Apuntes de matrices

Capıtulo 1

Estructuras algebraicas

1.1 Operaciones. Concepto de grupo, anillo y cuerpo

Definicion 1.1.1 Sea C un conjunto. Diremos, “provisionalmente”, que se ha definido una opera-cion interna o una ley de composicion interna sobre C, cuando se ha dado una “regla”que asocia acada par de elementos de C un unico elemento tambien de C. Es decir, llamamos operacion o leyde composicion interna sobre C a toda aplicacion

∗ : C × C −−−→ C.

Si a, b ∈ C y c = ∗(a, b), el elemento c ∈ C, imagen del par (a, b) por la aplicacion ∗, sera notadopor c = a ∗ b.

Definicion 1.1.2 (concepto de grupo). Sea G un conjunto no vacıo y ∗ una ley de composicioninterna definida sobre G. Diremos que (G, ∗) es un grupo si la citada operacion verifica las siguientespropiedades:

G.1. asociativa: ∀a, b, c ∈ G, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).

G.2. e. neutro: ∃e ∈ G | ∀a ∈ G, e ∗ a = a ∗ e = a.(Habitualmente, cuando la notacion es aditiva, al elemento neutro del grupo se le llama ceroy se le representa por 0 y, si es multiplicativa se le llama uno y se le representa por 1.)

G.3. elemento simetrico: ∀a ∈ G, ∃a′ ∈ G | a′ ∗ a = a ∗ a′ = e.(Al igual que en el caso anterior, si la notacion es aditiva, al elemento simetrico de a se lellama opuesto del elemento a y se le nota por −a y, si es multiplicativa se le llama inverso dea y se le nota por a−1.)

El grupo recibira el nombre de conmutativo o abeliano, si ademas, dicha operacion verifica lasiguiente propiedad:

G.4. conmutativa: ∀a, b ∈ G, a ∗ b = b ∗ a.

De los conjuntos numericos, son grupos aditivos (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) y son grupos multi-plicativos (Q \ 0, ·), (R \ 0, ·), (C \ 0, ·).

Definicion 1.1.3 concepto de anillo Sea A un conjunto no vacıo sobre el que hemos definidodos leyes de composicion internas para las que utilizaremos la notacion habitual +, ·, diremos quela terna (A,+, ·) es un anillo, si dichas operaciones verifican las siguientes propiedades:

1

1.1 OPERACIONES. CONCEPTO DE GRUPO, ANILLO Y CUERPO 2

1. propiedades de la adicion

A.1. asociativa: ∀a, b, c ∈ A, (a + b) + c = a + (b + c).

A.2. conmutativa: ∀a, b ∈ A, a + b = b + a.

A.3. e. neutro: ∃0 ∈ A | ∀a ∈ A, a + 0 = a.

A.4. elemento simetrico: ∀a ∈ A, ∃ − a ∈ A | a + (−a) = 0.

2. propiedades de la multiplicacion

A.5. asociativa: ∀a, b, c ∈ A, (a·b)·c = a·(b·c).

3. relacion entre ambas operaciones

A.7. distributiva: ∀a, b, c ∈ A, a·(b + c) = a·b + a·c.

Si, ademas, la operacion · verifica alguna la propiedades

A.8. conmutativa: ∀a, b ∈ A, a·b = b·a,

A.9. e. neutro: ∃e ∈ A | ∀a ∈ A, e·a = a·e = a,

el anillo recibe el nombre, respectivamente, de anillo conmutativo y/o anillo con unidad.

Son anillos conmutativos: (Z,+, ·) y (R[X],+, ·) (anillo de los numeros enteros y anillo de lospolinomios en la indeterminada X con coeficientes en el cuerpo R de los numeros reales.

Es un anillo no conmutativo (M(n× n, K),+,×) (conjunto de las matrices cuadradas de orden nsobre un cuerpo K con las operaciones adicion y multiplicacion de matrices).

Definicion 1.1.4 concepto de cuerpo Sea K un conjunto no vacıo sobre el que hemos definidodos leyes de composicion internas para las que utilizaremos la notacion habitual +, ·, diremos quela terna (K, +, ·) es un cuerpo, si dichas operaciones verifican las siguientes propiedades:

1. propiedades de la adicion

K.1. asociativa: ∀a, b, c ∈ K, (a + b) + c = a + (b + c).

K.2. conmutativa: ∀a, b ∈ K, a + b = b + a.

K.3. e. neutro: ∃0 ∈ K | ∀a ∈ K, a + 0 = a.

K.4. elemento simetrico: ∀a ∈ K, ∃ − a ∈ K | a + (−a) = 0.

2. propiedades de la multiplicacion

K.5. asociativa: ∀a, b, c ∈ K, (a·b)·c = a·(b·c).K.6. conmutativa: ∀a, b ∈ K, a·b = b·a.

K.7. e. neutro: ∃1 ∈ K | ∀a ∈ K, a·1 = a.

K.8. elemento simetrico: ∀a ∈ K \ 0, ∃a−1 ∈ G | a·a−1 = 1.

3. relacion entre ambas operaciones

K.9. distributiva: ∀a, b, c ∈ K, a·(b + c) = a·b + a·c.

Nota Observese que si (K.+, ·) es un cuerpo, se verifica que:

dto. de algebra


(a) (K, +) es un grupo abeliano.

(b) (K∗, ·) es un grupo abeliano, donde K∗ = K \ 0.(c) Ambas operaciones estan relacionadas por la propiedad distributiva.

Son cuerpos: (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·).

Definicion 1.1.5 Sean A y Ω conjuntos no vacıos al segundo de los cuales le llamaremos conjuntode escalares. Una operacion externa o una ley de composicion externa sobre A cuyo conjunto deescalares es Ω es toda “regla”que asocie a cada par de elementos, el primero de Ω y el segundo deA, un unico elemento del conjunto A.O bien, en terminos de aplicaciones, llamamos operacion externa o ley de composicion externa sobreA cuyo conjunto de escalares es Ω a toda aplicacion

: Ω×A −−→ A.

Si (α, x) ∈ Ω × A, el elemento c ∈ A, imagen del par (α, x) por la aplicacion , sera notado porc = α x.Frecuentemente, a la ley se le llama “multiplicacion”y al elemento c = α x se le llama “produc-to”de α por x.

Definicion 1.1.6 (concepto de espacio vectorial) Sea V un conjunto no vacıo (cuyos ele-mentos los representaremos con letras minusculas “negritas”) y K un cuerpo (cuyos elementosseran representados por caracteres griegos o latinos en minusculas). Sobre V se definen dos leyesde composicion, interna y externa que notaremos con los sımbolos + y ·, decimos que la terna(V,+, ·K) es un espacio vectorial sobre K o que es un K-espacio vectorial, si se verifica:

1. (V,+) es grupo abeliano. Es decir; la operacion + tiene las siguientes propiedades:

E.1. asociativa: ∀a,b, c ∈ V, (a + b) + c = a + (b + c).

E.2. conmutativa: ∀a,b ∈ V, a + b = b + a.

E.3. e. neutro: ∃0 ∈ V | ∀a ∈ V, a + 0 = a.

E.4. elemento simetrico: ∀a ∈ V, ∃ − a ∈ V |a + (−a) = 0.

2. Propiedades de la ley de composicion externa (el elemento λ·x se notara simplemente porλx).

E.5. ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ V (λ + µ)x = λx + µx.

E.6. ∀λ ∈ K ∀x,y ∈ V, λ(x + y) = λx + λy.

E.7. ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ V (λ(µx)) = (λµ)x.

E.8. ∀x ∈ V, 1x = x (donde 1 ∈ K es el elemento neutro de la multiplicacion de K).

Definicion 1.1.7 Si V es un espacio vectorial sobre K, a los elementos de V se les llamara vectoresy a los de K escalares.

Ejemplos Son espacios vectoriales:

a) El conjunto V = 0 cuyo unico elemento es el vector 0, tiene, respecto de la adicion y lamultiplicacion por un elemento de K, estructura de espacio vectorial. Se le llama espaciovectorial trivial.

m. iglesias


b) Sea V (n) el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n en la indeterminada X,cuyos coeficientes son numeros reales. (V (n),+, ·R) es un espacio vectorial sobre R.

c) (C,+, ·R), donde C es el conjunto de los numeros complejos.

d) Sea Kn = (x1, x2, . . . , xn) |xi ∈ K, entonces (Kn,+, ·K) es un espacio vectorial sobre K.Las operaciones adicion y multiplicacion por un escalar vienen definidas por las siguientesigualdades:

1. adicion(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn).

2. multiplicacion por un escalar

λ(x1, x2, . . . , xn) = (λx1, λx2, . . . , λxn).

e) (M(m × n),+, ·K), donde M(m × n) es el conjunto de las matrices de orden m × n cuyoselementos pertenecen al cuerpo K.

Nota En todo lo que sigue supondremos que K es uno de los cuerpos Q, R o C.

dto. de algebra

Capıtulo 2

Matrices, determinantes y sistemas

2.1 Matrices. Operaciones

Definicion 2.1.1 Sea K un cuerpo. Llamamos matriz de orden m × n sobre K a una tabla dem× n elementos de K distribuidos em m filas y n columnas.Utilizaremos letras mayusculas para notar a las matrices y sus elementos seran notados por lacorrespondiente letra minuscula con doble subındice al primero de los cuales se le llama indicadorde fila y al segundo indicador de columna. Ası, por ejemplo, si A = (aij) es una matriz de orden3× 4 sobre R, escribiremos:

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

.

Notaremos con los sımbolos M(m× n, K) al conjunto de las matrices de orden m× n sobre K.Casos particulares

m = 1. La matriz A es de la formaA = (a11, a12, . . . , a1n)

y recibe el nombre de matriz fila.

n = 1. La matriz es de la forma

A =

a11

a21...

am1

y recibe el nombre de matriz columna.

m = n. Si el numero de filas es igual al numero de columnas a la matriz correspondiente se lellama matriz cuadrada. En este caso se suele decir simplemente que el el orden de la matrizes n. Ası, por ejemplo,

A =

1 −1 2−5 7 0

3 1 −1

es una matriz cuadrada de orden 3.

Como casos particulares:

5

2.1 MATRICES. OPERACIONES 6

• La matriz A ∈M(n× n, K) es diagonal si aij = 0 ∀i 6= j. Es decir,

A =

a1

a2

. . .an

.

• La matriz A ∈ M(n × n, K) es triangular superior (resp. triangular inferior) si aij =0 ∀i > j (resp. aij = 0 ∀i < j).

Definicion 2.1.2 Sea A = (aij) y B = (bij) dos matrices de orden m× n. Decimos que A = B siy solo si los elementos que ocupan la misma posicion en A y en B son iguales. Simbolicamente:

A = B ⇐⇒ ∀i, j | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, aij = bij .

Definicion 2.1.3 (adicion) Sean A,B, C ∈ M(m × n, K). Decimos que C = A + B si cadaelemento que ocupe la posicion (i, j) en la matriz C es la suma de los elementos que ocupan laposicion (i, j) en las matrices A y B. Simbolicamente:

C = A + B ⇐⇒ ∀i, j | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, cij = aij + bij .

Proposicion 2.1.1 (propiedades) La operacion adicion definida sobre el conjuntoM(m×n, K),verifica las siguientes propiedades:

G.I asociativa. ∀A,B, C ∈M(m× n, K), (A + B) + C = A + (B + C).

G.II conmutativa. ∀A,B ∈M(m× n, K), A + B = B + A.

G.III elemento neutro. ∃0 ∈M(m× n, K) | ∀A ∈M(m× n, K), A + 0 = A.

G.IV e. simetrico. ∀A ∈M(m× n, K), ∃(−A) ∈M(m× n, K) | A + (−A) = 0.

Demostracion Sean A = (aij), B = (bij), C = (cij).

G.I asociativa. (A + B) + C =((aij) + (bij)

)+ (cij) = (aij + bij) + (cij) =

((aij + bij) + cij

)=(

aij + (bij + cij))

= (aij) + (bij + cij) = A + (B + C).

G.II conmutativa. A + B = (aij) + (bij) = (bij + aij) = (bij) + (aij) = B + A.

G.III e. neutro. La matriz 0 ∈M(m× n, K), llamada matriz cero, tal que todos sus elementosson iguales a cero, verifica que

A + 0 = (aij) + (0) = (aij + 0) = (aij) = A.

G.IV e. simetrico. Si A = (aij) ∈M(m×n, K), la matriz −A = (−aij) ∈M(m×n, K) verificaque

A + (−A) = (aij) + (−aij) =(aij + (−aij)

)= (0) = 0.

