U.E “NUESTRA SENORA DE LOURDES”

AREA DE FORMACION: MATEMÁTICA DE 5TO AÑO

PROFESORA: VERUSKA LARA

I LAPSO

UNIDAD DEAPRENDIZAJE 1: INECUACIONES LINEALES Y VALOR ABSOLUTO. SISTEMA

COMBINADO

a) Inecuaciones Lineales.

Son aquellas desigualdades que se satisface solo para un subconjunto de números

reales. Las simbologías de las desigualdades son:

: Menor que : Menor o igual que

: Mayor que : Mayor o igual que

Se representa de la siguiente manera:

Por grafica: se coloca en una línea recta el valor correspondiente desde menos infinito

( ) hasta más infinito (+ .

Por intervalo: se forma por un conjunto de números que corresponde a un segmento de

la recta real.

(Extremo izquierdo, Extremo derecho) o [Extremo izquierdo, Extremo derecho] Ejemplo. 1) 5X -6 ˃ 3 Solución

5X ˃ 3+6 (Grafica) 5X˃ 9 - 0 9/5 + X ˃ 9⁄ 5 (9/5, + (Intervalo)

b) Inecuación por Valor Absoluto: Se basan en propiedades del valor absoluto para cualquier número real X y para todo b R+. Se cumple lo siguiente:

i) X ˂ b o X ≤ b; una Intersección ii) X ˃ b o X ≥ b; una Unión Se resuelve por dos inecuaciones obteniendo una solución.

Ejemplo

1) 3X -5 ≤ 8

a) 3X-5≤8 b) ─ ( 3X -5)≤ 8 Multiplicando por ( - 1)

3X≤8 + 5 3X -5 ≥ - 8

3X≤13 3X ≥ - 8 + 3

X≤13/3 X ≥ - 5/3

Solución

(Grafica)

- -5/3 0 13/3 +

[5/3,13/3] (Intervalo)

C) Sistema de Inecuaciones Combinados.

Es un conjunto formado por dos o más inecuaciones que satisfacen simultáneamente todas las

ecuaciones que forman un sistema.

Ejemplo

1)

5-3X ˂ 3X +2 (a) b.2) – (8 -5X) ≥ 1 * (-1)

2 8-5X ≤ -1

8-5X ≥ 1 (b) -5X ≤ -1- 8

-5X ≤ -9 * (-1)

5X ≥ 9

a) 5-3X ˂ 3X +2 X ≥ 9/5 2

-3X˂ (3X +2)*2

-3X˂ 6X +4

-3X – 6X ˂ 4 -5 - 0 1/9 7/5 9/5

-9X˂ -1 * (-1)

9X ˃ 1

X ˃ 1/9

Sol: (1/9, 7/5] U [9/5, +

b) 8-5X ≥ 1

b.1) 8 -5X ≥ 1

-5X ≥ 1 -8

-X ≥ -7 * (-1)

5X ≤ 7

X ≤ 7/5

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PROFESORA: VERUSKA LARA

I LAPSO

GUIA DE ESTUDIO 1

A. RESOLVER LAS SIGUIENTES INECUACIONES.

1. 7(2X – 1) -3X ≤ 2(X + 1) – 9

2. 3X X+2 ˃ 5(2X-3) 3(5-2X)

3 4 2 3. (2X-4)(3X+1) ˂ (6X-2)( X+5)

4. ( 5X – 2)2 ─ (3X + 1)2≤ ( 4X + 5)

5. (X+4)3 + 29 ≤ (X ─ 2)3 + 9(2X2 + 5)

6. 2(X+3√2)2 ≤ ( X + 7√2)(X─5) + (X+ 5√2)(X+7)

