APUNTES DE FISICA I PARA ALUMNOS DE KINESIOLOGA1. VECTORESSe procede a un repaso de los conceptos de vectores, resaltando aquellos que son necesarios para los estudiantes de Licenciatura en Kinesiologa. 1.1. Definicin de vector: Es una cantidad que tiene magnitud, direccin y sentido. 1.2. Representacin grfica de un vector: magnitud & a origen sentido direccin

1.3. Caractersticas y simbologa de los vectores:

T a : se lee vector a.T a ! a :se lee magnitud del vector a

u

: se lee vector unitario

u ! u ! 1 : la magnitud del vector unitario es uno. u x : se lee vector unitario en la direccin x

ul

: se lee vector unitario en la direccin

l

1.4. Operaciones geomtricas entre vectores: i) Suma de dos vectores: Dados dos vector

T T A y B,

& A

& B

2

encontrar el vector resultante

T T T R ! A B

Segn los datos la solucin geomtrica es &la siguiente: Se elige como base un & vector, en este caso elegimos el vector A y se copia el vector B haciendo & & & coincidir el origen de B con el extremo &de A , luego se dibuja el vector R , & haciendo coincidir su origen con el de A y su extremo con el de B , como muestra la figura. & R & B

& A ii) Suma de varios vectores: Ejemplo: Dados 4 vectores A, B , C , yD . & B & A

TT T T& C & D

& & & & & Encontrar el vector resultante R ! A B C D . La solucin geomtrica al problema planteado es la siguiente: Procediendo como en el caso anterior podemos llegar a la siguiente figura. & R & D

& C & A

& B

3

iii) Sustraccin de dos vectores: Dados dos vectores

T T A y B:

& A T T T Encontrar el vector diferencia R ! A B

& B

La solucin esta dada por: Se elige como en la suma de vectores un vector base & en este&caso ser el vector A y se procede como en la suma, pero se suma al & vector A el vector B y se obtiene la siguiente figura. & A & B & R

iv) Multiplicacin de un vector por un escalar:RT

Dado el siguiente vector:

T V Encontrar el vector 3V : En este caso se procede como en la suma y se repite en este caso el vector 3 veces, como muestra la figura.

T

T V

T V T T R ! 3V& & R !3V

T VT T R ! 3V

1.5. Componentes rectangulares de un vector: A) En dos dimensiones el sistema referencial esta dado por: Y

uy ux X 4

Donde

ux ! i vectores unitarios en direcciones x e y uy ! jT La representacin grfica de un vector V en dos dimensiones geomtricamente esta dado por:

Y & Vy uy ux Luego el vector se puede expresar por:

U & Vx X

T T T V ! Vx V yDonde las magnitudes de las componentes rectangulares se expresan de la siguiente manera:

Vx ! V cosULuego se tiene:

Y

V y ! VsenU

T V ! V cosU u x VsenU u y Vx Vy

Para determinar la direccin de un vector se utiliza la funcin trigonomtrica tangente del ngulo, en este caso nos queda:

tgU !

Vy Vx

Permte determinar la direccin

U

del vector.

5

Para determinar la magnitud del vector se utiliza la expresin:

V ! Vx2 Vy2

Ejemplo 1: Dado el vector cuya magnitud es 5 [u] y forma un ngulo de 30 con el eje x. Encontrar: a) Las componentes rectangulares del vector. b) Expresar el vector en componentes rectangulares.

Solucin: a)

Se desea determinar Ax y Ay.

Los datos son:

A ! 5?u A ;

U ! 30 .Para encontrar las componentes rectangulares se debe calcular las magnitudes de dichas componentes procediendo de la siguiente manera: Para Ax :

Ax ! A cos 30 Ax ! 5 0,87 ?u A Ay ! Asen30 Ay ! 5 0,5 ?u A

Ax ! 4,35?u A A y ! 2,5? A u

Para Ay :

b) Como se encontraron las componentes rectangulares del vector, se expresa el vector:

6

Ejemplo 2:

T ? 4 A ! , 45u x 2,5u y u A

T Dado el vector B ! 4u x 6u y Encontrar: a) Su magnitud. b) Su direccinSolucin:

T a) Como B ! 4u x 6u y ; luego las componentes del vector son Bx = 4 y By = 6. T 2 2 Pero la magnitud del vector esta dada por B ! B x B y ; sustituyendo setiene que:

T Datos: B ! 4u x 6u y

T B ! 4 2 6 2 ! 16 36 ! 52 ! 7,2T B ! 7, 2

b) Como

tgU !

By Bx

Sustituyendo

6 4 @ U ! arctg1,5 tgU !Luego el vector

tgU ! 1,5

U ! 56,3

T B forma un ngulo de 56,3 con el eje X.

B) En tres dimensiones el sistema referencial se expresa:

7

Luego la representacin del vector en tres dimensiones esta dado por:

Donde el vector se expresa por:

T T T T V ! Vx V y VzV x! VsenJ cosUV y! VsenJsenU

Sus componentes del vector estn dadas por:

V z! V cos JLa magnitud del vector esta dada por:

V ! VX2 VY2 VZ2Para determinar los ngulosU y

J.tgU ! VxyV

El ngulo U se obtiene utilizando la siguiente funcin trigonomtrica: El ngulo

V J se obtiene utilizando la siguiente funcin trigonomtrica: cos J ! Vz

8

Ejemplo 1: Dado el vector cuya magnitud es 10? A y U ! 30r y J ! 60r u Encontrar a) Las componentes rectangulares del vector b) Expresar el vector en componentes rectangulares Solucin: Datos: a) Como: V ! 10? A u U ! 30r

J ! 60r

Vx ! VsenJ cosU Vx ! 10 sen60r cos 30r Vx ! 10 0,87 0,87 ?u A

Vy ! VsenJ senU Vy ! 10 sen60rsen30r Vy ! 10 0,87 0,5 ?u AV y ! 4,35? A u

Vx ! 7,57?u A

V z ! V cos J V z ! 10 cos 60r V z ! 10 0,5?u AVz ! 5? A ub)

T V ! V x u x V y u y Vz u z

T V ! 7,57u x 4,35u y 5u z

Ejemplo 2Dado el vector

T A ! 3u x 6u y 7u z en componentes rectangulares.

Encontrar: a) La magnitud del vector. b) La direccin del vector (U y J ). Solucin: Datos

T A ! 3u x 6u y 7u z Ax ! 3 ; Ay ! 6 ; Az ! 79

a)Luego

Como2 2 A ! Ax Ay Az2

A ! 32 6 2 ( 7 ) 2 A ! 9 36 49 A ! 94b) Como

A ! 9,7?u A tgU ! 6 tg ! 2 3

tgU !

AY Ax

Como

U ! arctg 2

U ! 63,4r

cos J !

Az A

cos J !

7 9,7

cos J ! 0,72

J ! arccos(0,72)

J ! 136,2r

1.6. Suma y resta de vectores en componentes rectangulares: a) Suma de dos vectores:

T Dados los vectoresA !

T B ! B x u x B y u y Bz u z

Ax u x Ay u y Az u z

La suma de vectores esta dada por:

T T T S ! A B T S ! ( Ax u x Ay u y Az u z ) ( B x u x B y u y B z u z ) T S ! ( Ax Bx )u x ( Ay B y )u y ( Az B z )u z Luego:

T S ! S xux S yu y S zuz

Sx

Sy

Sz

10

Ejemplo: Dados dos vectores:

T A ! 2u x 3u y 4u z

y

T B ! u x 6u y 3u z

EncontrarSolucin

el vector suma

T T A B.

T T T S ! A B T S ! (2 1)u x (3 6)u y (4 (3))u z T S ! 3u x 3u y u z Dados los vectores

b) Resta de dos vectores:

T A ! Ax u x Ay u y Az u z

T B ! B x u x B y u y Bz u z

Encontrar el vector diferencia. Sea

T T T R ! A B

T T T R ! A ( B)

& D ! ( Ax ux Ay u y Az uz ) ( Bx u x By u y Bz uz )

& D ! ( Ax Bx )u x ( Ay B y )u y ( Az Bz )u zdonde las componentes del vector son: Dx = AX Bx ; Dy = Ay By y Dz = Az - Bz luego: Ejemplo: Dados los vectores: Sustituyendo se tiene: El vector resultante:

& D ! Dx u x Dy u y Dz uz

T T y A ! 4u x 7u y 8u z B ! 2u x 3u y 5u z T R ! ( 4 2)u x (7 3)u y (8 (5))u z T R ! 2u x 10u y 13u z

c) Producto de un vector por un escalar. Dado el escalar

T n y el vector A ! Ax u x Ay u y Az u z 11

& El vector resultante es n veces el vector A :

T nA ! n( Ax u x Ay u y Az u z ) T nA ! (nAx )u x (nAy )u y (nAz )u z

Emplo Sea Datos:

T T A ! 3u x 5u y 6u z . Encontrar 3 A T A ! 3u x 5u y 6u z y n ! 3 T 3 A ! (3 3)u x (3 ( 5)u y ) (3 ( 6)u z )

T 3 A ! 9u x 15u y 18u z

1.7. Producto escalar y producto vectorial. . a) Producto escalar entre 2 vectores: AyB T T Esta dado por la expresin A y B y su resultado es una magnitud escalar. Definicin: vectores

TT

U es el ngulo que forman los TT AyB como muestra la siguiente figura.

T T A y B ! AB (cosU ) donde

Si los vectores Donde:

TT AyB se expresan en componentes rectangulares.y

T A ! Ax u x Ay u y Az u z El producto escalar se expresa:

T B ! B x u x B y u y Bz u z

T T A y B ! Ax B x Ay B y Az B z

12

Ejemplo Dado los vectores: A ! 2u x 3u y 5u z & & Encontrar el producto escalar entre A y B . Solucin

T

y

T B ! u x 2u y 4u z

TT A B ! 2 1 ( 3) 2 5 ( 4) TT A B ! 2 6 20T T A y B ! 24

Luego:

b) Producto vectorial entre 2 vectores. La expresin del producto vectorial esta dado por:

& & AxB .

& La resultante es un vector C que es perpendicular al plano formado por el vector & & A y B. La definicin de la magnitud del producto vectoriales es:

& & & & AxB ! A B sen ULa representacin grfica del producto vectorial es:

& & & donde C ! AxB . & & & & El producto cruz no es conmutativo donde: AxB { BxA Donde: & & & & AxB ! BxA .

Si los vectores se expresan en componentes rectangulares:

13

Sea:

B ! B x u x Ay u y y Para determinar el producto vectorial se recomienda utilizar la siguiente expresin:T T A v B ! ux Ax Bxuy Ay By uz Az Bz

& & ) & & A ! A x u x Ay u y Az u z

T

Bzu z

Donde el desarrollo del determinante esta dado por :

T T A v B ! ( Ay Bz Az B y )u x ( Az B x Ax Bz )u y ( Ax B y Ay Bx )u z Ejemplo: Dados los vectores: A ! 2u x 3u y 4u z & & encontrar el producto vectorial AxB .