La matriz −A recibe el nombre de opuesta de la matriz a.

dto. de algebra


Consecuencia El conjuntoM(m×n, K) de las matrices de orden m×n con la operacion adicionde matrices tiene estructura de grupo abeliano. O, mas brevemente, el par

(M(m × n, K),+

)es

un grupo abeliano.

Definicion 2.1.4 (multiplicacion por un escalar) Dados el escalar α ∈ K y la matrizA ∈M(m× n, K) llamamos αA a la matriz de orden m× n obtenida multiplicando los elementosde A por el escalar α. Simbolicamente:

B = αA⇐⇒ ∀i, j | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, bij = αaij .

Proposicion 2.1.2 (propiedades) Sean ∀α, β ∈ K y ∀A,B ∈ M(m × n, K), se verifan lassiguientes propiedades:

K.I (α + β)A = αA + βA.

K.II α(A + B) = αA + αB.

K.III α(βA) = (αβ)A.

K.IV 1A = A (donde 1 es la identidad de K).

Demostracion ∀α, β ∈ K y ∀A = (aij), B = (bij) ∈M(m× n, K), se tiene que:

K.I (α + β)A = (α + β)(aij) =((α + β)aij

)= (αaij + βaij) = (αaij) + (βaij) = α(aij) + β(aij) =

αA + βA.

K.II α(A + B) = α(aij + bij) =(α(aij + bij)

)= (αaij + αbij) = (αaij) + (αbij) = α(aij) + α(bij) =

αA + αB.

K.III α(βA) = α(β(aij)

)= α(βaij) =

(α(βaij)

)=((αβ)aij

)= (αβ)(aij) = (αβ)A.

K.IV 1A = 1(aij) = (1aij) = (aij) = A.

Consecuencia El conjunto de la matrices de orden m×n sobre K con las operaciones adicion dematrices y multiplicacion de un escalar por una matriz tiene estructura de espacio vectorial sobreK. O, mas brevemente, la terna

(M(m× n, K),+, ·K

)es un espacio vectorial sobre K.

Definicion 2.1.5 Sean A ∈M(m× p, K) y B ∈M(p×n, K) dos matrices de ordenes respectivosm×p y p×n a cuyos elementos los designaremos, respectivamente, aij y bij . Decimos que la matrizC = (cij) es el producto de las matrices A y B si se verifican las siguientes condiciones:

1. C ∈M(m× n, K).

2. ∀i, j | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, cij =p∑

k=1

aikbkj .

Notese que las matrices A y B son “multiplicables”si y solo si el numero de columnas de A esigual al numero de filas de B y que, por tanto, dos matrices cuadradas del mismo orden son“multiplicables”en cualquier orden.

Proposicion 2.1.3 (propiedades) Sean A = (aij), B = (bij) y C = (cij) tres matrices que, encada caso, verifican las condiciones para que pueda efectuarse la operacion requerida.

m. iglesias


M.I asociativa. (AB)C = A(BC)

M.II distributivas. A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA.

M.III elementos neutros. Sea

Ir =

1

1. . .

1

un matriz diagonal de orden r tal que ∀i = 1, . . . , r, aii = 1.

a) e. neutro a la izquierda. ∀A ∈M(m× n, K), ImA = A.

b) e. neutro a la derecha. ∀A ∈M(m× n, K), AIn = A.

M.IV ∀α ∈ K, α(AB) = (αA)B = A(αB).

Demostracion

M.I Sean A ∈M(m× p, K), B ∈M(p× q, K) y C ∈M(q × n, K) y sea D = AB.Procedamos a calcular un elemento del primer miembro de la igualdad P = (AB)C.Si D = AB, el elementos que ocupa la posicion (i, j) en la matriz D es de la forma

dij =p∑

h=1

aihbhj .

Luego si pij es el elemento de P que ocupa dicha posicion, se tiene que

pij =q∑

k=1

dikckj =q∑

k=1

p∑h=1

aihbhkckj . (2.1)

Analogamente, sea P ′ = A(BC) y D′ = BC. Se tiene que

d′ij =q∑

k=1

bikckj

y, por tanto,

p′ij =p∑

h=1

aihd′hj =p∑

h=1

q∑k=1

aihbhkckj . (2.2)

Comparando 2.1 y 2.2 se tiene que

pij = p′ij =⇒ P = P ′ =⇒ (AB)C = A(BC).

M.II Sean A ∈M(m× p, K), B,C ∈M(p×n, K), D = A(B + C) y D′ = AB + AC. Se tiene que

dij =p∑

k=1

aik(bkj + ckj) =p∑

k=1

aikbkj +p∑

k=1

aikckj = d′ij ,

de dondeD = D′ =⇒ A(B + C) = AB + AC.

dto. de algebra


M.III Son inmediatas ambas igualdades.

M.IV Sean A ∈ M(m × p, K), B ∈ M(p × n, K), D = α(AB), D′ = (αA)B y D′′ = A(αB). Setiene que

dij = α

p∑k=1

aikbkj =p∑

k=1

α(aikbkj).

Aplicando las propiedades conmutativa y asociativa a α(aikbkj), se tiene:

dij =p∑

k=1

(αaik)bkj = d′ij ,

dij =p∑

k=1

aik(αbkj) = d′′ij

y de aquı que,dij = d′ij = d′′ij =⇒ D = D′ = D′′.

Definicion 2.1.6 Sea A ∈ M(m × n, K). Decimos que la matriz B es la traspuesta de A si susfilas 1, 2, . . . , n son, respectivamente, iguales a las columnas 1, 2, . . . , n de de la matriz A. A lamatriz traspuesta de A la notaremos por At. Simbolicamente,

B = At ⇐⇒ bij = aji, (i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n).

Proposicion 2.1.4 (propiedades) λ ∈ K

I. (A + B)t = At + Bt, (A,B ∈M(m× n, K)).

II. (λ A)t = λ At, (λ ∈ K, A,B ∈M(m× n, K)).

III. (AB)t = BtAt, (A ∈M(m× p, K), B ∈M(p× n, K)).

Demostracion

I. (A + B)t = (aij + bij)t = (aji + bji) = (aji) + (bji) = At + Bt.

II. (λ A)t = (λ aij)t = (λ aji) = λ(aji) = λ At.

III. El elemento que ocupa la posicion (j, i) de la matriz (AB) es de la forma

cji =p∑

k=1

ajkbki,

de donde deducimos que el elemento que ocupa la posicion (i, j) de AtBt es

c′ij = cji =p∑

k=1

ajkbki.

Por otra parte, siBt = (b′ij) (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ p)

yAt = (a′ij) (1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ m),

m. iglesias

2.2 EL ANILLO DE LAS MATRICES CUADRADAS 10

se tendra que el elemento que ocupa la posicion (i, j) de la matriz BtAt sera de la forma

c′′ij =p∑

k=1

b′ika′kj =

p∑k=1

bkiajk = c′ij ,

de donde deducimos que (AB)t = BtAt.

2.2 El anillo de las matrices cuadradas

Proposicion 2.2.1 Sea Mn = M(n × n, K) el conjunto de las matrices cuadradas de orden nsobre K. Sobre dicho conjunto se definen las operaciones adicion y multiplicacion de matricescuadradas de orden n. Dichas operaciones verifican:

1. La adicion de matrices es una ley de composicion interna sobre el conjunto Mn. En efectola suma de dos matrices cuadradas de orden n es una matriz cuadrada de orden n y dichaoperacion verifica la siguientes propiedades.

A.I asociativa. ∀A,B, C ∈Mn, (A + B) + C = A + (B + C).

A.II conmutativa ∀A,B ∈Mn, A + B = B + A.

A.III e. neutro ∀A ∈Mn, A + 0 = A.

A.IV e. simetrico ∀A ∈Mn, ∃(−A) ∈Mn | A + (−A) = 0.

2. La multiplicacion de matrices es una ley de composicion interna sobre el conjunto Mn. Enefecto el producto de dos matrices cuadradas de orden n es una matriz cuadrada de orden ny dicha operacion verifica la siguientes propiedades.

A.I asociativa. ∀A,B, C ∈Mn, (A + B) + C = A + (B + C).

A.II e. neutro. ∀A ∈ Mn, AIn = InA = A, donde In es la matriz unidad de orden ndefinida en la proposicion 2.1.3.En general, esta operacion no es conmutativa.

Ambas operaciones estan relacionadas por la siguiente propiedad.

3. ley distribitiva ∀A,B, C ∈Mn, (A + B)C = AC + BC.

Por todo ello, la terna (Mn,+, ·) es un anillo no conmutativo con elemento unidad.

2.3 Determinantes: definicion y propiedades

Nota 1 En el presente tema,M(n× n, K) representara al conjunto de las matrices cuadradas deorden n sobre el cuerpo K y si A ∈M(n× n, K) sera notada por A = (aij), donde (1 ≤ i, j ≤ n).

Definicion 2.3.1 Llamamos submatriz de A de orden n− r a la matriz cuadrada obtenida supri-miendo en A r filas y r columnas. Tal submatriz sera notada por

A(i1, i2, . . . , ir|j1, j2, . . . , jr).

1El desarrollo de este Tema se corresponde, salvo ligeros retoques, con el artıculo “Una introduccion a los deter-minantes . . . ”publicado por el autor en la revista Thales, numero 0 (ano 1984).

dto. de algebra

2.3 DETERMINANTES: DEFINICION Y PROPIEDADES 11

Ejemplo Si

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

,

se tiene que

A(1|3) =

a21 a22 a24

a31 a32 a34

a41 a42 a44

, A(1, 3|2, 4) =(

a21 a23

a41 a43

).

Definicion 2.3.2 Llamamos determinante de la matriz cuadrada A a la aplicacion

det :M(n× n, K) −→ K

definida por

det(A) =

a11 si n = 1

n∑j=1

(−1)1+ja1j det(A(1|j)) si n ≥ 2 (2.3)

El determinante de la matriz A sera notado indistintamente con los sımbolos det(A) o |A|.

Consecuencias

1. determinante de orden 2

Si

A =(

a11 a12

a21 a22

),

aplicando la formula 2.3 se tiene que

det(A) = (−1)1+1a11 det(A(1|1)) + (−1)1+2a12 det(A(1|2) == a11a12 − a12a21.

2. determinante de orden 3

Si

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

,

aplicando la formula 2.3 se tiene que

det(A) == (−1)1+1a11 det(A(1|1)) + (−1)1+2a12 det(A(1|2)) + (−1)1+3a13 det(A(1|3)) =

= a11 det(

a22 a23

a32 a33

)− a12 det

(a21 a23

a31 a33

)+ a13 det

(a21 a22

a31 a32

)=

= a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a33 − a22a31) == a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a33 − a13a22a31 − a12a21a33 − a13a22a31.

m. iglesias


3. determinante de la matriz unidad

Vamos a probar que det(In) = 1. Procedamos por induccion sobre n.

• Para n = 1 es,por definicion, det(I1) = 1.• Supongamos que det(In−1) = 1.• Teniendo en cuenta que en la matriz In es a11 = 1, a1j = 0 si j 6= 1 y que A(1|1) = In−1,

se tiene:det(In) = (−1)1+1a11 det(A(1|1)) = 1.

4. determinante de una matriz diagonal Consideremos la matriz diagonal

Dn =

d1

d2

. . .dn

.

De forma analoga a la anterior se prueba que

det(Dn) =n∏

i=1

dii.

5. determinante de una matriz triangular inferior

De modo totalmente similar se prueba que si consideramos la matriz triangular inferior,

Bn =

b11 0 . . . 0b21 b22 . . . 0

. . . . . .. . . . . .

bn1 bn2 . . . bnn

,

det(Bn) =n∏

i=1

bii.

La formula 2.3, es bien conocida como desarrollo del determinante de A por los elementos de laprimera fila. Probaremos a continuacion que det(A) es independiente de la fila elegida.

Teorema 2.3.1 Para todo i tal que 1 ≤ i ≤ n, se verifica que

det(A) =n∑

j=1

(−1)i+jaij det(A(i|j)) (2.4)

Demostracion Procederemos por induccion sobre n (orden del determinante.

• Para n = 2, sabemos que

det(A) = a11a22 − a12a21 =

= (−1)2+1a21 det(A(2|1)) + (−1)2+2a22 det(A(2|2)) =

=2∑

j=1

(−1)2+ja2j det(A(2|j)).

dto. de algebra


• Supongamos que la formula 2.4 es cierta para toda matriz cuadrada cuyo orden sea menorque n.

• Procedamos a demostrarla cuando el orden de A sea n.Por la definicion 2.3, se tiene que

det(A) =n∑

j=1

(−1)1+ja1j det(A(1|j)) (2.5)

Ahora bien, A(1|j) es una matriz de orden n − 1 y, por la hipotesis de induccion podemosaplicar la formula 2.4.Pero observemos que:

– Al suprimir la primera fila de A, la fila que ocupa el lugar i− 1 en la matriz A(1|j) estaformada por elementos de la forma aik k 6= j (ver esquema adjunto).

