APUNTES DEL CURSO OSCILACIONES Y ONDASfisica.ru/dfmg/teacher/archivos/movimientooscilatorio.pdf1.1...

APUNTES DEL CURSOOSCILACIONES Y ONDAS

Luis Joaquin Mendoza Herrera

21 de marzo de 2011

INDICE GENERAL

1 Movimiento Oscilatorio 11.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Ecuacion del movimiento de una partıcula oscilante . . . . . . . . . . . 11.3 Analogıa con el movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Cinematica del movimiento armonico simple . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Ejemplos de movimientos armonicos simples . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5.1 Pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.1.1 Expresion general del periodo de un pendulo simple . . 11

1.5.2 Pendulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.3 Pendulo de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.4 Pendulo cicloidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Combinacion de movimientos armonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.1 Combinacion de dos movimientos perpendiculares . . . . . . . . 21

1.7 Movimiento Amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.8 Oscilaciones Forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.8.1 Oscilaciones forzadas en un circuito RLC en serie . . . . . . . . 321.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Movimiento Ondulatorio 372.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Descripcion matematica de la propagacion . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Ondas de presion en una columna de gas . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4 Ondas longitudinales en una barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5 Ondas transversales en una barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.6 Ondas longitudinales en un resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.7 Ondas transversales en una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.8 Ondas Superficiales en un liquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.9 Potencia de una onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.10 Ondas en dos y tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.11 Ondas en una membrana tensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.12 Ondas esfericas en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.13 velocidad de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

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INDICE GENERAL INDICE GENERAL

3 Ondas Electromagneticas 663.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2 Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3 Condiciones de Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3.1 Condiciones de frontera para el campo electrico . . . . . . . . . 673.3.2 Condiciones de frontera para el campo magnetico . . . . . . . . 68

3.4 Ecuaciones de Ondas Electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.5 Energıa y momentum de una onda electromagnetica . . . . . . . . . . . 713.6 Presion de Radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.7 Ecuacion de onda con fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.8 Radiacion de un dipolo electrico oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.9 Radiacion de un dipolo magnetico oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4 Optica Geometrica 794.1 Formacion de imagenes por reflexion en una superficie plana (espejo plano) 794.2 Formacion de imagenes por transmision en una superficie plana . . . . 804.3 Formacion de imagenes por reflexion en una superfice esferica (espejo

esferico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.4 Formacion de imagenes por transmision en una superfice esferica . . . . 834.5 Lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.6 Aumento o Amplificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.7 Distancia focal y trazado de rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.7.1 Distancia focal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.7.2 Trazado de rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.7.2.1 Espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.7.2.2 Lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5 Espectro visible, ondas de Sonido y efecto Doppler 885.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.2 Espectro electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.2.1 Ondas de radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.2.2 Microondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2.3 Infrarrojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2.4 Espectro visible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.2.5 Rayos ultravioleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.2.6 Rayos X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2.7 Rayos Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3 Ondas de Sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.3.1 Cualidades del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.4 Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.5 Ultrasonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.5.1 Aplicaciones del ultrasonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.5.1.1 Guiado y sondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.5.1.2 Medicina y biologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

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5.5.1.3 Aplicaciones fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.6 Infrasonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.7 Ondas de Choque y numero de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.8 La audicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.9 Ondas de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.10 El ojo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.11 Instrumentos opticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.11.1 Microscopio simple o lupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.11.2 Microscopio compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.11.3 Telescopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.11.3.1 Telescopios de reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.11.4 El proyector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.11.5 El prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.12 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.13 Efecto Doppler de las ondas electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . 110

5.13.1 Transformacion de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.13.2 Transformacion de las frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6 Interferencia 1156.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.2 Interferencia producida por dos fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . 1156.3 Experimento de la doble rendija de Young . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.4 Biprisma de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.5 Interferencia por reflexion en laminas delgadas . . . . . . . . . . . . . . 1206.6 Anillos de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.7 Interferencia de ondas producidas por varias fuentes sincronicas . . . . 1236.8 Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.8.1 Ondas estacionarias en una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.8.2 Ondas estacionarias en una columna de aire . . . . . . . . . . . 1306.8.3 Ondas estacionarias electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . 131

6.9 Ondas estacionarias en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.10 Ondas estacionarias en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.11 Guıas de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.11.1 Ondas electromagneticas en guıas de ondas . . . . . . . . . . . . 138

7 Difraccion y Polarizacion 1407.1 Difraccion de Fraunhofer por una abertura rectangular . . . . . . . . . 1407.2 Doble rendija de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.3 Redes de difraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.4 Difraccion en una abertura circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.5 Polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.5.1 La elipse de polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.5.2 Polarizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.5.2.1 Polarizacion por reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . 147

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7.5.2.2 Polarizacion por transmision . . . . . . . . . . . . . . . 1477.5.2.3 Polarizacion por doble transmision . . . . . . . . . . . 1487.5.2.4 Polarizacion por absorcion selectiva o dicroısmo . . . . 1487.5.2.5 Actividad optica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.5.3 Grado de polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

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INDICE DE FIGURAS

1.1 Partıcula en el extremo de un resorte, ejemplo de un sistema oscilatorios 21.2 Analogıa entre el movimiento de una partıcula en un resorte y el

movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Representacion geometrica del angulo φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Movimiento armonico producido por una partıcula que se mueve en un plano inclinado 61.5 Esquema de un pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Esquema de un pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Esquema correspondiente al ejemplo de dos resortes . . . . . . . . . . . . . . . 121.8 Esquema de un pendulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.9 Esquema de un pendulo de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.10 Esquema del pendulo de torsion con un bloque rectangular . . . . . . . 161.11 Construccion de una curva cicloide positiva . . . . . . . . . . . . . . . . 161.12 Esquema de un pendulo cicloidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.13 Diagrama de fasores para la combinacion de movimientos armonicos de

igual direccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.14 Combinacion de movimientos armonicos de frecuencias diferentes cuan-

do: ω2 > ω1 y (a) A1 > A2, (b) A2 > A1 y (c) A1 = A2. . . . . . . . . . 201.15 Diagrama de fasores para la combinacion de dos movimientos armonicos

de igual frecuancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.16 Trayectoria del movimiento resultante de la combinacion de dos

movimientos perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.17 Construccion de una figura de Lissajous cuando ω1 = 3

4ω2, φ1 = 0,

φ2 = π/6, A = 1 y B = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.18 Trayectorias de los movimientos para diferentes valores de α . . . . . . 241.19 Amplitud de una oscilacion subamortiguada en funcion del tiempo . . . 251.20 Representacion geometrica del angulo α . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.21 Movimiento de una pesa por un nino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.22 Circuito RLC en serie con fuente de tension de alterna . . . . . . . . . 32

2.1 Ondas de presion en una columna de gas . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2 Ondas longitudinales en una barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3 Ondas Transversales en una barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4 Ondas de torsion en una barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.5 Diagrama de cuerpo libre de la seccion cortada . . . . . . . . . . . . . . 48

v

INDICE DE FIGURAS INDICE DE FIGURAS

2.6 Momentos polares de inercia para una seccion circular . . . . . . . . . . 482.7 Ondas Transversales en una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.8 Ondas superficiales en un liquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.9 Elemento diferencial de volumen entre dos superficies . . . . . . . . . . 542.10 Interface entre los dos fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.11 Fuerzas que actuan sobre el elemento diferencial de superficie . . . . . . 572.12 En la figura (a) se muestra una onda propagandose en la direccion X

y en la figura (b) se muestra una onda propagandose en una direccionarbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.13 Membrana tensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1 Imegenes formadas por reflexion en un espejo plano . . . . . . . . . . . 794.2 Configuracion para la formacion de una imagen por transmision en una

superficie plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3 Configuracion para la formacion de una imagen en una superficie esferica 814.4 Configuracion para la formacion de una imagen en una superficie esferica

por transmision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.5 Configuracion para la formacion de una imagen en una lente formada

por dos superficies esfericas S1 y S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.1 Espectro electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2 Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.3 Estructura general del oıdo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.5 Corte lateral de la retina y sus componentes. . . . . . . . . . . . . . . . 995.4 Estructura general del ojo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.6 Esquema general de una lupa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.7 Esquema general de un microscopio compuesto. . . . . . . . . . . . . . 1035.8 Esquema general de un telescopio astronomico. . . . . . . . . . . . . . . 1045.9 Esquema general de un telescopio terrestre. . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.10 Esquema general de un telescopio Galileo. . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.11 Esquema general de un telescopio de Newton. . . . . . . . . . . . . . . 1065.12 Esquema general de un telescopio de Cassegrain. . . . . . . . . . . . . . 1065.13 Esquema general de un proyector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.14 Configuracion de un prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.15 Angulo mınimo que en un prisma el rayo emerja del otro lado . . . . . . . . . . 1085.16 Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.1 Interferencia producida por dos fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . 1166.2 Graficas fasoriales para la interferencia producida por dos fuentes sin-

cronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.3 Esquema de la interferencia en la doble rendija de Young . . . . . . . . 1186.4 Esquema de interferencia producida por un biprisma de Fresnel . . . . 1206.5 Esquema de interferencia producida por una lamina delgada . . . . . . 1216.6 Esquema de interferencia para producir anillos de Newton . . . . . . . 1226.7 Esquema de interferencia producido por N fuentes sincronicas . . . . . 124

vi

INDICE DE FIGURAS INDICE DE FIGURAS

6.8 Fasores correspondientes a cada una de las fuentes . . . . . . . . . . . . 1246.9 Esquema para la suma de los dos primeros fasores en la interferencia de

N fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.10 Esquema para la suma de los tres primeros fasores en la interferencia de

N fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.11 Esquema para la suma de los N fasores en la interferencia de N fuentes

sincronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.12 Esquema para la interferencia de dos ondas . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.13 Modos de vibracion para las ondas estacionarias en una cuerda de longi-

tud L y fija a ambos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.14 Modos de vibracion para las ondas estacionarias en una columna de aire

de longitud L y con un extremo cerrado y un extremo abierto . . . . . 1316.15 Ondas estacionarias electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.16 Ondas estacionarias electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.17 Ondas estacionarias en una membrana recatangular tensa para n1 = 1 y

n2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.18 Ondas estacionarias en una membrana recatangular tensa para n1 = 1 y

n2 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.19 Esquema de una guıa de ondas rectangular, en la cual las ondas se pro-

pagan en la direccion z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.1 Esquema para el estudio de la difraccion en una abertura rectangular . 1417.2 Esquema para el estudio de la difraccion en una abertura rectangular . 1417.3 Grafica de la intensidad producida por una abertura rectangular . . . . 1427.4 Esquema para la difraccion en dos aberturas rectangulares . . . . . . . 1437.5 Grafica de la intensidad producida por dos aberturas considerando la

difraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.6 Esquema para el estudio de la difraccion en una red de difraccion . . . 1447.7 Polarizacion por reflexion en una superficie (angulo de Brewster) . . . . 1477.8 Polarizacion por transmision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.9 Polarizacion por doble transmision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.10 Dicroısmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.11 Esquema para el estudio de la actividad optica . . . . . . . . . . . . . . 149

vii

Capıtulo 1

Movimiento Oscilatorio

1.1. Introduccion

Cuando un objeto se desplaza a uno y otro lado de una posicion fija siguiendo unaley cualquiera, se dice que esta en movimiento vibratorio u oscilatorio. Por ejemplo elembolo de una locomotora. Entre todos los movimientos oscilatorios que existen en lanaturaleza el mas importante es el movimiento armonico simple(M.A.S), en el cual esun movimiento periodico porque se reproduce exactamente cada vez que transcurreun tiempo determinado, llamado perıodo. Perıodo es el tiempo que tarda el objeto endar una oscilacion completa. El M.A.S describe con una buena aproximacion la mayorparte de las oscilaciones de la naturaleza.

Los sistemas oscilatorios, como el pendulo de reloj, una lancha subiendo y bajandosobre las olas, o una partıcula en el extremo de un resorte, tienen una propiedad encomun: cada sistema tiene un estado de equilibrio estable. En el equilibrio la fuerza yel torque netos que actuan sobre cada parte del sistema son iguales a cero. El equilibrioes estable si un pequeno desplazamiento origina una fuerza neta que tiende a regresaral sistema hacia el estado de equilibrio. Estas fuerzas de restauracion constituyen unasegunda caracterıstica de los sistemas oscilatorios.

1.2. Ecuacion del movimiento de una partıcula os-

cilante

Para describir el movimiento de una partıcula oscilante, se expresa la posicion dela partıcula como una funcion del tiempo. Iniciando con la segunda ley de Newtonque relaciona la fuerza de restauracion con la aceleracion de la partıcula. como primerejemplo consideremos el caso de una partıcula en el extremo de un resorte, en estecaso la fuerza de restauracion y el desplazamiento se ubican en una sola direccion quepodemos definir como x. si tomamos el origen coincidente con la posicion de equilibriode la partıcula (Fig 1.2), la posicion de la partıcula x(t) coincide con el estiramiento

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Oscilaciones y Ondas

del resorte, donde la fuerza de restauracion es −kx(t). En el caso del movimiento sinfriccion, de acuerdo con la segunda ley de Newton:

max = Fx = −kx(t) (1.1)

La aceleracion es la segunda derivada de la posicion en funcion del tiempo, de estemodo:

md2x

dt2= −kx o

d2x

dt2+k

mx = 0 (1.2)

En este caso lo que se desea es la posicion de la partıcula como una funcion deltiempo, este es un problema matematico que puede ser resuelto utilizando la analogıadel M.A.S con el movimiento circular.

Figura 1.1: Partıcula en el extremo de un resorte, ejemplo de un sistema oscilatorios

1.3. Analogıa con el movimiento circular

Las oscilaciones se relacionan de una manera muy estrecha con el movimiento circu-lar, cuando una partıcula se mueve en un movimiento circular con una velocidad linealconstante v, la cual se relaciona con la velocidad angular ω = v/r, donde r es el radiodel circulo, el cambio de direccion es originado por una aceleracion hacia el centro delcirculo:

a = −ω2r (1.3)

Donde las componentes en x de esta ecuacion son:

ax = −ω2x od2x

dt2+ ω2x = 0, (1.4)

ecuacion que es similar a la ecuacion 1.2 para las oscilaciones cuando se define lafrecuencia angular

2


ω =

√k

m, (1.5)

donde el periodo de las oscilaciones se obtiene como:

P = 2π

√m

k, (1.6)

Figura 1.2: Analogıa entre el movimiento de una partıcula en un resorte yel movimiento circular

La posicion de la partıcula es definida por el angulo θ, donde A es la maxima ampli-tud de la partıcula, la amplitud de la partıcula en funcion del tiempo esta determinadapor la componente en x = A cos θ. La distancia angular φ0 define la posicion inicial dela partıcula y es conocida como fase inicial, es decir la posicion inicial de la partıculaes A cosφ0, en este caso ωt es la distancia angular recorrida por la partıcula, luegoentonces la distancia angular θ es igual a la distancia angular recorrida mas la distanciaangular inicial:

θ = ωt+ φ0 (1.7)

Obteniendose la posicion de la partıcula en funcion del tiempo como

x(t) = A cos (ωt+ φ0) (1.8)

3


Es importante aclarar que la posicion de la partıcula en funcion del tiempo tambienpuede ser expresada en funcion del sen en este caso solo cambiaria la fase inicial, porejemplo cos (ωt+ π/3) = sen (ωt+ 5π/6), las funciones seno y cose se diferencian enπ/2, en este documento utilizaremos la funcion seno para referirnos a la posicion de lapartıcula esto es:

x(t) = Asen (ωt+ φ0) (1.9)

1.4. Cinematica del movimiento armonico simple

La velocidad y la aceleracion de un movimiento armonico simple pueden ser expre-sadas a partir de la ecuacion 1.9, como:

v(t) = Aω cos (ωt+ φ0) = ω√A2 − x2 (1.10)

a(t) = −Aω2sen (ωt+ φ0) = −ω2x (1.11)

La fuerza que debe actuar sobre un cuerpo de masa m, para que oscile con movimien-to armonico simple es:

F = ma = −mω2x = −kx (1.12)

es decir, que para producir un M.A.S se requiere una fuerza proporcional a la elon-gacion y dirigida siempre hacia la posicion de equilibrio, como lo indica el signo menos.La energıa cinetica esta definida por:

Ec =1

2mv2 =

1

2mA2 cos2 (ωt+ φ0) =

1

2mω2

(A2 − x2

)(1.13)

Para la energıa potencial se utiliza la definicion de la fuerza en terminos de la energıapotencial F = −∂Ep

∂x: ∫ Ep

0dEp = −

∫ x

0−kxdx⇒ Ep =

1

2kx2 (1.14)

Con las definiciones de energıa cinetica y potencial se puede obtener la energıa totaldel sistema, en la forma

E = Ec + Ep =1

2mω2

(A2 − x2

)+

1

2kx2 =

1

2k(A2 − x2

)+

1

2kx2 =

1

2kA2 (1.15)

Ejemplo 1 Una partıcula cuya mas es de 1 Kg se mueve con movimiento armonico sim-ple. Su periodo es de 0.1s y la amplitud de su movimiento es de 10cm. Calcular la aceleracion, lafuerza, la energıa potencial y la energıa cinetica, cuando se encuentra a 4cm de la posicion de equilibrio.

Solucion: Con la ayuda de la ecuacion (1.4) a = −ω2x y ω = 2π/T = 2π/0,1 = 20π, tenemos quela aceleracion es a = −400π20,04 = −157,9m/s2.

4


La fuerza se puede obtener de F = ma = −157,9N, la energıa potencial es Ep = 12kx

2, que conla ecuacion (1.5) se convierte en Ep = 1

2mω2x2 = 0,5 · 1 · 400π20,042 = 3,16J, para el calculo de la

energıa cinetica se debe calcular la energıa total E = 12mω

2A2 = 0,5 · 1 · 400π20,12 = 19,74J, luego laenergıa cinetica es Ec = (19,74− 3,16) J = 16,58J.

Ejemplo 2 Una partıcula que se mueve con movimiento armonico simple, con una frecuenciaf , fue lanzada con una velocidad inicial v0, desde una posicion que se encuentra a x0 de la posicionde equilibrio, determinar la posicion de la partıcula como una funcion del tiempo.

Solucion: En este caso la posicion debe presentarse en terminos de la informacion suministradapor el proble las cuales son la frecuencia f , que no debe confundirse con la frecuencia angular ω, laposicion inicial x0 y la velocidad inicial v0. La ecuacion que determina la posicion de la partıcula comouna funcion del tiempo es x = Asen (ωt+ φ), donde ω = 2πf . A continuacion se deben determinar Ay φ, de las condiciones iniciales.

x0 = Asenφ v0 = Aωcosφ (1.16)

Al dividir estas ecuacion se obtiene la fase del movimiento como tanφ = ωx0

v0y con la ayuda de la

representacion grafica de φ, se puede obtener la amplitud:

Figura 1.3: Representacion geometrica del angulo φ

luego entonces remplazando senφ o cosφ, se obtiene la amplitud A =

√x20ω

2+v20ω =

√x204π

2f2+v202πf ,

con estos resultados la posicion como una funcion del tiempo se convierte en:

x (t) =

√x204π2f2 + v20

2πfsen

(2πft+ tan−1

(x02πf

v0

))(1.17)

Ejemplo 3 Un tronco cilındrico de longitud L y radio R, tiene un contrapeso de plomo, con lafinalidad de mantenerlo en forma vertical. La masa del tronco y el plomo juntos es M . Si el tronco seempuja un poco hacia abajo demuestre que al soltarlo se produce un movimiento armonico simple ydetermine su frecuencia. Calcule su frecuencia para M = 60Kg y R = 10cm

Solucion: El tronco flota a causa de la fuerza que el agua ejerce hacia arriba por el principio dearquımedes. Primero debe determinarse la posicion de equilibrio, para esta posicion el peso del troncoy el empuje del agua deben ser iguales.

Mg = ρaguaπR2Dg (1.18)

donde D es la longitud de la porcion sumergida del tronco, de esta ecuacion D = MπR2ρagua

. Cuando

el tronco se empuja hacia abajo una pequena distancia z, la fuerza del empuje es mayor que el peso deltronco y lo impulsa hacia arriba, cuando el peso del tronco y el plomo superan la fuerza del empuje, el

5


tronco es impulsado hacia abajo, resultando con esto un movimiento armonico simple. para determinarla frecuencia de este movimiento, cuando se desplaza una pequena distancia z hacia abajo la fuerzaresultante es Mg − πR2(D + z)ρaguag = −πR2ρaguagz, y la ecuacion del movimiento para el troncoes:

Md2z

dt2+ πR2ρaguag = 0 (1.19)

de donde la frecuencia de oscilacion esta dada por ω =√

πR2ρaguagM =

√gD . En el caso M = 60Kg

y R = 10cm, D = 1,91m y ω = 2,27rad/s.Ejemplo 4 Una partıcula se desliza hacia adelante y hacia atras entre dos planos inclinados sin

friccion. Encontrar el periodo de oscilacion del movimiento si h es la altura inicial.

Figura 1.4: Movimiento armonico producido por una partıcula que se mueve en un plano inclinado

Solucion: Para calcular el periodo de oscilacion en primera medida calculamos la aceleracion delsistema, esta aceleracion se obtiene de la segunda ley de newton

F = mgsenα = ma,

luego la aceleracion esa = gsenα.

La distancia que debe bajar la partıcula es hsenα , el tiempo que tarda en bajar se puede calcular como:

h

senα=

1

2gsenαt2 o t =

√2h

g

1

senα,

de donde el periodo de oscilacion es cuatro veces el tiempo calculado

P = 4

√2h

g

1

senα(1.20)

EjemploTomemos el caso en el cual una partıcula de masa m se encuentra sobre una mesa, unidaa un punto fijo de esta (que tomaremos como origen de coordenadas) mediante un resorte de constantek. En el instante t = 0 se encuentra en la posicion ~r0 = x0ax+y0ay y se le proporcio0na una velocidad~v0 = v0xax + v0yay.

La ecuacion que define un oscilador armonico, en general, es la ecuacion de movimiento vectorial

md2~r

dt2= −k~r (1.21)

En este problema tenemos una partıcula situada en un plano. Su posicion inicial esta a una ciertadistancia del punto fijo. Por tanto, necesariamente su movimiento sera bidimensional. Para la partıculasituada sobre la mesa, su movimiento sera bidimensional y podra describirse un sistema de coordenadascartesiano

~r = xax + yay

En este mismo sistema, la velocidad y la aceleracion se escribiran

6


~v =d~r

dt=dx

dti+

dy

dtj, ~a =

d~v

dt=d2x

dt2i+

d2y

dt2j

Sustituyendo en la ecuacion de movimiento y recordando que dos vectores son iguales si lo soncada una de sus componentes, la ecuacion vectorial se convierte en dos ecuaciones escalares

d2x

dt2= −kx, d2y

dt2= −ky

Cuyas soluciones son de la forma::

x = Axsen (ωt+ φx) , y = Aysen (ωt+ φy)

que utilizando las condiciones iniciales llegamos a

x0 = Axsen (φx) , y0 = Aysen (φy)

v0x = Axω cos (φx) , v0y = Ayω cos (φy)

de donde

tanφx =x0ω

v0x, tanφy =

y0ω

v0y

y

Ax =

√x20 +

v20xω2

, Ay =

√y20 +

v20yω2

Con estos resultados las expresiones para las elongaciones en x y y son respectivamente

x =v0xω

senωt+ x0 cosωt, y =v0yω

senωt+ y0 cosωt

Combinando las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuacion de la trayectoria seguida por el cuerpo

x2 + y2 =

∣∣∣∣ ~v0ω senωt+ ~r0 cosωt

∣∣∣∣2 (1.22)

1.5. Ejemplos de movimientos armonicos simples

1.5.1. Pendulo simple

Un pendulo simple consiste en una partıcula de masa m, colgada de un hilo de longi-tud l y masa despreciable. La partıcula oscila sin ficcion entre un punto de suspension.Cuando el hilo forma un angulo θ, con la vertical la fuerza restauradora esta determi-nada por:

FR = −mgsenθ = md2s

dt2= ml

d2θ

dt2, (1.23)

o sea

d2θ

dt2= −g

lsenθ (1.24)

7


Figura 1.5: Esquema de un pendulo simple

Esta ecuacion no tiene la forma normal 1.2 y no tiene soluciones sencillas. sin em-bargo cuando la amplitud es pequena es decir θ es pequeno, podemos aplicar la aprox-imacion senθ ≈ θ. En este caso:

d2θ

dt2+g

lθ = 0 (1.25)

que es la ecuacion para el movimiento armonico simple, donde θ es el desplazamiento

y la frecuencia angular es ω =√g/l, es decir el periodo de oscilacion es P = 2π

√l/g.

Asi:

θ (t) = θmax cos(√

g/lt+ φ0

). (1.26)

Las expresiones para la velocidad y la aceleracion angular estan dadas por:

Ω (t) = θmax√g/lsen

(√g/lt+ φ0

). (1.27)

α (t) = −θmaxg

lcos

(√g/lt+ φ0

). (1.28)

La energıa potencial en el pendulo simple esta determinada por:

Ep = mgh = mg(l − l cos θ) = mgl (1− cos θ) (1.29)

8


Utilizando la identidad trigonometrica sen2A = 12

(1− cos 2A), con 2A = θ

Ep = 2mglsen2 θ

2(1.30)

Utilizando esta definicion la energıa total e:

E = 2mglsen2 θ0

2(1.31)

Ejemplo 5 El movimiento de un pendulo simple esta dado por θ = Acos(√

gl t). Encuentre la

tension en la cuerda de este pendulo para θ pequeno. La masa de la partıcula suspendida m, en quetiempo la tension es maxima y cual es el valor de la tension maxima.

Solucion: La energıa en el punto de maxima amplitud es solo potencial y es mgH = mg (l − lcosA)y la energıa en cualquier otro punto es la suma de la energıa potencial mgh = mg (l − lcosθ) y la energıacinetica 1

2mv2, de acuerdo con el principio de conservacion de energıa estas dos energias son iguales es

decir

Figura 1.6: Esquema de un pendulo simple

mgl (1− cosA) = mgl (1− cosθ) +1

2mv2 v2 = 2gl (cosθ − cosA) (1.32)

La suma de las fuerzas normales es igual a

T = mgcosθ +mv2

l= mgcosθ + 2mg (cosθ − cosA) = 3mgcosθ − 2mgcosA (1.33)

La serie para el cosB = 1− 12B

2 + · · ·,

T = 3mg

(1− 1

2θ2)− 2mg

(1− 1

2A2

)= mg

[1 +A2 − 3

2A2sen2

√g

lt

](1.34)

Para obtener el valor maximo de la tension se debe derivar la tension esto es

dT

dt= −mg 3

2A2

√g

l2sen

(√g

lt

)cos

(√g

lt

)= −mg 3

2A2

√g

lsen

(2

√g

lt

)= 0 (1.35)

de donde 2√

gl t = π o t = π

2

√lg , de donde el valor maximo de la tension es:

9


T = mg

[1− 1

2A2

](1.36)

Ejemplo 6 Un pendulo de un reloj tiene un periodo de 2s cuando g = 9,8m/s2, si la longitudaumenta en 1mm ¿Cuanto se habra atrasado el reloj en 24 horas?.

Solucion: Utilizando el periodo del pendulo cuando la gravedad es g = 9,8m/s2, se puede calcularla longitud normal del pendulo.

T = 2s = 2π

√l

9,8l = 0,9929m (1.37)

La nueva longitud es ln = 0,9929m+1mm=0,9939mCon esta nueva longitud el periodo para la nueva longitud es Tn = 2π

√0,9939/9,8 = 2,001s,

luego el pendulo se retrasa 1,0068 × 10−3s, cada 2 segundos, debido a que en 24 horas existen 86400segundos el reloj se retrasa 86400 · 1,0068× 10−3 = 87s.

Ejemplo 7 Un pendulo cuya longitud es 2m se encuentra en un lugar donde g = 9,8m/s2. Elpendulo oscila con una amplitud de 2o. Expresar en funcion del tiempo, su desplazamiento angular,su velocidad angular, su aceleracion angular, su velocidad lineal, su aceleracion centrıpeta y la tensionen la cuerda si la masa en su extremo es de 1Kg.

Solucion: El desplazamiento angular del pendulo esta definido como θ = θ0sen(√

gl t+ φ

), la

velocidad angular Ω = θ0√

gl cos

(√gl t+ φ

), la aceleracion angular α = − gl θ, la velocidad lineal

v = Ω · l, la aceleracion centripeta ac = mv2

l y la tension como T = mg (3cosθ − 2cosθ0), donde sedeben determinar los valores de θ0 y φ, para esto se remplazan las condiciones iniciales para el anguloy la velocidad

2o = θ0senφ 0 = θ0

√9,8m/s2

2mcosφ (1.38)

de donde φ = (π/2)rad, θ0 = 2o, lo que produce

θ = 2sen (2,21t+ π/2) o (1.39)

Ω = 4,42cos (2,21t+ π/2) o/s (1.40)

α = −9,8sen (2,21t+ π/2) o/s2 (1.41)

v = 0,3cos (2,21t+ π/2)m/s (1.42)

No debe olvidar cambiar los grados a radianes para que las unidades de la velocidad se conviertanen m/s

ac = 0,047cos2 (2,21t+ π/2)m/s2 (1.43)

T = 9,8 (3cos (2osen (2,21t+ π/2))− 2cos2o)N (1.44)

10


1.5.1.1. Expresion general del periodo de un pendulo simple

La energıa total es en este caso la suma de la energıa cinetica y la energıa potencial,esto es:

E =1

2mv2 + Ep =

1

2

(dx

dt

)2

+ Ep, (1.45)

despejando la velocidad obtenemos

dx

dt=

2

m(E − Ep)

1/2

(1.46)

integrando sobre una oscilacion completa obtenemos∫ P

0dt = 4

∫ x

x0

ldθ2m

(E − Ep)1/2

(1.47)

en terminos del angulo θ se tiene:

P = 4∫ θ0

0

ldθ2m

(2mglsen2

(θ02

)− 2mglsen2

(θ2

))1/2(1.48)

P = 2√l/g

∫ θ0

0

dθ√sen2

(θ02

)− sen2

(θ2

) (1.49)

Si tomamos el cambio de variables sen(

12θ)

= sen(

12θ0

)senΨ, la ecuacion para el

periodo del pendulo se convierte en:

P = 4√l/g

∫ π/2

0

(1− sen2

(1

2θ0

)sen2Ψ

)−1/2

dΨ (1.50)

Utilizando la serie (1 + x)n = 1 + nx + n(n−1)2!

x2 + n(n−1)(n−2)3!

x3 + · · ·, donde x =

−sen2(

12θ0

)sen2Ψ y n = −1

2e integrando llegamos a:

P = 2π√l/g

(1 +

1

4sen2

(1

2θ0

)+

9

64sen4

(1

2θ0

)+ · · ·

)(1.51)

Donde puede observarse que para θ pequeno se obtiene nuevamente el peri-

odo como P = 2π√l/g, en el caso de 1

2θ pequeno, se obtiene el periodo como

P = 2π√l/g

(1 + 1

16θ2

0

).

Ejemplo 8 Una partıcula de masa m situada en una mesa horizontal lisa esta sostenida pordos resortes de constante elastica k y longitud normal l0, cuyos extremos estan fijos en P1 y P2. Sila partıcula se desplaza lateralmente una cantidad x0 pequena comparada con la longitud normal delos resortes, y luego se suelta, determinar el movimiento subsiguiente. Encontrar su frecuencia deoscilacion y escribir la ecuacion de su movimiento.

11


Figura 1.7: Esquema correspondiente al ejemplo de dos resortes

Solucion: Para calcular el periodo de oscilacion utilizamos la ecuacion (1.46), para lo cual nece-sitamos la energıa potencial Ep, la longitud del resorte estirado es

√x2 + l20, la longitud que se estiro

el resorte es√x2 + l20 − l0, la energıa potencial es

Ep =1

2k

(√x2 + l20 − l0

)2

=1

2kl20

((1 +

x2

l20

)1/2

− 1

)2

luego la energıa total se presenta cuando esta totalmente estirado es decir x = x0 es decir

E =1

2k

(√x20 + l20 − l0

)2

=1

2kl20

((1 +

x20l20

)1/2

− 1

)2

Debido a que l0 >> x, x0/l0 y x/l0 son pequenos y valores pequenos utilizando el desarrollobinomial, se puede realizar la aproximacion (1 + y)

n ∼= 1 + nyconvirtiendo estas energıas en:

Ep =1

2kl20

(1 +

x2

2l20− 1

)2

=1

2kl20

x4

4l40= k

x4

8l20(1.52)

Ep =1

2kl20

(1 +

x202l20− 1

)2

=1

2kl20

x404l40

= kx408l20

(1.53)

El periodo se calcula entonces como:

P ∼= 4

∫ x0

0

dx2m

(kx40

8l20− k x4

8l20

)1/2= 4

∫ x0

0

dxk

4ml20(x40 − x4)

1/2= 8l0

√m

k

∫ x0

0

dx√x40 − x4

Si tomamos u = x/x0, tenemos

P ∼=8l0x0

√m

k

∫ 1

0

dx√1− u4

=8l0x0

√m

k

π

2√

3=

4πl0√3x0

√m

k

Luego debido a que ω = 2πP tenemos

ω =

√3x0

2l0

√k

m(1.54)

12


Para la ecuacion del movimiento la fuerza de cada uno de los resortes es F = −k(√

x2 + l20 − l0)

, la

componente de esta fuerza que produce el movimiento oscilatorio es FR = 2Fsenφ = −2k(√

x2+l20−l0)x√

x2+l20,

si factorizamos l0 en el numerador y en el denominador obtenemos.

FR = −2k

((1 +

x2

l20

)1/2)(

1 +x2

l20

)−1/2∼= −2k

((x2

2l20

)(1− x2

2l20

)x = −kx

3

l20+kx5

2l40

Finalmente la ecuacion del movimiento es

md2x

dt2= −kx

3

l20+kx5

2l40o

d2x

dt2+kx3

ml20− kx5

2ml40= 0 (1.55)

1.5.2. Pendulo compuesto

Cuando un cuerpo rıgido(como una barra) se balancea, en torno de un punto porlo general el borde, se obtiene un pendulo conocido como pendulo fısico o compuesto;donde el periodo del mismo se relaciona con su tamano y forma.

