Recopilacion Apuntes Que Tratan Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Apuntes de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 3
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8/16/2019 Apuntes de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 3
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Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas62
UNIDAD 3
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE n-ESIMO
ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES
INTRODUCCIÓN
3.1
Solución de la Ecuaciones Diferenciales Homogéneas conCoeficientes Constantes
3.2
Solución de la Ecuaciones Diferenciales No Homogéneascon Coeficientes Constantes
3.2.1 Método de los Coeficientes Indeterminados3.2.2 Método de Variación de Parámetros
3.3 Aplicaciones
3.3.1 Circuito Eléctrico RLC Serie
3.3.2 Sistemas Masa-Resorte
3.4 Sección de Problemas
3.4.1 Auto Evaluación
3.4.2 Solución de la Auto Evaluación
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Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
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Objetivos particulares de la unidad.- El alumno resolverá Ecuaciones Diferenciales de n-
ésimo Orden por diversos métodos.
INTRODUCCIÓN
En el presente capítulo se estudiarán los métodos de solución para las Ecuaciones
Diferenciales de n-ésimo orden, primordialmente enfocados a las de segundo orden. Seinicia por la solución de ecuaciones diferenciales (Homogéneas y No Homogéneas) de
Coeficientes Constantes. Posteriormente, para las ecuaciones diferenciales no homogéneas,se emplean los métodos de solución por variación de Parámetros y por Coeficientes
Indeterminados; finalmente se aplican estos métodos de solución a problemas de circuitoseléctricos de tipo RLC (resistencia-inductancia-capacitancia) conectados en serie a una
fuente de alimentación de corriente alterna o corriente directa. También, al igual que en las
unidades anteriores, se incluyen problemas resueltos en forma detallada y una autoevaluación que consiste en una serie de problemas con su respectiva solución.
3.1
Solución de la Ecuaciones Diferenciales Homogéneas conCoeficientes Constantes
Una ecuación diferencial de la forma
)(... 012
2
21
1
1 x f ya
dx
dya
dx
yd a
dx
yd a
dx
yd a
n
n
nn
n
n
Donde los coeficientes 0121 ,,,...,, aaaaa nn son todos constantes y por lo menos uno de
ellos diferente de cero, se clasifica como una ecuación diferencial de coeficientes
constantes; además, si 0)( x f se trata de una ecuación diferencial homogénea, en caso
contrario se clasifica como no homogénea. Si 0)(2 x f yn se tiene una ecuación
diferencial de segundo orden con coeficientes constantes homogénea. Para este caso:
0012
2
2 yadx
dya
dx
yd a
Al multiplicarla por 1/a2 se obtiene la ecuación diferencial equivalente
02
2
ydx
dy
dx
yd (1)
Donde2
1
a
a y
2
0
a
a
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Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
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Ejemplo. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales de acuerdo a
a) sus coeficientes (constantes o variables)
b) homogéneas o no homogéneasc) su orden (primer orden, segundo orden, tercer orden, etc.)
1. 1034 y y y 2. 0 y y 3. 023 y x y
4. 22 844 x y y x y x
5. xy y y iv 3105
Para el problema 1 se tiene que todos los coeficientes (los términos que multiplican a la
variable dependiente y sus derivadas) son constantes, por lo que se clasifica como ecuacióndiferencial de coeficientes constantes; debido a que se encuentra igualada a una expresión
diferente de cero, se trata de una ED no homogénea. Finalmente, se tiene una ED desegundo orden.
Para el problema 2 los coeficientes, al igual que el ejemplo anterior son todos ellos
constantes; Como 0)( x f , la ED es homogénea. De acuerdo a la mayor derivada que
involucra la ED, ésta es de tercer orden.
Para el problema 3 el coeficiente que afecta a la primera derivada no es constante, por lo
tanto es una ED de coeficientes variables; Aparentemente se tiene una ED homogénea, sin
embrago debe notarse que el termino 2 no está multiplicando a la variable dependiente o aalguna de sus derivadas, por lo tanto deberá escribirse al lado derecho de la igualdad y setrata de una ED no Homogénea; ED de segundo orden.
Para el problema 4 por lo menos uno de los coeficientes no es constante, en este caso sondos, el que multiplica a la segunda derivada y el que corresponde a la primera derivada por
lo que se trata de una ED de coeficientes variables; Nótese que el término 8 x2 no afecta a lavariable dependiente ni a ninguna de sus derivadas por lo que es correcto que se represente
al lado derecho de la igualdad y con esto, la ED es no homogénea; La ED es de segundoorden.
Para el problema 5 todos los coeficientes son constantes excepto el que multiplica a y (el
término al lado derecho de la igualdad que en realidad se debe representar del lado
contrario) se tiene una ED de coeficientes variables; La ED es no homogénea debido a queal lado izquierdo de la igualdad hay un término que no está multiplicando a la variable
dependiente o a alguna de sus derivadas y por lo tanto debe escribirse al lado derecho con
lo que la función )( x f es diferente de cero; la ED es de cuarto orden.
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La solución de la ecuación diferencial (1) es una función y que cumpla con la igualdad que
se indica. Si se supone que la solución tiene la forma rxce y (c es cualquier constante, se
considerará como caso particular c = 1) entonces, para determinar el valor de la constante rse procede a sustituir en la ecuación diferencial, con lo que se obtiene:
0)()()(2
2 rxrxrx
edxed
dxed
Desarrollando las derivadas
02 rxrxrx ereer
Factorizando el término r 2
0)( 2 r r erx
Por lo que:
02 r r (2)
Otra forma de encontrar la ecuación característica es mediante la siguiente sustitución:
nn r y
r y
r y
y
2
1
Es una ecuación de segundo grado, se le conoce como ecuación característica, ecuaciónauxiliar o también como polinomio característica de la ED; para su solución se puede
aplicar factorización o la fórmula general, para lo cual cba ,,1 . De acuerdo a
esto se tiene que:
2
42
2,1
r
Al realizar las operaciones aritméticas al interior de la raíz se tienen tres posibles casos:
Caso I: Las raíces son reales y diferentes ( 042 )
Caso II: Las raíces son reales e iguales ( 042 )
Caso III: Las raíces son complejas y conjugadas ( 042 )
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Caso I: 042 por lo que las raíces2
42
1
r y
2
42
2
r
son reales y diferentes. Al existir dos valores para r se tienen las soluciones:
xr e y 1
1 y xr e y 2
2
O de manera más general, para cualquier constante c
xr ec y 1
11 y xr
ec y 2
22
De acuerdo al Principio de Superposición:
xr xr
h ecec y 21
21
Caso II: 04
2
por lo que las raíces 21
r y 22
r son reales e iguales. Al seriguales las raíces, se tiene una solamente una solución y se puede, a partir de esta,determinar una segunda solución para la ED, con lo cual se determina que las soluciones
son:
rxe y 1 y rx xe y 2
O de manera más general, para cualquier constante c
rxec y 11 y rx xec y 22
De acuerdo al Principio de Superposición:
21 y y yh
Y la solución de la ED homogénea:
rxrx
h xecec y 21
O también
x x
h xecec y 22
21
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Caso III: 042 por lo que las raíces2
42
1
r y
2
42
2
r
son complejas y conjugadas. Las raíces al ser complejas poseen parte real y parte
imaginaria y se pueden representar como:
biar 1
biar 2
Donde:
2
a
2
42 b
Las soluciones son:
xr e y 1
1 y xr
e y 2
2
O de manera más general, para cualquier constante c
xr ec y 1
11 y xr
ec y 2
22
De acuerdo al Principio de Superposición:
xr xr
h ecec y 21
21
De esta última solución al sustituir r 1 y r 2 se tiene:
xbia xbia
h ecec y )(
2
)(
1
Eliminando los paréntesis
bxiaxbxiaxh ecec y
21
Aplicando propiedades de la función exponencial
bxiaxbxiax
h eeceec y 21
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Por la fórmula de Euler
isenbxbxe bxi cos
Sustituyendo en la solución homogénea
)(cos)(cos 21 isenbxbxecisenbxbxec y axaxh
Desarrollando
isenbxecbxecisenbxecbxec y axaxaxax
h 2211 coscos
Agrupando parte real y parte imaginaria
senbxeccibxecc y axax
h )(cos)( 2121
Si211
ccC y Si )(212
cciC , se llega a la solución equivalente
senbxeC bxeC y axax
h 21 cos
Finalmente, factorizando la función exponencial
senbxC bxC e y ax
h 21 cos
Es la solución de la ED para el caso III, no olvidar que
2
a
2
42 b
Ejemplo. En los problemas 1 – 5 determine la solución de cada una de las ecuacionesdiferenciales que se indican.
