UNIDADES TECNOLGICAS DE SANTANDER UNIDAD 5 ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES Ecuacin:Esunaigualdadenlaquehayunaovariascantidadesdesconocidasllamadas incgnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incgnitas. Las incgnitasserepresentanconlas ltimasletras delalfabeto:x,y, z, u,v.Laecuacinnoes una identidad. Identidad: Es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las letras que se encuentran en ella.Ej.:( ) ( )22 2; 2nn na b a b a b a ab b = + = + + Miembros: Se llama primer miembro de una ecuacin o de una identidad a la expresin que est a la izquierda del signo de igualdad, y segundo miembro, a la expresin que est a la derecha. Trminos: Son cada una de las cantidades que estn conectadas con otra por el signo + -, o la cantidad que est sola en un miembro. Races o Soluciones: Son los valores de las incgnitasque verifican o satisfacen la ecuacin, es decir, que sustituidos en el lugar de las incgnitas, convierten la ecuacin en una identidad. Las ecuaciones de primer grado tienen una sola raz. Resolver una ecuacin es encontrar su conjunto solucin. Latransposicindetrminos:consisteencambiarlostrminosdeunaecuacindeun miembro al otro. Verificacin: Es la prueba de que el valor obtenido para la incgnita es correcto. La verificacin serealizasustituyendolaincgnitadelaecuacinporel valorobtenido,ysiesteescorrecto,la expresin se convertir en una identidad. TIPOS DE ECUACIONES Las ecuaciones con una incgnita suelen tener un nmero finito de soluciones, mientras que en las ecuacionesconvariasincgnitasencontramosinfinitassoluciones,lasquesuelenserestudiadas cuando forman sistemas de ecuaciones.Podemosencontrardistintostiposdeecuacionesconunaincgnita:polinmicas,racionales, exponenciales, trigonomtricas, logartmicas, entre otras. Las ecuaciones polinmicas son de la forma( ) 0 P x = , donde( ) P xes un polinomio en x, que al trasponer trminos y simplificar adoptan esa expresin. A continuacin estudiaremos las ecuaciones polinmicas de primer y segundo grado. 1.ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO Cualquier ecuacin que se puede escribir en la forma:

0, ax b + = dondeayb son constantes reales,cona0,yxesunavariable,sedenominaecuacinlinealodeprimer grado conuna variable. La grfica de una ecuacin lineal es una Lnea Recta Pasos para resolver ecuaciones de primer grado 1. Quitar parntesis, si los hay. 2. Quitar denominadores, si los hay. (Hallar m.c.m) 3. Pasar los trminos que contienen la incgnita a un miembro y los nmeros al otro miembro. 4. Simplificar cada miembro. 5. Despejar la incgnita. Se obtiene, as, la solucin. 6. Comprobacin: Sustituir la solucin en cada miembro de la ecuacin inicial para comprobar que coinciden los resultados. Ejemplo: Resolver3 ( 2)1 74 6x x + =-Se reduce a comn denominador, calculando el mnimo comn mltiplo de los denominadores

-Se suprimen los parntesis aplicando la propiedad distributiva: 9 12 14 28 x x + = -Se trasponen trminos (los trminos en x a un miembro y los trminos independientes al otro) 9 14 28 12 x x = -Se reducen trminos semejantes: 5 40 x =-Se despeja la incgnita: La solucin es: 8 x = -Comprobacin:3(8) (8 2) 421 7 6 1 7 74 6 6+ = + = =

