Apuntes Ejercicios Fisica Cap 3.pdf

UNIVERSIDAD TCNICA FEDERICO SANTA MARA

DEPARTAMENTO DE FSICA

Ejercicios Resueltos y

Propuestos

Curso Fsica 110

Captulo 3

Autores: Matas Figueroa Ayudante Fsica 110

Belisario Gutirrez Coordinador Fsica 110

Versin Preliminar, 2014

Ejercicios Fsica 110. Matias Figueroa, Belisario Gutirrez

ndice contenido

Captulo 3: Movimiento en el plano ................................................................................................................... 3

Cuadro Resumen Captulo 3 ........................................................................................................................... 4

Ejercicios Resueltos Capitulo 3 ...................................................................................................................... 5

3.1. Ejercicio 1 ..................................................................................................................................... 5

3.2. Ejercicio 2 ..................................................................................................................................... 7

3.3. Ejercicio 3 ................................................................................................................................... 11

3.4. Ejercicio 4 ................................................................................................................................... 13

3.5. Ejercicio 5 ................................................................................................................................... 17

3.6. Ejercicio 6 ................................................................................................................................... 19

3.7. Ejercicio 7 ................................................................................................................................... 23

3.8. Ejercicio 8 ................................................................................................................................... 25

Ejercicios Propuestos Captulo 3 .................................................................................................................. 27

3.1. Ejercicio 1 ................................................................................................................................... 27

3.2. Ejercicio 2 ................................................................................................................................... 27

3.3. Ejercicio 3 ................................................................................................................................... 27

3.4. Ejercicio 4 ................................................................................................................................... 28

3.5. Ejercicio 5 ................................................................................................................................... 28


Captulo 3: Movimiento en el

plano

En este captulo se revisan conceptos de cinemtica en dos dimensiones. Como

ejemplo, se estudia el movimiento de proyectiles, el movimiento circular y el

movimiento relativo (de Galileo).


Cuadro Resumen Captulo 3

Ecuaciones Frmula Unidades Sistema Referencia*

Lanzamiento de Proyectiles

Posicin () = 0 + 0

1

22

() = 0 + 0 []

Velocidad

() = 0

() = 0 = +

[

]

Aceleracin =

= 0 [

2]

Movimiento Circular

Posicin angular () = 0 + 0 +1

22 []

Velocidad angular () = 0 + [

]

Aceleracin angular =

[

2]

Relaciones Movimiento Lineal y circular

=

|| = =

=

|| = =

=

|| = = 2

=2

= +

= 2 + 2

Movimiento relativo (Transformaciones de Galileo)

Posicin / = / + / []

Velocidad / = / + / [

]

Aceleracin / = / [

2]

*Este sistema es el que usara por defecto a lo largo de los captulos, a no ser que se mencione

otro sistema de referencia.


Ejercicios Resueltos Capitulo 3

3.1. Ejercicio 1

Un piloto de una hipercamioneta quiere romper el record de distancia recorrida en cada

libre. Para ello se desplaza sobre una meseta hasta que alcanza una rapidez de 130 [

]

al momento de saltar desde una altura = 15 []. Determine:

a) El tiempo empleado en llegar al suelo.

b) La distancia a la que cae.

c) La velocidad (magnitud y direccin justo antes de hacer contacto con el suelo.

Desarrollo: a) La ecuacin de posicin del objeto en el eje vertical est dada por:

() = + 0 1

22

Como el ngulo de lanzamiento es = 0, entonces el objeto slo tiene componente de velocidad en el eje horizontal, es decir, 0 = 0

Entonces para obtener el tiempo de cada del objeto se iguala la posicin vertical a 0

0 = 15 1

22

= 2 15

= 1,7[]

b) La ecuacin para el eje horizontal:

() = 0 + 0

Si se toma la posicin del borde como el origen, entonces:

() = 0


Donde la velocidad es constante en el tiempo, entonces evaluando en = 1,7 []

(1,7) = 130 1,7

= 221[]

c) La velocidad de la camioneta justo antes de tocar el suelo, tiene componentes en el eje e , las cuales estn dadas por:

= 0 = 130 [

]

= = 17,0 [

]

La magnitud de la velocidad final es:

= ()2

+ ()2

= (130)2 + (17)2

= 131,1 [

]

Su direccin est dada por:

tan = |

| =17

130

7,45


3.2. Ejercicio 2

La figura siguiente muestra el lanzamiento de un rodamiento. Su velocidad inicial es y su ngulo de tiro es .

a) Demuestre que = (), es de la forma + + 2. b) Determine una expresin para el ngulo ptimo de lanzamiento, de modo que la

distancia en la horizontal sea mxima.

c) Si 0 = 3 [] y 0 = 0[], halle el ngulo de lanzamiento optimo, si la distancia recorrida es 25[].

d) Halle la rapidez inicial de lanzamiento para que = 25[] e) Si el rodamiento es lanzado desde la posicin (0, 0) = (0,0). Determine el valor del

ngulo ptimo para = 25[]. f) Encuentre la magnitud de la velocidad inicial para = 25[]. g) Halle el tiempo de cada cuando la posicin inicial es (0,3) y (0,0).

Desarrollo:

a) Las ecuaciones paramtricas del rodamiento son:

() = 0 + 0()

() = 0 + 0() 1

22

Se despeja el tiempo de la expresin para la abscisa , y se remplaza en la ordenada.

= 0

0()

= 0 + 0() ( 0

0())

1

2 (

00()

)2

= 0 + () ( 0)

2022() ( 0)

2


Se puede apreciar que esta ecuacin = () tiene la forma de una parbola.

b) El alcance o distancia mxima recorrida , ocurre cuando () = 0, por lo que la expresin para la parbola queda:

0 = 0 + () ( 0)

2022() ( 0)

2

0 = 2() 0 + () 2() ( 0)

202 ( 0)

2

0 = 0 [1 + cos(2)

2] + sin(2)

( 0)

2

202 ( 0)

2

El ngulo mximo se obtiene derivando respecto a .

0 =

[0 [

1 + cos(2)

2] + sin(2)

( 0)

2

202 ( 0)

2]

0 = (2) 0 + cos (2) ( 0)

tan (2) =( 0)

0

=1

2tan1 [

( 0)

0]

c) Si se remplaza 0 = 3 [], 0 = 0[] y = 25[] en la ecuacin de ngulo optimo, se obtiene:

=1

2tan1 [

25

3]

41,6

d) Para obtener la velocidad inicial de lanzamiento, remplazamos los valores en la ecuacin

= (), cuando y=0:


0 = 0 + ()

2022()

2

0 = 3 + (41,6) 25 10

2022(41,6) 252

Donde se puede obtener la velocidad inicial 0:

0 = 14,9 [

]

e) Si el objeto se lanza desde la posicin (0, 0) = (0,0), la ecuacin de trayectoria queda:

= ()

2022() 2

Y para el alcance o distancia mxima, se tiene la condicin de = 0, cuando = . Por lo tanto:

0 = ()

2022() 2

=20

22()

() =

202 cos() sin()

=20

2 sin(2)

Para que la funcin sea mxima, sin(2) debe ser mximo. Esto implica que el ngulo de lanzamiento ptimo debe ser:

= 45

f) La velocidad de lanzamiento se obtiene de la ecuacin de distancia mxima, esto es:

=20

2 sin(2)

25 =20

2 sin(2 45)

10

0 = 11,2 [

]

g) El tiempo de cada para = 25[], esta dado para cada caso como:

Si 0 = 3 [],0 = 0[], = 41,6


= 0()

3 []

Si 0 = 0 [],0 = 0[], = 45

= 0()

= 3,2 []


3.3. Ejercicio 3

Un joven lanza una pelota plstica a una pared, desde una distancia es de 3,5 []. La pelota se lanza desde una altura de 2,0[], respecto del piso, y con una velocidad inicial 0 = 9 + 10. Una vez que la pelota choca con la pared, la componente horizontal de la velocidad se invierte, mientras que la componente vertical no vara. Determine:

a) El lugar donde caer la pelota.

b) El lugar donde caera la pelota si no estuviese la pared.