– Al suprimir la columna j de A, las columnas 1, 2, . . . , j − 1 de A lo son igualmentede A(1|j) y que las columnas j + 1, . . . , n de A son, respectivamente, las columnasj, j + 1, . . . , n− 1 de A(1|j) (ver esquema adjunto).

Fila i de A→

a11 . . . a1j−1 a1j a1j+1 . . . a1n

......

...ai1 . . . aij−1 aij aij+1 . . . a1n

......

...an1 . . . anj−1 anj anj+1 . . . ann

← Fila. (i− 1) de A(1|j).

Por tanto, desarrollando det(A(1|j)) por los elementos de la Fila i− 1, se tiene que

det(A(1|j)) =j−1∑k=1

(−1)i−1+kaik det(A(1, i|k, j)) +n∑

k=j+1

(−1)(i−1)+(k−1)aik det(A(1, i|j, k))

y, sustituyendo en 2.5, resulta:

det(A) =n∑

j=1

(−1)1+ja1j

(j−1∑k=1

(−1)i−1+kaik det(A(1, i|k, j)) +

+n∑

k=j+1

(−1)(i−1)+(k−1)aik det(A(1, i|j, k))

.

Intercambiando j por k en la ultima expresion (lo cual obliga a cambiar tambien el orden de lossumatorios) y efectuando operaciones, la igualdad anterior puede ser expresada del siguiente modo:

det(A) =n∑

k=1

(−1)i+kaik

k−1∑j=1

(−1)1+ja1j det(A(1, i|j, k)) +

+n∑

j=k+1

(−1)(1+(j−1)a1j det(A(1, i|k, j))

.

m. iglesias


Observando que la expresion entre parentesis del segundo miembro de la igualdad anterior es, pordefinicion, el desarrollo de det(A(i|k)) se tiene, finalmente, que

det(A) =n∑

k=1

(−1)i+kaik det(A(i|k)).

expresion que es conocida como el “desarrollo del determinante de A por los elementos de la filai”y sera utilizada inmediatamente en la demostracion de algunas propiedades.

Proposicion 2.3.1 (propiedades) Sea A una matriz cuadrada de orden n sobre K.

D.1 Si en la matriz A los elementos de una fila son todos nulos, entonces det(A) = 0.

D.2 Si en la matriz A se intercambian dos filas entre sı, el determinante de la matriz obtenida esopuesto al determinante de la matriz A.

D.3 Si en la matriz A hay dos filas iguales, det(A) = 0.

D.4 Si multiplicamos una fila de la matriz A por el escalar c el determinante de la matriz obtenidaes igual a cdet(A).

D.5 Si en la matriz A los elementos de dos filas son proporcionales, entonces det(A) = 0.

D.6 Si la fila r de la matriz A es suma de dos sumandos, el determinante de A se puede des-componer en la suma de los determinantes de dos matrices A′ y A′′ que tienen las filas1, . . . , r− 1, r + 1, . . . , n iguales a las de A y cuyas filas r−esimas estan formadas, respectiva-mente, por los primeros y los segundos sumandos de dicha fila r de A.

D.7 Si A′ es la matriz obtenida si sustituyendo los elementos de cualquiera fila de A por ellosmismos mas los correspondientes de cualquier otra fila multiplicados previamente por unescalar c ∈ K se verifica que det(A′) = det(A).

D.8 Si los elementos de la fila i de A verifican que aij = λarj + µasj (j = 1, . . . , n), det(A) = 0

Demostracion

D.1 Supongamos que los elementos de la fila i son iguales a cero (aij = 0 (j = 1, . . . , n)). Des-arrollando el determinante de A por los elementos de dicha fila, se tiene que

det(A) =n∑

j=1

(−1)i+j ·0·det(A(i|j)) = 0.

D.2 Consideraremos dos casos:

1. Las filas son consecutivas

Sean estas las filas r y r + 1. Si llamamos B = (bij) a la matriz obtenida al efectuar elintercambio se tiene que

brj = ar+1,j (j = 1, . . . , n), det(B(r|j)) = det(A(r + 1|j)).

dto. de algebra


Por tanto, desarrollando el determinante de B por los elementos de su fila r, se tiene:

det(B) =n∑

j=1

(−1)r+jbrj det(B(r|j)) =

=n∑

j=1

(−1)r+jar+1,j det(A(r + 1|j)) =

= (−1)−1n∑

j=1

(−1)(r+1)+jar+1,j det(A(r + 1|j)) = −det(A)

2. Las filas no son consecutivas

Sean estas las filas r y s (r < s). El intercambio de dichas filas puede conseguirsemediante intercambios sucesivos entre filas consecutivas: primero bajando la fila r hastala posicion de la s−1 (s− r−1 intercambios consecutivos)y, en segundo lugar, subiendola fila s hasta la posicion que ocupaba la fila r (s − r intercambios consecutivos). Entotal se han efectuado 2(s− r)− 1 intercambios. Es decir, un numero impar. Si B es lamatriz obtenida al intercambiar las filas r y s, se tendra que

det(B) = (−1)2(s−r)−1 det(A) = −det(A).

D.3 Supongamos que la matriz A tiene dos filas iguales y sea B la matriz obtenida intercambiandodichas filas. Por una parte, al aplicar la propiedad D.2, se tiene que

det(B) = −det(A)

pero, por otra, como B = A habra de ser

det(B) = det(A),

de dondedet(A) = −det(A) =⇒ det(A) = 0.

D.4 Sea B la matriz obtenida multiplicando los elementos de la fila r de A por el escalar c. Esdecir,

bij = aij (i 6= r), brj = carj (j = 1, . . . , n).

Desarrollando el determinante de B por dicha fila r, se tiene:

det(B) =n∑

j=1

(−1)r+jbrj det(B(r|j)) =n∑

j=1

(−1)r+jcarj det(A(r|j)) = cdet(A).

D.5 Es consecuencia inmediata de las dos ultimas propiedades.

D.6 Sean

A =

a11 . . . a1n...

. . ....

a′r1 + a′′r1 . . . a′rn + a′′rn...

. . ....

an1 . . . ann

m. iglesias


A′ =

a11 . . . a1n...

. . ....

a′r1 . . . a′rn...

. . ....

an1 . . . ann

, A′′ =

a11 . . . a1n...

. . ....

a′′r1 . . . a′′rn...

. . ....

an1 . . . ann

.

Desarrollando el determinante de A por los elementos de la fila r y teniendo en cuenta quedet(A(r|j)) = det(A′(r|j)) = det(A′′(r|j)), deducimos que

det(A) =n∑

j=1

(−1)r+j(a′rj + a′′rj) det(A(r|j)) =

=n∑

j=1

(−1)r+ja′rj det(A′(r|j)) +n∑

j=1

(−1)r+ja′′rj det(A′′(r|j)) =

= det(A′) + det(A′′).

D.7 Sea B la matriz obtenida sustituyendo cada elementos arj (j = 1, . . . , n) de A por arj + casj

(s 6= r). Desarrollando el determinante de B por los elementos de dicha fila r, se tiene:

det(B) =n∑

j=1

(−1)r+j(arj + casj) det(B(r|j)) =

=n∑

j=1

(−1)r+jarj det(A(r|j)) + c

n∑j=1

(−1)r+jasj det(A(r|j)) =

= det(A)

ya que el segundo termino de esta ultima expresion es igual a cero por ser el desarrollo de undeterminante que tiene iguales las filas r y s.

D.8 Basta observar que det(A) puede descomponerse en la suma de dos determinantes que tienendos filas proporcionales y que, por tanto, son iguales a cero.

Proposicion 2.3.2 Si A es una matriz cuadrada de orden n sobre K y At es su matriz traspuesta,se verifica que det(At) = det(A).

Demostracion Procedamos por induccion sobre n.Para n = 1 y n = 2 se verifica trivialmente.Supongamos que la proposicion es cierta para toda matriz de orden n− 1.

Prueba cuando A sea de orden n.Sea B = At. Notemos que los elementos de la matriz B verifican que bji = aij . Igualmente severifica que B(j|i) = A(i|j)t y que, por la hipotesis de induccion, det(A(i|j)t) = det(A(i|j)). Porconsiguiente, desarrollando el determinante de B por los elementos de la fila j, se tiene que

det(B) =n∑

i=1

(−1)i+jbji det(B(j|i)) =

=n∑

i=1

(−1)i+jaij det(A(i|j)t) =

=n∑

i=1

(−1)i+jaij det(A(i|j))

dto. de algebra


Ahora bien, este resultado, como es obvio es valido para ∀j | 1 ≤ j ≤ n, luego

para j = 1 det(B) =n∑

i=1

(−1)i+1ai1 det(A(i|1)),

para j = 2 det(B) =n∑

i=1

(−1)i+2ai2 det(A(i|2)),

. . . . . . . . . ,

para j = n det(B) =n∑

i=1

(−1)i+nain det(A(i|n)).

Sumando las n igualdades se obtiene:

n det(B) =n∑

i=1

n∑j=1

(−1)i+jaij det(A(i|j))

.

Notese que la expresion entre parentesis es el desarrollo del determinante de A por los elementosde la fila i y, por tanto,

n det(B) =n∑

i=1

det(A) = n det(A),

de dondedet(At) = det(B) = det(A).

Consecuencia Como las filas de At son las columnas de la matriz A, el desarrollo del det(At)por los elementos de una de sus filas se corresponde con el desarrollo del det(A) por los elementosde una de sus columnas. Es decir, si B = At se tiene que

det(A) = det(B) =n∑

j=1

(−1)i+jbij det(B(i|j)) =

=n∑

j=1

(−1)i+jaji det(A(j|i)t)p.h.=

=n∑

j=1

(−1)i+jaji det(A(j|i)).

Por consiguiente, toda propiedad que verifiquen las filas de At la verificaran las columnas lascolumnas de A. Esto quiere decir que las propiedades D.1, D.2, D.3, D.4, D.5, D.6, D.7 y D.8pueden ser enunciadas nuevamente cambiando solo la palabra fila/s por columna/s.

Definicion 2.3.3 Sea A = (aij) una matriz cuadrada de orden n. Llamamos adjunto o cofactordel elemento aij de A y lo notaremos por Aij , a la expresion definida por la igualdad

Aij = (−1)i+j det(A(i|j)).

Consecuencia Con esta notacion, si desarrollamos el determinante de A por los elementos de lafila i, se tiene que

det(A) =n∑

j=1

(−1)i+jaij det(A(i|j)) =n∑

j=1

aijAij

m. iglesias

2.4 MATRICES INVERTIBLES 18

y, analogamente, desarrollando, por la columna j,

det(A) =n∑

i=1

(−1)i+jaij det(A(i|j)) =n∑

i=1

aijAij .

2.4 Matrices invertibles

Definicion 2.4.1 Sea A ∈ M(n × n, K). Decimos que A es una matriz invertible o regular siexiste B ∈M(n× n, K) tal que AB = BA = In, donde In es la matriz cuadrada de orden n.La matriz B, recibe el nombre de inversa de la matriz A.

Proposicion 2.4.1 Si A ∈M(n× n, K) es una matriz invertible, la inversa de A es unica.

Demostracion Supongamos que B y B′ son inversas de la matriz A. Por definicion se tiene que

AB = BA = In, AB′ = B′A = In.

Por consiguiente,B = BIn = B(AB′) = (BA)B′ = InB′ = B′.

Puesto que la inversa de la matriz A, si existe, es unica sera notada en lo sucesivo por A−1.

Definicion 2.4.2 Sea A = (aij) ∈M(n× n, K). Llamamos adjunta de la matriz A a la matriz

adj(A) = (Aji), (1 ≤ i, j ≤ n),

donde Aji es el adjunto del elemento aij de A. Es decir,

adj(A) =

A11 A21 . . . An1

A12 A22 . . . An2...

.... . .

...A1n A2n . . . Ann

.

Proposicion 2.4.2 Si A = (aij) es una matriz cuadrada de orden n y 1 ≤ r, s ≤ n (r 6= s), severifica que

ar1As1 + ar2As2 + . . . + arnAsn = 0,

a1rA1s + a2rA2s + . . . + anrAns = 0.(2.6)

Esta proposicion suele ser enunciada del siguiente modo: la suma de los productos de los elementosde una fila (columna) por los adjuntos de los elementos de otra fila (columna) es igual a cero.

Demostracion En efecto, dicho desarrollo equivale al desarrollo del determinante de una matrizque tiene iguales las filas (resp. columnas) r y s. Efectuemos la demostracion para filas.Consideremos una matriz A = (aij) tal que la fila s es igual a la fila r (asj = arj j = 1, . . . , n). Conesta hipotesis sera det(A) = 0. Es decir,∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n...