1. 1034 y y y ; sujeta a las condiciones 1)0(,2)0( y y
2. 09 y y ; sujeta a la condición inicial 2)( y , 1)0( y
3. 023 y y
4. 044 y y y ; sujeta a la condición inicial 1)0( y , 4)0( y
5. 02 y y
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1. 034 y y y ; sujeta a las
condiciones 1)0(,2)0( y y
Se obtiene la ecuación característica
sustituyendo
2
1
r y
r y
y
0342 r r
0)1)(3( r r
Los valores que cumplen con la
afirmación anterior (se puede factorizarde manera inmediata o en su caso aplicar
la formula general) son
31 r
12 r
De acuerdo a las raíces obtenidas la
solución corresponde al caso 1: Raícesreales y distintas. Por lo tanto la soluciónhomogénea o complementaria se expresa
de la forma
xr xr
h ecec y 21
21
x x
h ecec y 2
3
1
Para comprobar la solución simplementese sustituye ésta en la ED y se debe de
cumplir la igualdad.
De acuerdo a la primer condición inicialse tiene que y = 2 cuando x = 0;
sustituyendo en la solución
)0(
2
)0(3
12 ecec
212 cc
221 cc (1)
La segunda condición indica que 1 y
cuando x = 0. Para aplicar estas
condiciones se requiere la derivada de lasolución; así, ésta derivada es
x x
h ecec y 2
3
13
Sustituyendo las condiciones
)0(
2
)0(3
131 ecec
2131 cc
13 21 cc (2)
Por lo tanto se tiene un sistema de 2
ecuaciones con dos incógnitas
221 cc (1)
13 21 cc (2)
La solución se puede obtener por diversosmétodos como determinantes, suma y
resta, sustitución, entre otros, los valores para c1 y c2 son
23
1c
27
2 c
Por lo tanto la solución de la ED sujeta a
las condiciones indicadas es
x x
h ee y2
7
2
3 3
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2. 09 y y ; sujeta a la condición
inicial 2)( y , 1)0( y
Ecuación característica
092 r
Resolviendo se obtiene
iir 3031 y iir 3032
De acuerdo a las raíces obtenidas la
solución corresponde al caso 3: Raícescomplejas y conjugadas. Por lo tanto la
solución homogénea tiene la forma
senbxC bxC e y axh 21 cos
x senC xC e y x
h 33cos 21
)0(
x senC xC yh 33cos 21
Aplicando la p condición 2 y , 0 x
)0(3)0(3cos2 21 senC C
12 C
Para determinar al valor de la otra
constante se sustituye la segunda
condición 1 y , 0 x ; para esto se
obtiene la derivada de la solución
xC x senC y 3cos333 21
)0(3cos3)0(331 21 C senC
3131 22 C C
Sustituyendo la solución es
x sen x yh 33
13cos2
3. 023 y y
Se obtiene la ecuación característica
sustituyendo
2
1
r y
r y y
Por lo tanto
0232 r r
Ya que no es posible factorizar de forma
directa se resuelve aplicando la formula
general y se llega a
2
1731
r
2
1732
r
Con lo cual las raíces que se obtienen
corresponden al caso I: Raíces reales ydiferentes. La solución para este caso se
expresa de la forma:
xr xr
h ecec y 21
21
Sustituyendo los valores de las raíces
x x
h ecec y
2
173
2
2
173
1
O también
x x
h ecec y 562.3
2
562.0
1
No se determinan los valores para lasconstantes, ya que este problema carece
de condiciones iniciales.
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4. 044 y y y ; sujeta a la condición
inicial 1)0( y , 4)0( y
Ecuación característica
0442 r r
221 r r
Se tiene el caso II: Raíces reales e iguales.
La solución es de la forma
rxrx
h xecec y 21
x x
h xecec y 2
2
2
1
Para determinar el valor de las constantes,
se aplica la primera condición 1 y ,
0 x )0(2
2
)0(2
1 )0(1 ecec
11 c
Para determinar el valor de la otra
constante, se aplica la segunda condición
4 y , 2 x . Para esto se deriva lasolución
)2(2 22
2
2
1
x x x
h e xecec y
Sustituyendo las condiciones iniciales
])0(2[24 )0(2)0(2
2
)0(2
1
eecec
]10[24 21 cc
624 212 ccc
Sustituyendo se llega a la solución
x x
h xee y 22 6
5. 02 y y
Se obtiene la ecuación característica
sustituyendo
2
1
r y
r y y
Por lo tanto
022 r r
Ya que no es posible factorizar de forma
directa se resuelve aplicando la formula
general y se llega a
ii
r 2
7
2
1
2
711
ii
r 2
7
2
1
2
712
Con lo cual las raíces que se obtienen
corresponden al caso I: Raíces reales ydiferentes. La solución para este caso se
expresa de la forma:
senbxC bxC e y ax
h 21 cos
x senC xC e y x
h2
7
2
7cos 21
2
1
No se determinan los valores para las
constantes, ya que este problema carecede condiciones iniciales.
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3.2
Solución de la Ecuaciones Diferenciales No Homogéneascon Coeficientes Constantes
De acuerdo a la sección anterior, una ecuación diferencial de la forma
)(... 012
2
21
1
1 x f yadx
dya
dx
yd a
dx
yd a
dx
yd a
n
n
nn
n
n
Donde los coeficientes 0121 ,,,...,, aaaaa nn son todos constantes y por lo menos uno de
ellos diferente de cero, se clasifica como una ecuación diferencial de coeficientes
constantes; además, si 0)( x f se trata de una ecuación diferencial no homogénea. Si
0)(2 x f yn se tiene una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes
constantes no homogénea. Para este caso:
)(012
2
2 x f yadx
dya
dx
yd a
Al multiplicarla por 1/a2 se obtiene la ecuación diferencial equivalente
)(2
2
x f ydx
dy
dx
yd (1)
Donde
2
1
a
a y
2
0
a
a
La solución general de (1) es la suma de dos soluciones: solución homogénea )( h y y
solución particular )( p y , es decir
ph g y y y
La solución homogénea se obtiene haciendo 0)( x f (ver sección anterior). Para la
solución particular existen dos métodos de solución:
1)
Coeficientes Indeterminados y,2) Variación de Parámetros
El primero de ellos es muy limitado. Sólo se puede aplicar para ciertas funciones, mientrasque el segundo es más general aunque más laborioso que el primero. El primero de ellos se
resuelve aplicando un poco de álgebra, mientras que en el segundo se involucrandeterminantes, derivadas, integrales y un poco más de procedimiento algebraico.