2.ECUACIONES CUADRTICAS O DE SEGUNDO GRADO Una ecuacin cuadrtica en la variable x es cualquier ecuacin que pueda escribirse en la forma: 20, ax bx c + + = dondeayb son constantes reales ya0 Ecuaciones completas: Cuando b0yc0, se resuelve por factorizacin o aplicando la frmula cuadrtica: La expresin 24 b ac , se llama discriminante de la ecuacin. El nmero de soluciones depende del signo de ste. Si24 0 b ac >la raz es un nmero real y se obtienen, por tanto, dos races reales distintas, x1x2 Si24 0 b ac =la raz es cero, luego, obtenemos dos races iguales, es decir, diremos que la raz es doble, x1=x2 Si 24 0 b ac < larazesunnmeroimaginarioocomplejo(noreal),porlo tanto,seobtienen dos races imaginarias Alassolucionesdeunaecuacincuadrticaselellamacomnmenteracesyrespectoalas constantes a, b, y c tienen las siguientes propiedades: - 1 2br ra+ = - 1 2cr ra- =Ecuaciones incompletas: Sib = 0c = 0. Se pueden resolver de forma sencilla sin utilizar la frmula anterior. Sib=0,sedespejalavariableytomandoracescuadradassiesposible20cax c xa + = = Sic=0,sesacafactorcomnlaincgnita ( )200 00xax bx x ax bbax b xa= + = + = `+ = = ) La grfica de la ecuacin cuadrtica es una curva llamada parbola Reglas para resolver ecuaciones de 2 grado 1.Silaecuacindesegundogradoescompleta,aplicarlafrmulaoporfactorizacinsies posible. 2.Si la ecuacin de segundo grado es incompleta, resolverla sin la frmula, sacando factor comn o despejando. 3.Si tiene una fisonoma complicada, arrglala: quita denominadores, suprime parntesis, agrupa trminos y psalos todos al primer miembro,...Slo cuando estsimplificada, aplica uno de los mtodos anteriores. 4.Compruebalassoluciones.Ysilaecuacinprovienedeunproblemaconenunciado,hazla comprobacinsobreelenunciado,puesesposiblequealgunadelassolucionescarezcade sentido real Ejemplo: Resolver:22 1 1 12 3 6x x x = 242b b acxa = Multiplicamos los dos miembros de la ecuacin por el m.c.m = 6 ( ) ( )2 23 2 1 2 1 1 6 3 2 2 1 x x x x x x = + = 26 2 0 x x = Primer mtodo: Aplicando la formula cuadrtica21 ( 1) 4(6)( 2)2(6)x = 8 212 36 112 21 1 48 1 712 12x= = + = = =Las soluciones son: 1 22 13 2x y x= = Segundo mtodo: Factorizando ( )( )22 16 2 0 6 4 6 3 03 2x x x x x x = + = = v = RESOLUCIN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES Plantear una ecuacin a partir de un problema es traducir al lenguaje algebraico las condiciones que ligan lo que se sabe con lo que se desea conocer. Conviene proceder de forma organizada, por lo que es til dar estos pasos: 1. Identificar los datos conocidos, lo que deseamos conocer y dar nombre a la incgnita. 2. Relacionar mediante una igualdad (ecuacin) lo conocido con lo desconocido. 3. Resolver la ecuacin 4. Comprobar e interpretar la solucin ajustndola al enunciado. En problemas verbales, aparecen un nmero de declaraciones que incluyen frases tales como alguna cantidad mayor que o menor que cierto valor multiplicado, digamos, dos veces o por la mitad de otra cantidad. A continuacin damos unos ejemplos de cmo cambiar tales expresiones a trminos algebraicos. Expresin verbalExpresin algebraica Dos nmeros cualesquieray x,El doble de un nmerox 2La suma del doble de un nmero con uno 1 2 + xUn nmero ms su consecutivo ) 1 ( + + x xEl triple de la suma de un nmero con 7 ) 7 ( 3 + xUn nmero disminuido en 9 9 xEl cuadrado de la diferencia de un nmero con 5 2) 5 ( x Un nmero par x 2Un nmero impar1 2 + xLa suma de tres nmeros impares consecutivos ) 5 2 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( + + + + + x x xLa mitad de un nmero menos 3 32 xLa semisuma de dos nmeros 2y x + Un nmero ms su tercera parte ms su quinta parte 5 3x xx + + Cudruple de la diferencia de un nmero y 2, aumentado en 66 ) 2 ( 4 + x El triple de un nmero menos su doble x x 2 3 Cinco veces la diferencia de un nmero con 7 es igual a cuatro veces la suma del mismo nmero con 3 ) 3 ( 4 ) 7 ( 5 + = x x Ejemplo: La base de un rectngulo mide el doble que su altura, si su permetro es 30 cm. cunto miden la basey la altura? Solucin 2x 1.xx 2x 2x 2.2 2 30 x x x x + ++ = 3. 306 30 56x x x = = =