... . . ....

ar1 ar2 . . . arn...

... . . ....

as1 as2 . . . asn...

... . . ....

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

dto. de algebra

2.4 MATRICES INVERTIBLES 19

Desarrollando el determinante de A por los elementos de la fila s se tiene que

as1As1 + as2As2 + . . . + asnAsn = 0

y como ∀j | 1 ≤ j ≤ n es asj = arj , sustituyendo se obtiene la primera formula de 2.6:

ar1As1 + ar2As2 + . . . + arnAsn = 0.

Analoga demostracion se podrıa hacer para columnas (segunda formula de 2.6).

Proposicion 2.4.3 Si A es una matriz de orden n sobre K, se verifica que:

1. A adj(A) = det(A)In.

2. adj(A)A = det(A)In.

Basta tener en cuenta que

si s = r, ar1As1 + ar2As2 + . . . + arnAsn = |A|si s 6= r, ar1As1 + ar2As2 + . . . + arnAsn = 0.

En efecto,

A adj(A) =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

A11 A21 . . . An1

A12 A22 . . . An2...

.... . .

...A1n A2n . . . Ann

=

=

|A|

|A|. . .

|A|

= |A|In.

Analoga demostracion para la segunda proposicion.

Teorema 2.4.1 Si A es una matriz cuadrada tal que det(A) 6= 0, A es invertible verificandose que

A−1 =1|A|

adj(A).

Demostracion Como |A| 6= 0, teniendo en cuenta las igualdades de la proposicion anterior, setiene

A adj(A) = |A|In =⇒ A

(1|A|

adj(A))

= In

y, analogamente,

adj(A)A = |A|In =⇒(

1|A|

adj(A))

A = In.

De ambas igualdades se deduce que A es invertible y que

A−1 =1|A|

adj(A).

m. iglesias

2.5 REGLA DE CRAMER 20

2.5 Regla de Cramer

Definicion 2.5.1 Consideremos el sistema de n ecuaciones lineales con n incognitas

S :

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...

......

...an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn

o bien, en forma matricial,

S :

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

x1

x2...

xn

=

b1

b2...

bn

o, brevemente, Axt = B, donde x = (x1, x2, . . . , xn).

1. La matriz A recibe el nombre de matriz de los coeficientes del sistema y la matriz B matrizcolumna de los terminos independientes.

2. Llamamos matriz de la incognita xj (j = 1, . . . , n) y la notaremos por Aj , a la matrizobtenida sustituyendo la columna j de la matriz A por la columna formada con los terminosindependientes de S. Es decir,

(j

Aj =

a11 . . . b1 . . . a1n

a21 . . . b2 . . . a2n...

......

...an1 . . . bn . . . ann

.

3. Diremos que el sistema S es de Cramer si det(A) 6= 0.

Teorema 2.5.1 (regla de cramer) Dado el sistema de n ecuaciones lineales con n incognitas

S : Axt = B,

se verifica que si S es de Cramer tiene solucion unica y esta viene dada por

xj =det(Aj)det(A)

, j = 1, . . . , n.

Demostracion Como S es de Cramer, por definicion se verifica que det(A) 6= 0, luego A esinvertible y, por tanto,

xt = A−1B.

Es decir, x1

x2...

xn

=1

det(A)

A11 A21 . . . An1

A12 A22 . . . An2...

.... . .

...A1n A2n . . . Ann

b1

b2...

bn

,

dto. de algebra

2.6 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES 21

de donde

xj =1

det(A)(

A1j A2j . . . Anj

)

b1

b2...

bn

.

Es decir,

xj =1

det(A)(b1A1j + b2A2j + . . . + bnAnj

)=

det(Aj)det(A)

Utilizando la notacion clasica,

xj =∆j

∆, donde ∆j = det(Aj), ∆ = det(A).

2.6 Transformaciones elementales

Definicion 2.6.1 Sea A ∈M(m× n, K).

1. Se dice que se ha aplicado a A una transformacion elemental por filas (resp. columnas) de tipoI, si se ha sustituido una de sus filas (resp. columna) por ella mas cualquier otra multiplicadapor un escalar c ∈ K.

2. Decimos que se ha aplicado a la matriz A una transformacion elemental por filas (resp.columnas) de tipo II, si se ha sustituido cualquiera de sos filas (resp. columnas) por ellamultiplicada por un escalar c 6= 0.

3. Decimos que se ha aplicado a la matriz A una transformacion elemental por filas (resp.columnas) de tipo III, si han permutado entre sı dos cualesquiera de sus filas (resp. columnas).

Nuestro proximo objetivo es expresar en lenguaje matricial los conceptos anteriores definiendociertas matrices tales que al multiplicarlas, a la izquierda o a la derecha, por A, den como resultadouna transformacion elemental por filas o por columnas aplicada a la matriz A.

Definicion 2.6.2 Las matrices que se consideren en la presente definicion son matrices cuadradasde orden conveniente (m×m o n× n).

1. Llamamos matriz elemental de tipo I a la matriz Pij (c) (i 6= j) obtenida sustituyendo en lamatriz unidad el cero que ocupa la posicion (i, j), por el escalar c.

Ejemplo Si m = 4,

P14 (5) =

1 0 0 50 1 0 00 0 1 00 0 0 1

, P32 (−5) =

1 0 0 00 1 0 00 −5 1 00 0 0 1

.

2. Llamamos matriz elemental de tipo II a la matriz Mi(c) (c 6= 0), obtenida sustituyendo en lamatriz unidad el uno que ocupa la posicion (i, i) por el escalar c 6= 0.

Ejemplo Si m = 4,

M2(7) =

1 0 0 00 7 0 00 0 1 00 0 0 1

, M4(−3) =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1

.

m. iglesias


3. Llamamos matriz elemental de tipo III a la matriz Tij , obtenida intercambiando entre sı lasfilas i y j de la matriz unidad.

Ejemplo Si m = 4,

T23 =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

, T14 =

0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0

.

Propiedades Las siguientes propiedades de las matrices elementales son de muy facil compro-bacion por lo que se deja como ejercicio. (Se recuerda que las matrices elementales son matricescuadradas y que en cada caso sus ordenes se tomaran de modo que sean multiplicables por la matrizdada A.)

Proposicion 2.6.1 Sea Pij (c) una matriz elemental de tipo I. Se verifica que:

1. Si A ∈M(m× n, K), entonces Pij (c) A es la matriz A′ ∈M(m× n, K) que se obtiene de Asin mas que sustituir su fila i por ella mas la fila j multiplicada por c.

2. Si A ∈ M(m× n, K), entonces APij (c) es la matriz A′ ∈ M(m× n, K) que se obtiene de Asin mas que sustituir su columna j por ella mas la columna i multiplicada por c.

3. Como det(Pij (c)) = 1, la matriz Pij (c) es invertible verificandose que

Pij (c)−1 = Pij (−c) .

4. Si A ∈M(m×m,K), se verifica que

det(Pij (c) A) = det(APij (c)) = det(A).

Proposicion 2.6.2 Sea Mi(c) una matriz elemental de tipo II. Se verifica que:

1. Si A ∈ M(m× n, K), entonces Mi(c)A es la matriz A′ ∈ M(m× n, K) que se obtiene de Asin mas que sustituir su fila i por ella multiplicada por c.

2. Si A ∈ M(m× n, K), entonces AMi(c) es la matriz A′ ∈ M(m× n, K) que se obtiene de Asin mas que sustituir su columna i por ella c.

3. Como det(Mi(c)) = c 6= 0, la matriz Mi(c) es invertible verificandose que

Mi(c)−1 = Mi(c−1).


det(Mi(c)A) = det(AMi(c) = cdet(A).

Proposicion 2.6.3 Sea Tij una matriz elemental de tipo III. Se verifica que:

1. Si A ∈M(m× n, K), entonces TijA es la matriz A′ ∈M(m× n, K) que se obtiene de A sinmas que intercambiar entre sı sus filas i y j.

dto. de algebra


2. Si A ∈M(m× n, K), entonces ATij es la matriz A′ ∈M(m× n, K) que se obtiene de A sinmas que intercambiar sus columnas j e i.

3. Como det(Tij) = −1, la matriz Tij es invertible verificandose que

T−1ij = Tji.


det(TijA) = det(ATij) = −det(A).

Consecuencias De las propiedades anteriores extraemos las siguientes consecuencias:

1. Una transformacion elemental por filas o por columnas, de los tipos I, II o III, aplicada ala matriz A equivale a multiplicar, por la izquierda o por la derecha, dicha matriz por unamatriz elemental, respectivamente, de los tipos I, II o III.

2. Las unicas transformaciones elementales que conservan el valor de los determinantes son lastransformaciones elementales de tipo I.

3. Una matriz elemental de tipo III es, en realidad, producto de matrices elementales de lostipos I, y II como puede comprobarse en el siguiente ejemplo. No obstante, su utilidad en laresolucion de sistemas de ecuaciones lineales, hace aconsejable su introduccion.

Consideremos la matriz unidad I4. Se tiene que

T12I4 =

0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1

.

Por otra parte, haciendo las transformaciones elementales por filas que, generalmente, se indicanen la parte superior de la flecha, se tiene:

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

P12(1)−−−−→

1 1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

P21(−1)−−−−−→

1 1 0 0−1 0 0 0

0 0 1 00 0 0 1

P12(1)−−−−→

0 1 0 0−1 0 0 0

0 0 1 00 0 0 1

M2(−1)−−−−−→

0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1

,

de dondeT12 = M2(−1)P12 (1)P21 (−1) P12 (1) .

En general,Tij = Mj(−1)Pij (1)Pji (−1) Pij (1) .

Luego la matriz elemental Tij es el producto de cuatro matrices elementales por lo que su utilizacion,supone una economıa de calculo.

m. iglesias

2.7 FORMAS ESCALONADAS 24

2.7 Formas escalonadas

Definicion 2.7.1 Sea A ∈M(m× n, K). Diremos que A es una matriz escalonada por filas,

1. si A = 0 o bien,

2. si A 6= 0, cuando existan 1 ≤ j1 < j2 < . . . < jr ≤ n tales que:

(a) Los elementos a1j1 , a2j2 , . . . , arjr son distintos de cero.

(b) ∀j < ji, aij = 0 (i = 1, . . . , r) lo que es equivalente a decir que los elementos situados,en su caso, a la izquierda de a1j1 , a2j2 , . . . , arjr son iguales a cero.

(c) ∀j 6= ji, aij = 0(i = 1, . . . , r). O bien, los elementos situados, en su caso, encima ydebajo de a1j1 , a2j2 , . . . , arjr son iguales a cero.

(d) ∀i > r, aij = 0 o, lo que es equivalente, las filas r + 1, r + 2, . . . ,m son iguales a cero.

Ejemplo Es una matriz escalonada por filas la siguiente:

A =

0 2 3 0 00 0 0 5 60 0 0 0 00 0 0 0 0

Definicion 2.7.2 Sea A ∈M(m× n, K). Diremos que A es una matriz escalonada por columnas,

1. si A = 0.

2. si A 6= 0, cuando existan 1 ≤ i1 < i2 < . . . < is ≤ m tales que:

(a) Los elementos ai11, ai22, . . . , aiss son distintos de cero.

(b) ∀i < ij , aij = 0 (j = 1, . . . , s) lo que es equivalente a decir que los elementos situados,en su caso, encima de ai11, ai22, . . . , aiss son iguales a cero.

(c) ∀i 6= ij , aij = 0(j = 1, . . . , s). O bien, los elementos situados, en su caso, a la izquierday a la derecha de ai11, ai22, . . . , aiss son iguales a cero.

(d) ∀j > s, aij = 0 o, lo que es equivalente, las columnas s + 1, s + 2, . . . , n son iguales acero.

Ejemplo Es una matriz escalonada por columnas la siguiente:

A =

0 0 0 03 0 0 01 0 0 00 5 0 04 3 0 00 0 3 0

.

Notas

1. Si A es una matriz escalonada por filas (resp. columnas), entonces a los elementos a1j1 , a2j2 , . . . , arjr

(resp. ai11, ai22, . . . , aiss), se les llama pivotes de las filas 1, 2, . . . , r (resp. de las columnas1, 2, . . . , s).

dto. de algebra


2. Notese que, por definicion, si A es una matriz escalonada por filas (resp. columnas), sutraspuesta es una matriz escalonada por columnas (resp. por filas).

