Apuntes de Redes. Cap 1. Fundamentos

Universidad de Santiago de Chile

Departamento de Ingeniera Elctrica

Profesor: Jorge Gaviln Len

1

REDES 1

APUNTES DE CLASE

NOTA

Este apunte es un resumen detallado de las materias que

se exponen en cada clase del curso. No debe considerarse

como material nico para el estudio. Las materias deben

ser profundizadas en su detalle con los textos que se dan

en la bibliografa. En especial:

1. H. Hayt, Jr., J. E. Kemmerly, Anlisis de circuitos en ingeniera, McGrawHill-Mxico, 2003.

2. Dorf/Svoboda. Circuitos Elctricos. Marcombo-Alfaomega.

3. Alexander/Sadiku. Fundamentos de Circuitos Elctricos. McGrawHill.

u otros textos de similar nivel.




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CAPITULO 1

FUNDAMENTOS

EL CIRCUITO

DEFINICIONES Y UNIDADES

La unidad ms elemental de electricidad es la Carga Elctrica.

Las cargas pueden ser positivas (un protn) o negativas ( como un electrn)

En el Sistema Internacional de Medidas (SI) la carga se mide en Coulomb.

Por ejemplo, la carga de un electrn es igual a 1,591*10-10

coulomb.

En consecuencia, se requieren alrededor de 6,2*1018

electrones para llegar a

tener una carga de 1 coulomb

La presencia de cargas elctricas da lugar a la aparicin de fuerzas en la regin

que las rodea.

Ley de Coulomb.

Expresada en forma cuantitativa

Donde: k = Constante del medio donde se encuentren las cargas

(Si el medio es el vaco, su valor es 9*109)

r = Distancia en metros, entre las cargas.

Q1 y q2 = Cargas elctricas en [Coulomb]

2

21

r

qQkF




3

Este efecto se describe diciendo que existe un campo de fuerza en la

vecindad de la carga; a este campo de fuerza se le llama Campo Elctrico.

En todo caso, estamos ms interesados en el movimiento de cargas que en

cargas estacionarias, ya que las cargas deben moverse para producir la

transferencia de energa.

Particularmente estamos interesados en aquellas situaciones donde el

movimiento est confinado a un camino definido formado por materiales

tales como cobre y aluminio, que son buenos conductores de electricidad.

Por el contrario, otros materiales, tales como la porcelana, la mica, el

vidrio, el aire bajo ciertas condiciones, son muy pobres conductores. Ellos

son llamados Aisladores y son usados para confinar la electricidad a un

camino especfico.

Un tercer tipo de materiales, tales como el Silicio y el Germanio, que no

pueden ser catalogados como conductores y tampoco como aisladores, se

les llama Semiconductores.

Ahora bien

Para que puedan circular las cargas los caminos deben ser cerrados.

Estos caminos cerrados por donde circula la corriente

elctrica son llamados Circuitos.




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CORRIENTE ELECTRICA

Se define como la intensidad de corriente o simplemente corriente

elctrica, a la cantidad de carga que pasa por una seccin transversal de un

material por unidad de tiempo

En el Sistema Internacional de Medidas (SI), la unidad de corriente es el

Amper. Un amper es el paso de una carga de 1 coulomb en 1 segundo.

Expresada cuantitativamente:

Entonces

donde q es la carga que fluye en t segundos

VARIOS TIPOS DE CORRIENTES

ampsdt

dqi

coulombsdtiq




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La corriente tiene direccin y sentido.

La direccin de la corriente es la direccin en que fluyen las cargas

positivas, es decir opuesta a la direccin del flujo de los electrones.

DIFERENCIA DE POTENCIAL (VOLTAJE o TENSIN)

El movimiento de las cargas elctricas est relacionado con el cambio de

energa.

La Diferencia de Potencial entre dos puntos a y b en un circuito, es el

trabajo o energa asociada con la transferencia de una unidad positiva

de carga (1 coulomb), desde un punto al otro.

En unidades SI, el trabajo o energa por unidad de carga es medida en volts.

La energa asociada con el movimiento de una carga q a travs de una

diferencia de potencial de e volts es:

Si se ha realizado trabajo en una unidad de carga y consecuentemente su

energa potencial aumenta al ir desde a a b, entonces existe una subida de

tensin (voltaje) en la direccin de a a b.

