Resistencia de Materiales

Apuntes bsicos

Ing. Pablo Ayala M.

Cuando se estudia el efecto de distintas fuerzas aplicadas a un material slido se pueden considerar dos posibilidades: (a) que dicho material no sufra deformacin debido a la aplicacin de las cargas y, (b) que la magnitud de las cargas produzca deformacin en los materiales e incluso lleguen a la rotura final. A este segundo caso debemos poner atencin cuando estudiamos la RESISTENCIA de los materiales, es decir la resistencia de materiales estudia las relaciones entre las cargas exteriores aplicadas y sus efectos en el interior de los slidos.

La eleccin del tipo de material que se utiliza a la hora de disear y construir una estructura debe considerar aspectos relacionados a resistencia y rigidez y es necesario entender estos dos trminos.

Resistencia se entender como la capacidad que tienen los materiales de oponerse a la fractura debido a la aplicacin de fuerzas exteriores, y un parmetro fundamental relacionado a este concepto es el tipo de composicin qumica del material.

Rigidez se entender como la capacidad de los materiales de oponerse a la deformacin debido a la aplicacin de fuerzas exteriores, y un parmetro fundamental relacionado a este concepto es la geometra o forma del material.

La resistencia de materiales estudia la distribucin interna de los esfuerzos que produce un sistema de cargas exteriores aplicadas al material en estudio.

En cuanto a la forma de aplicacin de cargas sobre un cuerpo se van a considerar 5 tipos diferentes de efectos sobre el mismo:

a) Traccin: las cargas se aplican a dos puntos extremos del cuerpo sobre un mismo eje, en direcciones opuestas y tratan de alargarlo

b) Compresin: las cargas se aplican a dos puntos extremos del cuerpo sobre un mismo eje, en direcciones opuestas y tratan de comprimirlo o acortarlo.

c) Torsin: las cargas se aplican de manera que producen torques contrarios (horario en un extremo y anti horario en el otro extremo) en los dos puntos de aplicacin

d) Flexin: la carga se aplica de manera perpendicular al eje mayor del cuerpo produciendo una curvatura del mismo.

e) Corte: las cargas se aplican de manera que produce deslizamiento de capas vecinas dentro del cuerpo

Es posible hallar casos complejos en los que se combinan dos o ms efectos pero inicialmente las debemos estudiar de manera individual.

El efecto interno de un sistema de fuerzas exterior dado, depende de la eleccin y orientacin de la seccin de exploracin. Si el eje X es normal a la seccin de un cuerpo, sta se denomina superficie o cara X. Cuando se nombre un vector que acta sobre una seccin, el primer subndice indica la cara sobre la que acta la componente y el sseegguunnddoo

ssuubbnnddiiccee indica la ddiirreecccciinn de cada una de ellas.

ESFUERZO SIMPLE.- La fuerza por unidad de rea que soporta un material se conoce como esfuerzo

y se expresa matemticamente en la forma:

donde P es la carga aplicada y A es el rea

de la seccin transversal, pero esta expresin representa el valor medio del esfuerzo pero no el esfuerzo en cada punto de la superficie de la cara X. Para determinar exactamente el esfuerzo se debe utilizar una fuerza diferencial entre el elemento de rea diferencia por

lo que:

La situacin en la que el esfuerzo es constante se llama estado de esfuerzo simple y esto ocurre solamente cuando la fuerza aplicada pasa por el centroide (o centro de gravedad) de la seccin considerada.

Las unidades que se utilizan son el Pascal [Pa] que es Newton por metro cuadrado [N/m2]

La equivalencias a utilizar son: pero es posible usar

y tambin

Ejercicios a resolver

1) Determinar el mximo peso W que pueden soportar los cables mostrados en la figura derecha. Los esfuerzos en los cables AB y AC no deben exceder de 100 MPa. y 50 MPa. Respectivamente, las reas transversales de ambos son: 400 mm

2 para el cable AB y 200

mm2 para el cable AC.

2) Calcular en la armadura de la figura izquierda los esfuerzos producidos en los elementos DF, CE y BD. El rea transversal de cada elemento es de 1200 mm

2. Indicar la Tensin (T) o la compresin (C) en cada resultado.

3) Determinar para la armadura de la figura derecha las reas transversales de las barras BE, BF y CF de modo que los esfuerzos no excedan de 100 MN/m

2 en tensin ni de 80 MN/m

2 en compresin.