Figura 1.8: Esquema de un pendulo compuesto

En la figura 1.5.2 se muestra el diagrama de un pendulo compuesto. este pendulocompuesto posee un momento de inercia I, con respecto al punto de giro O, y su centrode masa se encuentra a una distancia d del punto de balanceo O. El peso actua en elcentro de masa y ejerce un torque con respecto al punto de giro dado por:

τ = −mgdsenθ (1.56)

donde utilizando la ecuacion del movimiento de rotacion tenemos:

Iα = −mgdsenθ (1.57)

13


donde α = d2θ2 es la aceleracion angular del movimiento de rotacion. Con la aproxi-

macion de un angulo pequeno senθθ, la ecuacion del movimiento se convierte en:

d2θ2

+mgd

Iθ = 0 (1.58)

Ecuacion que muestra el comportamiento de un movimiento armonico simple confrecuencia angular:

ω =

√mgd

I(1.59)

Es importante notar que un pendulo simple es un caso particular de un pendulocompuesto en el cual el momento de inercia es el de la masa colgando I = ml2 y elcentro de masa se encuentra sobre la masa esto es d = l

Ejemplo 9 Un disco solido de radio R puede colgarse de un extremo horizontal a una distanciah de su centro. Encontrar la longitud del pendulo simple equivalente y la posicion del eje para la cualel periodo es un mınimo.

Solucion: Para determinar la longitud del pendulo simple equivalente debemos calcular el periododel pendulo e igualarlo al periodo de un pendulo simple para determinar la longitud de este pendulosimple que tiene el mismo periodo que el compuesto

Para determinar el period del pendulo compuesto primero el momento de inercia del disco con

respecto al centro de masa el cual es Ic = mR2

2 , donde m es la masa del disco, pero debido a queel disco no gira en su centro de masa si no a una distancia h del mismo, se debe aplicar el teoremade steiner para determinar el momento de inercia respecto al punto de giro, este teorema consiste ensumarle al momento de inercia del centro de masa la masa por la distancia al cuadrado del centro demasa al punto de giro, esto es

I = mR2

2+mh2 (1.60)

Luego se debe determinar d que es la distancia del centro de masa al punto de giro, la cual en estecaso es h, de donde el periodo del pendulo compuesto es:

T = 2π

√m(R2

2 + h2)

mgh(1.61)

periodo que se debe igualar al periodo de un pendulo simple

2π

√(R2

2 + h2)

gh= 2π

√l

g(1.62)

de donde l = R2

2h + h, para determinar el valor maximo del periodo, lo derivamos con respecto a h

dT

dh=

2π

2

√(R2

2 +h2)

gh

2gh2 − gR2/2− gh2

g2h2= 0 (1.63)

El valor de h para le cual el periodo es un mınimo es h = R/√

2

14


1.5.3. Pendulo de torsion

Otro ejemplo de movimiento oscilatorio es el pendulo de torsion, el cual consisteen un objeto de momento de inercia I, con respecto a su centro de masa, este objetoesta colgado por su centro de masa por un alambre, al girar este cuerpo un angulo θ, elsistema ejerce un torque que tiende a regresar el sistema a su estado de equilibrio, estetorque es proporcional al angulo θ τ = −ktorθ, donde ktor es la constante de torsion delalambre que soporta el cuerpo. La ecuacion del movimiento del cuerpo es entonces:

Figura 1.9: Esquema de un pendulo de torsion

Id2θ

dt2= −ktorθ o

d2θ

dt2+ktorIθ (1.64)

que es la ecuacion de un movimiento armonico simple con frecuencia angular

ω =√ktor/I y periodo P = 2π

√I/ktor

Ejemplo 10 Un pendulo de torsion consiste en bloque rectangular de madera de8cm×12cm×3cm con una masa de 0,3Kg suspendido por medio de un alambre que pasa atraves de su centro y de modo que el lado mas corto es vertical. El periodo de oscilacion es 2,4s .¿Cual es la constante de torsion ktor del alambre?.

Solucion: El momento de inercial del bloque rectangular es I = 0,3Kg 0,082+0,122

12 m2 = 5,2 ×10−4Kg m2, por tanto el periodo de oscilacion del pendulo es

2,4s = 2π

√5,2× 10−4Kgm2

ktorktor = 3,56× 10−3Nm/rad (1.65)

15


Figura 1.10: Esquema del pendulo de torsion con un bloque rectangular

1.5.4. Pendulo cicloidal

Dentro de los modelos de pendulo existe un pendulo en el cual su periodo no dependede la amplitud, el cual es conocido como pendulo cicloidal, uno de los modelos dependulo cicloidal consiste de dos curvas cicloides entre las cuales se coloca un pendulosimple, para construir una curva cicloidal se toma un punto en un borde de un circuloy se rueda la curva resultante es una cicloide figura

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Figura 1.11: Construccion de una curva cicloide positiva

las ecuaciones de esta curva son x = a (φ− senφ), y = a (1− cosφ), en el caso delpendulo cicloidal como el de la figura 1.5.4 esta curva es hacia abajo por lo tanto estasecuaciones se modifican en:

x = a (φ− senφ) (1.66)

y = a (cosφ − 1)

Para obtener el periodo de oscilacion de este pendulo utilizaremos el enfoque de lasenergıas el cual parte del hecho de que la energıa total es constante. La energıa totalde la partıcula es la suma de su energıa potencial y su energıa cinetica, esto es:

16


Figura 1.12: Esquema de un pendulo cicloidal

E = Ec + Ep =1

2m

(dxdt

)2

+

(dy

dt

)2+mgy (1.67)

donde utilizando la definicion de la curva cicloide 1.67, obtenemos la energıa totalcomo:

E = ma (1− cosφ)

(dφdt

)2

a− g

(1.68)

pero en este caso la oscilacion es armonica simple pero en la longitud, porlo tanto debemos expresar esta ecuacion en terminos de la longitud s (φ) =∫ φ

0

√(dxdφ′

)2+(dydφ′

)2dφ′, llegando a:

s (φ) = 2asen (φ/2)dφ

dt(1.69)

al remplazar este valor en la energıa obtenemos la energıa como una funcion de lalongitud de la curva:

E =1

2m

(ds

dt

)2

+mgs2

8a(1.70)

Recordando que la energıa es una constante, su derivada es igual a cero llegando a:

dE

dt= m

ds

dt

d2s

dt2+mg

4asds

dt= 0 o

d2s

dt2+

g

4as = 0 (1.71)

La cual es una ecuacion que describe un movimiento armonico simple de frecuencia

angular ω =√g/4a, o periodo de oscilacion P = 2π

√4a/g

17


1.6. Combinacion de movimientos armonicos

A menudo se combinan movimientos armonicos simples en igual direccion comoen direccion perpendicular. El movimiento resultante es la suma de las oscilacionesindependientes, en primera medida consideremos el caso en el cual los dos movimientostienen igual direccion, y denotaremos esta direccion como x, la ecuacion 1.9 describeuna oscilacion armonica luego las ecuaciones

x1 (t) = A1sen (w1t+ φ1) (1.72)

x2 (t) = A2sen (w2t+ φ2) ,

describen dos movimientos armonicos simples en la misma direccion en este caso x,por lo tanto el movimiento resultante de la combinacion de estos dos movimientos es lasuma

x (t) = x1 (t) + x2 (t) = A1sen (w1t+ φ1) + A2sen (w2t+ φ2) (1.73)

para obtener la suma de estos dos movimientos, se pueden utilizar dos metodosel analıtico y el grafico, el analıtico esta basado en las identidades trigonometricasy el metodo grafico esta basado en la analogıa entre el movimiento oscilatorio y elmovimiento circular, lo cual es conocido como tecnica de fasores, en nuestro desarrolloutilizaremos el metodo grafico

De la figura 1.6 y utilizando el teorema del coseno se obtienen la amplitud delmovimiento resultante de los dos movimientos.

A =√A2

1 + A22 + 2A1A2 cos [(w2 − w1) t+ (φ2 − φ1)] (1.74)

Existe un caso especial en el cual φ1 = φ2, la amplitud se reduce a:

A =√A2

1 + A22 + 2A1A2 cos [(w2 − w1) t] (1.75)

En este caso la amplitud cambia entre los valores A1 +A2 y A2−A1, dependiendo delos valores de las frecuencias, para el caso en el cual (w2 − w1) t = 2nπ, las amplitudesse suman, y en el caso en el cual (w2 − w1) t = (2n+ 1) π se restan, como la amplitudcambia con la frecuencia se dice que la amplitud se encuentra modulada, estos cambiosen la amplitud producen como consecuencia fluctuaciones en la intensidad de un sonidollamadas pulsaciones. La frecuencia con la cual cambia la amplitud esta dada por:

fp = (w2 − w1) /2π (1.76)

y es la frecuencia es la frecuencia de pulsacion, para el caso especial en el cual lasamplitudes de los movimientos son iguales esto es A1 = A2, llegamos a

18


Figura 1.13: Diagrama de fasores para la combinacion de movimientosarmonicos de igual direccion

A =√

2A21 + 2A2

1 cos [(w2 − w1) t] = A1

√2 (1 + cos [(w2 − w1) t)] = 2A1 cos

[1

2(w2 − w1) t

](1.77)

Sumando los movimientos armonicos de las ecuaciones 1.73, cuando tienen la mismafrecuencia y utilizando la identidad trigonometrica sen(A) + sen(B) = 2 cos 1

2(A −

B)sen12(A+B), llegamos a:

x = 2A1 cos[1

2(w2 − w1) t

]sen

[1

2(w2 + w1) t

](1.78)

La grafica de x en funcion del tiempo para los casos en los cuales las amplitudesson diferentes siendo mayor la amplitud de la de x1, amplitudes iguales y amplitudesdiferentes siendo mayor la amplitud de x2, se muestran en la figura 1.6 , en la cualse puede observar que cuando la amplitud de x2 es mayor que la amplitud de x1, seproduce un solapamiento. Es importante aclarar que se ha supuesto que la frecuenciade x2 es mayor que la frecuencia de x1

Cuando las frecuencias de los dos movimientos son iguales la amplitud del movimien-to resultante descrita por la ecuacion 1.75, se puede escribir como:

A =√A2

1 + A22 + 2A1A2 cos (φ2 − φ1) (1.79)

para obtener la fase del movimiento resultante se debe recordar que este es la sumade los movimientos x1 y x2, por lo tanto la suma de las componentes en x′ y y′ de estos

19


Figura 1.14: Combinacion de movimientos armonicos de frecuencias difer-entes cuando: ω2 > ω1 y (a) A1 > A2, (b) A2 > A1 y (c) A1 = A2.

dos movimientos debe ser igual a las componentes en x′ y y′ de movimiento resultantedonde x′ y y′, se ilustran en la figura 1.6,de acuerdo con esto se tiene:

Asenφ = A1senφ1 + A2senφ2 (1.80)

A cosφ = A1 cosφ1 + A2 cosφ2,

resultando con esto que:

tanφ =A1senφ1 + A2senφ2

A1 cosφ1 + A2 cosφ2

(1.81)

La ecuacion que describe el comportamiento del movimiento resultante esta dadapor:

x = Asen (ωt+ φ) , (1.82)

donde A y φ estan descritos por las ecuaciones 1.79 y 1.81.

20


Figura 1.15: Diagrama de fasores para la combinacion de dos movimientosarmonicos de igual frecuancia

1.6.1. Combinacion de dos movimientos perpendiculares

Analizaremos a continuacion el caso en el cual los dos movimientos implicados sonperpendiculares entre, que un movimiento se encuentra en la direccion x y el otro seencuentra en la direccion y, en este caso lo interesante es determinar la trayectoria delmovimiento resultante, en primera instancia analizaremos cuando los dos movimientostienen la misma frecuencia, las ecuaciones que describen cada uno de los movimientosson:

x = Asen (ωt+ φ1) y = Bsen (ωt+ φ2) (1.83)

Si despejamos ωt de la primera ecuacion y la remplazamos en la segunda ecuacionobtenemos:

y = Bsen(sen−1

(x

A

)+ (φ2 − φ1)

)(1.84)

Desarrollando es con ayuda de la identidad trigonometrica sen(A + B) =sen(A) cos(B) + sen(B) cos(A), se obtiene:

y

B=x

Acos(δ) + cos

(sen−1

(x

A

))sen (δ) (1.85)

21


donde δ = φ2 − φ1, pero cos(M) =√

1− sen2(M), llegando finalmente a:(x

A

)2

+(y

B

)2

− 2xy cos δ

AB= sen2δ (1.86)

lo cual corresponde a una elipse que hace un angulo con los ejes como la ilustradaen la figura 1.6.1

x2/9+y2/1-2 cos( /6) x y/3-(sin( /6))2 = 0

Figura 1.16: Trayectoria del movimiento resultante de la combinacion dedos movimientos perpendiculares

En el caso en el cual las amplitudes de los movimientos son iguales A = B, la trayec-toria de los movimientos es un circulo, cuando las fases iniciales de los dos movimientosson iguales φ1 = φ2, se obtiene una lınea recta dada por y = B

Ax, en el caso en el cual la

diferencia entre las fases iniciales es π, la trayectoria resultante es una recta y = −BAx,

los dos casos correspondientes a lıneas rectas son movimientos armonicos simples, confrecuencia angular ω y amplitud

√A2 +B2. para obtener la direccion del movimiento

se deben derivar las posiciones en x y y para obtener la componentes de la velocidad,con estas componentes de la velocidad se evalua en cualquier punto de la trayectoriapara ası determinar la direccion del movimiento.

En el caso de tener frecuencias diferentes se obtienen unas figuras conocidas comofiguras del Lissajous, para ilustrar la construccion de las mismas utilizaremos la tecnicade fasores, las ecuaciones para dos movimientos armonicos simples perpendiculares dediferentes frecuencias son:

x = Asen (ω1t+ φ1) y = Bsen (ω2t+ φ2) (1.87)

Tomemos como ejemplo el caso en el cual ω1 = 34ω2, φ1 = 0, φ2 = π/6, A = 1

y B = 2 la relacion entre las fases describe por ejemplo que cuando x recorre 3o, yrecorre 4o, donde la construccion se muestra en la figura 1.6.1

Ejemplo 11 Encontrar la ecuacion de la trayectoria del movimiento resultante de dos movimien-tos armonicos simples perpendiculares, cuyas ecuaciones son x = 4senωt y y = 3sen (ωt+ α), cuando

22


Figura 1.17: Construccion de una figura de Lissajous cuando ω1 = 34ω2,

φ1 = 0, φ2 = π/6, A = 1 y B = 2

α = 0, π/2 y π. Hacer un grafico de la trayectoria de la partıcula en cada caso y senalar el sentido enel cual viaja la partıcula.

Solucion: despejando de la primera de estas ecuaciones tenemos senωt = x/4, que al remplazarloen la segunda de las ecuaciones tenemos

y

3=x

4cosα+

√1− x2

16senα (1.88)

para α = 0 y = 34x, lo cual corresponde a una lınea recta de pendiente positiva, para α = π/2

x2

16 + y2

9 = 1, que representa una elipse, y para α = π y = − 34x, que corresponde a una lınea de

pendiente negativa.Para la direccion de la trayectoria de la combinacion de los movimientos, se deben obtener las

componentes de las velocidades, es decir vx = 4ωcosωt y vy = 3ωcos (ωt+ φ), para x = 0 se tiene queωt = 0, en este caso:

vx = 4ω (1.89)

vy = 3ωcosα

α = 0 vy = 3ωα = π/2 vy = 0α = π vy = −3ω

(1.90)

23


Figura 1.18: Trayectorias de los movimientos para diferentes valores de α

1.7. Movimiento Amortiguado

Todos los sistemas oscilantes descritos, poseen perdida de energıa a causa de la friccion; por ejemploun pendulo simple despues de algunas oscilaciones disminuye la amplitud de sus oscilaciones, este tipode movimiento en el cual se considera la disminucion de la amplitud Fig. es el movimiento oscilatorioamortiguado. En los fluidos como el aire, la fuerza de amortiguamiento a bajas velocidades se consideraproporcional a la velocidad del objeto −λv, donde λ es una constante que depende de la viscosidaddel medio y de la forma del objeto, por ejemplo para un objeto esferico de radio R, esta dada porλ = 6πηR, donde η es la viscosidad del medio. Para el caso de medias y altas velocidades, esta fuerzaen el aire es proporcional al cuadrado de la velocidad.

Para ilustrar el movimiento oscilatorio amortiguado, consideremos un cuerpo unido a un resorteque se mueve en un fluido, en este caso las fuerzas que actuan sobre el cuerpo son la de restauraciondel resorte y la de amortiguamiento; la ecuacion del movimiento del cuerpo es:

md2x

dt2= −λv − kx, (1.91)

que puede ser escrita como:

d2x

dt2+λ

m

dx

dt+k

mx = 0 (1.92)

La energıa que se disipa debido a la fuerza de amortiguamiento se puede calcular multiplicandola fuerza por la velocidad esto es dE

dt = −λvv = −λv2, lo cual quiere decir que esta energıa esmaxima cuando la velocidad es maxima. La solucion de esta ecuacion resultante puede ser obtenidade dos formas una es notando la forma de exponencial decreciente en la amplitud de las oscilacionesamortiguadas, tomando en este caso la solucion en la forma:

x (t) = Ae−γtsen (ωAt+ φ) (1.93)

Donde se deben determinara la constante de amortiguamiento γ y la frecuencia de oscilacion conamortiguamiento, calculando la primera y segunda derivadas de (1.93) y remplazando en (1.92), seobtiene:

dx

dt= −Aγe−γtsen (ωAt+ φ) + ωAAe

−γtcos (ωAt+ φ) (1.94)

24


Figura 1.19: Amplitud de una oscilacion subamortiguada en funcion del tiempo

d2x

dt2= Aγ2e−γtsen (ωAt+ φ)− 2AγωAe

−γtcos (ωAt+ φ)

−ω2AAe

−γtsen (ωAt+ φ)

(γ2 − ω2

A −λγ

m+k

m

)Ae−γtsen (ωAt+ φ) +

(−2γωA + ωA

λ

m

)Ae−γtcos (ωAt+ φ) = 0 (1.95)

Donde surgen las condiciones:

γ2 − ω2A −

λγ

m+k

m= 0 (1.96)

−2γωA + ωAλ

m= 0

De donde se obtienen los valores de γ y ωA:

γ =λ

2m(1.97)

ωA =

√k

m− λ2

4m2=√ω20 − γ2

Otro metodo para la solucion de la ecuacion diferencial (1.92) es el metodo para la solucion deecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes, el cual consiste en tomar unasolucion de la forma est y remplazarla en la ecuacion con sus respectivas derivadas, lo que convierte laecuacion (1.92) en:

s2 +λ

ms+

k

m= 0 (1.98)

cuya solucion para s es:

s = − λ

2m±√γ2 − ω2

0 (1.99)

25


Con estos valores de s se pueden obtener tres solucion, las cuales tienen significados fısicos difer-entes, para el caso en el cual ω0 > γ, el movimiento oscilatorio de denomina subamortiguado y eneste caso los valores de s son s = −γ ± i

√ω20 − γ2, donde las soluciones complejas producen funciones

sinusoidales de la forma (1.95). Cuando γ = ω0, las oscilaciones se llaman crıticamente amortiguadasy en este caso las soluciones para s son s = −γ y la solucion de la amplitud de las oscilaciones es:

x (t) = (At+B) e−γt (1.100)

Para el caso en el cual γ > ω0, las soluciones son reales y no se producen oscilaciones, en este casocuando se pone a oscilar la amplitud decaera rapidamente sin producir oscilaciones, los valores de s,estan dados por (1.99) y x (t) como:

x (t) = Ae

(−γ+√γ2−ω2

0

)t

+Be

(−γ−√γ2−ω2

0

)t

(1.101)

Ejemplo 12 Encontrar la ecuacion del movimiento para una oscilacion sub amortiguada cuyasposicion y velocidad inicial son x0 y v0.

Solucion: Las ecuaciones de la posicion y velocidad en este caso son:

x = Ae−γtsen (ωt+ φ)

v = −A−γtsen (ωt+ φ) +A−γtcos (ωt+ φ)

Remplazando las condiciones iniciales obtenemos las ecuaciones:

x0 = Asenφ

v0 = −Aγsenφ+Aωcosφ,

remplazando la primera de estas ecuaciones en la segunda ecuacion obtenemos

v0 = −γx0 +ωx0cosφ

senφ

tanφ =x0ω

v0 + γx0,

lo cual corresponde a un angulo con lados opuesto y adyacente x0ω y v0 + γx0 e hipotenusa√x20ω

2 + (v0 + γx0)2, de esta forma la amplitud se convierte en

A =x0senφ

=

√x20ω

2 + (v0 + γx0)2

ω

Obteniendose finalmente la ecuacion del movimiento como:

x (t) =

√x20ω

2 + (v0 + γx0)2

ωe−γtsen

(ωt+ tan−1

(x0ω

v0 + γx0

))(1.102)

Ejemplo 13 Encontrar la ecuacion del movimiento para una oscilacion criticamente amor-tiguado cuyas posicion y velocidad inicial son x0 y v0.


x = (At+B) e−γt

v = Ae−γt − γ (At+B) e−γt = (A− γB − γAt) e−γt


26


x0 = B

v0 = (A− γB) ,


A = γx0 + v0


x (t) = ((γx0 + v0) t+ x0) e−γt

Ejemplo 14 Encontrar la ecuacion del movimiento para una oscilacion sobre amortiguadocuyas posicion y velocidad inicial son x0 y v0.


x = Ae

(−γ+√γ2+ω2

0

)t

+Be

(−γ−√γ2+ω2

0

)t

v = A

(−γ +

√γ2 + ω2

0

)e

(−γ+√γ2+ω2

0

)t

+B

(−γ −

√γ2 + ω2

0

)e

(−γ−√γ2+ω2

0

)t


x0 = A+B

v0 = A

(−γ +

√γ2 + ω2

0

)+B

(−γ −

√γ2 + ω2

0

),


A =v0 − x0γ + x0

√γ2 + ω2

0

2√γ2 + ω2

0

y

B == v0 + x0γ + x0

√γ2 + ω2

0

2√γ2 + ω2

0


x (t) =v0 − x0γ + x0

√γ2 + ω2

0

2√γ2 + ω2

0

e

(−γ+√γ2+ω2

0

)t

+v0 + x0γ + x0

√γ2 + ω2

0

2√γ2 + ω2

0

e

(−γ−√γ2+ω2

0

)t

1.8. Oscilaciones Forzadas

Las oscilaciones forzadas son otro tipo de oscilaciones, en las cuales una fuerzaexterna, que genera las oscilaciones, supongamos nuevamente el caso de un resorte alcual se le aplica una fuerza externa Fe = F0cosωf t, en este caso la ecuacion 1.92 semodifica en:

d2x

dt2+λ

m

dx

dt+k

mx =

F0

mcosωf t (1.107)

27


En este caso las oscilaciones son producidas por la accion de la fuerza externa portal motivo el movimiento armonico simple con frecuencia ωf , es decir:

x (t) = Asen (ωf t+ α) , (1.108)

donde en este caso se deben determinar la amplitud A y la fase α del movimiento,con esta solucion la ecuacion (1.108), se convierte en:

− Aω2fsen (ωf t+ α) +

Aωfλ

mcos (ωf t+ α) +

kA

msen (ωf t+ α) =

F0

mcos (ωf t) (1.109)

Con la ayuda de las identidades trigonometricas sen (ωf t+ α) = sen (ωf t) cos (α) +cos (ωf t) sen (α) y cos (ωf t+ α) = cos (ωf t) cos (α) + sen (ωf t) sen (α), esta ecuacionpuede ser escrita como:

(−Aω2

fcosα−Aωfλ

msenα +

kA

mcosα

)senωf t+ (1.110)(

−Aω2fsenα +

Aωfλ

mcosα +

kA

msenα− F0

m

)cosωf t = 0,

de donde se obtienen las dos condiciones:

− Aω2fcosα−

Aωfλ

msenα +

kA

mcosα = 0 (1.111)

−Aω2fsenα +

Aωfλ

mcosα +

kA

msenα− F0

m= 0

De la primera de las ecuaciones (1.112), se tiene:

tanα =m

λωf

(k

m− ω2

f

)=ω2

0 − ω2f

2γωf(1.112)

Esta expresion para la tanα, puede ser representada mediante un triangulo como elde la figura1.20, a partir de la cual se pueden obtener las expresiones para el senα y elcosα

La segunda expresion de (1.112), se convierte en:

ω20 − ω2

f√(ω2

0 − ω2f

)2+ 4γ2ω2

f

(ω2

0 − ω2f

)A+

2γωf√(ω2

0 − ω2f

)2+ 4γ2ω2

f

A2γωf =F0

m(1.113)

de donde

A =F0/m√(

ω20 − ω2

f

)2+ 4γ2ω2

f

(1.114)

28


Figura 1.20: Representacion geometrica del angulo α

De esta expresion, se puede observar que la amplitud tiene una dependencia de ωf ,ademas esta amplitud es maxima cuando el denominador de (1.114) es mınimo, lo cualocurre cuando ω0 = ωf , es decir que la frecuencia forzada es igual a la frecuencia propiadel sistema, en este caso se dice que el sistema se encuentra en resonancia y la frecuenciaa la cual s presenta este fenomeno de denomina frecuencia de resonancia, un ejemplosimple de resonancia se presenta cuando se columpia un nino, el sistema puede serconsiderado como un pendulo el cual posee una frecuencia propia del sistema, en estecaso la fuerza externa es la proporcionada por la persona que impulsa el nino, cuandola frecuencia de la fuerza impulsadora coincide con la frecuencia propia del sistema laamplitud del nino es mayor.

La velocidad con la cual se mueve el objeto al cual se le aplica la fuerza externa es:

v = Aωfcos (ωf t+ α) (1.115)

La velocidad maxima es:

v = Aωf =F0ωf/m√(

ω20 − ω2

f

)2+ 4γ2ω2

f

=F0√

λ2 + (mωf − k/ωf )2(1.116)

El valor mas alto de esta velocidad maxima, ocurre cuando ω0 = ωf , es decir cuandoel sistema se encuentra en resonancia, en este caso la energıa cinetica presenta su maxi-mo valor, lo que demuestra que en resonancia la transferencia de energıa es maxima.El cociente de la velocidad maxima es la impedancia Z, es decir;

Z =√λ2 + (mωf − k/ωf )2, (1.117)

impedancia que a su vez esta compuesta de la resistencia R = λ y la reactanciaX = mωf − k/ωf , por tanto tanα = X/R. En el caso en el cual se encuentra enresonancia X = 0, lo que implica que α = 0, en este caso el factor Q = cos2α = 1,el cual se denomina factor de calidad y su valor es maximo cuando se encuentra enresonancia es decir se produce la mayor transferencia de energıa. La velocidad puedeser escrita como:

v =F0

Zcos (ωf t+ α) (1.118)

29


La potencia que es la energıa transferida por unidad de tiempo, que tambien esmaxima en resonancia esta dada por:

P = Fv =F 2

0

Zcos (ωf t+ α) cosωf t =

F 20

Z

(cos2ωf tcosα− senωf tcosωf tsenα

)(1.119)

La potencia promedio es entonces

P =F 2

0

Zcosα (1.120)

Ejemplo 15 Un nino juega con un resorte de constante k = 20 N/m, longitud natural l0 = 5cm y friccion despreciable del cual cuelga una masa m = 200 g, sujetando el otro extremo del resorteentre sus dedos, con la mano extendida horizontalmente. El nino agita la mano arriba y abajo, con unaamplitud A = 2 cm y una frecuencia ω. Determine la posicion de la pesa, si esta oscila con la mismafrecuencia que la mano. ¿En que condiciones la pesa llegara a golpearle la mano?

Figura 1.21: Movimiento de una pesa por un nino

El movimiento de la pesa es vertical,de forma que podemos usar una sola di-mension. Sea Y la direccion vertical y ha-cia abajo, medida desde la posicion cen-tral de la mano, de forma que esta ocupala posicion

y1 = c cos(ωt),

Observese que ω es una frecuencia ar-bitraria (la que quiera darle el nino almover su mano) y no tiene por que co-incidir con la que tendrıa el resorte si os-cilara libremente (frecuencia natural)

ω 6= ω0 =

√k

m= 10

rad

s

La pesa esta sometida a la accion dedos fuerzas: su propio peso y la fuerzaelastica ejercida por el resorte.

F = mg − k(y − y1 − l0),

siendo l0 la longitud natural del resorte (que aquı debemos tener en cuenta porque queremos ver enque caso el resorte se encoge del todo). La cantidad y1 aparece porque la ley de Hooke es dependientedel estiramiento total del resorte, y este depende tanto de la posicion inicial como de la final.La ecuacionde movimiento para la pesa es entonces

md2y

dt2= mg − k(y − y1 − l0)

Sustituyendo y1 nos queda la ecuacion de movimiento

md2y

dt2+ ky = mg + kl0 + kc cos(ωt)

30


Sabemos que la pesa oscila con la misma frecuencia que la mano del nino. Estas oscilaciones lashara en torno a una cierta posicion de equilibrio, ası que la solucion la podemos escribir en la forma

y = y0 +Asen(ωt+ φ),

donde y0 (la posicion central de las oscilaciones), A es la amplitud que hay que determi-nar.Sustituyendo en la ecuacion de movimiento y nos queda

−Amω2senωt cosφ−Amω2 cosωtsenφ+ky0 +kAsenωt cosφ+kA cosωtsenφ−mg−kl0 = kc cos(ωt)

Si esta ecuacion debe cumplirse en todo instante, el coeficiente del coseno, el del seno, y el deltermino independiente deben ser iguales a un lado y a otro de la igualdad. Esto nos da tres ecuaciones:

ky0 −mg − kl0 = 0⇒ y0 =mg

k+ l0,

−Amω2 cosφ+ kA cosφ = 0⇒ ω =

√k

m,

−Amω2senφ+ kAsenφ = kc⇒ A =cω2

0

ω20 − ω2

El desfase φ, depende de si la frecuencia es menor o mayor que la frecuencia natura. Si ω < ω0

implica que φ = π/2, y la pesa oscila en fase con la mano, cuando la mano sube, la pesa sube, y sibaja, la pesa baja. Si ω > ω0 implica que φ = −π/2, y la pesa oscila en contrafase con la mano: cuandola mano sube, la pesa baja, y viceversa.

Con lo que la solucion para la posicion de la pesa es

y0 =(mgk

+ l0

)+

∣∣∣∣ cω20

ω20 − ω2

∣∣∣∣ sen(ωt± π

2)

Resulta que la posicion central es la misma que si no hubiera oscilaciones de la mano

y0 =mg

k+ l0 = 14,8cm

Esta amplitud tiene un maximo (teoricamente infinito), justo a la frecuencia natural.A muy bajasfrecuencias la amplitud coincide con al de oscialcion de la mano (ya que esta se mueve tan despacioque la pesa simplemente la sigue arriba y abajo). A altas frecuencias, la vibracion de la mano es tanrapida que la pesa no es capaz de seguirla y su amplitud de oscilacion tiende a 0.

La pesa chocara con la mano cuando la posicion de la pesa y la posicion de la mano coincidan,esto es

y = y1 ⇒ y0 +

∣∣∣∣ cω20

ω20 − ω2

∣∣∣∣ sen(ωt± π

2) = c cos(ωt)

Para que este choque se produzca, la amplitud de oscilacion debe ser lo suficientemente grande,lo cual solo ocurre cerca de la frecuencia propia (o frecuencia de resonancia). Habra entonces unafrecuencia mınima a la cual se producira este choque, y tambien una frecuencia maxima.

Si la frecuencia es menor que la frecuencia propia, la pesa oscila en fase con la mano, esto es, quesi la mano sube la pesa tambien, y lo mismo si baja. Pero, dependiendo de la frecuencia, la amplitudde estas oscilaciones ira aumentando, y la frecuencia mınima se alcanzara cuando la pesa toque unasola vez a la mano.

Esta colision, de producirse, ocurrira cuando la mano este en su punto mas alto, momento en quela pesa tambien estara en su punto superior. Esto ocurre para t = nT + T/2.

y0 −kc

k −mω2= −c

31


y obtenemos la frecuencia lımite

ωmin =

√k

m− kc

m(y0 + c)= ω0

√y0

y0 + c= 9,39rad/s

Segun hemos dicho cuando la frecuencia es mayor que la frecuencia natural, la pesa oscila al revesque la mano, si una sube, la otra baja. A frecuencias altas , la pesa nunca llega a la altura de la mano.La posicion extrema en que se produce la colision es aquella en que la mano esta en su punto masbajo, y la pesa en su punto mas alto. Esto ocurre en t = nT

y0 +kc

k −mω2= c

lo que nos da la frecuencia

ωmax =

√k

m+

kc

m(y0 − c)= ω0

√y0

y0 − c= 10,75rad/s

1.8.1. Oscilaciones forzadas en un circuito RLC en serie

Un circuito formado por una resistencia R, un condensador C y una inductancia L,conectadas en serie y alimentados por una fuente de tension de corriente alterna V0cosωt,como el de la figura , la diferencia de potencial para la resistencia, el condensador y elinductor en funcion de la carga Q y la corriente I son:

Figura 1.22: Circuito RLC en serie con fuente de tension de alterna

VL = LdIdt, VC = Q

C, VR = IR

De acuerdo con la ley de Ohm la suma de los potenciales en un lazo cerrado debeser cero, esto es:

LdI

dt+RI +

Q

C= V0 cos(ωf t) (1.121)

donde la relacion entre la carga y la corriente es I = dQdt

, con lo que la ecuacion(1.121) se convierte en:

Ld2Q

dt2+R

dQ

dt+Q

C= V0 cos(ωf t) (1.122)

32


esta ecuacion es similar a la ecuacion (), realizando una analogıa tenemos que m esanalogo a L, R es analogo a λ, k es analogo a 1/C y V0 es analogo a F0. La solucion eneste caso es de la forma:

Q (t) = Asen (ωf t+ α) (1.123)

donde

tanα =ω2

0 − ω2f

2Rωf(1.124)

donde

ω0 =

√1

LC(1.125)

de igual forma:

A =V0/L√(

ω20 − ω2

f

)2+ 4R2ω2

f

(1.126)

Para el caso de no existir fuente de potencial el sistema se comporta como un

oscilador amortiguado, donde γ = R2L

y ωA =√ω2

0 − γ2. Cuando R = 0, el sistema seun oscilador de frecuencia ω0.

