Teoría y Problemas de Apuntes de COMUNICACIONES …...Hsu, Hwei: Analog and Digital Communications...

SCHAUM

Teoría y Problemas de

COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y

DIGITALESSegunda Edición

Apuntes de

2014

CAPÍTULO 0

INTRODUCCIÓN

0.1. Modelo de un Sistema de Comunicación 2

0.2. Elementos de un Sistema de Comunicación Digital 4

0.2.1. Fuente de Información 5 0.2.2. Codificador/Decodificador de Fuente 6 0.2.3. Canal de Comunicación 6 0.2.4. Modulador 7 0.2.5. Demodulador 8 0.2.6. Codificador/Decodificador del Canal 8 0.2.7. Otros Bloques Funcionales 9

0.3. Comparación de las Comunicaciones Analógicas y Digitales 9

Ventajas de las Comunicaciones Digitales 10 Desventajas de las Comunicaciones Digitales 10

0.4. Análisis y Diseño de un Sistema de Comunicación 11

0.4.1 Análisis de Sistemas de Comunicación 11 0.4.2 Diseño de Sistemas de Comunicación 11

Restricción Tiempo-Ancho de Banda 11

Limitaciones de Ruido 12

Limitaciones en el Equipo 12

Capítulo 1

SEÑALES Y ESPECTROS

1.1. INTRODUCCIÓN 13 1.2. SERIES DE FOURIER Y ESPECTROS DISCRETOS 14

A. Serie de Fourier Exponencial Compleja 14 B. Espectros de Amplitud 17 C. Propiedades de la Serie de Fourier 22

c.1. Efectos de la Simetría 22 c.2. Linealidad 22

D. Contenido de Potencia de una Señal Periódica y el Teorema de Parseval 23 1.3. TRANSFORMADAS DE FOURIER Y ESPECTROS CONTINUOS 23

A. Definición 23

ii

B. Espectros de Frecuencia 24 C. Contenido de Energía de una Señal y el Teorema de Parseval 27

1.4. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER 27

1. Linealidad (Superposición) 27

2. Desplazamiento en el Tiempo 28

3. Desplazamiento de Frecuencia28

4. Escalamiento 28

5. Inversión en el Tiempo 29

6. Dualidad 29

7. Diferenciación 30

8. Integración 30

9. Convolución 30

10. Multiplicación 31

1.5. TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SEÑALES DE POTENCIA 35

A. Función Impulso 35 B. Transformadas de Fourier de δδδδ(t) y de una Señal Constante 36 C. Propiedad de Integración 37

Problemas Adicionales 42

Capítulo 2

TRANSMISIÓN DE SEÑALES Y FILTRADO

2.1 INTRODUCCIÓN

2.2 RESPUESTA AL IMPULSO Y RESPUESTA EN FRECUENCIA 45

A. Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo 45 B. Respuesta al Impulso 47 C. Respuesta a una Entrada Arbitraria 47 D. Respuesta de Frecuencia 48

2.3 CARACTERÍSTICAS DE FILTRADO DE LOS SISTEMAS LIT 50

2.4 TRANSMISIÓN DE SEÑALES POR SISTEMAS LIT 50

A. Transmisión Sin Distorsión 50 B. Distorsión de Amplitud y Distorsión de Fase 51

iii

2.5 FILTROS 52

A. Filtros Ideales 52 B. Filtros Causales 53 C. Ancho de Banda del Filtro 53

2.6 FILTROS DE CUADRATURA Y TRANSFORMADAS DE HILBERT 59

A. Filtro de Cuadratura 59 B. Transformada de Hilbert 59

2.7 ENERGÍA DE LA SEÑAL Y DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA 62

A. Densidad Espectral de Energía (DEE) 62 B. Ancho de Banda Esencial de una Señal 63 C. Energía de Señales Moduladas 65

2.8 SEÑALES Y VECTORES 66

2.9 COMPARACIÓN DE SEÑALES: CORRELACIÓN 70

A. Aplicación a la Detección de Señales 72 B. Funciones de Correlación 73 C. Función de Autocorrelación 74

2.10 LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN EN EL TIEMPO Y LA DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA 74

A. DEE de la Entrada y la Salida 75

2.11 POTENCIA DE LA SEÑAL Y DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA 76

A. Densidad Espectral de Potencia (DEP) 77 B. Función de Autocorrelación en el Tiempo de Señales de Potencia 77


Capítulo 3

MODULACIÓN DE AMPLITUD

3.1 INTRODUCCIÓN 83

3.2 MODULACIÓN DE AMPLITUD 84

3.3 MODULACIÓN DE BANDA LATERAL DOBLE 84

A. Generación de Señales DSB 84

iv

Moduladores de Ley Cuadrática y Balanceados 85

B. Demodulación de Señales DSB 87

3.4 MODULACIÓN DE AMPLITUD ORDINARIA 89

A. Generación de Señales AM 90 B. Demodulación de Señales AM 91 C. Índice de Modulación 92 D. Detector de Envolvente 93

3.5 MODULACIÓN DE BANDA LATERAL ÚNICA 96

A. Generación de Señales SSB 97 1. Método de Discriminación de Frecuencias 97 2. Método de Desplazamiento de Fase 97

B. Demodulación de Señales SSB 101

3.6 MODULACIÓN DE BANDA LATERAL RESIDUAL 103

A. Generación de Señales VSB 103 B. Demodulación de Señales VSB 104

3.7 TRASLACIÓN Y MEZCLADO DE FRECUENCIAS 107

3.8 MULTICANALIZACIÓN POR DIVISIÓN DE FRECUENCIAS 108


Capítulo 4

MODULACIÓN ANGULAR

4.1 INTRODUCCIÓN 117

4.2 MODULACIÓN ANGULAR Y FRECUENCIA INSTANTÁNEA 117

4.3 MODULACIÓN DE FASE Y DE FRECUENCIA 119

4.4 ESPECTROS DE FOURIER DE SEÑALES MODULADAS EN ÁNGULO 122

4.5 MODULACIÓN ANGULAR DE BANDA ANGOSTA 122

4.6 MODULACIÓN SINUSOIDAL (O DE TONO)

A. Índice de Modulación 123 B. Espectro de Fourier 123

v

4.7 ANCHO DE BANDA DE SEÑALES MODULADAS EN ÁNGULO 127

A. Modulación Sinusoidal 127 B. Modulación Arbitraria 128 C. Características de la Modulación Angular 131

Inmunidad de la Modulación Angular a las No Linealidades 131

4.8 GENERACIÓN DE SEÑALES MODULADAS EN ÁNGULO 132

A. Señales Moduladas en Ángulo de Banda Angosta 132 B. Señales Moduladas en Ángulo de Banda Ancha 133

1. Método Indirecto (o Método de Armstrong) 133 2. Método Directo 136

4.9 DEMODULACIÓN DE SEÑALES MODULADAS EN ÁNGULO 137

Lazo de Encaje de Fase (PLL) 142 Oscilador Controlado por Voltaje (OCV) 143

Análisis de Pequeño Error 145

Problemas 147

CAPÍTULO 0

INTRODUCCIÓN

A través del tiempo, los pueblos han diseñado numerosos métodos para comunicar a otros sus pensamientos y necesidades. En la era primitiva, cuando los seres humanos vivían en pequeños grupos distribuidos en un área geográfica relativamente pequeña, la comunicación en el grupo se hacía a través de la voz, gestos y símbolos gráficos. Conforme estos grupos crecían y las civilizaciones se esparcían en grandes áreas geográficas, se hizo necesario desarrollar métodos para comunicarse a grandes distancias. Los primeros intentos para este tipo de comunicación incluyeron cosas como señales de humo, haces de luz, palomas mensajeras y cartas transportadas por diferentes medios. Por ejemplo, en el segundo siglo AC., los telegrafistas griegos usaron antorchas para comunicarse. Se usaban combinaciones y posiciones diferentes de las antorchas para representar las letras del alfabeto griego. Estas primeras señales con antorchas representaron el primer ejemplo de la comunicación de ¡datos! Posteriormente, se usaron sonidos de tambores para comunicación a grandes distancias, recurriendo de nuevo al sentido del sonido. Eran posibles mayores distancias puesto que los sonidos de los tambores se diferenciaban más fácilmente del ruido ambiental. Con el comienzo de la revolución industrial se hizo más imperiosa la necesidad de métodos rápidos y precisos para la comunicación a larga distancia. En 1753, Charles Morrison, un cirujano escocés, sugirió un sistema de transmisión eléctrico usando un alambre (más tierra) para cada letra del alfabeto. En el receptor se usaba un sistema de bolitas de material orgánico y papel con letras impresas.

En 1835, Samuel Morse comenzó a experimentar con el telégrafo en la forma como se conoce hoy. Dos años después, en 1837, el telégrafo fue inventado por Morse en los Estados Unidos y Sir Charles Wheatstone en Gran Bretaña. El primer telegrama público fue enviado en 1844 y así se estableció la comunicación eléctrica como una componente principal de la vida.

Los esquemas de comunicación descritos anteriormente son esencialmente digitales por naturaleza. Esto es cierto ya que sólo se usaba un número limitado de mensajes. No fue sino hasta 1876, cuando a Alexander Graham Bell se le otorgó la patente del teléfono, que entró en juego la comunicación eléctrica analógica (muchos autores consideran a Elisha Gray, ingeniero norteamericano, como el verdadero inventor del teléfono de resistencia variable). Después de esta invención parecía que la comunicación analógica dominaría completamente a la digital. En efecto, la Western Union Telegraph Company (en los Estados Unidos) trató, sin éxito, de entrar en el negocio telefónico.

En términos fundamentales, la comunicación involucra la transmisión de información de un punto a otro. Los sistemas de comunicación que emplean señales eléctricas para llevar esa información usando un par de alambres proporcionaron una primera solución al problema planteado de medios rápidos y precisos para la comunicación a grandes distancias. Las transmisiones de radio experimentales comenzaron aproximadamente en 1910 con Lee De Forest produciendo un programa de la Casa de la Ópera Metropolitana en la ciudad de Nueva York. Cinco años después, se abrió una estación de radio experimental en la Universidad de Wisconsin en Madison (U.S.A). La estación WWJ en Detroit y KDKA en Pittsburgh estuvieron entre las primeras en conducir transmisiones regulares en 1920. El campo de la ingeniería de la comunicación eléctrica recibió una gran atención durante y después de la segunda guerra mundial. Durante esta era hubo desarrollos significativos, entre ellos están la televisión, los sistemas de radar y de microondas, circuitos a transistores y circuitos integrados miniaturizados, satélites de comunicaciones y el láser. La televisión pública tuvo sus comienzos en Inglaterra en 1927. En los Estados Unidos comenzó tres años después en 1930. En su primer período, no siguió ningún formato regular. El horario regular no comenzó sino en 1939, durante la apertura de la Feria Mundial de Nueva York. Las comunicaciones satelitales comenzaron en la década de 1960 y el satélite Telstar I se usó para retransmitir programas de TV en 1962. Los primeros satélites de comunicaciones comerciales fueron lanzados en los años

Hsu, Hwei: Analog and Digital Communications (2003) Lathi, B. P.: Modern Digital and Analog Communication Systems

2

1960. En la actualidad, los sistemas de comunicación cubren todo el mundo, transportando voz, texto, imágenes y una gran variedad de otras informaciones.

Durante la posguerra también hubo un vasto crecimiento de las industrias de automatización y computación. Este crecimiento hizo necesario que las computadoras y otras máquinas se comunicaran no solamente con las personas sino también con otras máquinas. La revolución de las comunicaciones personales comenzó en la década de 1980. Antes de que finalizara la década de los años 1990, el profesional promedio tenía un teléfono celular, un localizador, una conexión digital para Internet y una máquina de FAX en su casa. Los consumidores usaban tecnología interactiva de discos compactos, computadoras portátiles (laptops) con servicios de datos mundiales y el sistema global de posicionamiento por satélite (GPS) para ayudarse en problemas de trancas en el tráfico. En contraste con la información analógica predominante en el intercambio de la comunicación personal. Sin importar la naturaleza de la información transmitida y el método real de transmisión, podemos usar el modelo siguiente para describir un sistema de comunicación. 0.1. Modelo de un Sistema de Comunicación La Fig. 0.1 muestra los bloques funcionales básicos de un sistema de comunicación. Como ya se mencionó, el propósito global de un sistema de comunicación es transferir información mediante un mensaje (definido como la manifestación física de la información producida por una fuente) desde un punto en el espacio y el tiempo, llamado la fuente, hasta otro punto, el usuario. Como regla, el mensaje producido por una fuente no es eléctrico. Por ello se requiere un transductor de entrada para convertir el mensaje en una cantidad eléctrica variable en el tiempo denominada una señal de mensaje. En el punto de destino (o recepción), otro transductor convierte la señal eléctrica en el mensaje apropiado. Claramente, el concepto de información es central a la comunicación, pero ella es una palabra que desafía una definición precisa. Esta dificultad la evitamos tratando más bien con el mensaje, como se definió anteriormente. Hay dos modos básicos de comunicación eléctrica; uno lo constituye la radiodifusión, la cual involucra el uso de un transmisor y muchos receptores y en el cual las señales portadoras de información fluyen en una sola dirección. El otro modo es la comunicación punto a punto, en la cual el proceso ocurre mediante un enlace entre un solo transmisor y un receptor. En este caso, usualmente se tiene un flujo bidireccional de las señales portadoras de información, lo que requiere de un transmisor y un receptor en cada extremo del enlace.

Figura 0.1 Modelo de un sistema de comunicación eléctrico.

Hay muchos tipos de fuentes de información y los mensajes aparecen en varias formas. No obstante, se pueden identificar dos categorías básicas de mensajes, analógicas y digitales. Un mensaje analógico es una cantidad física que varía con el tiempo, usualmente en una forma suave y continua. Ejemplos son la presión acústica producida cuando hablamos o la intensidad de luz en algún punto de una imagen de televisión. Puesto que la información reside en una forma de onda que varía con el tiempo, un sistema de comunicación analógico debe entregarla con un grado especificado de fidelidad.

Transmisor

Canal de

comunicación eléctrica

Receptor

Transductor

de salida

Señal de

entrada

(onda

eléctrica)

Sistema de

comunicación

(onda

eléctrica)

Señal de

salida

Fuente de información y

transductor de

entrada


3

Un mensaje digital es una secuencia ordenada de símbolos seleccionados de un conjunto finito de elementos discretos. Ejemplos son las letras impresas en esta página o las teclas que se presionan en un teclado de computadora. Como la información reside en símbolos discretos, un sistema de comunicación digital debe entregar estos símbolos con un grado especificado de precisión en una cantidad de tiempo especificada.

Sean analógicas o digitales, pocas fuentes de mensajes son inherentemente eléctricas. En consecuencia, la mayoría de los sistemas de comunicación tienen transductores de entrada y salida, como se muestra en la Fig. 0.1. El transductor de entrada convierte el mensaje en una señal eléctrica, digamos un voltaje o una corriente adecuada para su transmisión por un medio físico, y otro transductor en el destino convierte la señal recibida en la forma deseada del mensaje. De aquí en adelante supondremos que existen transductores adecuados y nos ocuparemos principalmente de la tarea de la transmisión de señales. En este contexto, los términos señal y mensaje serán usados indiferentemente ya que tanto la señal como el mensaje, son una manifestación física de la información.

La fuente de información y el punto de destino están usualmente separados en el espacio. El canal proporciona la conexión eléctrica entre la fuente de información y el usuario. Un canal eléctrico puede transmitir señales sólo en la forma de una onda eléctrica. Éste es un punto importante. No se confunda pensando que una señal puede transmitirse en una forma no modificada. Por ejemplo, si se usa un canal de audio para transmitir el mensaje “10101”, se enviarían cinco palabras creando así una onda de presión de audio. Cuando se dice la primera palabra, “uno”, se está transmitiendo una forma de onda analógica correspondiente a los sonidos particulares en esa palabra. Por lo tanto, se está transmitiendo una señal digital usando formas de onda analógicas. Esto puede parecer como un proceso que da un rodeo y, efectivamente, así es. Para enviar una señal analógica, primero la transformamos en una señal digital, enviamos la señal digital usando ondas analógicas, convertimos las ondas analógicas en el receptor en una señal digital y después cambiamos esta señal digital de nuevo en ¡analógica!

El canal puede tener muchas formas diferentes como, por ejemplo, un enlace de microondas en el espacio libre, un par de alambres trenzados o una fibra óptica. Indiferentemente del tipo, el canal, debido a imperfecciones, degrada la señal transmitida en varias formas. La degradación es un resultado de la distorsión de la señal producida por una respuesta imperfecta del canal y de señales eléctricas indeseables (ruido) e interferencia. El transmisor y el receptor en un sistema de comunicación se diseñan cuidadosamente para evitar distorsión de la señal y minimizar los efectos del ruido en el receptor de manera que sea posible una reproducción fiel del mensaje emitido por la fuente. El canal también introduce alguna cantidad de pérdida o atenuación, de modo que la potencia de la señal disminuye progresivamente conforme la distancia aumenta. Toda esta parte del proceso hace que la señal recibida sea una versión corrompida de la señal transmitida.

El transmisor acopla la señal del mensaje en la entrada con el canal, es decir, procesa la señal de entrada para producir una señal adaptada a las características del canal. Aunque algunas veces puede ser posible acoplar el transductor de entrada directamente con el canal, a menudo es necesario procesar y modificar la señal de entrada para una transmisión eficiente por el canal. Las operaciones de procesamiento de la señal ejecutadas por el transmisor incluyen amplificación, filtrado y modulación y también puede incluir algún tipo de codificación. Las más importantes de estas operaciones son la modulación – un proceso diseñado para adaptar las propiedades de la señal transmitida con las del canal mediante el uso de una onda portadora y la codificación.

La modulación es una operación realizada en el transmisor para obtener una transmisión de la información eficiente y confiable y consiste en la variación sistemática de algún atributo de una onda portadora, tal como la amplitud, la fase o la frecuencia, de acuerdo con una función de la señal del mensaje o señal moduladora. Aunque hay muchas técnicas de modulación, es posible identificar dos tipos básicos de ellas: la modulación de onda portadora continua (modulación OC) y la modulación de pulsos. En la modulación OC la onda portadora es continua (usualmente una onda sinusoidal), y se cambia alguno de sus parámetros proporcionalmente a la señal del mensaje. En la modulación de pulsos, la onda portadora es una señal de pulsos (con frecuencia una onda de pulsos) y se cambia un parámetro de ella en proporción a la señal del mensaje. En ambos casos, el atributo de la portadora puede ser cambiado en una forma continua o discreta. La modulación de pulsos discretos (digital) es un proceso discreto y es especialmente apropiado para mensajes que son discretos por naturaleza, como, por ejemplo, la salida de un teletipo. Sin embargo, con la ayuda del muestreo y la cuantización, se pueden transmitir señales de mensajes que varían continuamente (analógicas) usando técnicas de modulación digital.


4

La modulación, además de usarse en los sistemas de comunicación para adaptar las características de la señal a las características del canal, también se utiliza para reducir el ruido y la interferencia, para transmitir simultáneamente varias señales por un mismo canal y para superar limitaciones físicas en el equipo. Parte considerable de este libro está dedicada al estudio de cómo los esquemas de modulación están diseñados para alcanzar los objetivos mencionados. El éxito de un sistema de comunicación depende en gran parte de la modulación.

La función principal del receptor es extraer la señal del mensaje de entrada partiendo de la versión degradada de la señal transmitida proveniente del canal. El receptor ejecuta esta función mediante el proceso de demodulación y el de decodificación, que son los procesos inversos de los ejecutados en el transmisor. Debido a la presencia del ruido y de otras señales degradantes, el receptor no puede recuperar de manera perfecta la señal del mensaje. Posteriormente se discutirán algunas formas de enfocar la recuperación ideal. Además de la demodulación, el receptor usualmente proporciona amplificación y filtrado.

Con base en el esquema de modulación empleado y en la naturaleza de la salida de la fuente de información, podemos dividir los sistemas de comunicación en tres categorías básicas:

1. Sistemas de comunicación analógicos diseñados para transmitir información analógica (información definida de manera continua) usando métodos de modulación analógicos.

2. Sistemas de comunicación digital diseñados para transmitir información digital (serie finita de mensajes posibles) usando esquemas de modulación digital y

3. Sistemas híbridos que usan esquemas de modulación digital para transmitir valores muestreados y cuantizados de una señal de mensaje analógica.

Otras formas de categorizar los sistemas de comunicación incluyen la clasificación basada en la frecuencia de la portadora y en la naturaleza del canal de comunicación.

Luego de esta breve descripción de un modelo general de un sistema de comunicación, ahora se examinarán con detalle las diferentes componentes que conforman un sistema de comunicación típico usando el sistema de comunicación digital como un ejemplo. Se enumerarán los parámetros importantes de cada bloque funcional en un sistema de comunicación digital y se señalarán algunas de las limitaciones de las capacidades de los diferentes bloques. 0.2. Elementos de un Sistema de Comunicación Digital La Fig. 0.2 muestra los elementos funcionales de un sistema de comunicación digital típico e ilustra el flujo de la señal y los pasos de su procesamiento. El propósito global del sistema es transmitir los mensajes (secuencias o símbolos) provenientes de una fuente hasta un punto de destino con una tasa y precisión tan altas como sea posible. La fuente y el punto de destino están físicamente separados en el espacio, y algún tipo de canal de comunicación conecta la fuente con el destino. El canal acepta señales eléctricas/electromagnéticas, y la salida del canal normalmente es una versión distorsionada de la entrada debido a la naturaleza no ideal del canal de comunicación. Además de la distorsión, la señal portadora de la información también es corrompida por señales eléctricas impredecibles (ruido) provenientes de causas humanas y naturales. La distorsión y el ruido introducen errores en la información transmitida y limitan la rapidez con la cual la información puede ser comunicada desde la fuente hasta el destinatario. La probabilidad de decodificar incorrectamente un símbolo del mensaje en el receptor se usa con frecuencia como una medida del rendimiento de los sistemas de comunicación digital. La función principal del codificador, el modulador, el demodulador y el decodificador es combatir los efectos degradantes del canal sobre la señal y maximizar la tasa y precisión de la información.

Luego de estos preliminares, observe detalladamente a cada uno de los bloques funcionales en el sistema.


5

Fuente de

información

discreta

Codificador

de fuente

Codificador

de canal Modulador

Canal de

comunicación

eléctrica

Σ

DESTINO decodificador

de fuente

decodificador

de canal Demodulador

Ruido

Señal

analógica

eléctrica

Secuencia

binaria

Secuencia

binaria

Secuencia de

símbolos

a b c

d

e

f

g i h

+ +

Figura 0.2 Bloques funcionales de un sistema de comunicación digital. 0.2.1. Fuente de Información Las fuentes de información pueden clasificarse en dos categorías basadas en la naturaleza de sus salidas: fuentes de información analógica y fuentes de información discreta. Las fuentes de información analógicas, tales como un micrófono accionado por la voz, o una cámara de TV escaneando una escena, emiten una o más señales de amplitud continua (o funciones del tiempo). La salida de las fuentes de información discreta, tales como un teletipo o la salida numérica de una computadora, consiste de una secuencia de símbolos o letras discretas. Una fuente de información analógica puede ser transformada en una fuente de información discreta mediante el proceso de muestreo y cuantización. Las fuentes de información discreta están caracterizadas por los siguientes parámetros:

1. Alfabeto de la fuente (símbolos o letras). 2. Tasa o frecuencia de símbolos.

3. Probabilidades del alfabeto de la fuente 4. Dependencia probabilística de los símbolos en una secuencia

A partir de estos parámetros se puede construir un modelo probabilístico de la fuente de información y definir la entropía de la fuente (H) y la tasa de información de la fuente (R) en bits por símbolo y bits por segundo, respectivamente (el término bit se usa para denotar un dígito binario).

Para desarrollar mejor una idea de lo que estas cantidades representan, considérese una fuente de información discreta – un teletipo con 26 letras del alfabeto español más seis caracteres especiales. El alfabeto fuente para este ejemplo consiste de 32 símbolos. La tasa o frecuencia de símbolos se refiere al ritmo con el cual el teletipo produce caracteres; para los objetivos de esta discusión, supóngase que el teletipo opera con una velocidad de 10 caracteres o 10 símbolos por segundo. Si el teletipo está produciendo mensajes consistentes de secuencias de símbolos en el idioma español, entonces se sabe que algunas letras aparecerán con más frecuencia que otras. También se sabe que la aparición de una letra en particular en una secuencia depende en alguna forma de las letras que la preceden. Por ejemplo, la letra E ocurrirá con más frecuencia que la letra Q y la aparición de la letra Q implica que la letra siguiente más probable en la secuencia será la letra U, y así por el estilo. Estas propiedades estructurales de las secuencias de símbolos pueden ser caracterizadas mediante las probabilidades de aparición de los símbolos individuales y por las probabilidades condicionales de que ocurran los símbolos.

Un parámetro importante de una fuente discreta es su entropía. La entropía de una fuente, denotada por H, se refiere al contenido de información promedio por símbolo en un mensaje largo y se le da la unidad de bits por símbolo. En el ejemplo, si se supone que todos los símbolos ocurren con probabilidades iguales en una secuencia estadísticamente independiente, entonces la entropía de la fuente es cinco bits por símbolo (esto es, 25 = 32; posteriormente en el texto se dará una definición matemática de la entropía de la fuente). Sin embargo, la dependencia probabilística de los símbolos en una secuencia y las probabilidades desiguales de ocurrencia de


6

los símbolos reducen considerablemente el contenido promedio de información de los símbolos. Intuitivamente es posible justificar la afirmación anterior convenciéndonos nosotros mismos de que en una secuencia de símbolos QUE, la letra U casi no proporciona información puesto que la aparición de Q implica casi siempre que la siguiente letra en la secuencia tiene que ser una U.

La tasa de información de la fuente se define como el producto de la entropía de la fuente por la tasa de símbolos y tiene las unidades de bits por segundo. La tasa de información, denotada por R, representa el mínimo número de bits por segundo que se necesitarán, en promedio, para representar la información proveniente de la fuente discreta. Alternativamente, R representa la tasa de datos promedio necesaria para llevar la información desde la fuente hasta el destinatario.

0.2.2. Codificador/Decodificador de Fuente El codificador de fuente opera sobre una o más señales analógicas para producir un tren periódico de símbolos. Estos símbolos pueden ser binarios (unos y ceros) o pueden ser miembros de un conjunto de dos o más elementos. El codificador de fuente convierte esa secuencia en una secuencia binaria de unos y ceros mediante la asignación de palabras códigos a los símbolos en la secuencia o sucesión de entrada. La manera más sencilla en la cual un codificador de fuente puede realizar esta operación es asignando una palabra en código binaria de longitud fija a cada símbolo en la secuencia de entrada. Para el ejemplo del teletipo que hemos estado discutiendo, esto se puede hacer asignando palabras en código de 5 bits, 00000 hasta 11111, para los 32 símbolos en el alfabeto de la fuente y reemplazando cada símbolo en la secuencia de entrada por una palabra en código preasignada. Con una tasa de símbolos de 10 símbolos/seg, la tasa de datos de salida del codificador de fuente será de 50 bits/seg. Con canales que se usan para comunicar desde más de una fuente al mismo tiempo, el codificador de fuente también puede contener un multicanalizador (“multiplexer” en inglés). Aunque la entrada al codificador de fuente es una señal de tiempo continuo, un sistema de comunicación de datos puede de hecho comenzar como una señal digital (por ejemplo, la salida obtenida al presionar las teclas de un teclado).

La codificación de longitud fija de los símbolos individuales en una salida de una fuente es eficiente sólo si los símbolos ocurren con probabilidades iguales en una secuencia estadísticamente independiente. En la mayoría de las aplicaciones prácticas, los símbolos en una secuencia son estadísticamente dependientes y ocurren con probabilidades desiguales. En estas situaciones, el codificador de fuente toma una cadena de dos o más símbolos como un solo bloque y les asigna palabras un código de longitud variable a estos bloques. El codificador de fuente óptimo se diseña para producir una tasa de datos de salida que tienda a r, la tasa de información de la fuente. Debido a restricciones prácticas, la tasa de salida real de los codificadores de fuente será mayor que la tasa de información de la fuente R. Los parámetros importantes de un codificador de fuente son: el tamaño del bloque, longitudes de las palabras en código, tasa de datos promedio y la eficiencia del codificador (esto es, la tasa real de datos de salida comparada con la tasa mínima alcanzable R).

En el receptor, el decodificador de fuente convierte la salida binaria del decodificador del canal en una secuencia de símbolos. El decodificador para un sistema usando palabras en código de longitud fija es bastante sencillo, pero el decodificador para un sistema que usa palabras en código de longitud variable será más complejo. Los decodificadores para estos sistemas deben poder trabajar con diferentes problemas tales como los requerimientos crecientes de memoria y la pérdida de sincronización producida por errores de bits. 0.2.3. Canal de Comunicación El canal de comunicación proporciona la conexión eléctrica entre la fuente y el destinatario. El modo de transmisión establece la distinción entre canales. El canal basado en propagación guiada, el cual puede ser un par de alambres o un enlace telefónico, y el basado en propagación libre, que incluye el espacio libre por el cual se irradia una señal portadora de información o canales satelitales. Debido a limitaciones físicas, los canales de comunicación pueden tener sólo un ancho de banda (B Hz) finito y la señal portadora de la información con frecuencia sufre distorsión de amplitud y de fase conforme se desplaza por el canal. Además de la distorsión, la potencia de la señal también disminuye debido a la atenuación en el canal. También, la señal es corrompida por señales eléctricas impredecibles e indeseables conocidas como ruido. En tanto que algunos de los efectos degradantes del canal pueden ser removidos o compensados, los efectos del ruido no pueden ser eliminados


7

completamente. Desde este punto de vista, el objetivo primario de un diseño de un sistema de comunicación debe ser la supresión de los efectos nocivos del ruido tanto como sea posible.

Una de la formas en las cuales se puede minimizar los efectos del ruido es incrementando la potencia de la señal. Sin embargo, la potencia de la señal no puede ser aumentada más allá de ciertos niveles a causa de los efectos no lineales que tienden a hacerse dominantes conforme se incrementa la amplitud de la señal. Por esta razón, la relación de potencia señal-ruido (S/N) que puede mantenerse en la salida de un canal de comunicación, es un parámetro importante del sistema. Otros parámetros importantes del canal son el ancho de banda (B) utilizable, la respuesta de amplitud y de fase y las propiedades estadísticas del ruido.

Si se conocen los parámetros de un canal de comunicación, entonces es posible calcular la capacidad del canal C, la cual representa la tasa máxima con la cual es teóricamente posible la transmisión de datos casi sin errores. Para ciertos tipos de canales de comunicación, se ha determinado que C es igual a 2log (1 )B S N+ bits/seg. La capacidad del canal C tiene que ser mayor que la tasa de información promedio R de la fuente para una transmisión libre de errores. La capacidad C representa un límite teórico, y la tasa de datos de utilización práctica será mucho menor que C. Como un ejemplo, para un enlace telefónico típico con un ancho de banda utilizable de 3 kHz y S/N = 103, la capacidad del canal es de aproximadamente 30000 bits/seg. En la actualidad, la tasa real de datos para tales canales varía entre 150 y 9600 bits/seg. 0.2.4. Modulador El objetivo del modulador de portadora es producir ondas analógicas correspondientes a los símbolos discretos en la entrada. El modulador acepta una secuencia de bits como entrada y la convierte en una señal eléctrica adecuada para la transmisión por un canal de comunicación. La modulación es una de las herramientas más poderosas en las manos de un diseñador de sistemas de comunicación. Se puede usar efectivamente para minimizar los efectos del ruido del canal, para adaptar el espectro de frecuencias de la señal transmitida a las características del canal, para proporcionar la capacidad de multicanalizar (combinar) muchas señales y para superar algunas limitaciones en el equipo.

Los parámetros importantes del modulador son los tipos de señales utilizadas, su duración, el nivel de potencia y el ancho de banda usado. El modulador realiza la tarea de minimizar los efectos del canal mediante el uso de gran potencia de la señal y gran ancho de banda y con el uso de señales de larga duración. Aunque el uso de grandes cantidades de potencia de la señal y gran ancho de banda para combatir los efectos del ruido es un método obvio, estos parámetros no pueden ser incrementados indefinidamente a causa de limitaciones en el equipo y el canal. El uso de señales de larga duración para minimizar los efectos del ruido del canal se basa en la conocida ley de los grandes números de la estadística. Esta ley expresa que aun cuando el resultado de un solo experimento aleatorio puede fluctuar grandemente, el resultado global de muchas repeticiones de un experimento aleatorio puede predecirse con precisión. En la comunicación de datos, este principio puede usarse ventajosamente haciendo que la duración de las señales de señalización sea larga. Promediando para grandes duraciones, se pueden minimizar los efectos del ruido.

Para ilustrar el principio anterior, supóngase que la entrada al modulador consiste de ceros y unos que se suceden con una frecuencia de 1 bit/seg y que el modulador puede asignar ondas una vez cada segundo. Por ejemplo, a las ondas 1cosA tω (0 ≤ t < 1) y 2cosA tω ( )0 1t≤ < se les puede asignar los bits 0 y 1, respectivamente. Observe que la información contenida en el bit de entrada está ahora contenida en la frecuencia de la onda de entrada. Para emplear ondas de mayor duración, el modulador puede, por ejemplo, asignar ondas una vez cada cuatro segundos. Esto requeriría 16 ondas, 1cosA tω , 2cosA tω , ... , 16cosA tω , cada una con duración de cuatro segundos; estas 16 ondas pueden representar las dieciséis combinaciones 0000, 0001, ... , 1111. La limitación de esta técnica es ahora evidente. El número de ondas distintas que el modulador debe generar (y, por tanto, el número de ondas que el generador debe detectar) aumenta exponencialmente conforme aumenta la duración de las ondas. Esto conduce a un aumento en la complejidad del equipo y por ello, la duración no puede incrementarse en forma indefinida. Tómese como ejemplo una computadora u otra fuente digital que tenga M >> 2 símbolos. La transmisión no codificada de un mensaje proveniente de esta fuente requeriría de M formas de onda diferentes, una para cada símbolo. Alternativamente, cada símbolo pudiese representarse mediante una palabra de código binaria consistente de K dígitos binarios. Como hay 2K palabras


8

código posibles formadas por K dígitos binarios, se necesitan 2logK M≥ dígitos binarios por palabra código para codificar M símbolos de la fuente. Si la fuente produce r símbolos por segundo, el código binario tendrá Kr dígitos por segundo y el requerimiento para el ancho de banda de transmisión es K veces el ancho de banda de la señal no codificada. 0.2.5. Demodulador La modulación es un proceso reversible, y la extracción del mensaje de la onda portadora de información producida por el modulador se obtiene mediante el demodulador. Para un tipo de modulación dada, el parámetro más importante del demodulador es el método de demodulación. Existen varias técnicas disponibles para demodular una onda modulada dada; el procedimiento real usado determina la complejidad del equipo necesario y la precisión de la demodulación. Dados el tipo y duración de las señales usadas por el modulador, el nivel de potencia en el modulador, las características físicas y de ruido del canal y el tipo de demodulación, podemos derivar relaciones únicas entre la tasa de datos, los requerimientos de ancho de banda y potencia y la probabilidad de decodificar incorrectamente un bit del mensaje. Una parte considerable de este texto está dedicada a la deducción de estas relaciones y su uso en el diseño de sistemas.

Las características del modulador, el demodulador y el canal establecen una tasa promedio de errores de bits entre los puntos c y g en la Fig. 0.2. La mayoría de las veces, esta tasa de error de bits y la correspondiente tasa de error de símbolos será mayor que la deseada. Una tasa de error de bits menor puede obtenerse rediseñando el modulador y el demodulador (a menudo llamados modems) o usando codificación de control de errores. 0.2.6. Codificador/Decodificador del Canal La codificación de un canal digital es un método práctico de obtener confiabilidad y eficiencia de transmisión altas que de otra forma solamente podrían alcanzarse mediante la introducción de redundancia controlada para mejorar aún más la confiabilidad en un canal ruidoso. Con la codificación digital, se selecciona un conjunto relativamente pequeño de señales analógicas, a menudo dos, para la transmisión por el canal y el demodulador tiene la tarea conceptualmente sencilla de distinguir entre dos señales diferentes de formas conocidas. El control de errores se obtiene con la operación de codificación del canal, la cual consiste en añadir sistemáticamente bits adicionales a la salida del codificador de fuente. Aunque estos bits adicionales no llevan información, ellos posibilitan que el detector detecte y/o corrija algunos de los errores en los bits portadores de información.

Hay dos métodos para ejecutar la operación de codificación del canal. En el primer método, llamado el método de codificación de bloques, el codificador toma un bloque de k bits de información del codificador de fuente y le añade r bits de control de errores. El número de bits de control de errores añadido depende del valor de k y de las capacidades de control de errores deseadas. En el segundo método, llamado el método de codificación convolucional, la secuencia del mensaje portador de información es codificada en una forma continua, intercalando continuamente bits de información y bits de control de errores. Ambos métodos requieren del almacenamiento y del procesamiento de datos binarios en el codificador y el decodificador. Aunque este requerimiento era un factor limitante en los primeros tiempos de la comunicación de datos, ya no es un problema debido a la disponibilidad de dispositivos con memoria de estado sólido y microprocesadores de precios razonables.

Los parámetros importantes de un codificador de canal son el método de codificación, la tasa o eficiencia del codificador (medida por la relación entre la tasa de datos en la entrada y la de la salida), capacidades para controlar errores y la complejidad del decodificador.

El decodificador del canal recupera los bits portadores de información de la secuencia binaria codificada. La detección y posible corrección de errores también es realizada por el decodificador del canal. El decodificador opera en un modo de bloque o en un modo secuencial continuo dependiendo del tipo de codificación utilizada en el sistema. La complejidad del decodificador y el retardo involucrado en el decodificador son parámetros de diseño importantes.


9

0.2.7. Otros Bloques Funcionales En los sistemas de comunicación de datos prácticos existen varios otros bloques funcionales, no mostrados en la Fig. 0.2. Ejemplos de esos bloques son los compensadores, redes de recuperación del reloj y mezcladores/desmezcladores, para nombrar algunos. Los compensadores (“equalizers”, en inglés) compensan los cambios en las características del canal, y las redes de recuperación del reloj (coordinación) extraen información de coordinación en el receptor para mantener la sincronización entre el transmisor y el receptor. Los mezcladores se utilizan en los sistemas para prevenir que aparezcan cadenas de símbolos indeseables (como, por ejemplo, secuencias de bits periódicas en los datos o largas secuencias de unos o ceros) en la entrada del canal. Los desmezcladores se usan en el receptor para recuperar la secuencia de bits o de símbolos original de su versión mezclada.

También se debe señalar que los bloques funcionales podrían tener estructuras diferentes dependiendo de los esquemas de señalización usados. Por ejemplo, en los sistemas de modulación de amplitud de pulsos (PAM, por sus siglas en inglés) de banda base, el modulador consiste realmente de un generador de pulsos y un filtro conformador de pulsos llamado el filtro de transmisión. El demodulador en tales sistemas tendrá un filtro conformador llamado un filtro receptor seguido de un convertidor analógico-digital (A/D).

Desde un punto de vista del usuario, un sistema de comunicación de datos consiste de los bloques físicos (o partes de equipo) ilustrados en la Fig. 0.3. El equipo terminal de datos, usualmente una terminal o una computadora, envía y recibe datos provenientes de otros equipos terminales de datos (DTE, por sus siglas en inglés). El equipo DTE también genera y recibe señales de control que regulan el flujo de información entre las terminales. Estas señales de control podrían incluir requisiciones para enviar datos, una indicación de disponibilidad para recibir datos y una indicación de terminal de datos ocupado. El flujo de datos y las señales de control desde y hacia el DTE ocurre a través de interfaces estándares. El DTE está conectado al MODEM (modulador-demodulador), el cual consiste de un modulador para enviar datos y un demodulador para recibir datos.

El MODEM está conectado al canal y controla el intercambio de información a través del canal. El DTE realiza el control global del flujo de información, detección de errores, corrección de errores y diferentes tareas de codificación.

Figura 0.3 Bloques físicos importantes en un sistema de comunicación punto a punto. 0.3. Comparación de las Comunicaciones Analógicas y Digitales Antes de explorar las ventajas de un sistema de comunicación sobre otro, se aclararán algunas definiciones importantes. Un sistema de comunicación analógico es uno que transmite señales analógicas – aquellas señales de tiempo que pueden tomar un continuo de valores en un intervalo de tiempo definido. Si las señales de tiempo analógicas son muestreadas, se puede considerar a las muestras como una lista de números que debe ser transmitida. Esta lista todavía está compuesta de números analógicos – aquellos que pueden tomar un infinito de valores dentro de ciertos límites definidos. Todavía el sistema no es digital. A éste se le refiere como un sistema de tiempo discreto o muestreado. Si los valores de las muestras se restringen ahora a pertenecer a un conjunto discreto (por ejemplo, los números enteros), el sistema se convierte en digital. Aquí el concepto clave es que los valores de las muestras ya no pueden tomar cualquier valor dentro de una banda continua.

Muchos sistemas son combinaciones híbridas de los tipos digital y analógico. Conforme sus ojos rastrean esta página, su sistema fisiológico está operando como un receptor analógico, puesto que está buscando por

DTE DTE MODEM CANAL

DTE DTE MODEM

Control Control

Datos Datos

Datos Datos

Control Control


10

gradaciones de imágenes en cualquier parte de la página. Pero la forma básica de la comunicación es digital, ya que usted ha programado su mente para que busque un número limitado de señales – las alfanuméricas más un número limitado de símbolos griegos y matemáticos. En un nivel más alto, usted está buscando palabras de un diccionario de comunicación – un conjunto de quizás 30000 posiblidades. Adelantándonos al juego, si vio la frase anterior como “un conjunto de quizás 30000 posiblidades”, probablemente recibiría correctamente el mensaje aún cuando la última palabra en la cadena no es un miembro de su diccionario (observe el error tipográfico, a menos que el equipo de la computadora lo haya corregido). Usted puede recibir correctamente el mensaje ya que nos estamos comunicando digitalmente – no todo mensaje posible está siendo usado. De hecho, si “posiblidades” fuese parte de nuestro diccionario, usted podría haber cometido un error de recepción al recibirlo en lugar de “posibilidades”.