No se considera pandeo en los miembros.

4) Todas las barras de la estructura articulada de la figura de la izquierda tienen una seccin de 30mm por 60mm. Determine la mxima carga P que puede aplicarse sin que los esfuerzos excedan de 100 MN/m

2 en

tensin ni de 80 MN/m2 en compresin.

5) Una columna de hierro fundido (o de fundicin) soporta una carga axial de compresin de 250 kN. Determinar su dimetro interior si el exterior es de 200 mm y el mximo esfuerzo no debe exceder de 50 MPa.

6) Un tubo de acero se encuentre rgidamente sujeto con un perno de aluminio y otro de bronce, tal como se muestre en la figura. Las cargas axiales se aplican en los puntos indicados. Calcule el mximo valor de P que no exceda un esfuerzo de 80 MPa en el aluminio; de 150 MPa en el acero; o de 100 MPa en el bronce.

ESFUERZO CORTANTE.- El esfuerzo cortante (o de cizallamiento), a diferencia del axial (o de tensin o de compresin), es producido por fuerzas que actan paralelamente al plano que las resiste, mientras que los de tensin o compresin lo son por fuerzas normales al plano sobre el que actan. Por esta razn, los esfuerzos de tensin y compresin se llaman tambin esfuerzos normales, mientras que el esfuerzo cortante puede denominarse esfuerzo tangencial. El

cizallamiento o corte tiene lugar en un plano paralelo a la carga aplicada. Se simboliza

y

en realidad debe interpretarse como un esfuerzo cortante medio.

Cuando la distancia entre las fuerzas que lo producen sea muy pequea, o el ancho de la seccin que lo soporta sea igualmente pequeo, la distribucin del esfuerzo cortante tiende a ser uniforme.

Ejercicios a resolver

1. Se quiere punzonar una placa que tiene un esfuerzo cortante ltimo de 300 MPa. (a) Si el esfuerzo de compresin admisible en el punzn es de 400 MPa, determine el mximo espesor de la placa para poder punzonar un orificio de 100 mm de dimetro. (b) Si la placa tiene un espesor de 10 mm, calcule el mximo dimetro que puede punzonarse.

2. La figura muestra la unin de un tirante y la base de una armadura de madera. Despreciando el rozamiento, (a) determine la dimensin b si el esfuerzo cortante admisible es de 900 kPa. (b)Calcule tambin la dimensin c si el esfuerzo de contacto no debe exceder de 7 MPa.

DEFORMACIN SIMPLE.-Considerando una probeta de determinado material sujeta entre mordazas en una mquina de pruebas de tensin se observa la carga y tambin el alargamiento producido por la misma, con esto es posible graficar en un plano cartesiano los datos en el que las ordenadas representan la carga introducida y las abscisas los alargamientos correspondientes.

En la figura se representan las fuerzas por unidad de rea tambin llamados esfuerzos y los alargamientos unitarios o deformaciones.

El lmite de elasticidad (o lmite elstico) es el esfuerzo ms all del cual el material no recupera totalmente su forma original al ser descargado, sino que queda con una deformacin residual llamada deformacin permanente. El punto de fluencia es aqul en el que aparece un considerable alargamiento o fluencia del material sin el correspondiente aumento de carga que incluso puede ser menor al inicial mientras dura la fluencia.

La pendiente de la recta es la relacin entre el esfuerzo y la deformacin, se llama mdulo de elasticidad y se representa por la letra E.

que se suele escribir de la forma y esta es la ley conocida como Ley de Hooke

(aunque fue Thomas Young en 1807 quien introdujo la expresin matemtica). E es una medida de la rigidez del material.

Una forma comn de escribir esta ley es

DEFORMACIN.- El valor de la deformacin unitaria es el cociente del alargamiento

(deformacin total) y la longitud en la que se ha producido por lo tanto:

pero esto representa el valor medio de la deformacin, para obtener la deformacin en

cualquier punto es necesario utilizar diferenciales es decir:

para utilizar la expresin del

valor medio se deben cumplir las siguiente condiciones:

a) El elemento sometido a tensin debe tener una seccin transversal o recta constante b) El material debe ser homogneo c) La fuerza o carga debe ser axial, es decir producir un esfuerzo uniforme.