En el sentido inverso, existe una cada de tensin (voltaje) en la direccin

de b a a cuando una unidad de carga positiva pierde energa potencial al ir

de b a a.

segwattso,joulesqeW




6

Para indicar cual punto est a mayor potencial que el otro se les asigna

signo.

Luego la diferencia de potencial tiene signo

Una diferencia de potencial asociada con una fuente de energa elctrica

(como por ejemplo una batera) se le llama fuerza electromotriz (fem).

POTENCIA Y ENERGIA

La Potencia, o la razn a la cual la energa es transferida, es el cambio

de energa por unidad de tiempo.

Si la corriente y la tensin son funciones del tiempo, la energa total

transferida puede ser expresada como

Si e e i son constantes en el tiempo, con valores E e I, W=E I t

seg/jouleso,wattsiedt

dqe

dt

dwpdecirEs

jouleso,segwattsdt)t(i)t(edtpWtt




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RESUMEN

W = eq o

Joule o

Watts-segundo

W

Energa o Trabajo

p = e i Watts p, P Potencia

e = W/q

Volts

e, E o

v, V

Diferencia de

potencial, Voltaje o

Tensin

i = dq/dt Amper i,I Corriente

Coulomb q,Q Carga

Ecuacin

Relacionada

Unidad

(Sistema mks)

Smbolo Variable

Elctrica

t

dteiw




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ELEMENTOS DE CIRCUITOS ELCTRICOS

Los elementos de circuito pueden clasificarse en:

Elementos activos y

Elementos pasivos

Un elemento activo es el que suministra energa elctrica al circuito

(Baterias y Generadores) .

Un elemento pasivo, no suministra energa elctrica al circuito, la

consume o la acumula.

En los circuitos se precisa al menos un elemento activo, para que la

corriente circule por l.

El principio de la conservacin de la energa debe cumplirse tambin en

los circuitos elctricos. Toda la energa que se convierta en elctrica debe

almacenarse como energa elctrica o convertirse en otra forma de

energa.

ELEMENTOS ACTIVOS. FUENTES IDEALES

Fuentes ideales de voltaje

El voltaje de salida de una fuente ideal puede ser una funcin del tiempo.

Una fuente ideal de voltaje suministra un voltaje prescrito a travs

de sus terminales, independientemente de la corriente que fluye por

ella.

El circuito conectado a la fuente determina la cantidad de corriente

que suministra la fuente.




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Fuentes ideales de voltaje

La nocin de una fuente ideal de voltaje se aprecia mejor dentro del

contexto de la representacin fuente-carga de los circuitos elctricos.

Fuentes ideales de corriente

Una fuente ideal de corriente suministra una

corriente prescrita independientemente del circuito

al cual est conectada. El circuito conectado a la

fuente determina el voltaje generado por ella.




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Fuentes dependientes ( o controladas)

ELEMENTOS PASIVOS

En un circuito elctrico existen cuatro tipos de elementos pasivos, segn la

forma como se interrelacionan la tensin y la corriente en ellos.

Resistor

Inductor

Inductores Acoplados

Capacitor

RESISTOR (Ley de Ohm) Es un tipo de elemento de circuito, en que la tensin entre sus extremos es

directamente proporcional a la corriente que fluye a travs de l.

Analticamente

que se conoce como la Ley de Ohm

A la constante de proporcionalidad R se le llama Resistencia y es medida

en ohms (). Esta constante, o parmetro, est ntimamente relacionada con la disipacin de energa del circuito en forma de calor.

e(t) = R i(t) vots




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A la razn se le llama Conductancia y es medida en Siemens (S)

o mhos

Ya que una carga elctrica entrega energa al pasar por el resistor, la tensin

e(t) es una cada de tensin en la direccin de la corriente.

Alternativamente, e(t) es una subida de tensin en la direccin opuesta a

la corriente

La potencia disipada por la resistencia puede ser determinada por la Ec. .

o,

La prdida de energa est dada por la ecuacin

La resistencia de un conductor elctrico es directamente proporcional a su

largo, inversamente proporcional a su seccin transversal y es funcin del

material del que est hecho.