Ahora que se está de acuerdo en las definiciones, se examinarán algunas de las ventajas y desventajas de la comunicación digital cuando se compara con la comunicación analógica. Estos tópicos se exploran con mayor detalle posteriormente a través del texto. Se presentan aquí para motivar el estudio de los sistemas digitales.

Se comienza por dar una lista de las principales ventajas y desventajas. Ventajas de las Comunicaciones Digitales: 1. Facilidad con la cual se pueden regenerar las señales digitales en comparación con las señales analógicas.

2. Los circuitos digitales son menos susceptibles a la distorsión e interferencia. Como los circuitos digitales binarios operan en uno de dos estados – encendido o apagado – para que una perturbación se haga sentir, tiene que ser lo suficientemente grande para poder cambiar el punto de operación de un circuito de un estado a otro.

3. La manipulación de la señal (por ejemplo, la encriptación) es fácil de realizar.

4. Con frecuencia se pueden corregir errores.

5. A menudo es posible una mayor gama dinámica (diferencia entre los valores mayor y menor).

6. Los circuitos digitales son más confiables y se pueden producir a un costo menor que los analógicos.

7. La combinación de señales digitales usando multicanalización por división de tiempo es más sencilla que la combinación de señales analógicas usando multicanalización por división de frecuencias.

Desventajas de las Comunicaciones Digitales: 1. Generalmente requieren un ancho de banda mayor que la analógica.

2. Dedican gran parte de sus recursos a la tarea de sincronización. Esto se obtiene más fácilmente en los sistemas analógicos.

3. Cuando la relación señal-a-ruido cae por debajo de un cierto umbral, la calidad del servicio puede cambian repentinamente de muy buena a muy mala, debido a la degradación.

Ahora se explicará un poco más sobre estas ventajas y desventajas. La mayor ventaja de la comunicación digital reposa en su capacidad de corrección de errores. Por ejemplo, “posiblidades” puede ser reconocida como un error tipográfico. ¡Este concepto es fundamental! Siempre y cuando todas las señales posibles no estén siendo transmitidas, con frecuencia el receptor puede reconocer cuándo se ha cometido un error. Algunas veces este reconocimiento es suficiente, pero a menudo el error también es corregido automáticamente en el receptor.

La segunda ventaja de la comunicación digital se relaciona con el hecho de que se está tratando con números y no con formas de ondas. Estos números pueden ser manipulados mediante circuitos lógicos sencillos o, si fuese necesario, mediante microprocesadores. Se pueden ejecutar fácilmente operaciones complejas para cumplir funciones de procesamiento de señales o de seguridad en la transmisión. Las operaciones analógicas comparables requerirían de una circuitería mucho más compleja.

La tercera ventaja tiene que ver con la gama dinámica. Esto se ilustra con un ejemplo. El disco fonográfico analógico convencional sufre de una gama dinámica limitada. Sonidos muy bajos requieren variaciones


11

extremas en la forma del surco en el disco y es difícil para la aguja recolectora seguir esta variación. Las grabaciones digitales no confrontan este problema ya que todos los valores de la amplitud, sean ellos muy pequeños o muy grandes, se transmiten usando el mismo conjunto limitado de señales.

No todo es ideal. Hay desventajas en la comunicación digital cuando se compara con la analógica. Los sistemas digitales generalmente requieren de un ancho de banda mayor que los sistemas analógicos. Por ejemplo, un solo canal de voz puede ser transmitido usando modulación AM de banda lateral única con un ancho de banda menor que 5 kHz. La transmisión de la misma señal usando técnicas digitales puede requerir por lo menos cuatro veces este ancho de banda.

Una desventaja adicional es la necesidad de proporcionar sincronización a través del sistema de comunicación digital. Es importante para el sistema conocer cuándo está comenzando cada símbolo y cuándo termina, y asociar apropiadamente cada símbolo con la transmisión correcta. Este último punto se aclarará cuando se estudie la multicanalización (“multiplexing”, en inglés). Algunos argumentarán que el sistema analógico, en su forma más sencilla, “perdona más”. En efecto, un solo canal de voz AM es extremadamente robusto. La frecuencia de la portadora o el ancho de banda pueden perderse y todavía el mensaje puede ser entendido. 0.4. Análisis y Diseño de un Sistema de Comunicación Un ingeniero de sistemas de comunicación tiene que lidiar con dos tareas técnicas principales: el análisis y el diseño de sistemas de comunicación. El análisis consiste en la evaluación del rendimiento de un sistema de comunicación dado, mientras que el diseño consiste en obtener los detalles de un sistema para que ejecute satisfactoriamente una tarea dada. Aunque con frecuencia no es posible definir claramente dónde finaliza el análisis y dónde comienza el diseño, es posible decir, sin temor a una equivocación, que se tiene que aprender a analizar sistemas de comunicación antes de aprender a diseñarlos. 0.2.1. Análisis de Sistemas de Comunicación Para los objetivos del análisis, los sistemas de comunicación se considerarán como una interconexión de diferentes subsistemas donde cada uno de ellos realiza una tarea específica de procesamiento de la señal. La transmisión de información se obtiene mediante una serie de transformaciones de la señal. Así que, para analizar el sistema, se necesitan descripciones matemáticas de las señales y de la transformación de las señales.

En este enfoque sistémico, se enfocará la atención en el análisis (y diseño) de subsistemas (o bloques funcionales). Para cada bloque funcional, se definirán los requerimientos de entrada/salida y se dará una lista de los parámetros que se tienen a disposición. Entonces se deducirán relaciones que conectan el comportamiento funcional del bloque con sus parámetros y se usan estas relaciones para optimizar el rendimiento de los bloques funcionales. 0.2.2. Diseño de Sistemas de Comunicación Cuando se planifica un sistema de comunicación, la tarea del diseñador es decidir sobre un tipo específico de sistema de comunicación para una aplicación dada. El sistema que proponga debe cumplir con un conjunto especificado de requisitos de desempeño. Para señales de mensaje analógicas, el rendimiento del sistema se especifica en función de la relación entre el promedio de la potencia de la señal del mensaje y la potencia de ruido en el punto de destino. Para señales de mensajes discretos, se usa la probabilidad de decodificar incorrectamente un símbolo del mensaje en el receptor como una medida del comportamiento.

Al diseñar un sistema de comunicación, el ingeniero enfrenta varias restricciones. Éstas son restricciones de tiempo-ancho de banda, limitaciones por el ruido y restricciones de equipo (costos). Restricción Tiempo-Ancho de Banda. Para la utilización eficiente de un sistema de comunicación, es necesario enviar tanta información como sea posible en un período de tiempo tan corto como sea posible. Una medida conveniente de la velocidad de señalización es el ancho de banda de la señal. Cuando la transmisión de la señal ocurre en tiempo real por un canal de comunicación, el diseño debe asegurar que el ancho de banda de la señal sea menor


12

que o igual al ancho de banda del canal. Si no se puede cumplir con esta restricción, entonces podría ser necesario disminuir la velocidad de señalización aumentando de ese modo el tiempo de transmisión.

Las asignaciones de frecuencia y ancho de banda del canal están reguladas por el gobierno para los canales públicos y por regulaciones impuestas por las compañías privadas si el canal es alquilado. En general, se dispondrá de anchos de banda más grandes para frecuencias portadoras más altas. Como una guía aproximada, el ancho de banda disponible puede ocupar hasta 10 por ciento de la frecuencia de la portadora. Limitaciones de Ruido. El ruido se refiere a señales eléctricas, indeseables y con frecuencia impredecibles, que corrompen la señal del mensaje. El ruido puede clasificarse en dos amplias categorías dependiendo de su fuente. El ruido generado por componentes dentro de un sistema de comunicación se conoce como ruido interno. La segunda categoría de ruido, denominada ruido externo, proviene de fuentes externas al sistema de comunicación. Las fuentes externas de ruido incluyen fuentes hechas por el hombre y fuentes naturales extraterrestres.

El ruido es inevitable en un sistema de comunicación eléctrica ya que siempre hay ruido térmico asociado con la conducción y radiación. El ruido limita nuestra habilidad para identificar correctamente la señal del mensaje recibida y ello limita la transmisión de información. Variaciones típicas del ruido se miden en microvoltios. Si las variaciones de la señal son muy grandes comparadas con las del ruido, entonces éste puede ignorarse. En efecto, en muchos sistemas prácticos los efectos del ruido pasan desapercibidos. Sin embargo, en sistemas de transmisión a grandes distancias operando con una cantidad limitada de potencia, la señal puede ser de la misma magnitud que el ruido o hasta más pequeña. En esas situaciones, la presencia del ruido limita severamente las capacidades de un sistema de comunicación. Posteriormente se estudiará que es posible diseñar esquemas de señalización que usen un ancho de banda más grande para reducir los efectos del ruido (esto es, sistemas que intercambian ancho de banda por relación señal-ruido). Limitaciones en el Equipo. Las limitaciones de tiempo-ancho de banda y las debidas al ruido determinan lo que puede o no obtenerse en términos del rendimiento en un sistema de comunicación. Sin embargo, este límite teórico no puede alcanzarse en un sistema práctico debido a limitaciones en el equipo. Por ejemplo, la teoría podría indicar un filtro de pasabanda con un factor de calidad de 100 a una frecuencia central de 1 kHz y una pendiente de corte de 90 dB/década. Un filtro así no puede realizarse en la práctica. Aún si se pudiese construir un filtro con características casi idénticas, el precio podría exceder lo que el usuario del sistema de comunicación desea pagar.

En resumen, las restricciones de ancho de banda y de la relación señal-a-ruido limitan la máxima frecuencia con la cual puede ocurrir la transferencia de información en un sistema de comunicación. El límite superior es siempre finito. Además de esta restricción teórica, al diseñador se le dan restricciones adicionales relacionadas con el costo y la complejidad del equipo. El diseñador tiene que producir un esquema de señalización que ofrezca el mejor compromiso entre el tiempo de transmisión, potencia transmitida, ancho de banda de transmisión y complejidad del equipo y que, al mismo tiempo, mantenga un nivel de rendimiento aceptable.

Capítulo 1

SEÑALES Y ESPECTROS

1.1. INTRODUCCIÓN En este capítulo repasamos los principios básicos de señales en el dominio de la frecuencia. La descripción en el dominio de la frecuencia se denomina el espectro. El análisis espectral de señales usando la serie y la trasformada de Fourier es uno de los métodos fundamentales de la ingeniería de comunicaciones.

Una señal es un suceso que sirve para comenzar una acción. La representación de la señal de entrada a un sistema (entendiendo como sistema un conjunto de elementos o bloques funcionales conectados que pueden interactuar de forma armónica para alcanzar un objetivo deseado) de tiempo continuo lineal e invariable en el tiempo (LIT) como una integral ponderada de impulsos desplazados conduce a la integral de convolución. Esta representación de sistemas LIT de tiempo continuo indica cómo la respuesta de esos sistemas a una entrada arbitraria se construye a partir de las respuestas a los impulsos unitarios desplazados. Entonces, la integral de convolución no sólo proporciona una manera conveniente de calcular la respuesta de un sistema LIT, suponiendo conocida su respuesta al impulso unitario, sino que también indica que las características de un sistema LIT son especificadas completamente por su respuesta al impulso unitario.

En este trabajo se desarrollará una representación alterna para las señales y los sistemas LIT. El punto de partida de esta discusión es el desarrollo de una representación de señales como sumas ponderadas de un conjunto de señales básicas, las señales exponenciales complejas. Las representaciones resultantes son conocidas como la serie y la transformada de Fourier y, como se verá, estas representaciones se pueden emplear para construir varias clases de señales. La idea central de la representación es la siguiente Dada una secuencia de funciones 1 2 3( ), ( ), ( ),u t u t u t … que tienen la propiedad de ortogonalidad:

( ) ( ) 0b

m na

u t u t dt∗ =∫

siempre que n m≠ (el asterisco indica el conjugado complejo), se desea expandir una función “arbitraria” ( )f t en una serie infinita de la forma

1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t C u t C t u t C t u t= + + +⋯

Superficialmente, esto parece bastante sencillo. Para determinar Cn para cualquier valor fijo de n, se multiplica ambos lados de esta ecuación por ( )nu t∗ y se integra en el intervalo ( ), a b :

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .b b b

n n na a a

f t u t dt C u t u t dt C u t u t dt∗ ∗ ∗= + +∫ ∫ ∫ ⋯

Debido a la propiedad de ortogonalidad, todos los términos en el lado derecho se anulan excepto el n-ésimo y se obtiene

2( ) ( ) ( )

b b

n n na a

f x u x dx C u x dx∗ =∫ ∫

la cual se puede resolver para obtener nC .

Las señales con las cuales se trabaja normalmente son magnitudes variables en el tiempo; por ejemplo, en las comunicaciones eléctricas, ellas son el voltaje y la corriente. La descripción de una señal x(t) usualmente se da en el dominio del tiempo, donde la variable independiente es el tiempo t. Para muchas aplicaciones, a menudo es más


14

conveniente describir las señales en el dominio de la frecuencia f, donde la variable independiente es la frecuencia f. Así, si la señal existe físicamente en el dominio del tiempo, entonces se puede decir que ella está formada por diferentes componentes en el dominio de la frecuencia y esas componentes en conjunto se denominan el espectro de la señal.

El análisis espectral basado en la serie y la transformada de Fourier constituye una herramienta poderosa en muchas ramas de la ingeniería. Como consecuencia, la atención en este trabajo se centrará en la teoría de Fourier antes que en otras técnicas como, por ejemplo, la transformación de Laplace y el análisis en el dominio del tiempo. Primero, el dominio de la frecuencia es esencialmente un punto de vista de régimen permanente y, para muchos propósitos, es razonable restringir nuestra atención al comportamiento en régimen permanente de los sistemas bajo estudio. En realidad, si se toma en cuenta la multitud de señales posibles que un sistema puede manejar, sería imposible encontrar soluciones detalladas de las respuestas transitorias para cada una de ellas. En segundo lugar, el análisis espectral permite considerar clases completas de señales que poseen propiedades similares en el dominio de la frecuencia. Esto no sólo conduce a un conocimiento más profundo en el análisis, sino que es de gran valor para el diseño. Y en tercer lugar, muchas de las componentes de un sistema se pueden clasificar como dispositivos lineales e invariables en el tiempo; siendo así, se pueden describir por sus características de respuesta en frecuencia, las cuales, a su vez, facilitan aún más el análisis y el trabajo de diseño.

Por tanto, este capítulo está dedicado al análisis de señales y sus respectivos espectros, poniendo atención especial a la interpretación de las propiedades de esas señales en el dominio de las frecuencias. Se examinarán los espectros de líneas basados en la expansión en series de Fourier para señales periódicas y en los espectros continuos basados en la transformada de Fourier de señales aperiódicas. Finalmente, estos dos espectros se conjugarán con la ayuda del concepto de la función impulso y de la respuesta al impulso.

Como primer paso, se deben escribir las ecuaciones que representan las señales en función del tiempo, pero sin olvidar que esas ecuaciones son sólo modelos matemáticos del mundo real y, por lo general, son modelos imperfectos. En efecto, una descripción completamente fiel de la señal física más sencilla sería demasiado complicada e impráctica para los propósitos de la ingeniería. Por consiguiente, se tratará de idear modelos que representen con una complejidad mínima las propiedades significativas de las señales físicas. El estudio de muchos modelos diferentes para las señales proporciona la información necesaria para seleccionar modelos apropiados para aplicaciones específicas. 1.2. SERIES DE FOURIER Y ESPECTROS DISCRETOS

A. Serie de Fourier Exponencial Compleja Las señales periódicas cumplen funciones de gran importancia en el análisis de Fourier. Una señal es periódica si para algún valor de T diferente de cero y positivo, la señal obedece la relación

( ) ( ), x t x t T t= + − ∞ < < ∞

El menor valor de T > 0 que satisface esta ecuación se denomina el periodo fundamental de x(t), T0, o, simplemente, el período de x(t). El periodo T0 define la duración de un ciclo completo de x(t).

Sea x(t) una señal periódica con periodo fundamental T0 y frecuencia radián fundamental 0 02 Tω = π . Entonces definimos la serie de Fourier exponencial compleja de x(t) como

00 0( ) 2jn t

n

n

x t c e T∞

ω

=−∞

= ω = π∑ (1.1)

donde

0 0

0

00

1( )

t Tjn t

nt

c x t e dtT

+− ω= ∫ (1.2)

para un t0 arbitrario. Haciendo t0 = −T0/2, se obtiene


15

0

0

0

2

20

1( )

Tjn t

nT

c x t e dtT

− ω

−= ∫ (1.3)

Los coeficientes cn se denominan coeficientes de Fourier de x(t). En la Ec. (1.1), el término para n = 0 es un término constante o de CD. Los dos términos para n = +1 y n = −1 tienen ambos un período fundamental igual a T0 y se conocen como las componentes fundamentales o como las primeras componentes armónicas. Los dos términos para

2n = + y 2n = − son periódicos con la mitad del período (o, equivalentemente, el doble de la frecuencia) de las componentes fundamentales y se les conoce como las componentes de la segunda armónica. Más generalmente, las componentes para n = +N y n = − N se conocen como las componentes de la N-ésima armónica.

Ejemplo 1.1. Se procederá a demostrar la Ec. (1.2). Puesto que 0 0 2Tω = π y 2 1jne π = , entonces tenemos que

( )0 00 0 00 0

0 0

10

t Tjn t Tjn t n t

te dt e e

jn

+ω +ω ω = − =

ω∫

para cualquier t0 y para n ≠ 0. De lo anterior se deduce que

( )00

0

0

tj n m t

mnt

e dt T− ω = δ∫ (1.4)

donde δmn es la delta de Kronecker, definida por

1

( )0 mn

n mt

n m

=δ =

≠ (1.5)

Multiplicando ambos lados de la Ec. (1.1) por 0jm te− ω e integrando (y también intercambiando el orden de integración y de la sumatoria), se obtiene

( )0 0 0 00 0

0 0

0 0( )t T t T

jm t j n m tn n mn m

t tn n

x t e dt c e dt c T T c

∞ ∞+ +− ω − ω

=−∞ =−∞

= = δ =∑ ∑∫ ∫

Por tanto, 0 0

0

00

1( )

t Tjm t

mt

c x t e dtT

+− ω= ∫

y si se cambia la m a n, se obtiene la Ec. (1.2). La representación de una señal periódica es un espectro de líneas obtenido mediante una expansión en serie de Fourier como la de la Ec. (1.1). La expansión requiere que la señal tenga potencia promedio finita. Como la potencia promedio y otros promedios temporales son propiedades importantes de las señales, ahora se procederá a formalizar estos conceptos.

Dada cualquier función x(t), su valor promedio para todo el tiempo se define como

/2

/2

1( ) lím ( )

T

T Tx t x t dt

T→∞ −= ∫ (1.6)

La notación ⟨x(t)⟩ representa la operación de promediar, la cual comprende tres pasos: integrar x(t) para obtener el área bajo la curva en el intervalo −T/2 ≤ t ≤ T/2; dividir esa área por la duración T del intervalo de tiempo, y después hacer que T → ∞ para cubrir todo el tiempo. En el caso de una señal periódica, la Ec. (1.6) se reduce al promedio durante cualquier intervalo de duración T0, vale decir,

0

00 0

1 1( ) ( ) ( )

x

x

t T

t Tx t x t dt x t dt

T T

+

= =∫ ∫ (1.7)


16

donde tx es un tiempo arbitrario y la notación ∫To representa una integración desde cualquier tx hasta tx+T0, es decir, en cualquier intervalo de duración T0.

Si x(t) es el voltaje entre las terminales de una resistencia R, se produce la corriente ( ) ( )i t x t R= y se puede

calcular la potencia promedio resultante, promediando la potencia instantánea 2 2( ) ( ) ( )x t i t x R R i t× = / = . Pero no necesariamente se sabe si una señal dada es un voltaje o una corriente; por ello en los sistemas de comunicación se acostumbra normalizar la potencia suponiendo que el resistor de carga tiene una resistencia

1 R = Ω , aun cuando puede tener cualquier otro valor en el circuito real. Esta convención permite expresar la potencia instantánea como 2( ) ( )p t x t= y la definición de la potencia promedio asociada con una señal periódica arbitraria se convierte entonces en

0

2 2

0

1( ) ( )

TP x t x t dt

T= ∫≜ (1.8)

donde se ha escrito |x ( t ) | 2 en lugar de x2(t) para permitir la posibilidad de analizar modelos de señales complejas. En cualquier caso, el valor de P será real y no negativo.

Cuando la señal en la Ec. (1.8) existe y da como resultado que 0 < P < ∞, es decir, una potencia finita, se dice que la señal x(t) tiene una potencia promedio bien definida y se denominará una señal de potencia periódica. Casi todas las señales periódicas de interés práctico caen en esta categoría. El valor promedio de una señal de potencia puede ser positivo, negativo o cero, pero está acotado por

0( )x t PT≤

lo cual proviene de la relación integral

22

( ) ( )x t dt x t dt≤∫ ∫

Algunos promedios de señales pueden determinarse por inspección usando la interpretación física del promedio. Como un ejemplo específico, considérese la sinusoide

0( ) cos( )x t A t= ω + φ para la cual

2

( ) 0 , 2

Ax t P= =

La energía disipada por la señal x(t) en el intervalo de tiempo (−T/2, T/2) está dada por

2 2

2( )

T

TE x t dt

−= ∫ (1.9)

Se dice que una señal x(t) cualquiera es una señal de energía si y sólo si 0 < E < ∞, es decir, energía finita, donde

2 2

2lím ( )

T

T TE x t dt

→∞ −= ∫ (1.10)

Las clasificaciones de señales en señales de energía y de potencia son mutuamente excluyentes. Una señal de energía tiene energía finita pero una potencia promedio igual a cero, en tanto que una señal de potencia tiene potencia promedio finita pero una energía infinita. Como regla general, las señales periódicas se clasifican como señales de potencia.

El desempeño de un sistema de comunicación depende de la energía de la señal recibida; las señales con mayor energía se detectan con mayor confiabilidad que las de menos energía. Por otra parte, la potencia representa la tasa con la cual se entrega energía. Es importante por diferentes razones. La potencia determina los voltajes que


17

deben aplicarse a un transmisor y las intensidades de los campos magnéticos con los cuales se debe lidiar en los sistemas de radio.

En general, los coeficientes de Fourier son números complejos y pueden expresarse en forma polar como

njn nc c e θ= (1.11)

donde nc es la amplitud y θn es el ángulo de fase de cn. Así que la Ec. (1.1) expande una señal periódica como

una suma infinita de fasores, siendo

0 0njn t j jn tn nc e c e eω θ ω=

el término k-ésimo. B. Espectros de Amplitud

Una gráfica de nc versus la frecuencia angular ω = 2πf se denomina el espectro de amplitud de la

señal periódica x(t). Una gráfica de θn versus ω se llama el espectro de fase de x(t). Estas gráficas se

conocen como los espectros de frecuencia de x(t). Puesto que el índice n toma sólo valores enteros, los

espectros de frecuencia de una señal periódica existen solamente en las frecuencias discretas nω0. Por

tanto, a éstas se les refiere como espectros de frecuencia discreta o espectros de líneas. La existencia

del espectro para valores negativos de la frecuencia es solamente una indicación del hecho de que la

componente exponencial 0jn te− ω está presente en la serie. Se puede dar un mayor énfasis a la

interpretación espectral escribiendo

( )0 nc n cω =

Si la señal periódica x(t) es una función real del tiempo, entonces ( ) * ( )x t x t= y por tanto

0( ) ( ) jn tn

n

x t x t c e

∞− ω∗ ∗

=−∞

= = ∑

Reemplazando n por −n en la sumatoria, se obtiene

0( ) jn tn

n

x t c e

∞ω∗

−

=−∞

= ∑

que al comparar con la Ec. (1.1), requiere que

njn n nc c c e− θ∗

− = = (1.12)

Esto significa que, para una señal periódica real, los coeficientes positivos y negativos son conjugados, esto es,

, n n n nc c− −= θ = −θ (1.13)

Por tanto, el espectro de amplitud es una función par de ω y el espectro de fase es una función impar de ω. Para un valor dado de n, la suma de los términos de la misma frecuencia 0nω en la Ec. (1.1) da

( ) ( )[ ]

( )

0 0 0 0

0 0

0

2 cos

n n

n n

jn t jn t j jn t j jn t

n n n n

j n t j n t

n

n n

c e c e c e e c e e

c e e

c n t

− ω ω − θ − ω θ ω

−

− ω +θ − ω +θ

+ = +

= +

= ω + θ

(1.14)

Por tanto, dados los coeficientes de Fourier c, podemos hallar fácilmente la forma trigonométrica combinada de la serie de Fourier:


18

( )0 01

( ) 2 cosn nn

x t c c k t∞

=

= + ω + θ∑ (1.15)

A partir de la Ec. (1.15) se puede deducir una tercera forma de la serie de Fourier. Usando la identidad trigonométrica

( )cos cos cos sen sena b a b a b+ = −

en conjunto con la Ec. (1.15), se obtiene

( )0 01

0 0 01

( ) 2 cos

2 cos cos 2 sen sen

n kn

n n n nn

x t c c n t

c c k t c k t

∞

=

∞

=

= + ω + θ

= + θ ω − θ ω

∑

∑ (1.16)

Usando ahora la relación de Euler, definimos los coeficientes an y bn mediante la fórmula

2 2 2 cos 2 sennj

n n n n n n n nc c e c j c a jbθ= = θ − θ = − (1.17)

donde an y bn son reales. Al sustituir la Ec. (1.17) en la Ec. (1.16) se obtiene la forma trigonométrica de la serie de Fourier

0 0 01

( ) cos senn nn

x t a a n t b n t∞

=

= + ω + ω∑ (1.18)

con a0 = c0. Los coeficientes de las tres formas están relacionados por

0 02 ; ; nj

n n n n nc a jb c c e c aθ= − = = (1.19)

Recuerde que an y bn son reales y, en general, cn es compleja. Ejemplo 1.2. Considérese la onda cuadrada periódica x(t) mostrada en la Fig. 1-1(a). Determine la serie de Fourier compleja de x(t) y grafique su espectro de magnitud para (a) a = T/4 y (b) a = T/8.

Sea

00

2( ) , jn t

n

n

x t c eT

∞ω

=−∞

π= ω =∑

Debido a la simetría de x(t) en torno a t = 0, usamos la Ec. (1.3) para determinar los coeficientes de la serie de Fourier para x(t):

[ ]0 0 0 0 0

0 0

sen sen1 1 1ajn t jn a jn a

na

n a n ac e dt e e

T jn T T n n− ω − ω ω

−

ω ω= = − = =

− ω ω π∫ (1.20)

01 2a

a

ac dt

T T−= =∫ (1.21)

Antes de continuar con este ejemplo, se deducirá una expresión que aparece repetidamente en el análisis espectral. Esta expresión es la llamada función sinc definida por

sen

sincπλ

λπλ

≜ (1.22)

La Fig. 1.2 muestra que la función sincλ es una función de λ que tiene su valor pico en λ = 0 y sus cruces con

cero están en todos los otros valores enteros de λ; así que

1 0sinc

0 1, 2 ,

λ =λ =

λ = ± ± ⋯


19

Fig. 1-1 Tren de pulsos rectangulares y su espectro de magnitud; (a) una onda periódica cuadrada, (b) a = T/4, (c) a = T/8 La porción de la función sinc entre los cruces con cero y 1λ = ± se conoce como el lóbulo principal de la función sinc. Las ondulaciones más pequeñas fuera del lóbulo principal se denominan lóbulos laterales.

λ

sinc λ

Figura 1.2. La función sinc. (a) a = T/4, 0 2aω = π y 1

0 2c = . Por tanto,

( )sen 2n

nc

n

π=

π

El espectro de magnitud para este caso se muestra en la Fig. 1-1(b).

(b) a = T/8, 0 4aω = π y 10 2c = . Por tanto,

( )sen 4n

nc

n

π=

π


20

El espectro de magnitud para este caso se muestra en la Fig. 1-1(c). Ejemplo 1.3. Determine la serie de Fourier compleja para la onda periódica cuadrada y(t) mostrada en la Fig. 1-3 . Sea

00

2( ) , jn t

n

n

y t d eT

∞ω

=−∞

π= ω =∑

Si se compara la Fig. 1-3 con la Fig. 1-1(a), vemos que ( )( )y t x t a= − . Entonces, cambiando t a t a− en la Ec. (1.1), se obtiene

( )0 0 0( ) jn t a jn a jn tn n

n n

x t a c e c e e

∞ ∞ω − − ω ω

=−∞ =−∞

− = =∑ ∑

y, por tanto,

0 00senjn a jn an n

n ad c e e

n

− ω − ωω= =

π (1.23)

De la Ec. (1.23) vemos que el espectro de magnitud de una señal que es desplazada en el tiempo permanece igual y el efecto de un desplazamiento en el tiempo es la introducción de un corrimiento de fase en el espectro de fase que es una función lineal de ω.

−T 0 2a T t

y(t)

Fig. 1-3 Ejemplo 1.4. Considérese la señal 0( ) senx t t= ω . Hallar la serie de Fourier compleja de x(t) y graficar sus espectros de frecuencia. Se podría usar la Ec. (1.3) para calcular los coeficientes de Fourier, pero para este caso es más sencillo usar la fórmula de Euler e identificar por inspección los coeficientes de Fourier. Entonces, podemos expresar a x(t) como

( )0 0 0 00

1 1 1( ) sen

2 2 2j t j t j t j tx t t e e e e

j j j

ω − ω − ω ω= ω = − = − +

Por tanto,

( ) ( )2 21 1

1 1 1 1, , 0 para 1 o 1

2 2 2 2j j

nc e c e c nj j

π − π− = − = = = = ≠ + −

Los espectros de frecuencia de la señal 0sen tω se grafican en la Fig. 1-4. Ejemplo 1.5. Hallar la serie de Fourier compleja para la señal 2

0 0( ) cos senx t t t= ω + ω .

Usando de nuevo las fórmulas de Euler, se obtiene


21

( ) ( )

( )

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

2

2 2

2 2

1 1( )

2 21 1 1

22 2 4

1 1 1 1 1

4 2 2 2 4

j t j t j t j t

j t j t j t j t

j t j t j t j t

x t e e e ej

e e e e

e e e e

ω − ω ω − ω

ω − ω ω − ω

− ω − ω ω ω

= + + −

= + − − +

= − + + + −

0jn tn

n

c e∞

ω

=−∞

= ∑

Por tanto, los coeficientes de Fourier para esta señal son 10 2c = , 1

1 1 2c c−= = , 12 2 4c c−= = − y todos los demás

valores de cn son iguales a cero.

(c)

y(t)

nc

Fig. 1-4 0sen tω y su espectro

Ejemplo 1.6. Si x1(t) y x2(t) son señales periódicas con periodo T y sus expresiones en series de Fourier complejas son

0 01 2 0

2( ) , ( ) , jn t jn t

n n

n n

x t d e x t g en

∞ ∞ω ω

=−∞ =−∞

π= = ω =∑ ∑

demuestre que la señal 1 2( ) ( ) ( )x t x t x t= es periódica con el mismo periodo T y puede expresarse como

0( ) jn tn

n

x t c e∞

ω

=−∞

= ∑

donde los coeficientes cn son dados por

n n n k

k

c d g∞

−

=−∞

= ∑ (1.24)

Para comenzar,

( ) ( ) ( )1 2 1 2( ) ( ) ( )x t T x t T x t T x t x t x t+ = + + = =

Por tanto, x(t) es periódica con periodo T.

Sea

00

2( ) , jn t

n

n

x t c eT

∞ω

=−∞

π= ω =∑


22

Entonces

( )

0 0

0 0

0

2 2

1 22 2

2

2

2

2

22

1 1( ) ( ) ( )

1 ( )

1 ( )

T Tjn t jn t

nT T

T

jk t jn tk

kT

Tj n k t

k k n kT

k k

c x t e dt x t x t e dtT T

d e x t e dtT

d x t e dt d gT

− ω − ω

− −

∞ω − ω

=−∞−

∞ ∞− − ω

−−

=−∞ =−∞

= =

=

= =

⌠⌡

∫ ∫

∑

∑ ∑∫

C. Propiedades de la Serie de Fourier A continuación se considerarán varias propiedades de las series de Fourier. Estas propiedades proporcionan una mejor comprensión del concepto de espectro de frecuencias de una señal de tiempo continuo y, adicionalmente, muchas de esas propiedades ayudan en la reducción de la complejidad del cálculo de los coeficientes de las series. c.1. Efectos de la Simetría Los tipos más importantes de simetría son:

1. Simetría par, x(t) = x(−t),

2. Simetría impar, x(t) = −x (−t),

3. Simetría de media onda, x(t) = ( )0

2T

x t + .

Cuando existe uno o más de estos tipos de simetría, se simplifica mucho el cálculo de los coeficientes de Fourier. Por ejemplo, la serie de Fourier de una señal par x(t) con período T0 es una serie de Fourier en cosenos:

001

2( ) cosn

n

n tx t a a

T

∞

=

π= +∑

cuyos coeficientes son dados por 0

0

0 0

/2/22 4

00 00

2( ) y ( )cos

TT

nT T

n ta x t dt a x t dt

T

π= = ⌠

⌡∫

en tanto que la serie de Fourier de una señal impar x(t) con período T0 es una serie de Fourier en senos:

01

2( ) senn

n

n tx t b

T

∞

=

π=∑

con coeficientes 0

0

24

00

2( )sen

T

n T

n tb x t dt

T

π= ⌠

⌡

c.2. Linealidad Supóngase que x(t) y y(t) son señales periódicas que tienen el mismo período y sean


23

0 0( ) y ( )jn t jn tn n

n n

x t e y t e

∞ ∞ω ω

=−∞ =−∞

= β = γ∑ ∑

sus expansiones en series de Fourier y sea

1 2( ) ( ) ( )z t k x t k y t= +

donde k1 y k2 son constantes arbitrarias. Entonces podemos escribir

( ) 0

0

1 2( )

jn tn n

n

jn tn

n

z t k k e

e

∞ω

=−∞

∞ω

=−∞

= β + γ

= α

∑

∑

La última ecuación implica que los coeficientes de Fourier de z(t) están dados por

1 2n n nk kα = β + γ (1.25) D. Contenido de Potencia de una Señal Periódica y el Teorema de Parseval El contenido de potencia de una señal periódica x(t) se define como el valor medio cuadrático en un periodo:

0

0

2 2

20

1( )

T

TP x t dt

T −= ∫ (1.26)

El teorema de Parseval para la serie de Fourier establece que si x(t) es una señal periódica con periodo T0, entonces

0

0

2 2 2

20

1( )

T

nT

n

P x t dt cT

∞

−=−∞

= = ∑∫ (1.27)

La interpretación de este resultado es extraordinariamente sencilla: la potencia promedio se puede determinar elevando al cuadrado y sumando las magnitudes |c n | = |c (n ω0 )| de las líneas de amplitud. Observe que la Ec. (1.27) no involucra el espectro de fase. Para una interpretación adicional de la Ec.(1.27), recuerde que la serie

exponencial de Fourier expande x(t) como una suma de fasores de la forma 0 .jn tnc e ω Se puede demostrar

fácilmente que la potencia promedio de cada fasor es

02 2jn t

n nc e cω = (1.28)

Por tanto, el teorema de Parseval implica la superposición de la potencia promedio, puesto que la potencia promedio total de x(t) es la suma de las potencias promedios de sus componentes fasoriales. Ejemplo 1.7. Sean x1(t) y x2(t) las dos señales periódicas del Ejemplo 1.6. Demostrar que

2

1 22

1( ) ( )

T

n nT

n

x t x t dt d gT

∞

−−

=−∞

= ∑∫ (1.29)

La Ec. (1.29) se conoce como la fórmula de Parseval.

Del Ejemplo 1.6 y la Ec. (1.24), tenemos que

02

1 22

1( ) ( )

Tjn t

n k n kT

k

c x t x t e dt d gT

∞− ω

−−

=−∞

= = ∑∫


24

Tomando n = 0 en la expresión anterior, se obtiene

2

1 22

1( ) ( )

T

k k n nT

k n

x t x t dt d g d gT

∞ ∞

− −−

=−∞ =−∞

= =∑ ∑∫

1.3. TRANSFORMADAS DE FOURIER Y ESPECTROS CONTINUOS Para generalizar la representación en series de Fourier (1.1) a una representación válida para señales no periódicas en el dominio de la frecuencia, ahora se introducirá la transformada de Fourier. A. Definición La serie de Fourier da un método para representar una señal periódica como una suma ponderada de exponenciales cuyas frecuencias son múltiplos de una frecuencia fundamental. Esta representación es valiosa en muchas aplicaciones, pero tiene sus limitaciones y, en consecuencia, una utilidad limitada en el análisis de sistemas lineales. Básicamente, sólo permite usar excitaciones periódicas; la mayoría de las señales prácticas no lo son. Esta limitación se puede superar representando señales no periódicas a través de la integral de Fourier, la cual puede considerarse como una extensión de la serie de Fourier.

Sea x(t) una señal no periódica. Entonces la transformada de Fourier de x(t), simbolizada por F, se define por

[ ]( ) ( ) ( ) j tX x t x t e dt∞

− ω

−∞ω = = ∫F (1.30)

La transformada de Fourier inversa de X(ω), simbolizada por 1−F , se define por

[ ] ( )1 1( ) ( )

2j tx t X X e d

∞ω−

−∞= ω = ω ω

π ∫F (1.31)

Las Ecs. (1.30) y (1.31) con frecuencia se denominan el par de transformadas de Fourier y se denotan por

( ) ( )x t X↔ ω

La función X(ω) dada por la Ec. (1.30) se conoce como la transformada de Fourier o integral de Fourier de x(t) y la Ec. (1.31) como la ecuación de la transformada de Fourier inversa. La ecuación de síntesis juega un papel para las señales aperiódicas semejante al de la Ec. (1.1) para señales periódicas, ya que ambas corresponden a una descomposición de una señal en una combinación lineal de exponenciales complejas. B. Espectros de Frecuencia En general, la transformada de Fourier X(ω) es una función compleja de la frecuencia angular ω, de modo que podemos expresarla en la forma

( ) ( ) ( )jX X e θ ωω = ω (1.32)

donde ( )X ω se denomina el espectro de amplitud continuo de x(t) y θ(ω) se llama el espectro de fase continuo de

x(t). Aquí, al espectro se le refiere como un espectro continuo porque tanto la amplitud como la fase de X(ω) son funciones continuas de la frecuencia ω.

Si x(t) es una función real del tiempo, tenemos

( ) ( ) ( ) ( )*X X X e−θ ω−ω = ω = ω (1.33)

o ( ) ( ) ( ) ( ), X X−ω = ω θ −ω = −θ ω (1.34)


25

Por tanto, igual que con la serie de Fourier compleja, el espectro de amplitud X(ω) es una función par de ω y el espectro de fase θ(ω) es una función impar de ω. Esta propiedad de simetría conjugada es válida sólo para x(t) real. Ejemplo 1.8. Considere la señal [Fig. 1-5(a)]

( ) ( )atx t e u t−= (1.35)

donde u(t) es la función escalón unitario definida por

1, 0

( )0, 0

tu t

t

>=

< (1.36)

Hallar la transformada de Fourier de x(t) y dibujar sus espectros de magnitud y fase.

Si a < 0, entonces x(t) no es absolutamente integrable y, por tanto, X(ω) no existe. Para a > 0, de la Ec. (1.30) tenemos que

( ) ( )

0 0

1a j tjatX e e dt e dta j

∞ ∞− + ω− ω−ω = = =

+ ω∫ ∫ (1.37)

Los espectros de amplitud y de fase de x(t) son

1

2 2

1( ) , ( ) tanX

aa

− ω ω = θ ω = −

+ ω

Éstos se dibujan en la Fig. 1-5(b) y (c).

−a

θ(ω)

π/2

π/4

−π/4

−π/2

a

ω

a−a ω

( )X ω

1/a

1 2 a

ate−

t0

x(t)

(a)

(b)

(c)

Fig. 1-5 Transformada de Fourier de la señal ( ) ( )atx t e u t−=

Ejemplo 1.9. Hallar la transformada de Fourier de la señal [Fig. 1-6(a)]

( ) , 0a tx t e a

−= > (1.38)


26

La señal x(t) puede escribirse como

, 0( )

, 0

ata t

at

e tx t e

e t

−− >

= = <

Entonces

( ) ( )

0

00

0

2 2

( )

1 1 2

j t j tat at

a j t a j t

X e e dt e e dt

e dt e dt

a

a j a j a

∞− ω − ω−

−∞

∞− ω − + ω

−∞

ω = +

= +

= + =− ω + ω + ω

∫ ∫∫ ∫

Por tanto, se obtiene

2 2

2 a t a

ea

−↔

+ ω (1.39)

La transformada de Fourier X(ω) de x(t) se muestra en la Fig. 1-6(b).

a te

−

t0

x(t)

1

( )X ω

2 2

2a

a + ω

ω0

Fig. 1-6

Ejemplo 1.10. Hallar la transformada de Fourier de la señal pulso rectangular x(t) mostrada en la Fig. 1-7(a) y definida por

1,

( ) ( )0, a

t ax t p t

t a

<= =

> (1.40)

Usando la definición de la transformada, se obtiene

2 sen sen

( ) ( ) 2a

j t ta

a

a aX p e dt e dt a

a

∞− ω −ω

−∞ −

ω ωω = ω = = =

ω ω∫ ∫ (1.41)

La transformada de Fourier de pa(t) se muestra en la Fig. 1-7(b).

−a a ω

( )X ω

t0

x(t)

1

aπ 2

aπ

aπ− 0

2a

2 sen aω

ω

Fig. 1-7


27

Ejemplo 1.11. Aplique la transformada de Fourier inversa [Ec. (1.31)] a la Ec. (1.41) y demuestre que

, 0sen

, 0aa

da

∞

−∞

π >ω ω =

−π <ω ∫ (1.42)

Al sustituir la Ec. (1.41) en la Ec. (1.31), se obtiene

1 2 sen 1 sen( )

2j t j ta a

x t e d e d∞ ∞

ω ω

−∞ −∞

ω ω= ω = ω

π ω π ω∫ ∫

De la Ec. (1.40) o la Fig. 1-7(a), se obtiene

sen(0) , 0

ad x a

∞

−∞

ωω = π = π >

ω∫

Cuando a < 0, se obtiene sen

(0) , 0a

d x a∞

−∞

ωω = −π = −π <

ω∫

puesto que ( )sen sen−θ = − θ . Ejemplo 1.12. Dada la transformada ( ) 1X jω = ω , hallar x(t).