Luego la altura mide 5 cm. y la base 10 cm. 4.comprobacin: 10 + 10 + 5 + 5 = 30 SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de ecuaciones consiste en varias ecuaciones dadas conjuntamente con el fin de determinar la solucin o soluciones comunes a todas ellas. Muchosproblemasdelavidarealnosobliganaresolversimultneamentevariasecuaciones linealesparahallarlassolucionescomunesatodasellas.Tambinresultanmuytilesen geometra(lasecuacioneslinealesseinterpretancomorectasyplanos,yresolverunsistema equivale a estudiar la posicin relativa de estas figuras geomtricas en el plano o en el espacio). Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de igualdades algebraicas en las que aparece una o varias incgnitas elevadas a la potencia uno. Cada una de estas ecuaciones lineales, o de primer grado, tiene la forma ax + by + cz + = k, donde a, b, c,..., son los coeficientes de la ecuacin; x, y, z,..., las incgnitas o variables, y k el trmino independiente (tambin un valor constante). Un sistema se caracteriza por su dimensin.La dimensin de un sistema se determina segn el nmero de ecuaciones y de variables involucradas en el sistema. Un sistema de dos ecuaciones en dos variables se dice que es de dimensin 2x2. Un sistema de dosecuacionesentresvariablessedicequeesdedimensin2x3.Unsistemadetres ecuaciones en tres variables se dice que es de dimensin 3x3. Los sistemas en los que el nmero de ecuaciones coincide con el de las incgnitas se denominan cuadrados. Un caso particularmente interesante de sistemas cuadrados es el de dos ecuaciones con dos incgnitas (2x2) Ejemplo 1 Dimensin 2x2; hay dos ecuaciones y dosvariables= = +8 y 2 x4 y x 2 Ejemplo 2 Dimensin 2x3; hay dos ecuaciones y tresvariables Ejemplo 3 Dimensin 3x3; hay tres ecuaciones y tresvariables TIPOS DE SISTEMAS LINEALESAtendiendo al nmero de soluciones de un sistema, estos pueden clasificarse en: 1.Si el sistema tiene solucin, y sta es nica, se denomina compatible determinado.Ejemplo:2 3 151x yx y+ = + =

2.Cuando presenta infinitas soluciones posibles, es compatible indeterminado.Ejemplo: 2 3 154 6 30x yx y+ = + = 3.Si no tiene solucin, es decir, al intentar resolverlo llegamos a una contradiccin, se denomina imposible o incompatible. Ejemplo: 2 3 152 3 1x yx y+ = + =

Dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones son equivalentes. En la nocin de equivalencia se basan las principales tcnicas algebraicas de resolucin de estos sistemas, que persiguen convertirlos en otros cuya resolucin sea ms sencilla y que se estudiarn a continuacin. MTODOS DE SOLUCION = = + +2 z y 2 x1 z y x = += + = + +1 c b 2 a10 c b a0 c b a 2 El estudio de sistemas de ecuaciones lineales es un problema clsico de las matemticas. Cuando se trata de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incgnitas, se aplican diversos mtodos de resolucin sencillos de tipo grfico y algebraico; si el nmero de ecuaciones es superior, es preferible recurrir al empleo de matrices y determinantes. 1.Mtodo grfico Enesteapartado vamosa tratarconecuacionescondosincgnitas.Porejemplo,2x-5y =7es una ecuacin con dos incgnitas. El par de valores x = 6, y = 1 es solucin de esta ecuacin porque 2 6 - 5 1 = 7. Llamamossolucindeunaecuacin condosincgnitasatodoparde valores ( ) , x y quehacen cierta la igualdad. Cabe destacar que si slo tenemos una ecuacin con dos incgnitas, tendremos infinitas soluciones.Las ecuaciones lineales se representan mediante rectas. Para obtener las soluciones de las incgnitas se despeja una de ellas y se le dan valores a la otra. Si representamos las dos ecuaciones que forman un sistema como dos rectas, se puede observar que el punto donde se cortan dichas rectas (si se cortan) es la solucin al sistema (el sistema seria compatible determinado). Ejemplo: = = +7 25y xy x