Desarrollo:

a) De forma grfica se puede apreciar el lanzamiento y el cambio de coordenadas al impactar la pared:

Las ecuaciones de posicin para las coordenadas

son, respecivamente:

() = 0,

() = 9

() = 0 + 0, 1

22

() = 2 + 10 52

() = 10 10

Sea el instante en que la pelota choca con la pared:

() = 3,5 = 9

= 0,39[]

Con este valor se puede determinar las componentes de la velocidad con que la pelota

impacta la pared.

() = 0, = 9,0 [

]

() = 6,1 [

]

La ordenada de la pelota en el instante que golpea la pared es:

() = 5,1[]


En el instante del choque, la componente horizontal de la velocidad cambia de signo y, a

partir de ese instante, la pelota realiza un nuevo movimiento de tipo parablico. Las

nuevas expresiones para las coordenadas de la pelota (ecuaciones paramtricas) son:

() = 0 0( )

() = 3,5 9( )

() = 0 + 0,( ) 1

2( )

2

() = 5,1 + 6,1( ) 5( )2

Cuando la pelota toque el suelo se da la condicin () = 0. Por lo tanto:

0 = 5,1 + 6,1( 0,39) 5( 0,39)2

= 2,2[]

La posicin de la pelota cuando llega al suelo es:

(2,2 ) = 12,8 []

La pelota cae 12,8 [] a la izquierda del punto de lanzamiento, o a 16,3 [] a la izquierda de la pared.

b) Si no estuviese la pared, las ecuaciones son las mismas obtenidas en primera instancia:

() = 9

() = 2 + 10 52

() = 10 10

En este caso para el tiempo de cada:

0 = 2 + 10 52

= 2,18 [] Por lo tanto:

(2,18) = 9 = 19,6 []

Esta es la distancia desde el origen, tambin se interpreta como que est a 16,14 [] a la derecha de la pared (aprox. igual al valor obtenido anteriormente 16,3 []).


3.4. Ejercicio 4

Un carro en un parque de juegos describe una trayectoria circunferencial de radio = 2[]. El grfico siguiente muestra la evolucin de la rapidez angular del carro en funcin del tiempo.

a) Determine las ecuaciones de rapidez tangencial del carrito, hasta el tiempo = 60 []. b) Haga un grfico cualitativo de la rapidez tangencial y de posicin del carro en el tiempo. c) Determine las componentes tangencial y centrpeta de la aceleracin, y la magnitud de

esta magnitud, para los instantes = 5; 15; 35 50 []. d) Realice un diagrama en el cual se muestre los vectores velocidad y aceleracin para los

instantes anteriores.

Desarrollo:

a) De acuerdo al grfico, se puede obtener la variacin de la velocidad tangencial del carrito,

ya que y son proporcionales al radio. Por lo tanto el grfico de tiene la misma forma que el de velocidad angular. Por lo tanto se tiene:

Ecuaciones de rapidez tangencial:

De 0 a 10 []

() = 20 [

]

De 10 a 30 [] () = 0,8 + 28

De 30 a 40 []

() = 4 [

]

De 40 a 60 [] () = 0,8 28

0

2

4

6

8

10

12

0 10 20 30 40 50 60 70

(r

ad/s

)

t (s)


b) De acuerdo a las ecuaciones de rapidez tangencial en el intervalo de tiempo, se obtiene.

Grfico rapidez tangencial en el tiempo

De acuerdo a este grfico, y a las ecuaciones de rapidez tangencial, se puede determinar

el comportamiento de la funcin posicin de carrito en el tiempo. Para el intervalo de

tiempo requerido, se tiene:

Posicin del carrito en el tiempo.

De 0 a 10 [] tiene pendiente constante positiva, ya que la velocidad en este intervalo no vara y es mayor a 0.

De 10 a 30 [] la pendiente va disminuyendo, ya que la velocidad va decreciendo linealmente.

De 30 a 40 [] tiene pendiente constante positiva de menor valor que el primer intervalo, ya que la velocidad en este intervalo es menor y constante.