T

y

T B ! 5u x 6u y 7u z

Solucin:

T T A v B ! [( 3)(7) ( 4)6]u x [( 4)5 2( 7)]u y [ 2 * 6 ( 3)5]u z T T A v B ! (21 24)u x ( 20 14)u y (12 15)u z

T T A v B ! 45u x 6u y 27u z 2. CINEMATICA La cinemtica estudia el movimiento de los cuerpos independiente de las causas que produce dicho movimiento. Para analizar si un cuerpo se encuentra en movimiento se debe fijar un sistema de referencia respecto del cual se da cuenta del movimiento. A continuacin se muestra el movimiento de un cuerpo respecto a sistema tridimensional.

Trayectoria

14

El cuerpo al moverse describe una trayectoria la que queda determinada por las diferentes posiciones que ocupa en cada instante. Conceptos bsicos de cinemtica. a) Sistema referencial: Es adecuado al espacio dimensional, que puede ser una, dos o tres dimensiones. b) Partcula: Es un cuerpo que tiene las dimensiones de un punto. c) Trayectoria: Es la curva que describe la partcula al moverse desde un punto a otro. d) Posicin: Se representa por el smbolor

&

y sus unidades son de longitud.

e) Desplazamiento: Se representa por el smbolo longitud y se representa por:

T (r y sus unidades son de

T T T (r = r f ri

f) Velocidad media: Se representa por el smbolo , se define como la rapidez de cambio del desplazamiento respecto al tiempo y esta dado por:

_ & v

T T (r v! (t

y sus unidades son

longitud tiempo

& g) Velocidad instantnea: Se representa por el smbolo v y se define como la velocidad media cuando el intervalo de tiempo t tiende a cero.Su magnitud se representa por: longitud tiempo y se representa tangente a la trayectoria como muestra la siguiente figura.

& v !v

se denomina rapidez, sus unidades son

15

h) Rapidez media: Se representa por el smbolo

v y se define:

v!

(s ! (t

Camino recorrido Intervalo de tiempo

Aceleracin media: Se representa por el smbolo y se define como el cambio de velocidad en un cierto intervalo de tiempo y se representa por:

& a

& & (v a! (t

Siendo sus unidades

longitud . tiempo 2

Aceleracin instantnea: Se representa por el smbolo son las de la aceleracin media.

& a

y las unidades

2.1 Movimiento rectilneo uniforme. La partcula que tiene un movimiento rectilneo uniforme su trayectoria es una lnea recta y su velocidad es constante es decir no cambia de magnitud ni de direccin. La partcula que tiene este tipo de movimiento recorre distancias iguales en tiempos iguales. A continuacin se muestra el sistema referencial para el caso unidimensional en la cual se muestra la posicin de una partcula para t0 y luego para el instante t.

Ley fsica que rige el movimiento esta dada por:

x ! xo vt t o Ejemplo

?v ! cte.A

Un atleta corre una maratn de 42 Km en 3 horas. a) Hallar su rapidez media. b) Realice un grfico distancia versus tiempo.

? A

16

Solucin. a) Encontrar su rapidez media Sea Donde

x xo t to x xo ! 42?KmA v!

t t o ! 3?H A

@

v!

42?Km A 3?H A

Km v ! 14 H

b) Representacin grfica de la distancia versus tiempo

En el grfico la pendiente de la recta representa la rapidez.

2.2 Movimiento rectilneo uniformemente acelerado. Un movimiento rectilneo uniformemente acelerado se caracteriza por que la aceleracin es constante. A continuacin se muestra una partcula en una posicin es un instante t.

La aceleracin es el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo. O bien la aceleracin es la rapidez de cambio de la velocidad respecto del tiempo.

17

Este movimiento se rige por las siguientes leyes fsicas:

x ! xo vo (t to ) 1 a (t to ) 2 2v ! v o a (t t o )2 v 2 ! vo 2 a ( x x o )

Posicin en funcin del tiempo. Rapidez instantnea en funcin del tiempo. Rapidez instantnea en funcin de la posicin.

Ejemplo: Una gacela puede lograr desde su posicin de reposo una aceleracin de

m 4 2 . s

a) Qu velocidad ha alcanzado al cabo de un recorrido de

50?m A?

b) Si su velocidad mxima es de velocidad?.

m 22 s

Cunto tarda en alcanzar esa

Respuesta a pregunta a): Datos: x0 = 0; v0 = 0; t0 = 0; Solucin: Como2 v 2 ! v0 2a 2

a

= 4 [m/s2]; Cual es el valor de v, si x = 50 [m].

2 Se tiene que v ! v0 2a x x0 sustituyendo las cantidades se tiene:

. La gacela adquiere la rapidez de 20 [m/s] cuando a recorrido la distancia de 50 [m]. Respuesta a pregunta b): Datos: x0 = 0; v0 = 0; t0 = 0; a = 4 [m/s2]; Cul es el valor de t si v = 22 [m/s].

v ! 2 4 50

v ! 20[ m ] s

18

Como

v ! v0 a (t t0 )

t!

v v0 at0 a t ! 5, 5[ s]

Sustituyendo se tiene que:

t!

22 4

Al cabo de 5,5 [s] la gacela adquiere la rapidez de 22 [m/s].

2.3 Aplicacin del Movimiento rectilneo uniformemente acelerado : Una aplicacin del movimiento rectilneo es la La cada libre en la proximidad de la Tierra. Todos los cuerpos en cada libre en la proximidad de la Tierra caen con una & & aceleracin a ! g dirigida hacia el centro de la Tierra. El valor de dicha aceleracin es de:m g ! 9,8[ s 2 ]

Este valor fue determinado en un punto de la tierra ubicado a 45 de latitud y al nivel del mar. El sistema referencial en este caso se recomienda que se dibuje verticalmente y con el sentido positivo dirigido hacia arriba como muestra la siguiente figura.

y

T g

019

En la siguiente figura se muestra la tierra y la aceleracin de gravedad.

T g T g T g

Las ecuaciones de movimientos para el estudio de un cuerpo en cada libre son las siguientes:

y ! yo vot 1 gt 2 2

v ! vo gt2 v 2 ! vo 2 g ( y y o )

Otro ejemplo de aplicacin del movimiento vertical es el caso de un salto vertical de una persona. A continuacin analizaremos el movimiento de una persona cuando realiza un salto. El punto medio de la persona se encuentra sealada por la lnea: El recorrido durante la cual la persona est acelerando para poder abandonar el suelo se representa por d . La altura mxima que se eleva la persona por sobre el suelo se representa por h .

20

h d

Cuando la persona se mueve en la etapa de aceleracin para despegar del suelo, la persona inicia su movimiento con una velocidad igual a cero y cuando termina el recorrido de esta etapa alcanza una velocidad de despegue definida por vd, que a su vez es la velocidad inicial en la etapa cuando la persona se encuentra en el aire y la velocidad final que alcanza en esta etapa es igual a cero.

Tabla: Distancia de aceleracin

(d ) y altura (h) para varios animalesAltura vertical

Distancia de aceleracin

( d )[m]Seres humanos Canguro Mono Langosta Pulga 0.5 1.0 0.16 0.03 0.0008

( h)[m]1.0 2.7 2.2 0.3 0.1

Ejemplo 1 Considere que una persona tiene una distancia de aceleracin d = 0,5 [m] y la altura que alcanza respecto al suelo es h = 1,0 [m]. Calcular: a) La velocidad de despegue vd para un ser humano. b) La aceleracin de despegue a d .a) Para responder la pregunta a la etapa en que la persona despega del suelo hasta que alcanza la altura h

Luego:

V f2 ! Vo2 2 ghDonde en este caso: 21

Vf ! 0 h

y Vo ! Vd 0 ! Vd2 2 gh

Despejando vd : Sustituyendo:

Vd ! 2 gh

Vd ! 2 9,8 1 m s

Vd ! 4,4 m s

b) Para responder la pregunta b la etapa en que la persona se encuentra en la fase de despegue.

Esta etapa corresponde cuando la persona recorre la distancia d y se mueve con una aceleracin distinta de g.

d

Para este caso:

V f2 ! Vo2 2a ( x xo )Donde:

V f ! Vd ;Vo ! 0

; a ! ad

y x xo ! d

@Despejando

Vd2 ! 0 2 a d d

a d se obtiene:

Vd2 ad ! 2d ad ! 19,36 sm 2

Sustituyendo:

4, 4 2 m 2 ad ! 2 05 s

2.4 Movimiento parablico Otro movimiento comn en el ser humano es el parablico.

22

Este movimiento se caracteriza porque es en dos dimensiones que se encuentra en el plano vertical, los que llamaremos X e Y . Las partculas que se mueven en este tipo de movimiento, tambin lo hacen con una aceleracin igual g. La siguiente figura muestra el movimiento de una partcula que es lanzada con una velocidad desde el suelo y nuevamente llega al suelo. Motivo por el cual se fija el eje X en la direccin horizontal y el eje Y en direccin vertical.

Y

T Vo U T g

T v

T g

T g

T vX?mA

Se estudiaran como dos movimientos independientes, uno a lo largo del eje X y el otro a lo largo del eje Y y que al combinarlos nos resulta el movimiento parablico. Luego a lo largo del eje ecuaciones a usar son:

X , se considera un movimiento rectilneo uniforme y las

X ! (Vo cosU )(t to )La velocidad se descompone en las direccin X e Y , en la direccin X , la componente de la velocidad es V0x = V0cos y la componente en la direccin Y es Vy = V0sen .

Las ecuaciones a lo largo del eje Y son:

Y ! Yo Voy (t t o ) 1 g (t t o ) 22

V y ! Voy g (t to )2 2 V y ! Voy 2 g (Y Yo ) 23

Se debe considerar que el intervalo de tiempo que transcurre en direccin en la direccin Y son los mismos. Ejemplo 1.

X y

Un jugador de ftbol lanza la pelota de tal modo qu sta sube hasta una altura mxima de 3[m] cuando se ha desplazado horizontalmente 15[ m] y luego empieza a caer. Cul era la rapidez y direccin de la pelota en el instante del lanzamiento? Solucin: Las preguntas se refieren a calcular Datos:

Vo y U

Y ! 3[m] Y

;T Vo

X ! 15[m] B

;

g ! 9.8[ m ]s

3

UA

15 D

C

X

? A m

Como el punto B es la mxima altura que puede alcanzar la pelota, en ese instante la velocidad es horizontal y paralela al eje X . Luego: VB ! Vox En el caso de ste movimiento el tiempo que demora la pelota en subir hasta el punto B es el mismo tiempo que demora en alcanzar nuevamente el suelo (es decir que el tiempo de subida y de bajada es el mismo). Por otra parte tenemos que la distancia AD ! DC ! 15?m A por la simetra del problema. En primer lugar determinaremos el tiempo que transcurre desde Para esto utilizaremos la expresin: est en el punto B, luego V ! 0 . y

A

a

B.