Para buscar la expresion de la energıa que se conserva en el caso del circuito, com-paramos las ecuaciones del oscilador mecanico y del circuito. Si recordamos que en eloscilador mecanico la energıa potencial elastica es

Ep =1

2kx2 (1.127)

la analogıa nos lleva a identificar la energıa

Ee =Q2

2C(1.128)

Esta es la energıa potencial electrostatica. Esta asociada a la carga electrica al-macenada en las placas del condensador. Para buscar el analogo a la energıa cinetica,establecemos la analogıa entre la velocidad y la intensidad de corriente. Ası pues, poranalogıa con la energıa cinetica llegamos a la energıa

Em =1

2LI2 (1.129)

Esta es la energıa magnetica. Esta asociada al campo magnetico producido porla corriente electrica. En el oscilador mecanico, la energıa mecanica es la suma de lapotencial elastica y la cinetica. En el circuito, definimos una energıa total como la sumade la energıa potencial electrostatica y la magnetica

33


E = Ee + Em =Q2

2C+

1

2LI2 (1.130)

Al igual que en el caso mecanico, esta energıa se conserva. El comportamiento delcircuito puede entenderse como un intercambio entre la energıa electrica y la magnetica.

1.9. Problemas

1. Una partıcula de masa m, se muevea lo largo del eje X bajo la accion dela fuerza F = −kx. Cuando t = 2s,la partıcula pasa a traves del origen,y cuando t = 4s, su velocidad esde 4m/s. Encontrar la ecuacion de laelongacion y demostrar que la ampli-tud del movimiento es 32

√2/π, cuan-

do el periodo de oscilacion es de 16s.

2. Una partıcula de masa m, unida aun resorte, se mueve con movimientoarmonico simple, cuando t = 2s, laaceleracion de la partıcula es 3m/s2,y cuando t = 4s, la velocidad de lapartıcula es 6m/s, si la longitud deonda de las oscilaciones es 0.5m, cal-cular la amplitud y la fase inicial delmovimiento, si la longitud del resortees 2m, y su masa es 200g, el resortese estira una distancia de 2cm cuan-do se aplica una fuerza de 30N

3. Una partıcula con una masa de 0.5kgesta unida a un resorte de constantede fuerza 50 N/m. En el tiempo t =0, la partıcula tiene su maxima rapi-dez de 20m/s y se mueve a la izquier-da. (a) Determine la ecuacion delmovimiento de la partıcula, especi-ficando su posicion del tiempo. (b)

¿En que parte del movimiento es laenergıa potencial tres veces la energıacinetica?. (c) Encuentre la longitudde un pendulo simple que tenga elmismo periodo de oscilacion.

4. Una masa m = 2,5 kg cuelga deltecho mediante un resorte con k = 90N/m. Inicialmente, el resorte esta ensu configuracion no estirada y lamasa se mantiene en reposo con sumano. Si en el tiempo t = 0, ustedlibera la masa, ¿Cual sera su posicioncomo funcion del tiempo?.

5. Una partıcula de masa 4kg esta uni-da a un resorte de constante defuerza 100N/m. Esta oscilando sobreuna superficie horizontal sin friccioncon una amplitud de 2m. Un objetode 6kg se deja caer verticalmente enla parte superior del objeto de 4kg,cuando pasa por la posicion de equi-librio. Los dos objetos se quedan pe-gados. (a) cuanto cambia la ampli-tud, el periodo y la energıa, del sis-tema vibratorio.

6. Una plancha horizontal oscila conmovimiento armonico simple con unaamplitud de 1,5 m y una frecuencia

34


de 15 oscilaciones por minuto. Calcu-lar el valor mınimo del coeficiente defriccion a fin de que un cuerpo coloca-do sobre la plancha no resbale cuan-do la plancha se mueve.

7. Un bloque de madera cuya densidadcon respecto al agua es ρ, tiene di-mensiones a, b y c. Mientras estaflotando en el agua con el lado a enforma vertical, se empuja hacia bajoy se suelta. Encontrar el periodo dela oscilacion resultante.

8. ¿Cual debıa ser el porcentaje de cam-bio en la longitud de un pendulo a finde que tenga el mismo periodo cuan-do se le traslada de un lugar dondeg = 9, 8m/s2 a una lugar en el cualg = 9, 81m/s2?

9. Una varilla de longitud L, un discode igual masa que la varilla y de ra-dio R, se coloca en el centro de lavarilla, el sistema se pone a oscilarrespecto a un eje horizontal que pasapor el extremo de la varilla, calcularel periodo de oscilacion del sistema.

10. Un cubo solido de lado a puede os-cilar con respecto a una eje horizon-tal coincidente con un borde. Encon-trar su perıodo de oscilacion.

11. Demostrar que para un osciladoramortiguado γ > ω0, la solucionde la elongacion es x = Ae −(γ+β)t

+Be−(γ−β)t, donde β =√γ2 − ω2

0.Encontrar los valores de A y B sise sabe que cuando t = 0 x = x0

y v = v0.

12. Un carro consiste en un cuerpo demasa m y cuatro ruedas de masaM y radio R. El carro rueda, sindeslizarse, de ida y vuelta, sobre un

plano horizontal sin friccion bajo lainfluencia de un resorte unido a unextremo del carro. La constante delresorte es k. Teniendo en cuenta elmomento de inercia de las ruedas cal-cular el periodo de oscilacion de iday vuelta del carro.

13. El volante en un reloj es un osciladorde torsion con un periodo de 0,5s. Siel volante es esencialmente un aro deR = 1cm y su masa es m = 8g. ¿Cuales el valor de la constante de torsion?.

14. Un pendulo fısico consiste en de unlargo cono delgado suspendido por suapice. La altura del cono es L y elradio de su base es R.¿Cual es el pe-riodo del pendulo?.

15. Una varilla de longitud L oscila conrespecto a un eje horizontal que pasapor un extremo. Un cuerpo de igualmasa que la varilla se ubica a una dis-tancia h del eje. Obtener el periododel pendulo.

16. El movimiento de un pendulosimple esta descrito por θ =

A cos(√

(g/l)t). Encontrar la ten-

sion del pendulo como una funciondel tiempo y calcular el valor maximode esta tension.

17. Encontrar la ecuacion de la trayec-toria del movimiento resultante dela combinacion de dos movimientosarmonicos simples perpendicularescuyas ecuaciones son x = 3sen (ωt) yy = 4sen (ωt+ π/3). Hacer un grafi-co de la trayectoria y senalar el sen-tido en el que viaja la partıcula

18. Representar la trayectoria y senalarel sentido en el que viaja unapartıcula sometida a la combinacion

35


de los movimientos armonicos sim-ples perpendiculares cuyas ecua-ciones x = 3sen ((π/3)t + π/2) yy = 4sen ((π/6)t+ π/3).

19. Encontrar la ecuacion resultante dela superposicion de dos movimientosarmonicos simples cuyas ecuacionesson x1 = 2sen (ωt+ π/6) y x2 =2 cos (ωt+ π/3).

20. Encontrar la ecuacion resultante dela superposicion de dos movimientosarmonicos simples cuyas ecuacionesson x1 = 2sen (ωt+ π/6) y x2 =2 cos (3ωt+ π/3).

21. Un pendulo simple cuando oscila enel vacıo tiene un periodo de oscilacionde 2s, cuando se introduce en un flu-ido y se suelta desde un angulo ini-cial de 7o, despues de 10s la ampli-tud se reduce a 4,5o, cual es la nuevafrecuencia de oscilacion y cual es laecuacion de la elongacion como unafuncion del tiempo.

22. Un oscilador tiene un periodo de os-cilacion sin amortiguamiento de 3s yal introducirlo en un fluido su peri-odo se reduce en un 25 %, cual es laconstante de amortiguamiento si lamasa del objeto es 500g. Obtener laecuacion de la velocidad en el fluidosi se deja oscilar con una velocidadinicial cero y una amplitud maximade 2cm.

23. En el caso de oscilador amortigua-do, la cantidad τ = 1

2γ, se denomi-

na tiempo de relajacion, suponer quepara un oscilador amortiguado τ esmucho menor que ω0, de modo que laamplitud permanece escencialmenteconstante durante una oscilacion. (a)Verificar que la energıa del oscilador

amortiguado se puede escribir comoE = 1

2mω2

0A2e−2γt (b) la potencia

promedio disipada por P = dEdt

= Eτ

.

24. Un pendulo de 1m de largo y cuyamasa es de 0,6kg se coloca de mo-do que forma un angulo de 15 conla vertical y luego se suelta. Calculara) La velocidad, b) la aceleracion yc) la tension en la cuerda cuando sudesplazamiento angular es 5.

25. Un pendulo simple tiene un periodode 2s y una amplitud maxima de 2;despues de 10 oscilaciones completasla amplitud se ha reducido a 5 en-contrar la ecuacion correspondientepara el desplazamiento ?.

26. Un oscilador amortiguado se lanzacon una velocidad inicial v0 desdeuna posicion inicial x0, calcular laposicion ? en funcion del tiempo, siel periodo es T

27. Demostrar que para un osciladorforzado P = 1

2

(P)res

, cuando la re-

actancia es igual la resistencia X =±R. la diferencia (∆ω)1/2, entre losdos valores de ωf para esta situacionse denomina ancho de banda del os-cilador y la relacion Q = ω/ (∆ω)1/2

se le conoce como factor de cali-dad. Demostrar que para un pequenoamortiguamiento (∆ω)1/2 = 2γ y porlo tanto Q = ω0

2γ.

28. Una varilla de masa m = 1kg y longi-tud L = 0,5m se hace oscilar alrede-dor de un eje horizontal que se en-cuentra a una distancia h = 0,2m delborde, a esta varilla se le aplica unafuerza oscilante de amplitud maximaF0 = 10N y una frecuencia ωf =2rad/s, si la constante λ = 0,5kg·m

36

Capıtulo 2

Movimiento Ondulatorio

2.1. Introduccion

Si en un punto de un medio material cualquiera (solido, lıquido o gas), seproduce una perturbacion, que desplaza de su posicion de equilibrio la partıculasituada en el mismo, como por ejemplo cuando se deja caer un objeto en el agua,la perturbacion no permanece localizada en el lugar que se produjo la perturbacion,sino que despues de cierto tiempo este se transmite a las partıculas circundantes.El proceso descrito anteriormente recibe el nombre de propagacion de una perturbacion.

El lugar en el cual se produce la perturbacion se conoce como foco de la pertur-bacion, en el caso de la perturbacion sobre la superficie del agua, esta perturbacionproduce ondas circulares con centro en el foco de la perturbacion.

Cuando una perturbacion se propaga en una superficie o en el espacio, como porejemplo el sonido, la intensidad disminuye rapidamente al aumentar la distancia entreel punto del espacio y el foco de la perturbacion, es decir con amortiguamiento, esteno es el caso de una pulsacion sobre una cuerda tensa, sobre la cual la perturbacionavanza una gran distancia sin experimentar una disminucion sensible en su intensidad.

Cuando la partıcula sobre la que se produce la perturbacion, se desplaza de suposicion de equilibrio, comienza a vibrar, produciendose nuevas perturbaciones, lascuales en la mayorıa de los casos se amortiguan rapidamente, de modo que al cabo decierto tiempo el movimiento de la partıcula sobre la que se produjo la perturbacioncesa practicamente, cabe aclarar que en la propagacion de una perturbacion no son laspartıculas del medio las que se propagan desplazandose de un lugar a otro. En estecaso lo que se propaga es la energıa del foco de vibracion, conservandose en este casolas posiciones medias de las partıculas. Esta situacion pude ser observada, cuando setiene un corcho flotando en el agua, en este caso las ondas pasan haciendo subir ybajar el corcho pero sin arrastrarlo con ellas, confirmando que las moleculas de aguano avanzan con las ondas.

37


En el caso en el cual el foco y las partıculas circundantes vibran con movimientoarmonico simple, el movimiento se conoce como ondulatorio y es el caso mas simple.

2.2. Descripcion matematica de la propagacion

Consideremos una funcion ψ (x), la cual describe una perturbacion inicial, en casode cambiar la posicion x, por la posicion x − x′, se obtienen la funcion ψ (x− x′),funcion que representa la misma funcion de perturbacion, pero en este caso la funcionha sido desplazada hacia la derecha en caso de ser x′ positivo, de forma similar en elcaso ψ (x+ x′), se obtiene un desplazamiento hacia la izquierda.

Si la posicion x′ = vt, donde t es el tiempo y v es la velocidad de las ondas, la cuales conocida como velocidad de fase, se tiene dos ondas una onda que viaja hacia laderecha y otra que viaja hacia la izquierda, de donde se concluye que una funcion de laforma

ψ (x± vt) (2.1)

describe una onda que ”viaja.o ”se propaga”sin deformacion en la direccion X, lafuncion ψ, puede representar diferentes cantidades fısicas, como por ejemplo, la defor-macion de un solido, la deformacion de un resorte, la presion de un gas, un campoelectrico, un campo magnetico, etc.

Un caso muy comun y especialmente interesante es aquel en el cual la funcion ψ (x, t),es una funcion sinusoidal o armonica tal como:

ψ (x, t) = ψ0sen (kx− ωt) (2.2)

donde k es el numero de onda, que es el numero de longitudes de ondas que estancontenidas en una distancia de 2π, λ, es la longitud de onda, es decir el periodo espacial,esto es la distancia a la cual la onda se repite a si misma, por lo tanto k = 2π/λ, ω esla frecuencia angular o cıclica de la onda, la cual se define como ω = 2πf , donde f esla frecuencia de la onda, que define cuantas veces se repite la onda en un segundo, untermino similar es el periodo T , el cual es el inverso de la frecuencia, T = 1/f , el cuales el tiempo en el cual se repite a si misma la onda, no se debe confundir el periodoespacial λ y el periodo temporal T los cuales son diferentes fısicamente.

Debido a que los campos asociados a un proceso fısico estan gobernados por leyesdinamicas, las cuales pueden expresarse en forma de ecuaciones diferenciales, estamosen la necesidad de encontrar una ecuacion diferencial que sea aplicable a todo tipo demovimiento ondulatorio, por ende al investigar las derivadas, de la funcion de onda, seobtendra esta ecuacion denominada ecuacion de onda, si en la ecuacion (2.1) realizamosel cambio de variables u = x± vt, y utilizando la regla de la cadena obtenemos.

∂ψ

∂x=∂ψ

∂u

∂u

∂x=∂ψ

∂u(2.3)

de forma similar la segunda derivada espacial pude ser obtenida en la forma

38


∂2ψ

∂x2=∂(∂ψ∂x

)∂x

=∂(∂ψ∂x

)∂u

∂u

∂x=∂2ψ

∂u2(2.4)

donde la derivada parcial ∂u∂x

= 1, de forma similar se obtiene la derivada temporal

con una pequena diferencia en la derivada parcial ∂u∂t

= ±v, con esto (±v)2 = v2, seobtiene la segunda derivada parcial temporal en la forma

∂2ψ

∂t2=∂2ψ

∂u2v2 (2.5)

remplazando (2.4), en (2.5) se obtiene la ecuacion diferencial de ondas como

∂2ψ

∂t2= v2∂

2ψ

∂x2(2.6)

2.3. Ondas de presion en una columna de gas

Consideremos una onda que se propaga a traves de un gas, por ejemplo una ondasonora, en este caso existen regiones en las cuales la presion del gas es ligeramentemenor que la presion media del gas y regiones donde la presion del gas el ligeramentemayor que la presion media del gas, supongamos que P0 y ρ0, la presion y densidaddel gas en condiciones de equilibrio, las cuales en esta condicion se mantienen en entodo el volumen del gas, para simplificar el analisis del problema, consideremos que elgas se encuentra encerrado en un tubo cilındrico figura1.5, en el caso de la propagacionde una onda la diferencia de presiones un pequeno volumen de espesor dx, se pone enmovimiento figura1.5, de modo que el nuevo espesor del pequeno volumen es dx+ dψ,debido al cambio que ocurre en el volumen la densidad del gas es modificada, pero porel principio de conservacion de la masa la masa antes ρ0Adx y despues ρA (dx+ dψ)dela deformacion deben ser iguales, de esta igualdad y despejando ρ, se obtiene:

ρ =ρ0

1 + ∂ψ/∂x(2.7)

Realizando la division (desarrollo binomial) obtenemos:

ρ = ρ0

[1− ∂ψ/∂x− (∂ψ/∂x)2 + (∂ψ/∂x)3 − · · ·

](2.8)

en caso de la deformacion ser pequena, se pueden despreciar los terminos de ordensuperior quedando la expresion para la densidad finalmente como:

ρ = ρ0 [1− ∂ψ/∂x] (2.9)

Debido a que la presion P en un gas esta determinada por la ecuacion de estado, lacual para un gas ideal es de la forma PV = NRT , lo cual indica que la presion es unafuncion del volumen y por ende de la densidad ρ, lo cual se puede escribir en general dela forma P = f (ρ). Utilizando el desarrollo de Taylor para esta funcion de la presionse tiene

39


Figura 2.1: Ondas de presion en una columna de gas

P = P0 + (ρ− ρ0)

(dP

dρ

)0

+1

2(ρ− ρ0)2

(d2P

dρ2

)0

+ · · · (2.10)

Para pequenas variaciones de la densidad, se pueden despreciar los terminos deorden superior y escribir

P = P0 + (ρ− ρ0)

(dP

dρ

)0

(2.11)

El termino G = ρ0

(dPdρ

)0, se conoce como modulo de elasticidad de volumen, el cual

al ser remplazado, en la ecuacion anterior se obtiene la ley de Hooke para los fluidos

P = P0 +G

(ρ− ρ0

ρ0

)(2.12)

Remplazando la ecuacion (1.45) en (1.47), tenemos

P = P0 −G∂ψ

∂x(2.13)

Debido a que existe movimiento de un pequeno volumen, se debe obtener la ecuaciondel movimiento del mismo esto es:

(P − P ′)A = −AdP = dm∂2ψ

∂t2(2.14)

pero el diferencial de masa es dm = ρ0Adx, la cual al ser remplazada se tiene

− AdP = ρ0Adx∂2ψ

∂t2o

∂P

∂x= −ρ0

∂2ψ

∂t2(2.15)

40


Remplazando la ecuacion (1.49) en la ecuacion (1.51)

∂

∂x

(P0 −G

∂ψ

∂x

)= −ρ0

∂2ψ

∂t2o

∂2ψ

∂t2=G

ρ0

∂2ψ

∂x2(2.16)

Donde hemos llegado a una ecuacion similar a la ecuacion de ondas (1.6), concluyen-do que la expresion para la velocidad de las ondas en una columna de gas es

v =√G/ρ0 (2.17)

De la ecuacion (1.49), se puede notar que

∂2P

∂t2= −G ∂3ψ

∂x∂t2(2.18)

y de (1.51)

∂3ψ

∂x∂t2= − 1

ρ0

∂2P

∂x2(2.19)

Combinando (1.54) con (1.55), se obtiene la ecuacion de ondas para la presion

∂2P

∂t2=G

ρ0

∂2P

∂x2(2.20)

Lo cual explica porque a este tipo de ondas se les llama ondas de presion, de formasimilar se llega a una ecuacion de ondas para la densidad, en la forma

∂2ρ

∂t2=G

ρ0

∂2ρ

∂x2(2.21)

Cuando se tiene el movimiento ondulatorio en un gas este proceso es adiabatico,en un proceso adiabatico se cumple P = Cργ, donde γ, es una cantidad conocidacomo coeficiente politropico del gas, si remplazamos esta expresion en la ecuacion paraG = ρ0

(dPdρ

)= ρ0γCρ

γ−1, pero C = Pρ−γ, obteniendose

G = γP0 (2.22)

Encontrando que la velocidad del sonido en un gas es

v =√γP/ρ (2.23)

para un gas ideal PV = NRT , lo cual es similar a Pm/ρ = NRT , con esto lavelocidad del sonido en un gas en funcion de la temperatura toma la forma

v =√γNRT/m =

√γRT/M (2.24)

donde M = m/N , es la masa de un mol del gasEjemplo:Calcular la velocidad de propagacion del sonido en el hidrogeno(H),nitrogeno(N) y oxıgeno(O) a 0oC, Tomar γ = 1,4, compararlos con los valoresexperimentales vH = 1269,5m/s, vN = 339,3m/s, vO = 317,2m/s

41


La masa molecular de los elementos se puede extraer de la tabla periodica comoMH = 1g/mol, MN = 14g/mol y MO = 16g/mol, la temperatura es T = 273,15oK y laconstante de los gases es R = 8,3143Jo/oKmol, con esto los valores para las velocidadesteoricas sonvH = 1260,8m/s, vN = 337m/s, vO = 315,2m/s, valores muy cercanos a los valoresexperimentales, se debe tener en cuenta que estas moleculas son diatomicas

Ejemplo: La temperatura de la atmosfera en sus capas bajas decrece con la alturacomo T = T0 − kz T0 = 20oC, k = 6oC/km. Un avion rompe la barrera del sonidocuando se encuentra a 8 km de altura. ¿Cuanto tarda el sonido en llegar al suelo?

Se puede hacer una estimacion del resultado, para ver si el efecto de la variaciontermica es apreciable.

La temperatura en el camino del sonido varıa desde 20 oC al nivel del suelo hasta(20 - 6·8) oC=-28 oC a la altura del avion h = 8 km. La velocidad del sonido a estasdos alturas es:

v(20 oC) = (331 + 0,6 · 20)m

s= 343

m

s

v(−28 oC) = (331− 0,6 · 28)m

s= 314,2

m

s

El tiempo que tarda el sonido en llegar al suelo estara entre los correspondientes aestas dos velocidades

t(20 oC) =h

v(20 oC)= 23,3 s

(−28 oC) =h

v(−28 oC)= 25,5 s

Para obtener el valor exacto se tiene que:

v =dz

dto v0 + 0,6 · T = 331 + 0,6 (20− 0,006z) = 343− 0,0036z =

dz

dt

de donde

t = − ln (343− 0,0036z)

0,0036

8000

0

= 24,36s

2.4. Ondas longitudinales en una barra

Cuando se produce una perturbacion, esta perturbacion se propaga a traves de labarra y se siente en otros lugares de la barra, en este caso se dice que se ha propagadouna onda elastica a lo largo de la barra, a medida que se propaga la perturbacion, loselementos de la barra se deforman (se alargan y se contraen) y se desplazan.

42


Figura 2.2: Ondas longitudinales en una barra

Para analizar la propagacion de estas ondas en la barra, consideremos una barracilındrica de seccion transversal A, de esta barra cilındrica tomamos un elemento difer-encial de volumen de ancho dx, a causa de la perturbacion este elemento diferencial sedeforma una cantidad dψ, de tal forma que el nuevo ancho del elemento diferencial esdx+ dψ, la deformacion unitaria o deformacion por unidad de longitud ε esta definidacomo la razon entre la deformacion y el elemento de longitud deformado

ε =∂ψ

∂x(2.25)

Una relacion entre el esfuerzo normal y la deformacion unitaria se establece por laley de Hooeke, la cual define que el esfuerzo normal es proporcional a la deformacionunitaria

σn = Y ε = Y∂ψ

∂x(2.26)

donde la constante Y , es el modulo de elasticidad de Young del material de la barra,las unidades del modulo de Young son N/m2, pero el esfuerzo normal se define comola fuerza por unidad de area es decir

σn = F/A (2.27)

con la utilizacion de estas ultimas ecuaciones se puede escribir la fuerza como

F = σnA = Y Aε = Y A∂ψ

∂x(2.28)

El movimiento del elemento de barra esta determinado por las fuerzas que actuansobre el, y que ”tratan”de llevarlo a la posicion de equilibrio. Las fuerzas que actuanson la fuerza F que ejerce la parte de la barra que se encuentra a la izquierda del

43


elemento y la fuerza F ′ que ejerce la parte de la derecha de la barra, como se muestraen la figura 1.6.

De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, tenemos:

F ′ − F = dF =

(∂F

∂x

)dx = dm

∂2ψ

∂t2(2.29)

el elemento diferencial de masa puede ser escrito en la forma dm = ρdV , dondedV = Adx, de donde dm = ρAdx, que al ser remplazado en la ecuacion anterior seconvierte en (

∂F

∂x

)= ρA

∂2ψ

∂t2(2.30)

Introduciendo F , de la ecuacion (1.64) en la ecuacion (1.66) se llega a

Y A

(∂2ψ

∂x2

)= ρA

∂2ψ

∂t2o

(∂2ψ

∂t2

)=Y

ρ

∂2ψ

∂x2(2.31)

Esta ecuacion, la cual es la ecuacion de ondas para la deformacion en una barra, dela cual se puede concluir que estas ondas se propagan a lo largo de la barra con unavelocidad

v =√Y/ρ (2.32)

Si ahora se toma la ecuacion (1.66) y se deriva respecto de x(∂2F

∂x2

)= ρA

∂2

∂t2

(∂ψ

∂x

)(2.33)

y de (1.64) ∂ψ/∂x = F/Y A, remplazando en la ecuacion anterior(∂2F

∂t2

)=Y

ρ

∂2F

∂x2(2.34)

ecuacion a partir de la cual se puede notar que el campo de fuerzas se propaga a lolargo de la barra con la misma velocidad que el campo de desplazamientos

EjemploUn alambre de acero que tiene una longitud de 2m y un radio de0,5mmcuelga del techo. Si un cuerpo de 100kg de masa se suspende del extremo li-bre hallar la elongacion del alambre y la velocidad de las ondas longitudinales que sepropagan a lo largo del alambre.La fuerza que actua sobre el alambre es el peso el cual es F = mg = 100kg ∗ 9,8m/s2 =980N , el modulo de Young para el acero es Y = 2,0× 1011N/m2, con estoF = Y Aε⇒ 980N = 2,0× 1011N/m2 ∗ π ∗ (0,5×−3)2ε, de dondeε = 6,238×−3, de lo cual, la deformacion es 1,24cmLa velocidad de las ondas longitudinales es

v =√Y/ρ =

√2,0× 1011N/m2/7,8× 103N/m3 = 5063,7m/s

44


2.5. Ondas transversales en una barra

El analisis de este tipo de ondas es similar al realizado en las ondas longitudinalesen una barra, consideremos una barra, la cual en estado sin deformar esta dada por lalinea punteada de la figura1.7

Figura 2.3: Ondas Transversales en una barra

Si en algun momento se hace vibrar la barra golpeandola transversalmente, en estecaso se deforma la barra tomando la forma de la linea curva continua, donde se puedesuponer que las deformaciones de la misma son en forma vertical mas no en formahorizontal.Si tomamos ψ, como el desplazamiento transversal de una pequena seccion dx en uninstante de tiempo, este desplazamiento es una funcion de la posicion por cuanto cadauno de los puntos de la barra sufre un desplazamiento diferente, en este caso la deforma-cion unitaria es transversal y por tal motivo recibe el nombre de deformacion unitariatransversal, δ = ∂ψ

∂x, y la ley de Hooke en este caso es

σc = Mδ = M∂ψ

∂x(2.35)

donde σc, es el esfuerzo cortante y M es el modulo de torsion del material, la fuerzaes entonces

F = AMδ = AM∂ψ

∂x(2.36)

donde A es el area de transversal de la barra, la ecuacion del movimiento de la barra,de acuerdo con la segunda ley de Newton es

F ′ − F = dF =∂F

∂xdx = dm

∂2ψ

∂t2(2.37)

donde dm = ρdV = ρAdx, con esto

∂F

∂xdx = ρAdx

∂2ψ

∂t2(2.38)

45


remplazando la expresion para la fuerza ecuacion(1.72), en esta ultima ecuacion sellega a

AM∂2ψ

∂x2dx = ρAdx

∂2ψ

∂t2o

∂2ψ

∂t2=M

ρ

∂2ψ

∂x2(2.39)

De forma similar se puede obtener la ecuacion de ondas para el campo de fuerzas,derivando (1.74), con respecto a x y remplazando la ecuacion (1.72), llegando a

∂2F

∂t2=M

ρ

∂2F

∂x2(2.40)

de donde, la velocidad con la que se propagan tanto el campo de desplazamientoscomo el campo de fuerzas

v =

√M

ρ(2.41)

Figura 2.4: Ondas de torsion en una barra

Otro ejemplo de este tipo de ondas son las ondas de torsion, en las cuales se suponeuna barra a la que se le aplica un momento torsionante τ a los extremos de la barra,la superficie del cilindro, inicialmente recta y paralela al eje, se tuerce formando unahelice AC, al tiempo que la seccion en B gira un cierto angulo θ respecto de la seccionen A.Consideremos una fibra cualquiera a una distancia r del eje de la barra, el eje de estafibra gira el mismo angulo θ, produciendose una deformacion tangencial δs igual a DE.La longitud de esta deformacion es el arco de circulo de radio r y el angulo viene dadapor:

46


δs = DE = rθ (2.42)

La deformacion angular media o distorsion γ, se obtiene dividiendo la deformaciontangencial, entre la longitud total de la barra

γ =rθ

L(2.43)

y el esfuerzo cortante segun la ley de Hooke de la forma:

σc = Mγ = Mrθ

L(2.44)

Si dividimos en dos la barra de la figura1.8, se traza el diagrama de cuerpo librecorrespondiente a una de las partes figura1.9.Un elemento diferencial de area de esta seccion estara sometido a una fuerza resistentedP = τdA, debido a que por ser diferencial se puede asumir que el esfuerzo es constantedentro del elemento.Para que se cumplan las condiciones de equilibrio estatico, apliquemos la condicion∑M = 0, es decir que el par torsor resistente ha de ser igual al momento torcionante

aplicado. El par resistente Tr es la suma de los momentos respecto al centro de todaslas fuerzas diferenciales dP :

T = Tr =∫rdP =

∫rσcdA (2.45)

Sustituyendo σc, por su valor, ecuacion(1.80)

T =Mθ

L

∫r2dA (2.46)

Ahora bien, J =∫r2dA, es el momento polar de inercia de la seccion

T =Mθ

LJ (2.47)

Combinando (1.80) y (1.83) se obtiene

σc =Tr

J(2.48)

de donde el esfuerzo maximo cortante es

σc =TR

J(2.49)

Para secciones circulares el momento dipolar de inercia se muestra en la ficura1.10.En el caso de un eje circular macizo el momento polar de inercia es

J =πR4

2(2.50)

y en el caso de un eje circular hueco

47


Figura 2.5: Diagrama de cuerpo libre de la seccion cortada

Figura 2.6: Momentos polares de inercia para una seccion circular

J =π (R4 −R′4)

2(2.51)

2.6. Ondas longitudinales en un resorte

Cuando se produce una perturbacion en un resorte estirado y el desplazamientoesperimentado por la seccion del mismo es ψ, la fuerza de esta seccion es

F = K∂ψ

∂x(2.52)

donde K, es el modulo de elasticidad del resorte, el cual es diferente de la constantede elasticidad del resorte, para obtener la relacion entre el modulo de elasticidad delresorte y la constante de elaticidad del mismo, supongamos que l longitud del resorte sinestirar es L y que cuando se le aplica una fuerza F , se estira una distancia l, quedandocon esto la deformacion unitaria como ∂ψ/∂x = l/L, de donde

F = Kl

L(2.53)

48


utilizando la ley de Hooke se tiene que F = kl, de lu cual K = kL, utilizando lasegunda ley de Newton:

dF =∂F

∂xdx = dm

∂2ψ

∂t2(2.54)

Remplazando la fuerza de la ecuacion (1.88) en (1.90), obteniendose

∂2F

∂t2=K

µ

∂2ψ

∂x2(2.55)

donde la velocidad de las ondas longitudinales en un resorte dada por

v =

√K

µ=

√kl

µ(2.56)

donde µ = dm/dx = m/L es la densidad de masa lineal

2.7. Ondas transversales en una cuerda

Consideremos una cuerda sujeto por sus dos extremos de tal forma que se produzcauna tension T sobre la cuerda, en estado de equilibrio la cuerda permanece tensa a lolargo del eje de las x, consideremos un elemento diferencial desplazado del equilibriodebido a la presencia de una onda es decir una perturbacion. Sus elementos vecinosejercen fuerzas ~F1 y ~F2 en los extremos del elemento considerado, se puede suponerque el efecto de la onda es tan pequeno como para que la tension de la cuerda sea casiuniforme, lo que significa que ~F1 = ~F2 = T . Por otra parte se puede suponer que latension de la cuerda es tan grande como para despreciar el efecto del peso, en este casola sumatoria de las fuerzas en y es:

∑Fy = Fy1 = Fy2 = Tsenθ2 − Tsenθ1 = T (senθ2 − senθ1) (2.57)

Se supone que los angulos θ1 y θ2, son pequenos, de modo que se puede realizar laaproximacion senθ1 ≈ senθ2, debido a que la pendiente de una curva en un punto esigual a la tangente del angulo entre la curva y el eje x en dicho punto, tan θ = ∂ψ/∂x.Por lo tanto

senθ ≈ tan θ = ∂ψ/∂x (2.58)

de donde se obtiene

∑Fy = T [(∂ψ/∂x)2 − (∂ψ/∂x)1] = T∆ (∂ψ/∂x) = T

∆ (∂ψ/∂x)

∆x∆x = T

∂

∂x

(∂ψ

∂x

)∆x

(2.59)Utilizando la segunda ley de Newton

49


Figura 2.7: Ondas Transversales en una cuerda

∑Fy = dm

∂2ψ

∂t2= T

∂

∂x

(∂ψ

∂x

)∆x (2.60)

ecuacion que se puede escribir como:

∂2ψ

∂t2=T

µ

∂2ψ

∂x2(2.61)

de donde la velocidad de las ondas transversales en una cuerda

v =

√T

µ(2.62)

2.8. Ondas Superficiales en un liquido

Lejos de las paredes del recipiente que lo contiene, la superficie libre de un lıquidoen equilibrio sometido a la gravedad y a las fuerzas de tension superficial es plana yhorizontal. Si por efecto de una perturbacion la superficie se aparta de esa posicion enalgun punto, ocurre un movimiento en el lıquido tendiente a restituir el equilibrio. Estemovimiento se propaga sobre la superficie en forma de ondas, llamadas ondas superfi-ciales. Esas ondas afectan tambien el interior del fluido, pero con menos intensidad amayores profundidades.Los efectos de la tension superficial son importantes cuando la longitud de las ondases muy corta, pues entonces la principal fuerza de restitucion es la capilaridad. Estasondas se denominan entonces ondas capilares. Pero cuando las longitudes de onda songrandes, la fuerza de restitucion se debe solo a la gravedad y tenemos entonces ondasde gravedad.Las ondas de superficie en el agua son sin duda el fenomeno ondulatorio mas facil deobservar, y no han cesado de fascinar al observador curioso. Se trata, ademas de un

50


fenomeno de enorme importancia practica y de gran relevancia para las ciencias delambiente terrestre. Presentan una fenomenologıa asombrosamente variada y han dadolugar, y siguen dando hoy, a numerosas investigaciones sea teoricas que experimentales.