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3.2.1 Método de los Coeficientes Indeterminados
Este método consiste en proponer una solución particular y p de acuerdo a la forma quetenga la función f(x) de la ecuación diferencial. Es importante indicar que aplica sólo aplica
para funciones polinomiales de grado n, exponenciales, seno y coseno, así comocombinaciones de las anteriores a través de las operaciones suma, diferencia, producto y
cociente siempre y cuando el divisor sea una función exponencial. En la siguiente tabla semuestran algunas posibles expresiones para f(x) y la solución particular que se debe
proponer para y p.
)( x f p y
2 A
14 x Bx A
92 x 2Cx Bx A
xe 43 x Ae 4
xe4 x Ae4
x sen25 x B x Asen 2cos2
x2cos3 x B x Asen 2cos2
x xe52 xe Bx A 5)(
xe x 52 )1( xecx Bx A 52 )(
senx x )4( x DxC senx Bx A cos)()(
senxe x )cos( x B Asenxe x
senxe x )cos xC Bsenx Ae x
xe x sen x 32 325 xGe x F x DsenCx Bx A 32 2cos2
x sen x 23cos5
x D xCsen x B x Asen 2cos23cos3
xe5 x Be A
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Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas74
En la primera fila se observa que la función es una constante, por lo que la solución
particular que se propone es un polinomio de grado cero; hay que recordar que un polinomio de grado n se puede representar de la forma:
n
n
n
n
n
n x A x A x A x A x A A
1
1
2
2
2
210 ...
Por lo tanto un polinomio de grado cero es una constante que se puede representar porcualquier letra. En los renglones 2 y 3 son casos similares; son polinomios de primero y
segundo grado respectivamente.
Para la función del siguiente renglón se tiene una constante por una función exponencial, ovisto de otro modo un polinomio de grado 0 por la exponencial; por lo tanto la solución
particular que se propone tiene la forma de un polinomio de grado cero (una constante) porla función exponencial.
En las filas 8 y 9 tenemos que f(x) es el producto de dos funciones; para el renglón 8 una
función cuadrática y una exponencial, por lo tanto la solución que se propone tiene la formade un polinomio de segundo grado por una función exponencial. Para el renglón 9 debe de
ser obvio porque la solución particular se representa como el producto de un polinomio de primer grado y una función exponencial.
Cabe mencionar que si la función tiene está representada por la función seno o coseno, la
solución particular tiene la forma de una suma de una constante por la función seno y unaconstante diferente por la función coseno. Todos los demás ejemplos que se muestran son
combinaciones de los anteriores.
Una vez que se propone la solución particular, se procede a sustituirla en la ecuación
diferencial no homogénea para calcular los coeficientes de la solución propuesta.Finalmente, la solución de la ecuación diferencial no homogénea es la suma de lassoluciones homogénea y particular.
En los problemas 6 – 10 determine la solución de la ecuación diferencial de coeficientesconstantes no homogénea que se indica, por el método de CoeficientesIndeterminados.
6. xe y y y 726
7. 2565 x y y y ; con 1)0(,2)0( y y
8. x y y 4cos4
9. 104 y y ; con 4)0(,1)0( y y
10. xe y y y 6367
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Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas75
6. xe y y y 726
Para determinar la solución homogénea,se iguala a cero la ecuación diferencial
06 y y y
Se obtiene la ecuación característica
sustituyendo
2
1
r y
r y
y
Por lo tanto
062 r r
0)2)(3( r r
2,3 21 r r
La solución que se obtiene corresponde al
caso I: Raíces reales y diferentes
x x
h ecec y
2
2
3
1
(1)
Para determinar la solución particular ésta
se debe de proponer de acuerdo a la
forma que tenga )( x f ; ya que )( x f tiene
la forma de un polinomio de grado cero(una constante) por una función
exponencial, se propone la solución particular
x
p Ae y 7 (2)
Por lo tanto la solución general de la ED
no homogénea es la suma de (1) y (2)
ph g y y y
x x x
g Aeecec y 72
2
3
1 (3)
Para determinar el coeficiente A la
solución particular se sustituye en la EDno homogénea
xe y y y 726 (4)
Si
x
p Ae y 7 , entonces
x
p Ae y 77
x
p Ae y 749
Sustituyendo en (4)
x x x x e Ae Ae Ae 7777 26749
Sumando término semejantes
x x e Ae 77 236
Para que la igualdad se cumpla serequiere que el coeficiente de la función
exponencial del lado izquierdo seaidéntico al coeficiente del lado derecho de
la ecuación; con esto, se llega a laecuación
236 A
Por lo tanto
18
1 A
Sustituyendo este valor en (3)
x x x
g eecec y 72
2
3
118
1
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7. 2565 x y y y ; con ,2)0( y
1)0( y
Primero, se identifica 25)( x x f ; si se
hace 0)( x f se tiene una ED
homogénea
065 y y y
Resolviendo (ver sección anterior) se
obtiene la solución homogénea:
x x
h ecec y 2
6
1 (1)
Para determinar la solución particular ésta
se debe de proponer de acuerdo a laforma que tenga )( x f ; ya que )( x f tiene
la forma de un polinomio de segundogrado, se propone la solución particular
2Cx Bx A y p (2)
Por lo tanto la solución general de la ED
no homogénea es la suma de (1) y (2)
ph g y y y
2
2
6
1 Cx Bx Aecec y x x
g (3)
Para determinar los coeficientes A, B y C
la solución particular se sustituye en laED no homogénea
2565 x y y y (4)
Si
2Cx Bx A y p , entonces
Cx B y p 2
C y p 2
Sustituyendo en (4)
22 5)(6)2(52 xCx Bx ACx BC
Eliminando paréntesis y factorizando los
términos que multiplican a x
2
, x y x
0
sellega a
22 5)652()610(6 x A BC x BC Cx
Para que la igualdad se cumpla serequiere que los coeficientes de x2, x y x0
del lado izquierdo sean idénticos a los dellado derecho de la ecuación; con esto, se
llega al siguiente sistema de ecuaciones
16 C
0610 BC
5652 A BC
Resolviendo se tiene
6
1,
18
5,
108
59
C B A
Sustituyendo los valores en (3)
2
2
6
16
1
18
5
108
59 x xecec y x x
g
Para conocer los valores de las constantesc1 y c2 se sustituye y = 2, x = 0 en la
expresión anterior
2)0(
2
)0(6
1 )0(6
1)0(
18
5
108
592 ecec
Se tiene
108
592 21 cc
8/16/2019 Apuntes de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 3
http://slidepdf.com/reader/full/apuntes-de-ecuaciones-diferenciales-unidad-3 16/43
Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas77
Es decir,
108
27521 cc
Para obtener una segunda ecuación, y asíun sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas, se procede a aplicar la otracondición inicial, para esto se deriva la
solución y g y se sustituye 1 y , x = 0
xecec y x x
g 6
2
18
56 2
6
1
)0(6
2
18
561 )0(
2
)0(6
1 ecec
18
561 21 cc
18
136 21 cc
La solución para las constantes es
756
1971 c
7
162 c
Por lo que la solución queda expresadacomo
26
6
1
18
5
108
59
7
16
756
197 x xee y x x
g
8. x y y 4cos4
Para determinar la solución homogénea,
se iguala a cero la ecuación diferencial
04 y y
Se obtiene la ecuación característicasustituyendo
2
1
r y
r y
y
Por lo tanto
042 r
Factorizando
0)2)(2( r r
Por lo tanto los valores de las raíces son
2,2 21 r r