De la Ec. (1.31) y usando la identidad de Euler, tenemos que

( )1 1 1 1 1 sen

( ) cos sen2 2 2

j t tx t e d t j t d d

j j

∞ ∞ ∞ω

−∞−∞ −∞

ω= ω = ω + ω ω = ω

π ω π ω π ω⌠ ⌠⌡ ⌡ ∫

Como cos tω ω es una función impar de ω, la primera integral del tercer término en la expresión anterior es cero. Entonces, por la Ec. (1.42), se obtiene

1

( ) sgn( )2

x t t= (1.43)

donde sgn( )t (la función signo) se define por (Fig. 1-8)

1, 0

sgn( )1, 0

tt

t

>=

− < (1.44)

A partir de este resultado, se obtiene el par de transformadas de Fourier

2

sgn( ) tj

↔ω

(1.45)

Fig. 1-8 Función signo

C. Contenido de Energía de una Señal y el Teorema de Parseval El contenidote energía normalizado E de una señal x(t) se define como

−1

1

0 t

sgn t


28

2( )E x t dt∞

−∞= ∫ (1.46)

Si E es finita (E <∞), entonces a x(t) la llamamos una señal de energía. Si E = ∞, entonces definimos la potencia promedio normalizada P por

2 2

2

1lím ( )

T

T TP x t dt

T→∞ −= ∫ (1.47)

Si P es finita (P < ∞), entonces x(t) se denomina una señal de potencia. Observe que una señal periódica es una señal de potencia si su energía por periodo es finita.

El teorema de Parseval para la transformada de Fourier afirma que si x(t) es una señal de energía, entonces

( )22 1

( )2

x t dt X d∞ ∞

−∞ −∞= ω ω

π∫ ∫ (1.48)

1.4. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER 1. Linealidad (Superposición): La transformada de Fourier es lineal.

( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) a x t a x t a X a X+ ↔ ω + ω (1.49)

2. Desplazamiento en el Tiempo: Si

( ) ( ) x t X↔ ω

entonces

( ) ( ) 00 j tx t t X e− ω− ↔ ω (1.50)

La Ec. (1.50) muestra que el efecto de un desplazamiento en el dominio del tiempo es simplemente añadir un término lineal, ωt0, al espectro de fase original θ(ω), es decir, no cambia el espectro de amplitud y el espectro de fase es cambiado por 0t−ω .

Demostración: Por definición

( ) ( )0 0j tx t t x t t e dt

∞− ω

−∞ − = − ∫F

Tomando 0t t− = λ , obtenemos

( ) ( ) ( ) ( )

( )

0 0

0

0

j t j t j

j t X

x t t x e d e x e d

e

∞ ∞− ω λ+ − ω − ωλ

−∞ −∞

− ω ω

− = λ λ = λ λ

=

∫ ∫F

3. Desplazamiento de Frecuencia: Si

( ) ( ) x t X↔ ω

entonces

( ) ( )00 j tx t e Xω ↔ ω − ω (1.51)

Esta propiedad establece que la multiplicación de una señal por un factor 0j te ω desplaza el espectro de esa señal por 0ω = ω . Observe la dualidad entre las propiedades de desplazamiento en el tiempo y en frecuencia


29

4. Escalamiento: Si

( ) ( ) x t X↔ ω

entonces, para cualquier constante real a,

( )1

x at Xa a

ω ↔

(1.52)

La propiedad de escalamiento, Ec. (1.52), implica que la compresión en el tiempo de una señal (a > 1) resulta en su expansión espectral y que la expansión en el tiempo de la señal (a < 1) resulta en su compresión espectral.

Demostración: Para una constante real y positiva a,

( )[ ] ( ) ( )1 1( ) j a tj tx at x at e dt x t e dt X

a a a

∞ ∞− ω− ω

−∞ −∞

ω = = =

∫ ∫F

En la misma forma se puede demostrar que si a < 0

( )1

x at Xa a

− ω ↔

La propiedad de escalamiento implica que si x(t) es más ancha, su es espectro es más angosto, y viceversa. Si se duplica la duración de la señal, su ancho de banda de reduce a la mitad y viceversa. Esto sugiere que el ancho de banda es inversamente proporcional a la duración o ancho de la señal (en segundos).

5. Inversión en el Tiempo: Si

( ) ( ) x t X↔ ω

entonces

( ) ( ) x t X− ↔ −ω (1.53) 6. Dualidad: Esta propiedad establece que si

( )( ) x t X↔ ω

entonces

( )( ) 2X t x↔ π −ω (1.54) Ejemplo 1.13. Verificar la propiedad de dualidad.

De la definición de la transformada de Fourier inversa, Ec. (1.31), tenemos que

( ) 2 ( )j tX e d x t∞

ω

−∞ω ω = π∫

Cambiando t a −t, obtenemos

( ) 2 ( )j tX e d x t∞

− ω

−∞ω ω = π −∫

Si ahora intercambiamos t y ω, se obtiene

( ) 2 ( )j tX t e dt x∞

− ω

−∞= π −ω∫

Puesto que

( ) ( ) j tX t X t e dt∞

− ω

−∞= ∫F

concluimos que


30

( )( ) 2X t x↔ π −ω

Ejemplo 1.14. Hallar la transformada de Fourier de la señal [Fig. 1-9(a)]

sen

( )at

x tt

=π

(1.55)

Usando el resultado del Ejemplo 1.10, tenemos que

[ ]2

( ) senap t a= ωω

F

Ahora bien, por la propiedad de dualidad de la transformada de Fourier, Ec. (1.54), tenemos que

2sen 2 ( )aat p

t

= π −ω

F

Por tanto,

2 1 2

( ) sen sen ( ) ( )2 a aX at at p p

t t

ω = = = −ω = ω π F F (1.56)

donde pa(ω) se define por [ver la Ec. (1.40) y la Fig. 1-9(b)]

1, ( )

0, a

ap

a

ω <ω =

ω >

−a at

( )x t

ω0

X(ω)

1

aπ 2

aπ

aπ− 0

2sen at

tπ

aπ

Fig. 1-9 7. Diferenciación: Si

( ) ( ) x t X↔ ω

entonces Diferenciación en el Tiempo:

( ) ( ) ( )d

x t x t j Xdt

′ = ↔ ω ω (1.57)

La Ec. (1.57) muestra que el efecto de la diferenciación en dominio del tiempo es la multiplicación de X(ω) por jω en el dominio de la frecuencia. Diferenciación en Frecuencia:

( ) ( ) ( ) ( )d

jt x t X Xd

′− ↔ ω = ωω

(1.58)


31

8. Integración:

Si X(0), entonces

1

( ) ( )t

x d Xj−∞

τ τ ↔ ωω∫ (1.59)

La Ec. (1.59) muestra que el efecto de la integración en el dominio del tiempo es la división de X(ω) por jω en el dominio de la frecuencia, suponiendo que X(0) = 0. Observe que por la definición (1.30) ,

(0) ( )X x t dt∞

−∞= ∫ (1.60)

El caso más general perteneciente a X(0) ≠ 0 se considera más adelante. 9. Convolución:

La convolución de dos señales x1(t) y x2(t), denotada por 1 2( ) ( )x t x t∗ , es una nueva señal x(t) definida por la integral

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t x t x t x x t d∞

−∞= ∗ = τ − τ τ∫ (1.61)

Entonces

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x t x t X X∗ ↔ ω ω (1.62)

La Ec. (1.62) se conoce como el teorema de la convolución en el tiempo y establece que la convolución en el dominio del tiempo se convierte en una multiplicación en el dominio de la frecuencia (Ejemplo 1.18).

Observe que la operación de convolución es conmutativa, esto es,

1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )x t x t x t x t∗ = ∗ 10. Multiplicación:

1 2 1 21

( ) ( ) ( ) ( )2

x t x t X X↔ ω ∗ ωπ

(1.63)

A la Ec. (1.63) se le refiere a menudo como el teorema de la convolución en frecuencia. Por tanto, la multiplicación en el dominio del tiempo se convierte en una convolución en el dominio de la frecuencia.

Ejemplo 1.15. Demostrar que si

( ) ( )x t X↔ ω

entonces

( ) ( )0 0 01 1

( )cos 2 2

x t t X Xω ↔ ω − ω + ω + ω (1.64)

La Ec. (1.64) se conoce como el teorema de modulación.

Usando la identidad de Euler

( )0 00

1cos

2j t j tt e eω − ωω = +

y la propiedad de desplazamiento en frecuencia, Ec. (1.51), se obtiene

[ ] ( ) ( )0 00 0 0

1 1 1 1( )cos ( ) ( )

2 2 2 2j t j tx t t x t e x t e X Xω − ω

ω = + = ω − ω + ω + ω F F


32

Esto muestra que la multiplicación de una señal x(t) por una sinusoide de frecuencia ω0 desplaza el espectro de X(ω) por 0±ω . La multiplicación de una sinusoide 0cos tω equivale a modular la amplitud de la sinusoide. Este

tipo de modulación se conoce como modulación de amplitud. La sinusoide 0cos tω se denomina la portadora, la

señal x(t) es la señal moduladora y la señal 0( )cosx t tω es la señal modulada. La modulación y la demodulación se estudiarán en detalle en el Capítulo 3.

Ejemplo 1.16. La transformada de Fourier de una señal x(t) es dada por [Fig. 1-10(a)]

( ) ( )0 01 1

( )2 2a aX p pω = ω − ω + ω + ω

Determine y dibuje x(t). De la Ec. (1.56) y el teorema de modulación, Ec. (1.64), se deduce que

0sen

( ) cosat

x t tt

= ωπ

la cual se dibuja en la Fig. 1-10(b).

Fig. 1-10 Ejemplo 1.17. Sea x(t) una señal real y X(ω) = F[x(t)]. Demuestre entonces que

[ ]( ) ( ) * ( )x t X X− = −ω = ωF (1.65)

Por la definición (1.30), tenemos que

( )[ ]

( ) ( )

( )

( ) ( )

j t

j j

F x t x t e dt

x e d x e d X

∞− ω

−∞

∞ ∞ωλ − −ω λ

−∞ −∞

− = −

= λ λ = λ λ = −ω

∫∫ ∫

Por tanto, si x(t) es real, entonces

0( ) ( ) * ( )j jx e d x e d X

∗∞ ∞ω λ − ωγ

−∞ −∞

λ λ = λ λ = ω ∫ ∫

y, por tanto, ( ) ( )*X X−ω = ω

Ejemplo 1.18. Demostrar el teorema de la convolución en el tiempo, Ec. (1.62), esto es,

( ) ( )1 2 1 2( ) ( ) x t x t X X∗ ↔ ω ω

Por la definición (1.30) y la Ec. (1.61), tenemos que


33

[ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) jx t x t x t x t d e dt∞ ∞

− ωτ

−∞ −∞

∗ = − τ τ ∫ ∫F

Intercambiando el orden de integración da

[ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) j tx t x t x x t e dt d∞ ∞

− ω

−∞ −∞

∗ = τ − τ τ ∫ ∫F

Por la propiedad de desplazamiento en el tiempo, Ec. (1.50), de la transformada de Fourier,

2 2( ) ( )j t jx t e dt X e∞

− ω − ωτ

−∞− τ = ω∫

y, por tanto,

[ ]

( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

j

j

x t x t x X e d

x e d X X X

∞ωτ

−∞

∞ωτ

−∞

∗ = τ ω τ

= τ τ ω = ω ω

∫∫

F

Esto es,

( ) ( )1 2 1 2( ) ( ) x t x t X X∗ ↔ ω ω

Ejemplo 1.19. Considérese una señal real x(t) y sea

[ ] ( ) ( )( ) ( )X x t A jBω = = ω + ωF (1.66)

(a) Demostrar que x(t) puede expresarse como

( ) ( ) ( )p ix t x t x t= + (1.67)

donde xp(t) y xo(t) son las componentes par e impar de x(t), respectivamente.

(b) Demostrar que

( ) ( )( ) , ( ) p ix t A x t jB↔ ω ↔ ω (1.68)

(a) Sea

( ) ( ) ( )p ix t x t x t= +

Entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( )p i p ix t x t x t x t x t− = − + − = −

Despejando a xp(t) y xi(t) de estas dos últimas ecuaciones, obtenemos

[ ] [ ]1 1

( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )2 2p ix t x t x t x t x t x t= + − = − − (1.69)

(b) Ahora, si x(t) es real, entonces, por la Ec. (1.65) del Ejemplo 1.17, tenemos que

[ ] ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( )

*

x t X A jB

x t X X A jB

= ω = ω + ω

− = −ω = ω = ω − ω

F

F

Por tanto, concluimos que

( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) ( )

1 1( ) *

2 21 1

( ) *2 2

p

i

x t X X A

x t X X jB

= ω + ω = ω

= ω − ω = ω

F

F


34

La Ec. (1.68) muestra que la transformada de Fourier de una señal real par es una función real de ω y la transformada de una señal real impar es una función imaginaria de ω.

Ejemplo 1.20. Use los resultados del Ejemplo 1.19 para resolver de nuevo el Ejemplo 1.9.

De la Ec. (1.37) tenemos que

2 2 2 2

1( ) at a

e u t ja j a a

− ω↔ = −

+ ω + ω + ω

Por la Ec. (1.69), la componente par de ( )ate u t− es dada por

1 1 1( ) ( )

2 2 2a tat ate u t e u t e

−− + − =

Por tanto,

2 2

2 a t a

ea

−↔

+ ω

que es el mismo resultado obtenido en el Ejemplo 1.9 [Ec. (1.39)]. Ejemplo 1.21. Demuestre que si x(t) está limitada en banda, esto es,

( ) 00 para X ω = ω > ω

entonces sen

( ) ( ) si c

atx t x t a

t∗ = > ω

π

Del Ejemplo 1.14 tenemos que

( )1, sen

0, a

aatp

at

ω <↔ ω =

ω >π

Por el teorema de la convolución en el tiempo, Ec. (1.61),

( ) ( ) ( )sen

( ) si a c

atx t X p X a

t∗ ↔ ω ω = ω > ω

π

Por tanto, sen

( ) ( ) si c

atx t x t a

t∗ = > ω

π

Ejemplo 1.22. Si

( ) ( )1 1 2 2( ) y ( ) x t X x t X↔ ω ↔ ω

demostrar que

( ) ( )1 2 1 2.

1( ) ( )

2x t x t dt X X d

∞ ∞

−∞ −∞= ω −ω ω

π∫ ∫ (1.70)

Por el teorema de convolución en frecuencia, Ec. (1.63), sabemos que

[ ] ( )1 2 1 21

( ) ( ) ( )2

x t x t X X d∞

−∞= λ ω − λ λ

π ∫F

Esto es,

[ ] ( ) ( )1 2 1 2.

1( ) ( )

2j tx t x t e dt X X d

∞ ∞− ω

−∞ −∞= λ ω − λ λ

π∫ ∫


35

Tomando ω = 0, se obtiene

( ) ( )1 2 1 2.

1( ) ( )

2x t x t dt X X d

∞ ∞

−∞ −∞= λ −λ λ

π∫ ∫

Ahora se cambia la variable de integración y se obtiene

( ) ( )1 2 1 2.

1( ) ( )

2x t x t dt X X d

∞ ∞

−∞ −∞= ω −ω ω

π∫ ∫

Ejemplo 1.23. Demuestre el teorema de Parseval, Ec. (1.48), para una señal x(t) real.

Si x(t) es real, entonces por la Ec. (1.65) del Ejemplo 1.17, tenemos que

( ) ( )*X X−ω = ω

Entonces, haciendo x1(t) = x2(t) = x(t) en la Ec. (1.70) del Ejemplo 1.22, se obtiene

( ) ( )1 2 1 2.

1( ) ( )

2x t x t dt X X d

∞ ∞

−∞ −∞= ω −ω ω

π∫ ∫ (1.71)

[ ]22

2

1( ) ( ) ( ) ( )

21 1

( ) * ( ) ( )2 2

x t dt x t dt X X d

X X d X d

∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

∞ ∞

−∞ −∞

= = ω −ω ωπ

= ω ω ω = ω ωπ π

∫ ∫ ∫∫ ∫

1.5. TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SEÑALES DE POTENCIA Para hallar la transformada de Fourier de una señal periódica o de una señal de potencia, necesitamos introducir la función impulso unitario. Esta función, también conocida como la función delta de Dirac, se denota por ( )tδ y se representa gráficamente mediante una flecha vertical, como en la Fig. 1-10. En un sentido matemático estricto, la función impulso es un concepto bastante sofisticado; es un pulso de amplitud infinita, el ancho del pulso es cero y el área bajo el pulso es la unidad, concentrada en el punto donde su argumento es cero. Sin embargo, para las aplicaciones de interés es suficiente comprender sus propiedades formales y aplicarlas correctamente. En lo que sigue se presentarán estas propiedades, enfatizando no el rigor sino la facilidad operacional. En las aplicaciones prácticas de algunos modelos, con frecuencia encontramos discontinuidades en un señal x ( t). Esta señal no posee derivadas finitas en sus discontinuidades. No obstante, es deseable incluir la derivada de la señal en nuestras consideraciones. Es aquí donde entra el concepto de la función impulso unitario. A. Función Impulso

La función impulso unitario, también conocida como la función delta de Dirac, δ(t), no es una función ordinaria y se define en términos del proceso siguiente:

( ) ( ) (0)t t dt∞

−∞φ δ = φ∫ (1.72)

donde φ(t) es cualquier función regular continua en t = 0. La Ec. (1.72) y todas las expresiones subsiguientes también aplicarán al impulso en el dominio de la frecuencia δ(ω) al reemplazar t por ω.

Observe que la Ec. (1.72) es una expresión simbólica no debe considerarse como una integral ordinaria de Riemann. En este sentido, δ(t) con frecuencia se denomina una función generalizada y φ(t) se conoce como una función de prueba. Una clase diferencia de función de prueba definirá una función generalizada diferente. En forma similar, la función delta retardada, ( )0t tδ − , se define por


36

( ) ( )0 0( )t t t dt t∞

−∞φ δ − = φ∫ (1.73)

donde φ(t) es cualquier función regular continua en t = t0.

Algunas propiedades adicionales de δ(t) son

( ) ( ) ( )0 0 0( )x t t t x t t tδ − = δ − (1.74)

si x(t) es continua en t0. ( ) ( ) ( ) ( )0x t t x tδ = δ (1.75) si x(t) es continua en t0.

( )1

( ), 0at t aa

δ = δ ≠ (1.76)

( ) ( )t tδ − = δ (1.77)

( ) ( )0 0( )x t t t x t t∗δ − = − (1.78)

( ) ( ) ( )x t t x t∗δ = (1.79)

Observe que la Ec. (1.77) puede obtenerse tomando a = −1 en la Ec. (1.76). Las Ecs. (1.75) y (1.79) son los casos especiales de las Ecs. (1.74) y (1.78), respectivamente, para t0 = 0.

Una definición alterna de δ(t) la proporcionan las dos condiciones siguientes:

( )2

1

0 1 0 21, t

tt t dt t t tδ − = < <∫ (1.80)

( )0 00, t t t tδ − = ≠ (1.81)

Las condiciones (1.80) y (1.81) corresponden a la noción intuitiva de un impulso unitario como el límite de una función convencional escogida en forma adecuada, la cual tiene área unitaria en un ancho infinitamente pequeño. Por conveniencia, ( )tδ se muestra esquemáticamente en la Fig. 1-11(a).

Fig. 1-11 Función impulso unitario y su espectro

Ejemplo 1.24. Verificar la propiedad (1.74):

( ) ( ) ( )0 0 0( )x t t t x t t tδ − = δ −

La demostración se basará en la siguiente propiedad de equivalencia:

Sean g1(t) y g2(t) dos funciones generalizadas. Entonces la propiedad de equivalencia establece que 1 2( ) ( )g t g t= si y sólo si

1 2( ) ( ) ( ) ( )g t t dt g t t dt∞ ∞

−∞ −∞φ = φ∫ ∫ (1.82)

para todas las funciones de prueba φ(t).

Si x(t) es continua en t = t0, entonces

(a)

0 0 ω t

x(t)

δ(t) 1

( )X ω

(b)


37

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 0

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x t t t t dt t t x t t dt x t t

x t t t t dt x t t t t dt

∞ ∞

−∞ −∞

∞ ∞

−∞ −∞

δ − φ = δ − φ = φ

= δ − φ = δ − φ

∫ ∫∫ ∫

para toda φ(t). Por tanto, por la propiedad de equivalencia (1.82), concluimos que

( ) ( ) ( )0 0 0( )x t t t x t t tδ − = δ −

Ejemplo 1.25. Verificar la Ec. (1.78), es decir,

( ) ( )0 0( )x t t t x t t∗ δ − = −

De acuerdo con la propiedad conmutativa de la convolución y la definición de δ(t) de la Ec. (1.73), tenemos que

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )0

0 0 0

0

( ) ( )

t

x t t t t t x t t x t d

x t x t t

∞

−∞

τ=

∗ δ − = δ − ∗ = δ τ − − τ τ

= − τ = −

∫

B. Transformadas de Fourier de δδδδ(t) y de una Señal Constante Usando la Ec. (1.30) y la Ec. (1.72), la transformada de Fourier de δ(t) es dada por

[ ]( ) ( ) 1j tt t e dt∞

− ω

−∞δ = δ =∫F

Tenemos entonces el par de transformadas de Fourier para δ(t):

( ) 1tδ ↔ (1.83)

Esta relación expresa que el espectro de δ(t) se extiende uniformemente por todo el intervalo de frecuencias, como muestra la Fig. 1-12(b).

Si se aplica la propiedad de dualidad [Ec. (1.54)] a la Ec. (1.83) y observando que la función delta es una función par [Ec. (1.77)], obtenemos

( )1 2↔ πδ ω (1.84)

La Ec. (1.84) establece que el espectro de una señal constante (o señal de cd) [Fig. (1-2(a)] es una función delta ( )2πδ ω que ocurre en la frecuencia cero, como muestra la Fig. 1-12(b).

Fig. 1-12 Señal constante y su espectro C. Propiedad de Integración Si X(0) ≠ 0, entonces

1

( ) (0) ( ) ( )t

x d X Xj−∞

τ τ ↔ π δ ω + ωω∫ (1.85)

(a)

0 0 ω t

x(t)

2πδ(ω) 1

( )X ω

(b)


38

Ejemplo 1.26. Hallar la serie de Fourier compleja del tren de impulsos unitarios δT(t) mostrado en la Fig. 1-13(a) y definido por

( )( )T

n

t t nT∞

=−∞

δ = δ −∑ (1.86)

Sea

00

2( ) , jn t

T n

n

t c eT

∞ω

=−∞

πδ = ω =∑

De la Ec. (1.3), los coeficientes cn son

0 02 2

2 2

1 1 1( ) ( )

T Tjn t jn t

n TT T

c t e dt t e dtT T T

− ω − ω

− −= δ = δ =∫ ∫

Por tanto,

01

( ) jn tT

n

t eT

∞ω

=−∞

δ = ∑ (1.87)

Fig. 1-13 Tren de impulsos unitarios y su espectro de magnitud Ejemplo 1.27. Hallar la transformada de Fourier de las señales siguientes:

(a) 0( ) j tx t e ω= (b) 0( ) j tx t e− ω= (c) 0( ) cosx t t= ω

(a) Aplicando la propiedad de desplazamiento de frecuencia, Ec. (1.51), a la Ec. (1.84), obtenemos

( )00 2j te ω ↔ πδ ω − ω (1.88)

(b) De la Ec. (1.74) se deduce que

( )00 2j te− ω ↔ πδ ω + ω (1.89)

(c) De la fórmula de Euler tenemos que

( ) ( )0 0 0cos tω ↔ πδ ω − ω + πδ ω + ω (1.90)

Ejemplo 1.28. Hallar la transformada de Fourier de una señal periódica x(t) con periodo T,

Expresamos x(t) como

00

2( ) , jn t

n

n

x t c eT

∞ω

=−∞

π= ω =∑

Tomando la transformada de Fourier de ambos lados y usando la Ec. (1.88), obtenemos

( ) ( )02 n

n

X c∞

=−∞

ω = π δ ω − ω∑ (1.91)


39

Observe que la transformada de Fourier de una señal periódica consiste de una secuencia de impulsos equidistantes ubicados en las frecuencias armónicas de la señal. Ejemplo 1.29. Hallar la transformada de Fourier del tren periódico de impulsos unitarios ( )T tδ [Fig. 1-14(a)]:

( )( )T

n

t t nT∞

=−∞

δ = δ −∑

Fig. 1-14 Tren de impulsos unitarios y su transformada de Fourier

De la Ec. (1.86) del Ejemplo 1.26, la serie de Fourier compleja de ( )T tδ es dada por

00

1 2( ) , jn t

T

n

t eT T

∞ω

=−∞

πδ = ω =∑

Usando ahora la Ec. (1.91) del Ejemplo 1.28,

[ ] ( ) ( )00 0 0 0

2( ) ( )T

n n

t n nT

∞ ∞

ω

=−∞ =−∞

πδ = δ ω − ω = ω δ ω − ω = ω δ ω∑ ∑F

o

( ) ( )0 0n n

t nT n∞ ∞

=−∞ =−∞

δ − = ω δ ω − ω

∑ ∑F (1.92)

Por tanto, la transformada de Fourier de un tren de impulsos unitarios es también un tren de impulsos similar [véase la Fig. 1-14(b)]. Ejemplo 1.30. Hallar la transformada de Fourier de la función escalón unitario u(t),

Como muestra la Fig. 1-15, u(t) puede expresarse como

1 1( ) sgn( )

2 2u t t= +

Observe que 12 es la componente par de u(t) y 1

2 sgn( )t es la componente impar de u(t). Por tanto,

[ ] [ ] ( )1 1

( ) 1 sgn2 2

u t t= + F F F

que, al usar las Ecs. (1.84) y (1.61), se convierte en

[ ] ( )1

( )u tj

= πδ ω +ω

F (1.93)


40

Fig. 1-15 Función escalón unitario y sus componentes par e impar Ejemplo 1.31. Demostrar que

( )( ) ( )t

x t u t x d−∞

∗ = τ τ∫

y halle su transformada de Fourier.

Por la definición (1.61) de la convolución,

( )( ) ( ) ( ) ( )t

x t u t x u t d x d∞

−∞ −∞∗ = τ − τ τ = τ τ∫ ∫

puesto que

( )1, 0,

tu t

t

τ <− τ =

τ >

Ahora, por el teorema de la convolución en el tiempo (1.62) y la Ec. (1.79), obtenemos

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1( )

1 1 0

t

x d Xj

X X X Xj j

−∞

τ τ = ω πδ ω + ω

= π ω δ ω + ω = π δ ω + ωω ω

∫F

puesto que ( ) ( ) ( ) ( )0X Xω δ ω = δ ω por la Ec. (1.75). Ejemplo 1.32. Use el teorema de la convolución en frecuencia para deducir el teorema de modulación, Ec. (1.64) (Véase el Ejemplo 1.15).

De la Ec. (1.90) tenemos que

( ) ( )0 0 0cos tω ↔ πδ ω − ω + πδ ω + ω

Por el teorema de la convolución en frecuencia, Ec. (1.63),

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 01 1 1

( )cos 2 2 2

x t t X X X ω ↔ ω ∗ πδ ω − ω + πδ ω + ω = ω − ω + ω + ω π

La última igualdad se deduce de la Ec. (1.78). Ejemplo 1.33. Sea x(t) una señal periódica con periodo fundamental T0 y sea xI(t) el segmento de x(t) entre

0 02 2T t T− < < ; esto es,

0 0( ), 2 2( )

0, otros valores de T

x t T t Tx t

t

− < <=

Demostrar que

( )00

1n Ic X n

T= ω (1.94)

t 0 0 0 t t

u(t)

1

sgn t

12

12

12

− = +


41

donde los cn son los coeficientes de Fourier de x(t) y XI(ω) es la transformada de Fourier de xI(t).

De la definición en la Ec. (1.30),

( )0

0

2

2( ) ( )

Tj t j t

I IT

X x e dt x e dt∞

− ω − ω

−∞ −ω = ω = ω∫ ∫

Puesto que 0

0

0

2

20

1( )

Tjn t

nT

c x t e dtT

− ω

−= ∫

se deduce que

( )00

1n Ic X n

T= ω

Ejemplo 1.34. Usando la Ec. (1.80), haga de nuevo el Ejemplo 1.2.

De la Fig. 1-2 vemos que xI(t) = pa(t) de la Fig. 1-7(a). Por la Ec. (1.41), tenemos que

2 sen( )I

aX

ωω =

ω

Por tanto, por la Ec. (1.94) obtenemos

( ) 0 00

0 0 0

2 sen sen1n I

n a n ac X n

T n T n

ω ω= ω = =

ω π

que es la Ec. (1.20).


42

Tabla de Transformadas de Fourier


43

Problemas Adicionales

1.1 Considere una onda diente de sierra x(t) como la mostrada en la Fig. 1-16. Halle y dibuje los espectros de magnitud y fase de x(t).

Fig. 1-16

Resp. ( ))1 2nc nπ , 12n nθ = π + π , n n−θ = −θ

1.2 Hallar el periodo fundamental T0 y los coeficientes de Fourier cn de la señal (a) 1 13 4( ) cos senx t t t= + ; (b)

4( ) cosx t t= .

Resp.

(a) 1 1 1 10 4 3 3 42 2 2 224 , , , ,

j jT c c c c− −= π = = − = =

(b) 3 1 10 0 2 2 4 48 4 16, , , T c c c c c− −= π = = = = =

1.3 Sean los cni los coeficientes de Fourier de una señal periódica x(t). Halle los coeficientes de Fourier dn de la señal x(−t) en términos de cn.

Resp. n nd c−=

1.4 Sea x(t) una señal periódica con periodo fundamental T0. Sea 0( ) ( )cosy t x t t= ω . Exprese los coeficientes de Fourier dn de y(t) en términos de los coeficientes de Fourier cn de x(t).

Resp. ( )11 12n n nd c c− += +

1.5 Demuestre que si una señal periódica x(t) es par, entonces sus coeficientes de Fourier son reales y si x(t) es impar, entonces sus coeficientes de Fourier son imaginarios.

Resp. Use la identidad de Euler 00 0cos senjn te n t j n t− ω = ω − ω en la Ec. (1.3).

1.6 La señal en la Fig. 1-17 se crea cuando una onda de voltaje o de corriente en seno es rectificada por un circuito con dos diodos, un proceso conocido como rectificación de onda completa. Determine la expansión en serie de Fourier exponencial y serie trigonométrica para la señal rectificada de onda completa.

Figura 1-17

1.7 (a) Demuestre que 2( ) , , ( 2 ) ( )x t t t x t x t= − π < ≤ π + π = tiene la serie de Fourier

2 1 1( ) 4 cos cos 2 cos 3

3 4 9x t t t t

π = − − + − +

⋯

(b) Haga t = 0 para obtener la relación

ttx sen)( =

t 0 π 2π −π −2π

, , , , , ,


44

1 2

21

( 1)

12

n

nn

∞ +

=

− π=∑

1.8 Verifique el teorema de Parseval para la serie de Fourier de la Ec. (1.27).

Sugerencia: Tome x1(t) = x2(t) y x2(t) = x*(t) en la fórmula de Parseval, Ec. (1.50), Ejemplo 1.7.

1.9 Halle la transformada de Fourier de ( ) ( ), 0atx t te u t a−= > .

Resp. ( )21 a j+ ω

1.10 La convolución periódica o circular es un caso especial de la convolución general. Para señales periódicas con el mismo período T, la convolución periódica se define mediante la integral

1( ) ( ) ( )

T

z t x y t dT

= τ − τ τ∫

(a) Demuestre que z(t) es periódica.

(b) Demuestre que la convolución periódica es asociativa y conmutativa.

1.11 Demuestre el teorema de la convolución en frecuencia, Ec. (1.63), esto es,

( ) ( )1 2 1 21

( ) ( ) 2

x t x t X X↔ ω ∗ ωπ

Sugerencia: Aplique la propiedad de dualidad (1.54) al teorema de convolución en el tiempo (1.62).

1.12 Demuestre que si

( )( ) x t X↔ ω

entonces

( ) ( ) ( )( )

( ) n

nn

n

d x tx t j X

dt= ↔ ω ω

Sugerencia: Repita el teorema de diferenciación en el tiempo (1.57).

1.13 Halle la transformada de Fourier de 0sen tω .

Resp. ( ) ( )0 0j j− πδ ω − ω + πδ ω + ω

1.14 Halle la transformada de Fourier de ( )0t tδ − .

Resp. 0j te− ω

1.15 Usando el teorema de convolución, determine la transformada de Fourier inversa de

2

1( )

( )X

a jω =

+ ω

Determine la transformada de Fourier de las señales siguientes:

(a) x(t) = x(−t)

(b) ( ) ( ), 0atx t e u t a= − >

1.16 Determine la transformada de Fourier del pulso gaussiano


45

2

( ) , 0atx t e a−= >

1.17 Halle la transformada de Fourier inversa de

(a) 1

( )( )N

Xa j

ω =+ ω

(b) 2

1( )

2 3X

jω =

− ω + ω

1.18 Halle la transformada de Fourier de las señales siguientes, usando la propiedad de multiplicación:

(a) 0( ) cos ( )x t t u t= ω (b) 0( ) sen ( )x t t u t= ω

(c) 0( ) cos ( ), 0atx t e t u t a−= ω >

(d) 0( ) sen ( ), 0atx t e t u t a−= ω >

1.19 Use el principio de dualidad para calcular

a) 1

( )tjt

πδ + F

b) 1

t ja

− F

c) sgn( )tF

1.20 Determine la transformada de Fourier de la función triangular mostrada

a) usando el teorema de diferenciación de la transformada de Fourier,

b) multiplicando las funciones espectrales de pulsos rectangulares escogidos adecuadamente, cuya convolución da la función triangular.

2T t

x(t)

1

Capítulo 2

TRANSMISIÓN DE SEÑALES Y FILTRADO

2.1 INTRODUCCIÓN La transmisión de señales es un proceso mediante el cual una señal de mensaje (o señal portadora de información) es transmitida por un canal de comunicación. El filtrado de señales altera a propósito el contenido espectral de la señal de manera que se logre una mejor transmisión y recepción. Muchos canales de comunicación, como también los filtros, pueden ser modelados como un sistema lineal e invariable en el tiempo. En este capítulo repasamos los fundamentos de un sistema lineal e invariante en el tiempo en el dominio de la frecuencia. 2.2 RESPUESTA AL IMPULSO Y RESPUESTA EN FRECUENCIA A. Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo: Un sistema es un modelo matemático de un proceso físico que relaciona la señal de entrada (señal fuente o de excitación) con la señal de salida (señal de respuesta.

Sean x(t) y y(t) las señales de entrada y salida, respectivamente, de un sistema. Entonces el sistema se considera como una transformación de x(t) en y(t). Simbólicamente, esto se expresa como

[ ]( ) ( )y t x t= T (2.1)

donde T es el operador que produce la salida y(t) a partir de la entrada x(t), como ilustra la Fig. 2-1.

Si el sistema satisface las dos condiciones siguientes, entonces se dice que el sistema es un sistema lineal:

[ ] [ ] [ ]1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t x t x t x t y t y t+ = + = +T T T (2.2)

para todas las señales de entrada x1(t) y x2(t), y

[ ] [ ]( ) ( ) ( )ax t a x t ay t= =T T (2.3)

para todas las señales de entrada x(t) y cualquier escalar a.

La Condición (2.2) es la propiedad de aditividad y la condición (2.3) es la propiedad de homogeneidad.

SistemaT

Fig. 2-1 Representación de un sistema como operador

Si el sistema satisface la siguiente condición, entonces el sistema se denomina un sistema invariante o fijo en el tiempo:


46

( ) ( )0 0x t t y t t− = − T (2.4)

donde t0 es cualquier constante real. La Ec. (2.4) indica que la entrada retardada da una salida retardada.

Si el sistema es lineal e invariante en el tiempo, entonces el sistema se conoce como un sistema lineal e invariante en el tiempo (LIT). Ejemplo 2.1. Para cada uno de los sistemas siguientes, determine si el sistema es lineal:

(a) [ ( )] ( )cos cx t x t t= ωT

(b) [ ][ ( )] ( ) cos cx t A x t t= + ωT

(a) 1 2 1 2

1 2

1 2

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]cos ( )cos ( )cos [ ( )] [ ( )]

c

c c

x t x t x t x t t

x t t x t t

x t x t

+ = + ω

= ω + ω

= +

T

T T

[ ] [ ] [ ]( ) ( ) cos ( )cx t x t t x tα = α ω = αT T

Por tanto, el sistema representado por (a) es lineal.

(b)

[ ] [ ][ ]

1 2 1 2

2 2

1 2

1 2

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]cos [ ( )] [ ( )] ( ) cos ( ) cos

2 ( ) ( ) cos

c

c c

c

x t x t A x t x t t

x t x t

A x t t A x t t

A x t x t t

+ = + + ω

≠ +

= + ω + ω

= + + ω

T

T T

Por tanto, el sistema representado por (b) no es lineal. El sistema tampoco satisface la condición de homogeneidad. Ejemplo 2.2. Considere un sistema con entrada x(t) y salida y(t) dados por

( )( ) ( ) ( ) ( )T

n

y t x t t x t t nT∞

=−∞

= δ = δ −∑

(a) ¿Es este sistema lineal?

(b) ¿Es este sistema invariable en el tiempo? (a) Sea 1 2( ) ( ) ( )x t x t x t= + . Entonces,

[ ]1 2 1 2

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

T Ty t x t x t x t t x t t

y t y t

= + = δ + δ

= +

También, sea 1( ) ( )x t x t= α . Entonces,

[ ] [ ]1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T Ty t x t t x t t y t= α δ = α δ = α

Por tanto, el sistema es lineal.

(b) Sea

12

( ) cosx t tT

π =

Entonces

( )

( ) ( )

1( ) ( )

2 cos

n

n n

y t x nT t nT

nT t nT t nTT

∞

=−∞

∞ ∞

=−∞ =−∞

= δ −

π = δ − = δ −

∑

∑ ∑


47

Ahora, supóngase que

2 12

( ) sen4T

x t x t tT

π = − =

Entonces

( )2 12

( ) sen 04

n

Ty t nT t nT y t

T

∞

=−∞

π = δ − = ≠ −

∑

Por tanto, el sistema no es invariable en el tiempo.

Este sistema se conoce como un muestreador ideal. B. Respuesta al Impulso La respuesta al impulso h(t) de un sistema LIT se define como la respuesta del sistema cuando la entrada es δ(t), es decir, [ ]( ) ( )h t t= δT (2.5)

La función h(t) es arbitraria y no tiene que ser cero para t < 0. Si

( ) 0 para 0h t t= < (2.6) entonces el sistema se denomina causal. C. Respuesta a una Entrada Arbitraria La respuesta y(t) de un sistema LIT a una entrada arbitraria x(t) puede expresarse como la convolución de x(t) y la respuesta al impulso h(t) del sistema, esto es,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h t x h t d∞

−∞= ∗ = τ − τ τ∫ (2.7)

Puesto que la convolución es conmutativa, la salida también se puede expresar como

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t h t x t h x t d∞

−∞= ∗ = τ − τ τ∫ (2.8)

Ejemplo 2.3. Deduzca la Ec. (2.7).

Si el sistema no varía en el tiempo, entonces, por la Ec. (2.4) tenemos que

( )[ ] ( )t h tδ − τ = − τT

Ahora, a partir de la definición de ( )0t tδ − , x(t) se puede expresar como

( ) ( )( )x t x t d∞

−∞= τ δ − τ τ∫

Ahora, como el operador T es lineal, obtenemos

[ ] ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )y t x t x t t d x h t d∞ ∞

−∞ −∞= = δ − τ τ = τ − τ τ∫ ∫T T

Ejemplo 2.4. La respuesta de un sistema LIT a una función escalón unitario u(t) se denomina la respuesta al escalón unitario del sistema y se denota por a(t). Demuestre que a(t) puede obtenerse como

( )( )t

a t h d−∞

= τ τ∫ (2.9)

y si el sistema es causal, entonces


48

( )0

( )t

a t h d= τ τ∫ (2.10)

Por la Ec. (2.8),

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a t h t u t h u t d∞

−∞= ∗ = τ − τ τ∫

Como 1,

( )0,

tu t

t

τ <− τ =

τ >

tenemos que

( ) ( )t

a t h d−∞

= τ τ∫

Para un sistema causal, como h(τ) = 0 para τ <0, entonces

0( ) ( )

t

a t h d= τ τ∫

D. Respuesta de Frecuencia Si se aplica el teorema de la convolución en el tiempo de la transformada de Fourier a la Ec. (2.7), obtenemos que ( ) ( ) ( )Y X Hω = ω ω (2.11)

donde [ ]( ) ( )X x tω = F , [ ]( ) ( )Y y tω = F y [ ]( ) ( )H h tω = F . A ( )H ω se le refiere como la respuesta de frecuencia (o

función de transferencia) del sistema. Por tanto,

[ ]( )

( ) ( )( )

YH h t

X

ωω = =

ωF (2.12)

Las relaciones representadas por las Ecs. (2.5), (2.7) y (2.11) se ilustran en la Fig. 2-2.

SistemaLIT

Fig. 2-2 Relaciones entre las entradas y salidas en un sistema LIT

Si se toma la transformada de Fourier inversa de la Ec. (2.11), la salida se convierte en

1

( ) ( ) ( )2

j ty t X H e d∞

ω

−∞= ω ω ω

π ∫ (2.13)

Vemos entonces que el sistema LIT puede ser caracterizado completamente por bien sea la respuesta al impulso h(t) o la respuesta de frecuencia H(ω) . Ejemplo 2.5. Supóngase que un sistema LIT con respuesta al impulso h(t) es representado por un operador T. Si

[ ]( ) ( )x t x t= λT (2.14)


49

entonces λ se denomina el valor propio de T y x(t) se llama la función propia asociada de T. Demuestre que la

respuesta de frecuencia [ ]( ) ( )H x tω = F es el valor propio del sistema LIT y j te ω es la función propia asociada.