Definicion 2.7.3 Sea A ∈ M(m × n, K) y aij 6= 0 un elemento no nulo de A. Diremos que seha pivotado sobre el elemento aij si se han reducido a cero todos los elementos situados encima ydebajo de el (resp. a su izquierda y derecha) mediante transformaciones elementales por filas (rep.columnas) de tipo I.

Ejemplo Dada la matriz

A =

2 −2 3 −4 12 0 1 −3 51 2 −4 4 −20 −1 2 −1 0

,

vamos a pivotar sobre el elemento a23. Realizaremos las transformaciones elementales por filas quese indican sobre la flecha.

A =

2 −2 3 −4 12 0 1 −3 51 2 −4 4 −20 −1 2 −1 0

P12 (−3)P32 (4)

P42 (−2)−−−−−−−−→

−4 −2 0 5 −14

2 0 1 −3 59 2 0 −8 −22−4 −1 0 5 −10

.

Analogamente, podemos pivotar sobre el elemento a23 para reducir a cero los restantes elementosde su fila aplicando a A las transformaciones elementales por columnas que se indican debajo delas flechas.

A =

2 −2 3 −4 12 0 1 −3 51 2 −4 4 −20 −1 2 −1 0

−−−−−−−−→P31 (−2)P34 (3)

P35 (−5)

−4 −2 3 5 −14

0 0 1 0 09 2 −4 −8 18−4 −1 2 −7 −10

.

Teorema 2.7.1 Dada una matriz A 6= 0, se puede obtener a partir de ella una matriz A′ escalonadapor filas (resp. columnas), aplicando a A un numero finito de transformaciones elementales porfilas (resp. por columnas) de tipo I.

Demostracion Daremos una demostracion para filas. De forma analoga, se puede obtener unademostracion para obtener una matriz escalonada por columnas.Procederemos dando los siguientes pasos:

1. Consideremos la primera columna j1 no nula de A. Pueden ocurrir dos casos:

(a) El elemento a1j1 6= 0. En este caso pivotamos sobre el y mediante transformacioneselementales por filas de tipo I, reducimos a cero todos los elementos situados debajo delmismo.

(b) El elemento a1j1 = 0. Si este es el caso, llevamos a la posicion (1, j1) cualquier elementono nulo situado debajo de el (suma de filas) y a continuacion procedemos como en (a).Sea A1 la matriz ası obtenida.

m. iglesias


2. Sea j2 > j1 la siguiente columna de A1 tal que tiene algun elemento distinto de cero pordebajo de la primera fila. Llevamos, si procede, a la posicion (2, j2) cualquier elemento no nulosituado debajo de el (suma de filas). Pivotando sobre el, anulamos, mediante transformacioneselementales por filas de tipo I, los elementos situados encima y debajo del mismo.Sea A2 la nueva matriz obtenida.

3. Aplicando lo dicho en el punto 2, a las columnas j3 < . . . < jr tales que tengan algun elementono nulo debajo de la segunda, tercera, . . ., (r − 1)–esima, el resultado sera una matriz Ar,escalonada por filas. Esta matriz no es unica ya que depende de la eleccion de los pivotes.

Definicion 2.7.4 Sea A ∈ M(m × n, K), llamamos forma escalonada por filas (resp. columnas)de A a cualquier matriz escalonada por filas (resp. columnas) obtenida aplicando a la matriz A unnumero finito de transformaciones elementales por filas (resp. columnas) de tipo I.En lo sucesivo, utilizaremos la abreviatura f.e.p.f. (resp. f.e.p.c.) para designar a las formasescalonadas por filas (resp. columnas) de una matriz.

Ejemplo 1 Calcular una forma escalonada de A, siendo

A =

0 0 0 0 1 1 10 1 3 1 1 0 10 2 6 2 0 0 40 1 3 1 2 1 2

.

Daremos los pasos siguientes:

1. La primera columna no nula de A es j1 = 2 pero a12 = 0. Mediante la transformacionelemental por filas P12 (1), obtenemos la matriz

A0 =

0 1 3 1 2 1 20 1 3 1 1 0 10 2 6 2 0 0 40 1 3 1 2 1 2

.

Pivotamos sobre el elemento a12 efectuando, sucesivamente, las transformaciones elementalespor filas

P21 (−1) , P31 (−2) , P41 (−1)

con lo que obtenemos la matriz

A1 =

0 1 3 1 2 1 20 0 0 0 −1 −1 −10 0 0 0 −4 −2 00 0 0 0 0 0 0

2. La primera columna que aparece con algun elemento debajo de la primera fila es j2 = 5 y

como a25 = −1 6= 0, pivotamos sobre el para reducir a cero los elementos situados encima ydebajo del mismo mediante las transformaciones elementales por filas

P12 (2) , P32 (−4)

y obtendremos la matriz

A2 =

0 1 3 1 0 −1 00 0 0 0 −1 −1 −10 0 0 0 0 2 40 0 0 0 0 0 0

.

dto. de algebra


3. La siguiente columna que, debajo de la segunda fila, tiene algun elemento distinto de cero esj3 = 6 y como a36 6= 0 pivotamos sobre el con lo que anularemos los elementos de dicha colum-na situados por encima y por debajo de dicho a36 mediante las siguientes transformacioneselementales por filas de ti po I,

P13

(12

), P23

(12

)con lo que obtenemos la matriz

A3 =

0 1 3 1 0 0 20 0 0 0 −1 0 10 0 0 0 0 2 40 0 0 0 0 0 0

.

Como puede observarse, todos los elementos de la cuarta fila son iguales a cero y, por ello, elproceso ha terminado y A3 es una forma escalonada por filas de A.

Resumiendo, el esquema seguido ha sido el siguiente:

AP12 (1)−−−−−−−→ A0

P21 (−1)P31 (−2)P41 (−1)−−−−−−−−→ A1

P12 (2)P32 (−4)−−−−−−−−→ A2

P13

(12

)P23

(12

)−−−−−−−→ A3

Matriz de paso a f.e.p.f. Un aspecto interesante es el calculo de la matriz de paso P tal queA3 = PA. Dicha matriz viene dada por la siguiente igualdad:

P = P23

(12

)P13

(12

)P32 (−4) P12 (2)P41 (−1) P31 (−2) P21 (−1) P12 (1) ,

de donde

P =

0 0

12

0

0 −112

0

2 −2 1 0−1 −1 0 1

En el siguiente ejemplo damos un metodo sencillo para su calculo.

Ejemplo 2 Calcular una f.e.p.f. de la matriz

A =

0 −3 −4 0 20 −2 0 −2 0−3 0 3 2 −2

y la correspondiente matriz de paso.

Solucion

a) Calculo de una f.e.p.f de A. 0 −3 −4 0 20 −2 0 −2 0−3 0 3 2 −2

P13 (1)−−−−−−−→

−3 −3 −1 2 00 −2 0 −2 0−3 0 3 2 −2

P31 (−1)−−−−−−−−→

m. iglesias


−3 −3 −1 2 00 −2 0 −2 00 3 4 0 −2

P12

(−3

2

)P32

(32

)−−−−−−−−−→

−3 0 −1 5 00 −2 0 −2 00 0 4 −3 −2

P13

(14

)−−−−−−−→

−3 0 0174−12

0 −2 0 −2 00 0 4 −3 −2

= A′

b) Matriz de paso P tal que A′ = PA.Desde luego,

P = P13

(14

)P32

(32

)P12

(−3

2

)P31 (−1) P13 (1)

Para su calculo (que puede efectuarse multiplicando las matrices del segundo miembro), procede-remos a aplicar exactamente las mismas transformaciones elementales y en el mismo orden a lamatriz unidad I3.

I3 =

1 0 00 1 00 0 1

P13 (1)−−−−−−−→

1 0 10 1 00 0 1

P31 (−1)−−−−−−−−→

1 0 10 1 0−1 0 0

P12

(−3

2

)P32

(32

)−−−−−−−−−→

1 −3

21

0 1 0

−132

0

P13

(14

)−−−−−−−→

34−9

81

0 1 0

−132

0

= P

Lema 2.7.1 Sea A una matriz cuadrada de orden n (A ∈M(n× n, K)) y A′ una f.e.p.f. de A.Se verifica:

1. det(A) 6= 0 si y solo si A′ es de la forma

A′ =

a1

a2

. . .an

con ai 6= 0 (i = 1 . . . , n).

Si este es el caso, A′ es tambien una f.e.p.c. de A.

2. det(A) = 0 si y solo si A′ tiene al menos una fila de ceros.

Demostracion

1. Como det(A) = det(A′) 6= 0, A′ no puede tener ninguna fila de ceros y, en consecuencia,tiene n pivotes, luego estos han de estar en la diagonal. Por otra parte, como a la izquierda,encima y debajo de los pivotes tiene que haber ceros, A′ tiene que ser una matriz diagonal.Obviamente, si A′ es diagonal con todos sus pivotes distintos de cero, det(A′) = det(A) 6= 0.La segunda parte es inmediata ya que la traspuesta de una matriz escalonada por filas es unamatriz escalonada por columnas y, por ser A′ diagonal, A′t = A′.

dto. de algebra


2. Si A′ no tuviese ninguna fila de ceros, serıa diagonal con todos los elementos de la diagonaldistintos de cero y, por consiguiente, det(A) = det(A′) 6= 0, en contra de la hipotesis. Elrecıproco es inmediato.

Teorema 2.7.2 (cauchy-binet) Si A,B ∈M(n× n, K) entonces se verifica que

det(AB) = det(A) det(B).

Demostracion Sean A′ una f.e.p.f de A y B′ una f.e.p.c. de B y P y Q las correspondientesmatrices de paso. Se tiene que

A′ = PA, B′ = BQ.

Caben dos posibilidades:

1. Que det(A) = 0 o det(B) = 0. Si det(A) = 0, por el lema, A′ tiene, al menos, una fila deceros y, por consiguiente, A′B′ tiene, al menos, una fila de ceros, luego det(A′B′) = 0. Deaquı que

0 = det(A′B′) = det(PABQ) = det(AB)

ya que P y Q son producto de transformaciones elementales, respectivamente, por filas opor columnas de tipo I que no alteran el valor del determinante y, partiendo de este ultimoresultado, se tiene que

0 = det(AB) = 0 det(B) = det(A) det(B).

2. Si det(A) 6= 0 y det(B) 6= 0, de acuerdo con el lema, A′ y B′ son de la forma

A′ =

a1

a2

. . .an

, B′ =

b1

b2

. . .bn

con todos sus pivotes distintos de cero. Por tanto,

det(A′B′) =n∏

i=1

aibi =n∏

i=1

ai

n∏i=1

bi = det(A′) det(B′),

de donde det(AB) = det(A) det(B).

Proposicion 2.7.1 Sea A ∈M(n× n, K). Si A es invertible, entonces det(A) 6= 0.

Demostracion En efecto,

A invertible =⇒ ∃B ∈M(n× n, K) | AB = In =⇒ det(A) det(B) = 1 =⇒ det(A) 6= 0.

Nota Como anteriormente se probo que

det(A) = 0 =⇒ A invertible,

como consecuencia de la proposicion anterior podemos concluir que

A invertible⇐⇒ det(A) = 0.

m. iglesias


Proposicion 2.7.2 Consideremos el conjunto de la matrices invertibles. Es decir, el conjunto

Gl (n, K) = A ∈M(n× n, K) | det(A) 6= 0 .

Se verifica que el conjunto Gl (n, K) tiene estructura de grupo respecto de la multiplicacion dematrices.

Demostracion Es muy facil comprobar que,

• El producto de dos matrices invertibles es invertible.

• La matriz In es invertible.

• Si A es invertible, A−1 es invertible.

Definicion 2.7.5 El grupo (Gl (n, K), ·) recibe el nombre de grupo lineal o grupo de las matricesregulares de orden n sobre K.

Proposicion 2.7.3 Consideremos el conjunto de la matrices invertibles cuyo determinate sea iguala uno. Es decir, sea

Sl (n, K) = A ∈ Gl (n, K) | det(A) = 1 .

Se verifica que Sl (n, K) es un subgrupo del grupo Gl (n, K).

Demostracion Es inmediata.

Definicion 2.7.6 El grupo (Sl (n, K), ·), recibe el nombre de grupo especial lineal de orden n sobreK.

Proposicion 2.7.4 Si A ∈ Gl (n, K) existe una f.e.p.f. de A tal que sus n− 1 pivotes son igualesa uno y el pivote n−esimo es igual a det(A).

Demostracion Como det(A) 6= 0 cualquier f.e.p.f. de A, es de la forma

A′ =

a1

a2

. . .an

con todos los elementos de la diagonal distintos de cero, podemos proceder con las dos primerasfilas de A′ del modo siguiente:(

a1 0 0 . . .0 a2 0 . . .

)P21(1)−−−−→

(a1 0 0 . . .a1 a2 0 . . .