La solución que se obtiene corresponde alcaso I: Raíces reales y diferentes
x x
h ecec y 2
2
2
1
(1)
Para determinar la solución particular éstase debe de proponer de acuerdo a la
forma que tenga )( x f ; ya que )( x f es
una función cosenoidal de argumento 4 x,
se propone la solución particular
x B x Asen y p 4cos4 (2)
Por lo tanto la solución general de la EDno homogénea es la suma de (1) y (2)
ph g y y y
8/16/2019 Apuntes de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 3
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8/16/2019 Apuntes de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 3
http://slidepdf.com/reader/full/apuntes-de-ecuaciones-diferenciales-unidad-3 18/43
Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas79
A x senC xC y g 22cos 21 (3)
Para calcular el valor del coeficiente A sesustituye la solución particular en la
ecuación diferencial no homogénea
Si
A y p , entonces
0 p y
0 p y
Sustituyendo en
104 y y
1040 A
Despejando el valor del coeficiente
2
5
4
10 A
Sustituyendo en (3)
2
522cos 21 x senC xC y g (4)
Ahora se aplica la primera condicióninicial para calcular los valores de las
constantes involucradas en la solucióngeneral. La primera condición indica que
1 y y 0 x , de acuerdo a lo anterior
se obtiene
2
522cos 21 x senC xC y g
2
5)0(2)0(2cos1 21 senC C
2
51 1 C
2
71 C
Ahora se deriva la solución general y se
sustituyen los valores de la segunda
condición 4 y , 0 x
xC x senC y g 2cos222 21
)0(2cos2)0(224 21 C senC
224 C
22 C
Sustituyendo los valores de las constantes
en (4)
2
5222cos
2
7 x sen x y g
8/16/2019 Apuntes de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 3
http://slidepdf.com/reader/full/apuntes-de-ecuaciones-diferenciales-unidad-3 19/43
Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas80
10. xe y y y 6367
Para determinar la solución homogénea,se iguala a cero la ecuación diferencial,
obteniendo así una ED homogénea
067 y y y
Se obtiene la ecuación característicasustituyendo
0672 r r
1,6 21 r r
De acuerdo a la solución que se obtienelas raíces corresponden al caso I: Raícesreales y diferentes
x x
h ecec y 2
6
1 (1)
La solución particular que se propone es
x
p Ae y 6 (2)
Por lo tanto la solución general de la ED
no homogénea es la suma de (1) y (2)
ph g y y y
x x x
g Aeecec y 6
2
6
1
(3)
Procediendo de manera similar a losejemplos anteriores para determinar el
valor del coeficiente A
Si
x
p Ae y 6 , entonces
x
p Ae y 66
x
p Ae y 636
Sustituyendo en la ED no homogénea se
llega a una inconsistencia
xe 630
La situación que se presenta es que lasolución que se propuso para p y ya
existe como solución de la ED
homogénea; para evitar laindeterminación la solución que se
proponga se multiplica por la variableindependiente, en este caso x, quedando
x
p Axe y 6 , por lo tanto la solución
general será
x x x
g Axeecec y
6
2
6
1
(4)
Si x
p Axe y 6 , entonces
x x
p Ae Axe y 666
x x
p Ae Axe y 66
1236
Sustituyendo en la ED no homogénea
xe y y y 6367
)6(71236 6666 x x x x Ae Axe Ae Axe x x e Axe 66 3)(6
Multiplicando para eliminar paréntesis y
sumando términos semejantes
5
335 66 Ae Ae x x
Sustituyendo en (4)
x x x
g xeecec y 6
2
6
15
3
8/16/2019 Apuntes de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 3
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Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas81
3.2.2 Método de Variación de Parámetros
Este método, al igual que el de coeficientes indeterminados, se emplea para hallar lasolución particular cuando se tiene una ecuación diferencial homogénea. A partir de la ED
de 2º orden lineal no homogénea y de coeficientes constantes, es decir
)( x f y y y (1)
Se propone la solución particular
2211 yv yv y p
Donde 1 y y 2 y son soluciones de la ecuación diferencial homogénea
0 y y y (2)
Si
2211 yv yv y p , entonces,
22221111 yv yv yv yv y p
Haciendo
02211 yv yv (A)
Se tiene una primera ecuación, por lo tanto
2211 yv yv y p
22221111 yv yv yv yv y p
Sustituyendo p y , p y y p y en (1)
)()()()(22112222111122221111
x f yv yv yv yv yv yv yv yv yv yv
Multiplicando para eliminar los paréntesis
)(22112222111122221111 x f yv yv yv yv yv yv yv yv yv yv
8/16/2019 Apuntes de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 3
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Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas82
Factorizando 1v y2v , se obtiene
)(][][ 221122221111 x f yv yv y y yv y y yv
Debido a que 1 y y 2 y son soluciones de la ecuación diferencial homogénea se tiene que
0111 y y y
Y
0222 y y y
Por lo tanto
)(2211 x f yv yv (B)
Se llega a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
02211 yv yv (A)
)(2211 x f yv yv (B)
Resolviendo por determinantes
21
21
2
2
1
)(0
y y
y y
y x f y
v
dx
y y
y y
y x f y
v
21
21
2
2
1
)(0
21
21
1
1
2
)(
0
y y
y y
x f y
y
v
dx
y y
y y
x f y
y
v
21
21
1
1
2
)(
0
Y la solución particular
2211 yv yv y p
El determinante del divisor se le llama wronskiano del sistema y se representa como
),( 21 y yw
8/16/2019 Apuntes de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 3
http://slidepdf.com/reader/full/apuntes-de-ecuaciones-diferenciales-unidad-3 22/43
Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas83
En los problemas 11-15 resuelva la ecuación diferencial de coeficientes constantes nohomogénea empleando el método de Variación de Parámetros.
11. 12107 x y y y
Primero se determina la solución de la EDhomogénea, haciendo 0)( x f
0107 y y y
La ecuación característica es
01072 r r
Esto implica que
5,2 21 r r
Las raíces son reales y diferentes, por lo
tanto la solución homogénea es
x x
h ecec y 5
2
2
1
(1)
Donde
x x e ye y 5
2
2
1 ,
Ahora, se procede a resolver la solución
particular; primeramente el Wronskianodel sistema está dado por
21
21
21 ),( y y
y y y yw
x x
x x
ee
ee y yw
52
52
21
52
),(
x x ee y yw 77
21 25),(
xe y yw 7
21 3),(
Como el Wronskiano es diferente de cero,implica que el sistema es linealmente
independiente
Resolviendo para v1
x
x
x
e
e x
e
xv7
5
5
13
5)12(
0
)('
x
x
e
e x xv
7
5
13
)12()('
xe x xv 2
1 )12(3
1)('
dxe x xv x2
1 )12(3
1)(
x xe xv 2
13
1)(
Resolviendo para v2
x
x
x
e
xe
e
xv7
2
2
23
)12(2
0
)('
x
x
e
e x xv
7
2
23
)12()('
xe x xv 5
2 )12(
3
1)('
dxe x xv x5
2 )12(3
1)(
5
32
15)(
5
2 xe
xv x
8/16/2019 Apuntes de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 3
http://slidepdf.com/reader/full/apuntes-de-ecuaciones-diferenciales-unidad-3 23/43
Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas84
Sustituyendo los valores en y p resulta:
2211 yv yv y p
x x
x x
p e x
e
e xe y
55
22
5
3
215)(3
1
5
32
15
1
3
1 x x y p
Desarrollando
75
3
15
2
3
1 x x y p
Simplificando
75
3
5
1 x y p (2)
Finalmente, recordar que la solución de laecuación diferencial no homogénea es la
suma de (1) y (2)
ph g y y y
Es decir
75
3
5
15
2
2
1 xecec y x x
g
12. x sen y y 39
Primero se determina la solución de la ED
homogénea, haciendo 0)( x f
09 y y
La ecuación característica es
092 r