Despejandoy de las dos ecuaciones: 7 25 = =x yx y Tabla de la 1 Ecuacin Tabla de la 2 Ecuacin

Representacin grfica de ambas ecuaciones.

Aqu podemos observar cmo la solucin del sistema es x=4ey=1 Interpretacin geomtrica de las soluciones a.Sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas: Cada una de las ecuaciones del sistema determina una recta. Sielsistemaescompatibledeterminado,todaslasrectaspertenecientesalsistemase cortan en un nico punto. Si el sistema es compatible indeterminado, las rectas definidas en el sistema coinciden. Si el sistema es incompatible, las rectas no se cortan en un nico punto. O bien son paralelas obien,sienelsistemahaymsdedosecuaciones,lasrectassecortandosadosendistintos puntos. b.Sistema de ecuaciones lineales con tres incgnitas: Cada una de las ecuaciones del sistema determina un plano.Sielsistemaescompatibledeterminado,todoslosplanospertenecientesalsistemase cortan en un nico punto. Sielsistemaescompatibleindeterminado,losplanosdefinidosenelsistemasecortanen una recta (infinitos puntos). Si el sistema es incompatible, los planos no se cortan en un nico punto. O bien son paralelos obiensecortanenrectasdistintas formandounprismaobien,sienelsistemahay msde tres ecuaciones, los planos se cortan tres a tres en distintos puntos.

2.Mtodo algebraicoCmo podemos resolver de forma sencilla un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas? a.Mtodo de igualacinUna primera tcnica algebraica comn para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas es el mtodo de igualacin. Pasos Se despeja la misma incgnita en ambas ecuaciones. Se igualan las expresiones obtenidas. Se resuelve la ecuacin lineal que resulta. Sesustituyelasolucinobtenidaencualquieradelasexpresionesenlasqueapareca despejada laotra incgnita. Ejemplo: 2 33 5x yx y+ = + =

Despejando la misma variable de las dos ecuaciones)`+ = =352 3xyx y Igualndolas 352 3xx+ = Resolviendo y despejando la variable x9 - 6x = -5 + x -7x = -14x = 2 Reemplazando el valor de x en cualquiera de las otras dos ecuaciones, se tiene y = 3 - 2(2) = -1. La solucin es: x = 2, y = -1

b.Mtodo de sustitucinLa tcnica algebraica denominada mtodo de sustitucin, para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, consta de los siguientes pasos: Pasos Se despeja una de las incgnitas en una de las ecuaciones. Se sustituye el valor obtenido en la otra ecuacin. Se resuelve la ecuacin de primer grado con una incgnita que resulta. Sesustituyelasolucinobtenidaenlaexpresinenlaqueestabadespejadalaotra incgnita. Ejemplo Sea el mismo sistema anterior de ecuaciones 2 33 5x yx y+ = + = .Si se despejay de la primera ecuacin 3 2 y x = ,y se sustituye en la segunda ecuacin, se tiene que: ( ) 3 3 2 5 9 6 57 142x x x xxx + = + = = = Reemplazando este valor en la ecuacin despejada, y = 3 - 2(2) = -1 1 y = La solucin es: x = 2, y = -1 c.Mtodo de eliminacin o reduccinLa tercera tcnica algebraica de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, el mtodo de eliminacin, consta de los siguientes pasos: Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los nmeros que convengan para que una de las incgnitas tenga el mismo coeficiente en ambas. Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incgnita. Se resuelve la ecuacin con una incgnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda. Por ejemplo, para el mismo sistema de ecuaciones: 2 33 5x yx y+ = + = Conviene multiplicar la segunda ecuacin por 2 y la segunda se deja igual y restar ambas ecuaciones: 2 32 6 10x yx y+ = + =