Ondas superficiales de gravedadConsideraremos ahora ondas de gravedad de pequena amplitud, en las cuales la

velocidad del fluido es pequena. La ecuacion que gobierna el movimiento de un fluidoes la ecuacion de Navier-Stokes

d~u

dt= ~g − 1

ρ∇P + η∇2~u (2.63)

donde η es la viscosidad cinematica, en caso de tener un fluido ideal η = 0 y seobtienen las ecuaciones de Euler, debido a que el flujo es incompresible e irrotacional,se puede suponer ~u = ∇φ, donde φ, es el potencial de velocidades, si suponemos queel eje z es vertical y hacia arriba y que la superficie libre en equilibrio del liquido es elplano z = 0

Figura 2.8: Ondas superficiales en un liquido

En este caso la ecuacion de Navier Stokes toma la forma

∂2φ

∂z∂t= −gz − 1

ρ

∂P

∂z(2.64)

Lo cual pude ser escrito como

∂φ

∂t= −gz − 1

ρP (2.65)

Tomando con ψ (x, y, t) la coordenada z de un punto de la superficie perturbada.En el equilibrio ψ = 0, de modo que ψ representa el desplazamiento vertical de lasuperficie debido a las oscilaciones. Supongamos que sobre la superficie libre se ejerce

51


una presion constante P0(la presion atmosferica). Entonces por la (2.65) se debe cumplirla condicion de contorno

P0 = −ρgψ −(∂φ

∂t

)z=ψ

(2.66)

donde se puede emplear la nueva variable ψ′ = ψ+ P0

ρt, la ecuacion (2.66), se puede

escribir en la forma

0 = ρgψ +

(∂φ′

∂t

)z=ψ

(2.67)

donde se nota claramente que ∇ψ = ∇ψ′, de esta forma se obtiene ~u = ∇ψ′, lo cualpuede ser prescrito en la forma

uz (x, y, ψ, t) =

(∂φ′

∂z

)z=ψ

(2.68)

Pero por otro lado

uz (x, y, ψ, t) =∂ψ

∂t(2.69)

Combinando las ecuaciones (2.68) y (2.69), se obtiene(∂φ′

∂z

)z=ψ

=∂ψ

∂t(2.70)

Remplazando este resultado en la ecuacion (2.67), se obtiene(∂φ′

∂z+

1

g

∂2φ′

∂t2

)z=ψ

(2.71)

Debido a que las oscilaciones son pequenas, podemos evaluar la cantidad entreparentesis en z = 0 en lugar de z = ψ , con lo que finalmente el problema se reduce alas siguientes ecuaciones

∇2φ′ = 0,

(∂φ′

∂z+

1

g

∂2φ′

∂t2

)z=0

(2.72)

Gracias a la aproximacion de suponer perturbaciones de pequena amplitud, se hallegado a un problema lineal que se expresa en las (1.16). En virtud de la linealidad,tiene sentido buscar soluciones en la forma de perturbaciones sinusoidales de la superficielibre, de longitud de onda λ y periodo T , dado que mediante oportunas superposicionesde perturbaciones de este tipo podemos encontrar la solucion de cualquier problemade condiciones iniciales. Vamos a suponer que la superficie del liquido es ilimitada ysu profundidad h es muy grande, de modo que h >> λ , donde λ es la longitud deonda de la perturbacion, cuyo periodo es T . Por lo tanto tendremos lo que se denominauna onda de gravedad en aguas extensas y profundas. En este problema, entonces, no

52


hay condiciones de contorno en los bordes ni en el fondo. Supongamos que la onda sepropaga a lo largo del eje x, de modo que todas las magnitudes que la describen sonindependientes de y. Tendremos entonces

φ′ = f (z) sen (kx− ωt) (2.73)

Sustituyendo phi′, en la ecuacion de Laplace se llega a la ecuacion diferencial linealcon coeficientes constantes

f ′′ − k2f = 0 (2.74)

cuya solucion es de la forma

f(z) = Aekz +Be−kz (2.75)

donde tenemos la condicion f(h → ∞) = 0, lo que produce A = 0, quedando conesto

φ′ = Be−kzsen (kx− ωt) (2.76)

Este comportamiento exponencialmente decreciente en la direccion normal a la su-perficie es caracterıstico de las ondas superficiales, que se suelen tambien denominarevanescentes dado que no se propagan en esa direccion.

Si remplazamos (1.20) en (1.16) se puede obtiene

φ′ = −kBe−kzsen (kx− ωt) +ω2

gBe−kzsen (kx− ωt) (2.77)

Obteniendose la relacion ω =√gk, pero utilizando la ecuacion v = ω/k, de donde

v =√g/k =

√gλ/2π (2.78)

La ecuacion (1.22) nos muestra que v depende de la longitud de onda. En este casola velocidad de fase es proporcional a la raız cuadrada de la longitud de onda. Debidoa esto, una superposicion de ondas elementales de diferente longitud de onda cambiade forma mientras se propaga, y un paquete de ondas localizado se dispersa. Por estemotivo, las ondas que tienen esta propiedad se dicen dispersivas.

Hasta ahora, en nuestro estudio de las ondas superficiales no hemos tenido en cuentalas fuerzas de tension superficial. Veremos que la capilaridad tiene un efecto importantesobre las ondas de gravedad de longitud de onda pequena. Como antes vamos a suponerque la amplitud de las oscilaciones es pequena en comparacion con la longitud de onda(a << λ). El planteo del problema se puede hacer del mismo modo que antes y se obtieneque el potencial de velocidad satisface como antes la ecuacion de Laplace (la primerade las ecuaciones(1.16). La diferencia con el caso anterior aparece en la condicion decontorno sobre la superficie, pues ahora debido a la curvatura de la superficie cuandoesta es perturbada, hay una diferencia de presion entre ambos lados de la misma, paraempezar explicaremos el concepto de tension superficial.

53


Todo el mundo ha observado alguna vez gotas lıquidas en un medio gaseoso y havisto la forma curva que asume la superficie libre de un lıquido en reposo cerca delas paredes del recipiente que lo contiene. Tales observaciones no se pueden explicarmediante la condicion de equilibrio hidrostatico, pues es evidente que las superficiesde igual presion y densidad (que deben ser paralelas a la interfaz en su entorno) sonsiempre perpendiculares a la direccion de la gravedad.

Es facil mostrar que si la presion fuese la unica fuerza de superficie presente, no solotoda interfase deberıa ser plana, sino que tampoco podrıan ocurrir saltos de presion atraves de una interfase, contrariamente a lo que muestra el conocido fenomeno de lacapilaridad.

Para ello, consideremos un elemento de volumen atravesado por la interfaz entre dosfluidos en reposo (Fig. 1.2). El espesor del elemento es δh y sus caras 1 y 2 tienen unarea δl2 . Supongamos que exista una salto de presion P2 − P1 a traves de la interfaz.Debido a esa diferencia de presion habra una fuerza neta debida a los esfuerzos sobrelas caras 1 y 2, cuya magnitud es

(P2 − P1) δl2 (2.79)

Figura 2.9: Elemento diferencial de volumen entre dos superficies

y por lo tanto es proporcional a δl2 y no a δh. Por otra parte, la fuerza neta sobrela superficie lateral debida a la presion debe ser proporcional a la superficie lateral, queescala como δhδl.Por consiguiente, prescindiendo de toda consideracion acerca de la direccion de estasfuerzas, esta claro que son de orden distinto y no se pueden compensar entre si. Esevidente que tampoco ninguna fuerza de volumen (que es proporcional a δV = δhδl2

) puede compensar la fuerza dada por la ecuacion (1.22). Luego, si no existieran otrasfuerzas de superficie que las debidas a la presion, deberıamos tener P2 = P1, de modoque la presion seria continua a traves de la interfaz.

Por otra parte, en la union de los dos fluidos (recordemos que estan en reposo) nopueden aparecer otras fuerzas que no sean las debidas a la presion. Luego una diferenciade presion, si es que existe, tiene que se compensada por otras fuerzas, que hasta ahorano habıamos considerado. El asiento de esas nuevas fuerzas no puede ser otro que la

54


interfaz misma, o sea la abrupta transicion entre dos fluidos de distintas propiedades.Por lo tanto se deben ejercer sobre la superficie lateral, que es la unica atravesadapor la interfaz, mas precisamente sobre la curva C que resulta de la interseccion de lasuperficie lateral con la interfaz. La fuerza que se ejerce sobre un elemento de linea dlde C debe ser normal a la superficie lateral, es decir debe estar en el plano tangente ala interfaz, y ser ortogonal a dl (esto ultimo es necesario por la condicion de reposo).Deben cumplir, ademas, las siguientes condiciones:

Su resultante sobre un elemento extremadamente chato atravesado por la interfazdebe ser proporcional al area frontal δl2 del elemento, es decir, no debe tender acero con δh.

Su resultante sobre el mismo elemento debe tener direccion opuesta a la resultante(1.23). Esta segunda exigencia, junto con la condicion que las fuerzas deben serparalelas a la interfaz, implica que solo puede darse P21 si hay curvatura de lasuperficie.

Todo esto equivale a suponer que la interfaz entre dos medios se comporta como unamembrana de espesor infinitesimal, sede de fuerzas finitas, tangentes a su superficie.Por lo tanto la interfaz posee un tension superficial cuya magnitud esta determinadapor un coeficiente =, de modo que la fuerza dt es tangente a la interfaz y normal a dl,y se expresa como

dt = =dln (2.80)

donde n es normal a dl y paralela a la interfaz, y su sentido va desde la porcionsobre la cual es ejercida la fuerza hacia la porcion que la ejerce. El factor = que apareceen la ecuacion (1.24) se denomina coeficiente de tension superficial.

Figura 2.10: Interface entre los dos fluidos

Vamos a suponer que = es uniforme sobre la interfaz. En primer termino,mostraremos que una superficie curva en estado de tension ejerce un esfuerzo normal.Para ello consideramos el entorno de un punto O de la interfaz (Fig. 1.3). Elegimos

55


O como origen de un sistema de coordenadas cuyo eje z es normal a la interfaz. Seaz = ψ(x, y) la ecuacion de la interfaz; entonces ψ(0, 0) = 0 y(

∂ψ

∂x

)x=0

=

(∂ψ

∂y

)y=0

= 0 (2.81)

puesto que la interfaz es tangente al plano z = 0. Supondremos que en el entorno deO, la interfaz se puede aproximar por una superficie de segundo orden; geometricamente,esto significa que en O, la superficie esta caracterizada por dos radios de curvatura, Rx,Ry, correspondientes cada uno a las curvas que resultan de intersecar la superficie condos planos ortogonales que contienen al eje z, y que podemos considerar como los planos(x, z) e (y, z). Es un resultado bien conocido del analisis matematico que el radio decurvatura de una curva plana y = y(x), esta dado por

1

R=

y′′(1 + (y′)2

) 32

(2.82)

donde las primas indican derivacion respecto de x. Como en nuestro caso las primerasderivadas son nulas, los radios de curvatura en los planos ((x, z) e (y, z) son, respecti-vamente

1

Rx

=∂2ψ

∂x2

1

Ry

=∂2ψ

∂y2(2.83)

Evaluemos ahora la resultante dF’ de las fuerzas ejercidas por la tension superficialsobre dos elementos de linea dy paralelos al eje y, colocados a una distancia dx/2 deO (Fig. 1.4). Las componentes x se compensan entre si, pero quedan las componentessegun z que se suman dando

dF ′z = 2dy=sen(θ) = =dxdy/Rx = =dxdy∂2ψ

∂x2(2.84)

donde se ha utilizado, sen(θ) ≈ θ ≈ dx/2Rx, analogamente se encuentra el valorde las fuerzas resultantes dF” ejercidas por la tension sobre dos elementos de linea dx,paralelos al eje x, y colocados a dy/2 de O.Por lo tanto, la resultante de las fuerzas de tension superficial que se ejercen sobre elelemento de superficie dxdy de la interfaz, equivale a un esfuerzo normal a la interfaz(o lo que es lo mismo, a una presion) dado por:

Ps =dF ′ + dF ′′

dxdy= =

(∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2

)= =

(1

Rx

+1

Ry

)(2.85)

En el caso de nuestro estudio de las ondas esta ecuacion es recomendable escribirlaen la forma

δP = =(∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2

)(2.86)

56


Figura 2.11: Fuerzas que actuan sobre el elemento diferencial de superficie

Luego la presion cerca de la superficie es

P = P0 + =(∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2

)(2.87)

donde P0 es la presion externa. Por lo tanto la condicion de contorno sobre lasuperficie se escribe ahora

ρgψ + ρ

(∂φ

∂t

)z=ψ

−=(∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2

)= 0 (2.88)

Remplazando nuevamente (1.14), se obtiene finalmente la condicion(∂φ

∂z+

1

g

∂2φ

∂t2− =ρg

∂

∂z

(∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2

))z=0

= 0 (2.89)

Sustituyendo la solucion (1.20) en la ecuacion (1.33), se obtiene(−k +

ω2

g− =ρgk(k2))

Be−kzsen (kx− ωt)z=0 = 0 (2.90)

de donde se obtiene

ω =

√gk +

=k3

ρ(2.91)

de donde se obtiene la velocidad de propagacion en este caso como

57


ω =

√gλ

2π+

2π=ρλ

(2.92)

El cociente entre el termino de gravedad y el termino de tension superficial delradicando de la (1.35) esta determinado por el numero puro

B =ρg

=k2(2.93)

que se denomina numero de Bond (o tambien numero de Eotvos). Cuando B >> 1los efectos de la tension superficial son despreciables y estamos en el caso de las ondasde gravedad puras que acabamos de estudiar. Si, viceversa, B << 1, la dinamica delas oscilaciones esta determinada por la tension superficial y tenemos ondas capilarespuras. En los casos intermedios ambos efectos se deben tener en cuenta y tenemos lasondas de gravedad capilares.

Veamos como se modifican los presentes resultados cuando la profundidad h de lacapa lıquida es finita. Lo unico que cambia respecto del tratamiento anterior es quedebemos agregar la condicion de contorno en el fondo

(uz)x=−h =

(∂φ

∂z

)x=−h

= 0 (2.94)

Con esta ecuacion aplicada a la ecuacion (1.19), se llega a la ecuacion auxiliar

Akekh −Bke−kh = 0 (2.95)

Remplazando este resultado en la ecuacion (1.19)

φ′ = Ae−kh(Aekz−kh + Ae−(kz−kh)

)cos (kx− ωt) = A′ cosh k(z − h) cos (kx− ωt)

(2.96)donde A′ = 2Ae−kh, a partir de la (1.40) es sencillo verificar que las trayectorias

de las parcelas del fluido son ahora elipses achatadas. El achatamiento es tanto mayorcuanto menor es h/λ , y ademas crece con la profundidad, hasta que el semieje verticalse hace nulo en z = −h (es decir uz = 0), de modo que en el fondo el movimiento delfluido es puramente horizontal. Introduciendo la (1.40) en la condicion de contorno enla superficie (1.33) resulta la siguiente relacion de dispersion general:

ω =

√√√√(gk +=k3

ρ

)tanh (kh) (2.97)

de donde la velocidad de propagacion de las ondas es en general

v =

√√√√(gλ2π

+2π=ρλ

)tanh

(2πh

λ

)(2.98)

58


2.9. Potencia de una onda

Cuando una onda se propaga transporta energıa en la direccion en que viaja. Paradeterminar la rapidez con la que se propaga esta energıa, es decir, la potencia de laonda, en primer lugar se debe encontrar la densidad de energıa de la onda, por ejemploen el caso de una onda propagandose en una barra la potencia se puede calcular como:

P = −F ∂ψ∂t

(2.99)

donde se puede considerar ψ = ψ0sen (kx− ωt), y de acuerdo con la ley de Hooke

F = Y A∂ψ

∂x= Y Akψ0 cos (kx− ωt) (2.100)

Tomando la derivada ∂ψ∂t

= −kψ0ω cos (kx− ωt)

P = Y Aωkψ20 cos2 (kx− ωt) (2.101)

pero v =√Y/ρ

P = Y Aωkψ20 cos2 (kx− ωt) = vAρω2ψ2

0 cos2 (kx− ωt) (2.102)

La potencia media de la onda es

P = vAρω2ψ20

1

2= vA

(1

2ρω2ψ2

0

)(2.103)

donde se tomo ¯cos2 (kx− ωt) = 12

El termino(

12ρω2ψ2

0

), es conocido como energıa por unidad de volumen o densidad

de energıa en la barra

E =1

2ρω2ψ2

0 (2.104)

de donde

P = vAE (2.105)

El promedio del flujo de energıa por unidad de area y de tiempo, o intensidad de laonda, expresado en W/m2, es

I =P

A= vE (2.106)

La sensibilidad del oıdo humano es tal que para cada frecuencia hay una intensidadmınima o umbral de audicion, por debajo de la cual el sonido no es audible y unaintensidad maxima o umbral de dolor, la intensidad tambien puede ser expresada enotra unidad llamada decibel, segun la definicion

59


B = 10 logI

I0

(2.107)

Donde I0 es una intensidad de referencia. Para el caso del sonido en ele aire el nivelde referencia tomado arbitrariamente es I0 = 10−12W/m2

Tambien se puede obtener la potencia de una onda en una cuerda, la energıa cineticadel elemento diferencial figura1.11 es:

∆K =1

2(µ∆x)

(∂ψ

∂t

)2

(2.108)

la distancia ∆l =√

(∆x)2 + (∆y)2, y la distancia que se deforma la cuerda es

∆l −∆x =√

(∆x)2 + (∆y)2 −∆x, que puede ser escrito en la forma

∆l −∆x =

√√√√1 +

(∆ψ

∆x

)2

− 1

∆x =

√√√√1 +

(∂ψ

∂x

)2

− 1

∆x (2.109)

Que con la utilizacion del teorema del binomio:

(1 + x)n = 1 + nx+n (n− 1)

2!x2 +

n (n− 1) (n− 2)

3!x3 + · · · (2.110)

Para el caso anterior x =(∂ψ∂x

)2y n = 1/2, de lo que nos queda

∆l −∆x =

1 +

(1

2

∂ψ

∂x

)2

− 1

4

(∂ψ

∂x

)4

+ · · · − 1 ]∆x(2.111)

si la variacion de ∂ψ∂x

es pequena, se pueden eliminar los terminos de orden superior,llegando a:

∆l −∆x = 12

(∂ψ∂x

)2∆x. La energıa potencial ∆U del elemento, debida a la onda es

el trabajo que realiza T al deformar dicho elemento:

∆U = T1

2

∂ψ

∂x∆x (2.112)

La suma de estas energıas es

∆K + ∆U =1

2(µ∆x)

(∂ψ

∂t

)2

+ T1

2

(∂ψ

∂x

)2

∆x (2.113)

Luego la potencia de la onda esta definida como

P =∆K + ∆U

∆t=

1

2v

µ(∂ψ∂t

)2

+ T

(∂ψ

∂x

)2 (2.114)

Y recordando que ψ = ψ0sen (kx− ωt)

60


P =1

2v[µω2 + Tk2]ψ2

0 cos2 (kx− ωt) (2.115)

Tambien, v2 = T/µ = ω2/k2, llegando a

P = vµω2ψ20 cos2 (kx− ωt) (2.116)

La potencia promedio es

P =1

2vµω2ψ2

0 (2.117)

2.10. Ondas en dos y tres dimensiones

En tres dimensiones la onda ψ = ψ0senkx− ωt, describe una onda como lamostrada en la figura1.1, la cual se esta propagando en la direccion x, en generalψ = f (x− vt), describe una onda plana que se propaga en la direccion x, como semuestra en la figura1.12.

Lo que caracteriza una onda plana propagandose es la direccion de propagacion,la cual esta definida por un vector u, perpendicular al plano de la onda, en generalla direccion de propagacion puede ser cualquiera no solo la direccion x, en general laposicion en tres dimensiones puede ser expresada en la forma r = u · r, con lo cual lafuncion se puede escribir ψ = f (r · u− vt), para el caso de una onda plana armonica osinusoidal propagandose en la direccion u

ψ = ψ0sen (ku · r− ωt) = ψ0sen (k · r− ωt) (2.118)

donde se ha definido el vector de propagacion k = ku = kxi+ ky j+ kzk, este vectorposee una magnitud k = 2π/λ = ω/v y apunta en la direccion de propagacion.Cuando la propagacion ocurre en un lugar en el espacio tridimensional, lo cual es lasituacion mas comun, la ecuacion de ondas se convierte en

∂2ψ

∂t2= v2

(∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2

)= v2∇2ψ (2.119)

donde en operador ∇ nabbla, es un operador vectorial dado por

∇ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(2.120)

La ecuacion(1.112), a pesar de de estar en tres dimensiones es monodimensional, esdecir su propagacion es una direccion especifica y la situacion fısica es la misma en todoslos planos perpendiculares a la direccion de propagacion, pero en la naturaleza existenotras formas de propagacion, en las cuales las ondas se propagan en varias direcciones,entre las cuales las mas comunes son las cilındricas y las esfericas.En la figura1.13 se muestra el comportamiento de los frentes de onda de las ondas

61


planas cilındricas y esfericas, las ondas cilındricas se producen cuando se colocan unconjunto de fuentes uniformemente distribuidas a lo largo de un eje por ejemplo el ejez.

Figura 2.12: En la figura (a) se muestra una onda propagandose en la direccion X y enla figura (b) se muestra una onda propagandose en una direccion arbitraria

Las ondas esfericas se producen por ejemplo cuando se origina una perturbacionen un gas y esta se propaga en todas las direcciones con la misma velocidad, en estecaso se dice que el medio es isotropico, en el caso de la velocidad de las ondas no ser lamisma en todas las direcciones el medio se denomina anisotropico, y en este caso lasondas resultantes no son esfericas.

2.11. Ondas en una membrana tensa

Consideremos una membrana delgada y tensa, la membrana esta sobre un marco elcual ejerce una tension por unidad de longitud T , si tomamos un pequeno diferencialde area sobre la membrana, este diferencial experimentara una deformacion ψ, la cualdepende de x y de y, para obtener la ecuacion diferencial, se calcula la fuerza sobrecada una de las caras del diferencial de area.

De los cuatro lados que posee el diferencial de area dos de ellos son paralelos al ejex y los otros dos son paralelos al eje y, para los que son paralelos al eje x, la fuerza netaque actua en la direccion z es

Tdy (tan θ′ − tan θ) = Tdy(tan θ′ − tan θ)

dxdx = Tdy

∂ tan θ

∂xdx = T

∂2ψ

∂x2dxdy (2.121)

de manera similar para los lados paralelos al eje y, obtenemos

T∂2ψ

∂y2dxdy (2.122)

Luego la fuerza neta en la direccion z

62


Figura 2.13: Membrana tensa

Fz = T∂2ψ

∂x2dxdy + T

∂2ψ

∂y2dxdy (2.123)

Definimos la densidad de masa superficial o masa por unidad de area como σ =m/A = dm/dxdy, de donde dm = σdxdy, luego la ecuacion del movimiento de estaporcion de la membrana es

σdxdy∂2ψ

∂t2= T

∂2ψ

∂x2dxdy + T

∂2ψ

∂y2dxdy o

∂2ψ

∂t2=T

σ

(∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2

)(2.124)

Con esto la velocidad de las ondas sobre una membrana tensa estan dadas por

v =√T/σ (2.125)

2.12. Ondas esfericas en un fluido

Un ejemplo de ondas esfericas son las ondas en un fluido, para tal fin consideremosuna onda de presion en un fluido homogeneo e isotropico, en este caso la ecuacion deondas debe escribirse en funcion de las variables r, θ, φ, pero si la onda tiene la mismaamplitud en todas las direcciones, la unica variable sobre la que queda dependencia esr, ene este caso el laplaciano en coordenadas esfericas manteniendo solo la dependenciade r es

∇2ψ =1

r2

∂

∂r

(r2∂ψ

∂r

)(2.126)

63


Lo cual convierte la ecuacion de onda(1.119) en

∂2ψ

∂t2= v2 1

r2

∂

∂r

(r2∂ψ

∂r

)(2.127)

La solucion de esta ecuacion se puede obtener realizando la sustitucion ψ = φ/r

∂2 (φ/r)

∂t2=v2

r2

∂

∂r

(r2∂ (φ/r)

∂r

)=v2

r2

∂

∂r

(r2 r

∂φ∂r− φr2

)=v2

r2

∂

∂r

(r∂φ

∂r− ψ

)(2.128)

1

r

∂2φ

∂t2=v2

r2

(r∂2φ

∂r2+∂φ

∂r− ∂φ

∂r

)(2.129)

Llegando a una ecuacion similar a la ecuacion(1.6)

∂2φ

∂t2= v2∂

2φ

∂r2(2.130)

cuya solucion es de la forma φ = φ0sen (kr − ωt), luego la solucion de(1.127) es

ψ =ψ0sen (kr − ωt)

r(2.131)

2.13. velocidad de grupo

la velocidad v = ω/k, para una onda armonica se llama velocidad de fase, sin embar-go esta velocidad no es necesariamente la que se observa cuando se analiza el movimientoondulatorio, debido a que cuando se tiene una senal esta contiene en realidad varias fre-cuencias y varias longitudes de onda lo que implica que existiran diferentes velocidades,donde la onda o pulso resultante es una suma de las ondas de diferentes componentes,esto es conocido como analisis de Fourier, para simplificar el analisis consideremos quela onda esta compuesta por dos frecuencias ω y ω′ muy similares, de tal forma queω′ − ω sea muy pequena, se supondra que las amplitudes de estas son iguales, luegotenemos

ψ = ψ0sen (kx− ωt) + ψ0sen (k′x− ω′t) (2.132)

donde utilizando la identidad senA+ senB = 2 cos 12

(B − A) sen12

(B + A)

ψ = ψ0 cos1

2[(k′ − k)x− (ω′ − ω) t] sen

1

2[(k′ + k)x− (ω′ + ω) t] (2.133)

debido a que k y k′ son lo mismo, y ademas ω y ω′ tambien se obtiene

ψ = ψ0 cos1

2[(k′ − k)x− (ω′ − ω) t] sen (kx− ωt) (2.134)

64


La ecuacion anterior representa un movimiento ondulatorio de amplitud moduladadonde la amplitud modulada es

ψ0 cos1

2[(k′ − k)x− (ω′ − ω) t] (2.135)

donde esta amplitud corresponde en sı a un movimiento que se propaga con velocidad

vg =ω′ − ωk′ − k

=dω

dk(2.136)

velocidad que es llamada velocidad de grupo, y recordando que ω = vk, se tiene

vg =d (vk)

dk= v + k

dv

dk(2.137)

donde se puede observar que si la velocidad de fase es independiente de la longitudde onda la velocidad de grupo es igual a la velocidad de fase.

Ejemplo: Calcular la velocidad de grupo para una onda en un liquido

La velocidad de fase de las ondas en un liquido estan dadas por la ecuacion (1.41)si derivamos esta ecuacion con respecto a k llegamos a

vg = v + k

(− gk2

+ =ρ

)tanh (kh) +

(gk

+ =kρ

)sech2 (kh)h

2

√(gk

+ =kρ

)tanh (kh)

(2.138)

o

vg = v +

(− gk

+ =kρ

)tanh (kh) +

(g + =k2

ρ

)sech2 (kh)h

2v(2.139)

65

Capıtulo 3

Ondas Electromagneticas

3.1. Introduccion

Las ecuaciones de Maxwell en su forma integral o diferencial nos resumen en unaforma matematica simple los fenomenos electromagneticos. A partir de estas ecuacionesse obtiene la ecuacion de onda, obteniendose como resultado que los campos electricosy magneticos transportan energıa electromagnetica en forma ondulatoria.

3.2. Ecuaciones de Maxwell

Fue James Clerk Maxwell, quien resumio en un conjunto de ecuaciones la general-izacion de los experimentos electromagneticos observados y que son: Ley de Gauss de laelectricidad (de la cual se deriva la Ley de Coulomb), Ley de Gauss del magnetismo, Leyde Ampere (modificada posteriormente por Maxwell) y la Ley de Faraday, las cuales serepresentan matematicamente en forma integral por:

∮~E · ~dS =

1

ε0

∫ρdV (3.1)∮

~B · ~dS = 0 (3.2)∮~B · ~dl = µ0i+ µ0ε0

∂φE∂t

(3.3)∮~E · ~dl = −∂φB

∂t(3.4)

donde ~E es el campo electrico, ~B es el campo magnetico, i es la corriente, φE esel flujo electrico, φB es el flujo magnetico, ε0 es la constante de permitividad, µ0 es laconstante de permeabilidad, ρ es la densidad de carga volumetrica, ~dl y ~dS, son losdiferenciales de longitud y superficie respectivamente.

Los flujos electrico y magnetico estan definidos respectivamente como:

66


φE =∮~E · ~dS (3.5)

φB =∮~B · ~dS (3.6)

Las ecuaciones de Maxwell se pueden representar en forma diferencial aplicando elteorema de la divergencia o el teorema de Stokes, el teorema de la divergencia estableceque: ∮

~F · ~dS =∫V∇ · ~FdV (3.7)

y el teorema de Stokes: ∮~F · ~dl =

∫V∇× ~F · ~dS (3.8)

Con la utilizacion de estos teoremas las ecuaciones de Maxwell en forma diferencialson:

∇ · ~E = ρ/ε0 (3.9)

∇ · ~B = 0 (3.10)

∇× ~B = µ0~J + ε0µ0

∂ ~E

∂t(3.11)

∇× ~E = −∂~B

∂t(3.12)

donde ~J es la densidad de corriente definida como ~J = σ ~E, ecuacion conocida comola Ley de Ohm, esta densidad se relaciona con la corriente como i =

∮ ~J · ~dS3.3. Condiciones de Frontera

Al pasar una onda electromagnetica de un medio a otro medio, en la frontera ex-istente entre dos medios se produce un cambio en los campos electrico y magnetico,los campos en en ambos lados de la frontera deben satisfacer ciertas condiciones defrontera.

3.3.1. Condiciones de frontera para el campo electrico

Sean ~E1 y ~E2 los campos electricos en las dos regiones, ademas sean ε1 y ε2 laspermitividades de los medios. Los campos electricos poseen componentes que son per-pendiculares y paralelas a la superficie que separa los dos medios estas componentesson llamadas componente normal y tangencial del campo electrico respectivamente, estoquiere decir que el campo electrico puede ser escrito como la suma de sus componentesnormal y tangencial.

67


~E1 = ~E1t + ~E1n~E2 = ~E2t + ~E2n (3.13)

Las condiciones que deben satisfacer estas condiciones en la frontera de los dosmedios son:

~E1t = ~E2t ε1 ~E1n = ε2 ~E2n (3.14)

Ejemplo Para ~E1 = 10ax − 6ay + 12azV/m en la figura. Calcular ~E2 y el angulo que ~E2 formacon el eje de las y

Solucion La componente normal de ~E1 esta definida como ~E1n = −6ayV/m y la componente

tangencial ~E1t = 10ax + 12azV/m, de esta forma y con las condiciones representadas en la ecuacion(3.14)

~E2t = ~E1t = 10ax + 12azV/m

y3ε0 (−6ayV/m) = 4,5ε0 ~E2n,

de donde

~E2n = −4ayV/m,

con esto el campo en el medio 2 es finalmente

~E2 = 10ax − 4ay + 12azV/m

Para calcular el angulo del campo ~E2, tenemos que∣∣∣ay · ~E2

∣∣∣ = |ay|∣∣∣ ~E2

∣∣∣ cosθ2y, obteniendose

4 =√

260 · 1cosθ2y θ2y = 75,63o

3.3.2. Condiciones de frontera para el campo magnetico

De igual forma que para los campos electricos para los campos magneticos existenciertas condiciones de frontera que se deben satisfacer:

~B1n = ~B2n

~B1t

µ1

=~B2t

µ2

(3.15)

Ejemplo La interface 4x− 5z = 0, es la interface entre dos medios magneticos. Si ~H1 = 25ax −30ay + 45azA/m en la region 4x− 5z ≤ 0, donde µ1 = 4µ0, calcule ~H2 en la region 4x− 5z ≥ 0, dondeµ2 = 10µ0.