Esto implica que
ir ir 3,3 21
Las raíces son complejas y conjugadas,
por lo tanto la solución homogénea es
xC x senC yh 3cos3 21 (1)
Donde
x y x sen y 3cos,3 21
Ahora, se procede a resolver la solución
particular; primeramente el Wronskiano
del sistema está dado por
21
21
21 ),( y y
y y y yw
x sen x
x x sen y yw
333cos3
3cos3),( 21
x x sen y yw 3cos333),( 22
21
3),( 21 y yw
Como el Wronskiano es diferente de cero,
implica que el sistema es linealmenteindependiente
8/16/2019 Apuntes de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 3
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Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas85
Resolviendo para v1
3
333
3cos0
)('1
x sen x sen
x
xv
3
3cos3)('1
x x sen xv
x x sen xv 3cos33
1)('1
dx x x sen xv 3cos33
1)(1
x sen xv 3181)( 2
1
Resolviendo para v2
3
33cos3
03
)('2
x sen x
x sen
xv
3
3)('
2
2
x sen xv
x sen xv 33
1)(' 2
2
dx x sen xv 33
1)( 2
2
Empleando identidades trigonométricas
dx x xv
6cos21
21
31)(2
x sen x xv 612
1
2
1
3
1)(2
Sustituyendo los resultados en y p
2211 yv yv y p
x x sen x x xsen sen y p 3cos636
1
6
133
18
1 2
x x sen x x x sen y p 3cos636
13cos
6
13
18
1 3
Descomponiendo
x x sen x sen 3cos326
x x x sen x x x sen y p 3cos)3cos32(36
13cos
6
13
18
1 3
x x sen x x x sen y p 3cos3
18
13cos
6
13
18
1 23
Aplicando la identidad
x sen x 313cos 22
Simplificando
)31(3
18
13cos
6
13
18
1 23 x sen x sen x x x sen y p
x sen x sen x x x sen y p 318
13
18
13cos
6
13
18
1 33
x sen x x y p 318
13cos
6
1 (2)
Finalmente, recordar que la solución de laecuación diferencial no homogénea es la
suma de (1) y (2)
ph g y y y
Es decir
x x x sen xC x senC y g 3cos6
13
18
13cos3 21
8/16/2019 Apuntes de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 3
http://slidepdf.com/reader/full/apuntes-de-ecuaciones-diferenciales-unidad-3 25/43
Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas86
13. xe
y y y
1
123
Primero se determina la solución de la ED
homogénea, haciendo 0)( x f
023 y y y
La ecuación característica es
0232 r r
Esto implica que
1,2 21 r r
Las raíces son reales y diferentes, por lotanto la solución homogénea es
x x
h ecec y 2
2
1 (1)
Donde
x x e ye y 2
2
1 ,
Ahora, se procede a resolver la solución
particular; primeramente el Wronskianodel sistema está dado por
21
21
21 ),( y y
y y y yw
x x
x x
ee
ee y yw
2
2
212
),(
x x
ee y yw 33
21 2),(
xe y yw 3
21 ),(
Como el Wronskiano es diferente de cero,implica que el sistema es linealmente
independiente
Resolviendo para v1
x
x
x
x
e
ee
e
xv31
1
1
0
)('
x
x
x
e
e
e
xv31
1)('
)1()('
31 x x
x
ee
e xv
dxe
e xv
x
x
1)(
2
1
Realizando la división
dx
e
edxe xv
x
x x
1)(1
1ln)(1 x x ee xv
Resolviendo para v2
x
x
x
x
e
ee
e
xv3
2
2
2
1
12
0
)('
x
x
x
ee
e
xv 3
2
2 1)('
)1()('
3
2
2 x x
x
ee
e xv
8/16/2019 Apuntes de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 3
http://slidepdf.com/reader/full/apuntes-de-ecuaciones-diferenciales-unidad-3 26/43
Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas87
x
x
e
e xv
1
)('2
dxe
e
xv x
x
1)(2
xe xv 1ln)(2
Sustituyendo los resultados en y p
2211 yv yv y p (2)
x x x x x
p eeeee y )1(ln)1ln( 2
Finalmente, recordar que la solución de laecuación diferencial no homogénea es la
suma de (1) y (2)
ph g y y y
Donde
x x
h ecec y 2
2
1
x x x x x
p eeeee y )1(ln)1ln( 2
14. xe y y y x 2csc82 4
Primero se determina la solución de la ED
homogénea, haciendo 0)( x f
082 y y y
La ecuación característica es
0822 r r
Esto implica que
2,4 21 r r
Las raíces son reales y diferentes, por lotanto la solución homogénea es
x x
h ecec y 2
2
4
1
(1)
Donde
x x e ye y 2
2
4
1 ,
Ahora, se procede a resolver la solución particular; primeramente el Wronskiano
del sistema está dado por
21
21
21 ),( y y
y y y yw
x x
x x
ee
ee y yw
24
24
2124
),(
x x ee y yw 22
21 42),(
xe y yw 2
21 6),(
Como el Wronskiano es diferente de cero,implica que el sistema es linealmente
independiente
8/16/2019 Apuntes de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 3
http://slidepdf.com/reader/full/apuntes-de-ecuaciones-diferenciales-unidad-3 27/43
Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas88
Resolviendo para v1
x
x x
x
e
e xe
e
xv2
24
2
16
22csc
0
)('
x
x
e
xe xv
2
2
16
2csc)('
x xv 2csc6
1)('1
dx x xv 2csc6
1)(1
x x xv 2cot2cscln12
1)(1
Resolviendo para v2
x
x x
x
e
xee
e
xv2
44
4
26
2csc4
0
)('
x
x
e
xe xv 2
8
26
2csc)('
xcsxe xv x 26
1)(' 6
2
xdxe xv x 2csc6
1)( 6
2
Sustituyendo los resultados en y p
2211 yv yv y p (2)
x x x
g e xdxee x x y 264 2csc6
12cot2cscln
12
1
Finalmente, recordar que la solución de laecuación diferencial no homogénea es la
suma de (1) y (2)
15. x x ee y y y 43128
Para determinar la solución de la ED
homogénea, se hace 0)( x f
0128 y y y
Se obtiene la ecuación característicasustituyendo
2
1
r y
r y
y
Por lo tanto
01282 r r
Factorizando
0)6)(2( r r
Esto implica que
6,2 21 r r
Las raíces son reales y diferentes, por lotanto la solución homogénea es
x x
h ecec y 6
2
2
1 (1)
Donde
x x e ye y 6
2
2
1 ,
Ahora, se procede a resolver la solución
particular; primeramente el Wronskianodel sistema está dado por
21
21
21 ),( y y
y y y yw
8/16/2019 Apuntes de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 3
http://slidepdf.com/reader/full/apuntes-de-ecuaciones-diferenciales-unidad-3 28/43
Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas89
x x
x x
ee
ee y yw
62
62
2162
),(
x x ee y yw 88
21 26),(
xe y yw 8
21 4),(
Como el Wronskiano es diferente de cero,
implica que el sistema es linealmenteindependiente
Resolviendo para v1
x
x x x
x
e
eee
e
xv 8
64
6
14
63
0
)('
x
x x
e
ee xv
8
710
14
3)('
x x ee xv 4
1
4
3)(' 2
1
dxedxe xv x x
4
1
4
3)( 2
1
x x ee xv 4
1
8
3)( 2
1
Resolviendo para v2
x
x x x
x
e
eee
e
xv8
42
2
24
32
0
)('
x
x x
e
ee xv
8
36
24
3)('
x x ee xv 52
24
1
4
3)('
dxedxe xv x x 52
24
1
4
3)(
x x ee xv 52
220
1
8
3)(
Sustituyendo los resultados en y p
2211 yv yv y p
x x x x x x
p eeeeee y 65222
20
1
8
3
4
1
8
3
Simplificando
x x x x
p eeee y20
1
8
3
4
1
8
3 44
x x
p ee y20
4
8
6 4 (2)
Finalmente, recordar que la solución de laecuación diferencial no homogénea es la
suma de (1) y (2)
ph g y y y
Donde
x x
h ecec y 6
2
2
1
x x
p ee y5
1
4
3 4
8/16/2019 Apuntes de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 3
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Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas90
3.3
Aplicaciones
En esta sección se modelaran mediante ecuaciones diferenciales de coeficientes constantesno homogéneas de segundo grado, dos fenómenos físicos: el comportamiento de la
corriente y carga eléctrica en un circuito eléctrico RLC conectado en serie a una fuente dealimentación de voltaje y el movimiento de un cuerpo en un sistema masa-resorte. Para el
primer fenómeno se requiere conocer la ley de voltajes de Kircchoff y el comportamientodel voltaje en cada elemento pasivo. Para el segundo es necesario el conocimiento e
interpretación de la ley de Hooke y de la segunda ley de Newton.
