$os en #a @i!a en @o#adizo de (; $$ " 1;; $$

$ostrada en #a fi!ura (.

Fi!ura (

So+uci0n. E# esfuerzo $:"i$o ocurrir: en e# e"tre$o e$*otradoB *ues en

ese *unto e# $o$ento f#ector es $:"i$o. a car!a trans@ersa# de #a fi!ura

(c *roduce esfuerzos de tensin en #as fi)ras su*eriores y de co$*resin

en #as inferiores. a car!a a"ia# de #a fi!ura () *roduce esfuerzos de

tensin en todas #as fi)ras. Entonces

)

M

A

P =

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) )(024,21

10!10010!40121

10!5010!3603360

10!10010!40

11520su

333

33

33su TMPa=+=


82

(a) (b) (&)


83/143

( )( )( ) ( )( )

( )( ) )(264,15

10!10010!4012

1

10!5010!3603360

10!10010!40

11520in333

33

33in CMPa==

".,.1 F+e2i0n asim>8rica

Este es otro de #os casos en Aue e# *rocedi$iento de #a su*er*osici-n

ofrece una so#ucin si$*#e a un *ro)#e$a $:s co$*#e+o Aue es e# de #a

f#e"in asi$7trica. Una de #as condiciones Aue de)e cu$*#irse *ara Aue #a

fr$u#a J4cGI sea @:#idaB es Aue #a car!a de)e estar a*#icada a #o #ar!o

de uno de #os e+es *rinci*a#es de #a seccin. os e+es *rinci*a#esB $ayor y

$enorB son aAue##os e+es con res*ecto a #os cua#es ocurren #os $o$entos

de inercia $:"i$o y $9ni$o res*ecti@a$ente. os e+es de si$etr9a son

sie$*re e+es *rinci*a#es.

a fi!ura (& $uestra una @i!a en @o#adizo Aue so*orta una car!a en e#

e"tre$o #i)re. a car!a no se a*#ica a #o #ar!o de un e+e *rinci*a# 22 o KK

$ostrados en #a fi!ura (&).


83


84/143

Fi!ura (&

Sin e$)ar!oB si #a car!a se desco$*one en co$*onentes a #o #ar!o de es

tos e+esB co$o se indica en #a fi!ura (&cB entonces #a fr$u#a J 4cGI es

@:#ida *ara #os $o$entos *roducidos *or P " y Py. E# esfuerzo tota# en

cua#Auier *unto es #a su$a a#!e)raica de #os esfuerzos *roducidos *or #as

dos co$*onentes. Este enunciado se e"*resa a#!e)raica$ente *or

Y

Y

X

X

)

xM

)

yM= (,1)

Nue@a$ente se usa e# t7r$ino y en #u!ar de# ter$ino c*ara /acer $as !e

nera# #a ecuacin. Si se desea conocer e# esfuerzo $:"i$oB se de)e si$

*#e$ente ree$*#azar y *or c.


84

(a)(b) (&)


85/143

Eercicio N/ ,-

Para #a @i!a en @o#adizo de ( *u#! " - *u#! ta$a>o no$ina# $ostrada en #a

fi!ura ((B deter$inar e# esfuerzo en #as cuatro esAuinas de# a*oyo.

Fi!ura ((

So+uci0n. a fuerza o)#icua se desco$*one a #o #ar!o de #os e+es 2 e K. E#

$o$ento f#ector 4"*roduce esfuerzos de tensin a #o #ar!o de #a cara 65 y

esfuerzos de co$*resin a #o #ar!o de #a cara CDB $ientras Aue e# $o$ento

4y *roduce esfuerzos de tensin a #o #ar!o de #a cara 5C y esfuerzos de

co$*resin a #o #ar!o de #a cara 6D. os esfuerzos o)tenidos a *artir de

esos $o$entos se su*er*onen $ediante #a a*#icacin de #a fr$u#a (,1).

4"! (;- J 1((; *ie#). 4yJ 1;;- J -;; *ie#).

I" J 1G1(-& J ' *u#!(. Iy ! 1G1-( & J & *u#!(.


85

A,

#,

(a)(b) (&)


86/143

Sustituyendo estos @a#ores en #a fr$u#a (,1)B se tiene

( ) ( ) ( ) ( )( )TpsiAA 270

32

212!600

72

312!1440==

( ) ( ) ( ) ( ) ( )TpsiBB 117032

212!600

72

312!1440 =+=

( ) ( ) ( ) ( )( )CpsiAC 270

32

212!600

72

312!1440=+=

( ) ( ) ( ) ( )( )CpsiA# 1170

32

212!600

72

312!1440==

".,., Car:as e2c>n8ricas

Cuando a un $ie$)ro se #e a*#ica una car!a a"ia#B esta de)e coincidir con

#os e+es centroida#es de 7ste *ara Aue sea @:#ida #a e"*resin J PG6. En

a#!unos casos #a car!a se a*#ica *ara#e#a a #os e+es centroida#es de#

$ie$)roB *ero a una cierta distancia de e##osB co$o se indica en #a fi!ura(%a. Este ti*o de car!a se descri)e co$o e"c7ntricaB dnde #a distancia

e2 y ey entre #a #9nea de accin de #a car!a y #os e+es centroida#es K y 2

res*ecti@a$ente es #a e"centricidad con res*ecto a cada uno de e##os.