)P12(a−1

1 )−−−−−−→(

1 + a1 a2a−11 0 . . .

a1 a2 0 . . .

)P12(−1)−−−−−→

(1 a2a

−11 − a2 0 . . .

a1 a2 0 . . .

)P21(−a1)−−−−−−→(

1 a2a−11 − a2 0 . . .

0 a1a2 0 . . .

).

dto. de algebra


Aplicando el mismo algoritmo a la nueva fila segunda y a la tercera de la matriz obtenida yreiterando el procedimiento llegaremos, despues de anular los elementos situados encima de lospivotes a una f.e.p.f. de A de la forma

A′′ =

1

. . .1

dn

.

La segunda parte de la demostracion es ahora inmediata. En efecto,

dn = det(A′′) = det(A′) = det(A).

Nota Aunque la demostracion proporciona un algoritmo para el calculo de la f.e.p.f. con n − 1elementos en la diagonal iguales a uno, la practica manual es mas variada en procedimientos, lamayor parte de las veces mucho mas simples como se va a poner de manifiesto en el ejemplo quesigue a las consecuencias de la presente proposicion.

Consecuencias

1. Si A ∈ Sl (n, K), una f.e.p.f. de A es la matriz unidad In.Basta tener en cuenta que, aplicado el algoritmo anterior, dn = det(A) = 1.

2. Si A ∈ Sl (n, K), se puede expresar como producto de matrices elementales de tipo I.En efecto, como In es una f.r.p.f. de A, se tendra que

In = P1P2 . . . Pr A

donde las matrices Pi son matrices elementales de tipo I. Despejando A se tiene que

A = P−1r . . . P−1

2 P−11 .

Ejemplo Expresar como producto de matrices elementales de tipo I la matriz

A =

0 −1 1 −10 1 0 −1−4 −1 −1 −2

3 1 1 1

.

m. iglesias

2.8 FORMA REDUCIDA DE UNA MATRIZ 32

Como det(A) = 1, la matriz A tiene una f.e.p.f. igual a la matriz unidad I4. Tratemos de calcularesta.

A =

0 −1 1 −10 1 0 −1−4 −1 −1 −2

3 1 1 1

P34 (1)−−−−−−−→

0 −1 1 −10 1 0 −1−1 0 0 −1

3 1 1 1

P13 (−1)−−−−−−−−→

1 −1 1 00 1 0 −1−1 0 0 −1

3 1 1 1

P31 (1)

P41 (−3)−−−−−−−−→

1 −1 1 00 1 0 −10 −1 1 −10 4 −2 1

P12 (1)

P32 (−1)P42 (−4)−−−−−−−−→

1 0 1 −10 1 0 −10 0 1 −20 0 −2 5

P13 (−1)P43 (2)

−−−−−−−−→

1 0 0 10 1 0 −10 0 1 −20 0 0 1

P14 (−1)P24 (1)P34 (2)

−−−−−−−−→ I4,

de donde

I4 =P34 (2)P24 (1)P14 (−1) P43 (2)P13 (−1) P42 (−4)P32 (−1) P31 (1)P41 (−3) P12 (1)P13 (−1) P34 (1) A.

Es decir,

A =P34 (−1) P13 (1)P12 (−1) P41 (3)P31 (−1) P32 (1)P42 (4)P13 (1)P43 (−2) P14 (1)P24 (−1) P34 (−2) .

2.8 Forma reducida de una matriz

Definicion 2.8.1 Sea A ∈M(m× n, K). Decimos que A es una matriz en la forma reducida porfilas (resp. columnas)2 si se verifica:

• A es una matriz escalonada por filas (resp. columnas).

• Todos los pivotes de A son iguales a uno.

En lo sucesivo utilizaremos la abreviatura f.r.p.f. (resp. f.r.p.c) para designar a una matriz en laforma reducida por filas (resp. columnas).

Teorema 2.8.1 Dada la matriz A ∈ M(m × n, K), se puede obtener a partir de A una f.r.p.f(resp. f.r.p.c.) aplicando a la matriz A un numero finito de transformaciones elementales por filas(resp. columnas) de los tipos I y II.

Demostracion Basta obtener una f.e.p.f. (resp. f.e.p.c.) de A (las transformaciones elementalesque se apliquen son, exclusivamente, de tipo I) y a continuacion dividir cada fila por su pivote(transformaciones elementales de tipo II).

2Las formas reducidas por filas o por columnas de una matriz A,tambien son conocidas como formas normales deHermite por filas o por columnas de A.

dto. de algebra


Proposicion 2.8.1 Sobre el conjunto M(m × n, K), definamos la siguiente relacion binaria: siA,B ∈ M(m × n, K) diremos que A es equivalente por filas a B si y solo si existe una matrizinvertible P tal que A = PB. Simbolicamente

A ∼f B ⇐⇒ ∃P ∈ Gl (m,K) | A = PB.

La relacion ası definida es de equivalencia.

Demostracion Basta ver que se verifican las propiedades reflexiva, simetrica y transitiva.

I. reflexiva. ∀A ∈M(m× n, K), A = ImA =⇒ A ∼f A.

II. simetrica. A ∼f B =⇒ ∃P ∈ Gl (m,K) | A = PB =⇒ B = P−1A =⇒ B ∼f A.

III. transitiva. Sean A,B, C ∈M(m× n, K),

A ∼f B ⇐⇒ ∃P1 ∈ Gl (m,K) | A = P1B (2.7)B ∼f C ⇐⇒ ∃P2 ∈ Gl (m,K) | B = P2C (2.8)

Sustituyendo 2.8 en 2.7 se tiene:

A = (P1P2)C = QC =⇒ A ∼f C

ya que Q = P1P2 ∈ Gl (m,K).

Lema 2.8.1 Sea A ∈ M(m × n, K) una matriz en la forma reducida por filas con r pivotes yP ∈M(m×m,K) tal que A = PA, entonces la matriz P es de la forma

P =(

Ir P1

0 P2

).

cualesquiera que sea las columnas r + 1, . . . , n de P .

Demostracion Sea P = (pij) (1 ≤ i, j ≤ m). Si los r pivotes de A estan en las posiciones(1, j1), (2, j2), . . . , (r, jr), las columnas j1, j2, . . . , jr de PA son, respectivamente,

p11

p21...

pm1

,

p12

p22...

pm2

, . . . ,

p1r

p2r...

pmr

y como PA = A, estas habran de ser, respectivamente, iguales a las columnas j1, j2, . . . , jr de Aque son las columnas de los pivotes. Luego, se tendra que

p11 p12 . . . p1r

p21 p22 . . . p2r...

... . . ....

pm1 pm2 . . . pmr

=

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

... . . ....

0 0 . . . 1...

... . . ....

0 0 . . . 0

.

m. iglesias


Lema 2.8.2 Si A,B ∈ M(m× n, K) dos matrices en la f.r.p.f y equivalentes por filas, se verificaque A = B.

Demostracion Como A y B son equivalentes por filas se deduce, por definicion, que existe unamatriz invertible de orden m tal que B = PA.Procedamos a demostrar por induccion sobre n (numero de columnas) que A = B.

• Para n = 1 caben dos casos:

– A = (0, 0, m). . ., 0)t (no tiene pivote), en cuyo caso sera

B = P (0, 0, m). . ., 0)t = (0, 0, m). . ., 0)t.

– A = (1, 0, m). . ., 0)t (tiene un pivote). En este caso, B no puede ser de la forma

(0, 0, m). . ., 0)t

ya que si lo fuese, se tendrıa que

A = P−1B = (0, 0, m). . ., 0)t,

en contra de la hipotesis. Tendra pues que ser B = (1, 0, m). . ., 0)t ya que B es una matrizen la f.r.p.f..

• Supongamos el lema cierto para toda matriz cuyo orden sea n− 1.

• Prueba para n.Sean A1 y B1, respectivamente, las submatrices formadas con las n − 1 primeras columnasde A y de B. Como

B = PA =⇒ B1 = PA1,

se deduce, por la hipotesis de induccion que A1 = B1. Si A1 tiene r pivotes, por el lema 2.8.1P sera de la forma

P =(

Ir P1

0 P2

).

con la unica condicion de que det(P ) 6= 0.Sean An y Bn, respectivamente, las ultimas columnas de A y de B. Caben igualmente doscasos:

– A tiene r pivotes. en este caso

An =

a1...

ar

0...0

=⇒ Bn = PAn =

(Ir P1

0 P2

)

a1...

ar

0...0

= An.

dto. de algebra


– A tiene r + 1 pivotes. Si este es el caso,

An =

0...010...0

,

donde el uno esta en la fila r + 1. En este caso,

An = P−1Bn.

Ahora bien, como B es una matriz en la f.r.p.f., Bn tiene que ser de una de las formas

Bn =

b1...br

0...0

o Bn =

0...010...0

,

donde el uno esta en la fila r + 1.En el primero de los casos, se tendra que

An = P−1Bn =(

Ir P ′1

0 P ′2

)

b1...br

0...0

= 0,

en contra de la hipotesis, luego tiene que ser Bn = An con lo cual A = B, como se querıademostrar.

Teorema 2.8.2 (unicidad). Para toda matriz A ∈ M(m × n, K), la f.r.p.f. de A obtenidaaplicando a dicha matriz transformaciones elementales por filas de los tipos I, II y III, es unica.

Demostracion En efecto Supongamos que A1 y A2 son dos f,r,p.f. de A con matrices de paso,respectivamente, P1 y P2. Se tiene que

A1 = P1A =⇒ A = P−11 A1

A2 = P2A =⇒ A = P−12 A2

=⇒ P−1

1 A1 = P−12 A2 =⇒ A2 = P2P

−11 A1 =⇒ A2 = A1,

de acuerdo con el lema 2.8.2.

Definicion 2.8.2 Llamamos f.r.p.f. de una matriz A, a la a la matriz en la f.r.p.f. obtenidaaplicando a A un numero finito de transformaciones elementales de los tipos I,II y III.

m. iglesias


Proposicion 2.8.2 Sean A,B ∈ M(m× n, K). Se verifica que A ∼f B si y solo si A y B tienenla misma f.r.p.f.

Demostracion Sean, respectivamente, A′ y B′ las f.r.p.f. de A y de B y P1 y P2 las correspon-dientes matrices de paso.

=⇒A ∼f B =⇒ ∃P ∈ Gl (m,K) | B = PA. (2.9)

Por otra parte(A′ = P1A) ∧ (B′ = P2B) =⇒ (A = P−1

1 A′) ∧ (B = P−12 B′).

Sustituyendo en 2.9, se tiene:

P−12 B′ = PP−1

1 A′ =⇒ B′ = P2PP−11 A′=⇒A′ = B′,

donde la ultima implicacion es consecuencia inmediata del lema 2.8.2 ya que P2PP−11 ∈ Gl (m,K).

⇐=A′ = B′ =⇒ P1A = P2B =⇒ B = (P−1

2 P1)A =⇒ A ∼f B,

basta tomar P = P−12 P1.

Proposicion 2.8.3 Sea A ∈ Gl (n, K), A′ la f.r.p.f. de A y P una matriz de paso (A′ = PA). severifica que:

1. A′ = In.

2. A−1 = P .

3. La matriz A se puede expresar como producto de matrices elementales de los tipos I, II y III.

Demostracion

1. Sabemos (ver proposicion 2.7.1) que una f.e.p.f. de A es de la forma

A1 =

a1

a2

. . .an

, (ai 6= 0)

luego la f.r.p.f. de A sera A′ = In lo que equivale a dividir cada fila e A1 por el inverso de supivote que es una transformacion elemental por filas del tipo II.

2. De lo anterior se deduce queIn = PA =⇒ A−1 = P.

3. Sea P = Tr . . . T2T1, donde Ti es una matriz elemental de los tipos I, II o III. Como

In = PA = Tr . . . T2T1 A =⇒ A = T−11 T−1

2 . . . T−1r .

Se recuerda a este respecto que Pij(c)−1 = Pij(−c), Mi(c)−1 = Mi(c−1) y que T−1ij = Tij .

dto. de algebra

2.9 EL RANGO DE UNA MATRIZ 37

Ejemplo Calculemos la matriz inversa y la factorizacion en matrices elementales de la matriz

A =

1 −1 12 1 1−3 −2 −1

.