3.3.1 Circuito Eléctrico RLC Serie
Suponga que se tiene un circuito eléctrico RLC conectado en serie a una fuente de
alimentación. Según la ley de voltajes de Kircchoff, la suma de las caídas de voltaje en un
circuito eléctrico conectado en serie es igual al voltaje que se aplica a dicho circuito, esdecir
F C R L V V V V (1)
Donde:
LV Es el voltaje o caída de tensión eléctrica en el elemento inductor
RV Es el voltaje o caída de tensión eléctrica en el elemento resistivo
C V Es el voltaje o caída de tensión eléctrica en el elemento capacitivo
F V Es el voltaje o tensión eléctrica suministrada por la fuente de alimentación
Además
dt
di LV L
RiV R
idt C
V C
1
dt
dqi
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Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas91
L, es la inductancia del elemento que se define como la capacidad de almacenar energía en
forma de campo magnético; se mide en Henrios (H)
R , es la resistencia eléctrica, que se define como la oposición de un elemento al paso de lacorriente eléctrica, se mide en ohms ( )
C, es la capacitancia, que se define como la capacidad de un elemento para almacenar
energía en forma de campo eléctrico, se mide en farads (F)
i , es la intensidad de corriente eléctrica, que se define como la variación de carga eléctrica
por unidad de tiempo, en amperes
q Es la carga eléctrica, en Coulombs (C)
La ecuación (1) de acuerdo a lo anterior, se puede expresar en función de la intensidad decorriente eléctrica como:
F V idt C
Ridt
di L
1
O en término de la carga eléctrica:
F V qC dt
dq R
dt
qd L
12
(2)
Esta última expresión es una ecuación diferencial de segundo grado no homogénea. Loscoeficientes, L, R y C, son constantes. El método de solución se estudió en la sección 3.2
del presente capítulo. Se obtiene una solución homogénea haciendo el valor de la fuente dealimentación igual con cero; posteriormente se determina la solución particular aplicando el
método de coeficientes determinados, o en su defecto, el método de variación de parámetros. La solución del problema será, en primera instancia, determinar la carga
eléctrica en función del tiempo, para, posteriormente, encontrar la intensidad de corrienteeléctrica que circula a través del circuito. Recuerde que la intensidad de corriente eléctrica
matemáticamente se represente como la derivada de la carga respecto del tiempo; por lotanto, una vez que se obtiene la ecuación de carga eléctrica, basta con derivar este resultado
para encontrar la corriente. Las condiciones iniciales son la corriente y la carga en t = 0;estas se obtienen cuando se hace conmutar un interruptor de una posición inicial a una
segunda posición.
8/16/2019 Apuntes de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 3
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Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas92
Problema 16. Determine la carga y la intensidad de corriente eléctrica que circula a través
de un circuito eléctrico conectado en serie a una fuente de alimentación de voltaje de 10volts. Los valores para los elementos pasivos son R = 10 Ω, L = 20 mH y C = 50 μF. La
corriente en t = 0 es de 1 Amper y la carga en el mismo instante de tiempo es de 2 μC.
Primero, se plantea la ley de voltajes deKircchoff
F C R L V V V V
Donde:
dt
di LV L
RiV R
idt C
V C
1
Por lo tanto se llega a
F V idt C
Ridt
di L
1
Si,
dt
dqi , entonces se tiene la ED de 2º
orden
F V qC dt
dq R
dt
qd L
12
Sustituyendo valores
101050
11002.0
6
2
q xdt
dq
dt
qd
O también
10101500 62
q xdt
dq
dt
qd
Para determinar la solución homogénea,se iguala a cero la ecuación diferencial,
obteniendo así una ED homogénea
0101500 6 q xqq
Se obtiene la ecuación característica
sustituyendo
2
1
r q
r q
q
Por lo tanto
0101500 62 xr r
ir 152502501
ir 152502502
De acuerdo a la solución que se obtiene
las raíces corresponden al caso III: Raícescomplejas y conjugadas
t senC t C eq t
h 1525015250cos 21
250
La solución particular que se propone es
Aq p (2)
Por lo tanto la solución general de la ED
no homogénea es la suma de (1) y (2)
ph g qqq (3)
At senC t C eq t
g 1525015250cos 21
250
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Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas93
Para determinar el valor de la constante
A, en este ejemplo, es posible emplear elmétodo de coeficientes indeterminados, el
cual es más sencillo de aplicar que elmétodo de variación de parámetros.
10101500 6 q xqq (4)
Si
A y p , entonces
0 p y
0 p y
Sustituyendo en (4)
10101)0(5000 6 A x
Despejando
0001.0101
106
x A
Sustituyendo en (3)
00001.01525015250cos 21
250 t senC t C eq t
g
Para determinar los valores de lasconstantes C 1 y C 2 (de la solución
general) se procede a sustituir lascondiciones iniciales. De acuerdo al
enunciado del problema se tiene que lacarga para un tiempo t = 0, es
C xq 6102 . Sustituyendo en la última
expresión
00001.000cos102 21
06 senC C e x
00001.0102 1
6 C x
000008.01 C
Para obtener la otra constante se aplica la
segunda condición inicial, la cual indicaque en t = 0, la intensidad de corriente es
de 1 Amper. Es decir 1)0( i , recordando
que la corriente es la derivada de la carga
por lo que 1)0( q y se necesita laderivada de la carga para poder aplicar la
condición establecida; derivando g q
t C t senC eq t
g 15250cos152501525015250 21
250
t senC t C e t 1525015250cos250 21
250
Sustituyendo t = 0 y 1q
0cos152500152501 21
0
C senC e
t senC C e 00cos250 21
0
Simplificando
12 250152501 C C
Por lo tanto
001031.02 C
Finalmente la solución que representa la
carga en el circuito en función del tiempo
t eq t 15250cos000008.0250
00001.015250001031.0 t sen
La función que representa la intensidad de
corriente eléctrica en función del tiempoes la derivada de la expresión anterior.