Cabe indicar que la deformacin es una cantidad adimensional.

DEFORMACIN ANGULAR (O POR CORTANTE).- Las fuerzas cortantes producen una deformacin angular o distorsin de la misma manera que las fuerzas axiales originan deformaciones longitudinales.

La distorsin es la variacin experimentada por el ngulo entre dos caras perpendiculares de un elemento diferencial. Similar a la ley de Hooke para la deformacin longitudinal se tiene: donde es el mdulo de elasticidad al cortante llamado a veces mdulo de rigidez.

La relacin entre la deformacin tangencial total y las fuerzas cortantes aplicadas es:

donde representa la fuerza cortante que acta sobra la seccin de rea que la soporta.

Ejercicios a resolver

1. Durante una prueba esfuerzo-deformacin se ha obtenido que para un esfuerzo de 35 MN/m2 la deformacin ha sido de 167 x 10

-6 m/m y para un esfuerzo de 140 MN/m

2, de 667 x 10

-6

m/m. Si el lmite de proporcionalidad es de 200 MN/m2 cul es el valor del mdulo elstico?

Cul es el esfuerzo correspondiente a una deformacin unitaria de 0.002? Si el lmite de proporcionalidad hubiese sido de 150 MN/m

2, se hubieran deducido los mismos resultados?

Razonar la respuesta. 2. Una varilla de acero que tiene una seccin constante de 300 mm

2 y una longitud de 150 m se

suspende verticalmente de uno de sus extremos y sopona una carga de 20 kN que pende de su extremo inferior. Si la densidad del acero es 7850 kg/m

3 y E = 200 x 10

3 MN/m

2, determinar el

alargamiento de la varilla.

ESFUERZO DE CONTACTO (O APLASTAMIENTO).- Cuando se tiene el caso de dos superficies en contacto ejerciendo carga la una sobre la otra, se produce fluencia del material menos resistente, por ejemplo en el caso de un remache sobre la placa que lo sujeta. La presin del remache contra las paredes del orificio no es constante, variando desde cero en los puntos en que desaparece el contacto hasta un mximo en el centro de la parte apoyada.

Para simplificar las dificultades inherentes a una distribucin variable de esfuerzos se suele suponer que el esfuerzo de contacto se distribuye uniformemente sobre un rea ms pequea, que es la proyeccin de la superficie de contacto sobre un plano diametral del orificio perpendicular a la direccin de la fuerza. (El subndice b proviene del ingls bearing = aplastamiento). El rea de aplastamiento es entonces donde es el espesor de la placa y es el dimetro del remache con esto, la carga total se expresa

Ejercicio a resolver

1. Considerando dos placas de 100 mm de ancho unidas por un remache de 20 mm de dimetro. (a) Si los esfuerzos admisibles son de 140 MN/m

2 para el aplastamiento y 80 MN/m

2 para el

esfuerzo cortante, determinar el mnimo espesor de cada placa. (b) Segn las condiciones especificadas en la parte (a), Cul ser el mximo esfuerzo medio de tensin en las placas?

CILINDROS DE PARED DELGADA.- Un depsito cilndrico que contenga un fluido a una presin

est sometido a fuerzas de tensin segn sus secciones longitudinales y transversales y

las paredes han de resistir estas fuerzas para evitar que estalle. Considerando primeramente una seccin longitudinal cualquiera A A que corte diametralmente al cilindro de la figura

sometido a presin interior, la fuerza elemental que acta normalmente a un elemento diferencial de la pared del cilindro a un ngulo del dimetro horizontal es:

Por simetra respecto al plano vertical que pasa por el eje del cilindro, a cada le corresponde otra fuerza cuya componente horizontal ser igual pero de sentido contrario por lo que todas las parejas de componentes horizontales se anulan y la fuerza total F que tiende a separar la una mitad del cilindro de la otra es la suma de las componentes verticales:

que se simplifica en . Para

mantener el equilibrio de la mitad del cilindro, la fuerza total F que acta perpendicular al plano AA es resistida por las fuerzas iguales P que actan en las dos secciones cortadas de la pared del cilindro por lo que:

El esfuerzo en la seccin longitudinal que soporta la fuerza F resulta de dividirla para el rea de las dos secciones de corte:

Este esfuerzo suele

llamarse esfuerzo circunferencial y viene dado por la expresin

; el cual es un

esfuerzo medio para cilindros en los que la pared tenga un espesor menor o igual que un dcimo de su radio interior y es prcticamente igual al esfuerzo mximo que aparece en la superficie del interior del cilindro o el mnimo de la superficie exterior.