V y ! Voy gt , como la velocidad es paralea al eje X cuando la pelota

24

Luego:

0 ! Voy gt

t!

Voy g

Tiempo que la pelota alcanza su altura mxima.

Usando la expresin:

Y ! Yo Voy t 1 gt 2 2Sustituyendo

o

Y ! Voy t 1 gt 2 2

t nos queda:

Y ! Voy

Voy g

g1 2

2 Voy

g2

Y!

2 Voy

2 Voy

g

2g

@En este caso Conociendo

Y!

2 Voy

2g

Nos permite calcular la altura mxima si se conoce Vo y U .

Voy ! 2 gy Voy ! 2 10 3 Voy ! 7.75 t!

?m A Voy ! 7.75?m A s st! Voy 2gTiempo que se demora la pelota en ir desde el punto A a B

?Am s

Se determinara

7.75 ?s A 10

t ! 0.775?s A

Por otra parte se tiene que: Como:

X ! Vox t

Vox !sustituyendo: Luego:

X t 15 Vox ! 0.775

?m A s

Vox ! 19.4?m A s

2 2 Vo2 ! Vox Voy

2 2 Vo ! Vox Voy

Vo ! 19.4 2 7.75 2 ?m A s

Vo } 21 m s

?A

25

Para determinar U :

tgU !

Voy Vox

tgU !

7.75 19.5

tgU ! 0.40

U ! arctg 0.40

U ! 21.8r

Ejemplo 2: Un canguro puede saltar 8 m en direccin horizontal. Si despega con un ngulo de 45r con respecto a la horizontal, Cul es su velocidad de despegue?.

? A

?mA Y

T Vo 45rA B Xg ! 10?m A s

?mA

Datos:

X ! 8?m A

;

U ! 45r

;

Primero determinaremos el tiempo entre

A

y

B . Usaremos:

Y ! Yo Voy t 1 gt 2 2Donde Yo

! 0 ; Y ! 0 ; luego: 0 ! Voy t 1 gt 2 2t1 ! 0y

;

0 ! (Voy t 1 gt )t ; De donde 2 2Voy t2 ! g

Cuando el canguro llega a Como:

B

el tiempo que transcurre es t 2 .

X ! Vox t

t ! t226

Se tiene: Pero

X ! Vox t 2Vox ! Vo cosU

de donde y

X ! Vox

2Voy g

Voy ! Vo senU

Luego sustituyendo nos queda:

X !

2VoxVoy g2Vo2 senU cosU X ! g

Sustituyendo V0x y V0y nos queda: Como

2 senU cosU ! sen2UX! Vo2 sen 2U g

; nos queda

En este caso X se denomina Alcance Horizontal y se designa por R .

En este caso:

Vo !Sustituyendo:

Xg sen 2U

Vo !

810 80 m m V ! o sen (245r) s sen90r s V ! 80 m s o

(Sen90r!1)

Vo !8.94 m s

27

3. Dinmica La dinmica estudia como se mueven los cuerpos, preocupndose adems de las causas que lo producen los movimientos. Comenzaremos analizando las leyes de Newton. 3.1 Leyes de Newton Primera ley: Un cuerpo que est en reposo permanece en reposo, y el que esta en T movimiento permanece en movimiento rectilneo uniforme ( v constante). Segunda ley: Un fuerza o un sistema de fuerza aplicadas a una partcula, le imprime T una aceleracin a , en direccin y sentido de la fuerza resultante y esta fuerza es proporcional a la aceleracin.

T T F ! maTercera ley: Si un cuerpo aplica una fuerza sobre un segundo cuerpo, este reacciona con una fuerza de igual magnitud y sentido contrario sobre el primer cuerpo. Representacin de una fuerza aplicada a un cuerpo:

T F U

Unidades de fuerza: Sistema M.K.S. C.G.S. U.tecn. Relaciones entre unidades:1?Kgf

Unidades 1 newton

? A 1? dina A1 ?ki log ramofuerza A

1?N A 1?dina A1?Kgf A

A

=

9,8?N A28

1?N A

=

10 5 ?dina A

* El instrumento que mide la fuerza se llama dinammetro.*

3.2 Algunos tipos de fuerza: a) Fuerza de gravedad: Es la fuerza con que la tierra atrae los cuerpos y est dirigida hacia el centro de la tierra. A esta fuerza se le denomina peso, y se representa:

T T W ! mgb) Fuerza normal:

T W

Es la fuerza que ejerce una superficie sobre el cuerpo y perpendicular a la superficie. Se representa por:

T N

T N

c) Fuerza en un reporte: Es una fuerza variable y depende de la elasticidad del resorte. Se representa por:

F ! Kx

Donde, K es una constante elstica del resorte y es caracterstico de cada material, y x es lo que se estira el resorte.

29

Representacin:

largo natural del resorte

resorte estirado

xd) Fuerza de roce:

T F

Es una fuerza que se opone al movimiento de los cuerpos y es ejercida por la superficie. Se representa por:

f r ! QN

T fr

Sentido de movimiento

Donde Q se denomina coeficiente de roce y N es la magnitud de la fuerza normal. La fuerza de roce siempre es paralela al plano del movimiento de cuerpo. Existen 2 tipos de coeficiente de rozamiento:

QSQkLuego:

: coeficiente de roce esttico : coeficiente de roce cintico

Fuerza de roce esttica Fuerza de roce cintica

f r ,s ! Q S Nf r ,k ! Qk N

30

e) Fuerza de friccin en un fluido. Un cuerpo que se mueve en un fluido viscoso experimenta una fuerza de resistencia que viene dada por la expresin.

T Fa

R

T v

Fa ! Ev

Donde v es la velocidad del objeto, E es un coeficiente constante que depende de la viscosidad del fluido, de la forma y dimensiones del objeto, y Fa es la fuerza viscosa de resistencia o arrastre. f) Fuerza muscular: El msculo por lo general est unido a dos huesos mediante los tendones. La fuerza muscular Fm , depende del rea de su seccin transversal, que en el hombre es aproximadamente de 3 a 4 g) Compresin: Cuando actan fuerzas opuestas se dice que el bloque est comprimido o en estado de compresin.Kgf cm2 .

T F1Luego

T F2

F1 ! F2 T T F1 ! F2 Fc ! F2

Fc ! F1h) Tensin:

o

Si un cuerpo est sometido a dos fuerzas opuestas tirando de l, se dice que el cuerpo se encuentra en estado de tensin.

T F1

T F2

T T F1 ! F231

T ! F1

o

T ! F2

La cuerda flexible y los tendones: 1. Estos siempre se encuentran en estado de tensin. 2. Tienen la particularidad de transmitir la fuerza en sentido longitudinal. 3. La tensin tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de la cuerda o tendn a menos que exista roce en la cuerda.

Ejemplo de cuerdas:

T T

T T

o

1 1 23.3 Aplicaciones:

2

T W1

T W2

a) Existe equilibrio esttico si la suma de las fuerzas aplicadas a un cuerpo se cumple:

T F ! 0

b) Existe equilibrio dinmico si la suma de las fuerzas aplicadas a un cuerpo se cumple:

T T F ! ma

Ejemplo 1:

40r

Msculo biceps

32

El tendn del bceps de la siguiente figura ejerce una fuerza cuya magnitud Fm ! 7 ?Kgf A sobre el antebrazo. El brazo se muestra doblado de tal manera que esta fuerza forma un ngulo de 40 con el antebrazo. Hallar las componentes de Fm : a) Paralela al brazo (Fuerza estabilizadora). b) Perpendicular al antebrazo (fuerza sostenedora).

Solucin: Datos:

U ! 40r

;

Fm ! 7 ?Kgf A

a) Se fija un sistema de referencia en que el eje x es paralelo al antebrazo y el eje y es perpendicular a x , luego se tiene:

T Fm

x

yU

Fm ! 7 ?Kgf ALa proyeccin de

;

U ! 40r

T Fm hacia x

es:

Sustituyendo:

F|| ! Fm cos U

F|| ! 7 cos 40r ?Kgf A

! 7 0,77 ?Kgf A

! 5, 4 ?Kgf A

@

F|| ! 5, 4 ?Kgf A

Fuerza estabilizadora.

33

La proyeccin de

T Fm hacia el eje y es :

FB ! Fm senUSustituyendo:

FB ! 7sen40r ?Kgf A

! 7 0,64 ?Kgf A

! 4,5 ?Kgf A

Luego: Ejemplo 2:

FB ! 4,5?Kp A

Fuerza sostenedora.

Hallar la fuerza que ejerce el pie al dispositivo de traccin de la siguiente figura. Considere el sistema en equilibrio esttico. Datos: W ! 3 ?Kgf A U ! 25r J ! 50r50r 25r

B A

3Kg

En primer lugar analizaremos el punto A: Fuerzas que se ejercen sobre el bloque:

T T

T T

x

T W

T W34

La suma de fuerzas en la direccin vertical es: De donde se tiene que: Como: Se obtiene que: Como W ! mg ! 3 ?Kgf A

T W ! 0 T !W W ! mg T ! mg

T ! 3 ?Kgf A

A continuacin se analizar el punto B:

T T

y

50r 25r T T

B F& Ft

x

& & Sea T la fuerza que ejerce el cordel y Ft la fuerza que ejerce el pie, ambas sobre el punto B. Se fija un sistema referencial como muestra la figura anterior. Analizaremos las fuerzas en la direccin X.

x:

Ft cos F ! T cos 25r T cos 50r ! 3 0,64 3 0,91 ! 4,65luego:

Ft cos F ! 4,65

M35

y:

Tsen50r ! Ft senF Tsen25r

Ft senF ! Tsen50r Tsen 25r Ft senF ! 3 0,77 3 0,42 ! 1,05luego:

Ft senF ! 1,05

N

De ecuaciones M y N , formaremos el siguiente sistema de ecuaciones:

Ft cos F ! 4,65 Ft senF ! 1,05Resolviendo el sistema de ecuaciones:

Ft 2 cos 2 F ! 4,652 Ft 2 sen 2 F ! 1,052Sumando se obtiene:

2 2

Ft 2 cos 2 F Ft 2 sen 2 F ! 4,65 2 1,05 2 Ft 2 (cos 2 F sen 2 F ) ! 22,73Pero:

cos 2 F sen 2 F ! 1De donde:

Ft 2 ! 22,73

Ft ! 22,73

@Para calcular

Ft ! 4,77?Kp A

F se puede usar la ecuacin M N .

Por ejemplo de ecuacin N

Ft senF ! 1,05

Como:

Ft ! 4,77?Kp A36

Luego sustituyendo se tiene: Como

4,77 senF ! 1,05 senF !