Solucion La recta que delimita la frontera entre los dos medios es 4x− 5z = 0, luego el vectornormal se puede calcular tomando f = 5z − 4x, de donde an = ∇f

|∇f | , obteniendose:

an =−4ax + 5az√

41,

para el medio 1 tenemos

~B1 = µ1~H1 = 5µ0

~H1 = 94,2ax − 188,5ay − 282,7azµWb/m2,

la magnitud de la componente normal de ~B1 es entonces

68


B1n =(94,2ax − 188,5ay − 282,7azµWb/m2

)·(−4ax + 5az√

41

)= 161,9µWb/m2,

el vector que corresponde a la componente normal de ~B1 es:

~B1n = 161,9µWb/m2−4ax + 5az√41

= −101,1ax + 126,4azµWb/m2

La componente tangencial es

~B1t = ~B1 − ~B1n = 195,3ax − 188,5ay − 409,1azµWb/m2

De acuerdo con las condiciones de frontera

~B2n = ~B1n = −101,1ax + 126,4azµWb/m2

y

~B2t

10µ0=

195,3ax − 188,5ay − 409,1azµWb/m2

5µ0,

de donde

~B2t = 97,7ax − 94,3ay − 204,5azµWb/m2,

la expresion para el campo en el medio 2 es entonces.

~B2 = −3,4ax − 94,3ay − 78,1azµWb/m2.

3.4. Ecuaciones de Ondas Electromagneticas

Una de las aplicaciones mas importantes de las ecuaciones de Maxwell es laderivacion de las ecuaciones de las ondas electromagneticas, en las cuales se demuestraque los campos electrico y magnetico pueden propagarse en el espacio, en forma deondas electromagneticas.Las ecuaciones de onda electromagneticas se pueden obtener de la siguiente forma:Tomando el rotacional de la ecuacion (3.12)

∇×∇× ~E = − ∂

∂t∇× ~B (3.16)

Sustituyendo ∇× ~B, por su equivalente de la ecuacion(3.11)

∇×∇× ~E = −µ0∂ ~J

∂t− µ0ε0

∂2 ~E

∂t2(3.17)

La ecuacion anterior se puede simplificar utilizando la identidad vectorial ∇×∇×~E = −∇2 ~E +∇

(∇ · ~E

), llegando a

−∇2 ~E +∇(∇ · ~E

)= −µ0σ

∂ ~E

∂t− µ0ε0

∂2 ~E

∂t2(3.18)

De forma similar si tomamos el rotacional de (3.11)

69


∇×∇× ~B = µ0σ∇× ~E + µ0ε0∂

∂t∇× ~E (3.19)

Remplazando (3.12), se llega a

−∇2 ~B +∇(∇ · ~B

)= −µ0σ

∂B

∂t+ ε0

∂2B

∂t2(3.20)

Tomando (3.9 y 3.10) y considerando el espacio de carga libre se tiene

∇2 ~B − ε0µ0∂2 ~B

∂t2− µ0σ

∂ ~B

∂t= 0 (3.21)

∇2 ~E − ε0µ0∂2 ~E

∂t2− µ0σ

∂ ~E

∂t= 0 (3.22)

Las ecuaciones de onda deducidas antes rigen el campo electromagnetico en un mediolineal homogeneo en el que la densidad de carga es cero, si este medio es conductoro no conductor. Sin embargo, no es suficiente que estas ecuaciones se satisfagan; lasecuaciones de Maxwell tambien deben ser satisfechas.En caso del medio ser no conductor, las ecuaciones anteriores se reducen a:

∇2 ~B = ε0µ0∂2 ~B

∂t2(3.23)

∇2 ~E = ε0µ0∂2 ~E

∂t2(3.24)

donde comparando con la ecuacion de ondas previamente vista la velocidad de propa-gacion de esta onda electromagnetica es

v =1

√µ0ε0

(3.25)

En el caso particular de tener ondas armonicas, viajando en la direccion X, defrecuencia f = ω/2π y longitud de onda λ = 2π/k, las soluciones para los camposelectrico y magnetico son:

E = E0sen (kx− ωt) (3.26)

B = B0sen (kx− ωt) (3.27)

Para obtener una relacion entre las amplitudes de los campos supongamos que elcampo electrico se encuentra paralelo al eje Y , entonces utilizando (3.12), se tiene

∂ ~B

∂t= −

∣∣∣∣∣∣∣ax ay az∂∂x

∂∂y

∂∂z

0 E0sen (kx− ωt) 0

∣∣∣∣∣∣∣ = kE0cos (kx− ωt)

70


Integrando con respecto al tiempo obtenemos el campo magnetico como

~B = k/ωE0sen (kx− ωt) az = B0sen (kx− ωt) az (3.28)

de donde B0 = E0/c, la direccion del campo magnetico es es en Z y la direccion delcampo electrico es en Y , es decir tanto el campo magnetico como el campo electrico sonperpendiculares a la direccion de propagacion ası como entre ellos, es decir que paracalcular la direccion de propagacion de una onda electromagnetica se debe realizar elproducto cruz entre las direcciones del campo electrico y el campo magnetico.Para el caso del campo electrico y magnetico descritos anteriormente corresponde a unaonda plana polarizada linealmente.Otra solucion en forma de onda es aquella en la cual los campos electrico y magneticotienen una magnitud constante pero rotan alrededor de la direccion de polarizacion,dando como resultado una onda polarizada circularmente, por ejemplo supongamosque el campo electrico esta dado por:

~E = E0sen (kx− ωt) ay + E0sen (kx− ωt) az (3.29)

con esto utilizando nuevamente la ecuacion (1.13), se obtiene el campo magneticocomo:

~B = −B0cos (kx− ωt) ay +B0sen (kx− ωt) az (3.30)

En el caso en el que las componentes ortogonales posean amplitudes diferentes seobtiene una polarizacion elıptica

3.5. Energıa y momentum de una onda electro-

magnetica

La energıa asociada al campo electrico de una onda electromagnetica es

EnE =1

2ε0E

2 (3.31)

De forma similar la densidad de energıa magnetica asociada a una onda electro-magnetica es

EnB =1

2µ0

B2 (3.32)

La densidad total asociada a una onda electromagnetica es la suma de las densidadesde energıa electrica y magnetica, esto es

En =1

2ε0E

2 +1

2µ0

B2 = ε0E2 (3.33)

Utilizando la definicion de intensidad, se puede obtener la intensidad de una ondaelectromagnetica en la forma

71


I = vEn = cEn = cε0E2 (3.34)

La intensidad media de una onda electromagnetica, se obtiene de la forma

I =1

2cε0E

20 (3.35)

Si calculamos el modulo del producto cruz entre el campo electrico y el campomagnetico llegamos a

∣∣∣ ~E × ~B∣∣∣ = EB =

E2

c(3.36)

Si comparamos esta ecuacion con la ecuacion (3.35) para la intensidad de una ondaelectromagnetica se puede concluir que

I = c2ε0∣∣∣ ~E × ~B

∣∣∣ (3.37)

El vector asociado a esta cantidad se conoce como vector de Poynting, definido enla forma

~S = c2ε0 ~E × ~B (3.38)

Existe una relacion entre la energıa y el momentum (mirar presentacion sobre larelatividad y el electromagnetismo), on esto el momentum lineal por unidad de volumenes:

p =vEn

c2=En

c=ε0E

2

c= ε0

∣∣∣ ~E × ~B∣∣∣ (3.39)

La forma vectorial del momentum lineal por unidad de volumen se escribe en laforma

~p = ε0 ~E × ~B (3.40)

Debido a que la onda electromagnetica tiene momentum lineal tambien tendra mo-mentum angular, el momentum angular por unidad de volumen e:

~L = ~r × ~p = ε0~r ×(~E × ~B

)(3.41)

3.6. Presion de Radiacion

Las ondas electromagneticas se propagan en el espacio libre, pero tambien puedenchocar con un objeto material. Por ejemplo se puede investigar que sucede cuandola radiacion electromagnetica se absorbe en la superficie de un objeto, de donde seintroduce el concepto de presion de radiacion, en primera medida supongamos queuna onda electromagnetica incide perpendicularmente sobre la superficie perfectamenteabsorbente, el momentum por unidad de volumen es p, luego el momentum total se

72


obtiene al multiplicar el momentum por unidad de volumen por el volumen, el cuales δxA, luego el momentum total es p∆xA y el momentum por unidad de tiempo esp∆xA/∆t = pcA, este momentum por unidad de tiempo, es tambien el momentumabsorbido por la superficie A debido a que es perfectamente absorbente,lo cual es lafuerza que actua sobre la superficie, de donde se obtiene la presion debida a la radiacioncomo:

Prad = cp = En = ε0E2 (3.42)

En caso de tener una superficie perfectamente reflectora, la radiacion reflejada poseeun momentum igual al momentum incidente pero en direccion opuesta, por tanto lavariacion del momentum es 2p, con esto la presion de radiacion en este caso es

Prad = c2p = 2En = 2ε0E2 (3.43)

Cuando la radiacion no es perpendicular sino oblicua, las presiones de radiacion parael caso de un absorbente perfecto y un reflector perfecto son respectivamente cp cos θ y2cp cos θ, ecuaciones que se pueden convertir en En

3y 2En

3

3.7. Ecuacion de onda con fuentes

Hasta el momento hemos considerado ondas sin considerar como se producen. Elproblema ahora es considerar las distribuciones de carga y corriente prescritas, ρ (r, t)y J (r, t), y hallar los campos producidas por ellas. Existen diferentes formas de enfocarel problema pero, utilizaremos el enfoque del potencial. Debido a que la divergencia deun rotacional es cero ∇ ·

(∇× ~A

)= 0, de la ecuacion (3.10), se puede escribir:

~B = ∇× ~A (3.44)

donde ~A, es conocido como potencial vectorial, remplazando esta definicion en laecuacion(3.12), se llega a

∇× ~E +∂

∂t∇× ~A = 0 (3.45)

Si existe continuidad de los campos se puede escribir

∇×(~E +

∂

∂t~A

)= 0 (3.46)

Recurriendo al calculo vectorial el rotacional de un gradiente es cero, ∇× (∇ϕ) = 0,luego de la ecuacion(3.46), se tiene

~E +∂

∂t~A = −∇ϕ o ~E = − ∂

∂t~A−∇ϕ (3.47)

donde ϕ, se llama potencial escalar, las ecuaciones (1.42) y (1.45), permiten obtenerlos campos electrico y magnetico en funcion de los potenciales escalar y vectorial. Estos

73


potenciales satisfacen ecuaciones de onda similares a las satisfechas por los campos. Paraobtener la ecuacion de ondas satisfecha por el potencial vectorial vecA, se sustituyenlas ecuaciones (3.44) y (3.47) en la ecuacion(3.11) obteniendo

∇×∇× ~A+ ε0µ0∂

∂t

∇ϕ+∂ ~A

∂t

= µ0~J (3.48)

Sustituyendo la identidad vectorial ∇×∇× ~A = −∇2 ~A+∇ · ∇ ~A, llegando a:

−∇2 ~A+∇ · ∇ ~A+ ε0µ0∂

∂t

∇ϕ+∂ ~A

∂t

= µ0~J (3.49)

Existe una condicion sobre la divergencia del campo vectorial ~A, conocida comocondicion de Lorentz, la cual es

∇ · ~A+ ε0µ0∂ϕ

∂t= 0 (3.50)

Si se satisface esta condicion, la ecuacion de onda para el potencial vectorial es

∇2 ~A− ∂2 ~A

∂t2= −µ0

~J (3.51)

Sustituyendo(3.47) en la ecuacion (3.9), se llega a

∇ ·

∇ϕ+∂ ~A

∂t

= − ρε0

(3.52)

Utilizando(3.50) se obtiene la ecuacion de onda para el potencial escalar

∇2ϕ− ∂2ϕ

∂t2= − ρ

ε0(3.53)

La solucion de la ecuacion de ondas inhomogeneas, consiste en una solucion partic-ular de la solucion inhomogenea y una solucion de la ecuacion homogenea, la ecuacionescalar inhomogenea (3.53), puede resolverse mas facilmente hallando la solucion parauna carga puntual y luego sumando sobre todos los elementos de carga ρ∆v en la dis-tribucion de la carga adecuada. La situacion mas conveniente para la carga puntual esen el origen de coordenadas. Por tanto la ecuacion

∇2ϕ− ∂2ϕ

∂t2= 0 (3.54)

debe satisfacerse en todo punto menos en el origen, mientras que en un pequenovolumen, ∆v, que rodea al origen,

∫∆v

[∇2ϕ− ∂2ϕ

∂t2

]dv = −q(t)

ε0(3.55)

74


debe satisfacerse. Debido a la simetrıa de la distribucion de carga, la dependenciaespacial de ϕ es solo de r, en este caso la ecuacion(3.54) tiene la forma

1

r2

∂

∂r

(r2∂ϕ

∂r

)− ∂2ϕ

∂t2= 0 (3.56)

La solucion de esta ecuacion se analizo cuando se estudiaron las ondas esfericas enun fluido, y es de la forma

ϕ =f (r − vt)

r(3.57)

donde la velocidad de las ondas electromagneticas es v = 1/√µ0ε0, es decir la

solucion anterior se puede escribir en la forma

ϕ =f(r − t/√µ0ε0

)r

(3.58)

esta solucion contiene una funcion arbitraria que puede elegirse de modo que laecuacion(3.55) tambien se satisfaga. La eleccion adecuada se obtiene observando quepara una carga estatica el potencial compatible con las ecuaciones (3.54) y (3.55) es

ϕ =q

4πε0r(3.59)

Las funciones (3.58) y (3.59) pueden coincidir eligiendo

f (r − t/√µ0ε0) =q(r − t√µ0ε0

)4πε0

(3.60)

La solucion de las ecuaciones (3.54) y (3.55) es entonces

ϕ (r, t) =q(r − t√ε0µ0

)4πε0r

(3.61)

Luego la solucion de la ecuacion (3.53) esta dada por

ϕ (r, t) =1

4πε0

∫V

ρ[r’, t−√ε0µ0 |r− r’|

]|r− r’|

dv′ (3.62)

que es conocida como el potencial escalar retardado.

La solucion de la ecuacion (3.51) puede construirse en la misma forma. Los vectores~A y ~J , pueden primero descomponerse en sus componentes rectangulares, obteniendosetres ecuaciones analogas a la ecuacion (1.51), siendo la ecuacion en x, por ejemplo

∇2Ax −∂2Ax∂t2

= −µ0Jx (3.63)

Cada una de estas ecuaciones puede resolverse, dando, por ejemplo

75


Ax (r, t) =µ0

4π

∫V

Jx[r’, t−√ε0µ0 |r− r’|

]|r− r’|

dv′ (3.64)

Estas componentes se combinan entonces para dar

~A (r, t) =µ0

4π

∫V

~J[r’, t−√ε0µ0 |r− r’|

]|r− r’|

dv′ (3.65)

que es el potencial vectorial retardado.

3.8. Radiacion de un dipolo electrico oscilante

Este es un ejemplo de radiacion es una distribucion de carga-corriente prescritadependiente del tiempo. el dipolo se supondra, que consiste de dos esferas situadas enz = ±l/2 conectadas por un alambre de capacidad despreciable. La carga de la esferasuperior es q y la de la esfera inferior es −q.

El potencial vectorial debido a la distribucion de corriente especificada es

Az (r, t) =µ0

4π

∫ l/2

−l/2

(I (z′, t)−√µ0ε0 |r− z′k|

)dz′

|r− z′k|(3.66)

La cantidad |r− z′k|, puede ser escrita como

|r− z′k| =(r2 − 2z′k · r + z′2

)1/2(3.67)

Si l es pequena comparada con r, esto es, si consideramos el campo solo a grandesdistancias del dipolo, este termino puede desarrollarse en la forma

|r− z′k| = r − z′ cos θ (3.68)

donde θ es el angulo que forma r con el eje z. La cantidad |r− z′k| esta contenidatanto en el denominador como en el termino de retardacion en el denominador puedesimplemente despreciarse si r es suficientemente grande. Sin embargo en el termino deretardacion, z′ cos θ puede despreciarse solo si z′ cos θ

√µ0ε0 es despreciable comparada

con el tiempo durante el cual la corriente cambia significativamente, es decir, comparadacon el perıodo de las corrientes que varıan armonicamente. Como v =

l

2<< vT = λ (3.69)

Por tanto, si el dipolo es pequeno comparado con una longitud de onda, y el puntode observacion esta alejado, comparado con l, del dipolo, entonces ~A esta dado por

Az (r, t) =µ0

4π

1

rlI(t− r

v

)(3.70)

76


El potencial vectorial ϕ puede hallarse con la condicion de Lorentz(3.50), la diver-

gencia de ~A, es definida en la forma

∇ · ~A =∂Ax∂x

+∂Ay∂y

+∂Az∂z

(3.71)

de donde

∇ · ~A =µl

4π

∂

∂z

(1

rI(t− r

v

))= − µl

4π

[z

r3I(t− r

v

)+

z

r2vI ′(t− r

v

)](3.72)

donde I ′ representa la derivada de I con respecto a su argumento. Esta ecuacion seintegra observando que I = q′ y, por lo tanto

ϕ =l

4πε0

z

r2

q(t− r

v

)r

+I(t− r

v

)v

(3.73)

La distribucion armonica de la carga-corriente es de la forma:

q(t− r

v

)= q0 cosω

(t− r

v

)(3.74)

I(t− r

v

)= −ωq0 senω

(t− r

v

)= I0 senω

(t− r

v

)(3.75)

El vector ~A, en coordenadas esfericas es:

~A =µ0lI0

4πrsenω

(t− r

v

)k =

µ0lI0

4πrsenω

(t− r

v

)(cos θar − senθaθ) (3.76)

Calculando el rotacional de ~A, se obtiene el campo magnetico

~B = ∇× ~A =1

rsenθ

[∂

∂θ(Aφsenθ)−

∂Aθ∂φ

]ar +

1

r

[1

senθ

∂Ar∂φ− ∂ (rAφ)

∂r

]aθ(3.77)

+1

r

[∂ (rAθ)

∂r− ∂Ar

∂θ

]aφ

~B =µ0lI0

4πrsenθ

[ω

vcosω

(t− r

v

)+

1

rsenω

(t− r

v

)](3.78)

El calculo del campo electrico se puede realizar con la ayuda de (3.47)

~E =2lI0 cos θ

4πε0

senω(t− r

v

)r2v

−cosω

(t− r

v

)ωr3

ar − (3.79)

lI0 sen θ

4πε0

[(1

ωr3− ω

rv2

)cosω

(t− r

v

)− 1

r2vsenω

(t− r

v

)]aθ

77


El valor del vector de Poynting dado por (3.34)

~S =1

µ0

~E × ~B =1

µ0

EθBφ (3.80)

Para grandes distancias de la fuente se pueden conservar solo los terminos quedependen de 1/r, lo que produce,

~S =(ωI0l)

2 sen2θ

(4π)2 ε0r2v3cos2 ω

(t− r

v

)=

(ω2q0l)2sen2θ

(4π)2 ε0r2v3cos2 ω

(t− r

v

)(3.81)

La energıa total radiada por unidad de tiempo es

dEn

dt=∫esfera

I (θ) dA =q2

0l2ω4

6πε0c3cos2 (ωt− kr) (3.82)

La potencia media radiada se calcula como:

P =∫esfera

I (θ) dA =q2

0l2ω4

12πε0c3=

2π

3

√µ0

ε0

(l

λ

)2I2

0

2(3.83)

Una resistencia R por la que pasa una corriente I0 cosωt disipa energıa a una ve-locidad promedio de P = RI2

0/2, comparando con la ecuacion(3.83), se puede definir laresistencia de radiacion de un dipolo por

Rr =2π

3

√µ0

ε0

(l

λ

)2

(3.84)

3.9. Radiacion de un dipolo magnetico oscilante

Otra fuente de las ondas electromagneticas es el dipolo magnetico oscilante, esteestudio es un poco mas complicado que el de un dipolo electrico, por este motivo no serealizara la deduccion de los campos pero el analisis se puede realizar con la ayuda delanalisis de la radiacion de un dipolo electrico, intercambiando los papeles de los camposelectricos y magneticos, teniendo en cuenta que el momento inicial del dipolo electricoes Π0 = q0l, donde q0 = −I0/ω, este se puede intercambiar por el momento inicialdel dipolo magnetico M0 y la constante de proporcionalidad electrica 1/4πε0, por laconstante de proporcionalidad magnetica µ0/4π, obteniendose los campos magneticos

~B =2M0µ0 cos θ

4π

−ω senω(t− r

v

)r2v

+cosω

(t− r

v

)r3

ar − (3.85)

M0µ0 sen θ

4π

[(ω2

rv2− 1

r3

)cosω

(t− r

v

)+

ω

r2vsenω

(t− r

v

)]aθ

78

Capıtulo 4

Optica Geometrica

Cuando se observa un cuarto o un paisaje, la luz que llega a nuestros ojos proviene dediferentes fuentes como objetos luminosos (bombillas, televisores, estrellas, etc) o la luzreflejada por diferentes superficies (mesas, arboles, sillas y otros objetos). Nuestros ojospueden enfocar un haz de estos rayos y luego el cerebro interpretarlos como una fuentepuntual de luz (imagen). Ası como la luz puede llegar directamente del objeto a nuestrosojos puede efectuarlo a traves de los anteojos en este caso los anteojos modifican losrayos de luz y los hacen parecer que provienen de un punto distinto.

4.1. Formacion de imagenes por reflexion en una

superficie plana (espejo plano)

La imagen que se observa al maquillarse o al afeitarse, se observa como si fuesemosnosotros realmente y se encuentra a la misma distancia atras del espejo que se encuentrausted delante de el.

Figura 4.1: Imegenes formadaspor reflexion en un espejo plano

Todos los rayos que salen del punto O, corre-spondiente al objeto se reflejan en el espejo con elmismo angulo con el que inciden sobre el espejo, deesta forma todos estos rayos reflejado parecen salirdel punto I, es decir divergen del punto I, corre-spondiente a la imagen.

En optica geometrica siempre necesitamos lasrelaciones entre los objetos y las imagenes; por talmotivo debemos conocer las posiciones so y si delobjeto y la imagen con respecto a un punto de ref-erencia (El espejo).

Para el rayo que incide en el punto A, se tienela relacion

tanθi =AB

so=AB

−sio so = −si (4.1)

79


Donde se ha considerado positivo a la izquierdadel espejo es decir del lado del objeto, el signo negativo indica que la imagen se formadetras del espejo, debido a que los rayos reales regresan al medio en el cual se encuentrael objeto la imagen es vitual debido a que en realidad los rayos no se cortan solo parecencortarse.

4.2. Formacion de imagenes por transmision en una

superficie plana

Cuando los rayos provenientes de un objeto pasan de un medio a otro, las imagenesformadas son el resultado de la transmision, un ejemplo sencillo se ilustra cuando seobserva una moneda en el fondo de un tanque lleno de agua, en este caso los rayosprovenientes de la moneda pasan del agua al aire

Figura 4.2: Configuracion para la formacion de una imagen por transmision en unasuperficie plana

El rayo proveniente del objeto que incide en forma perpendicular de transmite enforma perpendicular, pero el que incide con un angulo pequeno θi, se transmite formandoun angulo θt, estos rayos que se transmiten al aire parecen salir de un punto que seencuentra a una distancia menor Si, la cual corresponde a la ubicacion de la imagen.Utilizando la ley de Snell

n2senθi = n1senθt (4.2)

Para angulos pequenos senθi ∼= tanθi = m/so y senθt ∼= tanθt = m/si, con lo cual

80


n2m

so= n1

m

sio

n2

so=n1

si(4.3)

En este caso la imagen se forma del mismo lado que el objeto, debido que los rayospasan al aire, cuando la imagen se forma por transmision una imagen virtual es aquellaque se forma en el mismo medio que el objeto, es decir la imagen positiva correspondea una imagen virtual.

4.3. Formacion de imagenes por reflexion en una

superfice esferica (espejo esferico)

Los espejos esfericos poseen muchas aplicaciones en telescopios, espejos retrovisores,luces de automoviles. Para estudiar la formacion de imagenes en espejos esfericos, seutiliza la ley de refraccion de Snell, para este efecto consideremos un rayo de los muchosque produce un objeto O.

Figura 4.3: Configuracion para la formacion de una imagen en una superficie esferica

Debemos obtener la relacion entre las posiciones del objeto y la imagen, para talfin, aplicamos el teorema del seno a los triangulos OAC y CAI, para obtener

OA

sen(π − β)=

OC

senθiy

IA

senβ=

IC

senθi(4.4)

Como sen(π − β) = senπcosβ − cosπsenβ; OC = so −R; IC = R− si llegamos a:

senθisenβ

=so −ROA

ysenθisenβ

=R− siIA

(4.5)

Combinando las ecuaciones (4.5), se llega a:

81


so −ROA

=R− siIA

(4.6)

Para valores pequenos de h tenemos que OA = so y IA = si, lo que convierte (4.6)en

so −Rso

=R− sisi

o1

so+

1

si=

2

R(4.7)

Para obtener una expresion para valores de h, mayores, por ejemplo que en lugarde ser h pequeno sea pequeno h/2 (mayor abertura), aplicamos el teorema del cosenoa los triangulos OAC y CAI, para obtener

OA2 = R2 + (so −R)2 + 2R (so −R) cosβ

OA2 = s2o − 2R (so −R) + 2R (so −R) cosβ

OA2 = s2o − 2R (so −R) (1− cosβ)

OA2 = s2o − 4R2so

(1

R− 1

so

)sen2 1

2β

Para valores de h/2 pequenos sen2 12β ∼=

(12β)2

=(h

2R

)2= h2

4R2 , lo que implica que

OA2 = s2o

[1− h2

so

(1

R− 1

so

)]de donde se puede escribir

soOA

=

[1− h2

so

(1

R− 1

so

)]−1/2

Utilizando la aproximacion binomial (1− x)−1/2 ∼= 1 + 12x tenemos

soOA

= 1 +h2

2so

(1

R− 1

so

)(4.8)

De igual forma se obtiene:

siIA

= 1 +h2

2si

(1

R− 1

si

)(4.9)

Remplazando (4.8) y (4.9) en (4.6) obtenemos

1

so+

1

si=

2

R+h2

2

[1

so

(1

R− 1

so

)2

+1

si

(1

R− 1

si

)2]

(4.10)

Debido a que el segundo termino del lado derecho de la ecuacion (4.10) es un terminocorrectivo, se puede utilizar la ecuacion (4.7) para escribir

1

so+

1

si=

2

R+h2

R

(1

R− 1

so

)2

(4.11)

82


Un espejo plano se puede considerar como un espejo esferico de radio infinito, estoes R→∞, lo cual convierte la ecuacion (4.7) en la ecuacion (4.1)

4.4. Formacion de imagenes por transmision en una

superfice esferica

Cuando la luz entra al ojo se transmite en una serie de superficies curvas que loconforman para formar una imagen real en la retina, otros dispositivos opticos como lascamaras tambien utilizan este principio. Para analizar este principio se debe primeroanalizar la formacion de una imagen por transmision.

Figura 4.4: Configuracion para la formacion de una imagen en una superficie esfericapor transmision

Aplicando el teorema del seno a los triangulos ABC y ADC podemos escribir.

sen (π − β)

AB=

senθiso −R

ysen (π − β)

AD=

senθtsi −R

(4.12)

Pero ademas n1senθi = n2senθt llegando a

n1soAB

(1

R− 1

so

)= n2

siAD

(1

R− 1

si

)(4.13)

Para angulos pequenos AB ∼= so y AD ∼= si entonces (4.13) se convierte en

n1

so− n2

si=(n2 − n1

R

)(4.14)

Para obtener una expresion para angulos mas grandes aplicamos el teorema delcoseno a los triangulos, obteniendose

soAB∼= 1 +

h2

2so

(1

R− 1

so

)(4.15)

83


siAD∼= 1 +

h2

2si

(1

R− 1

si

)(4.16)

Remplazando (4.15) y (4.16) en (4.13) y utilizando (4.14) obtenemos

n1

so− n2

si=n1 − n2

R+h2

2

n1 − n2

n22

[n2

1

R− n1 (n1 + n2)

so

] (1

R− 1

so

)2

(4.17)

Recordando que para el radio infinito la superficie esferica se convierte en una su-perficie plana se obtiene la ecuacion (4.3) a partir de la ecuacion (4.14).

4.5. Lentes

Hasta el momento realizamos una descripcion de las imagenes formadas por super-ficies simples, pero en general un sistema optico esta formado por una combinacion dedos o mas superficies un ejemplo es la lente que se compone de dos superficies refrac-toras, sin embargo por muy complicado que sea, el sistema optico, se descompone ensistemas simples y calcular susecivamente el efecto de cada elemento.

En la figura se ilustra una lente formada por dos superficies curvas S1 y S2, hechosde un material de ındice de refraccion n.

c

Figura 4.5: Configuracion para la formacion de una imagen en una lente formada pordos superficies esfericas S1 y S2

Los rayos que salen del objeto O inciden primero en la superficie S1, formando laimagen I ′1 en la posocion si1, posicion que se puede calcular en la forma

nAso− n

si1=nA − nR1

o si1 =R1nso

nso − (so −R1)nA(4.18)

donde nA es el ındice de refraccion del ambiente en el cual se encuentra la lenteen el caso en el cual nso > (so −R1)nA, si1 > 0, lo que implica que la imagen esvirtual por encontrarse del mismo lado del objeto, por otra parte la imagen es real sinso < (so −R1)nA. la imagen I ′1 representa un objeto virtual para la segunda superficie.La posicion del objeto virtual con respecto a la superficie S2 es:

84


so2 = (si1 − l) (4.19)

Para la transmision en la segunda superficie obtenemos

n

si1 − l− nA

si=n− nAR2

o si1 =R2nsi

nsi + (R2 − si)nA+ l (4.20)

Igualando las ecuaciones (4.18) y (4.20), llegamos a

R1nsonso − (so −R1)nA

=R2nsi

nsi + (R2 − si)nA+ l (4.21)

Que puede ser escrito en la forma:

1

so− 1

si=n− nAnA

(1

R2

− 1

R1

)− nA

nl(n− nAnA

1

R2

+1

si

)(n− nAnA

1

R1

+1

so

)(4.22)

En el caso de lentes delgadas l <<, se obtiene

1

so− 1

si=n− nAnA

(1

R2

− 1

R1

)(4.23)

4.6. Aumento o Amplificacion

La imagen de un objeto puede ser producida por reflexion, transmision, por variasreflexiones, por varias transmisiones o por una combinacion entre reflexiones y trans-misiones, en general la imagen obtenida no posee el mismo tamano del objeto, es deciresta imagen puede ser mas grande o mas pequena que el objeto. la relacion entre lostamanos de la imagen y el objeto s denomina aumento o amplificacion de la imagen,cuando el aumento es mayor que 1 la imagen es mas grande que el objeto, si por elcontrario el aumento es menor que 1 la imagen es mas pequena que el objeto.

La amplificacion para una imagen formada por reflexion es:

Ar = − siso

(4.24)

Cuando la imagen formada es en un espejo plano si = −so, el valor de Ar = 1, loque quiere decir que la imagen tiene el mismo tamano que el objeto y el signo positivodel aumento indica que la imagen es derecha.

La amplificacion para una imagen formada por transmision es:

At = −n1sin2so

(4.25)

Cuando el sistema optico considerado es una lente delgada el aumento esta deter-minado por:

Al =siso

(4.26)

85


4.7. Distancia focal y trazado de rayos

4.7.1. Distancia focal

Al observar la ecuacion para una imagen por reflexion, se puede notar que pararayos que inciden paralelos, los cuales son equivalentes a colocar el objeto muy lejos (elinfinito), la imagen se forma en R/2, es decir que todo rayo paralelo se refleja pasandopor R/2, que es llamado foco fr = R/2. Para las imagenes formadas por transmisionexisten dos focos un foco objeto fto y foco imagen fti. El foco objeto corresponde a laposicion del objeto tal que los rayos refractados son paralelos si =∞.

fto =n1

n1 − n2

R (4.27)

El foco imagen corresponde a la posicion de la imagen cuando los rayos provenientesdel objeto son paralelos so =∞.

fti = − n2

n1 − n2

R (4.28)

Para el caso de una lente tambien existen dos focos

1

flo=n− nAnA

(1

R2

− 1

R1

)(4.29)

y

1

fli= −n− nA

nA

(1

R2

− 1

R1

), (4.30)

lo que quiere decir que en una lente los focos son simetricos a ambos lados de lalente.

4.7.2. Trazado de rayos

Los dibujos de rayos de un sistema optico proporciona informacion acerca del tamanoy la ubicacion de la imagen producida; para tal fin existen reglas para realizar estetrazado de rayos.

4.7.2.1. Espejos

1. Un rayo que pasa por el centro de curvatura se refleja y regresa a lo largo de lamisma trayectoria.

2. Un rayo paralelo al eje optico se refleja a traves del foco.

3. Un rayo que pasa por el foco se refleja paralelo al eje optico.

86


4.7.2.2. Lentes

1. Un rayo que pasa por el centro de una lente delgada continua en lınea recta.

2. Un rayo paralelo al eje optico se transmite hacia el foco imagen.

3. Un rayo que pasa por el foco objeto se transmite paralelo al eje optico.

87

Capıtulo 5

Espectro visible, ondas de Sonido yefecto Doppler

5.1. Introduccion

Existen diferentes tipos de ondas que se diferencian entre si por sus respectivasfreceuencias, dentro de los tipos de ondas existentes dos tipo de special interes lasondas visibles y las ondas de sonido.

Las ondas mecanicas con frecuencias comprendidas entre 20Hz y 20kHz, son im-portantes de una manera especial, debido a que estas son las causantes del fenomenode audicion, es por este motivo que se denominan ondas sonoras. La mayor parte delos sonidos que escuchamos se propagan en el aire, pero el sonido puede propagarsetambien en lıquidos y solidos

Las ondas que se encuentran en el rango de longitudes de onda de 400 a 700nm esel espectro de ondas que percibe el ojo humano aunque algunas personas pueden sercapaces de percibir longitudes de onda desde 380 a 780 nm.