G)t(e

)t(i

wattsR)t(i)t(i)t(iR)t(i)t(e)t(p 2

wattsR

)t(e

R

)t(e)t(e)t(i)t(e)t(p

2

joulesosegwattsdt)t(i)t(edt)t(pW

t t




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La Resistividad () del material conductor, es la resistencia de un volumen de seccin y largo unitarios.

En el Sistema Internacional de Medidas la resistividad esta expresada en

ohms por metro cuadrado por metro.

La resistencia de un conductor de resistividad , largo l y rea A es

La resistencia del material conductor es dependiente tambin de la

temperatura del material.

Puede ser demostrado experimentalmente que la resistencia R2 de un conductor a

la temperatura centgrada t2, en trminos de su resistencia R1 a la temperatura t1,

est dada por

siendo 1 el coeficiente de temperatura de la resistencia del material a la temperatura t1.

Para cobre andico estndar, una ecuacin emprica conveniente es

Todos los conductores elctricos disipan calor cuando llevan corriente.

La cantidad de calor que puede disipar con seguridad est determinada

por la temperatura mxima permitida para el conductor.

A

lR

12112 tt1RR

1

2

12t5,234

t5,234RR




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INDUCTOR En este tipo de elemento la tensin entre sus terminales es directamente

proporcional a la velocidad de variacin de la corriente por unidad de

tiempo.

Analticamente

A la constante de proporcionalidad K se le llama Inductancia, se mide en

Henrios y es independiente del valor de la tensin o de la corriente.

Este parmetro est ntimamente relacionado con el campo magntico del

circuito.

En ciertas condiciones (presencia de hierro en las proximidades del

elemento de circuito), K es una funcin de i (o v) y no es constante.

Como ejemplo de este elemento, consideremos una bobina de alambre con

ncleo de aire y resistencia cero.

Si la corriente circula a travs de los terminales entre los

que se observa una diferencia de potencial v, la constante

se denomina coeficiente de autoinduccin o simplemente

Inductancia utilizndose para K el smbolo L.

Entonces

El coeficiente de autoinduccin L es una

funcin de las caractersticas y las

dimensiones de la bobina. Si no est

presente ningn material magntico

como hierro, cobalto o nquel, una

voltsdt

diKv

voltsdt

diLv




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ecuacin emprica que da el valor de la inductancia es

Esta ecuacin es bastante exacta para bobinas largas, pero su exactitud

disminuye rpidamente cuando la longitud de la bobina es inferior a la mitad

del dimetro.

Consideraciones sobre la energa almacenada en una inductancia

Una inductancia perfecta no tiene resistencia y, por lo tanto, cualquier

energa que fluya en ella ser almacenada en el campo magntico que la

rodea. Como la energa es la integral de la potencia respecto al tiempo,

durante el intervalo desde t = 0 hasta el instante t, la variacin de energa

ser

Sustituyendo v por L di/dt se obtiene, con i = 0 para t = 0.

INDUCTORES ACOPLADOS

Inductancia Mutua

Cuando los Inductores estn suficientemente

cercanos que se influencian mutuamente, la

tensin y la corriente no necesitan ser comunes a

un mismo inductor para producir el fenmeno de

la induccin.

En la figura, la influencia de la corriente i2 en v1

es:

Donde a M se le llama coeficiente de Inductancia Mutua

henriosd45,0l

ANL

2

t

0

dtivw

2

i

0

i2

LdiiLw

voltsdt

diM'v 21




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Luego las ecuaciones para v1 y v2 considerando la autoinductancia y la

inductancia mutua sern:

M puede ser positivo o negativo y ello depender de la direccin de las

corrientes y del sentido en que estn enrolladas las bobinas.

Para indicar cundo M es positivo se colocan marcas en los terminales,

como se indica en la figura.

Si ambas corrientes i1 e i2 entran o ambas salen, M es positivo.

Si una entra y la otra sale, M es negativo.

CAPACITOR

En este tipo de elemento de circuito la tensin es proporcional a la integral

en el tiempo de la corriente.

Al recproco de la constante de proporcionalidad se le llama Capacidad y

se mide en Faradios (F)

Este parmetro est ntimamente relacionado con el campo elctrico del

circuito.

Si la tensin entre los terminales es proporcional a la integral de la corriente

respecto al tiempo, el elemento de circuito es un capacitor ideal.