1,05 4,77

senF ! 0,22

F ! arcsen0,22 ! 12,7rLuego se obtiene que:

F ! 12, 7r

Ejemplo 3 La siguiente figura representa la cabeza de un estudiante inclinada sobre un libro. T La cabeza pesa 4,5 Kp y est sostenida por la fuerza muscular Fm ejercida

? A

por los extensores del cuello y por la fuerza de contacto articulacin atlanto-occipital. Dado que el modulo de dirigido en

35r

T Fm es

T Fc ejercida en la 5,4?Kp A y que esta

por debajo de la horizontal, hallar:

a) El mdulo de

T Fc T Fc Fm ! 5,4?Kp A b)U ! ? T Fc 35r U T Fm

b) La direccin de

Datos:

W ! 4,5?Kp A a) Fc ! ?

T W37

Solucin: Se elige un sistema de ejes X e Y como muestra la siguiente figura:

T Fc

y

UT W35r

x

T Fm

La suma de fuerzas en la direccin X :

Fx :

Fc cosU ! Fm cos 35r

Fc cosU ! 5,4 0,82

@ Fy :

Fc cos U ! 4, 42 ?Kgf A

M

La suma de fuerzas en la direccin Y:

Fc senU ! W Fm sen35r

Fc senU ! 4, 5 ?Kgf A 5, 4 0, 57 ?Kgf A

Con ecuaciones M y N se determina Formando el sistema de ecuaciones:

@

Fc senU ! 7, 6 ?Kgf A

Fc .

N

Fc cosU ! 4,42 Fc senU ! 7,6

2 2

Elevando al cuadrado las ecuaciones:

38

Fc2 cos 2 U ! 4,42 2 Fc2 sen 2U ! 7,6 2Luego sumando las ecuaciones se obtiene:

Fc2 (cos 2 U sen 2U ) ! 77,3Como:

cos 2 U sen 2U ! 1Luego se tiene:

Fc2 ! 77,3

Fc ! 77,3 ?Kgf A

@

Fc ! 8,8?Kp A

Para determinar U , se utiliza la ecuacin M o N .Luego usando la ecuacin N , por ejemplo, se tiene:

Fc cosU ! 4,42 Sustituyendo:

cosU !

4,42 Fc

cosU !

4,42 8,8

cosU ! 0,5

U ! arccos 0,5 4. Elasticidad4.1 Elasticidad en un hilo.

U ! 60r

Los cuerpos debido a la accin de las fuerzas sufren deformacin, y despus de este efecto pueden volver a recuperar completa o parcialmente su forma inicial. A continuacin analizaremos el caso del punto de vista macroscpico. Cuando un hilo o cuerpo se aplica una traccin, su estiramiento o aumento de longitud (l obedece a la ley de Hooke, cuya expresin es:

(l !

lo F YA39

(1) La siguiente figura muestra el estiramiento que tiene un cuerpo de longitud & inicial l o y se le aplica una fuerza F , lo que permite que el cuerpo se estire en un (l .

lo

lF(l

T FEn la ecuacin (1):

lo :A: Y:

Es la longitud del cuerpo cuando no est sometido a traccin. Es el rea de su superficie de seccin. Es una constante llamada Mdulo de elasticidad o Mdulo de Young, : Es lo que se estira el hilo ( (l ! l F lo ) es la fuerza que se aplica al cuerpo.

(l

& F:

El cociente entre la fuerza y la superficie de la seccin recibe el nombre de esfuerzo. En este caso la designamos por W luego:

W !Luego se puede expresar que

(l :(N !

F A

N o W Y

@

W!

N NY (N Y o ! F N N o o40

De donde:

W !N F

Y Y N o

4.2 Los esfuerzos ms elementales: a) Esfuerzo de traccin, esta en relacin con el estiramiento de un cuerpo, esto sucede cuando se somete a dos fuerzas de igual magnitud pero de sentido contrario. b) Esfuerzo de compresin esta relacionado cuando un cuerpo se comprime, esto es posible si el cuerpo se somete a dos fuerzas de igual magnitud y sentido opuesto. c) Esfuerzo tangencial, este es producido por deformaciones tangenciales, fuerzas que se aplican tangente a las superficie del cuerpo. d) Esfuerzo de torsin, es el que se produce cuando el cuerpo se aplica un par de fuerzas produciendo un momento externo el cual se transmite a todo el cuerpo. A continuacin solo se analizara los esfuerzos de traccin y compresin El siguiente grfico representa

W en funcin de N :

W

N o

N

La grfica anterior ilustra la relacin entre el esfuerzo y la longitud para el caso de un hilo, en el caso de un msculo es diferente y se representa de la siguiente manera:

W

"o

N

41

A

Este grfico muestra el caso en que en el punto A representa los valores de y Ncuando el msculo esta aislado o en reposo, cuando no se le aplica ninguna fuerza. Pero est no es la longitud natural que tiene, porque el msculo se encuentra sometido a pequeas tensiones. Por lo tanto la grfica muestra que el msculo no obedece la ley de Hooke, pues los incrementos de tensin necesarios para producir iguales variaciones de longitud, se tornan mayores a medida que la longitud aumenta.

W

4.3 Msculo en actividad: 1.- Contraccin muscular: Es el proceso por el cual el msculo disminuye su longitud. 2.- Relajacin: Es el paso del estado de actividad al de reposo. Tipos de contraccin Muscular: a) Contraccin isomtrica: Cuando un msculo se contrae y su longitud no cambia, y solo vara la tensin. b) Contraccin isotnica: El msculo cambia su longitud, pero mantiene constante la fuerza que ejerce durante toda la contraccin. c) Contraccin auxotnica: En este caso vara la longitud y la fuerza. d) Contraccin a poscarga: Est compuesta de una parte isomtrica y una parte isotnica. Mdulos de young y esfuerzos mximos de algunos elementos. Material Aluminio Acero Ladrillo Mdulo de Esfuerzo Young [Nm-2] Traccin, mx. W t [Nm-2] Esfuerzo mx. Compresin, W c [Nm-2]

7 v 1010 20 v 1010 2 v 1010

2 v 10 8 5 v 108 4 v 10 7

42

Vidrio

7 v1010

5 v 10 7

11v 108

Hueso a lo largo de su eje:a) Traccin b) Compresin Tendn Vasos Sanguneos

1,6 v 1010 0,9 v 1010 2 v 10 7 2 v 10 5

12 v 10 7 17 v 10 7

Ejemplo: a) Si el rea de la seccin transversal mnima del fmur de un hombre adulto es

6 v 10 4 m 2 , a qu carga de compresin se produce fractura?.

b) Suponiendo que la relacin Esfuerzo-Deformacin permanece lineal hasta la fractura, hallar la deformacin a que ocurre esta. Solucin: a) Se tiene

W !

F A

@

F !WAW ! 17 v 107 Nm2

Segn tabla anterior se tiene:

c

Y como el rea esta dada por Sustituyendo se tiene:

A ! 6 v 10 4 ?N A

F ! 17 v10 7 6 v10 4 ?N AF ! 1,02 v 105 ?N A Carga a la cual se produce la

fractura del femur. b) La deformacin esta dada por que es la variacin relativa de la longitud y est dada por la siguiente expresin:

!

(N N o

43

Luego el mdulo young esta dada por:

Y!Sustituyendo se tiene que:

N o V (NV Y

Y!

V

!

@

17 v 10 7 ! ! 0,0189 ! 1,9 v 10 2 0,9 v 1010

Por lo tanto la longitud se reduce en un 1,9%.

5. Torque o momento de una fuerza.El momento de una fuerza o torque esta relacionado con la rotacin de los cuerpos respecto a un punto de referencia y su magnitud es el producto de la fuerza por su brazo (siendo el brazo el trazo perpendicular desde el punto de rotacin a la lnea de accin de la fuerza aplica al cuerpo). El torque es un vector perpendicular al plano formado por la fuerza y el vector posicin del punto de aplicacin de la fuerza. 5.1 Definicin de torque. Se define por:

& & & X ! Fxr

& & X B F

y

& r

Su magnitud se expresa:

X ! F d

44

A la magnitud del torque se le asocia un signo negativo si la rotacin del cuerpo es el sentido horario y se le asocia un signo positivo si el sentido de la rotacin es antihorario, como ilustra la siguiente figura .

Lnea de accin de las fuerzas

5.2 Unidades de torque.

0

d

T F

Sistema unidades

Unidades de torque

M .K .S . C.G.S . U .T .

1?N A1?mA1?Kgf A1?m A

=

1?Nm A 1?dinaCmA1?Kgm A

1?dina A 1?CmA ==

5.3 Palancas. Un ejemplo de aplicacin del momento de una fuerza son las denominadas palancas. Las palancas se utilizan para levantar pesos y consisten en una barra con un punto de apoyo respecto al cual puede rotar la barra, una fuerza aplicada y un peso a levantar. A continuacin se muestran tres posibles situaciones:

45

a) Palanca de primer gnero: Es aquella cuando el punto de apoyo se encuentra entre el peso y la fuerza.

T F d1 d2

Aplicando torque respecto al punto de apoyo se tiene:

Rd1 ! Fd 2

T Rb) Palanca de segundo gnero: Es aquella que el peso se encuentra entre el punto de apoyo y la fuerza.

al

d2 d1 T F T R

Aplicando torque respecto punto de apoyo se tiene:

Rd1 ! Fd 2

c) Palanca de tercer gnero: Es aquella que la fuerza se encuentra entre el punto de apoyo y el peso.

d1 d2 T F5.4 Aplicaciones:

Aplicando torque respecto al punto de apoyo se tiene:

Rd1 ! Fd 2T R

Determinar los momentos alrededor de la mueca, del codo y del hombro para el caso cuando una persona sostiene con el brazo extendido un peso de 7 ?Kgf A . La distancia del hombro al codo, del codo a la mueca y de la mueca al objeto se muestran en la siguiente figura.

46

C A28 ?cm A

B23?cm A

7, 5 ?cm A7 ?Kgf A ! F

Solucin: La magnitud del momento de una fuerza esta dada por:

X ! F dEl torque alrededor de la mueca esta dado por:

X C ! 7 ?Kgf A 7,5 ?cm A ! 7 0,075 ?Kgfm A ! 0,525 ?Kgfm AEl torque alrededor del codo esta dado por:

El torque alrededor del hombro esta dado por:

X B ! 7 ?Kgf A 30,5 ?cmA ! 7 0,305 ?Kgfm A ! 2,135 ?Kgfm A

X A ! 7 ?Kgf A 58,5 ?cm A ! 7 0,585 ?Kgfm A ! 4, 095 ?Kgfm A5.5 Condiciones de equilibrio esttico para un cuerpo. Para que un cuerpo este en equilibrio esttico se debe cumplir las condiciones para que el cuerpo no se traslade y no este en rotacin, es decir: i) Para que un cuerpo no se traslade, la suma de las fuerzas que actan sobre el cuerpo de ser igual a cero.

T F !0 ii) Para que un cuerpo no rote, la suma de torques que actan sobre el cuerpo debe ser igual a cero.

X

T !0

47

5.6 Equilibrio en el cuerpo humano.El centro de gravedad de un objeto es el punto donde se supone que acta & & la fuerza gravedad total es decir el peso del cuerpo W ! mg . El centro de gravedad de un individuo parado en forma recta con los brazos junto al cuerpo, como muestra la figura 1, se encuentra aproximadamente a un 56% de su altura medida respecto al suelo.