Procedamos del siguiente modo:

(A|I3) =

=

1 −1 1 1 0 02 1 1 0 1 0−3 −2 −1 0 0 1

P21 (−2)P31 (3)

−−−−−−−−→

1 −1 1 1 0 00 3 −1 −2 1 00 −5 2 3 0 1

M2(13)

−−−−−−→

1 −1 1 1 0 0

0 1 −13−2

313

0

0 −5 2 3 0 1

P12 (1)P32 (5)−−−−−−−→

1 0

23

13

13

0

0 1 −13−2

313

0

0 013−1

353

1

M3(3)−−−−−−→

1 0

23

13

13

0

0 1 −13−2

313

0

0 0 1 −1 5 3

P13

(−2

3

)P23

(13

)−−−−−−−−−→

1 0 0 1 −3 −20 1 0 −1 2 10 0 1 −1 5 3

= (I3 | A−1).

Respecto a la factorizacion de la matriz A en producto de matrices elementales, partimos de laigualdad

A−1 = P = P13

(−2

3

)P23

(13

)M3(3)P12 (1)P32 (5)M2

(13

)P21 (−2) P31 (3) ,

de donde se deduce que

A = P−1 = P31 (−3) P21 (2)M2 (3)P32 (−5) P12 (−1) M3

(13

)P23

(−1

3

)P13

(23

).

2.9 El rango de una matriz

Definicion 2.9.1 Sea A ∈ M(m × n, K). Llamamos rango de la matriz A al numero de filas nonulas (numero de pivotes) de cualquier f.e.p.f. de A o, lo que es lo mismo, al numero de filas nonulas (numero de pivotes) de su f.r.p.f..Si el rango de la matriz A es r notaremos rg(A) = r.

Consecuencias

1. Sea A ∈M(n× n, K),A ∈ Gl (n, K)⇐⇒ rgA = n.

Es evidente, vista la proposicion 2.7.4 o la 2.8.3.

2. Sean A,B ∈M(m× n, K).

m. iglesias


(a)A ∼f B =⇒ rg(A) = rg(B).

De otro modo,

A ∈M(m× n, K) =⇒ ∀P ∈ Gl (m,K), rg(A) = rg(PA). (2.10)

Basta recordar que si A ∼f B, ambas matrices tiene la misma f.r.p.f. (ver proposicion2.8.2).

(b) Como caso particular, si B es la matriz obtenida aplicando a la matriz A una transfor-macion elemental por filas, entonces rg(A) = rg(B).En efecto B se obtendrıa multiplicando a la izquierda de A por una matriz elemental decualquiera de los tipos I, II, o III que es una matriz invertible.

Proposicion 2.9.1 Si A ∈M(m× n, K), ∀Q ∈ Gl (n, K), se verifica que rg(A) = rg(AQ).

Demostracion Sea A′ la f.r.p.f. de A y P una matriz de paso (A’=PA). Se tiene que

rg(A) = rg(A′)(1)

≥ rg(A′Q) = rg(P (AQ))(2)= rg(AQ).

Por otra parte, aplicando el resultado anterior a la propia matriz AQ, deducimos que

rg(AQ) ≥ rg((AQ)Q−1) = rg(A)

y, de ambas desigualdades, se deduce que rg(A) = rg(AQ).

Justificacion de los pasos

(1) Las filas nulas de A′ se transfieren en la multiplicacion al producto A′Q, por lo que A′Q tiene,al menos, las mismas filas de ceros que A′.

(2) Por la proposicion 2.10.

Consecuencia Si B es la matriz obtenida aplicando a la matriz A una transformacion elementalpor columnas de los tipos I, II o III, entonces rg(A) = rg(B).

En efecto, una transformacion elemental de cualquiera de los tipos indicados equivale a multiplicarpor la derecha la matriz A por una matriz elemental de los tipos I, II o III que son invertibles.

Proposicion 2.9.2 Sobre el conjunto M(m × n, K), definamos la siguiente relacion binaria: siA,B ∈M(m×n, K) diremos que A y B son equivalentes por rango si y solo si existen dos matricesinvertibles P y Q tal que B = PAQ. Simbolicamente

A ∼r B ⇐⇒ ∃P ∈ Gl (m,K), ∃Q ∈ Gl (n, K) | B = PAQ.

La relacion ası definida es de equivalencia.

Demostracion Basta ver que se verifican las propiedades reflexiva, simetrica y transitiva. Su-pondremos que las matrices que se tomen son invertibles y de ordenes adecuados.

I. reflexiva. ∀A ∈M(m× n, K), A = ImAIn =⇒ A ∼r A.

II. simetrica. A ∼r B =⇒ ∃P,Q | B = PAQ =⇒ A = P−1AQ−1 =⇒ B ∼r A.

dto. de algebra


III. transitiva. Sean A,B, C ∈M(m× n, K),

A ∼r B ⇐⇒ ∃P1, Q1 | B = P1AQ1 (2.11)B ∼r C ⇐⇒ ∃P2, Q2 | C = P2BQ2 (2.12)

Sustituyendo 2.11 en 2.12 se tiene que

C = (P2P1)A(Q1Q2) =⇒ A ∼r C,

Basta tomar P = P2P1 y Q = Q1Q2.

Lema 2.9.1 Consideremos la matrices

• A ∈M(m× n, K),

• A′ la f.r.p.f. de A y P una matriz de paso (A′ = PA),

• A′′ la f.r.p.c. de A′ y Q una matriz de paso (A′′ = A′Q).

Bajo estas condiciones se verifica que

rg(A) = r ⇐⇒ A′′ =(

Ir 00 0

),

donde Ir es la matriz unidad de orden r.

Demostracion=⇒ Si rg(A) = r, su f.r.p.f. tiene r pivotes. Basta llevar dichos pivotes a las posiciones(1, 1), (2, 2), . . . , (r, r) mediante suma de columnas (transformaciones elementales por columnasde tipo I) y a continuacion pivotar hacia la derecha (igualmente, mediante transformaciones ele-mentales por columnas de tipo I).

⇐= Si

A′′ =(

Ir 00 0

),

la f.r.p.f., A′ de la matriz A, tiene exactamente r pivotes con lo cual rg(A) = r.

Consecuencia Si A′′ es la f.r.p.c. de la f.r.p.f. de la matriz A, A′′ ∼r A.En efecto, por las hipotesis de la proposicion A′′ = PAQ, luego basta aplicar la definicion.

Ejemplo Consideremos la matriz en la f.r.p.f.

A′ =

1 2 0 3 00 0 1 4 00 0 0 0 10 0 0 0 0

Solucion Llevemos en primer lugar los pivotes a las posiciones (1, 1),(2, 2) y (3, 3), respectivamente,mediante las suma de columnas que se indican debajo de las flechas (transformaciones elementales

m. iglesias


por columnas) y, a continuacion, anulamos los elementos situados a la derecha de los nuevos pivotes.

A′ =

1 2 0 3 00 0 1 4 00 0 0 0 10 0 0 0 0

−−−−−−−→P32 (1)P53 (1)

1 2 0 3 00 1 1 4 00 0 1 0 10 0 0 0 0

−−−−−−−−→P12 (−2)P14 (−3)

1 0 0 0 00 1 1 4 00 0 1 0 10 0 0 0 0

−−−−−−−−→P23 (−1)P24 (−4)

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 10 0 0 0 0

−−−−−−−−→P35 (−1)

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 0

= A′′

La matriz de paso Q ∈ Gl (5,K) tal que A′′ = A′Q, se calcula teniendo en cuenta que

A′′ = A′P32 (1)P53 (1)P12 (−2) P14 (−3) P24 (−4)

Es decir, aplicando a la matriz unidad de orden cinco las mismas transformaciones elementales porcolumnas que las realizadas a la matriz dada A′.

I5 =

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

−−−−−−−→P32 (1)P53 (1)

1 0 0 0 00 1 0 0 00 1 1 0 00 0 0 1 00 0 1 0 1

−−−−−−−−→P12 (−2)P14 (−3)

1 −2 0 −3 00 1 0 0 00 1 1 0 00 0 0 1 00 0 1 0 1

−−−−−−−−→P23 (−1)P24 (−4)

1 −2 2 5 00 1 −1 −4 00 1 0 −4 00 0 0 1 00 0 1 0 1

−−−−−−−−→P35 (−1)

1 −2 2 5 −20 1 −1 −4 10 1 0 −4 00 0 0 1 00 0 1 0 0

= Q

Teorema 2.9.1 Sean A,B ∈M(m× n, K). Se verifica que

A ∼r B ⇐⇒ rg(A) = rg(B).

Demostracion=⇒ A ∼r B =⇒ ∃P,Q | B = PAQ. Aplicando sucesivamente la consecuencia 2.10 y la proposicion2.9.1, se tiene:

rg(B) = rg(PAQ) = rg(AQ) = rg(A).

dto. de algebra


⇐= Sea rg(B) = rg(A) = r. De acuerdo con el lema 2.9.1, si A′′ y B′′ son las formas reducidaspor columnas de las formas reducidas de A y B, respectivamente, sera

A′′ =(

Ir 00 0

)= B′′.

Ahora bien, teniendo en cuenta la consecuencia de dicho lema, se tiene que

A′′ = B′′ =⇒ P1AQ1 = P2BQ2 =⇒ B = P−12 P1AQ1Q

−12 =⇒ A ∼r B,

pues basta tomar P = P−12 P2 y Q = Q1Q

−12 .

(En realidad este resultado es consecuencia inmediata de la propiedad transitiva de la relacion deequivalencia definida por ser las matrices A y B equivalentes a la matriz A′′ = B′′. Sin embargo,la demostracion anterior es constructiva. Es decir, dadas las matrices equivalentes por rango A yB se han calculado las correspondientes matrices de paso.)

Proposicion 2.9.3 Sea A ∈M(m× n, K) Y At la traspuesta de A. Se verifica que:

1. rg(At) = rg(A).

2. El rango de A es igual al numero de columnas no nulas de su f.r.p.c.

Demostracion

1. Sea rg(A) = r y A′′ la f.r.p.c. de la f.r.p.f. de A y P y Q las correspondientes matrices depaso. Se sabe (ver lema 2.9.1) que

A′′ =(

Ir 00 0

)y, por consiguiente, es (

Ir 00 0

)= PAQ.

Calculando la matriz traspuesta de ambos miembros, se tiene que(Ir 00 0

)= QtAtP t =⇒ At ∼r

(Ir 00 0

)=⇒ rg(At) = rg

(Ir 00 0

)= r.

(Notese que la traspuesta de la matriz A′′ es de orden n×m, pero que su forma es la mismapor lo que rg(A′′) = rg(A′′t) = r.)

2. Sea A′ la f.r.p.c. de A y supongamos que tiene r columnas no nulas. Sea Q la correspondientematriz de paso, de acuerdo con estas hipotesis, se tiene:

A′ = AQ =⇒ A′t = QtAt.

Como A′t es la f.r.p.f. de At, se tiene que rg(At) = r y, por lo demostrado en el puntoanterior, deducimos que rg(A) = rg(At) = r por hipotesis, numero de columnas no nulas dela f.r.p.c. de A.

m. iglesias

2.10 RANGO Y DETERMINANTES 42

2.10 Rango y determinantes

Nota Nos proponemos a continuacion a calcular el rango de una matriz a traves de los determi-nantes. Este metodo resulta muy util, especialmente cuando se trate de calcular el rango de unamatriz dependiente de uno o mas parametros y de su aplicacion inmediata que es la discusion delcaracter de un sistema de ecuaciones lineales que dependa de uno o mas parametros.Por razones de claridad se han enunciado y demostrado algunas proposiciones para las filas de A.Analogamente se podrıan enunciar y demostrar para las columnas de A.

Proposicion 2.10.1 Sea M un menor de orden r de la matriz A tal que det(M) 6= 0 y supongamosque el determinante de todos los menores de orden r + 1 que puedan formarse orlando M con loselementos de la fila s son iguales a cero. Mediante transformaciones elementales de tipo I, se puedenreducir a cero todos los elementos de dicha fila s.

Demostracion Supongamos que M se ha formado con las r primeras filas y las r primerascolumnas de A. Consideremos los determinantes

Mj =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1r a1j

. . . . . . . . . . . .ar1 . . . arr arj

as1 . . . asr asj

∣∣∣∣∣∣∣∣ (j = 1, 2, . . . , n).

Tales determinantes verifican:

• Mj = 0 para j = 1, 2, . . . , r ya que la primera y ultima columnas serıan iguales.

• Para j = r + 1, . . . , n, por hipotesis Mj = 0.

• Para todos los determinantes Mj , los adjuntos de los elementos a1j , . . . , arj , asj son iguales ylos notaremos, respectivamente, por N1, . . . , Nr, |M |.

Desarrollando Mi por los elementos de la columna j, obtendremos

a1jN1 + a2jN2 + . . . + arjNr + asj |M | = 0.

Como por hipotesis |M | 6= 0, se tiene que

asj = −a1jN1

|M |− a2j

N2

|M |− . . .− arj

Nr

|M |.