Si se usa la Ec. (2.8), se obtiene

[ ] ( )( ) ( ) ( )j t j t j j t j te h t e d h e d e H e∞ ∞

ω ω −τ − ωτ ω ω

−∞ −∞

= τ = τ τ = ω

∫ ∫F

Vemos entonces que H(ω) es el valor propio del sistema LIT y j te ω es la función propia asociada. Ejemplo 2.6. Considérese la red RC en la Fig. 2-3(a). Determine la respuesta de frecuencia H(ω) y la respuesta al impulso h(t) de la red RC.

(a) Red RC (b) Respuesta al impulso de la red RC

Fig. 2-3

Usando el principio del divisor de voltaje, se obtiene la respuesta de frecuencia H(ω) por inspección:

( )

( )

1 1 1( ) ,

1 1

j CH

R j C j RC j RC

ω αω = = = α =

+ ω ω + ω + α (2.15)

cuya transformada inversa es

( )1( ) ( ) ( )t RCth t e u t e u t

RC−−α= α = (2.16)

la cual se dibuja en la Fig. 2.3(b). Ejemplo 2.7. Considere el circuito RC sencillo en la Fig. 2-3(a). Determine la respuesta al escalón unitario a(t).

De la Ec. (2.16) tenemos que ( )1

( ) ( )t RCh t e u tRC

−=

Entonces, por la Ec. (2.10), la respuesta al escalón unitario es

( ) [ ]0 0

1( ) ( ) 1 )

t tRC t RCa t h d e d e u t

RC−τ −= τ τ = τ = −∫ ∫ ( (2.17)

Ejemplo 2.8. Resuelva de nuevo el Ejemplo 2.7 con la respuesta de frecuencia y la técnica de la inversión de Fourier.

Ahora x(t) = u(t). Entonces, 1

( ) ( )Xj

ω = πδ ω +ω

Entonces, por la Ec. (2.32), 1

( ) , Hj RC

αω = α =

ω + α


50

Por tanto, por la Ec. (2.11) se obtiene

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y X H

j j j j

α ω = ω ω = πδ ω + = πδ ω + − ω ω + α ω ω + α

En el último paso se usó la propiedad de la función δ relacionada con su producto por una función y la técnica de expansión en fracciones parciales. Tomando la transformada de Fourier inversa de Y(ω), obtenemos

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ), 1t ty t a t u t e u t e u t RC−α −α= = − = − α = 2.3 CARACTERÍSTICAS DE FILTRADO DE LOS SISTEMAS LIT La respuesta de frecuencia H(ω) es una propiedad característica de un sistema LIT. En general, es una cantidad compleja, esto es

( )( ) ( ) hjH H e θ ωω = ω (2.18)

En el caso de un sistema LIT con una respuesta al impulso h(t) de valores reales, H(ω) exhibe simetría conjugada, es decir, ( ) ( )*H H−ω = ω (2.19) lo que significa que

( ) ( ) , ( ) ( )hH H−ω = ω θ −ω = −θ ω (2.20)

Es decir, la amplitud ( )H ω es una función par de la frecuencia, en tanto que la fase θh(ω= es una función impar

de la frecuencia. Sean ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( )y x

j jY Y e X X eθ ω θ ωω = ω ω = ω

Entonces, reescribiendo la Ec. (2.11), se obtiene

[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

y x h

x h

j j j

j

Y e X e H e

X H e

θ ω θ ω θ ω

θ ω +θ ω

ω = ω ω

= ω ω (2.21)

Por tanto, tenemos que ( ) ( ) ( )Y X Hω = ω ω (2.22)

( ) ( ) ( )y x hθ ω = θ ω + θ ω (2.23)

Observe que el espectro de amplitud de la señal de salida la da el producto del espectro de amplitud de la señal de entrada y la amplitud de la respuesta de frecuencia. El espectro de fase de la salida lo da la suma del espectro de fase de la entrada y la fase de la respuesta de frecuencia. Por tanto, un sistema LIT actúa como un filtro de la señal de entrada. Aquí la palabra filtro se usa para denotar un sistema que exhibe algún tipo de comportamiento selectivo de la frecuencia. 2.4 TRANSMISIÓN DE SEÑALES POR SISTEMAS LIT A. Transmisión Sin Distorsión

La transmisión de una señal de entrada x(t) a través de un sistema la transforma en la señal de salida y(t). La Ec. (2.11) muestra la naturaleza de esta modificación. En varias aplicaciones, como en la amplificación de la señal o en la transmisión de mensajes, se requiere que la forma de onda de la salida sea una réplica de forma de onda de la entrada. Por tanto, es de interés práctico determinar las características de un sistema que permite una señal pase sin distorsión. Para transmisión sin distorsión a través de un sistema, se requiere que la forma exacta de la señal de entrada sea reproducida en la salida. Por tanto, si x(t) es la señal de entrada y la salida requerida y(t) satisfacen la condición

( )( ) dy t Kx t t= − (2.24)


51

donde td es el retardo (temporal) y K es una constante de ganancia. Esto se ilustra en la Fig. 2-4(a) y (b). Al tomar la transformada de Fourier de ambos lados de la Ec. (2.24), obtenemos

( ) ( )dj tY Ke X− ωω = ω (2.25)

De la Ec. (2.11), vemos que una transmisión sin distorsión, el sistema debe tener una función de transferencia

( )( ) ( ) h dj j tH H e Keθ ω − ωω = ω = (2.26)

Esto es, la amplitud de H(ω) debe ser constante en toda la banda de frecuencias y la fase de H(ω) debe ser lineal con la frecuencia. Esto se ilustra en la Fig. 2.4(c) y (d).

(a) Señal de entrada

(b) Respuesta al impulso de la red RC

( ) ( ) versus c H ω ω

(b) Señal de salida

(d) θh(ω) versus ω

Pendiente = −td

Fig. 2-4 Transmisión sin distorsión La condición dada por la Ec. (2.26) es bastante exigente y, en el mejor de los casos, los canales reales sólo pueden satisfacer esta condición aproximadamente. Por ello, siempre ocurrirá algo de distorsión en la transmisión de señales aunque ella se puede minimizar mediante un diseño apropiado. Un enfoque conveniente para minimizar la distorsión de una señal es identificar diferentes tipos de distorsión e intentar minimizar sus efectos dañinos por separado.

Los tres tipos comunes de distorsión encontrados en un canal son:

1. Distorsión de amplitud debida a |H(f)| ≠ K.

2. Distorsión de fase (o retardo) debida a que

ángulo ( ) ( es un entero 0)dH t m mω ≠ −ω ± π >

3. Distorsión no lineal debida a elementos no lineales presentes en el canal. B. Distorsión de Amplitud y Distorsión de Fase

Cuando el espectro de amplitud ( )H ω del sistema no es constante en la banda de frecuencias de interés, las

componentes de frecuencia de la señal de entrada son transmitidas con diferentes cantidades de ganancia o atenuación. El efecto se denomina distorsión de amplitud. Las formas más comunes de la distorsión de amplitud son la atenuación excesiva o el realce de las bajas frecuencias en el espectro de la señal. Resultados


52

experimentales indican que si |Hc(f)| es constante hasta dentro de ±1 dB en la banda del mensaje, entonces la distorsión de amplitud será despreciable. Más allá de estas observaciones cualitativas, no se puede decir mucho sobre la distorsión de amplitud sin un análisis más detallado.

Cuando el espectro de fase ( )hθ ω del sistema no es lineal con la frecuencia, la señal de salida tiene una forma de onda diferente de la de la señal de entrada debido a los diferentes retardos al pasar por el sistema para diferentes componentes de frecuencia de la señal de entrada. Esta forma de distorsión se conoce como distorsión

de fase. una componente espectral de la entrada con frecuencia ω sufre un retardo td(ω),

ángulo de ( )

( )d

Ht

ωω = −

ω (2.27)

El lector puede verificar que un ángulo de ( ) dH t mω = − ω ± π resultará en una respuesta ( )( ) dy t x t t= ± − , es

decir, no se produce ninguna distorsión. Cualquier otra respuesta de fase, incluyendo un desplazamiento constante de fase θ, mθ ≠ ± π , producirá distorsión.

La distorsión por retardo es un problema crítico en la transmisión de pulsos (datos). No obstante, el oído humano es sorprendentemente insensible a esta distorsión y por tanto la distorsión por retardo no es preocupante en la transmisión de audio. 2.5 FILTROS A. Filtros Ideales

Por definición, un filtro ideal tiene las características de transmisión sin distorsión en una o más bandas de frecuencias especificadas y tiene respuesta cero en todas las demás frecuencias.

El filtro de pasabanda ideal (BPF, por sus siglas en inglés) se define por

1 2BPF

, ( )

0, otros valores de

dj tc ce

H− ω ω ≤ ω ≤ ω

ω = ω

(2.28)

Los espectros de amplitud y fase de HBPF(ω) se muestran en la Fig. 2-5. El BPF ideal pasa todas las componentes de la señal de entrada con frecuencias entre

1cω y 2cω sin distorsión y rechaza todas las otras componentes de la

señal. Los parámetros 1cω y

2cω son las frecuencias de corte inferior y superior, respectivamente.

Fig. 2-5 Respuesta de frecuencia de un BPF ideal

Un filtro ideal de pasabajas (LPF, por sus siglas en inglés) lo define la Ec. (2.28) con 1

0cω = . Este filtro tiene una

fase lineal de pendiente −td, lo que resulta en un retarde de td segundos para todas sus componentes en la entrada con frecuencias inferiores a

2cω rad/s. En consecuencia, si la entrada es una señal x(t) limitada en banda

a 2cω rad/s, la salida y(t) es x(t) retardada por td, esto es,

( )( ) dy t x t t= −


53

La señal x(t) es transmitida por este sistema sin distorsión pero con un retardo de td.

Un filtro de pasa altas ideal (HPF, por sus siglas en inglés) se define por la Ec. (2.28) con 1

0cω > y 2cω = ∞ . Un

filtro de rechazo de banda (BSF), por sus siglas en inglés) o filtro de ranura se define por

1 20,

( ), otros valores de d

c cBSF j t

He− ω

ω ≤ ω ≤ ωω =

ω (2.29)

B. Filtros Causales

Observe que todos los filtros ideales analizados en la sección anterior son no causales puesto que ( ) 0h t ≠ para 0t < . No es posible construir filtros ideales. Como muestra la Ec. (2.6), para un filtro causal (o filtro físicamente

realizable), su respuesta al impulso h(t) debe satisfacer la condición

( ) 0 para 0h t t= <

C. Ancho de Banda del Filtro

El ancho de banda Wb de un filtro ideal de pasabajas es igual a su frecuencia de corte, esto es, WB = ωc [Fig. 2-6( )a ]. El ancho de banda de un filtro ideal de pasa banda es

2 1B c cW = ω − ω (Fig. 2-6). El punto medio

( )1 2

10 2 c cω = ω + ω es la frecuencia central del filtro. Un filtro de pasabanda se denomina de banda angosta si

0BW ω≪ . No se define un ancho de banda para un filtro de pasa altas o de rechazo de banda.

Para filtros no ideales o prácticos, una definición común del ancho de banda del filtro (o sistema) es el ancho de banda de 3 dB, W3 dB. En el caso de un filtro de pasabajas, W3 dB se define como la frecuencia positiva en la

cual el espectro de amplitud ( )H ω cae a un valor igual a (0) 2H , como se ilustra en la Fig. 2-6(a). En el

caso de un filtro de pasabanda, W3 dB se define como la diferencia entre las frecuencias en las cuales ( )H ω cae a

un valor igual a 1 2 veces el valor pico 0( )H ω en la frecuencia media del filtro ω0 (llamada la frecuencia de

media banda), como se ilustra en la Fig. 2-7(b). Esta definición es algo arbitraria y puede volverse ambigua y no única con respuestas de frecuencia que tienen múltiples picos, pero ella es un criterio aceptado ampliamente de medir el ancho de banda de un sistema. Observe que cada una de las definiciones precedentes del ancho de banda es válida a lo largo del eje positivo de frecuencia solamente y siempre define únicamente el ancho de banda de frecuencias positivas o unilateral.

Fig. 2-6 Ancho de banda del filtro Ejemplo 2.9. Demostrar que la red RC del Ejemplo 2.6 [Fig. 2-3(a) es un filtro de pasabajas. Determine también su ancho de banda de 3 dB W3 dB.

En el Problema 2.6 se encontró que la respuesta de frecuencia H(ω) es dada por


54

0

1 1( )

1 1H

j RC jω = =

+ ω + ω ω

donde ( )0 1 RCω = . Si se escribe ( )( ) ( ) hjH H e θ ωω = ω

se tiene que

( )

1

2 00

1( ) y ( ) tan

1hH − ω

ω = θ ω = −ω+ ω ω

El espectro de amplitud ( )H ω y el espectro de fase ( )hθ ω se grafican en la Fig. 2-7. De esta figura vemos que la

red RC de la Fig. 2-7(a) es un filtro de pasabajas. La amplitud y la respuesta de fase se muestran en la Fig. 2-6. Para ω << ω0, la respuesta de amplitud es prácticamente constante y el desplazamiento de fase es casi lineal. La linealidad en la fase resulta en una característica de un retardo de tiempo constante. Por tanto, el filtro puede transmitir señales de baja frecuencia con una distorsión despreciable.

Cuando ( )0 1 RCω = ω = , ( ) 1 2H ω = . Por tanto,

3 dB 01

WRC

= ω =

Fig. 2-7

Ejemplo 2.10. El tiempo de elevación tr del filtro RC de pasabajas de la Fig. 2-3(a) se define como el tiempo requerido para que la respuesta a un escalón unitario pase de 10% a 90% de su valor final. Demostrar que

3 dB

0.35rt

f=

donde ( ) ( )3 dBW 3 dB 2 1 2f W RC= π = π es el ancho de banda de 3 dB (en hertz) del filtro.

De la Ec. (2.17) del Ejemplo 2.7, la respuesta al escalón unitario del filtro RC de pasabajas determinada fue

( )( )( ) 1 ( )t RCa t e u t−= −

la cual se grafica en la Fig. 2-8. Por definición del tiempo de elevación,

2 1rt t t= − donde


55

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

1 1

2 2

1

2

1 0.1 0.9

1 0.9 0.1

t RC t RC

t RC t RC

a t e e

a t e e

− −

− −

= − = → =

= − = → =

Dividiendo la primera ecuación por la segunda en el lado derecho, obtenemos

( ) ( )2 1 9t t RCe

−=

y

2 13 dB 3 dB

2.197 0.35ln 9 2.197

2rt t t RC RCf f

= − = = = =π

Fig. 2-8

Ejemplo 2.11. Demuestre que la red RL mostrada en la Fig. 2-9(a) es un filtro de pasa altas.

(a) Red RL (b) Magnitud de la respuesta de frecuencia de la red RL

ω

Fig. 2-9

En una forma semejante al Ejemplo 2.6, se puede obtener la respuesta de frecuencia H(ω) por inspección:

( )( )

( )( )

00

0

( ) , 1 1

j L R jj L RH

R j L j L R j L

ω ω ωωω = = = ω =

+ ω + ω + ω ω (2.35)

La magnitud de H(ω) se grafica en la Fig. 2-10(b). Se ve que la red RL de la Fig. 2-9(a) es un filtro de pasa altas. Ejemplo 2.12. Determine la respuesta al impulso h(t) del LPF ideal con frecuencia de corte ωc.

La respuesta de frecuencia de un LPF ideal con frecuencia de corte ωc es dada por

LPF

para ( )

0 otros valores de

dj tce

H− ω ω ≤ ω

ω = ω

(2.30)


56

La amplitud y la fase de HLPF(ω) se muestran en la Fig. 2-10(a). La respuesta al impulso del LPF ideal puede hallarse tomando la transformada de Fourier inversa de la Ec. (2.30), lo cual produce

( )

( )LPFsen

( ) c d

d

t th t

t t

ω −=

π − (2.31)

La respuesta al impulso hLPF(t) se muestra en la Fig. 2-10(b). Recuerde que h(t) es la respuesta del sistema al impulso unitario δ(t), el cual se aplica en t = 0. Observe en la figura un hecho curioso: hLPF(t) ≠ 0 para t < 0. es decir, la respuesta comienza antes de que se aplica la entrada.. Claramente, el LPF ideal no es un sistema causal y por tanto no es físicamente realizable.

HLPF(ω)

ωωc−ωc 0

ωωc−ωc 0

1

θh(ω)

(a)

2

c

π

ω

hLPF

td t0

cω

π

(b)

Fig. 2-10 Respuesta de frecuencia y respuesta al impulso de un LPF ideal

Ejemplo 2.13. Considere el sistema mostrado en la Fig. 2-11(a). Halle la respuesta al impulso h(t) y su respuesta de frecuencia H(ω).

De la Fig. 2-11(a) podemos escribir la relación entre la entrada x(t) y la salida y(t) como

( ) ( ) ( )y t x t x t T= − −

Retardo T

Fig. 2-11


57

Entonces, por la definición (2.5) obtenemos

( ) ( ) ( )h t h t h t T= − −

y la transformada de Fourier de esta relación es

( ) ( )2 2 2 2( ) 1 2 sen2

j T j T j T j T j TTH e e e e e− ω − ω ω − ω − ω +πω

ω = − = − =

La magnitud de H(ω) se muestra en la Fig. 2-11(b). El sistema se conoce como un filtro peine. Ejemplo 2.14. Una transmisión de trayectoria múltiple aparece cuando una señal transmitida llega al receptor pos dos o más trayectorias con retardos diferentes. En la Fig. 2-12(a) se ilustra un modelo sencillo para un canal de comunicación con multitrayectoria.

Retardo T

(b) Filtro de línea de retardo

(a) Modelo para transmisión de multitrayectoria

Retardo τ

Retardo T

Retardo T

Retardo T

a1 a2 aN

Fig. 2-12 (a) Hallar la función de frecuencia del sistema H(ω) para este canal y grafique ( )H ω para α = 1 y 0.5.

(b) Para compensar la distorsión inducida por el canal, con frecuencia se utiliza un filtro de compensación. Idealmente, la función de frecuencia del sistema del filtro de compensación debería ser

eq1

( )( )

HH

ω =ω

Comúnmente se usa una línea de retardo derivada o filtro transversal, como muestra la Fig. 2-12(b), para aproximar este filtro de compensación. Halle los valores de a1, a2, … , aN, suponiendo que τ = T y α << 1. (a) ( ) ( ) ( )y t x t x t= + α − τ

Tomando la transformada de Fourier de ambos lados, obtenemos


58

( )( ) ( ) ( ) 1 ( )j jY X e X e X− ωτ − ωτω = ω + α ω = + α ω Por la Ec. (2.12),

( )( ) 1

( )jY

H eX

− ωτωω = = + α

ω

Ahora se usa la identidad de Euler para obtener

( ) 1 cos senH jω = + α ωτ − α ωτ Por tanto,

( ) ( )

[ ]

1 22 2

1 22

( ) 1 cos sen

1 2 cos

H ω = + α ωτ + α ωτ

= + α + α ωτ

Cuando α = 1,

( )[ ]1 2( ) 2 1 cos 2 cos

2H

ωτω = + ωτ =

Cuando 12α = ,

( )1 2( ) 1.25 cosH ω = + ωτ

Los espectros de amplitud ( )H ω para α = 1 y 12α = se grafican en la Fig. 2-13.

Fig. 2-13

(b) De la Fig. 2-12(b), tenemos que

( )[ ]1

( ) 1N

k

k

z t a y t k T

=

= − −∑

Tomando la transformada de Fourier de ambos lados da

( )

( )

1

12 1

1 2 3

( )( )

( )

Nj k T

k

k

j T j T j N TN

ZZ a e

Y

a a e a e a e

− ω −

=

− ω − ω − ω −

ωω = =

ω

= + + + +

∑⋯

Ahora bien,

eq1 1

( )( ) 1 j T

HH e− ω

ω = =ω + α

y usando la relación

2 311 1

1x x x x

x= − + − + <

+…

podemos expresar eq ( )H ω como


59

22eq ( ) 1 j jH e e− ωτ − ω τω = − α + α + ⋯

Por tanto, si τ = T y 1α < m obtenemos

( ) 121 2 31, , , , N

Na a a a−

= = −α = α = −α… 2.6 FILTROS DE CUADRATURA Y TRANSFORMADAS DE HILBERT A. Filtro de Cuadratura

Un filtro de cuadratura o desplazador de fase de −π/2 radianes (−90°)] es un sistema pasa todo cuya respuesta de frecuencia es dada por

2

2

, 0( )

, 0

j

j

eH

e

− π

π

ω >ω =

ω < (2.32)

Puesto que 2je j± π = ± , H(ω) puede reescribirse como

( )( ) sgnH jω = − ω (2.33)

y se deduce que ( ) 1H ω = y que ( ) 2hθ ω = − π para ω > 0 y π/2 para ω < 0, como se muestra en la Fig. 2-14.

Fig. 2-14 Función de transferencia del desplazador de fase ideal de π/2 (transformador de Hilbert)

La respuesta al impulso correspondiente h(t) puede obtenerse como (Ejemplo 2.15)

1

( )h tt

=π

(2.34)

B. Transformada de Hilbert

Sea x(t) la señal de entrada a un filtro de cuadratura o transformador de Hilbert (Fig. 2-15). Entonces, por la Ec. (2.7), la salida ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1y t x t h t x t t= ∗ = ∗ π se definirá como la transformada de Hilbert de x(t), denotada por ˆ( )x t .

Por tanto,

( )1 1ˆ( ) ( )

xx t x t d

t t

∞

−∞

τ= ∗ = τ

π π − τ∫ (2.35)

La transformada de Fourier de ˆ( )x t es dada por

( ) ( )( ) ( ) ( ) sgnX H X j Xω = ω ω = − ω ω (2.36)

Por tanto, si se retarda la fase de cada componente de x(t) por π/2 sin cambiar su amplitud, la señal resultante es ˆ( )x t , la transformada de Hilbert de x(t). De modo que un transformador de Hilbert es un desplazador de fase

ideal que desplaza cada componente espectral por −π/2.

1

0 0 ω ω

( )H ω ( )hθ ω

2π

2π

−

(a) (b)


60

Desplazador de fase−π/2 rad

Fig. 2-15 Desplazador de fase de −π/2 rad Ejemplo 2.15. Verificar la Ec. (2.34).

Sabemos que

2sgn( ) t

j↔

ω

Ahora se aplica la propiedad de dualidad de la transformada y se obtiene

( ) ( )2

2 sgn 2 sgnjt

↔ π −ω = − π ω

y por tanto

1 sgn( )j

t↔ − ω

π

Ejemplo 2.16. Demuestre que una señal x(t) y su transformada de Hilbert ˆ( )x t tienen el mismo espectro de amplitud.

Por la Ec. (2.36),

[ ]( ) sgn( ) ( )X j Xω = − ω ω

Como sgn( ) 1j− ω = m obtenemos que

( ) sgn( ) ( ) ( )X j X Xω = − ω ω = ω

Ejemplo 2.17. Demuestre que si ˆ( )x t es la transformada de Hilbert de x(t), entonces la transformada de Hilbert

de ˆ( )x t es −x(t), esto es

ˆ( ) ( )x t x t= − (2.37) Sea

( ) ( )x t X↔ ω Entonces, por la Ec. (2.36),

[ ]ˆ( ) ( ) sgn( ) ( )x t X j X↔ ω = − ω ω

y [ ]

2ˆ( ) ( ) sgn( ) ( ) ( )x t X j X X↔ ω = − ω ω = − ω

puesto que [ ] [ ]2 22sgn( ) sgn( ) 1j j− ω = ω = − . Por tanto, se concluye que ˆ( ) ( )x t x t= − .

Ejemplo 2.18. Sea x(t) una señal real, Demuestre que x(t) y su transformada de Hilbert ˆ( )x t son ortogonales, esto es, que

ˆ( ) ( ) 0x t x t dt∞

−∞=∫ (2.38)

Usando la relación


61

1 2 1 21

( ) ( ) ( ) ( )2

x t x t dt X X d∞ ∞

−∞ −∞= ω −ω ω

π∫ ∫

tenemos que

1ˆ( ) ( ) ( ) ( )2

x t x t dt X X d∞ ∞

−∞ −∞= ω −ω ω

π∫ ∫

Si x(t) es real, entonces tenemos

[ ]( ) sgn( ) ( ) sgn( ) * ( )X j X j X−ω = − −ω −ω = ω ω

[Recuerde que ( ) ( )*X X−ω = ω ].

Por tanto,

2ˆ( ) ( ) sgn( ) ( ) * ( ) sgn( ) ( )2 2j j

x t x t dt X X d X d∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞= ω ω ω ω = ω ω ω

π π∫ ∫ ∫

ya que el integrando en la última integral es una función impar de ω. Ejemplo 2.18. Sea 0( ) cosx t t= ω . Hallar ˆ( )x t .

Sabemos que

( ) ( )0 0( )X ω = π δ ω − ω + δ ω + ω

Entonces

( ) ( )

( ) ( )0 0

0 0

( ) sgn( ) ( ) sgn( )

X j X j

j

ω = − ω ω = − π δ ω − ω + δ ω + ω ω

= − π δ ω − ω − δ ω + ω

cuya transformada inversa es

0ˆ( ) senx t t= ω

Observe que ( )0 02ˆ( ) cos senx t t tπ= ω − = ω .

Ejemplo 2.20. Sea ( ) ( )x t t= δ .

(a) Hallar ˆ( )x t .

(b) Use el resultado de (a) para confirmar que (Ejemplo 2.15)

1 sgn( )j

t↔ − ω

π

(a) Por la definición (2.35) y la convolución de la función impulso con otras funciones, se obtiene

1 1( ) ( )x t t

t t= δ ∗ =

π π

(b) Sabemos que ( ) ( ) 1t Xδ ↔ ω =

Entonces, por la Ec. (2.36) tenemos que

( ) sgn( ) ( ) sgn( )X j X jω = − ω ω = − ω

Por tanto, concluimos que

1 sgn( )j

t↔ − ω

π


62

2.7 ENERGÍA DE LA SEÑAL Y DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA La energía de la señal puede calcularse a partir del teorema de Parseval, Ec. (1.48), como

( )22 1

( )2xE x t dt X d

∞ ∞

−∞ −∞= = ω ω

π∫ ∫ (2.39)

A. Densidad Espectral de Energía (DEE)

La Ec. (2.39) puede interpretarse que significa que la energía de una señal x(t) es el resultado de energías contribuidas por todas las componentes espectrales de la señal x(t). La contribución de una componente espectra

de frecuencia ω es proporcional a 2( )X ω . Analizando esto un poco más, considere una señal x(t) aplicada a la

entrada de un filtro de pasabanda ideal, cuya función de transferencia se muestra en la Fig. 2-16(a). Este filtro suprime todas las frecuencias excepto una banda angosta ∆ω centrada en una frecuencia ω0 (Fig. 2-16(b)). Si la salida del filtro es y(t), entonces su transformada de Fourier ( ) ( ) ( )Y X Hω = ω ω y Ey, la energía de la salida y(t), es

21( ) ( )

2yE X H d∞

−∞= ω ω ω

π ∫ (2.40)

Puesto que H(ω) = 1 en la pasabanda y cero fuera de ella, la integral en el lado derecho es la suma de las dos áreas sombreadas en la Fig. 2-16(b) y tenemos (para ∆ω → 0)

( ) ( )2 2

0 01

2 22yE X d X df= ω ω = ω

π

Por tanto, ( )2

2 X dfω es la energía contribuida por las componentes espectrales dentro de las dos bandas

angostas, cada una de ancho ∆f Hz, centradas en 0±ω . En consecuencia, podemos interpretar a ( )2

X ω como la

energía por ancho de banda unitario (en hertz) de las componentes espectrales de x(t) centrada en la frecuencia

ω. En otras palabras, ( )2

X ω es la densidad espectral de energía (por ancho de banda unitario en hertz) de x(t).

En realidad, la energía contribuida por ancho de banda unitario es ( )2

2 X ω porque las componentes de

frecuencias positivas y negativas se combinan para formar las componentes en la banda ∆f. Sin embargo, por conveniencia, consideramos que las componentes de frecuencias positivas y negativas son independientes.

2( )X ω

20( )X ω

Fig. 2-16 Interpretación de la densidad espectral de energía de una señal


63

La densidad espectral de energía (DEE) se define entonces como

2( ) ( )x XΨ ω = ω (2.41)

Y la Ec. (2.39) puede expresarse como

1

( ) ( )2x x xE d f df

∞ ∞

−∞ −∞= Ψ ω ω = Ψ

π ∫ ∫ (2.42)

B. Ancho de Banda Esencial de una Señal Los espectros de la mayoría de las señales se extienden hasta infinito. Sin embargo, como la energía de una señal práctica es finita, el espectro de la señal debe tender a 0 conforme ω → ∞. La mayor parte de la energía de la señal está contenida en una cierta banda de B Hz y el contenido de energía de las componentes de frecuencias mayores que BHz es despreciable. Por tanto, podemos suprimir el espectro de la señal más allá de B Hz con poco efecto sobre la forma y energía de la señal. El ancho de banda B se denomina el ancho de banda esencial de la señal. El criterio para seleccionar B depende de la tolerancia al error en una aplicación particular. Por ejemplo, podemos seleccionar B como la banda que contiene 95% de la energía de la señal*. Esta cifra puede ser mayor o menor que 95%, dependiendo de la precisión que se necesite. Usando este criterio, podemos determinar el ancho de banda esencial de una señal. La supresión de todas las componentes espectrales de x(t) más allá del ancho de banda esencial resulta en una señal ˆ( )x t , la cual es una buena aproximación a x(t). Si usamos el criterio el 95%

para el ancho de banda esencial, la energía del error (la diferencia) ˆ( ) ( )x t x t− es 5% de Ex. El siguiente ejemplo demuestra el procedimiento de estimación del ancho de banda. Ejemplo 2.21 Estime el ancho de banda esencial W rad/s de la señal ( )ate u t− si se requiere que el acho de banda contenga 95% de la energía de la señal.

En este caso

1( )X

a jω =

+ ω

y la DEE es

22 2

1( )X

aω =

+ ω

Esta DEE se muestra en la Fig. 2-17. La energía de esta señal es

2 12 2

1 1 1 1 1( ) tan

2 2 2 2xE X d da a aa

∞∞ ∞−

−∞ −∞ −∞

ω= ω ω = ω = =

π π π+ ω∫ ∫

que es 1/2π veces el área bajo esta DEE. Sea W rad/s el ancho de banda esencial, el cual contiene 95% de la energía total de la señal Ex. Esto significa que 1/2π veces el área sombreada en la Fig. 2-17 es 0.85/2a, es decir,

2 2

1 1

0.95 12 2

1 1 tan tan

2

W

W

W

W

d

a a

W

a a a a

−

− −

−

ω=

π + ω

ω= =

π π

⌠⌡

o

* El ancho de banda esencial también puede definirse como una frecuencia en la cual el valor del espectro de amplitud es una

pequeña fracción (aproximadamente 5 a 10%) del valor pico.


64

10.95tan 12.706 rad/s

2W

W aa

−π= ⇒ =

( )X ω

Fig. 2-17 Estimación del ancho de banda esencial de una señal

Esto significa que las componentes espectrales de x(t) en la banda desde 0 (cd) hasta 12.706 rad/ (2.02 Hz) contribuyen 95% de la energía total de la señal; todas las componentes espectrales restantes (en la banda desde 12.706 rad/s hasta ∞) contribuyen solamente 5% de la energía de la señal. Ejemplo 2.22 Estimar el ancho de banda esencial de un pulso rectangular ( )( ) rectx t t T= (Fig. 2-18), donde el

ancho de banda esencial debe contener por lo menor 90% de la energía del pulso.

Para este pulso, la energía Ex es 2

2

2( )

T

xT

E x t dt dt T∞

−∞ −= = =∫ ∫

También, puesto que

( )sen 2rect

2

TtT

T T

ω ↔

ω

la DEE para este pulso es

( )( )

22 2 sen 2

( )2x

TX T

T

ωΨ ω = ω =

ω

La DEE se muestra en la Fig. 2-18(b) como una función de ωT y también de fT, donde f es la frecuencia en hertz. La energía EW en la banda de 0 a W rad/s es dada por

( )2

2 sen 212 2

W

W

W

TE T d

T−

ω= ω

π ω

⌠⌡

Haciendo ωT = λ en esta integral de modo que ( )1d T dxω = , obtenemos

( )2

0

sen 2

2

WT

W

TE d

λ= λ

π λ

⌠⌡

También, como Ex = T, tenemos

( )2

0

sen 212

WT

W

x

Ed

E

λ= λ

π λ

⌠⌡

La integral en el lado derecho se calcula numéricamente y la gráfica de EW/Ex vs. WT se muestra en la Fig. 2-18(c) . Observe que 90.28% de la energía total del pulso x(t) está contenida en la banda W = 2π/T rad/s o

1B T= hertz. Por tanto, usando el criterio del 90%, el ancho de banda de un pulso rectangular de ancho T segundos es 1/T hertz.


65

x(t)

−T/2 T/2

1

0 t

(a)

2( ) ( )x Xψ ω = ω

T2

0 2π 4πωT

−4π −2π

(b)

w

x

E

E

(c)

Fig. 2-18 Función compuerta y su densidad espectral de energía

C. Energía de Señales Moduladas Hemos visto (Capítulo 2) que la modulación desplaza el espectro de la señal X(ω) hacia la izquierda y hacia la derecha de ω0. Ahora se demostrará que algo similar le sucede a la DEE de la señal modulada.

Sea x(t) una señal de bandabase limitada a B Hz. La señal modulada en amplitud ϕ(t) es

0( ) ( )cost x t tϕ = ω

y el espectro (transformada de Fourier) de ϕ(t) es

( ) ( )1

( )2 o oX X Φ ω = ω + ω + ω − ω

La DEE de la señal modulada ϕ(t) es 2( )Φ ω , esto es,


66

( ) ( )2

0 01

( )4

X XϕΨ ω = ω + ω + ω − ω

Si 0 2 Bω ≥ Z , entonces ( )0X ω + ω y ( )0X ω − ω no se solapan (véase la Fig. 2-19) y

( ) ( )

( ) ( )

20 0

0 0

1( )

41

4 x x

X XϕΨ ω = ω + ω + ω − ω

= Ψ ω + ω + Ψ ω − ω

(2.43)

Ψx(ω)

Ψϕ(ω)

Fig. 2-19 Densidad espectral de energía de señales moduladora y modulada

La DEE de x(t) y de la señal modulada ϕ(t) se muestran en la Fig. 2-19. Está claro que la modulación desplaza la DEE de x(t) por 0± ω . Observe que el área bajo Ψϕ(ω) es la mitad del área bajo Ψx(ω). Como la energía de la señal

es proporcional al área bajo su DEE, se deduce que la energía de ϕ(t) es la mitad de la energía de x(t), esto es,

01

22 xE E Bϕ = ω ≥ π (2.44)

Puede parecer sorprendente que una señal ϕ(t), que parece ser tan energética en comparación con x(t), tenga sólo la mitad de la energía de x(t). Las apariencias engañan. La energía de una señal es proporcional al cuadrado de su amplitud y las amplitudes mayores contribuyen más energía. La señal x(t) permanece en niveles de amplitud más altos la mayor parte del tiempo. Por otra parte, ϕ(t), debido al factor 0cos tω . cae a niveles de amplitud cero muchas veces, lo que reduce su energía. 2.8 SEÑALES Y VECTORES Existe una perfecta analogía entre señales y vectores. La analogía es tan grande que el término “analogía” subestima la realidad. Las señales no solamente son como vectores. Las señales son vectores. Un vector se puede representar como una suma de sus componentes en una variedad de formas, dependiendo del sistema de coordenadas. Una señal también puede representarse como una suma de sus componentes en varias formas. Comencemos con algunos conceptos vectoriales básicos y apliquemos esos conceptos a las señales.

Un vector se especifica mediante su magnitud y su dirección. Por ejemplo, x es un vector con magnitud o longitud x . Considere dos vectores g y x, como se muestra en la Fig. 2-20. Sea cx la componente de g a lo largo


67

de x. Geométricamente, la componente de g a lo largo de x es la proyección de g sobre x y se obtiene dibujando una perpendicular desde la punta de g hasta el vector x, como muestra la Fig. 2-20.

Fig. 2-20 Componente (proyección) de un vector a lo largo de otro vector ¿Cuál es el significado matemático de una componente de un vector a lo largo de otro vector? Como se observa en la Fig. 2-20, el vector g puede expresarse en términos del vector x como

c= +g x e (2.45)

Sin embargo, ésta no es la única forma de expresar g en términos de x. La Fig. 2-21 muestra dos de las otras posibilidades infinitas. De las Figs. 2-21a y b, tenemos

1 1 2 2c c= + = +g x e x e (2.46)

Fig. 2-21 Aproximación de un vector en términos de otro vector

En cada una de estas tres representaciones, g se representa en términos de x más otro vector, denominado el vector de error. Si aproximamos g por cx (Fig. 2-20),

cg x≃ (2.47)

el error en esta aproximación es el vector c= −e g x . En forma similar, los errores en las aproximaciones en la Fig. 2-21 son e1 y e2. Lo que es único sobre la aproximación en la Fig. 2-20 es que el vector de error es el más pequeño. Ahora podemos definir matemáticamente la componente de un vector g a lo largo del vector x como el vector cx, donde c es escoge de modo que se minimice la longitud del vector de error c= −e g x . Por conveniencia, definimos el producto punto (interno o escalar) de dos vectores g y x como

cos= θg x g xi (2.48)

donde θ es el ángulo entre los vectores g y x. Usando esta definición, podemos expresar x , la longitud del

vector x, como

2=x x xi (2.49)

Ahora, la longitud de la componente de g a lo largo de x es cos θg , pero también es c x . Por tanto,

cosc = θx g

Al multiplicar ambos lados por x , se obtiene

2 cosc = θ =x g x g xi


68

y

2

1c = =

g xg x

x x x

ii

i (2.50)

De la Fig. 2-20, es claro que cuando g y x son perpendiculares u ortogonales, entonces g tiene una componente cero a lo largo de x; en consecuencia, c = 0. Entonces, teniendo en cuenta la Ec. (2.50), definimos a g y x como ortogonales si el producto interno (escalar o punto) de los dos vectores es cero, esto es, si

0=g xi (2.51) Componente de una Señal. Los conceptos de componente de un vector y ortogonalidad pueden extenderse a señales. Considere el problema de aproximar una señal real g(t) en términos de otra señal real x(t) en un intervalo [ ]1 2, t t :

1 2( ) ( ), g t cx t t t t≤ ≤≃ (2.52)

El error e(t) en esta aproximación es

1 2( ) ( ), ( )

0 otros valores de g t cx t t t t

e tt

− ≤ ≤=

(2.53)

Ahora seleccionamos algún criterio para la “mejor aproximación”. Sabemos que la energía de la señal es una posible medida del tamaño de una señal. Para una mejor aproximación, necesitamos minimizar la señal de error, esto es, minimizar su tamaño, que es su energía Ee en el intervalo [ ]1 2, t t , dada por

2

1

2 ( )t

et

E e t dt= ∫

Observe que el lado derecho es una integral definida con t como la variable sustituta. Por tanto, Ee es una función del parámetro c (no de t) y Ee es mínima para alguna selección de c. Para minimizar Ee, una condición necesaria es

0edE

dc= (2.54)

o

[ ]2

1

2( ) ( ) 0t

t

dg t cx t dt

dc

− =

∫

Expandiendo el término al cuadrado dentro de la integral, obtenemos

2 2 2

1 1 1

2 2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0t t t

t t t

d dg t dt c g t x t dt c x t dt

dc dc

− + =

∫ ∫ ∫

de donde obtenemos 2 2

1 1

22 ( ) ( ) 2 ( ) 0t t

t tg t x t dt c x t dt− + =∫ ∫

y

2

21

21

1

2

( ) ( )1

( ) ( )( )

t

tt

ttx

t

g t x t dt

c g t x t dtE

x t dt

= =∫

∫∫

(2.55)

Observe la extraordinaria semejanza entre el comportamiento de los vectores y las señales, como lo indican las Ecs. (2.50) y (2.55). Es evidente en estas dos expresiones que el área bajo el producto de dos señales corresponde al producto interno (escalar o punto) de dos vectores. De hecho, el área bajo el producto de g(t) y x(t) se denomina el producto interno de g(t) y x(t) y se denota por (f, g). La energía de una señal es el producto interno de una señal


69

consigo misma y corresponde al cuadrado de la longitud de un vector (que es el producto interno del vector consigo mismo).

Tomando esta idea de los vectores, decimos que una señal g(t) contiene una componente cx(t), donde c es dada por la Ec. (2.55). Observe que en terminología vectorial, cx(t) es la proyección de g(t) sobre x(t). Continuando con la analogía, decimos que si la componente de una señal g(t) de la forma x(t) es cero (esto es, c = 0), las señales g(t) y x(t) son ortogonales en el intervalo [ ]1 2, t t si

2

1

( ) ( ) 0t

tg t x t dt =∫ (2.56)

En el caso de señales complejas, dos funciones complejas x1(t) y x2(t) son ortogonales en un intervalo [ ]1 2, t t si

2 2

1 1

1 2 1 2( ) ( ) 0 o ( ) ( ) 0 t t

t tx t x t dt x t x t dt∗ ∗= =∫ ∫ (2.57)

Ésta es una definición general de ortogonalidad. Ejemplo 2.23. Para la señal g(t) mostrada en la Fig. 2-22, halle la componente en g(t) de la forma sen t . En otras palabras, aproxime g(t) en términos de sen t :

( ) sen 0 2g t c t t≤ ≤ π≃

de modo que la energía de la señal de error sea mínima.