De 40 a 60 [] la pendiente va aumentando, ya que la velocidad en este intervalo tiene pendiente positiva y creciente.

As de esta manera se construye el siguiente grfico:

Grfico de posicin en tiempo

c) Recuerde que las aceleraciones tangencial y centrpeta estn dadas por:

0

4

8

12

16

20

0 10 20 30 40 50 60

v (

t)

t (s)


=

= " "

=2

= 2

Entonces para:

= 5 []

(5) = 0 [

2]

= 102 2 = 200 [

2]

= 02 + 2002 = 200 [

2]

= 15 []

(15) =4 20

30 10= 0,8 [

2]

Otro camino es usando la ecuacin de velocidad en el intervalo de 10 a 30 []

() = 0,8 + 28

Donde 0,8 es la pendiente de la recta, y representa la aceleracin tangencial del carrito.

=(0,8 15 + 28)2

2= 128 [

2]

= 0,82 + 1282 = 128 [

2]

= 35 []

(35) = 0 [

2]

= 22 2 = 8 [

2]

= 02 + 82 = 8 [

2]

= 50 []


(50) =20 4

60 40= 0,8 [

2]

Otro camino es usando la ecuacin de velocidad en el intervalo de 40 a 60 []

() = 0,8 28

Donde 0,8 es la pendiente de la recta, y representa la aceleracin tangencial del carrito.

=(0,8 50 28)2

2= 72 [

2]

= 0,82 + 722 = 72 [

2]

d) Los vectores de aceleracin y velocidad se ven en la siguiente figura.

El diagrama no representa la cantidad de vueltas

o la posicin en la pista. Slo muestra la

relacin geomtrica de los vectores en cada uno

de los instantes de tiempo sealado.


3.5. Ejercicio 5

Una rueda, de 50[] de radio, de un automvil en movimiento, ha girado 0.5 radianes durante el primer segundo. Determine:

a) El nmero de vueltas que dar la rueda en los 10 primeros segundos, suponiendo que lo hace con aceleracin angular constante.

b) La velocidad lineal de un punto de la rueda al trmino del dcimo segundo.

c) La aceleracin de frenado si el motor deja de funcionar cuando la rueda gira a razn de

12,0 vueltas por segundo y esta tardase 20[] en detenerse.

Desarrollo:

a) Se supone que la posicin y velocidad angular iniciales son nulas ( 0 = 0 ; 0 = 0). La posicin angular est dada por:

() = 0 + 0 +1

22

Y por las condiciones iniciales queda reducido a:

() =1

22

Al resolver esa expresin:

0,5 =1

2 1

= 1 [

2]

Entonces, el ngulo descrito en 10 segundos son:

(10) =1

21 102

(10) = 50 []

Como una vuelta son 2 radianes, se tiene que:

=50

2

= 8


b) La velocidad angular a los 10 segundos es:

= = 1 10

= 10 [

]

Con la relacin = , donde es la velocidad lineal y el radio, se obtiene:

= 10 0,5

= 5 [

]

c) Si el valor 12,0 vueltas por segundo corresponde a una frecuencia, por lo tanto la velocidad angular es:

= 2

= 2 12,0

= 24 [

]

Esta velocidad se toma como la inicial, y la velocidad angular final es 0 ya que se detiene.

De esta forma se calcula la aceleracin angular de frenado para un tiempo de 20 segundos:

= 0 +

= 0

=

0 24

20

= 3,76 [

2]


3.6. Ejercicio 6

Pepito, un nadador profesional tiene una velocidad de nado de 1,6 [

] respecto al agua,

sin cansarse. Se sabe que el ro tiene una velocidad de 3 [

] respecto a la orilla y tiene un

ancho de 30 []. Adems el entrenador toma el tiempo de Pepito a lo largo del ro, cuando parte de la posicin inicial. Determine:

a) La velocidad del nadador (magnitud y direccin), respecto del entrenador. b) La distancia del punto de partida se encuentra el nadador una vez que alcanza la otra

orilla del ro y cunto tiempo se demora en llegar segn el entrenador.