Analticamente

voltsVdtiC

1v

t

0

0

voltsdt

diM

dt

diLv 2111

voltsdt

diM

dt

diLv 1222




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Siendo V0 la tensin para t = 0. La constante C se denomina Capacidad, y

se mide en Faradios

Si derivamos los dos miembros de la ecuacin anterior respecto al tiempo y

despejamos i, se obtiene

Un condensador constituido por dos placas conductoras planas y paralelas

separadas una pequea distancia d por un aislador (dielctrico), tiene una

capacidad de

Siendo A el rea de las placas en

metros cuadrados, d la separacin

entre ellas en metros, que es igual

al espesor del aislador y es una constante, llamada constante

dielctrica, que depende del tipo

de aislador utilizado.

La energa almacenada en un condensador puede calcularse integrando la

potencia respecto al tiempo.

Suponiendo que la carga es cero para t = 0

Sustituyendo i por Cdv/dt, se obtiene

Si se cambia la variable de integracin de tiempo a tensin,

con lo que

ampsdt

dvCi

faradiosd

AC

segWattsojoulesdtviW

t

0

joulesdtdt

dvCvW

t

0

joulesdvCvW

v

0

joulesv2

CW

2




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CONFIGURACIONES DE CIRCUITOS

Algunas definiciones de la topologa de las redes

Nudo Rama Lazo Malla

NUDO: El punto en el cual dos o ms elementos tienen una conexin

comn




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RAMA: Es un camino que contiene un elemento simple y conecta un nudo con

otro nudo cualquiera

Resp. 2,2 Resp. 5,4 Resp. 6,4

LAZO: Si comenzamos en un cierto nudo y trazamos un camino cerrado a

travs de la red, que no atraviese ningn nudo ni rama (elemento) ms

de una vez, y terminamos en el mismo nudo, este camino es un lazo (o

Bucle)




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MALLA: Una malla es un caso especial de lazo. Una malla es un lazo que no

contiene otros lazos.

En esta red hay 6 lazos de los cuales 3 son mallas

LEYES FUNDAMENTALES DE LOS CIRCUITOS

LEYES DE KICHHOFF

Dos leyes establecidas por Kirchhoff son extremadamente tiles en la

resolucin de los problemas sobre circuitos elctricos:

Ley de las corrientes En cualquier instante, la suma algebraica de todas las corrientes que

concurren en un nudo de un circuito es cero. O, en cualquier instante, la

suma de las corrientes que llegan al nudo de un circuito es igual a la

suma de las que salen.

Ley de las tensiones En cualquier instante, la suma algebraica de las tensiones alrededor de

un lazo de un circuito elctrico es cero. En otras palabras, la suma de las

subidas de tensin alrededor de cualquier camino cerrado, debe ser igual

a la suma de las cadas de tensin.




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Las leyes de Kirchhoff establecidas anteriormente se aplican a los valores

instantneos de la tensin y de la corriente y son ciertas tanto si las

tensiones y las corrientes del circuito son constantes como si varan en el

tiempo.

Algunas veces se establecen en la forma

i = 0

v = 0

Al aplicar las leyes de Kirchhoff, debe asignarse un signo algebraico a

cada tensin y a cada corriente para indicar su sentido.

En cualquier instante, la corriente tiene tanto intensidad como sentido.

Para escribir las ecuaciones correspondientes a la ley de corrientes de

Kirchhoff, es preciso definir un sentido como sentido positivo de

circulacin de la corriente.

Al establecer este sentido positivo, no se establece el sentido real de

circulacin de la corriente. Ciertamente, en algunos circuitos la corriente es

peridica e invierte peridicamente en sentido. Lo que realmente se

establece es que si la corriente circula en el sentido definido como positivo,

su signo algebraico ser positivo y si circula en sentido contrario, su signo

algebraico ser negativo.

Por ejemplo




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La diferencia de potencial entre dos puntos lleva tambin asociado un valor

absoluto y un sentido.

Al escribir las ecuaciones correspondientes a la ley de tensiones de

Kirchhoff, los signos reales de las tensiones no tienen que corresponderse

necesariamente con el sentido positivo establecido arbitrariamente para la

tensin.

Por ejemplo

FIN

CAPTULO

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