Tomandoαi = − Ni

|M |(i = 1, . . . , r),

se tiene queasj = α1a1j + α2a2j + . . . + αrarj , (j = 1, . . . , n).

Por consiguiente, bastara aplicar sucesivamente las transformaciones elementales

Ps1 (−α1) , Ps2 (−α2) , . . . , Psr (−αr)

para reducir a cero todos los elementos de la fila s.

Definicion 2.10.1 Sea A ∈M(m×n, K). Llamamos rango por menores de la matriz A al numeroρ(A) que verifique:

dto. de algebra

2.11 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 43

• Existe en A un menor M de orden ρ(A) tal que det(M) =6= 0.

• El determinante de todo menor de A cuyo orden sea mayor que ρ(A) es igual a cero.

Cualquier menor de A que verifique las condiciones anteriores recibe el nombre de menor principal.

Proposicion 2.10.2 Si ρ(A) = r y M es un menor principal de A, podemos, mediante transfor-maciones elementales de tipo I, reducir a cero toda fila de A que no figure en el menor M .

Demostracion Es consecuencia inmediata de la definicion de ρ(A) y de la proposicion 2.10.1.

Teorema 2.10.1 Si A ∈ M(m× n, K) y ρ(A) es el rango por menores de la matriz A se verificaque rg(A) = ρ(A).

Demostracion Sea ρ(A) = r y H un menor de orden r cuyo determinante sea distinto decero (menor principal de A). Como las trasposiciones de filas o columnas son transformacioneselementales de tipo III que solo afectan al signo de los determinantes, podemos suponer sin perdidade generalidad que H esta formada por la interseccion de las r primeras filas con las r primerascolumnas de A. Es decir,

H =

a11 a12 . . . a1r

a21 a22 . . . a2r...

.... . .

...ar1 ar2 . . . arr

.

Por la proposicion anterior (2.10.2) La matriz A es equivalente por filas a la matriz

B =

a11 . . . a1r a1r+1 . . . a1n...

......

......

...ar1 . . . arr arr+1 . . . arn

0 . . . 0 0 . . . 0...

......

......

...0 . . . 0 0 . . . 0

.

Como A ∼f B, se tiene que rg(A) = rg(B) = r = ρ(A), como se querıa demostrar.(Recuerdese que la f.r.p.f. de B es de la forma

B′ =

1 b1,r+1 . . . b1n

. . ....

. . ....

1 br,r+1 . . . brn

0 . . . 0 0 . . . 0...

. . ....

.... . .

...0 . . . 0 0 . . . 0

y que, por tanto, rg(A) = rg(B) = r = ρ(A).)

2.11 Sistemas de ecuaciones lineales

Definicion 2.11.1 Recordaremos a continuacion un conjunto de definiciones y notaciones relacio-nadas con los sistemas lineales.

m. iglesias


1. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas es una conjunto de igualdades de laforma

S ≡

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...

......

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

(2.13)

2. Decimos que la n−upla, s = (α1, α2, . . . , αn) es una solucion del sistema S si se verifica quea11α1 + a12α2 + . . . + a1nαn = b1

a21α1 + a22α2 + . . . + a2nαn = b2...

......

...am1α1 + am2α2 + . . . + amnαn = bm

3. Diremos que el sistema S es homogeneo si b1 = b2 = . . . = bm = 0.

4. Se dice que S es compatible si tiene alguna solucion. En caso contrario se dice que es incom-patible.Un sistema compatible se dice que es determinado si tiene solucion unica e indeterminado sitiene mas de una solucion.

5. La matriz

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

recibe el nombre de matriz de los coeficientes del sistema y a la matriz

A∗ =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

b1

b2...

bm

se le llama matriz ampliada del sistema.

Notaciones Segun sea la mas conveniente para efectuar algunas demostraciones, notaremos abre-viadamente al sistema S de las siguientes formas:

• S ≡ Axt = B, donde A es la matriz de los coeficientes, x = (x1, x2, . . . , xn) la matriz de lasincognitas y B = (b1, b2, . . . , bm)t la columna de los terminos independientes.

• S ≡ A∗xt = 0, donde A∗ es la matriz ampliada del sistema y x, en este caso, es el vectorx = (x1, x2, . . . , xn,−1).

• A1x1 + A2x2 + . . . + Anxn = B donde Aj es la columna j−esima de la matriz A y B lacolumna de los terminos independientes.

Ejemplo Dado el sistema

S ≡

2x − y + 3z = 7−3x + 4y + 2z = 1

dto. de algebra


una solucion del mismo es la terna (3, 2, 1).La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema son, respectivamente,

A =(

2 −1 3−3 4 2

), A∗ =

(2 −1 3 7−3 4 2 1

)Las notaciones matriciales de S son:

S ≡(

2 −1 3−3 4 2

) xyz

=(

71

),

S ≡(

2 −1 3 7−3 4 2 1

)xyz−1

=(

00

),

S ≡(

2−3

)x +

(−1

4

)y +

(32

)z =

(71

).

Definicion 2.11.2 Dados los sistema de ecuaciones lineales S y S′ diremos que son equivalentessi ambos tienen las mismas soluciones. Es decir, el sistema S es equivalente al sistema S′ si y solosi toda solucion de S lo es de S′ y viceversa.

Proposicion 2.11.1 Consideremos el sistema cuya matriz ampliada es A∗,

S ≡ A∗xt = 0, x = (x1, x2, . . . , xn,−1)

y seaS′ ≡ A∗xt = 0, x = (x1, x2, . . . , xn,−1)

un sistema cuya matriz ampliada A∗ es la f.r.p.f. de la matriz A∗. En estas condiciones se verificaque los sistemas S y S′ son equivalentes.

Demostracion Si A∗ es la f.r.p.f. de A∗, existe una matriz invertible P tal que A∗ = PA∗.

• Probemos en primer lugar que toda solucion de S lo es de S′.En efecto, sea P una matriz de paso de A∗ a A∗ y (s1, s2, . . . , sn) una solucion de S. Sis = (s1, s2, . . . , sn,−1), se tiene que

A∗s = 0 =⇒ P (A∗s) = 0 =⇒ (PA∗)s = 0 =⇒ A∗s = 0

y, por consiguiente, (s1, s2, . . . , sn) es solucion de S′.

• Recıprocamente, si (s′1, s′2, . . . , s

′n) es una solucion de S′ y s′ = (s′1, s

′2, . . . , s

′n,−1), se tiene

queA∗s′ = 0 =⇒ P−1(A∗s′) = 0 =⇒ (P−1A∗)s′ = 0 =⇒ A∗s′ = 0,

de donde (s′1, s′2, . . . , s

′n) es solucion de S.

Nota

1. Recordemos que transformaciones que conservan las soluciones de los sistemas; es decir, quetransforman un sistema en otro equivalente son las siguientes:

m. iglesias


• Sustitucion una ecuacion por ella mas cualquier otra multiplicada por un escalar.

• Multiplicacion de una ecuacion por un escalar distinto de cero.

• Intercambio de ecuaciones.

Estas transformaciones equivalen a aplicar a la matriz ampliada A∗ del sistema una transfor-macion elemental por filas de los tipos I, II y III, respectivamente, lo que equivale, a su vez, amultiplicar, por la izquierda, la matriz A∗ por una matriz elemental del tipo correspondiente.La proposicion anterior es, por tanto, una demostracion general ya que la matriz P es pro-ducto de matrices elementales de cualquiera de los tipos citados.

2. Se ha demostrado que si A∗ es la f.r.p.f. de A∗, los sistemas S′ ≡ A∗xt = 0 y S ≡ A∗xt = 0son equivalentes y por ello el estudio de S lo haremos a traves del sistema reducido S′.

Ejemplos Dos casos esencialmente distintos pueden darse: que la columna de los terminos inde-pendientes contenga un pivote o que no lo contenga. Dichos casos seran analizados en los siguientesejemplos.

1. La columna de los terminos independientes contiene un pivote.Considerese el sistema reducido

1 2 0 3 00 0 1 4 00 0 0 0 10 0 0 0 00 0 0 0 0

x1

x2

x3

x4

−1

=

00000

En el lenguaje clasico, las incognitas cuyos coeficientes son los pivotes se les llama incognitasprincipales del sistema reducido y secundarias a las restantes.Poniendo las incognitas principales en el primer miembro se tiene:

x1 = −2x2 − 3x4

x3 = −4x4

0 = 10 = 00 = 0

Notese que el sistema es incompatible ya que toda solucion que satisfaga a las dos primerasecuaciones no satisface a la tercera porque esta no tiene solucion.

2. La columna de los terminos independientes no contiene pivotesPueden darse dos casos:

(a) El numero de pivotes es menor que el numero de incognitas.Considerese el sistema cuya forma reducida es

1 2 0 3 40 0 1 2 30 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

x1

x2

x3

x4

−1

=

00000

.

dto. de algebra


Las incognitas principales son x1, x2 y x4. El sistema es compatible indeterminado y lasolucion general del sistema viene dada por

x1 = −2x2 − 3x4 + 4x3 = −2x4 + 3

o bien, en forma parametrica,

x1 = −2λ− 3µ + 4,

x2 = λ

x3 = −2µ + 3x4 = µ

3. El numero de pivotes es igual que el numero de incognitas.1 0 0 0 10 1 0 0 20 0 1 0 30 0 0 1 40 0 0 0 0

x1

x2

x3

x4

−1

=

00000

En este caso, el sistema es compatible determinado y su solucion es

x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4.

Estos ejemplos nos van a ser utiles para la mejor comprension del Teorema de Rouche-Frobeniusque a continuacion enunciamos.

Teorema 2.11.1 (rouche-frobenius) Sea S ≡ Axt = B un sistema de m ecuaciones linealescon n incognitas y sea (A|B) la matriz ampliada del sistema. Se verifica que:

• S es incompatible si y solo si rg(A) < rg(A|B).

• S es compatible si y solo si rg(A) = rg(A|B).Pueden presentarse dos casos:

– S es compatible indeterminado si y solo si rg(A) = rg(A|B) < n.

– S es compatible determinado si y solo si rg(A) = rg(A|B) = n.

Demostracion Dado el sistema S en la forma matricial

S ≡ A∗xt = 0,(A∗ = (A|B), x = (x1, x2, . . . , xn,−1)

),

consideremos el sistema reducido equivalente a S

S′ ≡ A∗xt = 0,(A∗ = (A|B), x = (x1, x2, . . . , xn,−1)

),

donde A∗ = (A|B) es la f.r.p.f. de la matriz (A|B).Como ambos sistemas son equivalentes estudiaremos la compatibilidad del sistema S′. Supongamosque rg(A∗) = r. Esto quiere decir que la matriz A∗ tiene exactamente r pivotes. Caben dosposibilidades:

m. iglesias


1. La ultima columna de A∗ contiene un pivote. Dicha columna sera de la forma

B′ =

0...01(r

0...0

.

Aparecera la ecuacion 0 = 1 que carece de solucion por lo que el sistema es incompatible yesto ocurre si y solo si

rg(A) = r − 1 < rg(A|B) = r.

(Ver ejemplo 1.)

2. La ultima columna de A∗ no contiene un pivote en cuyo caso sera de la forma

B′ =

b′1...b′r0...0

y, por consiguiente (ver ejemplo 2) S es compatible y esto ocurre si y solo si

rg(A) = rg(A|B) = r.

Se pueden distinguir dos casos:

(a) rg(A) = rg(A|B) = r < n en cuyo caso hay r < n incognitas principales y la soluciondependera de las restantes n− r incognitas y el sistema es compatible indeterminado.

(b) rg(A) = rg(A|B) = r = n. En este caso el sistema S′ es dela forma

S′ ≡

1 b′11 b′2

. . ....

1 b′n0 0 . . . 0 0...

.... . .

......

0 0 . . . 0 0

x1

x2...

xn

−1

= 0

y su solucion es xi = b′i (i = 1, . . . , n). El sistema tiene solucion unica y es, por tanto,compatible determinado.

dto. de algebra


sistemas homogeneos

Definicion 2.11.3 LLamamos sistema lineal homogeneo de m ecuaciones con n incognitas a unconjunto de m igualdades de la forma:

S :

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0

......

......

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0

Proposicion 2.11.2 Si A es la matriz de los coeficientes del sistema se tiene que:rg(A) = n, S tiene solo la solucion trivial 0 = (0, 0, . . . , 0)rg(A) < n, S es compatible indeterminado

Demostracion Notese que los sistemas homogeneos siempre son compatibles ya que rg(A) =rg(A | B) por ser B = 0 y 0 = (0, 0, . . . , 0) (solucion trivial) es siempre solucion de S.Teniendo en cuenta lo anterior, la proposicion es consecuencia inmediata del teorema de Rouche-Frobenius

m. iglesias

Apuntes de matrices

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