5.2. Espectro electromagnetico

Las ondas electromagneticas viajan a la velocidad de la luz en el medio en el cual vi-ajan, se caracterizan por su frecuencia y su longitud de onda, y se clasifican en diferentestipos segun los valores de las mismas . toda la gama de frecuencias conocidas constituyeel espectro electromagnetico y este espectro se divide en diferentes zonas, tal comose ilustra en la Figura 5.1, considerando las caracterısticas comunes en las radiacionesemitidas por las mismas. por orden de longitud de onda decreciente estas o frecuenciacreciente, estas zonas son:

5.2.1. Ondas de radio

Las ondas de radio son aquellas cuyas frecuencias van desde unos pocos Hz hasta109 Hz, o cuyas longitudes de onda van desde los kilometros hasta 30 cm; y comprenden

88


Figura 5.1: Espectro electromagnetico

el llamado espectro radioelectrico. La energıa de los fotones en esta region es muypequena, alcanzando el lımite alto de las frecuencias de este rango 4×10−6 eV. La formamas comun de producir estas ondas es mediante la utilizacion de circuitos oscilantes,de hecho las corrientes de alterna de las lınes alectricas las producen. Heinrich Herztconsiguio generar y detectar ondas de radio con longitudes de onda cercanas al metro porprimera vez en 1887, confirmando con esto la teorıa de la radiacion electromagneticadesarrollada por Maxwell anos antes, estas ondas son utilizadas en transmisiones deradio y television.

5.2.2. Microondas

El intervalo de frecuencias de esta radiacion va desde 109 Hz hasta 3 × 1011 Hz,y las correspondientes longitudes de onda desde 30 cm hasta 1 mm. Un amplio rangode estas ondas atraviesan la atmosfera sin problemas, por lo que las microondas seutilizan en sistemas de comunicacion como el radar y en la radioastronomıa. Los atomosde hidrogeno emiten microondas de 21 cm (1420 MHz), y la emision proveniente delespacio permite cartografiar la distribucion de hidrogeno en el Universo. Los hornosde microondas tambien utilizan la radiacion de este tipo, con la cual calientan losalimentos, en este caso la longitud de onda es de 12.2 cm y la frecuencia es (2450 MHz).La energıa de los fotones de microondas va desde 4× 10−5 eV hasta 10−3 eV.

5.2.3. Infrarrojo

La seccion correspondiente al infrarrojo, o IR va desde aproximadamente 3 × 1011

Hz hasta alrededor de 4× 1014 Hz o en longitudes que van desde 1mm hasta 0.78 µm.Esta region se subdivide a su vez en tres regiones, el infrarrojo cercano(0.78-2.5 µm),el infrarrojo medio(2.5-50 µm) y el infrarrojo lejano(50-1000 µm), donde el infrarrojocercano es el que se encuentra mas cercano al espectro visible. La radiacion infrarro-ja fue descubierta por por William Herschel en 1800 al estudiar el poder calorıfico delas diferentes componentes de la luz visible y comprobar, que mas alla del rojo existıauna radiacion no apreciable al ojo humano que producıa tambien aumento de tem-peratura, por esto la radiacion infrarroja es aquella que producen los cuerpos cuando

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no poseen suficiente temperatura como para irradiar en el visible. El cuerpo humanoes un claro ejemplo el cual irradia con una longitud de onda alrededor de 10µm. Lascamaras de infrarrojo se utilizan para captar las diferencias de temperatura de los ob-jetos fotografiados. Lo mismo ocurre con los satelites de infrarrojo, que proporcionaninformacion valiosa para estudiar el clima terrestre. el control remoto del televisor y loslectores de codigos de barras funcionan tambien en el infrarrojo. Los rangos de energıadel infrarrojo van desde 10−3 eV hasta 1.7 eV .

5.2.4. Espectro visible

Esta compuesto por la radiacion que detectan nuestros ojos y esta comprendida porel espectro electromagnetico que va desde 3,84×1014Hz hasta 7,69×1014Hz de frecuenciao desde 780 nm hasta 390 nm de longitud de onda, esta franja se subdivide en rangosque corresponden a los colores que percibimos, estos rangos se ilustran en la Tabla.la luz blanca es la mezcla de todos los colores que aparecen en la tabla. Los ejemplosmas comunes de objetos que producen este tipo de ondas son el sol, las estrellas y losbombillos, esta luz producida se refleja y se refracta en los objetos lo que percibimosen nuestros ojos es la luz que se refleja, por tal motivo un objeto negro absorbe todala luz y un objeto blanco refleja toda la luz. La enrgıa de los fotones en este rango delespectro van desde 1.7 eV hasta 3.2 eV.

Color f(10−12Hz) λ(nm)Rojo 384-482 780-622

Naranja 482-503 622-597Amarillo 503-520 597-577

Verde 520-610 577-492Azul 610-659 492-455

Violeta 659-769 455-390

Cuadro 5.1: Intervalos de frecuencia y longitud de onda para los colores del espectrovisible

5.2.5. Rayos ultravioleta

Cubren el intervalo que va desde 7,65× 1014 Hz hasta 3× 1016 Hz, que equivale alintervalo de longitudes de onda comprendido entre 390 nm y 10 nm. La zona ultravi-oleta o UV, se subdivide a su vez en tres regiones ultravioleta cercano(390-200 nm),ultravioleta lejano (200-100nm) y ultravioleta extremo o vacio(100-10nm), o basadoen su infuencia sobre la salud humana, rayos UV-A(390-315 nm), rayos UV-B(315-280nm) y ratos UV-C(280-10 nm). Esta radiacion fue descubierta por Johann W. Ritteren el ano 1801 al observar el ennegrecimiento del cloruro de plata bajo el efecto de unacomponente no visible de la luz de frecuencia superior a la del violeta. la energıa delos rayos ultravioleta va aproximadamente desde 3.2 eV hasta 120 eV, y es lo suficien-temente elevada como para producir reacciones quımicas. Los rayos UV-A los menos

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energeticos son los culpables del bronceado de la piel y activan la sıntesis de la vitaminaD en el interior de la misma. Los rayos mas energeticos UV-A y UV-C son daninos yaque pueden romper enlaces de ADN en la piel y producir ası mutaciones cancerıgenas.Afortunadamente el ozono absorben la mayor parte de las radiaciones provenientes delSol. Los rayos ultravioleta ionizan los atomos presentes en la alta atmosfera generandouna capa repleta de iones existente por encima de los 80 km denominada ionosfera.Esta capa actua como una una pared conductora sobre la que se reflejan las ondas elec-tromagneticas, lo cual es utilizado por ejemplo, para transmitir ondas a larga distanciasobre la tierra

5.2.6. Rayos X

Se encuentra entre 3 × 1016 Hz hasta 5 × 1019 Hz o longitudes de onda desde 10nm hasta 0.006 nm, rango que a su vez se divide en rayos X blandos (10-0.1 nm) yrayos X duros (0.1-0.006nm). los rayos X fueron descubiertos por Wilhelm K roentgenen 1895 a raız de sus experimentos con tubos de rayos catodicos, los llamo rayos Xporque no pudo identificarlos. De hecho hasta Max Von Laue en 1982 no se confirmoque eran ondas electromagneticas, el cual produjo patrones d interferencia al hacerloscoincidir sobre estructuras cristalinas, lo que dio lugar al nacimiento de la cristalografıade rayos X. estos rayos se producen por radiacion de frenado en choques de electronesmuy energeticos en superficies metalicas. La diferente capacidad de absorcion de rayosX que tienen los tejidos del cuerpo humano, especialmente los huesos, que son los quemas absorben estos rayos, permiten realizar las muy conocidas radiografıas. La energıade estos rayos va desde 0.12 keV hasta 240 keV, que son energıa lo bastante altas comopara provocar danos en los seres humanos, por esto la sobreexposicion a este tipo derayos puede ser peligrosa , de igual forma con las debidas precauciones se utiliza paradestruir tejidos cancerıgenos.

5.2.7. Rayos Gamma

Estas ondas electromagneticas son las que poseen mayor frecuencia por tal motivoson las que poseen mayor energıa. su intervalo de frecuencias va desde 3 × 1018 Hzhasta 3 × 1022 Hz, con lo cual las longitudes de onda van desde 10−10 hasta 10−14 m,este intervalo se superpone con el de los rayos X. Los rayos X y los rayos gamma sedistinguen por su forma de generacion mas no por su frecuencia. los rayos gamma sonproducidos por sustancias radiactivas y ası fueron descubiertos. Fueron detectados porprimera vez por Paul Villard en 1900, debido a su elevada energıa causan graves danos,por tal motivo tambien se utilizan en radioterapia.

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5.3. Ondas de Sonido

5.3.1. Cualidades del sonido

El oıdo es capaz de distinguir unos sonidos de otros porque es sensible a lasdiferencias que puedan existir entre ellos en lo que concierne a alguna de las trescualidades que caracterizan todo sonido y que son la intensidad, el tono y el timbre.Aun cuando todas ellas se refieren al sonido fisiologico, estan relacionadas con diferentespropiedades de las ondas sonoras.

Intensidad

La intensidad del sonido percibido, o propiedad que hace que este se capte comofuerte o como debil, esta relacionada con la intensidad de la onda sonora correspondi-ente, tambien llamada intensidad acustica. La intensidad acustica es una magnitud queda idea de la cantidad de energıa que esta fluyendo por el medio como consecuencia dela propagacion de la onda.

Se define como la energıa que atraviesa por segundo una superficie unidad dispuestaperpendicularmente a la direccion de propagacion. Equivale a una potencia por unidadde superficie y se expresa en W/m2. La intensidad de una onda sonora es proporcionalal cuadrado de su frecuencia y al cuadrado de su amplitud y disminuye con la distanciaal foco.

La magnitud de la sensacion sonora depende de la intensidad acustica, perotambien depende de la sensibilidad del oıdo. El intervalo de intensidades acusticas queva desde el umbral de audibilidad, o valor mınimo perceptible, hasta el umbral del dolor.

La intensidad fisiologica o sensacion sonora de un sonido se mide en decibelios(dB). Por ejemplo, el umbral de la audicion esta en 0 dB, la intensidad fisiologica deun susurro corresponde a unos 10 dB y el ruido de las olas en la costa a unos 40 dB.La escala de sensacion sonora es logarıtmica, lo que significa que un aumento de 10dB corresponde a una intensidad 10 veces mayor por ejemplo, el ruido de las olas en lacosta es 1.000 veces mas intenso que un susurro, lo que equivale a un aumento de 30 dB.

Debido a la extension de este intervalo de audibilidad, para expresar intensidadessonoras se emplea una escala cuyas divisiones son potencias de diez y cuya unidad demedida es el decibelio (dB).

La conversion entre intensidad y decibelios sigue esta ecuacion:

β = 10 log10

I

I0

(5.1)

donde I0 = 10 ×−12 W/m2 y corresponde a un nivel de 0 decibelios por tanto,

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ademas de ser el umbral de audicion a 1kHz. El umbral del dolor corresponde a unaintensidad de 1W/m2 o 120 dB.

Ello significa que una intensidad acustica de 10 decibelios corresponde a unaenergıa diez veces mayor que una intensidad de cero decibelios; una intensidad de 20dB representa una energıa 100 veces mayor que la que corresponde a 0 decibelios yası sucesivamente.

La intensidad debida a un numero de fuentes de sonido independientes es la sumade las intensidades individuales

Tono

El tono es la cualidad del sonido mediante la cual el oıdo le asigna un lugar enla escala musical, permitiendo, por tanto, distinguir entre los graves y los agudos.La magnitud fısica que esta asociada al tono es la frecuencia. Los sonidos percibidoscomo graves corresponden a frecuencias bajas, mientras que los agudos son debidos afrecuencias altas. Ası el sonido mas grave de una guitarra corresponde a una frecuenciade 82,4 Hz y el mas agudo a 698,5 Hz.

No todas las ondas sonoras pueden ser percibidas por el oıdo humano, el cual essensible unicamente a aquellas cuya frecuencia esta comprendida entre los 20Hz y los20kHz. En el aire dichos valores extremos corresponden a longitudes de onda que vandesde 16 metros hasta 1,6 centımetros respectivamente.En general se trata de ondasde pequena amplitud.

Timbre

El timbre es la cualidad del sonido que permite distinguir sonidos procedentesde diferentes instrumentos, aun cuando posean igual tono e intensidad. Debido aesta misma cualidad es posible reconocer a una persona por su voz, que resultacaracterıstica de cada individuo.

Pocas veces las ondas sonoras corresponden a sonidos puros, solo los diapasonesgeneran este tipo de sonidos, que son debidos a una sola frecuencia y representadospor una onda armonica. Los instrumentos musicales, por el contrario, dan lugar aun sonido mas rico que resulta de vibraciones complejas. Cada vibracion complejapuede considerarse compuesta por una serie de vibraciones armonico simples de unafrecuencia y de una amplitud determinadas, cada una de las cuales, si se consideraraseparadamente, darıa lugar a un sonido puro. Esta mezcla de tonos parciales escaracterıstica de cada instrumento y define su timbre.

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5.4. Efecto Doppler

Cuando una fuente de ondas y el observador de estas ondas, se encuentran enmovimiento con respecto a un medio, las frecuencias de las ondas de la fuente y lasondas observadas son diferentes a este fenomeno se le llama efecto doppler, supongamosque existe una fuente de ondas en el punto A y un observador de estas ondas enel punto B, estos puntos se encuentran inicialmente a una distancia d, el problemaconsiste en obtener la relacion entre las frecuencias emitida por la fuente y percibidapor el observador.

En el tiempo t = 0, cuando la distancia entre la fuente y el observador es d, lafuente emite una onda la cual le llega al observador en un tiempo t, luego de un tiempoτ la fuente emite otra onda la cual le llega al observador en un tiempo t′, donde lostiempos t y t′, son medidos con respecto al mismo origen de tiempos, en palabras massimples, son medidos desde la misma hora de inicio, con esto el tiempo, que tardan enemitirse las ondas es τ − 0 = τ , mientras que el tiempo que tardan es percibirse lasondas es t′− t = τ ′, la primera onda emitida tarda un tiempo t viajando, mientras quela segunda onda emitida tarda un tiempo t′ − t viajando.

Figura 5.2: Efecto Doppler

la distancia que recorre la primera onda antes de llegar al observador es d mas lo querecorrio es observador, si tomamos v0, como la velocidad del observador, esta distanciaes

d+ v0t (5.2)

distancia que es igual a la distancia recorrida por la onda vt, donde v es la velocidadde la onda, obteniendose

d+ v0t = vt o t =d

v − v0

(5.3)

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la distancia que recorre la segunda onda es d − vst + v0t′, distancia que es igual

v (t′ − t), legandose a

d− vst+ v0t′ = v (t′ − t) o t′ =

d+ vt− vstv − v0

(5.4)

con lo anterior el tiempo entre las dos ondas percibidas por el observador es

τ ′ = t′ − t =d+ vt− vstv − v0

− d

v − v0

=vt− vstv − v0

(5.5)

Debido a que la frecuencia es el inverso del periodo y t = τ esta expresion se puedeescribir en la forma:

f ′ = fv − v0

v − vs(5.6)

El efecto Doppler posee muchas aplicaciones. Este fenomeno se emplea en losradarares que se utilizan para medir la velocidad de los automoviles y de las pelotas envarios deportes.

Tambien en la astronomıa utilizan el efecto Doppler de la luz de galaxias distantespara medir su velocidad y deducir su distancia.

Los medicos usan fuentes de ultrasonido para detectar las palpitaciones del corazonde un feto; los murcielagos lo emplean para detectar y cazar a un insecto en pleno vuelo.Cuando el insecto se mueve mas rapidamente que el murcielago, la frecuencia reflejadaes menor, pero si el murcielago se esta acercando al insecto, la frecuencia reflejada esmayor.

5.5. Ultrasonido

El ultrasonido es un tipo de onda acustica que tiene una frecuencia de onda muchomayor a la que podemos percibir (aproximadamente 20.000 Hz). Algunos animales comolos delfines lo utilizan para comunicarse y en el caso de los murcielagos, lo emplean paraorientarse a traves del efecto Doppler. A este fenomeno se le denomina ecolocalizacion.Esto funciona gracias a que las ondas tienen una frecuencia tan alta que rebotan” en losobjetos y regresan a ellos practicamente sin perder calidad, de forma que son capacesde calcular la distancia de los obstaculos por medio del tiempo que tarda la onda enregresar.

5.5.1. Aplicaciones del ultrasonido

Los ultrasonidos se aprovechan para varios propositos dentro de los distintos camposde la ciencia:

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5.5.1.1. Guiado y sondeo

Una de las principales aplicaciones de los ultrasonidos es la que tiene que ver conlos sensores para guiado y sondeo. Aquı es donde entra en juego el tema de acusticasubmarina, aplicado en el sondeo del fondo del mar, navegacion de submarinos, detec-cion de bancos de pescado, etc. Tambien es utilizado en los sensores de aparcamientoque traen muchos de los coches recientes para evitar golpes contra otro coche o contrauna farola, por ejemplo.

El funcionamiento generico es bastante simple: se trata de emitir pulsos ultrasonicosy contar el tiempo que tardan en regresar. De este modo, conociendo la velocidadde propagacion, se puede estimar la distancia recorrida por la onda (ida y vuelta alobstaculo).

5.5.1.2. Medicina y biologıa

La tecnica mas conocida, sin ninguna duda, es la ecografıa. La idea, una vez mas, esinyectar ultrasonidos a traves de la piel en el organismo del paciente (baja intensidad,en torno a unos pocos miliwatios). Estos se reflejan a medida que vayan pasando deunos medios a otros y los ecos son procesados para mostrarlos finalmente por pantalla.Todos hemos visto como los medicos aplican un gel sobre la piel antes de producir losultrasonidos, pues bien, este gel no es mas que un material que sirve a modo de acoplode impedancias para evitar la reflexion excesiva del ultrasonido en la propia superficiede la piel.

5.5.1.3. Aplicaciones fısicas

Las aplicaciones fısicas de los ultrasonidos se centran, esencialmente en la medidade las propiedades elasticas y las condiciones de propagacion en los solidos. La ideaaquı es, simplemente, el estudio de la propagacion de un ultrasonido en el material. Otrasaplicaciones se centran en el estudio de explosiones, determinacion de las propiedadesfısicas de lıquidos y gases, localizacion de baches de aire (fundamental para la navegacionaerea), etc.

5.6. Infrasonido

El infrasonido es justo lo contrario al ultrasonido, es otro tipo de onda acustica queposee una frecuencia menor a la que el oido humano es incapaz de percibir (inferora los 20 Hz). El infrasonido es utilizado por animales grandes como el elefante paracomunicarse en amplias distancias sin problema alguno. Los desastres naturales comoerupciones volcanicas, terremotos y tornados producen sonidos de una intensidad com-parable con el sonido que hace una bomba atomica en su explosion, con la diferencia deque al estar por debajo de los 20 Hz son inaudibles al oıdo humano; lo que ha permitidoiniciar investigaciones vulcanologicas y meteorologicas, para evitar futuros desastres.

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La principal aplicacion de los infrasonidos es la deteccion de objetos. Esto se hacedebido a la escasa absorcion de estas ondas en el medio, a diferencia de los ultrasonidos.

El inconveniente es que los objetos a detectar deben ser bastante grandes ya que, atales frecuencias, la longitud de la onda es muy grande lo cual limita el mınimo diametrodel objeto. Como ejemplo diremos que un infrasonido de 10 Hz tiene una longitud deonda de 34 m en el aire, luego los objetos a detectar deben tener un tamano del ordende 20 m en el aire y 100 m en el agua.

5.7. Ondas de Choque y numero de Mach

Una onda de choque es una onda producida por un objeto que viaja mas rapidoque la velocidad del sonido en dicho medio, que a traves de diversos fenomenos producediferencias de presion extremas y aumento de la temperatura (si bien la temperatura deremanso permanece constante de acuerdo con los modelos mas simplificados). La ondade presion se desplaza como una onda de frente por el medio.

Una de sus caracterısticas es que el aumento de presion en el medio se percibe comoexplosiones.

Tambien se aplica el termino para designar a cualquier tipo de propagacion ondula-toria, y que transporta, por tanto energıa a traves de un medio continuo o el vacıo, de talmanera que su frente de onda comportamiento un cambio abrupto de las propiedadesdel medio.

Un caso de este efecto lo podemos ver cuando un avion supera la barrera del sonido.Estos provocan ondas de choque al volar por encima de regimen transonico (Mach >0, 8) pues aparecen zonas donde el aire supera la velocidad del sonido localmente, porejemplo sobre el perfil del ala, aunque el propio avion no viaje a Mach > 1.

Para medir la velocidad relacionada con las ondas de choque se emplea el Numerode Mach.

Es una medida de velocidad relativa que se define como el cociente entre la velocidadde un objeto y la velocidad del sonido en el medio en que se mueve dicho objeto. Dicharelacion puede expresarse segun la ecuacion

M =V

Vs,

donde V es la velocidad del objeto y Vs es la velocidad del sonido en el medio, es unnumero adimensional tıpicamente usado para describir la velocidad de los aviones. Nor-malmente, las velocidades de vuelo se clasifican segun su numero de Mach en: SubsonicoM < 0,7, Transonico 0,7 < M < 1,2, Supersonico 1,2 < M < 5 y Hipersonico M > 5.

5.8. La audicion

En la seccion anterior estudiamos como se produce el sonido, en esta seccionanalizaremos como se percibe este sonido en el oido. El oıdo es un organo conformadode tres partes: El oıdo externo, el oıdo medio y el oıdo interno

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Figura 5.3: Estructura general del oıdohumano

Las dos primeras partes el oıdo externo yel oıdo medio; son las encargadas de recogerlas ondas sonoras para conducirlas al oıdo in-terno y excitar una vez aquı a los receptoresde origen del nervio auditivo.

El oıdo externo comprende dos partes: elpabellon y el conducto auditivo externo. Porsu parte, el oıdo medio esta formado por unconjunto de cavidades llenas de aire, en lasque se considera tres importantes porciones: lacaja del tımpano conformada por tres huese-cillos; el martillo, el yunque y el estribo y latrompa de Eustaquio ıntimamente relacionada

con las vıas aereas superiores (rinofaringe).El oıdo interno tambien tiene su complejidad y esta comprendido por el laberinto

oseo y membranoso. De este ultimo nacen las vıas nerviosas acusticas y vestibulares. Ellaberinto, cuya funcion principal es la de mantener la orientacion espacial y el equilibrioestatico y dinamico del individuo, consta de tres partes: el vestıbulo, los conductossemicirculares y el caracol. Una imagen general del oıdo se ilustra en la figura 5.3

El proceso de audicion demora segundos desde que se genera el sonido hasta llegaral cerebro de la siguiente manera:

En primer lugar, las ondas sonoras son recogidas por el pabellon auricular. Luegoesas ondas son transmitidas a traves del conducto auditivo externo hasta la membranatimpanica, la cual separa al oıdo externo del oıdo medio.

La membrana timpanica vibra en respuesta a los cambios de presion del aire. Estavibracion la pone en contacto con los huesecillos martillo, yunque y estribo. Los huese-cillos trasladan esta senal hasta la coclea o caracol en el oıdo interno y en la coclea, lascelulas auditivas las convierten en impulsos nerviosos que van al cerebro por el nervioauditivo.

Finalmente, los impulsos nerviosos son interpretados en el centro auditivo del cere-bro.

5.9. Ondas de luz

las ondas electromagneticas, que pueden ser detectadas por el ojo humano consti-tuyen el espectro visible, este espectro va desde el rojo (λ ≈ 780nm) hasta el violeta(λ ≈ 384nm)

5.10. El ojo humano

El ojo humano esta constituido por varios componentes basicos que se ilustran enla figura 5.4

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Figura 5.5: Corte lateral de la retina y sus componentes.

Figura 5.4: Estructura general del ojo hu-mano

La luz entra al ojo a traves de la cornea,que es la estructura transparente del ojo,por detras de la cual existe un lıquido acu-oso llamado humor acuoso. La cantidadde luz que entra al ojo se controla con lapupila, cuyo tamano se puede variar porcontraccion o expansion de una membranadenominada iris, el tamano de la pupilapuede variar entre 2 mm (para iluminacionintensa) y 8 mm (para situaciones de pocailuminacion).Los musculos ciliares con-trolan la curvatura del cristalino. La reti-na(fotosensible) esta constituida por recep-

tores, denominados conos y bastones.La retina que esta formada por tres capas de celulas nerviosas, traduce la senal lu-

minosa en senales nerviosas, las celulas fotosensibles (conocidas como conos y bastones)forman la parte trasera de la retina (es decir: La mas alejada de la apertura del ojo).Por eso, la luz debe atravesar antes las otras dos capas de celulas para estimular losconos y los bastones.

La capa media de la retina contiene tres tipos de celulas nerviosas: Bipolares, hori-zontales y amacrinas. La conexion de los conos y bastones con estos tres conjuntos decelulas es complejo, pero las senales terminan por llegar a la zona frontal de la retina,para abandonar el ojo a traves del nervio optico. Este diseno inverso de la retina haceque el nervio optico tenga que atravesarla, lo que da como resultado el llamado puntociego o disco optico.

En la retina solo se encuentran tres tipos de conos sensibles al colo, los azules,

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los verdes y los rojos, los cuales se estimulan por la luz, los televisores utilizan esteprincipio, para colocar solo puntos rojos verdes y azules, por ejemplo el color amarilloes realmente una combinacion entre rojo y verde

Una caracterıstica fundamental de este sistema es que la potencia de la lente esvariable, cosa que el ojo lleva a cabo cambiando la curvatura del cristalino, mediantelos musculos ciliares. Cuando el ojo esta en reposo (es decir, cuando el cristalino noesta acomodando, esta en posicion de reposo), la potencia de la lente es la adecuada paraque sobre la retina se forme una imagen enfocada de los objetos situados en el infinito.La potencia del ojo en esta situacion de reposo es de aproximadamente, 58 dioptrıas.Cuando el cristalino acomoda al maximo, es decir, cuando su potencia es maxima, seforma una imagen enfocada de la retina de objetos situados a, aproximadamente, 25cm (esta distancia depende de la edad). Es decir, el ojo puede incrementar su potenciahasta llegar a 62 dioptrıas (amplitud de acomodacion).

Ası pues, el ojo humano puede ver enfocadas imagenes de objetos situados entre unpunto alejado (punto remoto) y un punto cercano (punto proximo). Un ojo es emetropecuando el punto remoto esta en el infinito y el punto cercano esta a 25 cm.

Un ojo ametrope , que es aquel en el que se presentan defectos en la vision, defectosque pueden ser causados por diferentes causas, dentro de los defectos mas comunes delojo se encuentran la miopıa , la hipermetropıa, la presbicia y el astigmatismo.

La distancia a la que se encuentra el punto proximo depende fuertemente de la edad:en los ninos es menor y con la edad va aumentando debido a la perdida de flexibilidaddel cristalino. A partir de los 35 o 40 anos el punto proximo se aleja de forma sensible(es decir, la amplitud de acomodacion disminuye. A este fenomeno se le conoce comopresbicia (popularmente vista cansada”). Notese que la presbicia afecta unicamentea la localizacion del punto proximo (o a la amplitud de acomodacion) pero no a lalocalizacion del punto remoto).

Un ojo miope es aquel en el que el punto remoto no se encuentra en el infinito,sino a una distancia finita. Como la amplitud de acomodacion no varıa respecto al ojoemetrope (salvo que tambien haya presbicia), el punto proximo se encuentra, para unmiope, mas cercano al ojo que en el caso de un emetrope. En resumen, lo que ocurreen un ojo miope es que hay un exceso de potencia. El miope tiene una vision muydefectuosa de lejos pero su vision es buena de cerca.

La forma de corregir este defecto es anadiendo lentes divergentes (de potencia neg-ativa) que disminuyan la potencia del sistema. De esta forma, se alejan del ojo tanto elpunto remoto (hasta el infinito) como el punto proximo.

La hipermetropıa es justamente lo contrario que la miopıa: el ojo hipermetrope notiene suficiente potencia. Esto se traduce en un alejamiento de los puntos remoto yproximo. Ası, el punto proximo pasa a estar mas alejado que en el emetrope y el puntoremoto pasa a ser virtual (situado detras del ojo. Ası, el ojo hipermetrope tiene buenavision de lejos pero mala vision de cerca. Notese que los sıntomas son parecido a los dela presbicia pero no es lo mismo ya que la amplitud de acomodacion de un hipermetropees normal, algo que no ocurre en el ojo presbita.

La forma de corregir un ojo hipermetrope es anadiendo lentes convergentes (depotencia positiva) de manera que se acercan tanto el punto remoto como el proximo.

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Un ojo astigmatico es aquel que no tiene simetrıa de revolucion, es decir, es un ojoque no tiene la misma potencia para la direccion horizontal que para la vertical. Elastigmatismo puede ser miopico (exceso de potencia en una direccion) o hipermetropi-co (lo contrario). Se corrige anadiendo lentes cilındricas que devuelvan la simetrıa derevolucion.

5.11. Instrumentos opticos

Existen instrumentos que ayudan a ver objetos pequenos (de vision cercana) e in-strumentos que ayudan a ver objetos grandes pero lejanos (de vision lejana), dentrode los instrumentos de vision cercana mas comunes se encuentran el microscopio sim-ple o lupa y el microscopio compuesto y dentro de los objetos lejanos mas comunes seencuentran los telescopios, que pueden ser de reflexion y de refraccion o anteojos.

5.11.1. Microscopio simple o lupa

Es una lente convergente.(figura 5.6). Se usa de forma que la imagen este sin invertiry para ello es necesario que la imagen sea virtual, lo que se consigue situando el objetoentre el foco objeto de la lente y la lente misma (en caso contrario, esto es si el objetoesta mas alejado de la lente que su foco objeto, la imagen es real e invertida).

Figura 5.6: Esquema general de una lupa.

Para calcular el aumento angular de la lupa, hay que definir claramente las condi-ciones de observacion. Para ello, supondremos inicialmente el objeto situado en el punto

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proximo del ojo desnudo (a 25 cm, distancia que representaremos por a′). En este caso,el angulo subtendido por el objeto (supongamos que de altura h) es

tanϕ =h

25cm=h

a′(5.7)

Ahora se situa la lupa de forma que la imagen virtual proporcionada por esta estejustamente sobre el punto proximo, para lo que hay que modificar la distancia objeto,que ahora tomara el valor de a (ver figura 10.5) y supongamos que el ojo esta pegadoa la lupa. Ahora, el angulo subtendido por la imagen es:

tanϕ′ =h′

a′=h

a(5.8)

Por tanto, el aumento angular (se debe comparar el angulo subtendido por el objetocuando esta situado en el punto proximo con el subtendido por la imagen cuandoesta situada tambien en ese punto):

A =tanϕ′

tanϕ=a′

a(5.9)

donde a se puede calcular de la ecuacion para una lente como

1

a− 1

a′=

1

f⇒ a =

a′f

a′ + f(5.10)

donde finalmente el aumento es

A =a′ + f

f= 1 +

a′

f(5.11)

para valores pequenos de f este aumento se convierte en

A =a′

f(5.12)

5.11.2. Microscopio compuesto

Es un instrumento que produce una imagen virtual y amplificada de un objetopequeno y consta de dos lentes convergentes, el objetivo y el ocular. El objetivo es decorta distancia focal, el ocular posee una distancia focal mayor que la del objetivo. Ladistancia entre ambos es mucho mayor que los centros opticos y por lo general es fija. Elobjeto se coloca a una distancia mayor a la distancia focal, para producir una imagenreal e invertida I1, el ocular que actua como una lupa simple, produce la imagen I2,que es una imagen virtual y amplificada de I1. El valor de so1 es muy cercano al valorde fob y el valor de si1 es muy cercano a L, por lo tanto el aumento del objetivo es:

Aob =L

fob(5.13)

De igual forma el aumento del ocular es:

102


Figura 5.7: Esquema general de un microscopio compuesto.

Aoc =25cm

foc, (5.14)

de esta forma el aumento total del sistema es

A = AobAoc =25cmL

fobfoc(5.15)

Existe una distancia mınima entre los puntos del objetivo que se pueden distinguir,esto constituye el poder resolvente que el maximo aumento util pues para un mayoraumento no se puede distinguir la imagen, este poder de resolucion es:

R =λ

2nsenθ, (5.16)

donde λ es la longitud de onda y n es el ındice de refraccion del medio en el cualse encuentra el objeto y θ es el angulo que un rayo marginal forma con el eje delmicroscopio para el caso del ojo el poder resolvente es de alrededor de 10−2cm.

Los objetivos de un microscopio nunca constan de un solo lente, como se supuso enel analisis anterior, por el contrario esta formado por un sistema de lentes de vidriosdisenados para eliminar laa aberraciones y obtener una imagen lo mas semejante posibleal objeto. Con la finalidad de lograr un mayor aumento se deja un pequeno espacioentre la primera lente del objetivo y el objeto en el cual se dispone un liquido que porlo general es aceite de cedro y algunas veces agua. cuando no se utiliza ningun liquido sedice seco a este tipo de objetivo se le llama de inmersion. los oculares de un microscopiotampoco constan de una sola lente por lo general constan de dos lentes que pueden ser

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de varios tipos la mas comun es la de tipo ocular negativo de Huygens constituido pordos lentes plano-convexas con sus caras planas hacia el ojo del observador.

5.11.3. Telescopio

Los telescopios se emplean para formar imagenes cercanas de objetos que se encuen-tra lejos

5.11.3.1. Telescopios de reflexion

Dentro de los telescopios de este tipo se encuentran el telescopio astronomico, eltelescopio terrestre y el telescopio de Galileo, los cuales se ilustran en la figura . Eltelescopio astronomico consta de un objetivo formado por una lente convergente(planoconvexa ) de gran distancia focal fob, y de un objetivo que es un sistema convergente dedistancia focal foc; debido a que el objeto AB se encuentra a una distancia muy grande,comparada con la distancia focal, la imagen A′B′ se ubica casi sobre el foco de este. estaimagen es real, invertida y muy pequena, y funciona como objeto para el ocular queproduce la imagen A′′B′′, que es virtual y mayor. La posicion ocular es variable paraque el observador pueda situarlo de tal forma que la imagen definitiva se encuentre ala mınima distancia de vision a, lo que se conoce como enfocado del instrumento

Figura 5.8: Esquema general de un telescopio astronomico.