Fig. 2-22 Aproximación de una señal cuadrada en términos de una sola sinusoide

En este caso 2

2

0( ) sen y senxx t t E t dt

π

= = = π∫

De la Ec. (2.55) encontramos que

( )2

0 0 0

1 1 4( )sen sen senc g t t dt t dt t dt

π π π = = + − =

π π π ∫ ∫ ∫ (2.58)

Por tanto,

4

( ) seng t tπ≃ (2.59)

representa la mejor aproximación a g(t) por la función sen t , que minimizará la energía del error. Esta componente sinusoidal de g(t) se muestra sombreada en la Fig. 2-22. Por analogía con los vectores, decimos que la función cuadrada g(t) mostrada en la Fig. 2-22 tiene una componente de la señal sen t y que la magnitud de esta componente es 4/π. Energía de la Suma de Señales Ortogonales. Se sabe que el cuadrado de la longitud de la suma de dos vectores ortogonales es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos vectores. Por tanto, si los vectores x y y son ortogonales y si = +z x y , entonces


70

2 2 2= +z x y

Para señales se tiene un resultado similar. La energía de la suma de dos señales ortogonales es igual a la suma de las energías de las dos señales. Por tanto, si las señales x(t) y y(t) son ortogonales en un intervalo [ ]1 2, t t y si

( ) ( ) ( ) ( )z y x t x t y t= = + , entonces

z x yE E E= + (2.60)

Ahora se demostrará este resultado para señales complejas:

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

2 2

1 1

2 2 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * ( ) * ( ) ( )

( ) ( )

t t t t t

t t t t t

t t

t t

x t y t dt x t dt y t dt x t y t dt x t y t dt

x t dt y t dt

+ = + + +

= +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ (2.61)

El último resultado se obtiene porque, debido a la ortogonalidad, las dos integrales de los productos cruzados ( ) * ( )x t y t y * ( ) ( )x t y t son cero [Ec. (2.57)]. Este resultado se puede extender a la suma de cualquier número de

señales mutuamente ortogonales. 2.9 COMPARACIÓN DE SEÑALES: CORRELACIÓN La sección 2.8 ha establecido los fundamentos para la comparación de señales. De nuevo, aquí nos podemos aprovechar si consideramos el concepto de comparación vectorial. Dos vectores g y x son semejantes si g tiene una componente grande a lo largo de x. En otras palabras, si c en la Ec. (2.50) es grande, los vectores g y x son semejantes. Podríamos considerar a c como una medida cuantitativa de la semejante entre g y x. Sin embargo, una medida así sería defectuosa. La cantidad de semejanza entre g y x debe ser independiente de las longitudes de g y x. Si se duplica la longitud de g, por ejemplo, la cantidad de semejanza entre g y x no debe cambiar. Sin embargo, de la Ec. (2.50) vemos que si se duplica g, entonces se duplica el valor de c (en tanto que si se duplica x, el valor de c se reduce a la mitad). Claramente, nuestra medida tiene fallas. La semejanza entre dos vectores se indica con el ángulo θ entre los vectores. Mientras más pequeño sea θ, mayor será la semejanza, y viceversa. Por tanto, la cantidad de semejanza puede medirse en forma conveniente por cos θ . Mientras más grande sea cos θ , mayor es la semejanza entre los dos vectores. Por tanto, una medida aceptable sería c cosn = θ , la cual es dada por

cosnc = θ =g xg xi

(2.62)

Se puede verificar fácilmente que esta medida es independiente de las longitudes de g y x. Esta medida de la semejanza cn se conoce como el coeficiente de correlación. Observe que

1 1nc− ≤ ≤ (2.63)

Esto es, la magnitud de cn nunca es mayor que la unidad. Si los dos vectores están alineados, la semejanza es máxima (cn = 1). Dos vectores alineados en direcciones opuestas tienes una desemejanza máxima (cn = −1). Si los dos vectores son ortogonales, la semejanza es cero.

Usamos el mismo argumento para definir un índice de semejanza (el coeficiente de correlación) para las señales. Consideraremos las señales en todo el intervalo de tiempo de −∞ a +∞. Para hacer que c en la Ec. (2.55) sea independiente de las energías (tamaños) de g(t) y x(t), debemos normalizar c normalizando las dos señales para que tengan energías unitarias. Así, el índice de semejanza apropiado cn análogo a la Ec. (2.62) es dado por

1

( ) ( )n

g x

c g t x t dtE E

∞

−∞= ∫ (2.64)


71

Observe que si se multiplica g(t) o x(t) por cualquier constante, no se causa ningún efecto sobre este índice. Es independiente de los tamaños (energías) de g(t) y x(t). Usando la desigualdad de Schwarz, se puede demostrar que la magnitud de cn nunca es mayor que 1:

1 1nc− ≤ ≤ (2.65)

Es fácil verificar que si ( ) ( )g t Kx t= , entonces cn = 1 cuando K es cualquier constante positiva y cn = −1 cuando K es una constante negativa. También cn = 0 si g(t) y x(t) son ortogonales. Por tanto, la máxima semejanza [cuando

( ) ( )g t Kx t= ) es indicada por cn = 1, la máxima desemejanza [ ( ) ( )g t Kx t= − ] es indicada por cn = −1. Cuando las dos señales son ortogonales, la semejanza es cero. Cualitativamente hablando, podemos considerar que las señales ortogonales no están relacionadas.

Este análisis se puede extender rápidamente a la comparación de señales complejas. Generalizamos la definición de cn para incluir señales complejas como

1

( ) * ( )n

g x

c g t x t dtE E

∞

−∞= ∫ (2.66)

Ejemplo 2.24. Halle el coeficiente de correlación entre el pulso x(t) y los pulsos gi(t), i = 1, 2, 3, 4,5 y 6 mostrados en la Fig. 2-23.

Figura 2-23 Señales para el Ejemplo 2.24

Se calculará cn usando la Ec. (2.64) para cada uno de los seis casos. Primero calculamos las energías de todas las señales:

5 52

0 0( ) 5xE x t dt dt= = =∫ ∫

En la misma forma encontramos que 1 2 3

5, 1.25 y 5g g gE E E= = = . También, para determinar 4 5y g gE E .

determinamos la energía e de ( )ate u t− en el intervalo 0 a T:

( ) ( )2 2 2

0 0

11

2

T Tat at aTE e dt e dt e

a− − −= = = −∫ ∫

Para g4(t), a = 1/5 y T = 5. Por tanto, 4

2.1617gE = . Para g5(t). a = 1 y T = ∞. Por tanto, 5

0.5gE = . La energía de

6gE es dada por

( )6

53

0sen 2 2.5gE t dt= π =∫

Usando la Ec. (2.64), se determina que los coeficientes de correlación para los seis casos son:


72

(1) 5

0

11

5 5dt =

⋅ ∫ (2) ( )5

0

10.5 1

1.25 5dt =

⋅ ∫

(3) ( )5

0

11 1

5 5dt− = −

⋅ ∫ (4) 5

5

0

10.961

2.1617 5te dt− =

⋅ ∫

(5) 5

0

10.628

0.5 5te dt− =

⋅ ∫ (6) ( )5

0

1sen 2 0

2.5 5t dtπ =

⋅ ∫

Comentarios: Puesto que g1(t) = x(t), las dos señales tienen la semejanza máxima posible y cn = 1. Sin embargo, la señal g2(t) también muestra semejanza máxima posible con cn = 1. Esto se debe a que hemos definido cn para medir la semejanza de las formas de las ondas y es independiente de la amplitud (intensidad) de las señales comparadas. La señal g2(t) es idéntica a x(t) en forma: sólo la amplitud es diferente. Por tanto, cn = 1. Por otra parte, la señal g3(t) tiene la máxima desemejanza posible con c(t) porque es igual a −x(t). Para g4(t), cn = 0.961, lo que implica un alto grado de semejanza con x(t). Esto es razonable porque g4(t( es muy similar a x(t) en la duración de x(t) (para 0 < t < 5). Observe, sólo por inspección, que las variaciones o cambios tanto en x(t) como en g4(t) ocurren a tasas similares. Éste no es el caso con g5(t), donde se observa que las variaciones en g5((t) son generalmente con una tasa mayor que las de x(t). Todavía hay una semejanza considerable: Ambas señales siempre permanecen positivas y no muestran oscilaciones. Ambas señales tienen intensidad cero o despreciable más allá de t = 5. Por tanto, g5(t) es semejante a x(t). pero no tanto como g4(t). Esto se debe a que cn = 0.628 para g5(t). La señal g6(t) es ortogonal a x(t), de modo que cn = 0. Esto parece indicar que la desemejanza en este caso no es tan fuerte como la de g3(t), para la cual cn = −1. Esto puede parecer extraño porque g3(t) se observa más semejante a x(t) que g6(t). A. Aplicación a la Detección de Señales

La correlación entre dos señales es un concepto de extrema importancia, que mide el grado de semejanza entre dos señales. Este concepto se usa ampliamente para aplicaciones de procesamiento de señales en el radar, sonar, comunicación digital, guerra electrónica y muchas otras.

Este concepto lo explicamos mediante un ejemplo de radar, donde se transmite una señal de pulso para detectar un blanco sospechoso. Si un blanco está presente, el pulso será reflejado. Si no está presente, no habrá pulso reflejado, sólo un ruido. Mediante la detección de la presencia o ausencia del pulso reflejado, confirmamos la presencia o ausencia de un blanco. El problema crucial en este procedimiento es la detección del pulso (de forma de onda conocida) reflejado y muy atenuado inmerso en la señal de ruido indeseada. La correlación del pulso recibido con el pulso transmitido puede ser de mucha ayuda en esta situación. Una situación similar existe en la comunicación digital, donde se requiere detectar la presencia de una de las dos formas de ondas conocidas en la presencia de ruido.

Ahora se explicará cualitativamente cómo se logra la detección de la señal usando la técnica de correlación. Considere el caso de comunicación binaria, donde dos formas de ondas conocidas se reciben en una secuencia aleatoria. Cada vez que se recibe un pulso, nuestra tarea es determinar cuál de las dos formas de ondas (conocidas) es recibida. Para facilitar la detección, debemos hacer que los dos pulsos sean tan disimilares como sea posible, lo que significa que debemos seleccionar un pulso como el negativo del otro pulso. Esto es la mayor desemejanza (cn = −1). Este esquema se denomina algunas veces el esquema de antípodas. Podemos también usar pulsos ortogonales, lo que resulta en cn = 0. En la práctica se usan ambas de estas opciones, aunque la de antípodas es la mejor en términos de diferenciabilidad entre los dos pulsos.

Consideremos el esquema de antípodas en el cual los dos pulsos son p(t) y −p(t). El coeficiente de correlación cn de estos pulsos es −1. Supóngase que no hay ruido ni ninguna otra imperfección en la transmisión. El receptor consiste de un correlator que calcula la correlación entre p(t) y el pulso recibido. Si la correlación es 1, decidimos que se recibió p(t); si la correlación es −1, decidimos que se recibió −p(t). Debido a la máxima desemejanza posible entre los dos pulsos, la detección es más fácil. Sin embargo, en la práctica se tienen varias imperfecciones. Siempre existe una señal indeseada (ruido) superpuesta sobre los pulsos recibidos). Además, durante la transmisión, los pulsos se distorsionan y se dispersan en tiempo. En consecuencia, el coeficiente de


73

correlación ya no es 1± , sino que tiene una magnitud menor, reduciendo de esta manera la diferenciabilidad. Usamos un detector de umbral, el cual decide que si la correlación es positiva, el pulso recibido es p(t) y si la correlación es negativa, el pulso recibido es −p(t).

Supóngase, por ejemplo, que se transmitió p(t). En el caso ideal, la correlación de este pulso en el receptor sería 1, el máximo posible. Ahora, debido al ruido y a la distorsión del pulso, la correlación es menor que 1. En alguna situación extrema, el ruido en el canal, la distorsión del pulso y el solapamiento (dispersión) con otros pulsos puede hacer que este pulso sean tan disimilar a p(t) que la correlación puede ser negativa. En este caso, el detector de umbral decide que se ha recibido −p(t), produciéndose así un error de detección. En la misma forma, si se transmisión −p(t) el detector podría decidir que se transmitió p(t). Nuestra tarea es asegurarnos que los pulsos transmitidos tengan energía suficiente para que el daño producido por el ruido y otras imperfecciones permanezca dentro de un límite de modo que la probabilidad de error esté por debajo de límites aceptables. En el caso ideal, el margen proporcionado por la correlación cn para diferenciar los dos pulsos es 2 (desde 1 hasta −1 y viceversa). El ruido y la distorsión en el canal reducen este margen. Ésta es la razón por la cual es importante comenzar con un margen tan grande como sea posible y explica por qué el esquema de antípodas tiene el mejor desempeño en términos de resguardar contra el ruido en el canal y la distorsión de los pulsos. Sin amargo, como ya se mencionó, a causa de otras razones, los esquemas como un esquema ortogonal, donde cn = 0, también se usan, aun cuando ellos proporcionan un margen menor (de 0 a 1 y viceversa) para distinguir los pulsos. B. Funciones de Correlación

Considérese la aplicación de la correlación a la detección de señales en un radar, donde se transmite un pulso para detectar un blanco sospechoso. Si está presente un blanco, el pulso será reflejado. Si no está presente, no habrá pulso reflejado, sólo un ruido. Mediante la detección de la presencia o ausencia del pulso reflejado, se confirma la presencia o ausencia de un blanco. Midiendo el retardo temporal entre los pulsos transmitidos y recibidos (reflejados), se determina la distancia al blanco. Denote por g(t) y z(t), respectivamente, el pulso transmitido y el reflejado, como muestra la Fig. 2-24. Si se usase la Ec. (2.64) directamente para medir el coeficiente de correlación cn, se obtendría

1

( ) ( ) 0n

g z

c g t z t dtE E

∞

−∞= =∫ (2.67)

Figura 2.24 Explicación física de la función de autocorrelación

Por tanto, la correlación es cero porque los pulsos están separados (no se solapan en el tiempo). La integral (2.67) dará un valor de cero aun cuando los pulsos sean idénticos pero con un desplazamiento relativo del tiempo. Para evitar esta dificultad, el pulso transmitido g(t) se compara con el pulso recibido z(t) desplazado por τ. Si para algún valor de τ existe una fuerte correlación, no sólo detectamos la presencia del pulso sino que también detectamos el desplazamiento relativo del tiempo de z(t) con respecto a g(t). Por esta razón, en vez de usar la integral en el lado derecho, usamos la integral modificada ( )gzψ τ , la función de correlación cruzada de dos

funciones reales g(t) y z(t), definida por


74

( ) ( ) ( )gz g t z t dt∞

−∞ψ τ = + τ∫ (2.68)

Aquí z(t + τ) es el pulso z(t) desplazado hacia la izquierda (avanzado) por τ segundos. Por tanto, ( )gzψ τ es una

indicación de la semejanza (correlación) de g(t) con z(t) avanzada o adelantada por τ segundos. C. Función de Autocorrelación

La correlación de una señal consigo misma se denomina autocorrelación. La función de autocorrelación ( )gψ τ

se define como

( ) ( ) ( )g g t g t dt∞

−∞ψ τ = + τ∫ (2.69)

2.10 LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN EN EL TIEMPO Y LA DENSIDAD

ESPECTRAL DE ENERGÍA Hemos visto que una buena medida de comparación entre dos señales x(t) y z(t) es la función de correlación

( )xzψ τ definida en la Ec. (2.68). También se definió la correlación de una señal x(t) consigo misma [la función de

autocorrelación ψx(τ)] en la Ec. (2.69). Para una señal real x(t), si se hace tλ = + τ en la Ec. (2.68), entonces la función de autocorrelación ψg(τ) se puede escribir como

( ) ( ) ( )x x x d∞

−∞ψ τ = λ λ − τ λ∫

En esta ecuación, λ es una variable de integración y puede ser reemplazada por t. Por tanto,

( ) ( ) ( )x x t x t dt∞

−∞ψ τ = ± τ∫ (2.70)

Esto demuestra que para una señal real g(t), la función de autocorrelación es una función par de τ, esto es

( ) ( )x xψ τ = ψ −τ (2.71)

Ahora se demostrará que la DEE 2( ) ( )x XΨ ω = ω es la transformada de Fourier de la función de

autocorrelación ψx(τ). Aunque el resultado se demuestra aquí para señales reales, también es válido para señales complejas. Observe que la función de autocorrelación es una función de τ, no de t. Por tanto, su transformada de

Fourier es ( ) je d− ωτψ τ τ∫ . Por tanto,

[ ]( ) ( ) ( )

( ) ( )

jx

j

e x t x t dt d

x t x t e d dt

∞ ∞− ωτ

−∞ −∞

∞ ∞− ωτ

−∞ −∞

ψ τ = + τ τ

= + τ τ

∫ ∫

∫ ∫

F

La integral interna es la transformada de Fourier de ( )x t + τ , que es x(τ) desplazada hacia la izquierda por t. Por

tanto, su transformada es ( ) j tX e ωω (desplazamiento en el tiempo) y entonces

[ ] 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j tx X x t e dt X X X

∞ω

−∞ψ τ = ω = ω −ω = ω∫F

Esto demuestra que

2( ) ( ) ( )x x Xψ τ ↔ Ψ ω = ω (2.72)

Si se observa cuidadosamente la operación de correlación, se nota que hay una conexión muy cercana con la convolución. Efectivamente, la función de autocorrelación ψg(τ) es la convolución de x(τ) con ( )x −τ porque


75

[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )xx x x x d x x d∞ ∞

−∞ −∞τ ∗ −τ = λ − τ − λ λ = λ λ − τ λ = ψ τ∫ ∫

Si se aplica la propiedad de la transformada de la convolución a esta ecuación, se obtiene la Ec. (2.72). Ejemplo 2.25.

Hallar la función de autocorrelación en el tiempo de la señal ( ) ( )atx t e u t−= y, a partir de ella, determine la DEE de g(t).

En este caso,

( )( ) ( ) y ( ) ( )at a tx t e u t x t e u t− − −τ= − τ = − τ

Recuerde que ( )x t − τ es x(t) desplazada hacia la derecha por τ, como muestra la Fig. 2-25(a) (para τ positiva). La

función de autocorrelación ( )xψ τ la da el área bajo el producto ( ) ( )x t x t − τ [Ec. (2.70)]. Por tanto,

2 1( ) ( ) ( )

2a at a

x x t x t dt e e dt ea

∞ ∞τ − − τ

−∞ τψ τ = − τ = =∫ ∫

Ésta es válida para τ positiva, Se puede realizar un procedimiento similar para τ negativa. Sin embargo, sabemos que para una x(t) real, ( )xψ τ es una función par de τ. Por tanto,

1( )

2a

g ea

− τψ τ =

La Fig. 2-25(b) muestra la función de autocorrelación. La DEE ( )gΨ ω es la transformada de Fourier de ( )xψ τ ,

esto es,

2 2

1( )x

aΨ ω =

ω +

lo que confirma un resultado anterior (Ejemplo 2.21).

x(t) x(t − τ)

ψx(τ)

Fig. 2-25 Cálculo de la función de autocorrelación en el tiempo. A. DEE de la Entrada y la Salida Si x(t) y y(t) son la entrada y la salida correspondiente de un sistema LIT, entonces

( ) ( ) ( )Y H Xω = ω ω


76

Por tanto,

2 2 2( ) ( ) ( )Y H Xω = ω ω

Esta relación demuestra que

2( ) ( ) ( )y xHΨ ω = ω Ψ ω (2.73)

De modo que la DEE de la señal de salida es 2( )H ω veces la DEE de la señal de entrada.

2.11 POTENCIA DE LA SEÑAL Y DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA Para una señal de potencia, una medida significativa de su tamaño es su potencia, definida como el promedio temporal de la energía de la señal tomado sobre un intervalo de tiempo infinito. La potencia Px de una señal real x(t) es dada por

2

2

2

1lím ( )

T

xT T

P x t dtT→ ∞ −

= ∫ (2.74)

La potencia de la señal y los conceptos relacionados pueden comprenderse rápidamente si se define una señal truncada xT(t) como

( ) 2( )

0 2T

x t t Tx t

t T

≤=

>

La señal truncada se muestra en la Fig. 2-26. La integral en el lado derecho de la Ec. (2.74) es la energía de la señal truncada xT(t). Así pues,

lím xTx

T

EP

T→ ∞= (2.75)

Esta ecuación sirve como un enlace entre la potencia y la energía. El entender esta relación será de mucha utilidad para comprender y relación todos los conceptos de potencia con los conceptos de energía. Como la potencia de la señal es precisamente el promedio temporal de la energía, todos los conceptos y resultados de la energía de la señal también aplican a la potencia de la señal si modificamos los conceptos apropiadamente tomando sus promedios temporales.

x(t)

xT(t)

Fig. 2-26 Proceso de límite en la derivación de la DEP


77

A. Densidad Espectral de Potencia (DEP) Si la señal x(t) es una señal de potencia, entonces su potencia es finita y la señal truncada xT(t) es una señal de energía siempre y cuando T sea finita. Si xT(t) ↔ XT(ω), entonces, por el teorema de Parseval,

22 1( ) ( )

2xT T TE x t dt X d∞ ∞

−∞ −∞= = ω ω

π∫ ∫

Por tanto, Px, la potencia de x(t), es dada por

21 1lím lím ( )

2xT

x TT T

EP X d

T T

∞

→ ∞ → ∞ −∞

= = ω ω

π ∫ (2.76)

Conforme T aumenta, la duración de xT(t) aumenta y su energía ExT también aumenta proporcionalmente. Esto

significa que 2( )X ω también aumenta con T y conforme T → ∞, 2( )X ω también tiende a ∞. Sin embargo, 2( )X ω debe tender a ∞ con el mismo ritmo que T porque para una señal de potencia, el lado derecho de la Ec.

(2.76) debe converger. Esta convergencia nos permite intercambiar el orden del proceso de límite y la integración en la Ec. (2.76) y tenemos que

2( )1

lím2

Tx

T

XP d

T

∞

→ ∞−∞

ω= ω

π⌠⌡

(2.77)

La densidad espectral de potencia (DEP) Sx(ω) la definimos como

2( )

( ) lím Tx

T

XS

T→ ∞

ωω = (2.78)

En consecuencia,

0

1( )

21

( )

x x

x

P S d

S d

∞

−∞

∞

= ω ωπ

= ω ωπ

∫∫

(2.79)

Este resultado es semejante al obtenido en la Ec. (2.42) para señales de energía. La potencia es 1/2π veces el área bajo la DEP. Observe que la DEP es el promedio temporal de la DEE de xT(t).

Igual que para el caso con la DEE, la DEP también es una función positiva, rea y par de ω. Si x(t) es una señal de voltaje, las unidades de la DEP son voltios al cuadrado por hertz. La Ec. (2.79) puede expresarse en una forma más compacta usando la variable f (en hertz) como

0

( ) 2 ( )x x xP S d S d∞ ∞

−∞= ω ω = ω ω∫ ∫ (2.80)

B. Función de Autocorrelación en el Tiempo de Señales de Potencia La función de autocorrelación (en el tiempo) Rx(τ) de una señal de potencia real x(t) se define como

2

2

1( ) lím ( ) ( )

T

xT T

x t x t dtT→ ∞ −

τ = + τ∫R (2.81)

Usando el mismo argumento que se usó para señales de energía, se puede demostrar que Rx(τ) es una función par de τ. Para una señal real x(t), esto significa que

2

2

1( ) lím ( ) ( )

T

xT T

x t x t dtT→ ∞ −

τ = − τ∫R (2.82)


78

y ( ) ( )x xτ = −τR R (2.83)

Para señales de energía, la DEE Ψx(ω) es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación ψx(ω). Para señales de potencia aplica un resultado similar. Ahora se demostrará que para una señal de potencia, la DEP Sx(ω) es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación Rx(τ). De la Ec. (2.81) y la Fig. 2.26,

2

2

( )1( ) lím ( ) ( ) lím

TxT

xT TT

x t x t dtT T→ ∞ → ∞−

ψ ττ = + τ =∫R

Recuerde que 2( ) ( )xT TXψ τ ↔ ω . Por tanto, la transformada de Fourier de la ecuación precedente da

2( )

( ) lím ( )Tx x

T

XS

T→ ∞

ωτ ↔ = ωR (2.84)

Aunque hemos demostrado estos resultados para una x(t) real, las Ecs. (2.78), (2.79), (2.80) y (2.84) son igualmente válidas para una x(t) compleja.

Los conceptos y relaciones para la potencia de la señal son muy parecidos a los de la energía de la señal. Esto es puesto en evidencia por la Tabla 2.3. Tabla 2.3


79


2.1. Considere el sistema cuya relación de entrada-salida es dada por la ecuación lineal

( ) ( )y t ax t b= +

donde x(t) y y(t) son la entrada y salida del sistema, respectivamente, y a y b son constantes. ¿Es lineal este sistema)

Resp. No

2.2. Considere el sistema representado por

[ ]( ) * ( )x t x t=T

donde x*(t) es el conjugado complejo de x(t). ¿Es lineal este sistema?

Resp. No

2.3. Un sistema se denomina EASA estable si toda entrada acotada produce una salida acotada. Demuestre que el sistema es estable si su respuesta al impulso es absolutamente integrable, esto es,

( )h d∞

−∞τ τ < ∞∫

Sugerencia: Tome el valor absoluto de ambos lados de la Ec. (2.8) y use el hecho que ( )x t K− τ < .

2.4. Considere el circuito RC sencillo mostrado en la Fig. 2-3(a). Determine la salida y(t) cuando la entrada ( ) ( )ax t p t= *.

Resp. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )t a t a

ay t p t e u t a e u t a−α + −α −= − + − −

2.5. Halle la respuesta de frecuencia H(ω) de la red mostrada en la Fig. 2-27 y demuestre que la red es un filtro de pasa altas.

Resp: ( )2 2( ) 1H LC LC j RCω = − ω − ω + ω

Fig. 2-27

2.6. Halle la respuesta de frecuencia H(ω) de la red obtenida al intercambiar C y L en la Fig. 2.27 y demuestre que la red es un filtro de pasabajas.

Resp: ( )2( ) 1 1H LC j RCω = − ω + ω

2.7. Determine la respuesta al impulso el ancho de banda de 3 dB del filtro cuya respuesta de frecuencia es ( )2( ) 10 100H ω = ω + .

* La función pulso rectangular pa(t) se define por

1, ( )

0, a

t ap t

t a

<=

>


80

Resp. 1012( ) t

h t e−

= , W3 dB = 6.44 radianes por segundo (rad/s)

2.8. Un filtro gaussiano es un sistema lineal cuya respuesta de frecuencia es dada por

20( ) j taH e e− ω− ωω =

Calcule (a) el ancho de banda de 3 dB W3 dB y (b) el ancho de banda equivalente Weq definido por

eq1 1

( )2 (0)

W H dH

∞

−∞= ω ω∫

Resp. (a) 3 dB0.59

Wa

= ; (b) eq0.886

Wa

=

2.9. Las señales ( )4 41( ) 10 rect 10x t t= y 2 ( ) ( )x t t= δ se aplican a las entras de los filtros ideales de pasabajas

( )1( ) rect 40 000H ω = ω π y ( )2 ( ) rect 20 000H ω = ω π (Fig. 2-28). Las salidas y1(t) y y2(t) de estos filtros se

multiplican para obtener la señal 1 2( ) ( ) ( )y t y t y t= .

(a) Dibuje 1( )X ω y 2 ( )X ω .

(b) Dibuje 1( )H ω y 2 ( )H ω .

(c) Dibuje 1( )Y ω y 2 ( )Y ω .

(d) Determine los anchos de banda de y1(t), y2(t) y y(t).

Fig. 2-28

2.10. Un filtro de pasabajas de Butterworth tiene una respuesta de frecuencia de magnitud

( )2

0

1( )

1 nH ω =

+ ω ω

donde n es el número de componentes reactivos (es decir, inductores o capacitores).

(a) Demuestre que conforme n → ∞, ( )H ω se acerca a la característica del filtro de pasabajas ideal

mostrado en la Fig. 2-11(a) con 0 cω = ω .

(b) Halle n de modo que 2( )H ω sea constante hasta dentro de 1 dB en la banda de frecuencia de

00.8ω = ω .

Resp.

(a) Observe que

0

00

para lím

0 para n→∞

∞ ω > ωω = ω < ωω

(b) n = 3

H1(ω)

H1(ω)

x1(t)

x2(t)

y1(t)

y2(t)

y(t) = y1(t) + y2(t)


81

2.11. Si la respuesta al impulso unitario de un sistema LIT causal no contiene impulsos en el origen, entonces demuestre que con

( ) ( ) ( )H A jBω = ω + ω

A(ω) y B(ω) satisfacen las relaciones siguientes:

( )1( )

( )1( )

BA d

AB d

∞

−∞

∞

−∞

λω = λ

π ω − λ

λω = − λ

π ω − λ

∫∫

Estas ecuaciones se conocen como el par de transformadas de Hilbert.

Sugerencia: Sea ( ) ( ) ( )e oh t h t h t= + y use la causalidad de h(t) para demostrar que [ ]( ) ( ) sgn( )e oh t h t t= ,

[ ]( ) ( ) sgn( )o eh t h t t= .

2.12. Demuestre que

2 2ˆ( ) ( )x t dt x t dt∞ ∞

−∞ −∞=∫ ∫

Sugerencia: Use la Ec. (2.36) y aplique el teorema de Parseval para la transformada de Fourier.

2.13. Demuestre que

1ˆ( ) ( )x t x tt

= ∗ −

π

Sugerencia: Use la Ec. (2.36).

2.14. Sean (a) 0( ) senx t t= ω ; (b) ( ) ( )cos cx t m t t= ω ; (c) ( ) ( )sen cx t m t t= ω . Hallar ˆ( )x t .

Sugerencia: Use la Ec. (2.36).

Resp. (a) 0ˆ( ) cosx t t= − ω ; (b) ˆ( ) ( )sen cx t m t t= ω ; (c) ˆ( ) ( )cos cx t m t t= − ω .

( )yS ω

2.15. Demuestre que la energía del pulso gaussiano

( )2 221( )

2xg t e− σ=

π σ

es 1 2σ π . Sugerencia: Use el hecho de que

2xe dx∞

−

−∞= π∫


82

Capítulo 3

MODULACIÓN DE AMPLITUD

3.1. INTRODUCCIÓN La transmisión de una señal portadora de información (o la señal del mensaje) por un canal de comunicación de pasabanda, como una línea telefónica o un canal satelital, usualmente requiere de un desplazamiento de la banda de frecuencias contenidas en la señal hacia otra banda de frecuencias adecuada para la transmisión. Un desplazamiento en la banda de frecuencias de la señal se logra mediante modulación. La modulación se define como el proceso mediante el cual se varía alguna característica de una señal portadora de acuerdo con una señal moduladora. Aquí a la señal del mensaje se le refiere como la señal moduladora y el resultado de la modulación se conoce como la señal modulada.

Antes de estudiar la modulación, es importante diferenciar entre la comunicación que no usa modulación (comunicación de banda base) y la comunicación que sí la usa (comunicación de portadora).

El término banda base se utiliza para designar la banda de frecuencias de la señal entregada por la fuente o el transductor de entrada. En telefonía, la banda base es la banda de audio (banda de las señales de voz) de 0 a 3.5 kHz. En televisión, la banda base es la banda de video de 0 a 4.3 MHz. Para datos digitales o PCM que utiliza señalización bipolar con una tasa de Rb pulsos por segundos, la banda bases es 0 a Rb.

En la comunicación de banda base, las señales son transmitidas sin modulación, es decir, sin ningún desplazamiento en la banda de frecuencias de la señal. Como las señales de banda base tiene una potencia apreciable a bajas frecuencias, no pueden transmitirse por un enlace de radio pero sí están adaptadas para su transmisión por un par de alambres, cables coaxiales o fibras ópticas. La comunicación telefónica local, la modulación codificada de pulsos (PCM, por sus siglas en inglés) de corta distancia (entre dos centrales) y PCM de larga distancia por fibras ópticas usan comunicación de banda base. La modulación puede ser útil en el uso del vasto espectro de frecuencias disponible debido a los avances tecnológicos. Mediante la modulación de varias señales de banda base y el desplazamiento de sus espectros a bandas que no se solapen, se puede usar todo el ancho de banda disponible a través del multiplexado por división de frecuencia (FDM, por sus sigas en inglés). La comunicación de larga distancia por un enlace de radio también requiere el desplazamiento del espectro de la señal hacia frecuencias más altas para permitir una radiación eficiente de la potencia usando antenas de dimensiones razonables. Otro uso adicional de la modulación es el intercambio de ancho de banda de transmisión por razón señal-a-ruido (SNR, por sus siglas en inglés).

La comunicación que usa modulación para correr el espectro de frecuencia de una señal se conoce como comunicación de portadora. En este modo, uno de los parámetros básicos (amplitud, frecuencia o fase) de una portadora sinusoidal de alta frecuencia ωc se varía en proporción con la señal de la banda base m(t). La modulación se usa para transmitir señales de banda base tanto analógicas como digitales.

Los tipos básicos de modulación analógica son la modulación de onda continua (OC) y la modulación de pulsos. En la modulación de onda continua, se usa una señal sinusoidal ( )cosc cA tω + φ como una señal

portadora. Entonces una señal portadora modulada general puede representarse matemáticamente como

[ ]( ) ( )cos ( )c cx t A t t t= ω + φ (3.1)


84

En la Ec. (3.1), el parámetro ωc [o ( )2c cf = ω π ] se conoce como la frecuencia portadora. Y A(t) y φ(t) se denominan la amplitud instantánea y el ángulo de fase de la portadora, respectivamente. Cuando A(t) está relacionada linealmente con la señal del mensaje m(t), el resultado es la modulación de amplitud. Si φ(t) o su derivada está relacionada linealmente con m(t), entonces tenemos modulación de fase o de frecuencia. Colectivamente, la modulación de fase y de frecuencia se conocen como modulación angular, la cual se estudia en el Cap. 4. 3.2. MODULACIÓN DE AMPLITUD En la modulación de amplitud, la portadora modulada se representa por [se toma φ(t) = 0 en la Ec. (3.1) sin pérdida de generalidad], ( ) ( )cosc cx t A t t= ω (3.2)

en la cual la amplitud de la portadora A(t) está relacionada linealmente con la señal del mensaje m(t), la señal moduladora. A la modulación de amplitud también se le refiere algunas veces como modulación lineal. Dependiendo de la naturaleza de la relación espectral entre m(t) y A(t), tenemos los tipos siguientes de esquemas de modulación de amplitud: modulación de banda lateral doble (DSB, por sus siglas en inglés), modulación de amplitud ordinaria (AM), modulación de banda lateral única (SSB, por sus siglas en inglés) y modulación de banda lateral residual (VSB, por sus siglas en inglés). 3.3. MODULACIÓN DE BANDA LATERAL DOBLE La modulación DSB (o también designada DSB-SC, por sus siglas en inglés, para la banda lateral doble con portadora suprimida) resulta cuando A(t) es proporcional a la señal del mensaje m(t), esto es

DSB ( ) ( )cos cx t m t t= ω (3.3)

donde hemos supuesto que la constante de proporcionalidad es 1. La Ec. (3.3) indica que la modulación DSB es simplemente la multiplicación de una portadora, cos ctω , por la señal del mensaje m(t). Al aplicar el teorema de modulación de la transformada de Fourier, se obtiene el espectro de la señal DSB:

( ) ( )1 1DSB 2 2( ) c cX M Mω = ω − ω + ω + ω (3.4)

A. Generación de Señales DSB

El proceso de la modulación DSB se ilustra en la Fig. 3-1(a). Las formas de ondas en el dominio del tiempo se muestran en la Fig. 3-1(b) y (c) para una supuesta señal de mensaje. Las representaciones en el dominio de la frecuencia de m(t) y xDSB(t) se muestran en la Fig. 3-1(d) y (e) para una M(ω) supuesta que tiene un ancho de banda ωM. Los espectros ( )cM ω − ω y ( )cM ω + ω son el espectro del mensaje trasladado hasta cω = ω y cω = −ω ,

respectivamente. La parte del espectro que esta sobre ωc se denomina la banda lateral superior, y la parte debajo de ωc se denomina la banda lateral inferior. La banda espectral ocupada por la señal del mensaje se llama la banda base, y por tanto a la señal del mensaje con frecuencia se le refiere como la señal de banda base. Como se ve en la Fig. 3-1(e),el espectro de xDSB(t) no tiene con ella un portadora identificable, esto es, no contiene una componente discreta de la frecuencia portadora ωc. Por esta razón también se conoce como modulación de banda lateral doble con

portadora suprimida (DSB-SC, por sus inglés en inglés) La frecuencia portadora ωc es normalmente mucho más alta que el ancho de banda ωM de la señal del mensaje m(t), esto es, c Mω ω≫ .

La relación entre ωM y ωc es de interés. La Fig. 3-1c muestra que c Mω ≥ ω para evitar el solapamiento de los

espectros centrados en ωc y −ωc. Si c Mω < ω , estos espectros se solapan y la información de m(t) se pierde en el

proceso de modulación, lo que hace imposible la recuperación de m(t) a partir de ( )cos cm t tω .*

* Factores prácticos también imponen restricciones adicionales sobre ωc. Por ejemplo, en el caso de aplicaciones de

radiodifusión, una antena puede radiar sólo una banda angosta sin distorsión. Eso significa que para evitar la distorsión producida por la antena, 1c Mω ω ≫ . La banda de radiodifusión AM, por ejemplo, con ωM = 5 kHz y la banda de 550 a 1600

kHz para la frecuencia portadora da una razón de c Mω ω de aproximadamente en un intervalo de 100 a 300.


85

Banda lateral superior

Banda lateral superiorBanda lateral

inferior

Fig. 3-1 Modulación de banda lateral doble

Moduladores de Ley Cuadrática y Balanceados

La multiplicación de señales a frecuencias altas puede obtenerse mediante el modulador de ley cuadrática mostrado en la Fig. 3-2a.

Elemento

no lineal

vsalvenFiltro

Figura 3-2 (a) Modulador de ley cuadrática; (b) Realización de circuito con un FET.


86

La realización del circuito en la Fig. 3-2b usa un transistor de efecto de campo como el elemento no lineal y un circuito RLC paralelo como el filtro. Se supone que el elemento no lineal aproxima la curva de transferencia de ley cuadrática

2sal 1 en 2 env a v a v= +

Por ello, con in ( ) ( ) cos cv t x t t= + ω , se obtiene

2 2 2sal 1 2 2 1

1

2( ) ( ) ( ) cos 1 ( ) cosc c

av t a x t a x t a t a x t t

a

= + + ω + + ω

(3.5)

El último término es la onda AM deseada, con Ac = a1 y µ = 2a2/a1, siempre que pueda separarse del resto.

En lo que se refiere a la posibilidad de la separación, la Fig. 3-3 muestra el espectro ( ) [ ]sal sal ( )V f v t= F donde

( )X f tiene una frecuencia máxima igual a W. Observe que el término x2(t) en la Ec. (3.5) se convierte en

( )X X f∗ , que está limitado en banda a 2W. En consecuencia, si fc > 3W, no hay solapamiento espectral y se puede obtener la separación requerida con un filtro de pasabanda de ancho de banda BT = 2W centrado en fc. Observe también que el impulso en la frecuencia portadora desaparece y tenemos una onda DSB si a1 = 0, lo que corresponde a la curva de ley cuadrática perfecta 2

sal 2 env a v= .

Figura 3-3 Componentes espectrales en la Ec. (3.5).

Desgraciadamente, los dispositivos de ley cuadrática perfecta son raros, de modo que la DSB de alta frecuencia se obtiene en la práctica usando dos moduladores AM en una configuración balanceada para cancelar la portadora. La Fig. 3-4 muestra este modulador balanceado en la forma de un diagrama de bloques. Suponiendo que los moduladores AM son idénticos, excepto por el signo invertido de una entrada, las salidas son

12[ 1 ( )]cosc cA x t t+ ω y 1

2[ 1 ( )]cosc cA x t t− ω . Restando una de la otra produce ( ) ( )cosc cx t x t t= ω , como se

requiere. Por tanto, un modulador balanceado es un multiplicador. Se debe observar que si el mensaje tiene un término de CD, esa componente no es cancelada en el modulador, aun cuando sí aparece en la frecuencia de la portadora en el modulador.

Figura 3-4 Modulador Balanceado.


87

Otro modulador que se usa comúnmente para generar señales DSB es el modulador de anillo mostrado en la Fig. 3-5. Una portadora de onda cuadrada c(t) con frecuencia fc hace que los diodos conmuten entre conducción y no conducción. Cuando c(t) > 0, los diodos superior e inferior conducen, mientras que los diodos internos en la sección de las ramas cruzadas no conducen. En este caso sal ( )v x t= . Inversamente, cuando ( ) 0c t < , los diodos

internos conducen y los otros diodos no, resultando en sal ( )v x t= − . Desde un punto de vista funcional, el modulador de anillo puede considerarse como un multiplicador de x(t) y c(t). Sin embargo, como c(t) es una función periódica, puede representarse mediante una expansión en serie de Fourier; esto es,

sal4 4 4

( )cos ( )cos 3 ( )cos 53 5c c cv x t t x t t x t t= ω − ω + ω −

π π π⋯

Observe que la señal DSB puede obtenerse pasando vsal(t) a través de un filtro de pasabanda con ancho de banda 2W centrado en fc. Con frecuencia a este modulador se le refiere como un modulador doble balanceado pues está balanceado con respecto a ambas x(t) y c(t).

vsal

Figura 3-5 Modulador de anillo.

B. Demodulación de Señales DSB

La recuperación de la señal del mensaje a partir de la señal modulada se denomina demodulación o detección. La modulación DSB traslada el espectro de frecuencias hacia la izquierda y hacia la derecha de ωc. Para recuperar la señal original m(t), es necesario devolver el espectro a su posición original. La señal del mensaje m(t) puede recuperarse a partir de la señal modulada xDSB(t) multiplicando a xDSB(t) por una portadora local y usando un filtro de pasabajas (LPF) en la señal del producto, como muestra la Fig. 3-6 (véase el Ejemplo 3.1). Esta multiplicación desplaza el espectro de la onda modulada hacia la izquierda y hacia la derecha por ωc.

Fig. 3-6 Demodulador sincrónico. La dificultad básica asociada con la modulación DSB es que para demodular, el receptor debe generar una portadora local que esté en sincronismo de fase y frecuencia con la portadora entrante (Ejemplos. 3.2 y 3.3). Este tipo de demodulación se conoce como demodulación sincrónica o detección coherente.

