Unidad IV: GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO

Si A(x1, y1) y B(x2,y2) son dos puntos del plano entonces la distancia entre ellos es

Ejemplos:1. Determinar la longitud del segmento cuyos extremos son A(-3,1) y B(5,13)

2. Demostrar que el triángulo A(-6,1) B(6,5) y C(-2,-3) es rectángulo y calcula su área y perímetro.

5

x1 x2

x2

x1

A(x1, y1)

B(x

2 ,y2 )

3. Demostrar que los puntos A(-4,7) B(0,5) y C(12,-1) son colineales. (dos o más puntos son colineales si por ellos pasa una recta)

COORDENADA DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Si A(x1, y1) y B(x2,y2) son los puntos extremos de un segmento, el punto medio

M(xm,ym) de AB viene dado por y , es decir

2

,2

),( 21212

yyxxyxM m

6

x1 x2

x2

x1

A(x1, y1)

A

B

B(x

2 ,y2 )

Ejemplos:1. Determinar el centro, el radio, la longitud de la circunferencia y el área del círculo

sabiendo que el segmento de extremos A(1,6) y B(3,-8) es un diámetro.

2. Si M( ,2) es el punto medio del segmento AB. Determinar las coordenadas de A,

sabiendo que las de B son B(6,5).

7

3. Si M(-2,3) es el punto medio del segmento AB. Determinar la ordenada de A y la abscisa de B, sabiendo que la abscisa de A es - 8 y la ordenada de B es 2.

PENDIENTE DE UN SEGMENTO DE RECTA

La pendiente de un segmento de recta viene dada por

Ejemplo: 1. Determina la pendiente y el ángulo que forma con el eje de abscisa el segmento de

extremo A(3,7) y B(-1,-2)

8

2. Determina la pendiente y el ángulo que forma con el eje de abscisa el segmento de extremo A(-2,6) y B(5,2)

RECTAS PARALELAS: Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales, esto es:

L1 L2 sii m1 = m2

RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas son perpendiculares se el producto de sus

pendientes es igual a –1, esto es:

L1 L2 sii m1 . m2 = -1

9

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA EN EL PLANO: Ax + By + C = 0

ECUACIÓN DE LA RECTA, CONOCIENDO LA PENDIENTE Y UNO DE SUS PUNTOS:

Y – y1 = m(X – x1)

ECUACIÓN DE LA RECTA, CONOCIENDO DOS DE SUS PUNTOS:

Y – y1 = (X – x1)

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Determina en los siguientes ejercicios las coordenadas del centro, el área del círculo y la longitud de la circunferencia, sabiendo que los puntos que se dan son los extremos de un diámetro:

1.1. A(-5,1); B(5, -3)

1.2. A(2,5); B(-4,-3)

1.3. A(-2,5); B(4,2)1.4.

10

2. En los siguientes ejercicios M es el punto medio del segmento AB. Se dan en cada caso las coordenadas de M y las de uno de sus extremos. Hallar las del otro:

2.1. A(-3,-3); M(-1,2)

2.2. B(2,-1); M(-2, ½ )

2.3. A(5,9); M(8, )

2.4. B( ) M( )

11

3. Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m en cada uno de los siguientes casos:

3.1. P(4,1) m = 3

3.2. P (8,2) m = 3

3.3. P (-4,0) m = -1/2

3.4. P (3, -1) m = 1

12

4. Dada la ecuación de la recta, determina la pendiente, la ordenada en el origen (punto de corte con el eje Y), y dibuja la gráfica.

4.1. Y = 3x - 64.2. Y = 2x

4.3. Y = x – 6

4.4. Y = -2x +64.5. Y = 3x - 6

5. Determinar la ecuación de la recta cuya pendiente es –5 y contiene al punto (0,4)

6. Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto(7, -6) y es paralela a la recta Y = ½ x + 1

7. Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,0) y es perpendicular a la recta Y = - 3X + 6

8. Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto (7, -6) y es paralela a la recta Y = ½ x + 1

9. Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto (6, -1) y es perpendicular a la recta Y = 3X -1

SECCIONES CÓNICAS

LUGAR GEOMÉTRICO:

Se llama LUGAR GEOMETRICO a cualquier conjunto de puntos del plano que vienen caracterizados por cierta propiedad.

Ejemplo: el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a igual distancia de dos puntos dados, es la mediatriz del segmento que los une.

LUGAR GEOMÉTRICO: Es el conjunto de puntos del plano que satisfacen a la ecuación

13

Mediatriz

SECCIONES CÓNICAS: Es el conjunto de puntos del plano que forman la intersección de un

plano con un cono recto circular. Dependiendo del ángulo de inclinación, cada sección cónica será

distinta.

Si el plano intersecta al cono en forma oblicua al eje y corte a las generatrices, se forma una elipse.

Si el plano intersecta al cono en forma oblicua al eje y paralelo a una generatriz se forma una Parábola.

Si se inclina mas el plano de modo que corte los dos mantos del cono sin pasar por el vértice, se forma una Hipérbola

¿Qué forma tendrá una cónica cuyo plano es intersecado con un cono de forma horizontal?