El aumento de un telescopio se define como la relacion entre el diametro aparente βdel objeto visto a traves del instrumento y su diametro aparente α cuando se le observaa simple vista y puede calcularse por la expresion

A =fobfoc

(5.17)

104


El telescopio utilizado para observaciones terrestres, por tal motivo es convenienteque la imagen sea derecha, por tal motivo a estos se les coloca un sistema de lentesentre el objetivo y el ocular para enderezar la imagen, este sistema es llamado inversor.el tipo mas usual de sistema inversor esta constituido por dos lentes L1 y L2 ambasconvergentes de la misma distancia focal, ubicadas de tal forma que el centro optico O2

de L2 se ubique en el foco de la imagen de L1

Figura 5.9: Esquema general de un telescopio terrestre.

Otro tipo de telescopio de refraccion es el de Galileo es cual esta conformado poruna lente convergente de distancia focal grande como objetivo y el ocular es una lentedivergente de distancia focal pequena comparada con la del objetivo.

v v

Figura 5.10: Esquema general de un telescopio Galileo.

En este caso la imagen A′B′ producida por el objetivo es real pequena e invertida

105


y situada en el foco del mismo, esta imagen funciona como objeto virtual para el oc-ular que produce la imagen final A′′B′′, que resulta ser virtual derecha y cercana, estetelescopio es muy util por cuanto no es muy largo, estos se construyen formando unacombinacion de dos llamada binocular.

Los telescopios de reflexion se construyen utilizando un espejo parabolico el cualconcentra todos los rayos en el punto focal, antes de que los rayos lleguen al foco se lescoloca un espejo que refleja los rayos para su posterior observacion, las dos variantesque se ilustran en la Figura 5.11 y 5.12 corresponden a telescopios de reflexion. En eltelescopio de Newton es espejo que refleja los rayos que viajan al foco es plano, queforma un angulo de 45o y el ocular se encuentra en un lado del telescopio.

Figura 5.11: Esquema general de un telescopio de Newton.

En el telescopio de Cassegrain el espejo reflector corresponde a un espejo esfericoconvexo y el ocular se encuentra en el extremo final del telescopio.

Figura 5.12: Esquema general de un telescopio de Cassegrain.

5.11.4. El proyector

Un proyector es un instrumento que se utiliza para producir una imagen aumentaday real de un objeto pequeno, transparente u opaco. Un proyector esta compuesto porun sistema de iluminacion, por un espejo curvo que se encarga de reflejar la luz emi-tida, de un condensador formado por dos lentes convergentes, lo que ocasiona una luzintensa sobre el objeto AB, el cual se coloca invertido para producir una imagen real yamplificada A′B′, por la lente objetivo.

Cuando la pantalla se encuentra a una distancia fija se debe mover el objetivo, aesta operacion se le llama enfocado.

106


Figura 5.13: Esquema general de un proyector.

5.11.5. El prisma

Un prisma es un medio transparente limitado por dos caras planas que se cortan enuna arista formando un angulo 2A, como el que se ilustra en la figura 5.14

En la figura 5.14 se muestra la trayectoria seguida por dos rayos a traves del prisma,entre los cuales se encuentra el rayo OCDE, en este caso se ha considerado el ındice derefraccion del prisma mayor al medio que lo rodea, el cual en el caso de ser el aire es1, esto es (n > 1). El rayo en consideracion sufre dos refracciones sucesivas en C y D,resultando el rayo emergente DE desviado hacia la base.

Figura 5.14: Configuracion de un prisma

Si el ındice de refraccion del prisma es menor que el del medio que lo rodea, el rayoemergente se desvıa hacia el vertice. Se llama desviacion d al angulo HGE, que forma

107


el rayo incidente OC y el emergente DE.Cuando la luz proveniente del objeto O, el haz emergente parece provenir de un

punto I, que es la imagen virtual de O. Aplicando la ley de refraccion a la cara deentrada, con θi el angulo de incidencia y θt el angulo de transmision.

senθi = nsenθt (5.18)

Sumando los angulos del triangulo CDF , obtenemos

2A = θt + θ′i (5.19)

Aplicando la ley de refraccion a la cara de salida, con θ′i como el angulo de incidenciay θ′t como el angulo de transmision

nsenθ′i = senθ′t (5.20)

Sumando los angulos referentes al triangulo CDG, obtenemos

d = θi + θ′t − 2A (5.21)

Para cada angulo de incidencia existe una desviacion d del mismo, para calcular lamınima desviacion se toma la derivada dd/dθi = 0. en este caso se debe cumplir queθi = θ′t y θ′i = θt, con lo cual el valor minimo de la desviacion es

dmin = 2θi − 2A o θi =dmin

2+ A (5.22)

de lo cual utilizando la ecuacion (5.18), donde θt = A, se puede calcular el indice derefraccion del prisma midiendo la desviacion minima.

sen

(dmin

2+ A

)= nsenA o n =

sen(dmin

2+ A

)senA

(5.23)

Ejemplo 6 Un prisma triangular de vidrio con angulo en el vertice 2A = 60o tiene un ındicede refraccion de n = 1,5 ¿Cual es el mınimo angulo de incidencia θ1 en el que un rayo de luz puedeemerger desde el otro lado?.

Figura 5.15: Angulo mınimoque en un prisma el rayo emer-ja del otro lado

Para que no exista rayo de luz al otro lado, el rayo que vadel prisma al aire debe sufrir una reflexion total, luego entoncesutilizando la ley de Snell

senθ1 = nsenθ2 ⇒ θ2 = sen−1(senθ1n

)Ademas de la construccion geometrica

θ3 = 2A− θ2 = 2A− sen−1(senθ1n

)Para la reflexion interna total

nsenθ3 = 1⇒ nsen

(2A− sen−1

(senθ1n

))= 1

108


60o − sen−1(senθ1

1,5

)= sen−1

(1

1,5

)⇒ θ1 = 27,9o

5.12. Dispersion

La dispersion es un fenomeno en el cual la luz blanca se descompone en varioscolores al refractarse, este fenomeno fue descubierto por Newton, por ejemplo al hacerincidir un rayo de luz blanca sobre un prisma, por el otro lado se obtiene el espectrovisible, este fenomeno es causado porque el ındice de refraccion de un material dependede la longitud de onda de la luz que se propaga, es decir que cada color que com-pone(longitud de onda) la luz blanca tiene su propio ındice de refraccion. Para conocerla dependencia del ındice de refraccion con la longitud de onda o la frecuencia se deberecordar que:

n =√εrµr (5.24)

Para medios no magneticos µr = 1, pero

εr = 1 + χe, (5.25)

donde χe es la susceptibilidad electrica que describe la respuesta de un medio ala accion de un campo electrico externo, la cual esta relacionada con las propiedadesde los atomos y moleculas en el medio y ademas dependen de si las moleculas de unasustancia tienen o no momento dipolar magnetico permanente, si no lo poseen

χe =Ne2

ε0me

∑i

Fiω2i

(5.26)

donde ωi, representa cualquier frecuencia del espectro electromagnetico y la sumase extiende a todas las frecuencias,N es el numero de atomos por unidad de volumen,e es la constante del electron, me es la masa del electron y las cantidades Fi son lasintensidades de oscilacion del atomo, cuando se toma en cuenta el amortiguamientoesta susceptibilidad se convierte en:

χe =Ne2

ε0me

∑i

Fiω2i − ω

(5.27)

donde ω es la frecuencia con la cual oscila el campo oscilatorio, de donde

n =

√√√√1 +Ne2

ε0me

∑i

Fiω2i − ω

(5.28)

Suponiendo que solo existe una frecuencia atomica ωo se tiene

n = 1 +Ne2

2ε0me

1

ω2i − ω

(5.29)

109


Si ω << ωo llegamos a

n = 1 +Ne2

2ε0meω2o

(1 +

ω2

ω2o

)(5.30)

que puede ser escrito como:

n = A+B

λ2(5.31)

donde

A = 1 +Ne2

2ε0meω2o

y B =2π2c2Ne2

ε0meω4o

La dispersion se define como la variacion del angulo d que se desvıa el rayo conrespecto a su longitud de onda, esto es

D =dd

dλ=dd

dn

dn

dλ(5.32)

Para el caso del prisma

D =2senA

cos(

12dmmin + A

) (5.33)

La luz blanca se debe a la superposicion en la retina de las radiaciones de diversoscolores (o longitudes de onda), de modo que el ojo humano tiene el poder de sınte-sis de colores, este poder permite reconocer los colores intermedios, esta sensacion decualquier color se puede producirse por la superposicion de tres colores primarios Ro-jo(R), Verde(V) y Azul(A), de modo que cualquier color puede simbolizarse por laexpresion

C = xR + yV + zA

donde x, y y z simbolizan las intensidades de cada color.

5.13. Efecto Doppler de las ondas electro-

magneticas

El efecto Doppler de ondas electromagneticas es diferente debido a que las ondaselectromagneticas no implican movimiento de materia, ademas, su velocidad depropagacion es c para todos los observadores, independientemente de sus movimientorelativos.

Para estudiar el efecto Doppler de las ondas electromagneticas se debe realizar unpequeno estudio de las transformaciones de Lorentz por tal motivo, estudiaremos lastransformaciones de Lorentz

110


5.13.1. Transformacion de Lorentz

Figura 5.16: Transformaciones de Lorentz

Considere que para t = 0, ocurre un destello de luz en un lugar del espacio, las dis-tancias que recorre este destello de luz para los dos observadores es, donde se consideraque la velocidad de la luz para ambos observadores es la misma, esto se conoce comoinvarianza de la velocidad de la luz, ademas r = ct y r′ = ct′, donde t y t′, son lostiempos que tarda la luz en llegar a los dos observadores

r2 = x2 + y2 + z2 = c2t2 (5.34)

r′2 = x′2 + y′2 + z′2 = c2t′2 (5.35)

donde c, es la velocidad de la luz, en el caso de ser x′ = 0, entonces x = vt,lo que implica que x′ es proporcional a x − vt, lo cual se puede escribir como x′ =k (x− vt), comparando con esta ecuacion, se puede tomar la transformacion de lostiempos como t′ = a (t− bx), para las otras coordenadas permanecen invariables, elconjunto de transformaciones, conocidas como transformaciones de Lorentz es:

y′ = y

z′ = z

x′ = k (x− vt) (5.36)

t′ = a (t− bx)

Remplazando (1.9) en (1.8) y agrupando los terminos semejantes tenemos

(k2 − b2a2c2

)x2 − 2

(k2v − ba2c2

)xt+ y2 + z2 =

(a2 − k2v2/c2

)c2t2 (5.37)

111


Comparando la ecuacion (1.10) con (1.7) se obtiene el sistema de ecuaciones

k2 − b2a2c2 = 1 (5.38)

k2v − ba2c2 = 0

a2 − k2v2/c2 = 1 (5.39)

La solucion de este sistema de ecuaciones es

k = a =1√

1− v2/c2y b = v/c2 (5.40)

Remplazando estas soluciones en el conjunto de transformaciones (1.9), la transfor-macion de Lorentz, compatible con la invarianza a la velocidad de la luz es

x′ =x− vt√1− v2/c2

y′ = y (5.41)

z′ = z

t′ =t− vx/c2√1− v2/c2

Para obtener las transformaciones de las velocidades se derivan estas ultimasobteniendose la transformacion de velocidades como

V ′x′ =Vx − v

1− vVx/c2

V ′y′ =Vy√

1− v2/c2

1− vVx/c2(5.42)

V ′z′ =Vz√

1− v2/c2

1− vVx/c2

Otro parametro de gran importancia es el momentum de una partıcula, el cual sedefine como:

~p = m~v (5.43)

donde m, es la masa la cual depende de la velocidad con la cual se mueva la partıcula,en la forma

m =m0√

1− v2/c2(5.44)

112


La fuerza, es la variacion del momentum con respecto al tiempo esto es

~F =d~p

dt=d (m~v)

dt(5.45)

De donde la energıa cinetica se puede definir como

Ek =∫ v

0Fds =

∫ v

0

d (m~v)

dtds =

∫ v

0vd (m~v)

mv2 −∫ v

0mvdv =

m0v2√

1− v2/c2−∫ v

0

m0vdv√1− v2/c2

(5.46)

m0v2√

1− v2/c2+m0c

2√

1− v2/c2 −m0c2 = mc2 −m2

0

La energıa total es la suma de la energıa cinetica y la energıa en reposo

E = Ek +m0c2 = mc2 (5.47)

Con esto y la definicion de p = mv, se tiene

~v =c2~p

E(5.48)

de dondeE = c

√m2

0c2 + p2 (5.49)

De la definicion anterior de energıa

p2 − E2/c2 = −m20c

2 (5.50)

planteando las ecuaciones para los dos observadores tenemos:

p2x + p2

y + p2z − E2/c2 = −m2

0c2

p′2x′ + p′2y′ + p′2z′ − E ′2/c2 = −m20c

2 (5.51)

Igualando estas ecuaciones, se tiene

p2x + p2

y + p2z − E2/c2 = p′2x′ + p′2y′ + p′2z′ − E ′2/c2 (5.52)

Las ecuaciones anteriores son similares a las ecuaciones (1.7) y (1.8), realizando lascomparaciones adecuadas se llega a las transformaciones para el momentum

p′x′ =px − vE/c2√

1− v2/c2

p′y = py (5.53)

p′z = pz

E ′ =E − vpx√1− v2/c2

113


de las transformaciones para el momentum se pueden obtener las transformacionespara la fuerza como:

F ′x′ =dp′x′

dt′=dp′x′

dt

dt

dt′=dpxdt

= Fx (5.54)

Realizando los mismos calculos para las otras fuerzas se tiene

F ′x′ = Fx

F ′y′ =1√

1− v2/c2Fy (5.55)

F ′z′ =1√

1− v2/c2Fz

5.13.2. Transformacion de las frecuencias

Para un observador en un sistema inercial de referencia, una onda electromagneticaplana y armonica puede describirse por la funcion ψ0sen (kx− ωt). Para otro observadorlas coordenadas x y t, deben cambiarse por x′ y t′ dadas por la ecuacion (1.3), en estecaso la onda plana armonica es ψ′0sen (k′x′ − ω′t′).El principio de relatividad exige que kx−ωt sea invariante cuando pase de un observadorinercial a otro, con lo que se tiene la igualdad

kx− ωt = k′x′ − ω′t′ (5.56)

Remplazando (1.3) se llega a

kx− ωt = k′x− vt√1− v2/c2

− ω′ t− vx/c2√

1− v2/c2=k′ − ω′v/c2√

1− v2/c2x− k′v + ω′√

1− v2/c2t (5.57)

comparando y recordando que k = ω/cse obtiene

ω′ = ω1− v/c√1− v2/c2

(5.58)

Expresion que relacion la frecuencia medida por el observador y la frecuencia emitidapor la fuente.

114

Capıtulo 6

Interferencia

6.1. Introduccion

Cuando tenemos dos movimientos ondulatorios que coinciden en el tiempo y el es-pacio, estos movimientos ondulatorios se suman(superponen), produciendo el fenomenode la interferencia; que puede ser constructiva o destructiva. Es importante mencionarque las fuentes que los producen deben ser coherentes, es decir mantienen una faseconstante, una con respecto a la otra y ademas ser monocromaticas, es decir poseer unasola frecuencia.

Un ejemplo de fuentes coherentes son los altavoces de un equipo de sonido puestoque son alimentados por el mismo amplificador, un ejemplo de fuentes coherentes sondos bombillas.

6.2. Interferencia producida por dos fuentes sin-

cronicas

Consideremos dos fuentes puntuales S1 y S2, como las ilustradas en la figura 6.1,que oscilan con la misma frecuencia

ψ1 = ψ01sen (ωt− kr1 + φ1) (6.1)

ψ2 = ψ02sen (ωt− kr2 + φ2) (6.2)

donde r1 y r2 son las distancias desde cualquier punto P hasta las fuentes S1 y S2.La amplitud producida por las fuentes depende de r1 y r2. En el punto P la amplitudresultante es la suma de los dos movimientos ondulatorios los cuales consideraremosescalares.

ψ = ψ1 + ψ2 = ψ01sen (ωt− kr1 + φ1) + ψ02sen (ω = t− kr2 + φ2) = ψ0sen (ω = t+ φ)(6.3)

115


Figura 6.1: Interferencia producida por dos fuentes sincronicas

Cuyas graficas fasoriales se ilustran en la figura 6.2En este caso la amplitud resultante se puede calcular aplicando el teorema del coseno

como:

ψ0 =√ψ2

01 + ψ202 + 2ψ01ψ02 cos δ (6.4)

Figura 6.2: Graficas fasoriales para la interferencia producida por dos fuentes sincronicas

donde δ = k (r1 − r2) + (φ1 − φ2)

tanφ =ψ01sen (−kr1 + φ1) + ψ02sen (−kr2 + φ2)

ψ01 cos (−kr1 + φ1) + ψ02 cos (−kr2 + φ2)(6.5)

Observando la ecuacion (6.3), se puede notar que cuando δ = 2nπ el cos 2nπ = 1,lo que convierte la amplitud del movimiento resultante en:

116


ψ0 = ψ01 + ψ02 (6.6)

es decir que en este caso las amplitudes se suman, por lo tanto la interferencia esconstructiva, por otra parte cuando δ = (2n+ 1)π, el cos(2n+ 1)π = −1 y la amplituddel movimiento resultante se convierte en

ψ0 = φ01 − ψ02 (6.7)

es decir que en este caso las amplitudes se restan, generando una interferencia de-structiva, para cada uno de los casos anteriores n = 0,±1, ,±2,±3, · · ·, recordando que

k =2π

λ, δ se convierte en:

2π

λ(r1 − r2) + (φ1 − φ2) =

2πn Interferencia Constructiva(2n+ 1) π Interferencia Destructiva

, (6.8)

que puede ser escrito en la forma

r1 − r2 =

nλ− λ

2π(φ2 − φ1) Interferencia Constructiva

(2n+ 1) λ2− λ

2π(φ2 − φ1) Interferencia Destructiva

(6.9)

Cuando las fuentes se encuentran en fase, es decir φ1 = φ2, esta condicion para lainterferencia constructiva y destructiva se convierte en:

r1 − r2 =

nλ Interferencia Constructiva(2n+ 1) λ

2Interferencia Destructiva

, (6.10)

6.3. Experimento de la doble rendija de Young

Una forma de producir dos fuentes, las cuales producen interferencia entre ellas esel experimento de la doble rendija de Young. este experimento realizado por ThomasYoung y consiste en dos pequenos agujeros separados una distancia d, y una pantallacolocada a una distancia L de los agujeros.

Los agujeros son iluminados por por una fuente puntual S, donde los agujeros S1 yS2 se comportan como fuentes puntuales secundarias, las cuales interfieren en el espaciopara producir interferencia constructiva en algunos puntos y destructiva en otros. Paraestudiar lo que sucede con la interferencia de estas fuentes en un punto P , del espaciodebemos calcular r1 − r2 y utilizar los criterios descritos por la ecuacion (6.9).

Consideremos un punto P , que se encuentra sobre la pantalla de observacion yademas la lınea que une el centro de los dos agujeros forma con el punto P forma unangulo θ con la horizontal. Luego entonces de la simetrıa descrita en la figura tenemos

r1 − r2 = d senθ o δ =2π

λd senθ + (φ1 − φ2) (6.11)

117


Figura 6.3: Esquema de la interferencia en la doble rendija de Young

En este caso las fuentes se encuentran en fase (φ1 = φ2), obtenemos las condicionespara la interferencia constructiva (puntos brillantes) y para la interferencia destructiva(puntos oscuros)

d senθ =

nλ Puntos Brillantes(2n+ 1) λ

2Puntos Oscuros,

(6.12)

de la ecuacion (6.12), se pueden obtener los angulos para los cuales se obtinen puntosbrillantes y puntos oscuros en la pantalla como:

θ =

sen−1

(nλ

d

)Puntos Brillantes

sen−1

((2n+ 1)λ

2d

)Puntos Oscuros,

(6.13)

para calcular la distancia desde el centro para la cual se forman los puntos brillantesy oscuros tenemos que y = Ltanθ, que se convierte en:

y =

Ltan

(sen−1

(nλ

d

))Puntos Brillantes

Ltan

(sen−1

((2n+ 1)λ

2d

))Puntos Oscuros,

(6.14)

para angulos pequenos senθ ∼= tanθ, lo que conyeva a

118


y =

Lnλ

dPuntos Brillantes

L(2n+ 1)λ

2dPuntos Oscuros.

(6.15)

La amplitud de los puntos en la pantalla se puede calcular utilizando la ecuacion(6.4), tomando ψ01 = ψ02 tenemos:

ψ0 =√

2ψ201 + 2ψ2

01 cos δ = ψ01

√2 (1 + cos δ) = 2ψ01 cos

1

2δ, (6.16)

donde δ = 2πd senθλ

, con lo cual la amplitud es:

ψ0 = 2ψ01 cos

(πd senθ

λ

), (6.17)

La intensidad de la luz es proporcional al cuadrado de la amplitud, es decir

I α 4ψ201 cos2

(πd senθ

λ

), (6.18)

o

I = I0 cos2

(πd senθ

λ

), (6.19)

6.4. Biprisma de Fresnel

Otra forma de producir dos fuentes coherentes en este caso virtuales es utilizandoel biprisma de Fresnel ilustrado en la figura 6.4, el cual esta compuesto por dos prismasP1 y P2. la luz proveniente de la fuente S, se refracta en cada prisma lo que genera doshaces coherentes, S1 y S2, separados una distancia a. la distancia de estas fuentes hastala pantalla de observacion es D, de donde las distancias r1 y r2 son:

r21 = D2 +

(y − a

2

)2

, (6.20)

y

r22 = D2 +

(y +

a

2

)2

. (6.21)

Combinando las ecuaciones (6.20 y 6.21) tenemos que:

r21 − r2

2 = (r1 + r2) (r1 − r2) = 2ya (6.22)

En general la distancia y es mucho mas pequena que r1, r2 y D, por lo tantor1 + r2

∼= 2r1∼= 2D, luego entonces:

119


Figura 6.4: Esquema de interferencia producida por un biprisma de Fresnel

r1 − r2 =2ya

D(6.23)

Remplazando este resultado en la ecuacion (6.10), obtenemos la condicion par lainterferencia tanto constructiva como destructiva en un biprisma de fresnel

2ya

D=

nDλ

2aInterferencia Constructiva

(2n+ 1)Dλ

4aInterferencia Destructiva

, (6.24)

6.5. Interferencia por reflexion en laminas delgadas

Otro ejemplo del fenomeno de interferencia es el observado en laminas delgadas,un ejemplo de este es cuando observamos colores sobre una mancha de aceite sobre uncharco de agua, para estudiar este tipo de interferencia consideremos la lamina delgadailustrada en la figura 6.5.

El rayo AB se refleja y se transmite en B el rayo transmitido es el rayo BC, elcual a su vez se refleja en el punto C produciendo el rayo CD, este rayo disminuyesu amplitud y se encuentra en el punto D, con el rayo FD e interfieren debido a ladiferencia entre los tiempos de los rayos, estos rayos se encuentran inicialmente en By F ′ respectivamente, el segundo rayo recorre la distancia F ′D, que de acuerdo con elesquema es

F ′D = BDsenθi, y tanθt =BD/2

d(6.25)

llegando a

F ′D = 2dsenθitanθt (6.26)

120


Figura 6.5: Esquema de interferencia producida por una lamina delgada

Utilizando la ley de Snell senθi = nsenθt, la distancia recorrida por el rayo F ′D seconvierte en:

F ′D = 2dnsenθttanθt (6.27)

El tiempo que tarda en ir el rayo F ′D, desde el punto F ′, hasta el punto D, se obtienedividiendo la distancia entre la velocidad, que en este caso es igual a la velocidad de laluz en el vacio c:

t1 =F ′D

c=

2dnsen2θtcos θt

(6.28)

La distancia recorrida por el otro rayo es el doble de la distancia BC, ya que elangulo con el cual se refleja un rayo es igual al incidente generando con esto que ladistancia BC sea igual a la distancia CD

BC =

√d2 +

(BD

2

)2

=√d2 + d2tan2θ =

d

cos θ, (6.29)

con este resultado el tiempo para ir desde el punto B al punto D es:

t2 = 2d

cos θ

v(6.30)

donde v es la velocidad en el medio, que puede ser expresada en terminos del ındicede refraccion como: v = c/n, que danto con esto el tiempo del rayo

t2 =2dn

c cos θ(6.31)

La diferencia de tiempos entre los rayos al llegar al punto D es:

t2 − t1 =2dn

c cos θ− 2dnsen2θt

cos θt=

2dn

ccos θ (6.32)

121


Para obtener las condiciones de interferencia debemos tener la diferencia de faseδ = ω∆t entre los dos rayos

δ = ω2dn

ccos θ =

4πdn cos θtλ

(6.33)

Se le debe anadir un desface de π causado por la reflexion en la superficie, para elcaso de n > 1 existe un cambio de fase en π para el rayo FD al reflejarse en el puntoD, mientras que para n < 1 existe un desface de π para el rayo BC cuando se reflejaen C; por lo tanto

δ =4πdn cos θt

λ+ π (6.34)

Los puntos de interferencia constructiva o maximos ocurren cuando δ = 2Nπ ylos puntos de interferencia destructiva o mınimos ocurren cuando δ = (2N + 1) π,obteniendose

2dn cos θt =

12

(2N − 1)λ Reflexion maxima, Transmision mınimaNλ Reflexion maxima, Transmision mınima

(6.35)

6.6. Anillos de Newton

El fenomeno de interferencia en laminas delgadas es de frecuente observacion enla vida cotidiana; los brillantes colores de una burbuja son otro ejemplo, pero realizarmediciones en la mayor parte de los casos presenta dificultades que se pueden solucionarcon un experimento de anillos de Newton en el cual el espesor de la lamina puededeterminarse matematicamente, este experimento consiste en colocar una lente planoconvexa sobre una lamina plana, en este caso la lamina a estudiar es de aire o decualquier otro medio que se coloque entre la superficie esferica y la superficie plana dela lamina.

Figura 6.6: Esquema de interferencia para producir anillos de Newton

122


En este caso el espesor de la lamina aumenta al aumentar el radio r, para calcularel espesor notemos que:

√R2 − r2 = R− e o e2 − 2Re+ r2 = 0 (6.36)

Para valores pequenos de e, que es la mayor parte de los casos tenemos que e2 <<,obteniendose

e =r2

2R(6.37)

Los valores que poseen el mismo valor de r tambien poseen el mismo valor de e,estos valores generan cırculos. Por lo tanto las franjas de interferencia son cırculos yaque la interferencia depende del espesor de la lamina.

Las ondas 1 y 2 reflejadas en A y en B interfieren. Las condiciones de interferenciadependen del espesor de la lamina donde se reflejan las ondas. Estas ondas experimen-tan un desface de π por causas explicadas en la seccion anterior y las condiciones deinterferencia dadas por la ecuacion (6.85), que nos produce

2en cos θt =

12

(2N − 1)λ Interferencia constructivaNλ Interferencia destructiva

(6.38)

Para este caso la incidencia es practicamente normal obteniendose

e =

λ

4n(2N − 1) Interferencia constructiva

λ

2nN Interferencia destructiva

(6.39)

Con estas condiciones para la interferencia constructiva y destructiva, las condicionespara los cırculos brillantes y los cırculos oscuros son:

r =

√2

R

λ

4n(2N − 1) Cırculos brillantes√

2

R

λ

2nN Cırculos oscuros

(6.40)

6.7. Interferencia de ondas producidas por varias

fuentes sincronicas

Consideremos ahora el caso de N fuentes sincronicas separadas entre si una distanciad, las cuales producen interferencia y para simplificar el analisis supongamos que lospuntos en los cuales se produce la interferencia se encuentran a distancias grandes delas fuentes; las amplitudes para cada una de las ondas son:

123


Figura 6.7: Esquema de interferencia producido por N fuentes sincronicas

ψ1 = ψ01sen (ωt− kr1 + φ1)ψ2 = ψ02sen (ωt− kr2 + φ2)...ψN = ψ0Nsen (ωt− krN + φN)

(6.41)

La diferencia de fase entre dos ondas consecutivas suponiendo que se encuentren enfase es decir φ1 = φ2 = · · · = φN es:

δ =2πd

λsenθ (6.42)

Para obtener la amplitud en un punto determinado debemos sumar las ondas,esta suma se puede interpretar como una suma de N fasores, los cuales se ilustranen la figura 6.8.

Figura 6.8: Fasores correspondientes a cada una de las fuentes

Primero estudiemos la suma grafica de los dos primeros fasores, obteniendose lafigura 6.9

Uniendo estos fasores con el tercer fasor tenemos la figura 6.10En resumen para la suma de los N fasores obtenemos la figura 6.11, donde se ha

tomado β = ωt− kr1 + φ1.La suma de las N ondas, considerando que las amplitudes de las ondas son iguales,

se puede expresar como

124


Figura 6.9: Esquema para la suma de los dos primeros fasores en la interferencia de Nfuentes sincronicas

Figura 6.10: Esquema para la suma de los tres primeros fasores en la interferencia deN fuentes sincronicas

ψ = ψ01senβ + ψ01sen (β + δ) + ψ01sen (β + (N − 1) δ) = ψ01

N−1∑i=0

sen (β + iδ) (6.43)

Utilizando la identidad trigonometrica sen (β + iδ) = senβ cos iδ + cos βseniδ, estasuma se puede escribir como:

ψ = ψ01

[senβ

N−1∑i=0

cos iδ + cos βN−1∑i=0

seniδ

](6.44)

Se puede demostrar que:

N−1∑i=0

cos iδ =sen1

2Nδ

sen12δ

cos1

2(N − 1) δ y

N−1∑i=0

seniδ =sen1

2Nδ

sen12δ

sen1

2(N − 1) δ

(6.45)Remplazando este resultado en la ecuacion (6.94) obtenemos la ecuacion resultante

de suma de las N ondas

ψ = ψ01

sen12Nδ

sen12δ

[senβ cos

1

2(N − 1) δ + cos βsen

1

2(N − 1) δ

](6.46)

Obteniendose finalmente

125


Figura 6.11: Esquema para la suma de los N fasores en la interferencia de N fuentessincronicas

ψ = ψ01

sen12Nδ

sen12δ

sen(β +

1

2(N − 1) δ

)(6.47)

La amplitud en este caso es:

ψ0 = ψ01

sen12Nδ

sen12δ

(6.48)

y la fase es:

φ = φ0 +1

2(N − 1) δ (6.49)

Recordando que la intensidad es proporcional es proporcional al cuadrado de laamplitud, la intensidad se convierte en

I = I0

(sen1

2Nδ

sen12δ

)2

= I0

sen

(Nπdsenθ

λ

)

sen

(πdsenθ

λ

)

2

(6.50)

‘

6.8. Ondas estacionarias

La ecuacion de ondas describe los movimientos ondulatorios de las ondas en unacuerda, una barra, etc. esta ecuacion es:

∂2ψ

∂t2= v2∂

2ψ

∂x2(6.51)

Cuando se soluciona esta ecuacion se obtienen dos soluciones f1 (x+ vt) yf2 (x− vt), que representan dos ondas una que se propaga en la direccion positiva de

126


las x y otra que se propaga en la direccion negativa de las x. La solucion de la ecuacionde ondas es la suma de estas soluciones

Figura 6.12: Esquema para la interferencia de dos ondas

ψ = f1 (x+ vt) + f2 (x− vt) (6.52)

Hasta el momento hemos considerado una de las dos en la solucion de la ecuacionde ondas; pero en el caso en el cual la onda se refleja en un punto se encuentran lasdos una correspondiente a la onda incidente y otra correspondiente a la onda reflejada,en cuyo caso se deben considerar las dos ondas. Cuando estas dos ondas se encuentranse superponen produciendo una interferencia que produce ondas conocidas como ondasestacionarias.

La solucion de la ecuacion de ondas posee dependencia del tiempo y del espacio;por tal motivo se puede estudiar la solucion de la ecuacion de ondas como el productode dos funciones una que depende del espacio y otra que depende del tiempo; pero laparte que depende del tiempo es armonica es decir tiene la forma senωt. Por lo tantola solucion de la ecuacion de ondas es:

ψ = f(x)sen(ωt) (6.53)

donde se debe calcular la funcion f(x). Si calculamos las derivadas de (6.3) y lasremplazamos en (6.2) obtenemos

∂2ψ

∂t2= −ω2f(x)senωt;

∂2ψ

∂t2=d2f(x)

dx2senωt (6.54)

v2d2f(x)

dx2senωt+ ω2f(x)senωt = 0

d2f(x)

dx2+ω2

v2f(x) = 0 (6.55)

Recordando que k = ω/v, esta ecuacion se puede escribir como:

d2f(x)

dx2+ k2f(x) = 0 (6.56)

127


Esta ecuacion es similar a la ecuacion de un movimiento oscilatorio pero en lugar deω tenemos k y en lugar del tiempo tenemos x, la solucion para el movimiento oscilatorioes ψ = Asen (ωt+ φ), luego entonces por analogıa la solucion en este caso debe ser:

f(x) = Asen (kx+ φ) (6.57)

Luego entonces la solucion general para la ecuacion de ondas (6.51) descrita por laecuacion (6.53) se convierte en:

ψ = Asen (kx+ φ) sen (ωt) (6.58)

En este caso A y φ dependen de las condiciones del problema

6.8.1. Ondas estacionarias en una cuerda

Consideremos el caso de una onda que se propaga por una cuerda de longitud L ydensidad lineal de masa µ, esta cuerda puede encontrarse fija a un extremo o a ambosextremos. En el caso en el cual se encuentra fija a un extremo por ejemplo el extremox = 0 se tiene la condicion φ(x = 0) = 0, ya que este punto se encuentra fijo es decir suamplitud siempre es cero. remplazando esta condicion en la ecuacion (6.58) obtenemos:

ψ = Asen (φ) sen (ωt) , (6.59)

de donde se obtiene que senφ = 0 o φ = 0 llegando a

ψ = Asen (kx) sen (ωt) (6.60)

donde el termino Asen (kx), representa la amplitud de las ondas como una funcionde la posicion x, esta funcion posee puntos en los cuales la amplitud es maxima y puntosen los cuales la amplitud es cero. los puntos en los cuales la amplitud es maxima sellaman antinodos y los puntos en los cuales la amplitud es cero se llaman nodos.