Ejemplo 3.1. Verifique que la señal del mensaje m(t) se recupera a partir de una señal DSB modulada si se multiplica primero por una portadora sinusoidal local y después se pasa la señal resultante a través de un filtro de pasabajas, como se muestra en la Fig. 3-6, (a) en el dominio del tiempo y (b) en el dominio de la frecuencia.

(a) Refiriéndonos a la Fig. 3-6, la salida del multiplicador es


88

[ ]DSB2

1 12 2

( ) ( )cos ( )cos cos

( )cos

( ) cos 2

c c c

c

c

d t x t t m t t t

m t t

m t t

= ω = ω ω

= ω

= + ω

Esta última relación muestra que la señal d(t) consiste de dos componentes, 12 ( )m t y 1

2 ( )cos 2 cm t tω . El

espectro de la segunda componente, como es una señal modulada con frecuencia portadora 2ωc, está centrada en 2 c± ω . Por tanto, esta componente es suprimida por el filtro de pasabajas. Luego del filtrado de pasabajas de d(t), se obtiene

12( ) ( )y t m t= (3.6)

Así que mediante una amplificación apropiada (multiplicación por 2) se puede recuperar la señal del mensaje m(t).

(b) La demodulación de xDSB(t) por el proceso mostrado en la Fig. 3-2 en el dominio de la frecuencia se ilustra en la Fig. 3-7.

Fig. 3-7 Demodulación de una señal DSB. Este método de recuperar la señal de banda base se denomina detección sincrónica o detección coherente, donde usamos una portadora de exactamente la misma frecuencia (y fase) que la portadora usada para la modulación. Por tanto, para demodular, se necesita generar una portadora local en el receptor en sincronismo (coherente) en frecuencia y fase con la portadora usada en el modulador.


89

Ejemplo 3.2. Evaluar el efecto de un error de fase en el oscilador local en la demodulación sincrónica de la DSB como muestra la Fig. 3-6.

Supóngase que el error de fase del oscilador local en la Fig. 3-6 es φ. Entonces la portadora local se expresa como ( )cos ctω + φ . En este caso,

DSB ( ) ( )cos cx t m t t= ω y

[ ] ( )

( )

( )

121 12 2

( ) ( )cos cos

( ) cos cos 2

( )cos ( )cos 2

c c

c

c

d t m t t t

m t t

m t m t t

= ω ω + φ

= φ + ω + φ

= φ + ω + φ

El segundo término en el lado derecho es eliminado por el filtro de pasabajas y se obtiene

12( ) ( )cosy t m t= φ (3.7)

Esta salida es proporcional a m(t) cuando φ es constante. La salida se pierde completamente cuando 2φ = ± π . Por tanto, el error de fase en la portadora local ocasiona una atenuación de la señal de salida sin ninguna distorsión siempre y cuando φ sea constante y no igual a 2± π . Si el error de fase φ varía aleatoriamente con el tiempo, entonces la salida también variará aleatoriamente y esto es indeseable. Ejemplo 3.3. Evaluar el efecto de un pequeño error de frecuencia en el oscilador local en la demodulación sincrónica de la DSB, como se muestra en la Fig. 3-6.

Sea ∆ω el error de frecuencia del oscilador local en la Fig. 3-6. La portadora local se expresa entonces como ( )cos c tω + ∆ω . Por tanto,

( )( )1 1

2 2

( ) ( )cos cos

( )cos ( )cos 2c c

c

d t m t t t

m t t m t t

= ω ω + ∆ω

= ∆ω + ω

y la salida del filtro de pasabajas es ( )1

2( ) ( )cosy t m t t= ∆ω (3.8)

La salida es la señal m(t) multiplicada por una sinusoide de baja frecuencia. Éste es un efecto de “batido” y es una distorsión muy indeseable. 3.4. MODULACIÓN DE AMPLITUD ORDINARIA Para el esquema de portadora suprimida estudiado en la última sección, un receptor debe generar una portadora sincronizada en frecuencia y fase con la portadora en el transmisor que puede estar ubicado a cientos o miles de kilómetros de distancia. Esto requiere de un receptor sofisticado y podría ser bastante costoso. La otra alternativa es que el transmisor transmita una portadora cos cA tω [junto con la señal modulada ( )cos cm t tω ] de modo que no haya necesidad de generar una portadora en el receptor. En las comunicaciones punto a punto, donde hay un transmisor para cada receptor, se puede justificar una mayor complejidad en el sistema receptor, siempre y cuando resulte un ahorro sustancial en el costoso equipo transmisor de alta potencia. Por otra parte, para un sistema de radiodifusión con una multitud de receptores para cada transmisor, es más económico tener un costoso transmisor de alta potencia y receptores más sencillos y menos costosos. La segunda opción (transmitir una portadora junto con la señal modulada) es la opción obvia para el caso. Ésta es la llamada modulación de amplitud ordinaria o AM.

Una señal modulada en amplitud ordinaria se genera añadiendo una señal portadora grande a la señal DSB. La señal AM ordinaria (o simplemente señal AM) tiene la forma

[ ]AM ( ) ( )cos cos ( ) cosc c cx t m t t A t A m t t= ω + ω = + ω (3.9)

El espectro de la señal xAM(t) es dado por


90

( ) ( ) ( ) ( )1 1AM 2 2( ) c c c cX M M A ω = ω − ω + ω + ω + π δ ω − ω + δ ω + ω (3.10)

En la Fig. 3-8 se muestra un ejemplo de una señal AM, tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia.

Fig. 3-8 Modulación de amplitud.

Recuerde que la señal DSB-SC es ( )cos cm t tω . De la Ec. (3.9) se deduce que la señal AM es idéntica a la señal

DSB-SC con ( )A m t+ como la señal moduladora [en vez de m(t)]. Por tanto, para dibujar AM ( )x t , se dibuja

( )A m t+ y ( )A m t− y se completa el espacio entre ellas con la sinusoide de la frecuencia portadora. Estos casos se consideran a continuación. A. Generación de Señales AM

Las señales AM pueden ser generadas por cualquiera de los moduladores de DSB-SC estudiados en la Sección 3.3 si la señal moduladora usada es ( )A m t+ en vez de m(t), pero como no hay necesidad de suprimir la portadora en la salida, los circuitos de modulación no tienen que estar equilibrados. Esto resulta en moduladores para AM mucho más sencillos. La Fig. 3-9 muestra un modulador de conmutación, donde esta acción se suministrada por un solo diodo. La entrada es cos ( )cc t m tω + , con ( )c m t≫ , de modo que la acción de

conmutación es controlada por cos cc tω . El diodo se cierra y se abre periódicamente con cos ctω , multiplicando

en efecto la señal de entrada [ ]cos ( )cc t m tω + por w(t). El voltaje entre los terminales bb’ es

[ ] [ ]

suprimidos por el filtro deAM

1 2 1 1cos ( ) ( ) cos ( ) cos cos 3 cos 5

2 3 52

cos ( )cos otros términos2

bb c c c c c

c c

v c t m t w t c t m t t t t

ct m t t

′

− ω + = ω + + ω − ω + ω −

π

= ω + ω +π

⋯

pasabanda

El filtro de pasabanda sintonizado en ωc suprime todos los otros términos y se obtiene la señal AM deseada en la salida.


91

Filtro de pasabanda

ωccos ctc ω

Fig. 3-9 Generador AM.

B. Demodulación de Señales AM

La ventaja de la modulación AM sobre la modulación DSB es que se puede usar un esquema muy sencillo, conocido como detección de envolvente, para la demodulación si se transmite suficiente potencia de portadora. En la Ec. (3.9), si A es lo suficientemente grande, la envolvente (amplitud) de la forma de onda modulada dada por

( )A m t+ será proporcional a m(t), es decir, la envolvente tiene la misma forma que m(t). La demodulación en este caso se reduce simplemente a la detección de la envolvente de una portadora modulada que no depende de la fase o frecuencia exactas de la portadora. Si A no es lo suficientemente grande, entonces la envolvente de xAM(t) no siempre es proporcional a m(t), como se ilustra en la Fig. 3-10. Por tanto, la condición para la demodulación de la señal AM por un detector de envolvente es

( ) 0 para todo A m t t+ > (3.11) o mín ( )A m t≥ (3.12)

donde mín ( )m t es el valor mínimo de m(t). Si m(t) ≥ 0, entonces A = 0 también satisface la condición (3.11). En

este caso no hay necesidad de añadir una portadora ya que la envolvente de la señal DSB-SC ( )cos cm t tω es m(t) y esta señal puede ser detectada usando una simple detección de envolvente.

Fig. 3-10 Señal AM y su envolvente.


92

C. Índice de Modulación

El índice de modulación para la AM se define como

mín ( )m t

Aµ = (3.13)

donde A es la amplitud de la portadora. Por la Ec. (3.12), la condición para la demodulación de AM mediante un detector de envolvente también puede expresarse como

0 1≤ µ ≤ (3.14)

como la condición requerida para la viabilidad de la demodulación de la AM por un detector de envolvente.

Cuando µ > 1, se dice que la portadora está sobremodulada, lo que resulta en distorsión de envolvente y la opción de detección de envolvente no es viable. Entonces es necesario usar demodulación sincrónica. Observe que esta demodulación puede usarse para cualquier valor de µ. El detector de envolvente, el cual es mucho más sencillo y menos costoso que el detector sincrónico, sólo puede usarse para µ < 1. Ejemplo 3.4. Dibuje xAM(t) para índices de modulación de µ = 0.5 y µ = 1, cuando ( ) cos mm t B t= ω . Este caso se conoce como modulación de tono porque la señal moduladora es una sinusoide pura (o de un solo tono).

En este caso, mín ( )m t B= y el índice de modulación es

B

Aµ =

Por tanto, B A= µ y

( ) cos cosm mm t B t A t= ω = µ ω y [ ] [ ]AM ( ) ( ) cos 1 cos cosc m cx t A m t t A t t= + ω = + µ ω ω (3.15)

La Fig. 3-11 muestra las señales moduladas correspondientes a µ = 0.5 y µ = 1, respectivamente.

Fig. 3-11 AM con modulación de tono. (a) µ = 0.5. (b) µ = 1.

Ejemplo 3.5. La eficiencia η de la AM ordinaria se define como el porcentaje de la potencia total transportada por las bandas laterales, esto es,

100%s

t

P

Pη = × (3.16)

donde Ps es la potencia transportada por las bandas laterales y Pt es la potencia total de la señal AM.

(a) Hallar η para µ = 0.5 (50 por ciento de modulación).

(b) Demuestre que para la AM de un solo tono, ηmáx es 33.33 por ciento para µ = 1.


93

De las Ecs. (3.9) y (3.13), una señal AM de un solo tono puede expresarse como

( ) ( )

( ) ( )

AM1 12 2

212

2 2 2 21 1 1 12 2 2 4

( ) cos cos cos

cos cos cos

potencia de portadora

potencia de las bandas laterales

c m c

c c m c m

c

s

x t A t A t t

A t A t A t

P A

P A A A

= ω + µ ω ω

= ω + µ ω − ω + µ ω + ω

= =

= = µ + µ = µ

La potencia total Pt es

( )2 2 2 2 21 1 1 12 4 2 21t c sP P P A A A= + = + µ = + µ

Por tanto,

( )

2 21 24

22 21 12 4

100% 100% 100%2

s

t

AP

P A

µ µη = × = × = ×

+ µ+ µ (3.18)

con la condición de que µ ≤ 1.

(a) Para µ = 0.5, ( )

( )

2

2

0.5100% 11.1%

2 0.5η = × =

+.

(b) Puesto que µ ≤ 1, se puede ver que ηmáx ocurre en µ = 1 y es dado por

13 100& 33.3%η = × =

Por tanto, para la modulación de tono, bajo las mejores condiciones (µ = 1), sólo se usa un tercio de la potencia transmitida para llevar el mensaje. Para señales prácticas, la eficiencia es todavía peor (en el orden de 25% o menor) comparada con el caso DSB-SC. La mejor condición implica µ = 1. Valores menores de µ degradan la eficiencia todavía más. Por esta razón comúnmente en AM se usa compresión de volumen y limitación del valor pico para asegurar que la modulación completa (µ = 1) se mantiene la mayor parte del tiempo.

Ejemplo 3.6. Demuestre que un demodulador sincrónico (Fig. 3-12) puede demodular una señal AM

[ ]AM ( ) ( ) cos cx t A m t t= + ω indiferentemente del valor de A.

De la Fig. 3-7,

[ ][ ] [ ]

2AM

1 12 2

( ) ( )cos ( ) cos

( ) ( ) cos 2c c

c

d t x t t A m t t

A m t A m t t

= ω = + ω

= + + + ω

Fig. 3-12 Detector sincrónico.

Por tanto, luego de pasar por el filtro de pasabajas, se obtiene

[ ]1 1 12 2 2( ) ( ) ( )y t A m t m t A= + = + (3.17)

Un capacitor de bloqueo suprimirá el término de corriente directa (cd) 12 A y se producirá la salida 1

2 ( )m t .

D. Detector de Envolvente

La Fig. 3-13 muestre la forma más simple de un detector de envolvente y la cual está conformada por un diodo y una combinación de resistor-capacitor. La operación del detector de envolvente se explica así. Durante el


94

semiciclo positivo de la señal de entrada, el diodo está polarizado directamente y el capacitor C se carga rápidamente hasta el valor pico de la señal de entrada. A medida que la señal de entrada cae por debajo de su valor pico, el diodo se apaga, porque el voltaje del capacitor (que está muy cerca del pico de voltaje) es mayor que el voltaje de la señal de entrada, haciendo así que el diodo se abra... Esto es seguido por una descarga lenta del capacitor a través del resistor R hasta el siguiente semiciclo positivo, donde la señal de entrada se hace más grande que el voltaje del capacitor y el diodo conduce de nuevo. El capacitor se carga al nuevo valor pico y el proceso se repite. La descarga del capacitor entre los picos positivos produce una señal rizada de crecencia ωc en la salida. Este rizado pede reducirse incrementando la constante de tiempo RC de modo que el capacitor se descargue muy poco entre los picos positivos (RC >> 1/ωc). Sin embargo, si se hace RC muy grande, sería imposible que el voltaje del capacitor siguiese a la envolvente. Por tanto, RC debe ser grande comparada con 1/ωc pero pequeña compara con 1/2πfM, donde fM es la mayor frecuencia en m(t).

Envolvente

vc(t)

Fig. 3-13 Detector de envolvente para AM. Entonces, para una operación apropiada del detector de envolvente, la constante de tiempo RC de la descarga debe escogerse apropiadamente (véase el Ejemplo 3.7). En la práctica, una operación satisfactoria requiere que 1 1c Mf f≪ , donde fM es el ancho de banda de la señal del mensaje. Ejemplo 3.7. La entrada a un detector de envolvente (Fig. 3-13) es una señal AM de un solo tono

( )AM ( ) A 1 cos cosm cx t t t= + µ ω ω , donde µ es una constante, 0 < µ < 1 y c mω ω≫ .

(a) Demuestre que si la salida del detector debe seguir a la envolvente de xAM(t), se requiere que en cualquier instante t0

0

0

sen11 cosm

m

t

RC t

µ ω ≥ ω

+ µ ω (3.18)

(b) Demuestre que si la salida del detector debe seguir a la envolvente por todo el tiempo, se requiere que

211

m

RC− µ

≤ω µ

(3.19)

(a) La Fig. 3-14 muestra la envolvente de xAM(t) y la salida del detector (el voltaje en el capacitor de la Fig. 3-13). Supóngase que el capacitor se descarga de el valor pico ( )0 01 cos mE t+ µ ω en t0 = 0. Entonces el voltaje vC(t)

en el capacitor de la Fig. 3-14 viene dado por

( )( )

0 0t RC

Cv t E e−= (3.20)


95

Envolvente

Fig. 3-14.

El intervalo entre dos picos sucesivos de la portadora es 1 2c cf = π ω y 1 cRC ≥ ω . Esto significa que la constante de tiempo RC es mucho mayor que el intervalo entre dos picos sucesivos de la portadora. Por tanto, vC(t) puede aproximarse por

0( ) 1C

tv t E

RC

≈ −

(3.21)

Por tanto, si el voltaje vC(t) va seguir la envolvente de xAM(t), se requiere que en cualquier instante t0

( )0 01 1

1 cos 1 1 cosm mc c

t tRCf f

+ µ ω − ≤ + µ ω +

(3.22)

Ahora, si m cω ω≪ , entonces

0 0

0 0

0 0

11 cos 1 cos

1 cos cos sen sen

1 cos sen

mm m

c c

m mm m

c c

mm m

c

t tf f

t tf f

t tf

ω + µ ω + = + µ ω +

ω ω

= + µ ω − µ ω

ω= + µ ω − µ ω

Por tanto

( )0 01

1 cos senmm m

c c

t tRCf f

µω + µ ω ≤ ω

o

0

0

sen11 cos

mm

m

t

RC t

µ ω ≥ ω

+ µ ω

(b) Si se reescribe la Ec. (3.20), se obtiene

0 01

cos senm m mt tRC RC

µ+ ω ≥ µω ω

o

0 01 1

sen cosm m mt tRC RC

µ ω ω − ω ≤

o 2

2 10

1 1 1sen tanm m

m

tRC RC RC

− µ ω ω − ≤ ω

Puesto que esta desigualdad debe cumplirse para todo t0, tenemos que


96

2

2 1 1m

RC RC

µ ω + ≤

(3.23)

o 2 2

2 2 1 1m

RC RC

µ ω + ≤

De donde obtenemos que 211

m

RC− µ

≤ω µ

3.5. MODULACIÓN DE BANDA LATERAL ÚNICA El espectro de la modulación AM ordinaria y de la modulación DSB contiene dos bandas laterales y ambas contienen toda la información de la señal de la banda base. Como consecuencia, desperdician ancho de banda porque ambas requiere un ancho de banda de transmisión igual al doble del ancho de banda del mensaje (Véase las Figs. 3-1 y 3-3).

Puesto que ya sea la banda lateral superior o la banda lateral inferior contiene toda la información de la señal del mensaje, sólo es necesario transmitir una banda lateral para la transmisión de la información. Un esquema en el cual sólo se transmite una banda lateral se conoce como modulación de banda lateral única (SSB, por sus siglas en inglés), el cual requiere solamente la mitad del ancho de banda de la señal DSB.

La Fig. 3-15 ilustra los espectros de señales DSB y SSB. El beneficio de la modulación SSB es el requerimiento de ancho de banda reducido, pero las principales desventajas son el costo y la complejidad de su implementación.

Fig. 3-15 Espectros de señales DSB y SSB.


97

A. Generación de Señales SSB

1. Método de Discriminación de Frecuencias

La forma directa para generar una señal SSB es generar primero una señal DSB y después suprimir una de las bandas laterales mediante un filtrado selectivo. Esto se conoce como el método de discriminación de frecuencias y el proceso se ilustra en la Fig. 3-16. En este método, una señal DSB se pasa por un filtro de corte agudo para eliminar la banda no deseada.

Para obtener la banda lateral superior, el filtro debe pasar todas las componentes superiores a ωc sin atenuación y suprimir completamente todas las componentes inferiores a ωc. Esta operación requiere de un filtro ideal, el cual no es realizable. Sin embargo, se puede obtener una realización aproximada si existe algo de separación entre la banda de paso y la de rechazo. Afortunadamente, la señal de voz proporciona esta condición, porque su espectro muestra muy poco contenido de frecuencia en el origen. Además, las pruebas de articulación han demostrado que para señales de audio, las componentes de frecuencia por debajo de 300 Hz no son importantes. En otras palabras, podemos suprimir todas las componentes de voz inferiores a 300 Hz sin afectar apreciablemente la inteligilibilidad. Por tanto, el filtrado de la banda lateral indeseada se vuelve relativamente fácil para señales de voz porque tenemos una región de transición de 600 Hz alrededor de la frecuencia de corte ωc. Para minimizar la interferencia entre canales adyacentes, la banda lateral no deseada debe atenuarse en por lo menos 40 dB. 2. Método de Desplazamiento de Fase

Otro método para generar una señal SSB, conocido como el método de desplazamiento o corrimiento de fase, se ilustra en la Fig. 3-17. El bloque marcado −π/2 es un desplazador de fase de π/2 que retarda la fase de cada componente de frecuencia por π/2. Por tanto, es un transformador de Hilbert. Un desplazador de fase ideal es casi imposible de realizar exactamente, pero es posible aproximarlo en una banda de frecuencias finita.

Fig. 3-16 Generación de SSB usando filtro de pasabanda.


98

Si tomamos a ˆ ( )m t como la salida del desplazador de fase de −π/2 debida a la entrada m(t) (véase la Sec. 2.6), entonces de la Fig. 3-17, la señal SSB xSSB(t) puede representarse por

SSB ˆ( ) ( )cos ( )senc cx t m t t m t t= ω ω∓ (3.24)

La diferencia representa la señal SSB de banda lateral superior y la suma representa la señal SSB de banda lateral inferior (véase el Ejemplo 3.8).

Si tomamos a ˆ ( )m t como la salida del desplazador de fase de −π/2 debida a la entrada m(t) (véase la Sec. 2.6), entonces de la Fig. 3-17, la señal SSB xSSB(t) puede representarse por

SSB ˆ( ) ( )cos ( )senc cx t m t t m t t= ω ω∓ (3.25)

La diferencia representa la señal SSB de banda lateral superior y la suma representa la señal SSB de banda lateral inferior (véase el Ejemplo 3.8).

Fig. 3-17 Generación de SSB usando desplazadores de fase.

Ejemplo 3.7. Use la señal moduladora de un solo tono cos mtω para verificar que la salida del generador de SSB de la Fig.

3-14 es efectivamente una señal SSB, y demuestre que resulta una señal de banda lateral superior (BLS) o una de banda lateral inferior (BLI) si restamos o sumamos en la unión de suma.

Refiriéndonos a la Fig. 3-18, la cual es la misma Fig. 3-17 dibujada con una sola señal moduladora de un solo tono, tenemos que

Fig. 3-18


99

( ) cos

cos sen2

ˆ ( ) cos sen2

m

c c

m m

m t t

t t

m t t t

= ω

π ω − = ω

π = ω − = ω

Por tanto,

( )( ) cos cos sen sen

cosm c m c

c m

y t t t t t

t

= ω ω ω ω

= ω ± ω

∓

Entonces, al restar se obtiene

( )BLS( ) ( ) cos c my t x t t= = ω + ω

y con la suma se obtiene

( )BLI( ) ( ) cos c my t x t t= = ω − ω

Ejemplo 3.8. Demuestre que si la salida del modulador por desplazamiento de fase (Fig. 3-19) es una señal SSB, (a) la diferencia de la señales en la unión de suma produce la señal SSB de banda lateral superior y (b) la suma produce la señal SSB de la banda lateral inferior. Esto es,

BLS ˆ( ) ( ) ( )cos ( )senc c cx t x t m t t m t t= = ω − ω (3.26)

es una señal SSB de banda lateral superior y

BLI ˆ( ) ( ) ( )cos ( )senc c cx t x t m t t m t t= = ω + ω (3.27)

es una señal SSB de banda lateral inferior.

(a) Sea ( ) ( )m t M↔ ω y ˆ ( ) ( )m t M↔ ω . Entonces, si se aplica el teorema de modulación o la propiedad de desplazamiento de frecuencia de la transformada de Fourier, se obtiene

( ) ( )1 1

( )cos 2 2c c cm t t M Mω ↔ ω − ω + ω + ω

y

( ) ( )1 1ˆ ( )sen 2 2c c cm t t M M

j jω ↔ ω − ω − ω + ω

Tomando la transformada de Fourier de la Ec. (3.26), tenemos que

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

( )2 2 2 2c c c c cX M M M M

j j

ω = ω − ω + ω + ω − ω − ω − ω + ω

(3.28)

Por la Ec. (2.28), tenemos ( ) ( ) ( )sgnc c cM j Mω − ω = − ω − ω ω − ω

y ( ) ( ) ( )sgnc c cM j Mω + ω = − ω + ω ω + ω

Por tanto,

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1( )

2 21 1

sgn sgn2 2

1 1 1 sgn 1 sgn

2 2

c c c

c c c c

c c c c

X M M

M M

M M

ω = ω − ω + ω + ω

− − ω − ω ω − ω + ω + ω ω + ω

= ω − ω + ω − ω + ω + ω − ω + ω

(3.29)


100

Fig. 3-19 Puesto que

( )2

1 sgn0

cc

c

ω > ω+ ω − ω =

ω < ω

y

( )2

1 sgn0

cc

c

ω < −ω− ω − ω =

ω > −ω

tenemos que

( )( )

0

( )

c

c c c

c c

X M

M

ω < ω

ω = ω + ω ω < −ω ω − ω ω > ω

(3.30)

la cual se dibuja en la Fig. 3-19(b). Vemos que ( )cx t es una señal SSB de banda lateral superior.

(b) En una forma similar, si se toma la transformada de Fourier de la Ec. (3.27), tenemos que

( ) ( ) ( ) ( )1 1

( ) 1 sgn 1 sgn2 2c c c c cX M M ω = ω − ω − ω − ω + ω + ω + ω + ω

Puesto que

( )2

1 sgn0

cc

c

ω < ω− ω − ω =

ω > ω

y

( )2

1 sgn0

cc

c

ω > −ω+ ω + ω =

ω < −ω

tenemos que


101

( )( )

0

( )

c

c c c

c c

X M

M

ω > ω

ω = ω − ω ω < ω ω + ω ω > −ω

(3.31)

la cual se dibuja en la Fig. 3-19(c). Vemos que ( )cx t es una señal SSB de banda lateral superior. B. Demodulación de Señales SSB

La demodulación de señales SSB puede lograrse fácilmente utilizando el detector coherente en la forma usada en la demodulación de la DSB, esto es, multiplicando la señal xSSB(t) por una portadora local y pasando la señal resultante a través de un filtro de pasabajas. Esto se ilustra en la Fig. 3-20.

Fig. 3-20 Demodulación sincrónica de señales SSB Ejemplo 3.9. Demuestre que una señal SSB puede ser demodulada por el detector sincrónico de la Fig. 3-21 dibujando el espectro de la señal en cada punto y (b) mediante la expresión en el dominio del tiempo de las señales en cada punto.

Fig. 3-21 Detector sincrónico.

(a) Sea M(ω) es espectro del mensaje m(t), como se muestra en la Fig. 3-22(a). Suponga también que xSSB(t) es una señal SSB de banda lateral inferior y su espectro es XSSB(ω), como muestra la Fig. 3-22(b). La multiplicación por cos ctω desplaza el espectro XSSB(ω) hasta c± ω y se obtiene D(ω), el espectro de d(t) [Fig.

3-22(c)]. Después del filtrado de pasabajas, se obtiene 12( ) ( )Y Mω = ω , el espectro de y(t) [Fig. 3-22(d)]. Así se

obtiene 12( ) ( )y t m t= , que es proporcional a m(t).

(b) De la Ec. (3.24), se tiene que xSSB(t) puede expresarse como

SSB ˆ( ) ( )cos ( )senc cx t m t t m t t= ω ω∓


102

Fig. 3-22

Por tanto,

( )

2SSB

1 12 21 1 12 2 2

ˆ( ) ( )cos ( )cos ( )sen cosˆ ( ) 1 cos 2 ( )sen 2

ˆ ( ) ( )cos 2 ( )sen 2

c c c c

c c

c c

d t x t t m t t m t t t

m t t m t t

m t m t t m t t

= ω = ω ω ω

= + ω ω

= + ω ω

∓

∓

∓

y, después del filtrado de pasabajas, se obtiene

12( ) ( )y t m t=

Ejemplo 3.10. Demuestre que el sistema mostrado en la Fig. 3-23 puede usarse para demodular una señal SSB.

Por la Ec. (3.26) del Ejemplo 3.8, la señal SSB de banda lateral superior xc(t) es

ˆ( ) ( )cos ( )senc c cx t m t t m t t= ω − ω

Entonces, del Problema 2.13 tenemos que

ˆ ˆ( ) ( )sen ( )cosc c cx t m t t m t t= ω + ω


103

Fig. 3-23 Demodulador SSB por desplazamiento de fase.

De la Fig. 3-23 se obtiene

( )2 2

ˆ( ) (t)cos ( )sen

( ) cos sen ( )c c c c

c c

y t x t x t t

m t t t m t

= ω + ω

= ω + ω =

En una forma similar, la señal SSB de banda lateral inferior xc(t) es

ˆ( ) ( )cos ( )senc c cx t m t t m t t= ω + ω

y

ˆ ˆ( ) ( )sen ( )cosc c cx t m t t m t t= ω − ω

Una vez más, de la Fig. 3-23 se obtiene

( )2 2

ˆ( ) (t)cos ( )sen

( ) cos sen ( )c c c c

c c

y t x t x t t

m t t t m t

= ω + ω

= ω + ω =

Observe que la Fig. 3-23 es exactamente la misma que la Fig. 3-12, excepto en la adición en la unión de suma para ambos casos. 3.6. MODULACIÓN DE BANDA LATERAL RESIDUAL La modulación de banda lateral residual (VSB, por sus siglas en inglés) es un compromiso entre la modulación SSB y la DSB. En este esquema de modulación, se pasa una banda lateral casi por completo, en tanto que se retiene sólo un residuo de la otra banda lateral. El ancho de banda típico requerido para transmitir una señal VSB es aproximadamente 1.25 el de la SSB. La VSB se usa para la transmisión de la señal de video en la radiodifusión de la televisión comercial. A. Generación de Señales VSB

Una señal VSB puede ser generada pasando una señal DSB a través de un filtro de conformado de banda lateral (o filtro de residuo), como muestra la Fig. 3-24(a). La Fig. 3-24(b) a (e) ilustra el espectro de una señal VSB [ ]SSB ( )x t en relación con la de la señal del mensaje m(t), suponiendo que la banda lateral inferior es

transformada en banda lateral residual. En la VSB, en vez de rechazar completamente una banda lateral (como en la SSB), se acepta un corte gradual de una banda lateral, como en la Fig. 3-24(e).


104

Filtro VSB

Fig. 3-24 Modulación VSB. B. Demodulación de Señales VSB

Para señales VSB, m(t) puede recuperarse mediante demodulación sincrónica o coherente (véase la Fig. 3-25); esto determina los requisitos de la respuesta de frecuencia H(ω). Se puede demostrar que para una recuperación sin distorsión de m(t), se requiere que

( ) ( ) constante para c c cH Hω + ω + ω − ω = ω ≤ ω (3.32)

donde ωM es la frecuencia máxima de m(t) (Ejemplo 3.11). Tomando la constante en la Ec. (3.32) igual a ( )2 cH ω ,

la Ec. (3.32) se convierte en

( ) ( ) ( ) ( )c c c cH H H H ω − ω − ω = − ω − ω − ω (3.33)

la cual muestra que H(ω) tendrá asimetría con respecto a la frecuencia portadora (Fig. 3-16). La Fig. 3-26(a) y (b) muestra dos formas posibles de ( )H ω que satisfacen la Ec. (3.33).

Fig. 3-25


105

Los filtros en la Fig. 3-26(a) y (b) corresponden a filtros VSB que retienen la banda lateral inferior (LSB, por sus siglas en inglés) y la banda lateral superior (USB), respectivamente.

Fig. 3-26 Características del filtro de VSB

La Fig. 3-27 ilustra la demodulación de la señal VSB mostrada en la Fig. 3-24 por el detector sincrónico de la Fig. 3-25.

Figura 3-27 Demodulación sincrónica de señales VSB. Ejemplo 3.11. Demuestre que para demodulación sin distorsión de una señal VSB usando el detector sincrónico de la Fig. 3-25, la respuesta de frecuencia H(ω) del filtro de la Fig. 3-24(a) debe satisfacer la Ec. (3.32), esto es,

( ) ( ) constante para c c MH Hω + ω + ω − ω = ω ≤ ω (3.34)

El espectro de la señal xVSB(t), XVSB(ω), es

( ) ( )1VSB VSB VSB2( ) ( )cos c c cd t x t t X X = ω ↔ ω − ω + ω + ω (3.35)

Sustituyendo la Ec. (3.34) en la ecuación precedente y eliminando los espectros en 2 c± ω (se suprimen con un filtro de pasabajas), encontramos que la salida y(t) del demodulador VSB sincrónico (Fig. 3-15) y su transformada de Fourier son dadas por

( ) ( )12( ( ) c cy t M H H = ω ω + ω + ω − ω (3.36)

Para detección sin distorsión, debemos tener que


106

( ) ( ) ( )y t km t kM= ↔ ω (3.37)

donde k es una constante arbitraria.

Por tanto, para demodulación sin distorsión, debemos tener que

( ) ( ) constante para c c MH Hω + ω + ω − ω = ω ≤ ω

Ejemplo 3.12. En la Fig. Fig. 3-28 se muestra la respuesta de frecuencia H(ω) de un filtro VSB.

(a) Halle la señal VSB xVSB(t) cuando

1 1 2 2( ) cos cosm t a t a t= ω + ω

(b) Demuestre que xVSB(t) puede ser demodulada por el demodulador sincrónico de la Fig. 3-25.

Fig. Fig. 3-28 (a) Refiriéndonos a la Fig. 3-24, se tiene que

( )

( ) ( ) ( ) ( )

DSB

1 1 2 21 1 1 1

1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2

( ) ( )cos cos cos cos

cos cos cos cos

c

c

c c c c

x t m t t

a t a t t

a t a t a t a t

= ω

= ω + ω ω

= ω − ω + ω + ω + ω − ω + ω + ω

Estas sinusoides se transmiten a través de H(ω), mostrada en la Fig. 3-26, que tiene ganancias de 0, α, 1 − α y 1 en 2cω − ω , 1cω − ω , 1cω + ω y 2cω + ω , respectivamente. De manera que la salida del filtro de VSB xVSB(t) es

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1VSB 1 1 1 1 2 22 2 2( ) cos 1 cos cosc c cx t a t a t a t= α ω − ω + − α ω + ω + ω + ω

(b) Refiriéndonos a la Fig. 3-25, obtenemos

( ) ( )( ) ( ) ( )

VSB1 1

1 1 2 2 1 14 4

1 1 1 2

( ) ( )cos

cos cos cos 2

1 cos 2 cos 2

c

c

c c

d t x t t

a t a t a t

a t a t

= ω

= ω + ω + α ω − ω

+ − α ω + ω + ω + ω

Ahora se usa un filtro de pasabajas para eliminar los términos de frecuencia doble y se obtiene

( )1 11 1 2 24 4( ) cos cos ( )y t a t a t m t= ω + ω =

Uso de la VSB en la Televisión. La VSB es un inteligente compromiso entre la SSB y la DSB, que la hace muy atractiva para los sistemas de radiodifusión de televisión. La señal de video de la banda base ocupa un ancho de banda enorme de 4.5 MHz y una señal DSB necesita un ancho de banda de 9 MHz. Parecería deseable usar SSB para conservar el ancho de banda. Desafortunadamente, esto crea varios problemas. En primer lugar, la señal de


107

video de la banda base tiene una potencia considerable en la región de bajas frecuencias y, como consecuencia, es difícil suprimir una banda lateral por completo. En segundo lugar, para un receptor, se prefiere un detector de envolvente en vez de uno sincrónico para reducir el costo del receptor. Es fácil demostrar que la SSB tiene una baja eficiencia de potencia. Además, el uso de la SSB aumentará el costo del receptor.

En la Fig. Fig. 3-29a se muestra el espectro DSB de una señal de televisión. El filtro de conformado residual

VSB ( )H ω corta gradualmente el espectro de la banda lateral inferior comenzando en 0.75 MHz hasta 1.25 MHz debajo de la frecuencia portadora fc, como muestra la Fig. Fig. 3-29b. El ancho de banda del espectro VSB resultante es 6 MHz. Compare esto con el ancho de banda DSB de 9 MHz y el ancho de banda SSB de 4.5 MHz.

Espectro DSBEspectro de audio

(FM)

Fig. Fig. 3-29 Espectro de una señal de televisión. (a) Señal DSB. (b) Señal transmitida 3.7. TRASLACIÓN Y MEZCLADO DE FRECUENCIAS En el procesamiento de señales en sistemas de comunicaciones, con frecuencia es deseable trasladar o desplazar la señal modulada a una nueva banda de frecuencias. Por ejemplo, en la mayoría de los receptores comerciales de AM, la radio frecuencia recibida (RF) [540 a 1600 kilohertz (kHz)] es desplazada hacia la banda de frecuencia intermedia (FI) (455 kHz) para procesamiento. La señal recibida, ahora trasladada a una FI fija, puede ser amplificada fácilmente, filtrada y demodulada.

Un dispositivo que realiza la traslación de frecuencia de una señal modulada se llama un mezclador de frecuencias (Fig. Fig. 3-30). La operación con frecuencia se denomina mezclado de frecuencias, conversión de frecuencias o heterodinaje.

Fig. Fig. 3-30 Mezclador de frecuencias.


108

3.8. MULTICANALIZACIÓN POR DIVISIÓN DE FRECUENCIAS La multicanalización (“multiplexing” en inglés) es un técnica mediante la cual varias señales de mensajes se combinan en una sola señal compuesta para su transmisión por un canal común. Para transmitir varias de estas señales por el mismo canal, las señales deben mantenerse separadas de manera que no se interfieran entre sí y por tanto puedan ser separadas en el extremo receptor.

Hay dos técnicas básicas de multicanalización: multicanalización por división de frecuencias (FDM, por sus siglas en inglés) y muticanalización por división de tiempo (TDM, por sus siglas en inglés). En la FDM las señales son separadas en frecuencia, en tanto que en la TDM las señales son separadas en tiempo. La TDM se estudiará en el Capítulo 5.

El esquema FDM se ilustra en la Fig. Fig. 3-31 con la transmisión simultánea de tres señales de mensajes. Los espectros de las señales de mensajes y la suma de las portadoras moduladas se indican en la figura. Se usa modulación DSB para ilustrar los espectros de la Fig. 3-27. En la FDM se puede usar cualquier tipo de modulación siempre y cuando la separación entre portadoras sea suficiente para evitar solapamiento espectral. Sin embargo, el método más ampliamente usado es la modulación SSB. En el terminal receptor del canal, las tres señales moduladas son separadas mediante filtros de pasabanda (BPF) y luego demoduladas.

La FDM se usa en sistemas telefónicos, telemetría, radiodifusión comercial, televisión y redes de comunicación. Las estaciones de radiodifusión AM comerciales usan frecuencias portadoras con separación de 10 kHz en la banda de frecuencias de 540 a 1600 kHz. Esta separación no basta para evitar solapamiento espectral para AM con una señal de audio de alta fidelidad razonable (50 Hz a 15 kHz). Por tanto, las estaciones AM con frecuencias portadoras adyacentes son colocadas geográficamente lejos para minimizar la interferencia. La radiodifusión comercial de FM (frecuencia modulada, Capítulo 4) usa frecuencias portadoras con separación de 200 kHz. En un sistema telefónico de larga distancia, se transmiten hasta 600 o más señales de voz (200 Hz a 3.2 kHz por un cable coaxial o enlaces de microondas usando modulación SSB con frecuencias portadoras con separación de 4 kHz. En la práctica, la señal compuesta formada mediante la separación en frecuencia de varias señales puede, a su vez, ser modulada por otra frecuencia portadora. En este caso, las primeras frecuencias portadoras con frecuencia se denominan subportadoras.

Canal de comunicación

Fig. Fig. 3-31 Multicanalización por división de frecuencias Ejemplo 3.13. En la Fig. 3-32 se muestra un radio receptor usado en el sistema AM. El mezclador traslada la frecuencia portadora fc a una FI fija de 455 kHz utilizando un oscilador local de frecuencia fLO. Las frecuencias de la banda de radiodifusión varían de 540 a 1600 kHz.


109

(a) Determine la banda de sintonización que se debe proveer en el oscilador local (i) cuando fLO es más alta que fc (receptor superheterodino) y (ii) cuando fLO es más baja que fc.

(b) Explique por qué el radio receptor AM común utiliza un sistema superheterodino.

Antena

Sección RF

Sección IFMezclador

Detector de

envolvente

Amplificador de audio

Oscilador local

Sintonización común Bocina

Fig. 3-32 Un receptor AM superheterodino.

(a) (i) Cuando fLO > fc,

540 1600455

c

LO c

f

f f

< <

− =

donde ambas fc y fLO se expresan en kilohertz. Por tanto,

455LO cf f= +

Cuando fc = 540 kHz, obtenemos fLO = 995 kHz; y cuando fc = 1600 kHz, obtenemos fLO = 2055 kHz. Entonces, la banda de sintonización requerida del oscilador local es 995 a 2055 kHz.

(ii) Cuando fLO < fc,

455LO cf f= −

Cuando fc = 540 kHz, se obtiene fLO = 85 kHz, y cuando fc = 1600 kHz, se obtiene fLO = 1145 kHz. Por tanto, la banda de sintonización requerida del oscilador local para este caso es 85 a 1145 kHz.

(b) La razón de frecuencias, esto es, la razón entre la fLO más alta y la fLO más baja, es 2.07 para el caso (i) y 13.47 para el caso (ii). Es mucho más fácil diseñar un oscilador que sea sintonizable en una relación de frecuencias más baja; ésta es la razón por la que el radio receptor AM común usa el sistema superheterodino.

Ejemplo 3.14. En la Fig. 3-33(a) se muestra el espectro de una señal de mensaje m(t). Para asegurar privacidad en la comunicación, esta señal se aplica a un sistema (conocido como un perturbador) mostrado en la Fig. Fig. 3-30(b). Analice el sistema y dibuje el espectro de la salida x(t).

El espectro de la señal en cada punto se muestra en la Fig. 3-34. Vemos que el espectro de la salida x(t), X(ω), consiste de los dos lóbulos invertidos de M(ω). Ejemplo 3.15. El uso de la ortogonalidad del seno y el coseno posibilitan la transmisión y recepción simultánea de dos señales diferentes con la misma frecuencia portadora. En la Fig. 3-35 se muestra un esquema para hacer esto, conocido como multicanalización por cuadratura o modulación de amplitud por cuadratura (QAM, por sus siglas en inglés). Demuestre que cada señal puede recuperarse por detección sincrónica de la señal recibida mediante el uso de dos portadoras locales de la misma frecuencia pero en cuadratura de fase.