G

figura 1

figura 2

El centro de gravedad se desva de su posicin cuando el individuo se mueve o se inclina como muestra la figura 2. Cuando una persona transporta un peso inclina el tronco en sentido opuesto a la carga que lleva. Esta tendencia del cuerpo de compensar una distribucin de carga es natural, esto origina problemas a individuos que por ejemplo pierden un brazo, esto puede provocar distorsiones permanentes a la columna.

48

EjemploDolor!!

Determinar donde se encuentra el centro de gravedad de un hombre que pesa 86 ?Kgf A, cuando esta de pie, de modo que la fuerza sobre el pie izquierdo herido, no sobrepase los 25 ?Kgf A. Supongamos que los pies estn separados 36 ?cmA Los datos son:

T W

w ! 86 ?Kgf A; FI ! 25 ?Kgf A; d ! 0,36 ?mA

T FDModelo para solucionar el problema

T FI

A

d

& FD

x

& w

& FI

Solucin: 1 condicin:

& F !0

Fd w FI ! 0 FD 86 ?Kgf A 25 ?Kgf A ! 0

@

FD ! 61?Kgf A

49

2 Condicin:

X ! 0X A, FI ! FI d ! 25 ?Kgf A 0,36 ?mA ! 9 ?Kgfm A

&

Se escoge un punto fijo, por ejemplo, el punto A, respecto al cual calcularemos los torques.

X A, Fd ! Fd 0 ! 0;

X A,w ! w x ! 86 ?Kgf A x 0 9 ?KpmA 86 ?Kp Ax ! 0

@ X A, FD X A, FI X A, w ! 0 x! 9 ?m A 86

x } 0,10 ?m A

Ejemplo 2

Fm ejercida por el msculo biceps y la fuerza de reaccin Fr , suponiendo que el individuo sostiene un objeto que pesa 14 ?Kgf A y E ! 110rDatos:

Determine la fuerza

w ! 14 ?Kgf A;

E ! 110r

30cm

E40cm 4cm

Para resolver el problema se utilizar un modelo equivalente al brazo, que consiste en una barra AC de largo 0,44 [m] a la cual se reaplican las fuerzas & como muestra la siguiente figura y en el extremo C cuelga un peso W :

50

Y [m]

& FmB A0,04 ?m A

EU0, 4?mA

C

& Fr

& w

X [m]

El problema se reduce a determinar el valor de Fm , Fr y U .

Se escoge un sistema referencial en dos dimensiones X e Y, donde el eje X es paralelo a la barra AC y el eje Y es perpendicular a la barra.En primer lugar analizaremos las fuerzas aplicadas al cuerpo y como ste se & encuentra en reposo, entonces F ! 0 :

Conforme a este & sistema referencial se tiene que las componentes rectangulares de Fm estn dadas por:

Fm B ! Fm sen110r Fm B ! 0,94 Fm Fm|| ! Fm cos110r Fm|| ! 0,34 F& Las componentes rectangulares de Fr son: Fr|| ! Fr senU Fr B ! Fr cos U & Las componentes rectangulares de W son: W|| ! 0 WB ! 14[kgf ] Sumando fuerzas en direccin paralela a la barra se tiene: 51

Fm cos110r Fr cosU ! 0Y Sumando fuerzas en la direccin vertical se tiene:

Fm sen110r Fr senU 14 ?Kgf A ! 0A continuacin analizara los torques aplicados y como el cuerpo est en equilibrio esttico, entonces el cuerpo no tiene rotacin: Por lo tanto se aplicar la condicin:

X

A

! 0.

Luego la suma torques respecto de A, se tiene:

Fm ,B 0,04 ?m A 14 ?Kgf A 0,44 ?m A ! 0

@

Fm ,B 0, 04 ?m A ! 6,16 ?Kgfm A Fm ,B !

6,16 ?Kgf 0, 04

A

Fm ,B ! 154 ?KgfPero se tiene que:

A

Fm,B ! Fm sen110r154 ?Kgf A sen110r

Luego se tiene que Fm sen110r ! 154 ?Kgf A Fm ! De donde se obtiene que: Fm ! 163,9 ?Kgf A

De ecuacin De ecuacin De donde:

Fr cosU ! Fm cos110r ! 163,9 0,34 ! 56,1?Kgf A Fr senU ! Fm sen110r 14 ?Kgf A ! 140 ?Kgf A

Fr ! Fr2 cos 2 U Fr2 sen 2U ! 56,12 1402 ?Kgf A ! 150,8?Kgf APara obtener el ngulo U , se tiene:

52

senU 140 tgU ! cos U 56,1 tgU ! 2, 49 U ! arctg 2, 49 tgU ! U ! 68,1rLuego se tiene que Fm ! 163,9[ Kgf ], Fr ! 150,8 y U ! 68,1r en sentido horario respecto al eje X.

5.7 Poleas:Existen poleas fijas y poleas mviles, a continuacin analizaremos cada una de ellas.

a) Polea fija:La polea fija tiene la particularidad que solo puede girar respecto a un eje que pasa por su centro y tiene por funcin cambiar la direccin de una cuerda. La figura siguiente muestra este tipo de polea.

En la figura se observa una polea fija de radio r y gira alrededor de un eje que pasa por O, por su garganta pasa una cuerda que en uno de sus extremos cuelga & un balde de peso W y en el otro extremo se le aplica & una fuerza F . Como las cuerdas tiene la propiedad de transmitir las fuerzas y en este caso se desea que el balde no se se debe cumplir que. & W X o ! 0 Por lo tanto se cumple que:

r

o

r

& F

F r W r ! 0De donde se obtiene que:

F !W

53

b) Polea mvil:Es una polea que gira respecto a un eje que pasa por su centro y a su vez se desplaza, es decir, la polea tiene un movimiento de rotacin y traslacin. Las figuras (a) y (b) muestran dos casos de poleas mviles. Figura (a) 5N Figura (b)

F

A

r

r

R=10 N

R=10 N

La figura (a) nos muestra una polea a la cual en ambos extremo de la cuerda se aplica una fuerza de 5 [N]. En cambio en la figura (b) se muestra que la cuerda tiene un extremo fijo al techo y en el extremo libre se aplica una fuerza de magnitud F. Para el caso de la figura (b) Como la polea desva la cuerda, la tensin en la cuerda en ambos lados de la polea es igual a F, luego se observa que:

2F ! R@F ! R R ! 2F 2

En relacin a los torques se cumple que: F (2r ) R r ! 0

F (2r ) ! Rr

54

@F !

Rr 2r

F!

R 2

De donde se obtiene que la tensin es igual a la mitad del peso del cuerpo.

c) Varias poleas mvilesPara el caso que exista ms de una polea mvil Se tiene que la fuerza aplicar a la cuerda esta Dada por:R 8 R 8 P! R 4 R 23

F!

R 2nR 2

R 4

Donde n corresponde al nmero de poleas Mviles existentes en el sistema. Para el modelo que muestra tres poleas Mviles se tiene:

R 2

R R R F! ! ! 3 8 222 2

R

Ejemplo:

55

El sistema que eleva un ascensor de un edificio est formado por una polea fija y una mvil. El peso mximo del ascensor cargado es de 500 N .

? A

Qu fuerza habr que hacer para levantarlo? Solucin: Aplicando torque respecto del punto A, Se tiene:

X A ! X R, A X F , A ! 0 X R , A ! rR X F , A ! F 2r rR F 2 r ! 0 R F! 2Ar r

& F

& R

Como:

R ! 500 ?N A F! 500 ?N A 2

F ! 250 ?N ALa fuerza que se debe aplicar debe ser de 250 [N].

56

6 Fenmenos ondulatorios. Las ondas se caracterizan por ser pura energa sin masa. A continuacin se destacan algunos ejemplos de ondas:

Ondas sonoras Ondas snicas Olas de mar Ultrasonidos La luz Rayos X Radiacin Infrarroja Radiacin Ultravioleta Rayos Gamma Radar Ondas de radio 6.1 Definiciones:

Vibraciones mecnicas Todas las ondas tienen las mismas caractersticas generales

Ondas de naturaleza electromagntica

Onda: Una onda es una perturbacin en un medio que se propaga a travs del mismo a una velocidad constante " v " caracterstica del medio.

Tipos de ondas: Onda transversal: Es una onda en la que los puntos del medio se mueven perpendicular a la direccin de propagacin de la onda. Onda longitudinal: Es una onda en la que los puntos del medio se mueven hacia atrs y hacia delante en direccin paralela a la propagacin de la onda.

57

Velocidad de una onda en una cuerda de masa m y longitud L:

V!Donde:

TM L

T

= Tensin de la cuerda

M L = Masa por unidad de longitud, se denomina densidad lineal. Si se define:

Q!Luego, se tiene:

M L

V!

T Q

Ejemplo: Cual es la velocidad de una onda sobre una cuerda de guitarra que posee una tensin de Solucin: Para determinar la velocidad se tiene:

30 ?N A y una masa por unidad de longitud de 0,015 Kg ? mT Q

V !

Sustituyendo nos queda:

V !

30 ?N A 0.015 Kg m

De donde:

m2 m V ! 2000 2 ! 44,7 s s

58

6.2 Ondas Sinusoidales. Se da el nombre de onda sinusoidal aquella que obedece su posicin a una funcin seno. Para designar la longitud de onda se utiliza el siguiente smbolo:

P

Si se cumple que la longitud de onda P es constante, se dice que la onda es peridica. La siguiente figura muestra una onda sonusoidal.

A es la amplitud de la onda y corresponde al mximo desplazamiento. La siguiente figura muestra una onda de longitud y amplitud A que se representa en un sistema X e Y:

Cada punto de X se puede relacionar con el ngulo mediante la siguiente expresin:

U medido en

grados,

X U X 360r ! U ! 360r P PEl desplazamiento Y de una onda sinusoidal correspondiente al punto X viene dado en funcin del seno de U por la expresin:

59

Como:

Y ! AsenUSustituyendo el ngulo:

X Y ! Asen 360r P Si el ngulo se mide en radianes, el desplazamiento se expresa:

Luego:

Y ! AsenU X Y ! Asen 2T P

360r p 2T ?rad A

Ejemplo: Una onda sinusoidal tiene un amplitud de A = 0,5 [cm] y una longitud de = 30 [cm]. Cul es su desplazamiento cuando X = 6 [cm]? Solucin: Como

X Y ! Asen 360r P 6 ?cmA Y ! 0,5 ?cmAsen 360r 30 ?cmA Y ! 0,5 ?cmAsen72r ! 0,5 ?cmA 0,951 ! 0,475 cm

Sustituyendo:

6.3 Definiciones: Periodo: Tiempo necesario para que un punto complete un ciclo. y se define como:

P!

P v

O bin

v!

P P60

Frecuencia:

Es el valor recproco del periodo:

f !

1 P

Sus unidades son:

S 1 1 S 1 ! 1?Hertz A ! 1[ Hz ] 1?Hz A ! 1c. p.s.