CIRCUNFERENCIA:

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancia r de otro

punto dado C. r es el radio y C es el centro de la circunferencia.

14

Cuando el centro está en el origen

P(x,y)

C: (0,0)

ECUACIONES:

Ecuación canónica de la circunferencia si el centro es el origen

Ecuación canónica de la circunferencia si el centro no es el origen, ni está en el eje Y ni en el eje X

Centro y radio

Ecuación general de la circunferencia

Centro y radio partiendo de la ecuación general

Ecuación general de la circunferencia si el centro está en el origen. C(0,0)

Ecuación general de la circunferencia si el centro está en el eje X. C(h,0)

Ecuación general de la circunferencia si el centro está en el eje Y. C(0,k)

15

Cuando el centro está fuera del origen

C: (h, k)

P(x,y)

MÉTODO DE COMPLETACIÓN DE CUADRADOS

Si tenemos una expresión de la forma y la queremos convertir en un

trinomio cuadrado perfecto se puede hacer de la siguiente forma:

Se divide el coeficiente del segundo término entre dos (se extrae la mitad):

El resultado dado se eleva al cuadrado (a la dos):

El resultado anterior se le suma a ambos lados de la ecuación para no alterarla

Después de esto se puede convertir en un producto notable de la forma esto es:

Este método se usa para conseguir el centro y el radio de una circunferencia partiendo de

la ecuación general

CONDICIONES QUE DEBE CUMPLIR LA ECUACIÓN PARA QUE SEA UNA CIRCUNFERENCIA:

Los coeficientes de deben ser iguales

No debe contener términos xy

EJERCICIOS

1. Determinar cuál de las siguientes ecuaciones representan una circunferencia. En caso afirmativo halla el centro, el radio y la ecuación canónica. Dibuja su grafica

16

17

2. Determina el centro y el radio de las siguientes circunferencias completando trinomios

cuadrados perfectos

3. Determina el centro y el radio de las siguientes circunferencias

18

4. Escribe la ecuación general de la circunferencia de centro P0 y radio r

19

5. Determina la ecuación de la circunferencia y dibuje su curva si:

a) Los extremos de su diámetro son los puntos y

b) Si el centro es el punto y pasa por el punto

6) Grafica las siguientes desigualdades:

a)

20

b)

c)

ELIPSE: Es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la suma de las distancias a

dos puntos fijos llamados focos es constante.

21

Cuando el CENTRO de la elipse está en el origen y el EJE MAYOR es Horizontal

Eje Menor2.b

CentroC(0,0)

22

Focos

Eje Mayor2.a

Cuando el CENTRO de la elipse está en el origen y el EJE MAYOR es Vertical

Eje Mayor2.a

CentroC(0,0)

Focos

Eje Menor2.b

Cuando el CENTRO de la elipse está fuera del origen y el EJE MAYOR es

Eje Menor2.b

CentroC(h,k)

ELEMENTOS DE LA ELIPSE:

CENTRO, FOCOS, VÉRTICES, EJE MAYOR, EJE MENOR, DISTANCIA FOCAL,

EXCENTRICIDAD

ECUACIONES:

Ecuación canónica de la elipse con centro en el origen y el eje mayor horizontal

23

Focos

Eje Mayor2.a

Cuando el CENTRO de la elipse está fuera del origen y el EJE MAYOR es Vertical

Eje Mayor2.a

CentroC(h,k)

Focos

Eje Menor2.b

Ecuación canónica de la elipse con centro en el origen y el eje mayor vertical

Ecuación canónica de la elipse con centro fuera del origen y el eje mayor horizontal a>b

Ecuación canónica de la elipse con centro fuera del origen y el eje mayor vertical a>b

Centro

Ecuación general de la elipse

si

Coordenadas de los vértices cuando el eje mayor es horizontal

Coordenadas de los focos cuando el eje mayor es horizontal

Coordenadas de los vértices cuando el eje mayor es vertical

Coordenadas de los focos cuando el eje mayor es vertical

Excentricidad o

EJERCICIOS

Determinar cuál de las siguientes ecuaciones representan una elipse. En caso afirmativo halla la

ecuación canónica y sus elementos. Dibuja su grafica.

a)

24

b)

25

c)

d)

e)

f)

Determina la ecuación de la elipse cuyos focos están en (0,5) y (0,-5) y su eje mayor mide 20.

Escribe la ecuación de la elipse sabiendo que :

Los vértices son A(0,6) y A`(0,-6) y los focos son F(0,2) y F`(0,-2).

26

Los focos tiene coordenadas (0, 2) y la excentricidad es

A(3,0); A`(-3,0) y c = 2

F`(0,-2); C(0,0) y e = 0,4

Los focos son ( 1, 1) y pasa por el origen

27

C(0,0); e = 0,4; focos en el eje Y y pasa por (2,1)

C(0,3); A`(-8,3) F`(-5,3)

F(-2,10); e = 0,8 F`(-2,2)

C(-2,3); e = , eje mayor paralelo al eje Y de 8 unidades de longitud.

Grafica las siguientes elipses y halla sus elementos.

28