110

QAM 1 22

QAM 1 21 1 1

1 1 22 2 2

( ) ( )cos ( )sen

( )cos ( )cos ( )sen cos

( ) ( )cos 2 ( )sen 2

c c

c c c c

c c

x t m t t m t t

x t t m t t m t t t

m t m t t m t t

= ω + ω

ω = ω + ω ω

= + ω + ω

Fig. 3-33

Fig. 3-34


111

2

1 21 1 1

1 2 22 2 2

( )sen ( )cos sen ( )sen

( )sen 2 ( ) ( )cos 2QAM c c c c

c c

x t t m t t t m t t

m t t m t m t t

ω = ω ω + ω

= ω + − ω

Todos los términos en 2ωc son eliminados por el filtro de pasabajas, y se obtiene

1 11 1 2 22 2( ) ( ) y ( ) ( )y t m t y t m t= =

Observe que la multicanalización por cuadratura es un método eficiente de transmisión de dos señales de mensajes dentro del mismo ancho de banda. Se usa en la transmisión de señales con la información del color en la radiodifusión de la televisión comercial.

Fig. 3-35 Sistema de multicanalización por cuadratura.


112


3.1. Para cada una de las señales de banda base siguientes: (i) ( ) cos1000m t t= , (ii) ( ) 2 cos 1000 cos 2000m t t t= + ;

(iii) ( ) cos 1000 cos 3000m t t t= :

(a) Dibuje el espectro de m(t).

(b) Dibuje el espectro de la señal DSB-SC ( )cos 10000m t t .

(c) Identifique los espectros de las dos bandas laterales.

(d) Identifique las frecuencias en la banda base las frecuencias correspondientes en los espectros DSB-SC, USB (banda lateral superior) y LSB (banda lateral inferior).

3.2. Una señal m(t) está limitada en banda a ωM. Es trasladada en frecuencia multiplicándola por la señal cos ctω . Halle ωc de modo que el ancho de banda de la señal transmitida sea 1 por ciento de la frecuencia

portadora ωc.

Resp. 200c Mω = ω

3.3. Demuestre que una señal DSB DSB ( ) ( )cos cx t m t t= ω puede ser recuperada si se multiplica por una señal

periódica p(t) con periodo 1/fc y se filtra apropiadamente la señal producto DSB( ) ( )p t x t .

Sugerencia: Suponga que p(t) es una función par y expanda p(t) usando una serie de Fourier.

3.4. Demuestre que una señal AM con portadora grande puede ser demodulada elevándola al cuadrado y luego pasando la señal resultante por un filtro de pasabajas, como se muestra en la Fig. 3-36. Este tipo de detecto se conoce como un detector de ley cuadrática.

Sugerencia: Use el hecho de que ( ) 1m t A ≪

xAM(t) y(t)LPFDispositivo de

ley cuadrática

Fig. 3-36 Detector de ley cuadrática.

3.5. Se pide diseñar un modulador DSB-SC para generar una señal modulada ( )cos ckm t tω , donde m(t) es una señal limitada en banda a BHz. La Fig. 3-37 muestra un modulador DSB-SC que se encuentra disponible en el almacén. El generador de portadora disponible genera no una señal cos ctω sino una 3cos ctω . Explique si podría generar la señal deseada usado solamente este equipo. Puede usar cualquier filtro que desee.

(a) ¿Qué tipo de filtro se requiere en la Fig. 3-37?

(b) Determine los espectros de las señales en los puntos b y c e indique las bandas de frecuencias ocupadas por estos espectros.

(c) ¿Funcionaría este esquema si la salida del generador de portadora fuese 2cos ctω ? Explique.

(d) ¿Trabajaría este esquema si la salida del generador de portadora fuese cosnctω para cualquier entero

2n ≥ ?


113

Filtro

Figura 3-37

3.6. Se pide diseñar un modulador DSB-SC para generar una señal modulada ( )cos ckm t tω con la frecuencia

portadora ( )300 kHz 2 30000c cf = ω = π × . En el almacén se tiene disponible el equipo siguiente: (i) un

generador de señales de frecuencia 100 kHz; (ii) un modulador de anillo; (iii) un filtro de pasabanda sintonizado a 300 kHz.

(a) Demuestre cómo se puede generar la señal deseada.

(b) Si la salida del modulador es ( )cos ckm t tω , halle k.

3.7. En la Fig. 3-38, la entrada v(t) = m(t) y la amplitud ( )A v t≫ . Los dos diodos son idénticos con una

resistencia igual a r ohmios en el modo conductor y resistencia infinita en el modo de corte. Demuestre que la salida ( )oe t es dada por

2( ) ( ) ( )o

Re t w t m t

R r=

+

donde w(t) es la señal periódica de conmutación mostrada en la Fig. 3-38c con periodo 2 cWπ segundos.

(a) Demuestre que este circuito se puede usar como un modulador DSB-SC.

(b) ¿Cómo usaría este circuito como un demodulador sincrónico para señales DSB-SC.

(c)

v(t)

v(t)

v(t)

1pendiente

r=

Figura 3-38

3.8. En la Fig. 3-38, si ( )( ) sen cv t t= ω + θ y la salida ( )oe t se pasa por un filtro de pasabajas, demuestre que este

circuito puede usarse como un detector de fase, esto es, un circuito que mide la diferencia de fase entre dos


114

sinusoides de la misma frecuencia cω . Sugerencia: Demuestre que la salida del filtro es una señal de CD proporcional a sen θ .

3.9. La Fig. 3-39 muestra un esquema para demodulación coherente (sincrónica). Demuestre que este esquema puede demodular la señal AM [ ]( ) cos cA m t t+ ω indiferentemente del valor de A.

Filtro de pasabajas

Bloqueador de CD

Salida

Fig. 3-39

3.10. Halle la envolvente SSB cuando 19( ) cos cos 3m mx t t t= ω + ω es una aproximación a una onda triangular.

Dibuje A(t) tomando Ac = 81 y compárela con x(t).

3.11. Dada una señal real m(t), defina una señal

ˆ( ) ( ) ( )m t m t jm t+ = +

donde ˆ ( )m t es la transformada de Hilbert de m(t) y m+(t) se llama una señal analítica.

(a) Demostrar que

[ ]2 ( ), 0

( ) ( )0, 0

MF m t M+ +

ω ω >= ω =

ω <

(b) Demostrar que Re ( ) cj tm t e ω+

es una señal SSB de banda lateral superior y Re ( ) cj tm t e− ω+

es una

señal SSB de banda lateral inferior.

Sugerencia: (a) Use la Ec. (2.27). (b) Use la identidad de Euler; tome la parte real de la expresión y compárela con las Ecs. (3.26) y (3.27).

3.12. La respuesta de frecuencia H(ω) del filtro VSB de la Fig. 3.24 (Ejemplo 3.12) es caracterizado por

( )

( ) ( )

( )

1

2

1

1

2

1

1

jc

jc

jc

H e

H e

H e

φ

θ

θ

ω − ω = α

ω + ω = − α

ω + ω =

La señal del mensaje es

1 1 2 2( ) cos cosm t a t a t= ω + ω

y se va a demodular mediante un detector sincrónico. Deduzca las expresiones para θ1 y θ2 en función de φ para una demodulación sin distorsión.

Resp. 21 2

1

y ω

θ = −φ θ = − φω

.

3.13. Diseñe un sistema, un perturbador, que recupere la señal del mensaje original m(t) a partir de la señal perturbada x(t) de la Fig. 3-33, Ejemplo 3.14.

Sugerencia: Considere un sistema idéntico al mostrado en la Fig. 3-33.

3.14. Halle la envolvente SSB cuando 19( ) cos cos 3m mx t t t= ω + ω es una aproximación a una onda triangular.

Dibuje A(t) tomando Ac = 81 y compárela con x(t).


115

3.15. La señal ( ) cos 2 100 3cos 2 200 2 cos 2 400x t t t t= π + π + π es la entrada a un sistema de modulación de amplitud LSSB (banda lateral inferior) con una frecuencia portadora de 10 kHz. Dibuje el espectro bilateral de la señal transmitida. Halle la potencia transmitida ST y el ancho de banda BT.

3.16. Dibuje Considere un mensaje con 1 13 2( ) cos 2 1000 cos 2 1500 cos 2 1800x t t t t= π + π + π y Ac = 10. Dibuje los

espectros de salida positivos si la modulación fuese 100 por ciento AM, DSB, LSSB y USSB.

3.17. Demuestre matemáticamente cómo se puede usar un detector de producto para detectar una señal USSB.

3.18. La señal de un solo tono ( ) cos 2m mx t A f t= π es la entrada a un modulador VSB + C (residual + portadora). La señal resultante transmitida es

12

12

( ) cos 2 cos[2 ( ) ]

(1 ) cos[2 ( ) ]c c c m c c m

m c c m

x t A f t aA A f f t

a A A f f t

= π + π +

+ − π −

Dibuje el diagrama fasorial suponiendo que a > 1/2. Halle la componente de cuadratura xcq(t).

3.19. Obtenga una expresión para la VSB con modulación de tono tomando fm < β de modo que el filtro VSB tenga H(fc ± fm) = 0.5 ± a. Demuestre después que xc(t) se reduce a DSB cuando 0a = o a SSB cuando

0.5a = ± .

3.20. Diseñe un sistema por medio del cual una señal LSSB de 7 MHz es convertida en una señal USSB de 50 MHz. Justifique su diseño dibujando los espectros de salida de las diferentes etapas de su sistema.

3.21. Diseñe un demodulador AM usando un elemento no lineal en la forma de 2sal 1 en 2 env a v a v= + sin usar un

oscilador local o un multiplicador. Exprese la solución en la forma de un diagrama de bloques y justifique su respuesta describiendo la señal de salida de cada bloque. Puede suponer que ( ) 1m t ≪ .


116

Capítulo 4

MODULACIÓN ANGULAR

4.1. INTRODUCCIÓN Como se mencionó en la Sec. 3.1, la modulación angular incluye la modulación de fase (PM) y la modulación de frecuencia (FM) y se refiere al proceso mediante el cual se varía el ángulo de fase de una portadora senoidal de acuerdo con la señal del mensaje. Como se estudió en el Cap. 3, en la modulación de amplitud el espectro de la señal modulada es esencialmente el espectro del mensaje trasladado, y el ancho de banda de transmisión nunca excede el doble del ancho de banda del mensaje. En la modulación angular, las componentes espectrales de la forma de onda modulada no están relacionadas en una forma sencilla con el espectro del mensaje. Además, la superposición no aplica (véase el Ejemplo 4.4) y el ancho de banda de la señal modulada en ángulo es normalmente mucho mayor que el doble del ancho de banda del mensaje. El incremento en el ancho de banda y la complejidad del sistema son compensados por la mejoría en el desempeño en lo que se refiere al ruido y la interferencia.

Actualmente se conoce bien que una señal modulada en frecuencia no puede acomodarse en un ancho de banda que sea más angosto que el ocupado por la señal original o moduladora. Esto es algo irónico, porque la modulación de frecuencia fue concebida originalmente como un medio para reducir el ancho de banda requerido para la transmisión de una señal dada.

La razón detrás de esto puede explicarse en la forma siguiente: en vez de la modulación de amplitud, cuyo ancho de banda es el doble del de la señal moduladora, una portadora podría modularse en frecuencia usando, por ejemplo, una desviación de 50± Hz, lo que daría un ancho de banda de transmisión de 100 Hz, sin importar cuál es el ancho de banda de la señal original.

Este argumento es, por supuesto, falso. John R. Carson fue el primero en reconocer la falacia de la reducción en el ancho de banda en un artículo publicado en 1822. Sin embargo, para ese momento no pudo ver ninguna ventaja en la modulación de frecuencia sobre la modulación de amplitud y el tema fue olvidado por cierto tiempo, hasta que Edwin H. Armstrong inventó el primer equipo para modular en frecuencia una portadora (1936). Pero, el mundo tuvo que esperar hasta que Carson estableció, en 1939, que el ancho de banda era igual al doble de la suma de la desviación de frecuencia pico y la frecuencia más alta de la señal moduladora.

La modulación angular es un término que cubre tanto la modulación de frecuencia (FM) como la de fase (PM). Varios sistemas de transmisión usan ya sea modulación de frecuencia o de fase, incluyendo sistemas de comunicación celular móvil, sistemas de transmisión satelital, sistemas de televisión y teléfonos inalámbricos.

4.2. MODULACIÓN ANGULAR Y FRECUENCIA INSTANTÁNEA Por definición, una señal sinusoidal tiene una frecuencia constante y, por tanto, la variación de la frecuencia con el tiempo parece ser una contradicción con la definición convencional de la frecuencia de una señal sinusoidal. Este concepto de una sinusoide se debe ampliar para incluir una función generalizada cuya frecuencia puede variar con el tiempo.

En la FM se desea variar la frecuencia de la portadora proporcionalmente a la señal moduladora m(t). Esto significa que la frecuencia portadora está cambiando continuamente en todo momento. En primera instancia, esto no tiene mucho sentido porque para definir una frecuencia, debemos tener una señal sinusoidal en por lo menos un ciclo (o un medio ciclo o un cuarto de ciclo) con la misma frecuencia.


118

Para la modulación angular, la portadora modulada es representada por

[ ]( ) cos ( )c cx t A t t= ω + φ (4.1)

donde A y ωc son constantes y el ángulo de fase φ(t) es una función de la señal del mensaje m(t). Si reescribimos la Ec. (4.1) como

( ) cos ( )cx t A t= θ (4.2) donde ( ) ( )ct t tθ = ω + φ (4.3)

es el ángulo generalizado y es una función de t. Entonces podemos definir la frecuencia radián instantánea de ( )cx t ,

denotada por iω , como

( ) ( )

i c

d t d t

dt dt

θ φω = = ω + (4.4)

Observe que φ(t) = constante cuando i cω = ω .

Las funciones φ(t) y ( )d t dtφ se conocen como la desviación de fase instantánea y la desviación de frecuencia

instantánea de ( )cx t . La cantidad ∆ω definida por

máxi c∆ω = ω − ω (4.5)

se denomina la desviación de frecuencia radián máxima (o pico) de la señal modulada en ángulo. Ejemplo 4.1. Determinar la frecuenta instantánea en hertz de cada una de las señales siguientes:

(a) ( )310 cos 200 t ππ +

(b) ( )210 cos 20 t tπ + π

(c) ( ) ( )cos 200 cos 5sen 2 sen 200 sen 5sen 2t t t tπ π + π π

(a)

( )

( ) 2003

200 2 100i

t t

d

dt

πθ = π +

θω = = π = π

La frecuencia instantánea de la señal es 100 Hz, que es una constante.

(b)

( )

2( ) 20

20 2 10i

t t t

dt t

dt

θ = π + π

θω = = π + π +

La frecuencia instantánea de la señal es 10 Hz en t = 0 y se incrementa linealmente con una tasa de 1Hz/s.

(c) ( ) ( ) ( )

( )

cos 200 cos 5sen 2 sen 200 sen 5sen 2 cos 200 5sen 2( ) 200 5sen 2

200 10 cos 2 2 100 5cos 2i

t t t t t t

t t t

dt t

dt

π π + π π = π − π

θ = π − π

θω = = π − π π = π − π

La frecuencia instantánea de la señal es 95 Hz en t = 0 y oscila sinusoidalmente entre 95 y 105 Hz. Ejemplo 4.1. Considérese un señal modulada en ángulo definida por

( ) ( )8 3( ) 10 cos 10 5sen 2 10cx t t t = π + π


119

Hallar la desviación de fase máxima y la desviación de frecuencia máxima.

Comparando la xc(t) dada con la Ec. (4.1), se tiene que

( ) ( )8 3( ) ( ) 10 5sen 2 10ct t t t tθ = ω + φ = π + π y

( )3( ) 5sen 2 10t tφ = π Ahora

( ) ( ) ( )3 3( ) 5 2 10 cos 2 10t t′φ = π π

de manera que la máxima desviación de fase es

máx( ) 5 radtφ =

y la máxima desviación de frecuencia es

( )( )3máx

( ) 5 2 10 rad st′∆ω = φ = π

o 5 kHzf∆ =

4.3. MODULACIÓN DE FASE Y DE FRECUENCIA Los dos tipos básicos de modulación angular son la modulación de fase (PM) y la modulación de frecuencia (FM). En la PM, la desviación de fase instantánea de la portadora varía linealmente con la señal del mensaje m(t); esto es,

( ) ( )pt k m tφ = (4.6)

donde kp es la constante de desviación de fase , expresada en radianes por unidad de m(t).

En la FM, la desviación de frecuencia instantánea de la portadora es proporcional a la señal del mensaje; esto es,

( )

( )f

d tk m t

dt

φ= (4.7)

o

( )0

0( ) ( )t

ft

t k m d tφ = λ λ + φ∫ (4.8)

donde kf es la constante de desviación de frecuencia, expresada en radianes por segundo por unidad de m(t) y ( )0tφ es el ángulo de fase inicial en t = t0. Comúnmente se supone que t0 = −∞ y φ(−∞) = 0.

Por tanto, la señal modulada en ángulo se puede expresar como

PM ( ) cos ( )c px t A t k m t= ω + (4.9)

para la onda PM, o

FM ( ) cos ( )t

c fx t A t k m d−∞

= ω + λ λ

∫ (4.10)

para la onda FM. De la definición (4.4), tenemos que

( )

para PMi c p

dm tk

dtω = ω + (4.11)

( ) para FMi c fk m tω = ω + (4.12)


120

Por tanto, en la PM, la frecuencia instantánea ωi varía linealmente con la derivada de la señal moduladora, y en la FM, ωi varía linealmente con la señal moduladora.

La Fig. 4-1 ilustra formas de ondas AM, FM y PM producidas por una forma de onda de mensaje sinusoidal.

m(t)

Portadora

AM

FM

PM

Fig. 4-1 Formas de ondas AM, FM y PM

De las Ecs. (4.9) y (4.10), es claro que la PM y la FM no sólo son muy semejantes sino que son inseparables. Si se reemplaza m(t) en la Ec. (4.9) con ( )m t∫ cambia la PM a FM. Por tanto, una señal que una onda FM

correspondiente a m(t) también es la onda PM correspondiente a ( )m dλ λ∫ (Fig. 4-2a). En forma similar, una

onda PM correspondiente a m(t) es la onda FM correspondiente a ( )dm t dt (Fig. 4-2b). Por tanto, cuando miramos una portadora modulada angularmente, no hay forma de decir si es FM o PM. De hecho, no tiene sentido preguntar si una onda modulada angularmente es FM o PM.

Ejemplo 4.3. Una señal modulada en ángulo es descrita por

( ) ( )6 3( ) 10 cos 2 10 0.1sen 10cx t t t = π + π

(a) Si se considera a xc(t) como una señal PM con kp = 10, determine m(t).

(b) Si se considera a xc(t) como una señal FM con kf = 10π, determine m(t). (a)

( )

( ) ( )

PM

6

6 3

( ) cos ( )

10 cos 2 10 10 ( )

10 cos 2 10 0.1sen 10

c px t A t k m t

t m t

t t

= ω +

= π +

= π + π


121

Modulador de fase

Modulador de

frecuencia

Modulador de frecuencia

Modulador de fase

xFM(t)

xPM(t)

Figura 4-2

Por tanto

( )3( ) 0.01sen 10m t t= π

(b)

( ) ( )

FM

6 3

( ) cos ( )

10 cos 2 10 0.1sen 10

t

c fx t A t k m d

t t

−∞

= ω + λ λ

= π + π

∫

Si se supone que

( )3( ) cos 10mm t a t=

se obtiene

( )

( ) ( )

3

3 3

10 ( ) 10 cos 10

sen 10 0.1sen 10100

t t

m

m

m d a d

at t

−∞ −∞π λ λ = π πλ λ

= π = π

∫ ∫

Por tanto, am = 10 y

( )3( ) 10 cos 10m t t= π

Ejemplo 4.4. Sean m1(t) y m2(t) dos señales de mensajes y 1( )cx t y

2( )cx t las señales moduladas

correspondientes a m1(t) y m2(t), respectivamente.

(a) Demostrar que si la modulación es DSB (AM), entonces 1 2( ) ( )m t m t+ producirá una señal modulada igual a

1 2( ) ( )c cx t x t+ . Ésta es la razón por la cual a la AM se le refiere algunas veces como una modulación lineal.

(b) Demuestre que si la modulación es PM, entonces la señal modulada producida por 1 2( ) ( )m t m t+ no será

1 2( ) ( )c cx t x t+ ; esto es, la superposición no aplica a señales moduladas en ángulo. Ésta es la razón por la cual

a la modulación angular se le refiere algunas veces como modulación no lineal. (a) Para DSB (AM), de la Ec. (3.3) tenemos que


122

[ ]

1

2

1 1

2 2

1 2 1 2

1 2

( ) ( ) ( )cos

( ) ( ) ( )cos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( )cos ( )cos

c c

c c

c c

c c

m t x t m t t

m t x t m t t

m t m t x t m t m t t

m t t m t t

→ = ω

→ = ω

+ → = + ω

= ω + ω

1 2 ( ) ( )c cx t x t= +

Por tanto, la modulación DSB(AM) es una modulación lineal.

(b) Para la PM, por la Ec. (4.9) tenemos que

[ ]

1

2

1 2

1 1

2 2

1 2 1 2

( ) ( ) cos ( )

( ) ( ) cos ( )

( ) ( ) ( ) cos ( ) ( )

( ) ( )

c c p

c c p

c c p

c c

m t x t A k m t

m t x t A k m t

m t m t x t A t k m t m t

x t x t

→ = ω + → = ω +

+ → = ω + +

≠ +

Por tanto, la PM es una modulación no lineal. 4.4. ESPECTROS DE FOURIER DE SEÑALES MODULADAS EN ÁNGULO Una portadora modulada en ángulo puede representarse en forma exponencial si se escribe la Ec. (4.1) como

( )( ) ( )( ) ( )( ) Re Rec cj t t j t j tcx t Ae Ae eω +φ ω φ= = (4.13)

Debido a esta representación, a la modulación angular también se le refiere como la modulación exponencial.

Expandiendo ( )j te φ en una serie de potencias da

2

2 3

( ) ( )( ) Re 1 ( ) +

2! !

( ) ( ) cos ( )sen cos sen

2! 3!

c

nj t n

c

c c c c

t tx t Ae j t j

n

t tA t t t t t

ω φ φ = + φ − + +

φ φ= ω − φ ω − ω + ω +

⋯ ⋯

⋯ (4.14)

Así pues, la señal modulada en ángulo consiste de una portadora no modulada más varios términos modulados en amplitud, tales como ( )sen ct tφ ω , 2 ( )cos ct tφ ω , 3( )sen ct tφ ω , … y así sucesivamente. Por tanto, su espectro de

Fourier consiste de una portadora no modulada más los espectros de ( )tφ , 2 ( )tφ , 3( )stφ , … y así sucesivamente,

centrados en cω .

Es claro que la señal modulada en ángulo no está limitada en banda. Tiene un ancho de banda infinito y no está relacionado con el espectro de la señal del mensaje en una forma sencilla, como fue el caso en la AM. Aunque el ancho de banda teórico de una onda FM es infinito, veremos que la mayor parte de la potencia de la señal modulada reside en un ancho de banda finito. En términos de los anchos de banda, hay dos posibilidades diferentes, modulación de banda angosta y modulación de banda ancha. 4.5. MODULACIÓN ANGULAR DE BANDA ANGOSTA A diferencia de la AM, la modulación angular es no lineal. El principio de superposición no aplica. Sin embargo , si

máx( ) 1tφ ≪ (4.15)

entonces la Ec. (4.14) puede ser aproximada por [despreciando todos los términos de orden superior de φ(t)]

( ) cos ( )senc c cx t A t A t t≈ ω − φ ω (4.16)


123

Esto es una modulación lineal. El ancho de banda de la señal en la Ec. (4.16) es el doble del de la señal φ(t) (igual que en AM). Por esta razón, la señal representada por la Ec. (4.16) se conoce como una señal modulada en ángulo de banda angosta (NB, por sus siglas en inglés). Por tanto,

NBPM ( ) cos ( )senc p cx t A t Ak m t t≈ ω − ω (4.17)

y

NBFM ( ) cos ( ) sent

c f cx t A t A k m d t−∞

≈ ω − λ λ ω

∫ (4.18)

La Ec. (4.16) indica que una señal modulada en ángulo de banda angosta contiene una portadora no modulada más un término en el cual φ(t) [una función de m(t)] multiplica una portadora desplazada en fase por π/2 (rad). Esta multiplicación genera un par de bandas laterales y, como ya se mencionó, si φ(t) tiene un ancho de banda WB, entonces el ancho de banda es 2WB. Por esta razón, esta onda se conoce como una señal modulada en ángulo de banda angosta (NB). Esto nos recuerda la AM. 4.6. MODULACIÓN SINUSOIDAL (O DE TONO)

A. Índice de Modulación

Si la señal del mensaje m(t) es una sinusoide pura, es decir,

sen para PM

( )cos para FM

m m

m m

a tm t

a t

ω=

ω (4.19)

entonces las Ecs. (4.6) y (4.8) dan ambas

( ) sen mt tφ = β ω (4.20) donde

para PM

para FM

p m

f m

m

k a

k a

β =

ω

(4.21)

El parámetro β se conoce como el índice de modulación para la modulación angular y es el máximo valor de la desviación de fase para la PM y la FM. Observe que β se define solamente para modulación sinusoidal y se puede expresar como

m

∆ωβ =

ω (4.22)

donde ∆ω es la máxima desviación de frecuencia, definida en la Ec. (4.5). B. Espectro de Fourier Sustituyendo la Ec. (4.20) en la Ec. (4.1), se obtiene

( )( ) cos senc c mx t A t t= ω + β ω (4.23)

que es la señal modulada en ángulo con modulación sinusoidal. Se puede demostrar con el uso de la serie de Fourier que esta señal también puede escribirse (véase el Ejemplo 4.5)

( )( ) ( )cosc n c m

n

x t A J n t∞

=−∞

= β ω + ω∑ (4.24)

donde Jn(β) es la función de Bessel de la primera clase de orden n y argumento β. La Tabla B-1 (Apéndice B) da una lista de algunos valores seleccionados de Jn(β). De la Ec. (4.24) y la Tabla B-1, observamos que


124

1. El espectro consiste de una componente de frecuencia portadora más un número infinito de bandas laterales en frecuencias c mnω ± ω (n = 1, 2, 3, …).

2. El número de líneas espectrales significativas (esto, que tienen una amplitud relativa apreciable) es una función del índice de modulación β. Con β << 1, sólo J0 y J1 son significativas, de modo que el espectro consistirá de una portadora y dos líneas de bandas laterales. Pro si β >> 1, habrá muchas líneas de bandas laterales.

La Fig. 4-3 muestra los espectros de amplitud de señales moduladas en ángulo para varios valores de β. Ejemplo 4.5. Deduzca la Ec. (4.24).

En una modulación angular sinusoidal, la señal modulada [Ec. (4.23)]

( )( ) cos senc c mx t A t t= ω + β ω

puede expresarse como

( )sen( ) Re c mj t j tcx t A e eω β ω= (4.25)

La función sen mj te β ω es claramente una función periódica con periodo 2m mT = π ω . Por tanto, tiene una representación en serie de Fourier:

sen m mj t jn tn

n

e c e∞

β ω − ω

=−∞

= ∑

Por la Ec. (1.3), se determinan los coeficientes de Fourier cn como

sen

2

mm m

m

j t jn tmnc e e dt

π ωβ ω − ω

−π ω

ω=

π ∫

Haciendo mt xω = , se tiene que

( )sen1( )

2j x nx

n nc e dx Jπ

β −

−π= = β

π ∫

Fig. 4-3 Espectros de amplitud de señales FM moduladas sinusoidalmente (ωm fija)


125

donde Jni(β) es la función de Bessel de la primera clase de orden n y argumento β; estas funciones se grafican en la Fig. 4-4. Por tanto,

sen ( )m mj t jn tn

n

e J e∞

β ω ω

=−∞

= β∑ (4.26)

Sustituyendo la Ec. (4.26) en la Ec. (4.25), se obtiene

( )( ) Re ( ) Re ( ) c mc m j n tj t jn tc n n

n n

x t A e J e A J e∞ ∞

ω + ωω ω

=−∞ =−∞

= β = β

∑ ∑

cuya parte real es

( )( ) ( )cosc n c m

n

x t A J t

∞

=−∞

= β ω + ω∑

Fig. 4-4 Variaciones en Jn(β) en función de n.

En las gráficas de Jn(β) se observa que para n suficientemente grande, Jn(β) es despreciable para n > β +1. Por tanto, se considera que el número de bandas laterales significativas es igual a β + 1. Ejemplo 4.6. Determinar la potencia promedio normalizada en una señal modulada en ángulo con modulación sinusoidal.

Por la Ec. (4.24), una señal modulada en ángulo con una modulación de un tono único puede expresarse como

( )( ) ( )cosc n c m

n

x t AJ n t

∞

=−∞

= β ω + ω∑

La potencia promedio normalizada en xc(t) es dada por

2 2 2 2 21 1 1( ) ( )

2 2 2n n

n n

P A J A J A

∞ ∞

=−∞ =−∞

= β = β =∑ ∑ (4.27)

puesto que xc(t) es una señal sinusoidal. De la Ec. (4.27) se obtiene entonces la relación

2 ( ) 1n

n

J

∞

=−∞

β =∑ (4.28)

Ejemplo 4.7. Una portadora es modulada en ángulo por la suma de dos sinusoides

( )1 1 2 2( ) cos sen senc cx t A t t t= ω + β ω + β ω (4.29)


126

donde ω1 y ω2 no están relacionadas armónicamente. Hallar el espectro de xc(t).

En una forma semejante a la del Ejemplo 4.5, la portadora xc(t) puede expresarse como

( )( )

( )

1 1 2 2

1 1 2 2

sen sen

sen sen

( ) Re

Re

c

c

j t tj tc

j t j t j t

x t A e e

A e e e

β ω +β ωω

ω β ω β ω

=

= (4.30)

Usando la Ec. (4.26), se tiene

( )

( )

1 1 1

2 2 2

sen1

sen2

j t jn tn

n

j t jn tn

n

e J e

e J e

∞β ω ω

=−∞

∞β ω ω

=−∞

= β

= β

∑

∑

Estas expresiones se sustituyen en la Ec. (4.30) y después se toma la parte real para obtener

( ) ( ) ( )1 2 1 2( ) cosc n m c

n m

x t A J J n n

∞ ∞

=−∞ =−∞

= β β ω + ω + ω∑ ∑ (4.31)

En la Ec. (4.31) vemos que el espectro de xc(t) consiste de cuatro categorías: (1) la línea de la portadora; las líneas de las bandas laterales en 1c nω + ω debidas a un tono solamente; (3) las líneas de las bandas laterales en

2c nω + ω debidas al otro tono solamente; y (4) las líneas de las bandas laterales en 1 2c n nω ± ω ± ω debidas a la propiedad no lineal de la modulación angular. Ejemplo 4.8. En una modulación angular con modulación de un solo tono, la señal modulada xc(t) [véase la Ec. (4.23)]

( )( ) cos senc c mx t A t t= ω + β ω

Cuando β << 1, tenemos modulación angular de banda angosta (NB).

(a) Hallar el espectro de esta señal con modulación angular NB.

(b) Compare el resultado con el de una señal AM con modulación de un solo tono

(c) Analice las semejanzas y diferencias dibujando sus representaciones fasoriales. (a) ( )

( ) ( )

( ) cos sen

cos cos sen sen sen senc c m

c m c m

x t A t t

A t t A t t

= ω + β ω

= ω β ω − ω β ω

Cuando β << 1, podemos escribir

( )( )

cos sen 1

sen sen senm

m m

t

t t

β ω ≈

β ω ≈ β ω

Entonces la señal NB puede ser aproximada por

( ) ( )

NB ( ) cos sen sen

cos cos cos2 2

c c m c

c c m c m

x t A t A t t

A AA t t t

≈ ω − β ω ω

β β= ω − ω − ω + ω + ω

(4.32)

Observe que la Ec. (4.32) también puede obtenerse fácilmente a partir de la Ec. (4.16) tomando ( ) sen mt tφ = β ω .

En la Ec. (4.32) vemos que el espectro de la señal xNBc(t) consiste de una línea portadora y un par de bandas laterales en c mω ± ω .


127

(b) El resultado anterior es casi idéntico a la situación para señal AM con modulación de un solo tono dada por (véase el Ejemplo 3.4)

( ) ( )

AM ( ) cos cos cos

cos cos cos2 2

c m c

c c m c m

x t A t A t t

A AA t t t

= ω + µ ω ω

µ µ= ω + ω − ω + ω + ω

(4.33)

donde µ es el índice de modulación para AM.

Una comparación de las Ecs. (4.32) y (4.33) muestra que la diferencia principal entre la modulación angular NB y la AM es la inversión de fase de la componente de la banda lateral inferior.

(c) Utilizando la Ec. (4.25) y la relación

sen 1 sen para 1mj tme j tβ ω ≈ + β ω β≪

la Ec. (4.32) puede escribirse en forma fasorial como

( )NB ( ) Re 1 sen

Re 12 2

c

c m m

j tc m

j t j t j t

x t Ae j t

Ae e e

ω

ω ω − ω

= + β ω

β β = + −

(4.34)

En forma similar, la Ec. (4.33) puede escribirse en la forma fasorial

( )AM ( ) Re 1 cos

Re 12 2

c

c m m

j tm

j t j t j t

x t Ae t

Ae e e

ω

ω ω − ω

= + µ ω

µ β = + +

(4.35)

Tomando el término cj tAe ω como la referencia, las representaciones fasoriales de las Ecs. (4.34) y (4.35) se muestran en la Fig. 4-5. En esta figura es obvia la diferencia entre las Ecs. (4.34) y (4.35). En la modulación angular NB, la modulación se suma en cuadratura con la portadora, lo que resulta en una fluctuación de fase con poco cambio en la amplitud. En el caso AM, la modulación se suma en fase con la portadora, produciendo una fluctuación de amplitud sin desviación de fase.

(a) Onda NBFM (b) Onda AM

Fig. 4-5 Representación de fase.

4.7. ANCHO DE BANDA DE SEÑALES MODULADAS EN ÁNGULO A. Modulación Sinusoidal De la Fig. 4-2 y la Tabla B-1 vemos que el ancho de banda de la señal modulada en ángulo con modulación sinusoidal depende de β y ωm. De hecho, se puede demostrar que 98 por ciento de la potencia total normalizada de la señal está contenida en el ancho de banda

( )2 1B mW ≈ β + ω (4.36)


128

Cuando β << 1, la señal es una señal modulada en ángulo NB y su ancho de banda es aproximadamente igual a 2ωm. Usualmente se toma un valor de β < 0.2 como un valor que basta para satisfacer esta condición. Todos los anchos de banda pueden expresarse en hertz (Hz) con simplemente reemplazar ∆ω con ∆f y ωm con fm. B. Modulación Arbitraria Para una señal modulada en ángulo con una señal moduladora arbitraria m(t) limitada en banda a ωM radianes por segundo (rad/s), definimos la razón de desviación D como

máxima desviación de frecuencia

ancho de banda de ( ) M

Dm t

∆ω= =

ω (4.37)

La razón de desviación D controla la cantidad de modulación y, por tanto, juega el mismo papel para la modulación arbitraria que el índice de modulación β juega para la modulación sinusoidal. Reemplazando β por D y ωm por ωM en la Ec. (4.36), obtenemos

( )2 1B MW D≈ + ω (4.38)

A esta expresión para el ancho de banda generalmente se le refiere como la regla de Carson. Si D << 1, el ancho de banda es aproximadamente 2ωM y la señal se conoce como una señal modulada en ángulo de banda angosta (NB) (véase la Sec. 4.4). Si D >> 1, el ancho de banda es aproximadamente 2DωM = 2∆ω, que es el doble de la desviación de frecuencia pico. Una señal de este tipo se denomina una señal modulada en ángulo de banda ancha (WB). Ejemplo 4.9. Dada la señal modulada en ángulo

( )9 3( ) 10 cos 2 10 200 cos 2 10cx t t t= π + π

¿Cuál es su ancho de banda?

La frecuencia instantánea es ( ) ( ) ( )8 5 32 10 4 10 sen 2 10i tω = π − π π

Así que ( )54 10∆ω = π , ( )32 10mω = π y

( )

( )

5

3

4 10200

2 10m

∆ω πβ = = =

ω π

Por la Ec. (4.36),

( ) ( )52 1 8.04 10 rad/sB mW = β + ω = π

y, puesto que β >> 1, ( )52 8 10 rad/s o 400 kHzB BW f≈ ∆ω = π =

Ejemplo 4.10. Una portadora de 20 MHz es modulada en frecuencia por una señal sinusoidal de modo que la máxima desviación de frecuencia es 100 kHz. Determine el índice de modulación y el ancho de banda aproximado de la señal FM si la frecuencia de la señal moduladora es (a) 1 kHz, (b) 100 kHz y (c) 500 kHz.

100 kHz, 20 MHzc mf f f∆ = = ≫

Para modulación sinusoidal, mf fβ = ∆ .

(a) Con fm = 1 kHz, β = 100. Ésta es una señal WBFM y fB ≈ 2∆f = 200 kHz.

(b) Con fm = 100 kHz, β = 1. Entonces, por la Ec. (4.36),

( )2 1 400 kHzB mf f≈ β + =


129

(c) Con fm = 500 kHz, β = 0.2. Ésta es una señal NBFM y fB ≈ 2fm = 1000 kHz = 1 MHz. Ejemplo 4.11. Considérese una señal modulada en ángulo

( )( ) 10 cos 3senc c mx t t t= ω + ω

Suponga PM y fm = 1 kHz. Calcular el índice de modulación y hallar el ancho de banda cuando (a) fm se duplica y (b) fm se disminuye a la mitad.

( )PM ( ) cos ( ) 10 cos 3senc p c mx t A t k m t t t= ω + = ω + ω

Por tanto, ( ) senm mm t a t= ω y

( )PM ( ) 10 cos senc p m mx t t k a t= ω + ω

De la Ec. (4.21) o (4.23), se obtiene

3p mk aβ = =

Vemos que el valor de β es independiente de fm. Por la Ec. (4.36), cuando fm = 1 kHz,

( )2 1 8 kHzB mF f= β + =

(a) Cuando se duplica fm, β =3, fm 2 kHz y

( )2 3 1 2 16 kHzBf = + =

(b) Cuando fm se disminuye a la mitad, β = 3, fm 0.5 kHz y

( )( )2 3 1 0.5 4 kHzBf = + =

Ejemplo 4.12. Repita el Ejemplo 4.11 cuando la modulación es FM, esto es,

( )FM ( ) cos ( ) 10 cos 3sent

c f c mx t A t k m d t t−∞

= ω + λ λ = ω + ω

∫

Por tanto, ( ) senm mm t a t= ω y

FM ( ) 10 cos senm fc m

m

a kx t t t

= ω + ω

ω

De la Ec. (4.21) o (4.23), se obtiene

( )33

2 2 10

m f m f m f

m m

a k a k a k

fβ = = = =

ω π π

Vemos que el valor de β es inversamente proporcional a fm. Por tanto, por la Ec. (4.36), cuando fm = 1 kHz,

( ) ( )2 1 2 3 1 1 8 kHzB mf f= β + = + =

(a) Cuando se duplica fm, β =3/2, fm 2 kHz y

( )3

2 1 2 1 2 10 kHz2B mf f

= β + = + =

(b) Cuando fm se disminuye a la mitad, β = 6, fm 0.5 kHz y

( ) ( ) ( )2 1 2 6 1 0.5 7 kHzB mf f= β + = + = Ejemplo 4.13. Una portadora es modulada en frecuencia con una señal sinusoidal de 2 kHz, lo que resulta en una desviación de frecuencia máxima de 5 kHz.


130

(a) Hallar el ancho de banda de la señal modulada.

(b) Se incrementa la amplitud de la sinusoide moduladora por un factor de 3 y su frecuencia se disminuye a 1 kHz. Halla la desviación de frecuencia máxima y el ancho de banda de la nueva señal modulada.

(a) De la Ec. (4.21),

( )

( )

3

3

5 102.5

2 10

f m

m m

k a f

f

∆β = = = =

ω

Por la Ec. (4.36), el ancho de banda es

( ) ( )2 1 2 2.5 1 2 14 kHzB mf f= β + = + =

(b) Sea β1 el nuevo índice de modulación. Entonces

( )1 12

36 6 6 2 5 15f m f m

m m

k a k alβ = = = β = =

ω ω

Por tanto,

( )( )

( ) ( )( )1 1

1 1

15 1 15 kHz2 1 2 15 1 1 32 kHz

m

B m

f f

f f

∆ = β = =

= β + = + =

Ejemplo 4.14. (a) Estime el ancho de banda para FM y PM para la señal moduladora en la Fig. 4-6 para

52 10fk = π× y 5pk = π . (b) Repita el problema si la amplitud de m(t) se duplica.

Fig. 4-6

(a) La amplitud pico de m(t) es igual a uno. Por tanto, mp = 1. Ahora determinamos el ancho de banda esencial B de m(t). Se deja como ejercicio demostrar que la serie de Fourier para esta señal periódica es

40 0 4

2(t) cos , 10

2 10n

n

m c n t−

π= ω ω = = π

×∑

donde

2 2

8, impar

0, parn

nc n

n

= π

Se puede ver que los armónicos decrecen rápidamente con n. El tercer armónico es solamente 11% del fundamental y el quinto armónico es sólo 4% del fundamental, Esto significa que las potencias de los armónicos tercero y quinto son 1.21 y 0.16%, respectivamente, de la potencia en las componentes fundamentales. Por tanto, está justificado suponer que el ancho de banda esencial de m(t) es igual a la frecuencia del tercer armónico, esto

es, ( )43 10 2 . Por tanto,

15 kHzB = Ejemplo 4.15. Además de la regla de Carson (4.38), con frecuencia se usa la fórmula siguiente para estimar el ancho de banda de una señal FM:


131

( )2 2 para 2B MW D D≈ + ω >

donde 2M Mfω = π y fM es la frecuencia más alta de la señal en hertz. Calcular el ancho de banda, usando esta

fórmula, y compárelo con el ancho de banda obtenido con la regla de Carson para la señal FM con ∆f = 75 kHz y fM = 15 kHz.

Observe que las estaciones de radiodifusión FM comercial en los Estados Unidos están limitadas a una máxima desviación de frecuencia de 75 kHz y las frecuencias moduladoras típicamente cubren de 50 Hz a 15 kHz.