Fi!ura (%


86

(a) (b) (&)


87/143

Para reso#@er este ti*o de *ro)#e$asB #a car!a e"c7ntrica se desco$*one

en una fuerza Aue *asa *or e# centroide de #a seccin y un *arB co$o se

$uestra en #a fi!ura (%). Sin e$)ar!oB e# *ar no act?a a #o #ar!o de un e+e

*rinci*a#B *or #o Aue de)e desco$*onerse en #os *ares 4 " J Pey y 4y J

Pe".

E# *rocedi$iento *ara /acer esta desco$*osicinB se ana#iz en #a

asi!natura de $ec:nica ue!o e# esfuerzo en cua#Auier *unto *uede

ca#cu#arse usando #a ecuacin (,#) con e# $o$ento 4 J PeB y su @a#or

corres*onder: a #a su$a a#!e)raica de #os esfuerzos de)idos a PB 4 "y 4yB y

se e"*resa co$o

Y

Y

X

X

)

xM

)

yM

A

P= (,,)

Eercicio N/ ,"

Deter$inar #os esfuerzos en #as cuatro esAuinas de un )#oAue de , *u#! "

1 *u#!B cuando se a*#ica una car!a de (, #) en una esAuinaB co$o se

indica en #a fi!ura (-a.


87


88/143

Fi!ura (-

So+uci0n. a car!a e"c7ntrica se desco$*one en una fuerza a"ia# y dos

*aresB 4"B y 4y. E# car:cter de #os esfuerzos ori!inados *or estas tres

cantidades se indica $ediante #os si!nos ^ o en #as esAuinas de #as

fi!uras (-cB d y e. Pri$ero se deter$inan #os $o$entos de inercia con

res*ecto a #os e+es 2 e K de #a si!uiente $anera

I"J 1G1 1 ,&J %1 *uI!(. c"J - *u#!.

IyJ 1G1 , 1&J 11% *uI!(. cyJ ( *u#!.

6 *artir de #a fr$u#a (,,)B se tiene


88

(a) (b)

(&) (-) (/)


89/143

( ) ( ) ( ) ( )( )TpsiAA 2500

512

44!48000

1152

66!48000

96

48000=++=

( ) ( ) ( ) ( )( )CpsiBB 500

512

44!48000

1152

66!48000

96

48000=+=

( ) ( ) ( ) ( )( )CpsiCC 3500

512

44!48000

1152

66!48000

96

48000==

( ) ( ) ( ) ( )( )CpsiAA 500

512

44!48000

1152

66!48000

96

48000=+=


89


90/143

V TEORIAS DE FA;;A

%.1 INTRODUCCIN

6# dise>ar e#e$entos Aue resistan #as fa##as se de)e estar se!uro de Aue #os

esfuerzos internos no so)re*asen #a resistencia de# $ateria#. Si e# $ateria#

Aue se e$*#ear: es d?cti#B entonces #o Aue $:s interesa es #a resistencia de

f#uenciaB ya Aue una defor$acin *er$anente ser9a considerada co$o fa##aL

sin e$)ar!oB e"isten e"ce*ciones a esta re!#a.

4uc/os de #os $ateria#es $:s fr:!i#es o Aue)radizosB co$o #os /ierros

co#adosB no *oseen un *unto de f#uenciaB as9 Aue de)e uti #izarse #a

resistencia ?#ti$a co$o criterio de fa##a.

6# dise>ar e#e$entos Aue /an de /acerse de $ateria# fr:!i#B ta$)i7n es

necesario recordar Aue #a resistencia ?#ti$a a #a co$*resin es $uc/o

$ayor Aue a #a tensin.

as resistencias de #os $ateria#es d?cti#es son casi #as $is$as a tensin

Aue a co$*resin. Por #o !enera#B se considera Aue esto ocurrir: en e#

dise>o a $enos Aue se *osea infor$acin contraria.

6/ora se ana#izar: e# e#e$ento !enera# en esfuerzo )idi$ensiona# i#ustrado

en #a fi!ura ('. E# *ro)#e$a consiste en co$o re#acionar este estado de

esfuerzo con una so#a resistenciaB co$o #a de f#uencia a #a tensinB a fin de

#o!rar se!uridad. a so#ucin a este *ro)#e$a ser: #a $ateria de esta

unidad.