Si consideramos ahora el diagrama del cuerpo libre en una parte del depsito cilndrico separada del resto por una seccin transversal cualquiera, se observa que la fuerza F tiende a separar esta parte del cilindro de la otra y que es la fuerza que acta sobre el fondo del mismo la cual se contrarresta por la resultante P de las fuerzas que actan en la pared del cilindro en direccin perpendicular al plano de la seccin transversal de corte. Como entonces

de donde se obtiene que

que se conoce como un esfuerzo longitudinal

porque acta paralelamente al eje longitudinal del cilindro.

Al comparar con se observa que el esfuerzo circunferencial tiene un valor doble al del longitudinal por lo que si la presin en un depsito cilndrico se eleva hasta alcanzar el valor de ruptura la falla del material tendr lugar a lo largo de una seccin longitudinal.

Cuando se construye un depsito cilndrico remachado se lo debe disear para que la resistencia de las juntas longitudinales sea el doble que la resistencia de las juntas circunferenciales.

Ejercicios a resolver

1. Un recipiente cilndrico a presin est fabricado de placas de acero que tienen un espesor de 20 mm. El dimetro del recipiente es 500 mm y su longitud 3 m. Determine la mxima presin interna que puede aplicrsele si el esfuerzo en el acero est limitado a 140 MPa. Si se aumentara la presin interna hasta que el recipiente falle, bosquejar el tipo de fractura que ocurrira.

2. Un depsito cilndrico de agua de eje vertical tiene 8 m de dimetro y 12 m de altura. Si ha se llenarse hasta el borde, determinar el mnimo espesor de las placas que lo componen si el esfuerzo est limitado a 40 MPa.

Cuando los extremos del cilindro son redondeados (tapados con casquetes como el de la figura) la fuerza total que tiende a romper el depsito por una seccin transversal se calcula multiplicando la presin interna por el rea encerrada en esa seccin transversal (obtenida por interseccin con ella de la pared interna del cilindro). La fuerza total longitudinal es igual al producto de la presin interior por el rea de esa seccin transversal del depsito, no de sus paredes.

3. Una tubera de gran tamao llamada tubera de presin en obras hidrulicas, tiene 1.5 m de dimetro. Est formada por duelas de madera sujetas mediante aros de acero de 300 mm

2 de

seccin y se utiliza para suministrar el agua desde un embalse, hasta la sala de mquinas. Si el

mximo esfuerzo que se permite en los aros es de 130 MPa, y la carga hidrulica es de 30 m, determinar la mxima separacin entre los aros. La densidad del agua es

ESTADOS DE DEFORMACIN BIAXIAL Y TRIAXIAL: RELACIN DE POISSON.- Toda tensin o compresin axial produce variacin en las dimensiones transversales del cuerpo sobre el que se aplica la carga, si una barra se alarga por una tensin axial sufre una reduccin en sus dimensiones transversales.

La relacin que describe este fenmeno se simboliza con la letra griega (ni") y es:

donde es la deformacin

debida solamente a un esfuerzo en direccin X, con y que son las deformaciones unitarias

que se manifiestan en las direcciones perpendiculares al eje principal.

El signo menos indica un acortamiento en las dimensiones transversales cuando es positiva como ocurre con un alargamiento producido por traccin tal como se observa en el grfico. La relacin de Poisson permite generalizar la aplicacin de la ley de Hooke para esfuerzos biaxiales.

Si un elemento est sometido simultneamente a esfuerzos de traccin en los ejes X e Y, la

deformacin por unidad de longitud en la direccin X debida a es

con valor positivo

pero al mismo tiempo el esfuerzo producir una contraccin lateral en la direccin X que

produce una relacin:

y cuyo valor para el efecto en el eje X es

de

donde

y anlogamente, la deformacin en el eje y es:

Despejando y de este sistema de ecuaciones se tiene:

Y para el caso de deformaciones triaxiales se vuelve a realizar el mismo procedimiento para hallar:

Se debe recordar que se usa signo positivo al alargamiento y negativo al acortamiento de longitudes.