7 71yy= = Reemplazando el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones, tenemos ( ) 2 1 3 2 4 2 x x x + = = =La solucin es: x = 2, y = -1 Nota 1: los tres mtodos, sustitucin, reduccin e igualacin, pueden ser usados para resolver cualquier sistema de ecuaciones. Sin embargo, dependiendo de las ecuaciones, nos interesar elegir un mtodo u otro, segn cul nos resulte ms sencillo de utilizar.Nota 2: cuando nos encontremos con que algunos de los coeficientes de las ecuaciones sean fraccionarios, es conveniente reducir las fracciones a comn denominador y eliminar denominadores antes de empezar a aplicar cualquiera de los tres mtodos. Nota 3: Para resolver sistemas de ecuaciones, lo primero que hay que hacer es transformar las dos ecuaciones hasta llegar a escribir ambas de la formaax + by = c RESOLUCIN DE PROBLEMASPara resolver problemas mediante el planteamiento de un sistema de ecuaciones lineales, se deben seguir varios pasos: 1. Plantear el problema, entendiendo su enunciado y convirtindolo en ecuaciones con coeficientes,constantes y variables o incgnitas.2. Analizar el tipo de sistema que se obtiene.3.Elegir un mtodo de resolucin (algebraico o grfico) y aplicarlo.4.Estudiar si las soluciones obtenidas son pertinentes en el contexto del problema.5.Comprobar las soluciones en las ecuaciones planteadas. PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES 1 Ejemplo: En un bar se venden bocadillos de jamn a 3,5 y de tortilla a 2 . En una maana se vendieron 52 bocadillos y se recaudaron 149 Cuntos se vendieron de cada clase? Llamamos: x= bocadillos vendidos de jamn. y= bocadillos vendidos de tortilla. Tenemos el sistema: 523.5 2 149x yx y+ = + = Multiplicando por -2 la primera ecuacin: 2 2 1043.5 2 149x yx y = + = Sumando: 2 Ejemplo: Mara ha comprado un abrigo que estaba rebajado un15 %. Marta ha comprado otro abrigo 25 ms caro, pero ha conseguido una rebaja del 20%, con lo que slo ha pagado 8 ms que Mara Cul era el precio de cada abrigo? Llamamos: x= precio inicial del abrigo de Mara y= precio inicial del abrigo de Marta. 15 208100 10025x yx yy x = = + Simplificando y ordenando: 100 15 100 20 80025x x y yx y = = 85 80 80025x yx y = + = Multiplicando por 85 la segunda ecuacin: 85 80 80085 85 2125x yx y = + = 3 Ejemplo: En una granja hay conejos y gallinas. Contamos en total 50 cabezas y 160 patas Cuntos animales hay de cada clase? Llamamos: x= n de gallinas. y= n de conejos 502 4 160x yx y+ = + = Multiplicando por-2 la primera ecuacin: 2 2 1002 4 160x yx y = + = Sumando: 2 6060302yy== = Reemplazando y: 5050 30 20x yx x+ == =

1.5 4545301.5xx== =

Reemplazando x: 5252 30 22y xy y= = = Es decir, se han vendido 30 bocadillos de jamn y 22 de tortilla. Veamos si la recaudacin coincide: ( ) ( ) 30 3.5 22 2 149 + = Sumando:

13255 1325 2655y y = = = Reemplazando y: 25 265 25 240 x y x = = =Es decir, el abrigo de mara vala 240 y el de Marta 265 .Comprobemos: Si al de Mara le descontamos el 15 % nos queda:

( ) 240 15240 204100 = Y al de Marta le descontamos el 20%

( ) 265 20265 212100 =Y, efectivamente Marta ha pagado 8 ms. Es decir, hay 20 gallinas y 30 conejos. Veamos si coinciden las patas: ( ) ( ) 20 2 30 4 40 120 160 + = + =