Usando la Ec. (4.37) con 2M Mfω = π , donde fM = 15 kHz, tenemos

( )

( )

3

3

75 105

15 10M

fD

f

∆= = =

y al usar la fórmula dada, el ancho de banda es

( )2 2 210 kHzB Mf D f= + =

Si se usa la regla de Carson, Ec. (4.38), vemos que el ancho de banda es

( )2 1 180 kHzB Mf D f= + =

Observación: Los radios FM de alta calidad requieren de un ancho de banda de por lo menos 200 kHz. Por tanto, parece que la regla de Carson subestima el ancho de banda. C. Características de la Modulación Angular La modulación angular, en general, tiene varias características únicas que la recomiendan para varios sistemas de radio. El ancho de banda de los sistemas AM no puede cambiarse. Debido a esto, los sistemas AM no tienen la característica de intercambiar potencia de la señal por ancho de banda de transmisión. Los sistemas PCM tienen esta característica y también la tienen los sistemas modulados en ángulo. En estos últimos, el ancho de banda de transmisión puede ajustarse si se ajusta ∆f. Inmunidad de la Modulación Angular a las No Linealidades: Otras característica interesante de la modulación angular es su amplitud constante, lo que la hace menos susceptible a las no linealidades. Considérese, por ejemplo, un dispositivo no lineal de segundo orden cuya entrada x(t) y salida y(t) están relacionadas por

21 2( ) ( ) ( )y t a x t a x t= +

Si

[ ]( ) cos ( )cx t t t= ω + ψ

entonces

[ ] [ ]

[ ] [ ]

21 2

2 21

( ) cos ( ) cos ( )

cos ( ) cos 2 2 ( )2 2

c c

c c

y t a t t a t t

a aa t t t t

= ω + ψ + ω + ψ

= + ω + ψ + ω + ψ

Para la onda FM, ( ) ( )ft k m dψ = λ λ∫ y

2 21( ) cos ( ) cos 2 2 ( )

2 2c f c f

a ay t a t k m d t k m d = + ω + λ λ + ω + λ λ

∫ ∫

El término de CD se elimina por filtrado para dar la salida que contiene la señal original más una señal FM adicional, cuya frecuencia portadora y también su desviación de frecuencias son multiplicadas por 2. Observe, sin embargo, que la información m(t) está intacta en ambos términos. Por tanto, la no linealidad no ha distorsionado la información en ninguna forma. Debido a la propiedad de multiplicar la frecuencia portadora,


132

estos dispositivos no lineales también se conocen como multiplicadores de frecuencia. Este resultado para un multiplicador de segundo orden se puede generalizar para uno de n-ésimo orden, el cual generará espectros de hasta nωc y desviaciones de frecuencia de hasta n∆f.

Una no linealidad semejante en la AM no sólo produce modulación no deseada con frecuencias portadoras nωc, sino que también produce distorsión de la señal deseada. Por ejemplo, si una señal DSB ( )cos cm t tω se pasa

por una no linealidad de tercer orden, 3( ) ( ) ( )y t ax t bx t= + , la salida es

3 3

3 3

( ) ( )cos ( )cos3

( ) ( ) cos ( )cos 34 4

c c

c c

y t am t t bm t t

b bam t m t t m t t

= ω + ω

= + ω + ω

Si se pasa esta señal a través de un filtro de pasabanda, se obtiene la señal ( ) 3( ) 3 4 ( ) cos cam t b m t t + ω . Observe

la componente de distorsión ( ) 33 4 ( )b m t que está presente junto a la señal deseada am(t).

La inmunidad a la no linealidad es la razón principal de por qué se usa la modulación angular en los sistemas de relevo de microondas, donde los niveles de potencia son altos. Esto requiere de eficientes amplificadores clase C no lineales. Adicionalmente, la amplitud constante de la FM le da una cierta clase de inmunidad contra el rápido desvanecimiento. El efecto de variaciones en la amplitud producidos por un desvanecimiento rápido puede ser eliminado utilizando control automático de ganancia y limitación de pasa banda. Estas características hacen atractiva a la FM para sistemas de relevo de microondas. La modulación angular también es menos vulnerable que la AM a la interferencia de pequeñas señales de canales adyacentes.

La FM de banda ancha (WBFM) se usa extensivamente en los sistemas de comunicación satelitales. La gran expansión en el ancho de banda reduce la razón señal-a-ruido requerida y por tanto reduce el requerimiento de potencia del transmisor, el cual es muy importante debido a consideraciones del peso en el espacio. La WBFM también se usa para transmisión de radio de alta fidelidad en áreas limitadas. 4.8. GENERACIÓN DE SEÑALES MODULADAS EN ÁNGULO

A. Señales Moduladas en Ángulo de Banda Angosta La generación de señales moduladas en ángulo de banda angosta se logra fácilmente en vista de la Ec. (4.16) o las Ecs. (4.17) y (4.18). Esto se ilustra en la Fig. 4-7.

Fig. 4-7 Generación de señales moduladas en ángulo de banda angosta.


133

B. Señales Moduladas en Ángulo de Banda Ancha Hay dos métodos básicos de generar señales moduladas en ángulo de banda ancha (WB); el método indirecto y el método directo. 1. Método Indirecto (o Método de Armstrong)

En este método, se genera la NBFM integrando m(t) y después se usa para modular en fase una portadora (véase la Fig. 4-7) y luego es convertida en una señal modulada en ángulo WB usando multiplicadores de frecuencia (Fig. 4-8). El multiplicador de frecuencia multiplica el argumento de la sinusoide de entrada por n. Por tanto, si la entrada de un multiplicador de frecuencia es

[ ]( ) cos ( )cx t A t t= ω + φ (4.39)

entonces la salida del multiplicador de frecuencia es

[ ]( ) cos ( )cy t A n t n t= ω + φ (4.40)

Señal NB

Señal WBMultiplicador

de frecuencia

Fig. 4.8 Multiplicador de frecuencia

El uso de la multiplicación de frecuencia normalmente incrementa la frecuencia portadora a un valor alto no muy práctico. Para evitar esto, es necesario una conversión de frecuencia (usando un mezclador o un modulador DSB) (Fig. 4-9) para desplazar el espectro hacia el valor deseado. La salida tiene un filtro de pasabanda centrado en nωc, de modo que selecciones el término apropiado, cuya frecuencia portadora y también la desviación de frecuencia sea n veces los valores originales.

La señal NBFM generada por este método tiene alguna distorsión debido a la aproximación de la Ec. (4.23) por la Ec. (4.32). Como un resultado, la salida del modulador también tiene alguna modulación de amplitud. Una limitación de la amplitud en los multiplicadores de frecuencia elimina la mayor parte de esta distorsión.

Multiplicador de frecuencia

Señal NBFM Señal WBFM

Oscilador local

Fig. 4-9 Conversión de NB a WB En la Fig. 4-10 se muestra un diagrama simplificado de un transmisor comercial de FM que utiliza el método de Armstrong. Se requiere que la salida final tenga una frecuencia portadora de 91.2 MHz y una ∆f = 75 kHz. Comenzamos con una señal NBFM con una frecuencia portadora

1200cf = kHz generada por un oscilador a

cristal. Esta frecuencia se escoge porque es fácil construir osciladores a cristal estables y moduladores


134

balanceados con esta frecuencia. Se escoge la desviación ∆f igual a 25 Hz para mantener β << 1, como lo requiere la NBFM. Para la modulación de tono, Mf fβ = ∆ . El espectro de la banda base (requerido para propósitos de

alta fidelidad) varía de 50 Hz a 15 kHz. La selección de ∆f = 25 Hz es razonable porque da β = 0.5 para el peor caso posible (fM = 50).

Para alcanzar una ∆f = 75 kHz, se necesita una multiplicación de 75000 25 3000= . Esto se puede lograr con dos etapas multiplicadoras, una de 64 y otra de 48, como muestra la Fig. 4-10, lo que da una multiplicación total de 64 48 3072× = y ∆f = 76.8 kHz. La multiplicación se efectúa utilizando dobladores y triplicadores de frecuencias. Así, una multiplicación de 64 se puede obtener mediante seis dobladores en cascada y una multiplicación de 40 se puede obtener con cuatro dobladores y un triplicador en cascada. Sin embargo, la multiplicación de fc = 200 kHz por 3072 producirá una portadora final de aproximadamente 600 MHz. Esta dificultad se evita usando una traslación o conversión de frecuencias después del primer multiplicador (Fig. 4-10 ). La primera multiplicación por 64 resulta en la frecuencia portadora

2200kHz 64=12.8cf = × MHz y una

desviación de frecuencia 2 25 64 1.6f∆ = × = kHz. Ahora desplazamos todo el espectro usando un convertidor (o mezclador) de frecuencias con frecuencia portadora de 10.9 MHz. Esto resulta en una nueva frecuencia portadora

312.8 10.9 1.9cf = − = MHz. El convertidor de frecuencias desplaza todo el espectro sin alterar ∆f. Por

tanto, 3 1.6f∆ = kHz. Una multiplicación adicional, por 48, produce 4

1.9 48 91.2cf = × = MHz y 4 1.6 48f∆ = × =

76.8 kHz.

Este esquema tiene una ventaja en la estabilidad de la frecuencia, pero sufre de ruido inherente producido por la multiplicación excesiva y por distorsión en las frecuencias de modulación más bajas donde Mf f∆ no es lo suficientemente pequeña

Oscilador a cristal 200 kHz

Oscilador a cristal

10.9 kHz

a(t)m(t)

Modulador DSB-SC

Amplificador de

potencia


× 64


× 48

Convertidor de

frecuencia

1

1

200 kHz

25 Hzcf

f

=

∆ =2

2

12.8 MHz

1.6 kHzcf

f

=

∆ =3

3

1.9 MHz

1.6 kHzcf

f

=

∆ =4

4

91.2 MHz

76.8 kHzcf

f

=

∆ =

∫

Fig. 4-10 Transmisor Armstrong de FM indirecta.

Ejemplo 4.16. Considérese el multiplicador de frecuencias de la Fig. 4-8 y una señal NBFM

( )NBFM ( ) cos senc mx t A t t= ω + β ω

con β < 0.5 y fc = 200 kHz. Suponga que fm varía de 50 Hz a 15 kHz y que la desviación de frecuencia máxima ∆f en la salida es 75 kHz. Hallar la multiplicación de frecuencia requerida n y la máxima desviación de frecuencia permitida en la entrada.

De la Ec. (4.22), β = ∆f/fm. Por tanto,

( )

( )

( )3 3

mín máx3

75 10 75 105, 1500

5015 10β = = β = =


135

Si β1 = 0.5, donde β1 es la β de entrada, entonces la multiplicación de frecuencia requerida es

máx

1

15003000

0.5n

β= = =

β

La máxima desviación de frecuencia permitida en la entrada, denotada por ∆f1, es

( )3

175 10

0 25 Hz3000

ff

n

∆∆ = =

Ejemplo 4.17. En la Fig. 4-11 se muestra un diagrama de bloques de un transmisor de FM indirecta (de Armstrong). Calcule la máxima desviación de frecuencia ∆f de la salida del transmisor de FM y la frecuencia portadora fc si f1 = 100 kHz, fOL = 10.8 MHz, ∆f1 = 25 Hz, n1 = 64 y n2 = 48.



fOL

Fig. 4-11 Diagrama de bloques de un transmisor de FM indirecta

Solución:

( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

1 1 2

3 32 1

63 2 OL

25 64 48 76.8 Hz

64 200 10 12.8 10 Hz 12.8 MHz

23.6 MHz12.8 10.8 10 Hz

2.0 MHz

f f n n

f nf

f f f

∆ = ∆ = =

= = × = × =

= ± = ± =

Por tanto, cuando f3 = 23.6 MHz, entonces

( )( )3 48 23.6 1132.8 MHzcf nf= = =

Cuando f3 = 2 MHz, entonces ( ) ( )3 48 2 96 MHzcf nf= = =

Ejemplo 4.17. En un generador FM del tipo Armstrong de la Fig. 4-11 (Ejemplo 4.16), la frecuencia del oscilador a cristal es 200 kHz. La desviación de fase máxima está limitada a 0.2 para evitar distorsión. Suponga que fm varía de 50 Hz a 15 kHz. La frecuencia portadora en la salida es 108 MHz y la máxima desviación de frecuencia e 75 kHz. Selecciones las frecuencias de los multiplicadores y del oscilador mezclador.

Refiriéndonos a la Fig. 4-11, tenemos

( ) ( )

( )

13

1 21

52 1 1 1

0.2 50 10 Hz

75 107500

10

2 10 Hz

mf f

fn n

f

f n f n

∆ = β = =

∆ ×= = =

∆

= = ×

Suponiendo conversión hacia abajo, tenemos que

2 OL2

cff fn

− =


136

Por tanto, 5 6

6 OL 1 1

2 2 2

7500 2 10 108 10 139210 Hzcff n f

n n n

⋅ ⋅ − ⋅= − = = ⋅

Si tomamos n2 = 150, obtenemos

1 OL50 y f 9.28 MHzn = =

Ejemplo 4.18. Una señal modulada en ángulo tiene una desviación de frecuencia máxima de 50 Hz para una entrada sinusoidal de amplitud unitaria y una frecuencia de 120 Hz. Determinar el factor de multiplicación de la frecuencia requerido n para producir una desviación de frecuencia máxima de 20 kHz cuando la sinusoide de entrada tiene amplitud unitaria y una frecuencia de 240 Hz y la modulación angular usada es (a) PM y (b) FM.

(a) De las Ecs. (4.21) y (4.22) vemos que en la PM sinusoidal, la máxima desviación de frecuencia ∆f es proporcional a fm. Por tanto,

( )1240

50 100 Hz120

f

∆ = =

y 3

2

1

20 10200

100f

nf

∆ ×= = =

∆

(b) Una vez más, de las Ecs. (4.21) y (4.22) vemos que en la FM sinusoidal, la máxima desviación de frecuencia ∆f es independiente de fm. Por tanto

32

1

20 10400

50f

nf

∆ ×= = =

∆

2. Método Directo

En el método directo de generar una señal FM, la señal moduladora controla directamente la frecuencia portadora. Un método común usado para generar FM directamente es variando la inductancia o capacitancia de un oscilador eléctrico sintonizado. Cualquier oscilador cuya frecuencia es controlada por el voltaje de la señal moduladora se denomina un oscilador controlado por voltaje (OCV). La ventaja principal de la FM directa es que son posibles grandes desviaciones de frecuencia y por tanto se requiere una menor multiplicación de la frecuencia. La desventaja principal es que la frecuencia portadora tiende a derivar y, por tanto, se requieren circuitos adicionales para estabilizar la frecuencia.

Se puede generar una onda FM utilizando la señal moduladora m(t) como una señal de control. Esto da

( )i c fk m tω = ω +

Una forma de lograr este objetivo es variar uno de los parámetros reactivos (C o L) del circuito resonante de un oscilador. Un diodo semiconductor polarizado inversamente actúa como un capacitor cuya capacitancia varía con el voltaje de polarización. La capacitancia de estos diodos, conocido bajo diferentes nombres (varicaps, varactores o voltacaps) puede aproximarse como una función lineal del voltaje de polarización m(t) en una banda limitada. Ejemplo 4.19. Para frecuencias portadoras bajas puede ser posible generar una señal FM variando la capacitancia de un circuito resonante en paralelo. Demostrar que la salida xc(t) del circuito sintonizado mostrado en la Fig. 4-12 es una señal FM si la capacitancia tiene una dependencia del tiempo de la forma

0( ) ( )C t C km t= − y

0

( ) 1k

m tC

≪


137

Oscilador de circuito

sintonizado

Fig. 4-12

Si suponemos que el factor km(t) es pequeño y varía lentamente, entonces la frecuencia de salida ω1 del oscilador es dada por

[ ]

1 2

000

1 1 11 ( )

( ) ( )i

km t

CLC t LCL C km t

ω = = = −

−

Puesto que ( )0 ( ) 1k C m t ≪ , podemos usar la aproximación binomial ( ) 1 2 11 1

2z z

−− ≈ + y obtenemos

0

11 ( ) ( )

2i c c f

km t k m t

C

ω ≈ ω + = ω +

donde

00

1 1 y

2c

c f

kk

CLC

ωω = =

Por tanto, por la Ec. (4.12), xc(t) es una señal FM.

Como 0 ( )C C km t= − , la máxima desviación de la capacitancia es

02 f pp

c

k C mC km∆ = =

ω

donde mp es la amplitud pico de m(t). Por tanto

0

2 2f p

c c

k m fC

C f

∆∆= =

ω

En la práctica, ∆f/fc es usualmente pequeña y, por tanto, ∆C es una pequeña fracción de C0, lo que ayuda a controlar la distorsión armónica que aparece debido a la aproximación usada en esta derivación.

La generación de F directa generalmente produce suficiente desviación de frecuencia y requiera poca multiplicación de frecuencia. Pero el método tiene una pobre estabilidad de frecuencia. En la práctica, se usa retroalimentación para estabilizar la frecuencia. La frecuencia de salida se compara con una frecuencia constante generada por un oscilador a cristal estable. Una señal de error (error en frecuencia) se detecta y es realimentada al oscilador para corregir el error. 4.9. DEMODULACIÓN DE SEÑALES MODULADAS EN ÁNGULO La información en una señal FM reside en la frecuencia instantánea ( )i c fk m tω = ω + . Por lo tanto, la

demodulación de una señal FM requiere de un sistema que produzca una salida proporcional a la desviación de frecuencia instantánea de la señal de entrada. Un sistema de este tipo se conoce como un discriminador de frecuencia. Si la entrada a un discriminador ideal es una señal modulada en ángulo como

[ ]( ) cos ( )c cx t A t t= ω + φ

entonces la salida del discriminador será


138

( )

( )d d

d ty t k

dt

φ= (4.41)

donde kd es la sensibilidad del discriminador.

Para la FM, φ(t) es dada por [Ec. (4.8)]

( ) ( )t

ft k m d−∞

φ = λ λ∫

y la Ec. (4.41) se convierte en

( ) ( )d d fy t k k m t= (4.42)

Las características de un discriminador de frecuencias ideal se muestran en la Fig. 4-13.

Voltaje de salida

Pendiente = kd

Frecuencia de entrada

Fig. 4-13 Características del discriminador de frecuencias ideal

El discriminador también puede usarse para demodular señales PM. Para la PM, φ(t) es dada por [Ec. (4.6)]

( ) ( )pt k m tφ =

Entonces yd(t), dada por la Ec. (4.41), se convierte en

( )

( )d d p

dm ty t k k

dt= (4.43)

La integración de la salida del discriminador produce una señal que es proporcional a m(t). Por tanto, un demodulador para PM puede implementarse como un demodulador de FM seguido por un integrador.

Una aproximación sencilla al discriminador ideal es un diferenciador ideal seguido por un detector de envolvente (Fig. 4-14). Si la entrada al diferenciador es

[ ]( ) cos ( )c cx t A t t= ω + φ

entonces la salida del diferenciador es

[ ]( )

( ) sen ( )c c c

d tx t A t t

dt

φ ′ = − ω + ω + φ

(4.44)

Detector de envolvente

Fig. 4-14 Discriminador de frecuencias


139

La señal xc(t) está modulada tanto en amplitud como en ángulo. La envolvente de ( )cx t′ es

( )c

d tA

dt

φ ω +

La salida del detector de envolvente es, por la Ec. (4.4),

( )d iy t = ω (4.45)

que es la frecuencia instantánea de la portadora xc(t).

Se supone que la portadora FM entrante es constante. Si la amplitud A no fuese constante y variase con el tiempo, habría un término adicional que contiene a dA/dt en en lado derecho de la Ec. (4.44). Aunque este término se despreciase, la envolvente de ( )cx t′ sería ( ) ( )c fA t k m tω + y la salida del detector de envolvente sería

proporcional a ( ) ( )m t A t . Por tanto, es esencial que A se mantenga constante. Varios factores (como, por ejemplo, el ruido y el desvanecimiento) hacen que A varíe. Esta variación debe removerse antes de aplicar la señal al detector de FM.

Existen muchas otras técnicas que pueden usarse para implementar un discriminador de frecuencias. (Véanse los Ejemplos. 4.20, 4.21 y 4.22.) Ejemplo 4.20. Se aplica una señal FM

FM ( ) cos ( )t

c fx t A t k m d−∞

= ω + λ λ

∫

al sistema mostrado en la Fig. 4-15 y el cual consiste de un filtro RC de pasa altas y un detector de envolvente. Supóngase que 1RCω ≪ en la banda de frecuencias ocupada por xFM(t). Determinar la señal de salida y(t), suponiendo que ( )f ck m t < ω para todo t.

Detector de envolvente

Fig. 4-15

La respuesta de frecuencia H(ω) del filtro RC de pasa altas es

( )( )

1 1j RCRr

HR j C j RC

ωω = =

+ ω + ω

So 1RCω ≪ , entonces

( )H j RCω ≈ ω

Puesto que la multiplicación por jω en el dominio de la frecuencia es equivalente a la diferenciación en el dominio del tiempo [véase la Ec. (1.23)], la salida v(t) del filtro RC es

[ ]FM( ) ( )

( ) sen ( )t

c f c f

dv t RC x t

d

ARC k m t t k m d−∞

=

= − ω + ω + λ λ ∫

La salida correspondiente del detector de envolvente es


140

( ) ( )c fy t ARC k m t= ω +

la cual muestra que, excepto por un término de CD, la salida es proporcional a m(t). Ejemplo 4.21. Se pueden usar líneas de retardo para aproximar la derivada de la señal al reconocer que

( ) ( )

( )x t x t

x t− − τ

′ ≈τ

(4.46)

Dibujar el sistema y sugerir el pequeño tamaño que τ debe tener para que el lado derecho sea una buena aproximación a la derivada.

En la Fig. 4-16 se muestra un sistema que realiza la Ec. (4.46):

[ ]1

( ) ( ) ( )y t x t x t= − − ττ

Tomando la transformada de Fourier de ambos lados, se obtiene

( ) ( ) ( )[ ]1 1( ) 1j jY X e X X e− ωτ − ωτ ω = ω − ω = ω −

τ τ

Si 1ωτ≪ , entonces 1 je j− ωτ− ≈ ωτ y

( ) ( )Y j Xω = ω ω

la cual indica que y(t) es aproximadamente igual a la derivada de x(t) y τ debe satisfacer la siguiente condición:

1 1

c

τ =ω ω + ∆ω

≪

Retardo τ

Fig. 4-16

Ejemplo 4.22. Considérese una señal FM

( ) cos ( )t

FM c fx t A t k m d−∞

= ω + λ λ

∫

Denote por t1y t2 ( )2 1t t> los tiempos asociados con cruces con cero adyacentes de xFM(t) (Fig. 4-17). Si

( )2

1

2 1 1 2( ) ( ) t

tm d m t t t t t tλ λ ≈ − ≤ ≤∫

entonces demuestre que

( )f ck m tt

π≈ − ω

∆

donde 2 1t t t∆ = − .

Sea


141

FM ( ) cos ( )x t A t= θ donde

( ) ( )t

c ft t k m d−∞

θ = ω + λ λ∫

Sean t1y t2 ( )2 1t t> los tiempos asociados con cruces de cero adyacentes, esto es

( ) ( )FM 1 FM 2 0X t X t= =

Entonces

( ) ( ) ( )2

1

2 1 2 1 ( )t

c ft

t t t t k m dθ − θ = π = ω − + λ λ∫

Se supone que el ancho de banda del mensaje m(t) es mucho menor que el ancho de banda de la señal modulada. Entonces m(t) es esencialmente constante en el intervalo [ ]1 2, t t y tenemos que

( )2 1( )c fk m t t tω + − = π

Por tanto, por la Ec. (4.12),

2 1

( )i c fk m tt t

πω = ω + =

−

0

( )f ck m tt

π= − ω

∆

donde 2 1t t t∆ = − .

Fig. 4-17 Cruces de cero de una señal FM

Ejemplo 4.23. El resultado del Ejemplo 4.22 indica que m(t) puede recuperarse contando los cruces de cero en sFM(t). Sea N el número de cruces de cero en el tiempo T. Demuestre que si T satisface la condición

1 1

c M

Tf f

< ≪

donde fM es el ancho de banda de m(t) en hertz ( )2M Mfω = π , entonces


142

( )2 c

Nkm t f

T≈ −

Sean t1, t2, t3, … los instantes de los cruces por cero y 1 2 1 2 3 2, , T t t T t t= − = − … . Suponga que hay N cruces de cero en

1 2 NT T T T= + + ⋯

Del resultado del Ejemplo 4.22, tenemos que

1

( )f ck m tT

π= − ω

o

1 ( )c f

Tk m t

π=

ω +

Esto es cierto para T2, T3, … ; esto es,

, 1, 2, 3, , ( )i

c f

T i Nk m t

π= =

ω +…

Por tanto,

1 2 + ( )N

c f

NT T T T

k m t

π+ + = =

ω +⋯

y obtenemos

( )f c

Nk m t

T

π= − ω

o

( ) ( )2 2

fc

k Nm t km t f

T= = −

π

La condición 1 cf T< asegura que dentro de T habrá algunos cruces de cero y l condición 1 MT f≪ no ofrece un promediado (o suavizado) excesivo de m(t),

Lazo de Encaje de Fase (PLL)

Debido a su bajo costo y a su excelente desempeño, especialmente cuando la razón señal-a-ruido es baja, la demodulación usando PLL (por sus siglas en inglés) es el método más ampliamente usado en la actualidad. El lazo de encaje de fase puede usarse para seguir la fase y la frecuencia de la componente de portadora de una señal entrante. Por tanto, es un dispositivo útil para la demodulación sincrónica de señales AM con portadora suprimida. También puede usarse para la demodulación de señales moduladas angularmente, especialmente bajo condiciones de baja razón de señal-a-ruido.

Un PLL tiene tres componentes básicas:

1. Un oscilador controlado por voltaje (OCV).

2. Un multiplicador, el cual sirve como un detector de fase (DP) o un comparador de fase.

3. Un filtro de lazo H(s)-

La operación de PLL es semejante a la de un sistema realimentado (Fig. 4-18a). En un sistema de realimentación típico, la señal realimentada tiende a seguir la señal de entrada. Si la señal realimentada no es igual a la señal de entrada, la diferencia (conocida como el error) cambiará la señal realimentada hasta que esté cerca de la señal de entrada. Un PLL opera bajo un principio similar, excepto que la cantidad realimentada y comparada no la amplitud sino la fase. El OCV ajusta su propia frecuencia hasta que sea igual a la de la sinusoide de entrada. En este punto, la frecuencia y la fase de las dos señales están en sincronismo (excepto por una posible diferencia de una fase constante).


143

Filtro de lazo

OCV( )cos c oB tω + θ

( )sen c iA tω + θ

Fig. 4-18 Operación de lazo de encaje de fase.

Oscilador Controlado por Voltaje (OCV). Un oscilador cuya frecuencia pueda controlarse por un voltaje externo es un oscilador controlado por voltaje (OCV). En un OCV, la frecuencia de oscilación varía linealmente con el voltaje de entrada. Si el voltaje de entrada a un VCO es eo(t), su salida es una sinusoide de frecuencia ω dada por

( ) ( )c ot ce tω = ω + (4.47)

donde c es una constante del OCV y ωc es la frecuencia libre del OCV [la frecuencia del OCV cuando ( ) 0oe t = ]. La salida del multiplicador es filtrada adicionalmente a pasabajas por el filtro de lazo y después aplicada a la entrada del OCV. Este voltaje cambia la frecuencia del oscilador y mantiene al lazo en encaje. Funcionamiento del PLL. Sea ( )sen c iA tω + θ la entrada al PLL y sea la salida una sinusoide ( )cos c oB tω + θ . La

salida x(t) del multiplicador es dada por

( ) ( ) ( ) ( )( ) sen cos sen sen 22c i c o i o c i o

ABx t AB t t t = ω + θ ω + θ = θ − θ + ω + θ + θ

El último término en el lado derecho, como es una señal de alta frecuencia, es suprimido por el filtro de lazo, el cual es un filtro de pasabajas de banda angosta. Por tanto, eo(t), la entrada al OCV, es

sen , 2o e e i o

ABe = θ θ = θ − θ (4.48)

donde θe es el error de fase ( )i eθ − θ . La Fig. 4-18b muestra la gráfica de eo versus θe. Usando esta gráfica, el

mecanismo de seguimiento o rastreo se puede explicar en la forma siguiente.

Supóngase que el lazo está encajado, esto es, las frecuencias de las sinusoides de entrada y salida son idénticas. Esto significa que se está en régimen permanente (estado estacionario) y θi, θo y θe son constantes. La Fig. 4-25b muestra un punto de operación típico a y los valores correspondientes de eo y θe en la gráfica de eo vs. θe.


144

Supóngase también que la frecuencia de la sinusoide de entrada se incrementa súbitamente de ωc a ωc + k. Esto

significa que la señal entrante es ( ) ( )ˆcos cosc i c iA k t A t ω + + θ = ω + θ , donde ˆi iktθ = + θ . Por tanto, el

incremento en la frecuencia de entrada hace que θi se incremente a i ktθ + , y que θe también aumente. El punto

de operación a ahora se desplaza hacia arriba a lo largo de la característica eo vs. θe en la Fig. 4-18b. Esto incrementa a eo, que, a su vez, incrementa la frecuencia de la salida del OCV para adaptarse al incremento de la frecuencia de entrada. Un razonamiento similar muestra que si disminuye la frecuencia de la sinusoide de entrada, la frecuencia de salida del PLL disminuirá en forma correspondiente. Por tanto, el PLL sigue a la sinusoide de entrada. Se dice que las dos señales son mutuamente coherentes en fase o están encajadas en fase. El OCV sigue entonces la frecuencia y la fase de la señal entrante. Un PLL puede seguir la frecuencia entrante solamente en una banda finita de desplazamiento de frecuencia. Esta banda se denomina la banda de encaje. Adicionalmente, si inicialmente las frecuencias de entrada y salida no están suficientemente cerca, el lazo puede no entrar en encaje. El intervalo o banda de frecuencia en la cual la entrada hará que el lazo encaje se denomina la banda de captura. También, si la frecuencia de entrada cambia demasiado rápido, el lazo puede no encajar.

Considérese el PLL en la Fig. 4-19a. La salida eo(t) del filtro de lazo H(s) actúa como una entrada al OCV. La frecuencia libre del OCV se fija en la frecuencia portadora ωc. La frecuencia instantánea del OCV es [Ec. (4.47)]

OCV ( )c oce tω = ω +

Si la salida del OCV es [ ]cos ( )c oB t tω + θ , entonces su frecuencia instantánea es ( )c o tω + θɺ . Por tanto,

( ) ( )o oy ce tθ =ɺ (4.49)

donde c y B son constantes del PLL.

Sean [ ]sen ( )c iA t tω + θ la señal entrante (entrada al PLL). Si sucede que la señal entrante es [ ]sen ( )o iA t tω + ψ ,

ella todavía puede expresarse como [ ]sen ( )c iA t tω + θ , donde ( )( ) ( )i o ct t tθ = ω − ω + ψ . Por tanto, el análisis a

continuación es general y no está restringido a frecuencias iguales de la señal entrante y de la señal del OCV libre.

Ahora repetimos la salida del multiplicador:

( ) ( ) ( ) ( )( ) sen cos sen sen 22c i c o i o c i o

ABx t AB t t t = ω + θ ω + θ = θ − θ + ω + θ + θ

Filtro de lazo

H(s)

Oscilador controlado por voltaje

[ ]sen ( )c iA t tω + θ

[ ]2 cos ( )c oB t tω + θ

sen( )

Fig. 4-19 Lazo de encaje de fase y su circuito equivalente.


145

El término con la suma de frecuencias es suprimido por el filtro de lazo. Por tanto, la entrada efectiva al filtro de lazo es [ ]1

2 sen ( ) ( )i oAB t tθ − θ . Si h(t) es la respuesta al impulso unitario del filtro de lazo, entonces

[ ]

( ) [ ]0

1( ) ( ) sen ( ) ( )

21

sen ( ) ( )2

o i o

t

i o

e t h t AB t t

h t x t t dx

= ∗ θ − θ

= − θ − θ∫ (4.50)

Sustituyendo la Ec. (4.49) en la Ec. (4.50), se obtiene

( )0

( ) sen ( )t

o et AK h t x x dxθ = − θ∫ɺ (4.51)

donde 12K cB= y θe(t) es el error de fase, definido como

( ) ( ) ( )e i ot t tθ = θ − θ

Estas ecuaciones, junto con la Ec. (4.49), sugieren de inmediato un modelo para el PLL, como se muestra en la Fig. 4-19b.

Cuando la portadora FM en la entrada es [ ]sen ( )c iA t tω + θ , entonces

( ) ( )t

i ft k m d−∞

θ = α α∫ (4.52)

Por tanto,

( ) ( )t

o f et k m d−∞

θ = α α − θ∫

y, suponiendo un pequeño error θe,

1

( ) ( ) ( )fo o

ke t t m t

c c= θɺ ≃ (4.53)

De modo que el PLL actúa como un demodulador de FM. Si la señal de entrada es una onda PM, ( ) ( ) ( )o i pt t k m tθ = θ = y ( ) ( )o pe t k m t c= ɺ . En este caso es necesario integrar a eo(t) para obtener la señal deseada. A

continuación se presenta un análisis detallado del PLL para un caso especial. Análisis de Pequeño Error. En este caso, sen e ëθ θ≃ y el diagrama de bloques en la Fig. 4-19b se reduce al sistema lineal (e invariable en el tiempo) mostrado en la Fig. 4-20a. Un cálculo directo da

[ ]

( )( ) ( )( ) 1 ( ) ( )

o

i

AKH s ss AKH s

s AKH s s s AKH s

Θ= =

Θ + + (4.54)

Por tanto, el PLL actúa como un filtro con función de transferencia [ ]( ) ( )AKH s s AKH s+ , como se muestra en la

Fig. 4-20b. El error Θe(s) es dado por

( )( ) ( ) ( ) 1 ( )

( )

( )( )

oe i o i

i

i

ss s s s

s

ss

s AKH s

Θ Θ = Θ − Θ = − Θ Θ

= Θ+

(4.55)

Una de las aplicaciones importantes del PLL es en la adquisición de la frecuencia y la fase con el objetivo de sincronización. Suponga que la señal entrante es ( )0sen oA tω + ϕ . Se desea generar una señal local de frecuencia


146

ω0 y fase ϕ0. Suponiendo que la frecuencia de reposo del OCV es ωc, la señal de entrada puede expresarse como [ ]sen ( )c iA t tω + θ , donde

( )0 0( )i ct tθ = ω − ω + ϕ

y

( )0 02

( ) ci s

ss

ω − ω ϕΘ = +

Considérese el caso especial de H(s) = 1. Sustituyendo esta ecuación en la Ec. (4.55), se obtiene

( ) ( )

0 02

0 0 0

( )

ce

c c

ss

s AK ss

AK AK

s s AK s AK

ω − ω ϕ Θ = + +

ω − ω ω − ω ϕ= − +

+ +

Por tanto,

( ) ( )0

0( ) 1c AK t AKte t e e

AK− −ω − ω

Θ = − + ϕ (4.56)

Observe que

0lím ( ) ce

zt

AK→ ∞

ω − ωθ = (4.57)

Por tanto, después que el transitorio desaparece (en aproximadamente 4/AK segundos), el error de fase mantiene un valor constante de ( )0 c AKω − ω . Esto significa que la frecuencia del PLL en definitiva iguala la

frecuencia de entrada ω0. Sin embargo, hay un error de fase constante. La salida del PLL es

00 0cos cB t

AK

ω − ω ω + ϕ −

Fig. 4-20 Circuitos equivalentes de un PLL linealizado.


147

Problemas

4.1. Una señal modulada en ángulo es dada por

6( ) 5cos 2 10 0.2 cos 200cx t t t = π × + π

¿Puede usted identificar si xc(t) es una señal PM o FM? Explique.

Resp. No. Puede ser una señal PM o FM.

4.2. Para una señal moduladora

( ) 2 cos100 18cos 2000m t t t= − π

(a) Escriba expresiones, no dibuje, para xPM(t) y xFM(t) cuando A = 10, 610cω = , 1000fk = π y kp = 1. Para

determinar xFM(t), use la integral indefinida de m(t), esto es, tome el valor de la integral en t = −∞ igual a 0.

(b) Estime los anchos de banda de xPM(t) y xFM(t).

4.3. Una señal modulada en ángulo con frecuencia de portadora 62 10cω = π × es descrita por la ecuación

( )EM ( ) 10 cos 0.1sen 2000cx t t t= ω − π

(a) Halle la potencia de la señal modulada.

(b) Halle la desviación de frecuencia ∆f.

(c) Halle la desviación de fase ∆φ.

(d) Estime el ancho de banda de xEM(t).

4.4. Dado 2

( ) tm t e−= , 410cf = Hz, kf = 6000π y lp = 8000π.

(a) Halle ∆f, la desviación de frecuencia para FM y PM.

(b) Estime los anchos de banda de las ondas FM y PM. Sugerencia: Halle M(ω) y observe el rápido decaimiento de este espectro. Su ancho de banda de 3 dB es todavía más pequeño que 1 Hz ( )B f∆≪ .

4.5. Una estación de radio FM comercial se alterna entre formatos de música y voz mediante llamadas. La música de CD transmitida está limitada en banda a 15 kHz basada en convención. Suponiendo que se usa

5D = para música y voz, ¿qué porcentaje del ancho de banda disponible se usa durante la parte de voz si tomamos fM = 5 kHz para las señales de voz?

4.6. El multiplicador de frecuencias es un dispositivo no lineal seguido por un filtro de pasabanda, como se muestra en la Fig. 4-21. Supóngase que el dispositivo no lineal es un dispositivo de ley cuadrada ideal con características de entrada-salida

2( ) ( )o ie t ae t=

Halle la salida y(t) si la entrada es una señal FM dada por

( )( ) cos seni c me t A t t= ω + β ω


148

Dispositivo no lineal

Fig. 4-21

Resp. ( )( ) cos 2 2 senc my t A t t′= ω + β ω , donde 212A aA′ = . Este resultado indica que un dispositivo de ley

cuadrada puede usarse como un duplicador de frecuencia.

4.7. Una señal de un mensaje de audio es transmitida usando modulación de frecuencia. Describa la distorsión en la señal del mensaje de salida si es recibida por un detector de PM (Sugerencia: Considérese la relación entre la amplitud y la frecuencia de la señal del mensaje y el índice de modulación).

4.8. Se da una fuente NBFM con fc = 7 MHz, W = 2.5 kHz y f∆ = 1.25 kHz. Usar una serie de dobladores y triplicadores de frecuencia y posiblemente una etapa heterodina, para diseñar un convertidor que produzca una señal WBFM con fc = 220 MHz y f∆ = 15 kHz. Justificar los resultados.

4.9. Suponga que la señal de 10.8 MHz en la Fig. 4-22 se obtiene del oscilador de 200 kHz (multiplicación por 54) y que la deriva del oscilador de 200 kHz es de 0.1 Hz.

(a) Halle la deriva en la señal de 10.8 MHz.

(b) Halle la deriva en la portadora de la señal FM resultante.




xFM(t)

Fig. 4-22

Resp. (a) ±5.4 Hz. (b) 48 Hz

4.10. Una señal FM dada tiene una máxima desviación de frecuencia de 25 Hz para una moduladora sinusoidal de amplitud unitaria y una frecuencia de 100 kHz. Halle el valor requerido de la multiplicación de frecuencia n para producir una desviación de frecuencia máxima de 20 kHz cuando la sinusoide moduladora tiene amplitud unitaria y una frecuencia de 200 Hz.

Resp. n = 800.

4.11. En la Fig. 4-23 se muestra un diagrama de bloques de un receptor de FM típico, que cubre la banda de radiodifusión de 88 a 108 MHz. La frecuencia del amplificador de FI es 10.7 MHz. El limitador se usa para remover las fluctuaciones de amplitud causadas por imperfecciones del canal. El receptor FM está sintonizado a una frecuencia portadora de 100 MHz.

(a) Una señal de audio de 10 Hz modula en frecuencia una portadora de 100 MHz y produce un β =0.2. Halle los anchos de banda requeridos para los amplificadores de RF y de FI y para el amplificador de audio.

(b) Repita (a) si β = 5.


149

Amplificador de RF

Amplificador de FI

Limitador Discriminador de frecuencia

Amplificador de audio

Bocina

Figura 4-23 Receptor de FM

4.12. Diseñe (sólo el diagrama de bloques) un modulador de FM indirecta de Armstrong para generar una portadora FM con una frecuencia portadora de 98.1 MHz y ∆f = 75 kHz. Se cuenta con un generador de FM de banda angosta de una frecuencia portadora de 100 kHz y una desviación de frecuencia ∆f = 10 Hz. En el depósito también se tiene un oscilador con frecuencia ajustable en la banda de 10 a 11 MHz. También hay abundancia de dobladores, triplicadores y quintuplicadores de frecuencia.

4.13. Demuestre que cuando m(t) tiene discontinuidades de saltos, un demodulador de FM seguido por un integrador (Fig. 4-24a) funciona como un demodulador de PM, y un demodulador de PM seguido por un diferenciador (Fig. 4-24b) sirve como un demodulador de FM aun cuando m(t) tenga discontinuidades de saltos. Sugerencia: Para una entrada [ ]cos ( )cA t tω + ψ . la salida de un demodulador de FM ideal es

( )d t dtψ y la de un demodulador PM ideal es ( )tψ .

Demodulador FM

Demodulador PM

(b) Demodulador FM

(a) Demodulador PM

Fig. 4-24

4.14. Usando análisis de pequeño error, demuestre que un PLL de primer orden [H(s) = 1] no puede seguir a

una señal entrante cuya frecuencia instantánea esté variando linealmente con el tiempo 2( )i t kt θ = . Esta

señal puede seguirse dentro de una fase constante si ( )( )H s s a s= + . Se puede seguir con un error de fase

cero si ( )2 2( )H s s as b s= + + .


150

Teoría y Problemas de Apuntes de COMUNICACIONES …...Hsu, Hwei: Analog and Digital Communications...

Documents

Transcript of Teoría y Problemas de Apuntes de COMUNICACIONES …...Hsu, Hwei: Analog and Digital Communications...