90


91/143

Fi!ura ('


91


92/143

%. TEOR86 DE ESFUERZO NOR46 4


93/143

1

y*n = *ara #a f#uencia (,-)

1

"*n = *ara #a ru*tura


93


94/143

%.& TEOR86 DE ESFUERZO CORT6NTE 4


95/143

%.( TEOR86 DE 6 ENERH86 DE DISTORSIN

Esta teor9a es conocida ta$)i7n co$o #a teor9a de #a ener!9a de cortante o

teor9a de @on 4isesency. Esta teor9a es #a $:s con@eniente *ara e# caso

de $ateria#es d?cti#es. 6# i!ua# Aue #a teor9a de# esfuerzo cortante $:"i$oB

esta se e$*#ea s#o *ara definir e# *rinci*io de #a f#uencia.

Esta teor9a se ori!in a *artir de #a o)ser@acin de Aue $ateria#es d?cti#es

so$etidos a esfuerzos /idrost:ticos de i!ua# tensin o co$*resinB ten9an

resistencias de f#uencia $uy su*eriores a# de #os @a#ores o)tenidos *or e#

ensayo a tensin si$*#e. 6s9 se *ostu# Aue #a f#uencia no eraB de nin!una

$aneraB un fen$eno de tensin o de co$*resin si$*#esB sinoB $:s )ienBAue esta)a re#acionada de a#!?n $odo con #a distorsin defor$acin

an!u#ar de# e#e$ento esforzado.

a teor9a de #a ener!9a de distorsin *ostu#a Aue #a ener!9a de distorsin

ser9a i!ua# a #a diferencia entre #a ener!9a tota# de defor$acin y #a ener!9a

uti#izada *ara *roducir ?nica$ente un ca$)io de @o#u$en.

Para e# caso de torsin *uraB esta teor9a esta)#ece Aue

Ssy J ;B%'' Sy

Si co$*ara$os Ssy de #a teor9a de# esfuerzo cortante $:"i$o con e# de #a

teor9a de #a ener!9a de distorsinB se o)ser@a Aue este ?#ti$o *redice una

resistencia de f#uencia a# cortante sensi)#e$ente $ayor.

Para e# estudio de an:#isis y dise>o se define e# conce*to de esfuerzo de

@on 4ises a *artir de #a ecuacin


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96/143

2

221

2

1

+=

#ue!o #a fa##a *or f#uencia Aueda *redic/a *or.

J Sy

y #a se!uridad se *redice *or

,

y*

n = (,%)

Eercicio N/ ,%

ay un e#e$ento $ec:nico Aue se fa)rica con un acero cuyo *unto de

f#uencia es de %; *si. E# estado de esfuerzo en un *unto de# e#e$ento esta

dado *or "J ; *siB yJ , *si y "yJ 1 *si. Deter$inar e# factor de

se!uridad uti#izando #as tres teor9as de fa##a.

So+uci0n. Pri$ero se de)e deter$inar #os esfuerzos *rinci*a#es y e# es

fuerzo cortante $:"i$oL *ara e##o se uti#izar: #as fr$u#as (4)y (5).

( )22

2,1 122

820

2

820+

+

=

De aAu9 se o)tiene Aue 1J (B(( *si TB Aue ! 1B(( *si C y Aue

"y J 1,B(( *si. ue!o uti#izando #as fr$u#as *ara cada una de #as tres

teor9as de fa##aB se tiene


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Esfuerzo nor$a# $:"i$o 046,244,2450 == nn

Esfuerzo cortante $:"i$o ( ) 356,144,18250 == nn

Para #a teor9a de #a ener!9a de distorsin se de)e deter$inar *ri$ero

( ) ( ) ( ) 5,3244,1244,12!44,2444,24 22 =++=

#ue!o entonces

538,15,32

50 == nn


97


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Eercicio N/ ,4

a f#ec/a circu#ar $aciza de #a fi!ura (, tiene un #9$ite *ro*orciona# de -(

*si. Deter$ine e# @a#or de #a car!a R *ara #a fa##a *redic/a *or cada una

de #as tres teor9as de fa##a estudiadas. Se su*one Aue e# *unto 6 es donde

se *resentanB #os $ayores esfuerzos.

Fi!ura (,

So+uci0n. Introduciendo dos fuerzas i!ua#es y o*uestas de @a#or R a #o

#ar!o de #a #9nea EFB resu#ta e@idente Aue e# $o$ento f#e"ionante en e#

*unto 6 es de &-R y e# torAue es (R y #a car!a a"ia# 1R.

E# esfuerzo f#e"ionante en 6 es

( )( )

( )( )T

&&X

18

64

4

2364

==


98


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E# esfuerzo directo en 6 es

( )( )T

&&X

3

4

4

122 ==

ue!o e# esfuerzo nor$a# tota# 2J 1RG

E# esfuerzo cortante *or torsin en 6 es

( ) ( )

( ) &&

%

TXY

6

32

4

2244 ===

os $:"i$os esfue

Apuntes Resistencia de Materiales Iei

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