Se tiene una importante relacin entre las constantes E, G y para un material dado la cual

es:

Esta relacin se puede utilizar para determinar el valor de cuando se conoce G y E

para el acero

para muchos otros materiales

para el concreto

ESFUERZOS DE ORIGEN TRMICO.- Todo cambio de temperatura produce deformaciones longitudinales en los materiales, si se considera una sola direccin se tiene una deformacin lineal, si se consideran dos dimensiones hablamos de deformacin superficial y con tres dimensiones una deformacin volumtrica.

La deformacin lineal viene dada por: donde es el coeficiente de dilatacin lineal que se expresa en , es la longitud y es la variacin de temperatura en C

Por causa de las deformaciones trmicas aparecen fuerzas internas que contrarrestas estas deformaciones cuando estn impedidas total o parcialmente.

El procedimiento para determinar el valor de dichas fuerzas es:

1. Se considera a la estructura descargada de toda fuerza aplicada y sin ligaduras que impidan la libre deformacin trmica, se representa en un esquema estas deformaciones, ahora ya posibles, exagerando sus magnitudes

2. Se aplica ahora a la estructura las fuerzas necesarias (desconocidas) para que vuelva a las condiciones geomtricas iniciales de restriccin de movimientos.

3. Las relaciones geomtricas entre las deformaciones debidas a la temperatura y las debidas a las fuerzas aplicadas en el esquema proporcionan unas ecuaciones que,

junto con las del equilibrio esttico permiten determinar las

fuerzas desconocidas.

ELEMENTOS ESTTICAMENTE INDETERMINADOS (HIPERESTTICOS).- Estructuras en las que las reacciones o fuerzas resistivas internas exceden en nmero al de ecuaciones independientes de equilibrio se conocen como estticamente indeterminadas y requieren ecuaciones adicionales que relacionan las deformaciones elsticas con las de equilibrio, para esto se recomienda:

1. Hacer un diagrama de cuerpo libre de la estructura o de parte de ella con las fuerzas necesarias para su equilibrio esttico

2. Cuando hay ms incgnitas que ecuaciones independientes de equilibrio hay que obtener nuevas ecuaciones mediante relaciones geomtricas entre las deformaciones elsticas producidas por las cargas y por las fuerzas desconocidas.

Ejercicios a resolver

1. Una varilla de acero de 150 mm2 de seccin est sujeta en sus extremos a dos puntos fijos, estando estirada con una fuerza total de 5000 N a 20C. Calcular el esfuerzo en la varilla a -20C. A qu temperatura se anular el esfuerzo? Utilizar: y .

2. Una varilla de acero anclada entre dos muros rgidos queda sometida a una tensin de 5000N a 20C. Si el esfuerzo admisible es de 130 MPa, hallar el dimetro mnimo de la varilla para que no se sobrepase aqul al descender la temperatura hasta 20C. Utilizar: y .

3. Los rieles de una va frrea, de 10 metros de longitud, se colocan a una temperatura de 15C con una holgura de 3 mm. A qu temperatura quedarn a tope? Calcular el esfuerzo que adquiriran a esa temperatura si no existiera la holgura sealada.

4. La barra compuesta de la figura est firmemente sujeta a soportes indeformables. El aluminio tiene un rea de seccin transversal de 900 mm

2 y tiene un mdulo de elasticidad de

70x109 Pa, el acero tiene un rea de seccin transversal de

1200 mm2 con E=200x10

9 Pa. Se aplica una fuerza axial P =

200kN en la juntura de ambos materiales y dirigida a la derecha a una temperatura de 20C. Calcular los esfuerzos en cada material a la temperatura de 60C; en el acero en al aluminio .

5. Para el problema anterior, a qu temperatura alcanzar el esfuerzo en el aluminio y en el acero el mismo valor numrico?

TORSIN.- Para deducir las frmulas de la torsin se debe establecer una serie de hiptesis que pueden demostrarse matemticamente y algunas de ellas comprobarse experimentalmente, las dos primeras corresponden a secciones circulares.