La energa de una onda sinusoidal esta dada por: donde

EC ! 1 mv 2 2

v : Velocidad media vertical

Esta tambin se puede expresar: Donde:

EC ! 1 QP v 2 2

QP es la masa de un trozo de cuerda de longitud P .

Pero v es la velocidad media. Sera

v !

4A P

Donde 4a es la distancia total recorrida en el tiempo P.

Luego, nos queda:

4A EC ! 1 QP 2 p

2

8QP A2 EC ! p2

Pero

v!

P p

velocidad de onda

61

O bin El valor exacto de

EC ! 8QP A2 f

Este es un valor aproximado

EC es:

EC ! T 2 Q vA2 fLa energa total esta dado por

velocidad 2

Y no v

2

E ! EC E p Por otra parte se puede demostrar que EC ! E pE ! 2 EC

Luego la energa total nos queda:

Sustituyendo la expresin de Ec nos queda:

E ! 2T 2 Q vfA2

Para el caso de onda estacionaria de amplitud 2A: La energa total se expresa: Ejemplos: 1.- Cul es la velocidad de una onda sinusoidal cuya frecuencia y longitud de onda son 100 [Hz] y 0,5 [m] respectivamente? Datos: f = 100 [Hz] = 100 [s-1] ; Solucin: Como la: Sustituyendo nos queda: = 0,5 [m]

E ! 4T 2 LQ fA2

v! fP 1 v ! 100 0,5?m A s m v ! 50 s

Luego:

62

2.- Cul es la longitud de una onda sinusoidal cuya velocidad y periodo son

75 m y 0,005 ?s A, respectivamente? s 75 m ; P = 0,005 [s] s

Datos: v = Solucin:

Se tiene que: Despejando: Luego:

P p P ! vp P ! 75[ m ] 0,005[s ] s v!

P ! 0,375 m

6.4 Superposicin de ondas. Si en cualquier instante existen dos o ms ondas simultneamente en un punto, el desplazamiento del punto es la suma de los desplazamientos que hubiera tenido el punto con cada onda por separado.

63

6.5 Ondas estacionarias. Cuando se observa que la superposicin de dos ondas resulta una onda sinusoidal de amplitud variable pero los ceros, o nodos, son puntos fijos que estn separados por una distancia igual

En una cuerda de longitud L en los puntos extremos existen nodos y como estos ocurren a intervalos de Se puede expresar:

P se denomina Onda Estacionaria. 2

P . 2Donde n es un nmero entero

n1P ! L 2

Luego las longitudes de onda satisfacen la siguiente condicin:

Pn !

2L n

( n = 1, 2, 3, 4,......)

64

Ejemplo:

si si si

n !1 n!2 n!5

P1 ! 2 L P2 ! L P5 ! 2 L 5

Para determinar la frecuencia de estas ondas se tiene: Como

f !

V P

fn !

V Pn

; Como

Pn !

2L n

Se tiene:

fn !

nV 2L

Para el caso n=1 la frecuencia se denomina frecuencia fundamental, luego:

f1 !

V 2L

Y corresponde cuando

P ! 2L

Luego, se puede expresar que:

f n ! nf1Ejemplo Una cuerda de longitud 1,5 [m] est fija por ambos extremos. Su masa por unidad 3 Kg de longitud es 1, 2 x10 . m a) Si la cuerda tiene una tensin de 12[N], Cul es la frecuencia de oscilacin fundamental? b) Qu tensin se requiere si al tercer armnico f 3 ha de ser 500 [Hz]?

?A

Datos: L = 1,5 [m];

= 1, 2 x10

3 Kg m

?A65

Solucin: a) Cul es la f1? Si la T = 12 [N]. Se tiene

fn !

nV 2L V 2L

Como se requiere la frecuencia fundamental, entonces n = 1, luego:

f1 !Pero

V!

T Q

Sustituyendo los datos de T y , nos queda:

V!

12 m ! 100 m s 3 s 1,2 x10

Velocidad de propagacin de la onda.

Sustituyendo en la ecuacin de

f1 , nos queda:

f1 !

100 1 100 s ! ?Hz A 2 x1,5 3 T !?

f1 ! 33,3?Hz A

b) Luego

Cul es la

si

f3 ! 500?Hz A,2 Lf 3 3

en este caso

n ! 3.

f3 !

3V 2L

V!

Sustituyendo los datos se tiene:

V!Pero:

2 1,5 500 m s ! 500 m s 3

V ! 500 m s

V!

T Q

T ! QV 2

66

Sustituyendo nos queda:

T ! 1, 2 x10 3 500 ?N A ! 300 ?N A2

T ! 300 ?N A

6.6 Energa de una onda sinusoidal. La energa cintica esta dada por la expresin:

Ec ! 1 mv 2 2Donde v es la velocidad media en la direccin vertical. La energa cintica expresada en funcin de forma:

Q , v, A, f , tiene la siguiente

Ec ! T 2 QvA2 fComo la energa total para una partcula tiene la forma

E ! Ec E p

Donde Ec es la energa cintica y Ep es la energa potencial. Se puede demostrar que Ec ! E p Luego la energa total se puede expresar:

E ! 2 Ec

@

E ! 2T 2 QvA2 f

Para el caso de una Onda Estacionaria se tiene:

E ! 4T 2 LQf 2 A2Ejemplo: Una cuerda de guitarra de 0,75 [m] de longitud tiene una frecuencia 3 Kg fundamental de 440 [Hz]. La densidad lineal de la cuerda es 2,2 x10 m a) Cuando se pulsa la cuerda fuertemente, el armnico fundamental vibra con un desplazamiento mximo de 0,2 [cm]. Cul es la energa de este armnico? b) Cul es la energa del tercer armnico si su amplitud es 0,05 [cm]?

?A

67

Datos: L = 0,75 [m]; f1 = 440 [Hz] y

=

2,2 x10 3

?AKg m

Solucin: a) Cul es la energa E? Si A = 0,002 [m] Se tiene que:

E ! 4T 2 LQ f 2 A2Sustituyendo:

E ! 4T 2 0,75 2, 2 x10 3 (440) 2 (0,002) 2 ?J ADe donde:

E ! 5,04 x10 2 ?J A

b) Cul es la energa E del tercer armnico si A = 0,0005 [m]? Como:

E ! 4T 2 LQ f 2 A2

Sustituyendo:

E ! 4T 2 0,75 2, 2 x10 3 9 (440) 2 (0,0005) 2 ?J ADe donde:

E ! 2,84 ?J A

7. El sonido.El sonido es una onda mecnica longitudinal que se propaga a travs del aire, el agua y otros medios materiales.

68

Es de importancia para la vida de todos los animales superiores, porque estos tienen rganos especializados para producir y detectar estas ondas. Para el hombre le permite comunicarse entre si y obtener informacin acerca del medio que lo rodea. Cuando una onda longitudinal se propaga a travs del aire, los elementos que componen el aire se desplazan hacia delante y hacia atrs alrededor de su posicin de equilibrio. Debido a esto, la presin oscila alrededor de su valor normal, al mismo tiempo que los elementos que componen el aire oscilan alrededor de sus posiciones de equilibrio. Si se designa por po la presin normal y p la presin en un punto concreto de la onda, la variacin de presin que la designaremos por dado por:

Yp

y esta

Yp = p - p o

Variacin de la presin

Luego expresamos que la onda de presin tiene la forma de:

x Yp =A p sen 360 O bin x Yp =Ap sen 2 Donde A p es la amplitud de presin que es la diferencia mxima entre la presin en la onda y la presin normal. El odo humano puede detectar sonidos dentro del intervalo de frecuencias comprendidas entre 20 [Hz] y 20.000 [Hz]. Las ondas que tienen frecuencias por sobre 20.000 [Hz] se denomina ondas Ultrasnicas. Las ondas que tienen frecuencia por debajo de 20 [Hz] se denominan ondas Infrasnicas. 7.1 Velocidad del sonido: El sonido, se propaga a travs de diferentes medios con una velocidad caracterstica del medio.

69

a) Para el caso de los slidos la velocidad:

V=

EE: Mdulo de Young

b) Para el caso de los lquidos la velocidad:

V=

B

B: Mdulo de compresibilidad

c) Para el caso de los gases la velocidad:

V=

pK !

p: Es la presin no perturbada.Cp Cv

: Razn de calores especficos.

Ejemplo 1: Cual es el intervalo de longitud de onda del sonido audible?. Solucin: Como la mxima frecuencia audible para el ser humano es de 20.000 [Hz] y sabiendo que la velocidad del sonido en el aire es 343 m a la temperatura de s

?A

20 C, determinaremos la longitud de onda para esta frecuencia: Como:

v P! f

343?m A s P! 20.000 ?Hz A

P ! 0,0171 m La menor frecuencia audible para el ser humano es de 20 [Hz] y como se tiene que:

v P! f

P!

20 ?Hz A70

343?m A s

P ! 17,1 m Luego el intervalo de longitud de onda audible para el ser humano es entre 0,0171 [m] y 17,1 [m] Ejemplo 2: Calcular la velocidad del sonido en el agua siN B ! 2, 2 x109 m 2

y

H ! 996 Kg . m3 Solucin: Como

V!

B H

Sustituyendo se tiene:N 2, 2 x109 m2

V !7.2 Intensidad:

996 Kg m3

V ! 1,49 x103 m s

La intensidad sta relacionada con la energa que transporta la onda sonora, a mayor energa mayor es el sonido. Se designa con la letra I . Definicin de intensidad: La intensidad I de una onda es la energa que atraviesa una unidad de rea en la unidad de tiempo. Se determina a travs de un experimento, midiendo la energa E que incide sobre un detector (por ejemplo un micrfono), en un tiempo t , luego:

E I= At

Donde: E : Energa

71

A : rea t : Tiempo Las unidades de Intensidad son:

J m 2s Ejemplo 1: Durante un

Watts m2

intervalo de

5[s] un micrfono con un rea efectiva de

3 cm 2 recibe 1,5 x1011 ?J A de energa sonora. Cul es l intensidad del sonido?. Solucin: Como la intensidad se expresa como: Sustituyendo:

I=

E At

I!

1,5x10-11 ?J A

3x10 m 5?sA -4 2

J I ! 106 2 m s

o

Watts 106 2 m

En una onda sinusoidal la intensidad esta relacionada con la amplitpud de presin Ap , por:

I=Donde:

A2 p 2 V

VEjemplo 2:

: Densidad del medio. : Velocidad de la onda en el medio.