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Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas94
3.3.2 Sistemas Masa-Resorte
Suponga que se tiene un resorte conectado al techo de una estructura. El resorte posee unalongitud natural y se encuentra en reposo, es decir, no hay movimiento del mismo. Si en el
extremo inferior del resorte se agrega un peso w, el resorte sufrirá una elongación debido al peso que se le agregó; este estiramiento (o deformación) es directamente proporcional al
peso que se agrega, es decir
S F
O también
kS F
A la ecuación anterior se le conoce como ley de Hooke. F es el peso o fuerza que se agrega
al resorte y S es la elongación o deformación que sufre el resorte. Entre mayor peso se leagregue al resorte, éste sufrirá una elongación mayor. k es la constante de restitución del
resorte; es una característica implícita para cada resorte. Depende del material del resorte,grosor entre otros aspectos. En otras palabras, si se tienen diferentes tipos de resortes y a
cada uno de ellos se les agrega un objeto del mismo peso, no todos sufrirán la mismaelongación. Al agregarle el peso, las fuerzas actuantes en el sistema, son el peso y la fuerza
que se opone al peso; si el sistema continua en reposo se tiene
0 F w
0 kS mg (1)
Ahora suponga que el objeto se jala hacia abajo a una distancia y de la posición deequilibrio y enseguida se suelta, ocasionando con esto que el sistema rompa su equilibrio y
el resorte empiece a contraerse y a alongarse producto de lo anterior. Por lo tanto al estar enmovimiento se tendría
ma yS k w )(
Desarrollando
makykS w
De acuerdo a la ecuación (1) la última expresión se reduce a
maky
0 kyma
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Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas95
Escribiendo la aceleración como la segunda derivada de la posición respecto del tiempo
02
2
kydt
yd m
Dividiendo toda la expresión entre la masa
02
2
ym
k
dt
yd
Sim
k 2 , se tiene
02
2
2
ydt
yd
La ecuación anterior describe la posición del cuerpo, que se conectó al resorte, en funcióndel tiempo; se tiene una ecuación diferencial homogénea de segundo orden de coeficientes
constantes. Resolviendo
022 r
Implica que
ir ir 21 ,
Donde
m
k y se le conoce como frecuencia angular. Si se conoce la frecuencia angular es
posible determinar el período. Recuerde que el período de una función es el tiempo que
transcurre para que se complete un ciclo.
2T , además
T f 1
La solución corresponde al caso III: Raíces complejas y conjugadas, y la solución a la que
se llega
t senC t C t y 21 cos)(
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Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas96
Note que al graficar la solución, esta corresponde a un movimiento perpetuo. A este tipo de
movimiento se le conoce como Armónico Simple. Las condiciones iniciales para calcularlos valores de las constantes se determinan de acuerdo a la distancia por debajo de la
posición de equilibrio y a la velocidad del cuerpo cuando inicia el análisis.
Realizando un análisis de manera similar al anterior, considerando que ahora además del peso del cuerpo y la fuerza de restitución del resorte actúa una fuerza que rea liza la acción
de amortiguar el movimiento se tendría la ecuación diferencial
02
2
kydy
dyc
dt
yd m
Donde el segundo término es c veces la velocidad instantánea representando la fuerza
amortiguadora o retardadora que ocasionará que el movimiento se detenga, regresando alreposo. Dividiendo entre la masa
02
2
ym
k
dy
dy
m
c
dt
yd
O también
02 2
2
2
ydy
dy
dt
yd
A este tipo de movimiento se le conoce como Libre Amortiguado y de acuerdo al valor delas raíces de la ecuación característica se clasifica como amortiguado, críticamente
amortiguado y subamortiguado.
Un tercer tipo de movimiento que se abordará es el Movimiento Forzado. Para este caso se
tiene un sistema masa resorte conectado a una fuerza externa que actuará sobre el mismo entodo momento. La ED que lo describe
)(2 2
2
2
t F ydy
dy
dt
yd
Donde
m
t f t F
)()(
)(t f Es la fuerza externa que actúa sobre el sistema
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Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas97
Problema 17. Se tiene un resorte al que se le agrega un peso de 30 N. Debido a éste peso el
resorte sufre una deformación de 20 cm. Una vez en equilibrio, el resorte se estira 10 cm. por debajo de su posición de equilibrio y su suelta ocasionando que el cuerpo se ponga en
movimiento. Determine la ecuación que describe el movimiento del cuerpo en cualquierinstante así como su frecuencia y su período.
Primero se plantea la ED de acuerdo alenunciado del problema
02
2
ym
k
dt
yd
Sim
k 2 , se tiene
02
2
2
ydt
yd
La constante de restitución del resorte (k )se obtiene con la ley de Hooke
kS F
F es la fuerza o peso que se aplica al
resorte y S es la elongación odeformación que sufre el resorte debido a
ese peso, entonces
)20.0(30 k
Despejando
150k
Y la masa
g wm
81.9
30m
06.3m
La ED diferencial a resolver es
006.3
1502
2
ydt
yd
002.492
2
ydt
yd
Se trata de una ED homogénea, por lo quese resuelve obteniendo la ecuacióncaracterística y de acuerdo a las raíces se
plantea su solución
Se obtiene la ecuación característicasustituyendo
2
1
r y
r y
y
002.492 r
Resolviendo la ecuación característica
ir ir 001.7,001.7 21
De acuerdo a las raíces obtenidas la
solución corresponde al caso III: Raícescomplejas y conjugadas. Por lo tanto la
solución homogénea o complementaria se
expresa de la forma
t senC t C yh 001.7001.7cos 21
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Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas98
De acuerdo al enunciado cuando se inicia
el análisis (t = 0) el cuerpo se encuentra a0.10 m de la posición de equilibrio. Esta
es la primera condición 10.0)0( y ;
sustituyéndola en la solución homogénea
)0(001.7)0(001.7cos10.0 21 senC C
00cos10.0 21 senC C
Por lo tanto
10.01 C
Ahora, para calcular el valor de la
segunda constante se emplea la segundacondición inicial del problema.
Continuando con el enunciado del problema, se indica que el cuerpo se
suelta después de haberlo estirado unadistancia por debajo de la posición de
equilibrio. Al momento de soltar elcuerpo la velocidad es cero; en otras
palabras cuando se inicia el análisis
)0( t la velocidad es también cero. Ya
que la velocidad es la derivada de la posición se determina que
0)0( y
Aplicando la condición anterior, en la
derivada de la solución homogénea
t C t senC yh 001.7cos001.7001.7001.7 21
Sustituyendo 0 y y además 0t
)0(001.7cos001.7)0(001.7001.70 21 C senC
Reduciendo
0cos001.70001.70 21 C senC
21 001.7)0(001.70 C C
Por lo que
2001.70 C
02 C
Con los valores de las constantes seobtiene la solución en cualquier instante
bajo las condiciones indicadas en el problema
t yh 001.7cos10.0
Con esta solución se puede determinar la posición del cuerpo en cualquier instante.
La comprobación de las condiciones del problema consiste simplemente en
asignar el valor de cero a la variableindependiente (tiempo) y entonces la
posición será de 0.10 m
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Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas99
Problema 18. Un resorte se deforma 3 cm debido a un peso de 8 N. Si el resorte se pone enmovimiento con una velocidad de 5 m/s dirigida hacia arriba desde su posición de
equilibrio y considerando que el medio en el que se desenvuelve actúa como una fuerzaamortiguadora igual a 2 veces la velocidad instantánea, determine la ecuación que describe
su movimiento en cualquier instante de tiempo.
Primero se plantea la ED de acuerdo al
enunciado del problema
022
2
ym
k
dt
dy
dt
yd
Sim
k 2 , y c 2 , se tiene
02 2
2
2
ydt
dy
dt
yd
Se debe recordar que el segundo término
de la ecuación diferencial anteriorrepresenta la fuerza o medio que actúa en
contra del movimiento (fuerza retardadorao martiguadota) y esta es c veces la
velocidad instantánea.