c) Si Pepito toma una direccin de 45 contra la corriente, encuentre la distancia que recorre para alcanzar la orilla opuesta.

d) Luego del entrenamiento, ambos se suben a una lancha de velocidad mxima 4,0 [

] y

deciden atravesar el rio, de modo de llegar a un punto que este frente al de salida. Cul

debera ser el ngulo de inclinacin respecto a la orilla, para alcanzar dicho objetivo?

e) Para el caso anterior, Cul debera ser la velocidad de esta lancha respecto a un observador en la orilla, para alcanzar dicho objetivo?

Desarrollo:

a) Se tiene que la velocidad de Pepito respecto al rio es / = 1,6 [

] y la velocidad del

rio respecto a la orilla es / = 3 [

].

La velocidad de Pepito respecto a la orilla est dada por:

/ = / + /


/ = 3 + 1,6

Entonces por el teorema de Pitgoras se obtiene la velocidad del bote respecto a la orilla,

esto es:

/ = (/)2

+ (/)2

= (3)2 + (1,6)2 = 3,4 [

]

De la figura se puede obtener el ngulo de direccin de / :

tan = (//

) =1,6

3

28

Entonces el bote viajara a 3,4 [

] en la direccin de 28 hacia el norte respecto de la

orilla.

b) La distancia pedida puede hallarse como:

sin() =30

= 63,75 []

Que es la distancia que recorre el nadador desde la orilla.

El tiempo en que se demora en cruzar se puede obtener de varias formas, con la distancia

horizontal y la velocidad en este eje, con la distancia vertical y la velocidad en este eje, o

con la diagonal y la velocidad / :

En la componente vertical se tienen los siguientes valores:

= 30 []

/ = = 1,6 [

]

=


= 18,75[]

Otro camino es con la distancia recorrida , y la rapidez de Pepito respecto a la orilla, as se tiene:

=

/

= 18,75[]

c) Si decide tomar un rumbo 45 contra la corriente, los vectores velocidad son:

La velocidad de Pepito respecto a la orilla est dada por:

/ = / + /

/ = (3 1,6cos (45)) + 1,6 sin (45)

/ = 1,87 + 1,13

Entonces la magnitud es:

/ = (1,87)2 + (1,13)2 = 2,18 [

]

Para calcular la distancia recorrida, es necesario calcular el ngulo de / respecto a la orilla. Se representa de la siguiente forma:

Por lo tanto:

= tan1 [1,13

1,87]

31

Entonces la distancia es:


sin() =30

= 58 []

d) Si se quiere alcanzar el punto opuesto de la otra orilla del rio, la lancha debe enfilar su rumbo como se indica en el siguiente triangulo de velocidades:

La velocidad de la lancha respecto a la orilla est dada por:

/ = / + /

/ = (3 4 cos()) + 4sin ()

Como / es perpendicular a la orilla, entonces la componente en la direccin debe ser nula. Por lo tanto:

0 = 3 4 cos()

= 41,4

e) La velocidad respecto a la orilla es:

/ = 4sin (41,4)

/ = 2,6 [

]


3.7. Ejercicio 7

El avin A vuela con una rapidez constante de 250 [

], describiendo un arco de

circunferencia de 2,4 [] de radio. Adems el avin B, viaja en lnea recta con una

velocidad inicial de 150 [

] y que aumenta a razn de 9 [

2].

Para la situacin mostrada en la figura, halle:

a) La velocidad relativa de A respecto de B b) La aceleracin relativa de B respecto de A.