72

Cual es la amplitd de presin del sonido con una intensidad de

J 106 2 ? . Considere que la densidad del aire es m s v ! 343 m sSolucin: Como

Kg ! 1, 2 3 y m

I=Luego

A2 p 2 v

A p = 2 vISustituyendo:

Kg m J Ap ! 2 1,2 3 343 106 2 m s m s

N Ap ! 2,86 x102 2 m 7.3 Escala deciblica: La intensidad se mide habitualmente en una escala logartmica de nivel de intensidad denominada escala deciblica ( dB ). Luego el nivel de intensidad es:

=10log

I Io

Donde:

J I o =10 -12 2 m s73

El odo humano puede detectar sonidos con intensidades que van desde

J 10 -12 a 1 2 . m sEn la escala deciblica este intervalo se extiende desde = 0 hasta un 120 [dB]. Para encontrar el mnimo valor de se obtiene cuando I = 10-12 [ mJ2 s ] : =

J 10-12 2 m s I =10log=0 =10log =10log Io J 10-12 2 1 m s

1

=0 ?dBAPara encontrar el mximo valor deJ se obtiene cuando I = 1 [ m2 s ] .

J 1 2 I m s =10log10-12 =120 ?dBA =10log =10log Io J 10-12 2 m s

=120 ?dBAPor sobre

120[dB] la sensacin cambia de sonido a dolor.

7.4 Variacin de la intensidad con la distancia.

74

La energa por unidad de tiempo se denomina potencia y se expresa :

P=

Para el caso de dos esferas concntricas de radios d1 y d2, sus superficies estn 2 dadas por A1 = 4 d1 y A 2 = 4 d 2 . 2 La potencia a una distancia d1 esta dada por:2 P1 = A1I1 = 4 d1 I1

E t

Y a una distancia d2 esta dada por:

P2 = A 2 I 2 = 4 d 2 I 2 2Como P1 = P2 se tiene:2 4 d1 I1 = 4 d 2 I 2 2

@Ejemplo 1:

2 d1 I 2 = 2 I1 d2

Relacin entre las Intensidades

La intensidad del sonido producido por un avin a reaccin es a una distancia de

W 102 2 m

30[m] Cules son la intensidad y el nivel de intensidad a

5000 [m] del avin?.Datos: I1 = 102 Solucin: Como Sustituyendow [ m2 ] ;

d1 = 30 [m] y d2 = 5000 [m].

2 d1 I2 = 2 I1 d2

(30) 2 [m 2 ] W 10 2 2 I2 = (5000) 2 [m 2 ] m Luego se obtiene que

W I 2 =3,6x10-3 2 m

75

Para obtener el nivel de intensidad usaremos la expresin: Sustituyendo:

= 10 log

I2 Io

= 10 log

W 3,6x10-3 2 m W 10-12 2 m

= 10 log3,6+10 log109

= 10(0,556+9) = 95,6[dB]7.5 Aplicaciones medicina. En medicina los ultrasonidos se usan tanto para tcnicas diagnosticas como teraputicas. La ecografa es una tcnica diagnostica y presenta la ventaja sobre los rayos X por no ser ionizante. Los equipos de ecografa emiten pulsos cortos y reciben seales reflejadas, como consecuencia de la estructura interna de la zona de exploracin. Estas seales (ecos) tienen distintas intensidades y retardo diferente segn su situacin y el material que compone dicha zona. Estas seales recibidas en un monitor se comprenden las imgenes ecogrficas, entre las que se destacan las correspondientes a la de fetos (no se recomienda usar rayos X en el caso de mujeres embarazadas) y del movimiento del corazn. A baja intensidad y frecuencia los ultrasonidos son usados con fines teraputicos, pues la energa mecnica es absorbida y disipada por las molculas de agua, lo que da lugar a un efecto trmico. Pero si la intensidad es demasiado elevada, se puede producir un efecto de evaporacin que se conoce con el nombre de cavitacin u otros nocivos para el organismo. Ejemplo 1: Qu frecuencia debe tener una onda sonora en el agua del mar para que tenga la misma longitud de onda que una onda sonora de 500 Hz en el aire?

? A

Datos:

v=343?m A s

y f = 500 [Hz]

Solucin: 76

Se determinar la longitud de onda en el aire.

v = f

=

343 m s 500 s-1

= 0,686 ?m A=0,686 ?m A, se tiene que: =Despejando la frecuencia:

Longitud de onda en el aire.

En el agua de mar la velocidad del sonido es longitud es la misma

v=1.531?m A s

y como la

v f v

f=

Sustituyendo, nos queda:

f=

1.531 m s 0,686 ?m A

Luego la frecuencia en el agua: Ejemplo 2:

f = 2.232 ?Hz A

a) Cul es la amplitud de presin de una onda sonora de un nivel de intensidad en el aire de 120 ?dBA? b) Qu fuerza ejerce esta sobre un tmpano de 0,55x10-4 m2 de rea? Datos:

= 120 ?dBA,

Kg = 1,2 3 , m

m v = 343 s

Solucin:

77

a)

La amplitud de presin esta dada por:

A p = 2 vI

Para encontrar la amplitud de presin se debe conocer en primer lugar la intensidad I : Pero se tiene que:

= 10 logSustituyendo se tiene:

I ; como Io

W Io = 10-12 2 m

120 = 10 log

I Io

12 = log

I Io

12 = log I - log 1012 12 = log I + 12

12 = log I + log 10+12

log I = 0

W I = 1 2 m

N A p = 2 1,2 343 1 2 m

N A p = 28,7 2 m

b)

Ap =Sustituyendo:

F F=A p S ; donde S

S ! 0,55 x104 m2

N F ! 28,7 2 0,55 x104 m 2 m

F ! 0,00158 ?N A

7.6 Ultrasonidos y sus aplicaciones mdicas:

78

Tienen tres aplicaciones: Teraputica Destructora Diagnostico

En teraputica: Se usan para producir calentamiento de los tejidos, emplendose intensidades comprendidas entre: 10 y 100 KW . m2 Destructora: En ciruga, potencias comprendidas entre suficientes para destruir tejidos innecesarios. Diagnstico: Se usan en neurologa, cardiologa y obstetricia. Se usan haces de intensidad que no exceden de 1

1

a

MW 40 2 son m

KW m2 .

La tcnica utilizada es la del impulso-eco que en medicina se emplea para localizar anormalidades. La utilizacin de ultrasonidos se debe a que la longitud de onda es mucho ms corta permitiendo captar detalles delicados de objetos reflectantes. Los ultrasonidos se producen aplicando un esfuerzo elctrico de alta frecuencia a un cristal de un material piezoelctrico. Tales materiales tienen la propiedad de cambiar de forma en respuesta a un esfuerzo elctrico, y la superficie del cristal pulsa con la frecuencia del voltaje aplicado. Este se dirige al paciente, y parte de la energa se refleja en cualquier superficie lmite donde hay un cambio de impedancia acstica. El impulso reflejado es recogido, amplificado y presentado en un monitor. Otra tcnica que se utiliza es el efecto Doppler, que consiste en midir la diferencia de frecuencias, entre el haz enviado a la zona de exploracin y el haz recibido. Se usa para detectar latidos de corazn de fetos, para diagnstico cardiolgico y trombosis de una vena profunda. 7.7 Infrasonidos: Son aquellos sonidos menores de

20 ?Hz A. Estos se producen cuando se

tienen equipos que vibran con una de las muchas frecuencias de resonancia. Son peligrosas porque actan directamente sobre el organismo y producen un rozamiento intenso entre los rganos internos, que da a lugar una grave irritacin de las terminaciones nerviosas. Una exposicin continuada a l puede dar a lugar a una lesin permanente.

79

8. EJERCICIOS: 8.1 Ejercicios de vectores: 1.T T En la siguiente figura las magnitudes de los vectores A y B son A = 8 [cm] y B = 15 [cm]. Si el ngulo que forman es 60, hallar: a) La direccin y T T T magnitud de C ! A B mediante una grfica construida con regla y T transformador. b) La magnitud y direccin C utilizando el mtodo de las componentes rectangulares.

T B30

T A2.La componente X de un vector es -12[cm] y la componente Y es +6 [cm]. a) Dibujar los ejes X e Y, luego dibujar el vector. b) Calcular la magnitud y direccin del vector. Dados los vectores de la siguiente figura, hallar la magnitud y la direccin de: T T T T T T T T T T T T b) E ! 2 A B 2C ; c) F ! 3 A 5B C a) D ! 4 A 2 B 5C ;

3.-

80

T A

Y T B

60

40 30 T C X

8.2 Ejercicios de cinemtica. 4.La posicin de una partcula en funcin del tiempo est dada por la siguiente tabla: T [s] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x [m] 0 2,8 9,4 18,5 30,4 39,8 48,6 57,8 65,7 a) Cul es la velocidad media de la partcula durante los 4 primeros segundos de su recorrido? Y durante los primeros 7 [s]? Y durante todo el recorrido? b) Cul es la velocidad media durante el intervalo comprendido entre t = 2 [s] y t = 7 [s] Y durante el intervalo comprendido entre t = 3 [s] y t = 8 [s]?

5.-

La velocidad de una partcula que se mueve segn el eje X est dada en funcin del tiempo por la siguiente tabla: t [s] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 v [m] 15 22,4 28,3 35,6 42,2 42,2 31,5 22,7 10,3 a) Cul es la aceleracin media de la partcula durante los primeros 4 [s] de movimiento? Y durante los primeros 7 [s]? b) Cul es la aceleracin media durante el intervalo comprendido entre t = 1 [s] y t = 6 [s]? Y durante el intervalo comprendido entre t = 3 [s] y t = 7 [s]?

81

8.3 Ejercicios de movimiento rectilneo. 6.Un escarabajo de agua que se mueve en lnea recta acelera partiendo del reposo a razn de 1,2 [ms-2], calcular: a) Cunto habr recorrido en 2,4 [s]? b) Qu velocidad alcanza cuando t = 2,4 [s]? En un da de verano a las 13 horas se coloc en una ventana iluminada por el sol un vaso de agua y un termmetro en su interior, luego se registra la siguiente tabla: t [s] 0 30 50 70 110 160 190 230 260 T [C] 22 24,4 28,6 32,5 34,6 38 33,6 30,4 28,5 Calcular la rapidez media de cambio de la temperatura entre: a) t = 0 y t = 30 [s]; b) t = 0 y t = 70 [s]; c) t = 50 [s] y t = 160 [s]; d) t = 70 [s] y t = 260 [s]. 8.Un automvil que tiene movimiento rectilneo pasa por un punto A con una velocidad de 50 [Km/H] y mantiene esta velocidad durante 15 [Km]. Despus acelera uniformemente y alcanza la velocidad de 120 [Km/H] cuando pasa por un punto B que est a 25 [Km] de A. a) Cunto tarda en recorrer los primeros 15 [Km]? b) Cunto tarda en ir de A a B?. Un atleta en una pista rectilnea, pasa por un punto situado a 60 [m] del punto de partida en el instante que el cronmetro marca 11 [s], y pasa por un punto situado 90 [m] del punto de partida cuando el mismo cronmetro 14,5 [s]. Cul es la velocidad media del atleta en metros por segundo entre los dos registro que se realizaron con el cronmetro? Los fabricantes de un cierto tipo de automvil anuncian que se acelera en directa de 20 a 100 [Km/H] en 10 [s]. Calcular la aceleracin en m/s2 y la distancia que recorrer el automvil durante este tiempo, suponiendo constante la aceleracin.