La constante de restitución del resorte (k )se obtiene con la ley de Hooke
kS F
F es la fuerza o peso que se aplica al
resorte y S es la elongación odeformación que sufre el resorte debido a
ese peso, entonces
)03.0(8 k
Despejando
03.0
8k
67.266k
Y la masa
g
wm
81.9
8m
81.0m
La ED diferencial a resolver es
081.0
67.2662
2
2
ydt
dy
dt
yd
022.32922
2
y
dt
dy
dt
yd
Se trata de una ED homogénea, por lo quese resuelve obteniendo la ecuación
característica y de acuerdo a las raíces se plantea su solución
Se obtiene la ecuación característica
022.32922 r r
Resolviendo la ecuación característica seobtienen los valores
ir 12.1811 y ir 12.1812
De acuerdo a las raíces obtenidas la
solución corresponde al caso III: Raícescomplejas y conjugadas. Por lo tanto la
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Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas100
solución homogénea o complementaria se
expresa de la forma
]12.1812.18cos[ 21 t senC t C e y t
h
De acuerdo al enunciado cuando se inicia
el análisis (t = 0) el cuerpo se encuentraen la posición de equilibrio, por lo que
0)0( y ; sustituyéndola en la solución
homogénea
)]0(12.18)0(12.18cos[0 21
0 senC C e
Por lo tanto, se tiene
01 C
Ahora, para calcular el valor de lasegunda constante se emplea la segunda
condición inicial del problema.Continuando con el enunciado del
problema, se indica que el cuerpo se poneen movimiento a partir de la posición de
equilibrio con una velocidad de 5 sm /
dirigida hacia arriba; en otras palabras
cuando se inicia el análisis )0( t la
velocidad (la derivada de la posición) está
dirigida hacia arriba (en sentido contrarioa la gravedad) y se determina que
5)0( y
Antes de proceder a la derivada de la
función homogénea, conviene sustituir elvalor que ya se calculó para la primera
constante, por lo que se llega a
]12.1812.18cos[ 21 t senC t C e y t
h
Si 01 C
]12.1812.18cos)0[( 2 t senC t e y t h
Se simplifica a
]12.18[ 2 t senC e y t
h
Derivando
t senC et C e y t t
h 12.1812.18cos12.18 22
Sustituyendo
)0(12.18)0(12.18cos12.185 2
)0(
2
)0( senC eC e
)0cos(12.185 2C
Despejando
28.02 C
Con los valores de las constantes seobtiene la solución en cualquier instante bajo las condiciones indicadas en el
problema
t sene y t
h 12.1828.0
3.4
Sección de Problemas
A continuación se proponen una serie de problemas con el propósito de complementar los problemas que se resolvieron de manera detallada en la presente unidad y con esto el
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Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas101
alumno aplique los conocimientos adquiridos y le sirvan de guía en su estudio. La solución
de los mismos se encuentra en la última sección de la presente unidad.
3.4.1
Auto Evaluación
En los problemas 1-15 determine lasolución de la ED homogénea que seindica. Donde sea necesario determineel valor de las constantes.
1. 034 y y y
2. 03 y y y
3. 025 y y
4. 016 y y
5. 04 y y
6. 096 y y y
7. 04
1 y y y
8. 042 y y y
9. 02 y y y
10. 056 y y y ; sujeta a
3)0( y , 1)0( y
11. 032 y y y
12. 02510 y y y
13. 0262 y y y
14. 02
173 y y y
15. 03612 y y y ; sujeta a
4)0( y , 1)0( y
En los problemas 16-20 determine lasolución de la ED no homogéneaempleando para ello el método decoeficientes indeterminados. Donde seindique, aplique las condicionesiniciales.
16. 623 y y y
17. x x y y y 24
1 2
18. xe x y y 32483
19. xsenx y y 2
20. xe y y y x 2cos52
En los problemas 21-25 determine lasolución de la ED no homogéneaempleando para ello el método devariación de parámetros. Donde seindique, aplique las condicionesiniciales.
21. x sene y y y 23
22. xe y y y x 3tan3063
23. ;4 2 x
xe y y con 1)0( y , 0)0( y
24. x y y cosh
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Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas102
25. xe y y y x ln2
26. Un cuerpo de masa 1.5 kg. estira 3 cm. un resorte. Si se tiene una fuerza retardadoraequivalente al doble de la velocidad instantánea y el cuerpo se suelta 4 cm. por debajo de la
posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de sm /6 ¿cuál es la ecuaciónque define el movimiento en cualquier instante de tiempo?
27. Un cuerpo con masa kg 5.0 estira un resorte cm50 , un poco después se suelta en el
instante 0t de un punto que está a cm8 por debajo de la posición de equilibrio con una
velocidad dirigida de sm /2 . Determine la función que describe el movimiento del cuerpo
en cualquier instante.
28. Una banda elástica está hecha de un material tal que con un peso de 4 N colgado de
ella, se alarga cm6 . Si una fuerza de t 16cos5.0 N está actuando sobre la banda de tal formaque el cuerpo adherido a ella es sacado de su equilibrio por un movimiento hacia arriba que
tiene una velocidad de sm /3 , ¿cuál es la posición del objeto en para cualquier instante de
tiempo?
29. Una masa de gr 100 se adhiere a un resorte de acero con una longitud original de cm50 .
El resorte se extiende cm5 por efecto de esta masa. Si se hace mover la masa hacia abajo
con una velocidad de scm /10 determina la expresión que representa el movimiento
provocado en cualquier instante de tiempo.
30. Un circuito RLC tiene una resistencia de 10 ohms, una capacitancia de 10 -2 farads y unainductancia de 0.5 henrios. El voltaje que se suministra al circuito eléctrico es de 12 volts.
Suponiendo que no hay corriente inicial o carga en el capacitor, encuentre la carga enfunción del tiempo.
31. Un costal de kg 10 de masa es atado a un resorte que por su efecto lo estira cm70 de su
longitud normal. El costal se pone en movimiento al estirar el resorte y soltarlo, con una
velocidad inicial de sm /1 en dirección hacia arriba. Encuentre la expresión que representa
el movimiento resultante considerando que existe una fuerza retardadora igual a 90 veces lavelocidad instantánea.
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Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
Elaboró: Profesor Víctor Manuel Salazar ESIME-ICE-Matemáticas103
3.4.2 Respuestas Auto Evaluación
1. x x
h ecec y 2
3
1
2.
x senC xC e y x
h2
11
2
11cos 21
2
1
3. x senC xC yh 55cos 21
4. x x
h ecec y 4
2
4
1
5. x
h ecc y 4
21
6. x x
h xecec y 3
2
3
1
7. x x
h xecec y 2
1
22
1
1
8. x x
h ecec y 51
2
51
1
9. x x
h ecec y 21
2
21
1
10. x x
h ee y 54
11. x senC xC e y x
h 22cos 21
12. x x
h xee y 55 152
13. x x
h ecec y 2
2
1
14.
x senC xC e y x
h2
5
2
5cos 21
2
3
15. x x
h xee y 66 254
16. 32
21 x x
p ecec y
17.2
7422
2
2
1 x x xecec y x x
p
18. ph g y y y
x senC xC yh 33cos 21
x
p e x x y 32
3
444
19. ph g y y y
senxC xC yh 21 cos
senx x x y p2
1cos
2
1 2
20. ph g y y y
x senC xC yh 22cos 21
x sen xe y x
p 24
1
21. x x x x
g seneeecec y 2
2
2
1
22. ph g y y y
)33cos( 21 x senC xC e y x
h
x x xe y x
p 3tan3secln3cos27
1
8/16/2019 Apuntes de Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 3
http://slidepdf.com/reader/full/apuntes-de-ecuaciones-diferenciales-unidad-3 43/43
Unidad 3: ED Lineales de n-ésimo Orden con Coeficientes Constantes
23. 2222
4
1
8
1
4
3
4
1 x x x
g e x xee y
24. xsenhxecec y x x
g 2
121
25. ph g y y y
x x
h xecec y 21
x x
p e x xe x y 22
4
3ln
2
1
26.]06.183307.006.18cos04.0[66.0 t sent e y t
27. t sent y 42.445.042.4cos08.0
28.t t sent y 16cos013.09.1223.09.12cos013.0
29. t sen y 1471.0
30.
25
310
250
310cos
25
3)( 10
t sent et q t
31.
t t
ee y
72
5
1
5
1