1. Las secciones circulares permanecen circulares despus de la torsin 2. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean despus de la torsin 3. La proyeccin sobre una seccin transversal de una lnea radial de una seccin

permanece radial despus de la torsin 4. El rbol (es decir todo elemento mecnico que tiene la forma de un slido de

revolucin y que se utiliza para transmitir un par) est sometido a la accin de pares torsores que actan en planos perpendiculares a su eje

5. Los esfuerzos no sobrepasan el lmite de proporcionalidad.

DEDUCCIN DE LAS FRMULAS DE TORSIN.- Considerando las hiptesis expuestas en el prrafo anterior, al aplicar un momento torsionante T a los extremos del rbol macizo, una lnea generatriz AB que estaba inicialmente recta en la superficie del cilindro se tuerce formando una hlice AB al tiempo que la seccin B gira un cierto ngulo respecto de la seccin en A.

La hlice AB es la lnea que une los puntos iniciales de referencia de todas las rebanadas de seccin transversal al eje y que son infinitamente delgadas, puntos que antes de

la deformacin estaban sobre AB. Si se considera una fibra cualquiera a una distancia del eje del rbol, el radio de dicha fibra gira tambin el mismo ngulo producindose una deformacin tangencial igual a DE, la longitud de esta deformacin es el arco de crculo de radio y ngulo

y en estas condiciones la distorsin es

y segn la ley de Hooke el esfuerzo cortante

ser

que es una expresin conocida como ecuacin de compatibilidad (en

ella los esfuerzos son compatibles con las deformaciones elsticas). De esta se deduce que la distribucin de esfuerzos a lo largo de cualquier radio vara linealmente con la distancia al centro de la seccin.

Un elemento diferencial de rea de esta seccin estar sometido a una fuerza resistente y debe ser perpendicular a para que se produzca la mxima resistencia a la torsin.

Haciendo cumplir las condiciones de equilibrio esttico la es decir que el par torsor resistente ha de ser igual al momento torsionante aplicado. El par resistente T es la suma de los momentos respecto al centro de todas las fuerzas diferenciales

de donde

pero como la expresin es

el momento polar de inercia de la seccin recta entonces:

Que se suele expresar:

con el ngulo expresado en radianes, T en , L en m, J en

m4, y G en

La frmula de torsin se suele expresar tambin

y su valor mximo que est en la

superficie del rbol es

, esta frmula se emplea para determinar el esfuerzo de

ruptura por cortante (mdulo de ruptura a torsin)

El clculo del momento polar de inercia se lo realiza con la expresin y para secciones circulares macizas o huecas resulta ser:

Por lo que para un eje macizo se tiene:

y para un eje

hueco resulta:

En muchas aplicaciones prcticas los rboles se utilizan para transmitir potencia la cual al ser transmitida por un par constante que gira a velocidad angular constante est dada por:

De conde est medida en radianes por unidad de tiempo. Si el rbol gira con frecuencia de revoluciones por unidad de tiempo entonces y la potencia por lo que el momento torsionante puede expresarse como:

La potencia viene medida en watt

y la frecuencia en con lo que el

momento torsionante est en Newton-metros.

Una frmula suficientemente aproximada para determinar el esfuerzo cortante mximo en una barra de seccin rectangular en donde es el lado mayor y el lado menor del

rectngulo es:

Ejercicios a resolver

1. Calcular el mnimo dimetro de un rbol de acero que, sometido a un momento torsionante de , no debe experimentar una deformacin angular superior a 3 en una longitud de 6m. cul es entonces el esfuerzo cortante mximo que aparecer en l? Usar

2. En un rbol macizo de 5 m de longitud en que el ngulo total de torsin es de 4 el esfuerzo cortante mximo es de 60 MPa. Si . Calcular su dimetro. Qu potencia podr transmitir a 20 rev/s?

3. Hallar la longitud de una varilla de bronce de 2 mm de dimetro para que pueda torcerse dos vueltas completas sin sobrepasar el esfuerzo cortante admisible de 70 MPa. Usar .

4. Demostrar que un rbol hueco de seccin circular, cuyo dimetro interior sea la mitad del

exterior tiene una resistencia a la torsin que es igual a

de la que tiene un rbol macizo del

mismo dimetro exterior. 5. Un rbol de acero de dimetro constante

de 60 mm est cargado mediante pares aplicados a engranes montados sobre l, tal como se indica en la figura. Usando un mdulo calcular el ngulo de torsin del engrane D con respecto al A