7.-

9.-

10.-

8.4. Ejercicios de movimiento vertical. 11.Un pez salta verticalmente fuera del agua con una velocidad inicial de 10 [ms-1]. a) Qu altura alcanzar? b) Cunto tiempo estar el pez fuera del agua? c) Cul es la velocidad al instante de llegar al agua? Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 30 [ms-1]. Cunto recorre y el tiempo que demora en volver al punto de lanzamiento? Se deja caer un cuerpo partiendo del reposo. Cul es su velocidad y cuanto ha descendido al cabo de 4 [s]. Una langosta puede saltar verticalmente hacia arriba hasta una altura de 60 [cm]. Cul es su velocidad de despegue? 82

12.-

13.14.-

15.-

Si un ser humano alcanza una aceleracin de despegue igual a la de la pulga, a qu altura llegara?. Sabiendo que una pulga tiene una distancia de aceleracin de 0,0008 [m] y se eleva a una altura vertical respecto a su punto medio de 0,1 [m]. Se lanza una pelota verticalmente hacia abajo desde la terraza de un edificio, abandonando la mano de la persona que la lanza con una velocidad 10 [ms-1]. a) Cul ser su velocidad despus de 3 [s]? b) Qu distancia descender en 3 [s]? c) Cul ser su velocidad despus de haber descendido 15 [m]? d) Si se ha movido una distancia de 80 [cm] mientras estaba en la mano de quin la lanz, hallar su aceleracin mientras estuvo en la mano. e) Si la pelota se lanz de una altura de 46 [m] sobre el suelo, en cuantos segundos alcanzar ste? f) Cul ser su velocidad al chocar contra el suelo?

16.-

8.5 Ejercicios de movimiento parablico. 17.Un atleta alcanza la velocidad mxima de 15 [ms-1] en su carrera previa a un salto. En un salto de longitud se eleva hasta una altura de 0,8 [m] respecto del suelo. a) Cul ser su ngulo al despegar del suelo? b) Cul ser su velocidad cuando se encuentre en su altura mxima? c) Cul es la mxima longitud de su salto? d) Cunto tiempo estar en el aire? Desde un edificio de 30 [m] de altura se lanza horizontalmente una pelota con una velocidad de 15 [ms-1]. a) Cunto demora en llegar al suelo? b) A que distancia horizontal de la pared llegar la pelota? c) Con qu rapidez llega al suelo? Un jugador de ftbol da un puntapi a la pelota de tal manera que la pelota adquiere una velocidad tal que su componente horizontal es de 10 [ms-1] y su componente vertical es de 20 [ms-1]. a) Cunto tarda la pelota en alcanzar su punto ms alto de su trayectoria? b) Cul es su velocidad y aceleracin en su punto ms alto de su trayectoria? c) Cunto tiempo est la pelota en el aire desde que se lanz hasta que impacta con el suelo? d) Cul es su alcance mximo? e) Cul es su velocidad al impactar con el suelo?. Un jugador de bsquetbol lanza la pelota, de tal modo que sube hasta una altura de 3 [m] cuando se ha desplazado horizontalmente 10 [m] y luego empieza a caer. Cul era la rapidez y direccin de la pelota en el instante del lanzamiento?.

18.-

19.-

20.-

83

8.6 Ejercicios de Palancas y Potencia: 21.La figura muestra el antebrazo como una barra con pivote. T es la fuerza ejercida por el bceps. (a) Qu clase de palanca representa? (b) Cul es el valor de T para sostener el peso w, con w1 = 0? (c) Si el valor de T corresponde al obtenido en (a), y se contrae en 1 cm, cunto se mover la carga w?

22.-

La cabeza gira alrededor de la articulacin atlanto-occipital. Los msculos esplenios conectados tras la articulacin sostienen la cabeza. (a) Qu clase de palanca representa? (b) Los msculos anteriores producen movimientos de la cabeza hacia delante. Qu clase de palanca representa su accin?

84

23.-

Qu fuerza realiza la chica sobre el piso con sus manos para elevarse? Qu tipo de palanca corresponde?

24.-

En la figura un hombre sostiene una vara de 6 m de longitud, como se muestra en la figura. La vara es uniforme y tiene una masa de 10 kg. Encuentre las fuerzas FR y FL. Qu tipo de palanca es?

25.-

Determine la fuerza que ejerce el Tendn de Aquiles, si la persona est sobre un pie y tiene una masa de 80 kg. Qu tipo de palanca es?

26.-

Cul es la eficiencia de un atleta que consume 3000 kcal de alimento y hace 2.5x106 J de trabajo?

85

27

La pierna con yeso de la figura pesa 220 N (w1). Determine el peso w2 y el ngulo E necesarios para que la pierna con yeso no ejerza fuerza alguna sobre la articulacin de la cadera.

28.-

(a) Aproximadamente, qu fuerza FM debe ejercer el trceps sobre el antebrazo para sujetar una bala de 7.3 kg. como se muestra en la figura. Suponga que el antebrazo y la mano tienen una masa de 2.8 kg. y que su centro de gravedad est a 12 cm del codo.

86

8.7 29.-

Ejercicios de Ondas: Una cuerdaKg m

metlica

de

guitarra

tiene

una

densidad

lineal

Q ! 3, 2 x103 30.-

Cul es la velocidad de las ondas transversales en

esta cuerda cuando su tensin es de 90 [N]? La velocidad de las ondas transversales en una cuerda es de 200 m . Si s la densidad lineal de la cuerda es de 7 x103 cuerda? 31.Cundo la tensin en una cuerda es de 75 [N], la velocidad de la onda es 140 m , Cul es la densidad lineal de la cuerda? s Cuando la tensin en una cuerda es 100 [N], la velocidad de la onda es de 120 [N]? 33.La ecuacin de una onda sinusoidal esta dada por : Y = 3,5 sen (60 X) , donde Y se mide en centmetros. Encontrar: a) La, amplitud, y b) La longitud de onda. Escriba la ecuacin de una onda sinusoidal cuya amplitud es 12 [cm] y cuya longitud de onda es 30 [cm]. Cul es la frecuencia de una onda sinusoidal cuya velocidad y longitud de onda son 120 m y 30 [cm], respectivamente? s Para t = 0 la ecuacin de una onda sinusoidal es Y = 0,21 sen ( 36 X ) [cm], donde el argumento del seno est radianes. Hallar (a) la amplitud y (b) la longitud de onda de esta onda. (c) Cul es el desplazamiento en X= 0,5 [cm]?. Una cuerda de guitarra de 0,75 [m] de longitud tiene una frecuencia fundamental de 440 [Hz]. a) Cul es la velocidad de una onda sobre esta cuerda? b) Para producir otras frecuencias, la longitud efectiva L, de la cuerda se acorta presionando sobre ella en un punto por debajo del extremo de la cuerda. Qu longitud se necesita para producir una frecuencia fundamental de 660 [Hz]?. Una cuerda de 55 [cm] de longitud est fija por los dos extremos. Cuando la tensin es de 25 [N], la frecuencia fundamental es de 40 [Hz]. a) Cul es la longitud de onda de la fundamental? b) Cul es la velocidad de una onda sobre esta cuerda ? c) Cul es la masa por unidad de longitud de la cuerda?. 87Kg m

, cul es la tensin de la

32.-

m . Cul es la velocidad de la onda cuando la tensin es de 200 s

34.35.-

36.-

37.-

38.-

39.-

Una cuerda de guitarra de 0,75 [m] de longitud tiene una frecuencia fundamental de 440 [Hz]. La densidad lineal de la cuerda es 2, 2 x103 Kg m

.Cuando se pulsa la cuerda fuertemente , el armnico fundamental vibra con un desplazamiento mximo de 0,2 [cm]. Cul es la energa de este armnico?, b) Cul es la energa del tercer armnico si su amplitud es 0,05 [cm] ?. 40.delfines emiten ondas ultrasnicas de una frecuencia de 2, 5 x105 ?Hz A.Cul es la longitud de onda de una de estas ondas en el agua de mar ? a) Cul es la longitud de onda en el aire de una onda sonora cuya frecuencia es de 75 [Hz]? b) Cul es la longitud de onda de esta onda en el agua de mar?. Los

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Una onda sonora de un nivel de intensidad de 80 [dB] incide sobre un tmpano de rea 0, 6 x104 m 2 . Cunta energa absorbe el tmpano en 3 [min]?. El nivel del sonido a 25 [m] de un altavoz es de 70 [dB]. Cul es la velocidad a la que el altavoz produce energa sonora ? Las ondas ultrasnicas tienen muchas aplicaciones en medicina y en tecnologas. Una de sus ventajas es que las ondas ultrasnicas de gran intensidad pueden usarse sin miedo a daar al odo. Consideremos una onda ultrasnica de intensidadw I ! 105 m2 , a) Cul es el nivel de

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intensidad de esta onda? b) Cunta energa cae sobre una superficie de 1 [cm2] en 1?min A? c) Cul es la amplitud de presin de la onda en el aire? d) En el agua , cul es la intensidad de una onda ultrasnica que tiene la amplitud de presin hallada en (c)? 46.Cul es el nivel de intensidad de un sonido con una intensidad deW 7, 5 x106 m2 ?

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Cul es la intensidad de un sonido con un nivel de intensidad de 53 [dB]? El nivel de intensidad a 20 [m] de una motocicleta es 90 [dB], A qu distancia el nivel de intensidad es de 60 [dB]?

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El nivel de intensidad a 30 [m] de un camin es de 84 [db]. Cul es el nivel de intensidad a 5 [m] del camin? La amplitud de presin de una onda sonora es 0,04 N m2 a una distancia

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de 12 [m] de su origen. Cul es la amplitud de presin de la onda que se halla a 150 [m] de su origen?

BIBLIOGRAFA - FISICA PARA LAS CIENCIAS DE LA VIDA. ALAN H.CROMER. EDITORIAL REVERTE, S.A. BARCELONA1996. - FISICA PARA LAS CIENCIAS DE LA VIDA Y DE LA SALUD. MC DONALD/BURNS. FONDO EDUCATIVO INTERAMERICANO S.A. 1978. - FISICA PARA CIENCIAS BIOLOGICAS Y BIOMEDICAS. ENRICO OKUNO, CECIL CHAW, IBERE LUEZ CALDAS. EDITORIAL HARPER ROW DO BRASIL LTDA.1982. - FISICA PARA CIENCIAS DE LA VIDA. DAVID JOU MIRAENT, JOSEP ENRIC LLEBOT ROBAGHIATI, CARLOS PEREZ GARCIA. EDITORIAL MC GRAW HILL DE MEXICO S.A. 1986. - INTRODUCCION A LA BIOFISICA. LIDIA SAIGUEIRO, J. GOMES FERREIRA. EDITORIAL FUNDACAO CALOUSTE GULBENKIEN. - BIOIFISICA. A.S. FRUMENTO. MOSBY/DOYMA LIBROS (1995)

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