Desarrollo:

a) La velocidad de A respecto a la Tierra es igual a la velocidad de A respecto de B, ms la velocidad de B respecto a la Tierra, esto es:

= / +

250 = / + 150

/ = 500 [

]

b) La aceleracin de A, corresponde a la aceleracin centrpeta, por lo cual:

= 2502

2400= 26,0 [

2]

Entonces:

= / +

9 = / 26,0

/ = 9 + 26,0


Tambin puede responder a esta pregunta, hallando la magnitud de la aceleracin pedida

y el ngulo que forma con . De esta forma:

[] =26,0

9

70,93

|/| = 27,55 [

2] ; = 70,93 ( )


3.8. Ejercicio 8

Luego de un cruce, un camin tiene una velocidad de / = /, y un automvil tiene

una velocidad / = / , ambas respecto a un observador inercial. Determine:

c) La velocidad del automvil vista desde el camin d) La trayectoria del automvil vista desde el camin e) En cierto instante, un pasajero del auto lanza de forma vertical una pelota pesada, Qu

trayectoria tiene la pelota respecto a un observador en reposo en el mismo eje del auto?

y cul es la velocidad de la pelota respecto al camin?

Desarrollo:

a) Si / es la velocidad del automvil respecto al camin, entonces segn la ley de adicin de velocidades de Galileo:

/ = / + /

/ = / + (/)

Expresado grficamente:

b) Ntese que la trayectoria es rectilnea y esta recta tiene la misma direccin que /. Si se toma un eje referencial para cada mvil, con sus respectivas componentes de movimiento

, , para el automvil y , , para el camin, la trayectoria de cada mvil se representa de la siguiente forma:


Donde / es la trayectoria del automvil vista desde el camin.

c) Si el automvil tiene una velocidad / = / y se lanza verticalmente una bola, un observador inercial en reposo vera que describe un movimiento parablico con velocidad

horizontal igual a la que lleva el auto.

Entonces la velocidad de la bola respecto a la tierra tiene dos componentes

/ = / + /

La velocidad respecto al camin se expresa como:

/ = / + /

/ = / /

/ = / + / / De forma grfica:


Ejercicios Propuestos Captulo 3

3.1. Ejercicio 1

Una persona tira una piedra de forma parablica, de modo que el alcance y la altura

mxima son iguales. Determine el ngulo de lanzamiento para esta situacin.

Respuesta: = 75,96

3.2. Ejercicio 2

Una maquinas efecta tiros de manera parablica entre dos acantilados, como se indica

en la figura. El punto de lanzamiento de la mquina se halla 4 [] arriba respecto a la superficie de la derecha. Si la mquina slo puede disparar con un ngulo de 30, y se desea lanzar esferas a 5 [] del acantilado de la derecha, determine:

a) La velocidad mnima de lanzamiento. b) El tiempo de vuelo.

Respuestas:

a) 0, = 16,61 [

].

b) = 2,08[].

3.3. Ejercicio 3

La velocidad angular de un motor que gira a 900 [] disminuye uniformemente hasta 300 [] efectuando 50 revoluciones. Determine:

a) La aceleracin angular. b) El tiempo necesario para realizar las 50 revoluciones.

Respuestas:

a) = 12,6 [

2].


b) = 5,0 [].

3.4. Ejercicio 4

Un nio hace girar uniformemente una piedra, de manera circular, por medio de una

cuerda de longitud 1,5 [], como se muestra en la figura. El nio se encuentra sobre un montculo de tal forma que el plano del movimiento se encuentra a una altura de 6 [] sobre el suelo. En cierto instante la cuerda se rompe, y la piedra sale disparada

horizontalmente, golpeando el suelo a 4 [] del punto de ruptura. Determine la aceleracin centrpeta de la piedra mientras estaba en movimiento circular.

Respuesta: = 8,9 [

2]

3.5. Ejercicio 5

Una lancha de 2,5 [] de largo est ubicada perpendicularmente junto a la orilla de un

ro. En cierto instante se pone en marcha con una velocidad de 5 [

] respecto a la orilla,

y al llegar a la orilla opuesta ha avanzado en el sentido de la corriente 23,4 []. Determine:

a) La velocidad del agua sabiendo que el ro tiene una anchura de 100 []. b) Si la canoa marcha a lo largo del ro, determinar el camino recorrido en 1 minuto en el

sentido de la corriente.

c) Para el caso anterior, determine el camino recorrido en 1 minuto en el sentido opuesto de la corriente.

Respuestas:

a) = 1,2 [

].

b) = 372 []. c) = 278 [].

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