Los nodos se pueden calcular tomando

Asen (kx) = 0 (6.61)

La unica forma para la cual se cumple la condicion (6.61) es

kx = nπ2πx

λ= nπ o x =

nλ

2n = 0, 1, 2, · · · (6.62)

y los antinodos corresponden a los puntos de maxima amplitud es decir

dAsen (kx)

dx= 0 = kA cos kx (6.63)

La unica forma para la cual se cumple la condicion (6.63) es

kx = (2n+ 1)π

2

2πx

λ= (2n+ 1)

π

2o x =

λ

4(2n+ 1) n = 0, 1, 2, · · · (6.64)

128


Para una cuerda fija por ambos extremos se tiene que el extremo que corresponde ax = L, debe tener amplitud cero siempre, debido a que se encuentra fijo, esto quieredecir que este punto es un nodo, por lo tanto debe cumplirse que φ(x = L) = 0, lo queimplica segun la ecuacion (6.62), que:

L =nλ

2o λ =

2L

nn = 0, 1, 2, · · · (6.65)

La ecuacion (6.65), representa que para una cuerda de longitud L se producen ciertaslongitudes de onda, estas longitudes de onda son

λ = 2L,L,2

3L,L

2, · · · (6.66)

Pero recordando que la velocidad con la cual se propagan las ondas en una cuerda

esta dada por v =√t/µ y ademas que en general v = λf se tiene que

f =n

2L

√Tµ n = 1, 2, 3, · · · (6.67)

Lo que muestra que en una cuerda fija por ambos extremos solo se tienen ciertasfrecuencias las cuales son multiplos de f1

12L

√Tµ, la cual es llamada frecuencia funda-

mental y los multiplos de esta frecuencia se llaman armonicos. Por ejemplo para unacuerda de acero cuya densidad es ρ = 7,86×103kg/m3, el radio es r = 0,5mm, la tensionde la cuerda es T = 762N y la longitud de la cuerda es L = 40cm.

Figura 6.13: Modos de vibracion para las ondas estacionarias en una cuerda de longitudL y fija a ambos extremos

Si calculamos la frecuencia fundamental en este caso es decir para n = 1, pro-duce f1 = 440Hz, pero ademas de esta frecuencia fundamental produce los multiplos(armonicos) de la misma es decir 880Hz, 1320Hz, etc. La frecuencia 440Hz correspondea la nota Do de la escala musical. si se varia la tension, la longitud o la densidad de masalineal varia la frecuencia fundamental emitida por la cuerda de esta forma funcionanlos instrumentos de cuerda como la guitarra.

129


6.8.2. Ondas estacionarias en una columna de aire

Otro ejemplo de ondas estacionarias en una dimension corresponde a las ondas enuna columna de aire, las cuales se obtienen cuando se tiene un tubo de longitud L, elcual puede estar abierto por ambos lados o por un solo lado. En el caso del tubo abiertopor ambos lados, las condiciones son que ambos extremos tienen amplitud maxima, esto

es∂ψ

∂x(x = 0) = 0 y

∂ψ

∂x(x = L) = 0, por lo tanto de acuerdo con la primera condicion

y la ecuacion (6.58), tenemos:

kA cos (kx+ φ) senωt = 0, (6.68)

esto solo se cumple si

cosφ = 0 o φ =π

2, (6.69)

por lo tanto

ψ = Asen(kx+

π

2

)senωt = A cos kx senωt (6.70)

Utilizando la segunda condicion se tiene que

− kA cos kL senωt = 0, (6.71)

esto solo se cumple si

senkL = 0 o kL = nπ λ =2L

n(6.72)

Recordando que la velocidad del sonido en una columna de aire es v = 20,055√T ,

tenemos que las frecuencias producidas en una columna de aire son:

f =n

2L20,055

√T (6.73)

Para el caso en el cual el tubo se encuentra cerrado por el extremo opuesto al ladode la boquilla es decir en x = L, el extremo cerrado corresponde a un nodo es decirψ(x = L) = 0 y el punto x = 0, corresponde a un antinodo, con la condicion parax = 0, se obtiene nuevamente la ecuacion (6.70) y remplazando la condicion para x = Ltenemos

A cos kLsenωt = 0 (6.74)

Esta condicion solo se cumple si

cos kL = 0 o kL = (2n+ 1)π

2, (6.75)

de donde la frecuencia se puede escribir como:

f = (2n+ 1)v

4L, (6.76)

130


Figura 6.14: Modos de vibracion para las ondas estacionarias en una columna de airede longitud L y con un extremo cerrado y un extremo abierto

donde v es la velocidad del sonido, los instrumentos de viento como la flauta, latrompeta, etc. utilizan este principio, para producir las notas musicales, y al igual queen el caso de la cuerda existe una frecuencia fundamental y otras que son multiplos(armonicos) de estas.

6.8.3. Ondas estacionarias electromagneticas

Consideremos una onda electromagnetica que se propaga en la direccion z, para esteefecto consideraremos el campo electrico paralelo a la direccion x, por lo cual el campomagnetico debe estar en la direccion y.

Figura 6.15: Ondas estacionarias electromagneticas

Supongamos que el plano xy,en z = 0 se encuentra una placa conductora, la ondaelectromagnetica choca contra la placa conductora, en la cual se refleja y se trans-mite, las ondas incidente y reflejada interfieren, en cuyo caso la solucion para el campoelectrico tiene la forma descrita por la ecuacion (6.58)

131


~E = ~E0sen (kz + φ) sen (ωt) (6.77)

El campo electrico dentro de un conductor debe ser normal a la superficie del conduc-tor, es decir no debe existir componente tangencial del campo electrico en el conductor,por tal motivo en z = 0, el campo electrico incidente y el reflejado deben ser igualespero de direcciones opuestas, en conclusion el campo electrico en z = 0, debe ser cero.Remplazando esta condicion en la ecuacion (6.77) tenemos que:

0 = ~E0sen (φ) sen (ωt) (6.78)

de donde se tiene φ = 0, lo que convierte el campo electrico en:

~E = ~E0sen (kz) sen (ωt) (6.79)

Este campo electrico posee puntos en los cuales es cero y puntos en los cuales esmaximo lo cual corresponde a nodos y antinodos del campo electrico. Para kz = nπo z = nλ

2se tienen los nodos del campo electrico y para kz = (2n+ 1)π

2o z = (2n+1)λ

4se

tienen los antinodos del campo electrico. para estudiar el comportamiento del campomagnetico se puede calcular a partir de la ley de Faraday.

Figura 6.16: Ondas estacionarias electromagneticas

∇× ~E =

∣∣∣∣∣∣∣ax ay az∂∂x

∂∂y

∂∂z

E0sen (kz) sen (ωt) 0 0

∣∣∣∣∣∣∣ = E0k cos (kz) sen (ωt) ay = −∂~B

∂t(6.80)

de donde

~B = E0k

ωcos (kz) cos (ωt) ay = ~B0 cos (kz) cos (ωt) (6.81)

donde ~B0 = E0kωay = E0

cay. Luego entonces para el campo magnetico z = (2n+1)λ

4

y los antinodos corresponden a z = nλ2

, lo que implica que las variaciones del campoelectrico y el campo magnetico se encuentran desfasadas en

132


∆λ = 2

((2n+ 1)λ

4− nλ

2

)=λ

2(6.82)

Para el caso del tiempo , el campo electrico es cero cuando ωt = nπ o t = nP2

,donde P es el periodo temporal; y el campo magnetico es cero cuando ωt = (2n+ 1)π

2

o t = (2n+1)P4

, obteniendose un desfase de P2

entre las variaciones del campo electrico yel campo magnetico

6.9. Ondas estacionarias en dos dimensiones

Cuando se tienen ondas en dos dimensiones como las que se producen en una mem-brana vibrante ejemplo la de un tambor, las ondas se producen en todas las direcciones,las cuales al llegar al borde se reflejan, las ondas reflejadas interfieren con las incidentesproduciendo ondas estacionarias en dos dimensiones. La ecuacion de onda en dos di-mensiones esta dada por:

∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2=

1

v2

∂2ψ

∂t2(6.83)

donde la solucion para las ondas estacionarias deben tener la forma:

ψ = f(x, y)senωt (6.84)

Ecuacion que derivada y remplazada en la ecuacion (6.83) se obtiene

∂2f(x, y)

∂x2+∂2f(x, y)

∂y2+ k2f(x, y) = 0 (6.85)

Comparando la ecuacion (6.83), con la ecuacion (6.56) y su respectiva solucion(6.57), la solucion de (6.83) es:

f(x, y) = Asen (kxx+ φx) sen (kyy + φy) (6.86)

donde la solucion para la ecuacion de ondas, para producir ondas estacionarias es:

ψ = Asen (kxx+ φx) sen (kyy + φy) sen (ωt) (6.87)

Si remplazamos la ecuacion (6.86), en la (6.85) se tiene

− k2x − k2

y + k2 = 0 o k =√k2x + k2

y (6.88)

Si consideramos una membrana rectangular como la que se muestra en la figura enla cual los bordes se encuentran fijos, las condiciones son:

ψ(x, 0) = 0 ψ(0, y) = 0 ψ(x, b) = 0 ψ(a, y) = 0

remplazando las dos primeras condiciones en (6.86), obtenemos las fases iniciales delas ecuaciones como φx = φy = 0, con lo cual (6.86), se convierte en

133


ψ = Asen (kxx) sen (kyy) sen (ωt) (6.89)

de la tercera condicion kyb = mπ, o ky = mπb

, donde m, es un entero m = 1, 2, 3, · · ·,de igual forma de la cuarta condicion kxa = nπ, o kx = nπ

a, donde n, es un entero

n = 1, 2, 3, · · ·, donde se puede notar que todos los valores de kx y ky, no son aceptados,solo se admiten los multiplos de π/a y π/b respectivamente, con estos valores de kx yky, obtenemos los valores de k

k =

√(nπ

a

)2

+(mπ

b

)2

(6.90)

Recordando que ω = vk = 2πf y ademas para una membrana v =√T/σ, donde T

es la tension de la membrana y σ es la densidad superficial de masa

f =1

2

√T

σ

√(n

a

)2

+(m

b

)2

(6.91)

Lo cual quiere decir que en una membrana tensa rectangular solo se admiten ciertosvalores de frecuencia los cuales son multiplos de un frecuencia fundamental f0, para lacual n = m = 1, en este caso

f0 =1

2

√T

σ

√(1

a

)2

+(

1

b

)2

(6.92)

Figura 6.17: Ondas estacionarias en una membrana recatangular tensa para n1 = 1 yn2 = 1

en el caso en el cual la membrana es cuadrada es decir a = b, esta frecuenciafundamental es:

f0 =1

a

√T

2σ(6.93)

134


Figura 6.18: Ondas estacionarias en una membrana recatangular tensa para n1 = 1 yn2 = 2

6.10. Ondas estacionarias en tres dimensiones

Cuando se tienen ondas en dos dimensiones como las que se producen en una cavidadresonante, por ejemplo cuando usted canta en el bano, las ondas se producen en todaslas direcciones, las cuales al llegar al borde se reflejan, las ondas reflejadas interfierencon las incidentes produciendo ondas estacionarias en tres dimensiones. La ecuacion deonda en tres dimensiones esta dada por:

∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2=

1

v2

∂2ψ

∂t2(6.94)

donde la solucion para las ondas estacionarias deben tener la forma:

ψ = f(x, y, z)senωt (6.95)

Ecuacion que derivada y remplazada en la ecuacion (6.94) se obtiene

∂2f(x, y)

∂x2+∂2f(x, y)

∂y2+∂2f(x, y)

∂z2+ k2f(x, y) = 0 (6.96)

Comparando la ecuacion (6.94), con la ecuacion (6.56) y su respectiva solucion(6.57), la solucion de (6.94) es:

f(x, y, z) = Asen (kxx+ φx) sen (kyy + φy) sen (kzz + φz) (6.97)

donde la solucion para la ecuacion de ondas, para producir ondas estacionarias es:

ψ = Asen (kxx+ φx) sen (kyy + φy) sen (kzz + φz) sen (ωt) (6.98)

Si remplazamos la ecuacion (6.97), en la (6.96) se tiene

− k2x − k2

y − k2z + k2 = 0 o k =

√k2x + k2

y + k2z (6.99)

Si consideramos una cavidad rectangular como la que se muestra en la figura en lacual los bordes se poseen amplitudes iguales a cero, las condiciones son:

135


ψ(x, y, 0) = 0 ψ(x, 0, z) = 0 ψ(0, 0, z) = 0 ψ(a, y, z) = 0 ψ(x, b, z) = 0 ψ(x, y, c) = 0

remplazando las tres primeras condiciones en (6.97), obtenemos las fases inicialesde las ecuaciones como φx = φy = φz = 0, con lo cual (6.97), se convierte en

ψ = Asen (kxx) sen (kyy) sen (kzz) sen (ωt) (6.100)

de la cuarta condicion kxa = nπ, o kx = nπa

, donde n, es un entero n = 1, 2, 3, · · ·,de igual forma de la quinta condicion kyb = mπ, o ky = mπ

b, donde m, es un entero

m = 1, 2, 3, · · ·, finalmente de la sexta condicion kzc = lπ, o kz = lπc

, donde l, es unentero l = 1, 2, 3, · · ·, donde se puede notar que todos los valores de kx, ky y kz, no sonaceptados, solo se admiten los multiplos de π/a, π/b y π/c respectivamente, con estosvalores de kx, ky y kz, obtenemos los valores de k

k =

√√√√(nπa

)2

+(mπ

b

)2

+

(lπ

c

)2

(6.101)

Recordando que ω = vk = 2πf

f =v

2

√√√√(na

)2

+(m

b

)2

+

(l

c

)2

(6.102)

Lo cual quiere decir que en un cavidad rectangular solo se admiten ciertos valoresde frecuencia los cuales son multiplos de un frecuencia fundamental f0, para la cualn = m = 1, en este caso

f0 =v

2

√(1

a

)2

+(

1

b

)2

+(

1

c

)2

(6.103)

en el caso en el cual la cavidad es cubica, es decir a = b = c, esta frecuenciafundamental es:

f0 =v

2a

√3 (6.104)

6.11. Guıas de Onda

Las guıas de onda son elementos que se utilizan para la transmision de ondas, porlo general electromagneticas desde un punto (el generador) hasta otro punto (la carga);las guıas de onda mas usuales son la rectangulares y las cilındricas.

Las guıas de onda estan formadas por un medio dielectrico sin perdidas (σ = 0) ylas paredes son perfectamente conductoras σp = ∞. La onda resultante en este casoresulta de la superposicion de las ondas que se reflejan en las paredes de la guıa, la

136


Figura 6.19: Esquema de una guıa de ondas rectangular, en la cual las ondas se propaganen la direccion z

ecuacion que describe la onda que se propaga a lo largo de la guıa en la direccion zesta dada por:

ψ = 4ψ0sen(kxx+ φx)sen(kyy + φy)sen(ωt− kzz) (6.105)

En las paredes de la guıa de ondas las amplitudes deben ser cero, es decir se tienenlas condiciones de fronteras

ψ (x = 0) = 0, ψ (y = 0) = 0, ψ (x = a) = 0, ψ (y = b) = 0, (6.106)

Si remplazamos las dos primeras condiciones obtenemos φx = φy = 0, remplazandolas dos ultimas condiciones se tiene kxa = nπ y kyb = mπ, con lo cual la ecuacion paralas ondas que se propagan en la direccion z, se convierte en:

ψ = 4ψ0sen(nπ

ax)

sen(mπ

by)

sen(ωt− kzz) (6.107)

Para calcular kz, se puede observar que k =√k2x + k2

y + k2z , de donde

kxa = nπ y kyb = mπ, con lo cual la ecuacion para las ondas que se propagan en ladireccion z, se convierte en:

kz =

√k2 −

(nπ

a

)2

−(mπ

b

)2

(6.108)

Recordando que k = ω/v y ademas de la ecuacion (6.108), tenemos que

(ω

v

)2

≥ n2π2

a2+m2π2

b2o ω ≥ v

√n2π2

a2+m2π2

b2, (6.109)

lo que significa que solo las ondas que poseen una frecuencia superior a este valor sepropagan en la guıa por este motivo se pueden utilizar las guıas de onda como filtros, eneste caso a las frecuencia lımite se le llama frecuencia de corte. La velocidad de grupode las ondas que se propagan a lo largo de la guıa de ondas esta dada por

137


vg =dω

dkz(6.110)

pero

dkzdω

=

2ω

v2

2kz=

k

kzv(6.111)

de donde

vg =kzkv, donde vp =

ω

kz=

k

kzv (6.112)

llegando a

vgvp = v2 (6.113)

6.11.1. Ondas electromagneticas en guıas de ondas

Cuando se propagan ondas electromagneticas en una guıa de ondas, estas viajan ala velocidad de la luz v = c, por lo cual vgvp = c2, en este caso la onda que viaja estacompuesta por un campo magnetico y un campo electrico; existen dos configuracionespara las ondas que se propagan estas configuraciones dependen de si el campo electricoes perpendicular a la direccion de propagacion (TE)o si el campo magnetico es perpen-dicular a la direccion de propagacion (TM), para el caso (TE), el campo electrico noposee componente en la direccion de propagacion que en este caso es z, por lo tanto lascomponentes del campo electrico se pueden escribir de la forma

Ex = E0 cos(nπ

ax)

sen(mπ

by)

sen (ωt− kzz) (6.114)

Ey = E0sen(nπ

ax)

cos(mπ

by)

sen (ωt− kzz) (6.115)

Ez = 0 (6.116)

Utilizando la ley de Faraday podemos calcular el campo magnetico como:

Bx = −E0kzω

sen(nπ

ax)

cos(mπ

by)

sen (ωt− kzz) (6.117)

By = −E0kzω

cos(nπ

ax)

sen(mπ

by)

sen (ωt− kzz) (6.118)

Bz =E0

ω

(nπ

a− mπ

b

)cos

(nπ

ax)

cos(mπ

by)

cos (ωt− kzz) (6.119)

Para el caso de (TM), es decir cuando el campo magnetico es perpendicular a ladireccion de propagacion, en cuyo caso el campo magnetico en la direccion z es cero.

138


Bx = B0sen(nπ

ax)

cos(mπ

by)

sen (ωt− kzz) (6.120)

By = B0 cos(nπ

ax)

sen(mπ

by)

sen (ωt− kzz) (6.121)

Bz = 0 (6.122)

en este caso el campo magnetico se puede obtener utilizando la ley de ampereMaxwell, utilizando σ = 0, obteniendose

Ex = B0kzµεω

cos(nπ

ax)

sen(mπ

by)

sen (ωt− kzz) (6.123)

By = −B0kzµεω

sen(nπ

ax)

cos(mπ

by)

sen (ωt− kzz) (6.124)

Bz =B0

µεω

(nπ

a− mπ

b

)sen

(nπ

ax)

sen(mπ

by)

cos (ωt− kzz) (6.125)

Cuando se poseen altas frecuencias superiores a los 100 MHz, los circuitos RLCfuncionan en condiciones indeseables, en cuyo caso se utilizan las guıas de onda enforma de resonadores para almacenar energıa.

139

Capıtulo 7

Difraccion y Polarizacion

Cuando se coloca un cabello delgado en un rayo de luz, se produce una sombra, peroel centro de la sombra no se encuentra totalmente oscuro y ademas aparecen bandasoscuras en la zona iluminada a ambos lados de la sombra. Este patron de difracciones el resultado de la interferencia de las ondas interrumpidas por el cabello.

En general la difraccion describe el comportamiento de los frentes de onda cuandose encuentran con un obstaculo y se propagan rebasandolos, el obstaculo puede serun objeto delgado, una abertura, o un conjunto de objetos pequenos. La difraccion deacuerdo con el principio de Huygens es una forma especial de interferencia.

Otro ejemplo de difraccion se produce cuando la luz atraviesa una abertura cuadra-da, el observador del patron de difraccion puede encontrarse cerca o lejos de la abertura,cuando se encuentra cerca la figura observada es bastante complicada y se llama difrac-cion de Fresnel , cuando el observador se encuentra lejos, las ondas poseen igual ampli-tud y se forma un conjunto ordenado de franjas brillantes y oscuras que correspondena la difraccion de Fraunhofer

7.1. Difraccion de Fraunhofer por una abertura

rectangular

En primera instancia analizaremos la difraccion de Fraunhofer la cual correspondea un observador que se encuentra a una distancia muy grande en comparacion con elancho de la abertura rectangular. Consideremos una abertura de ancho a, la cual sepuede dividir en una gran cantidad de rendijas elementales de ancho dw. En este casotenemos la interferencia de varias fuentes.

Si dividimos la abertura en dos rendijas de ancho a/2, se produce interferenciadestructiva entre las ondas provenientes de la parte inferior con las ondas provenientesde la parte superior cuando

a

2senθ = ±λ

2o senθ = ±λ

a(7.1)

140


Figura 7.1: Esquema para el estudio de la difraccion en una abertura rectangular

Si ahora dividimos la abertura en cuatro partes se tienen las condiciones para inter-ferencia destructiva como:

a

4senθ = ±λ

2o senθ = ±2λ

a(7.2)

De igual forma podemos dividir la abertura en seis ocho, etc. partes obteniendo engeneral para la interferncia destructiva

a

2msenθ = ±λ

2o senθ = ±mλ

a(7.3)

Figura 7.2: Esquema para el estudio de la difraccion en una abertura rectangular

Recordando que una onda esta dada por

E = E(x)sen (ωt+ φ) (7.4)

donde en este caso φ se debe a que cada una de las ondas que surge de una rendijallega a la pantalla con fase distinta, es decir que φ, es la diferencia de fase entre unaonda que sale de y = 0 y otra onda que sale de y = y, la diferencia de distancias entre

141


las dos ondas es ysenθ, para obtener la diferencia de fase correspondiente a la diferenciade distancia tenemos que:

φ→ 2π ysenθ → λ φ =2π

λysenθ (7.5)

Con esto el campo producido por cada una de las rendijas esta dado por:

dE = E0dy

asen (ωt+ φ) (7.6)

Para obtener el campo producido por todas las rendijas se deben sumar cada unade las contribuciones, teniendo en cuenta que dy = λ

2πsenθdφ; esto es:

E = E0λ

2πasenθ

∫ πasenθλ

−πasenθλ

sen (ωt+ φ) dφ (7.7)

El resultado de esta suma es:

E = E0

sen(πasenθλ

)πasenθλ

sen (ωt) (7.8)

La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud del campo electrico

I = I0

sen2(πasenθλ

)(πasenθλ

)2 (7.9)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 7.3: Grafica de la intensidad producida por una abertura rectangular

De esta ecuacion se pueden obtener los puntos de maxima y mınima intensidad, seobtienen puntos de maxima intensidad cuando sen

(πasenθλ

)= ±1 y los punto de mınima

intensidad cuando sen(πasenθλ

)= 0, en resumen

senθ =

(2n+ 1)

nλ

2aMaximos

nλ

aMınimos,

(7.10)

142


7.2. Doble rendija de Young

Cuando estudiamos la interferencia producida por dos rendijas obtuvimos la ampli-tud en la pantalla como:

Figura 7.4: Esquema para la difraccion en dos aberturas rectangulares

ψ0 = 2ψ01 cos

(πd senθ

λ

), (7.11)

donde ψ01 es la amplitud de una de las dos rendijas consideradas, pero en este casoesa amplitud esta dada por la ecuacion (7.8), obteniendose la amplitud para la doblerendija de Young como

ψ0 = 2E0

sen

(πasenθ

λ

)πasenθ

λ

cos

(πd senθ

λ

), (7.12)

En este caso se ha considerado la difraccion por cada una de las aberturas, dondea es el ancho de la abertura y d es la distancia entre las dos aberturas consideradas.Recordando que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, esta intensi-dad es:

I = I0

sen2

(πasenθ

λ

)(πasenθ

λ

)2 cos2

(πd senθ

λ

), (7.13)

En la figura 7.5, se muestra el patron de intensidad, en lınea punteada se muestrael patron de difraccion y en lınea continua se muestra con el patron de interferencia

143


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 7.5: Grafica de la intensidad producida por dos aberturas considerando la difrac-cion

7.3. Redes de difraccion

Cuando tenemos N aberturas de ancho a y separacion entre las aberturas d, eneste caso la amplitud de N aberturas sin considerar la difraccion en cada una de lasaberturas es:

ψ0 = ψ01

sen(Nπdλ

senθ)

sen(πdλ

senθ) (7.14)

Figura 7.6: Esquema para el estudio de la difraccion en una red de difraccion

donde la amplitud esta determinada por la ecuacion (7.8); cuando se considera ladifraccion se obtiene una red de difraccion en la cual la amplitud esta determinandapor

144


ψ0 = E0

sen(πasenθλ

)(πasenθλ

) sen(Nπdλ

senθ)

sen(πdλ

senθ) (7.15)

donde nuevamente la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud

I = I0

sen2(πasenθλ

)(πasenθλ

)2

sen2(Nπdλ

senθ)

sen2(πdλ

senθ) (7.16)

Los puntos maximos se obtienen cuando

πasenθ

λ= nπ (7.17)

donde dependiendo del valor de n se obtiene un maximo que se denomina orden dedifraccion ası para n = 1, se tiene el primer orden de difraccion, para n se tiene el n-esımo orden de difraccion. Cuando se ilumina una red de difraccion con luz blanca cadauno de los colores que componen esta luz poseen un angulo de difraccion excepto parael orden cero en el cual se obtiene nuevamente la luz blanca, en los demas ordenes seobtiene el espectro de visible, esto se puede notar en la ecuacion (7.17); ademas cuandoaumenta la longitud de onda aumenta la desviacion, que es lo contrario a lo ocurrido ala dispersion en un prisma. la dispersion en la red se puede calcular como:

D =dθ

dλ=

n

a cos θ(7.18)

de donde se puede notar que cuanto mayor es el orden de difraccion, mayor es ladispersion

7.4. Difraccion en una abertura circular

La difraccion en una abertura circular es un poco mas compleja que la aberturarectangular por cuanto en este caso la geometrıa se encuentra en coordenadas polares,generando soluciones un poco mas complejas, en este caso se obtienen franjas en formade cırculos unas brillantes y otras oscuras, donde el punto central es un maximo, laposicion del primer mınimo en este caso se puede obtener de:

senθ = 0,61λ/R (7.19)

donde R es el radio de la abertura circular.La difraccion establece un lımite a nuestra capacidad de distinguir dos fuentes dis-

tintas de ondas. cuando dos fuentes se encuentran cercanas se combinan y es difıcildistinguirlas. La separacion mınima que se puede distinguir depende de la tecnica uti-lizada, un programa de computador o nuestros ojos. Un criterio que se utiliza es elcriterio de Rayleigh (1842-1919), que dice que se pueden diferenciar dos fuentes siem-pre que su separacion angular sea mayor o igual a la que tienen el maximo central y elprimer mınimo es decir siempre que

145


∆θ ≥ 0,61λ/R (7.20)

7.5. Polarizacion

7.5.1. La elipse de polarizacion

Consideremos la curva que se genera en z = 0, a partir de la composicion de doscampos electricos de la misma frecuencia y que vibran con un cierto desfase entre ellos,que viajan en la misma direccion en este caso z y cuyas direcciones de vibracion sonortogonales, es decir:

Ex = E0x cos(ωt+ φ1) Ey = E0y cos(ωt+ φ2) (7.21)

al eliminar el parametro t de ecuaciones anteriores, obtenemos la ecuacion cartesianasiguiente

E2x

E20x

+E2y

E20y

− 2ExEyE0xE0y

cos(δ) = sen2(δ) (7.22)

donde δ = φ1 − φ2. La ecuacion cartesiana corresponde a una elipse con centro ensu origen de coordenadas, pero con el eje mayor formando un cierto angulo ϑ con el ejex. Este angulo se puede encontrar a partir de la expresion

tan(2ϑ) =2E0xE0y cos(δ)

E20x − E2

0y

(7.23)

En este caso se dice que la onda posee polarizacion eliptica, lo que quiere decirque el vector campo electrico cambia de direccion en funcion del tiempo y la figuraque genera el extremo de este vector se describe por la ecuacion (7.22). Considerandolos diferentes valores que puede tomar δ, obtenemos los diferentes casos de polarizacion.

Algunos casos de especial interes son :

1. Luz polarizada lineal: δ = 0 o bien δ = π.

2. Ejes de la elipse coincidentes con los ejes de coordenadas: δ = π/2 o bien δ = 3π/2.La luz sera polarizada circular si ademas, E0x = E0y

3. El sentido de giro de la elipse sera dextrogiro si 0 < δ < π, mientras que el sentidode giro sera levogiro: si π < δ < 2π.

7.5.2. Polarizadores

Para la luz natural (monocromatica), todos los valores de δ, E0x y E0y son igual-mente probables. Los polarizadores son dispositivos que permiten obtener luz polarizadalinealmente a partir de luz natural. Los polarizadores se caracterizan por la presencia

146


de un eje de polarizacion, que indica la direccion en que la luz sale linealmente polar-izada. Si enviamos luz polarizada linealmente tal que el vector campo electrico vibreen una direccion que forme un angulo α con el eje de polarizacion, la intensidad que sedetectara a la salida sera I = I0 cos2(α), resultado conocido como la ley de Malus.

Existen otras formas de polarizar la luz no polarizada, dentro de los cuales se encuen-tran la polarizacion por reflexion, por refraccion, por doble refraccion y por absorcionselectiva o dicroısmo

7.5.2.1. Polarizacion por reflexion

Figura 7.7: Polarizacion por reflexionen una superficie (angulo de Brewster)

Consideremos una lamina no metalica L,sobre la que incide un rayo de luz natural A,para cierto valor del angulo de incidencia la luzse encuentra totalmente polarizada, vibrandoen una direccion perpendicular al plano de in-cidencia. El angulo de incidencia para el cualla luz se encuentra totalmente polarizada es elangulo de Brewster .

Se debe recordar que existen diferentesangulos de Brewster uno para cuando el cam-po electrico se encuentra perpendicular y otropara cuando el campo electrico se encuentraparalelo al plano de incidencia.

7.5.2.2. Polarizacion por transmision

Figura 7.8: Polarizacion por transmision

Si el rayo reflejado esta polariza-do perpendicularmente al plano de in-cidencia, el rayo transmitido debe estarenriquecido en vibraciones paralelas alplano de incidencia. Por consiguiente siun rayo de luz natural A atraviesa variaslaminas de vidrio experimentando unaserie de transmisiones el rayo emergenteB esta practicamente polarizado vibran-

do paralelamente al plano de incidencia.

147


7.5.2.3. Polarizacion por doble transmision

Figura 7.9: Polarizacion por dobletransmision

La doble transmision es la propiedad de algunassubstancias, llamadas birrefringentes, a un rayo AB,corresponden dos rayos transmitidos BC y BD. Ladoble transmision se debe a que en las substanciasbirefringentes hay dos velocidades de propagacionde la luz para cada direccion. Si se observa un cuerpoa traves de una substancia birrefringente se ven dosimagenes ligeramente desplazadas y debidas a losdos rayos de transmitidos.

Entre las substancias birrefringentes se encuen-tran la calcita (CO3Ca), el cuarzo, el hielo, etc..El eje optico de un cristal es la direccion a la cualcorresponde una sola velocidad de propagacion. Loscristales pueden ser uniaxicos o biaxicos segun ten-gas uno o dos ejes opticos. En los cristales uniaxicosuno de los rayos llamado rayo ordinario, cumple conlas leyes de la transmision y le otro llamado rayo ex-

traordinario, no las cumple.Cuando en un cristal birrefringente incide un rayo I de luz natural, el rayo ordinario

O y rayo extraordinario E estan polarizados en planos perpendiculares.

7.5.2.4. Polarizacion por absorcion selectiva o dicroısmo

Figura 7.10: Dicroısmo

El dicroısmo es la propiedad que poseen algunas substancias birrefringentes absorbenun rayo mas que el otro; un ejemplo es la turmalina (borosilicato de aluminio) queabsorbe practicamente todo el rayo ordinario en solo unos milımetros, de modo quesolo emerge el rayo extraordinario que esta polarizado.

148


Figura 7.11: Esquema para el estudio de la actividad optica

7.5.2.5. Actividad optica

La actividad optica o poder rotatorio es la propiedad que tienen algunas substanciasde hacer girar el plano de vibracion cuando son atravesadas por la luz polarizada. Estassubstancias se llaman opticamente activas.

Por ejemplo si un tubo T , con sus extremos transparentes se dispone entre dospolaroides cruzados P y Q, el observados tendra oscuridad porque P polariza la luzen forma horizontal EE, mientras que Q solo transmite la luz en la direccion verticalE ′E ′. Pero si llenamos el tubo con solucion muy concentrada de azucar en agua, Oobtendra iluminacion siendo necesario girar el polaroide Q para obtener nuevamenteoscuridad; lo cual indica que el agua azucarada ha hecho girar el plano de vibracion unangulo θ que es igual al angulo que se debe girar el polaroide Q para obtener oscuridadnuevamente.

Las substancias que hacen girar el plano de vibracion hacia la derecha se llamandextrogiras y las que lo hacen girar a la izquierda se llaman levogiras. Entre las sub-stancias dextrogiras esta la sacarosa y el alcanfor, y entre las levogiras la levulosa y latrementina. La actividad optica o poder de rotatorio α, se define como en angulo engrados θ dividido entre el espesor l en decimetros

α =θ

l

[ o

dm

](7.24)

7.5.3. Grado de polarizacion

Cuando un polarizador no es perfecto o ideal al otro lado no solo se obtiene lacomponente de polarizacion deseada sino tambien su perpendicular, suponiendo que elanalizador si es ideal, este medira una intensidad I|| cuando los ejes de transmision sonparalelos, y este medidor cuando los ejes son perpendiculares mide una intensidad I⊥,el grado de polarizacion se define como:

149


P =I|| − I⊥I|| + I⊥

(7.25)

en el caso de tener un polarizador ideal, es decir que polariza por completo I⊥ = 0,obteniendose P = 1, en el caso de tener luz no polarizada I⊥ = I||, en cuyo caso P = 0,por tal motivo el grado de polarizacion cambia entre 0 y 1

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