7. 5X + 1 3- 8X + 4X+2 ≤ 3

4 3 2

8. 3X 6X + 1 3 + 6X ─ 7 - 6 ≥ 1 2 4 4

B. SISTEMA DE INECUACIONES COMBINADO.

9. 3(5-2X) 2(X-7) ≥ 9

6X 5-8X ˂ 4(2X+6) + 8 4 3 5

10. 3X + 6 5X +8 ˃ 7 10 5

20X – 3 + 6 – 8X ≤ 5 4 2

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PROFESORA: VERUSKA LARA

I LAPSO

UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: INECUACIONES CUADRATICAS.

a) Inecuaciones cuadráticas: es una desigualdad en la cual interviene un polinomio de segundo grado en una variable.

b) Procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas

Para resolverlas deben aplicarse los siguientes pasos:

1) Debe igualarse a cero la inecuación. 2) Esta ecuación planteada debe resolverse por factorización, resolvente o por cualquier otro

método que se considere. 3) Una vez halladas las soluciones la ecuación debe factorizar y hacer el estudio de rejillas para

hallar las soluciones donde se solicite el estudio.

Ejemplo 1) X2 -6X +5 ≥ 0

X2 -6X +5 0

Aplicando la ecuación de segundo grado tenemos: ax2 +bx +c =0

X= -b (b) 2 – 4 a. c X2= 6-4 2. a 2 a= 1; b= -6; c= 5 X2= 2/2 X2= 1 X= - (-6) (-6)2 – 4 (1). (5) (X-5). (X -1) 2(1) X= 6 36 – 20 Aplicando Rejilla 2 X= 6 16 - -5,-1 -1, 1 1, 5 5,

2 ─ ─ - + + (X -1) X= 6 4 ─ ─ ─ ─ + (X – 5) 2 X= 6+4 + + + ─ + (X -1) (X- 5) ≥ 0 2 X1=10/2 X1= 5 Sol: (- 1] U [5,+ )

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TEMA NO 2: INECUACIONES CUADRATICAS.

PROFESORA: VERUSKA LARA

I LAPSO

GUIA DE ESTUDIO 2

A. RESOLVER LAS SIGUIENTES INECUACIONES CUADRATICAS.

1. X2 + 4X + 3 ˂0

2. X2 - 6X + 5 ≥0

3. 2X2 + 2X - 40 ≤0

4. X2 - 9X + 18 ˃0

5. X2 -9X + 10 ˃0

6. X2 -3X + 2 ˂0

7. 3X2 +12X +10 ≥0

8. 2X2 -12X +10 ≥0

9. 3X2 +12X -15 ˂0

10. 4X2 + 4X -80 ˃0

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PROFESORA: VERUSKA LARA

I LAPSO

UNIDAD DE APRENDIZAJE 3: POLINOMIOS. OPERACIONES BASICAS

1. POLINOMIOS: son expresiones matemáticas donde se establecen términos que pueden

tener solo variable y números donde dicha variable presenta diversos exponentes.

Ejemplo

a) P(x)= -10x3 +6x2 +11x8 -1 b) Q(x)= 13x3 c) R(X)= 5x6 -2x

2. OPERACIONESBASICAS:

Suma y Resta: Para efectuar estas operaciones se recomienda ordenar y completar los polinomios. Ejemplo

P(x) = -3x3 + 4/5 x8 -3x4 +2x2 + x -1 Q(x)= 4/3x5 -7x7 + 5/4x3 -6/5 x2 -10 R(X)= 4x7 +5 x3 + 3x6 +2x -1 + 7x5

Hallar:

a) P(X) +R(X) b) Q(X) – P(X)

a) P(X) + R(x)

P(X) = 4/5 x8 + 0X7 +0X6 + 0X5 -3x4 -3x3 +2x2 + x -1 R(X) = 4x7 + 3x6 +7X5 +0 x4 +5 x3 +0x2 + 2x -1 P(x) +R(x) = 4/5X8 +4X7 + 3X6 +7X5 -3X4 +2X3 +2X2 +3X -2

b) Q(X) – P(X) Q(X) = -7x7 +0x6 + 4/3x5 +0x4 + 5/4x3 - 6/5 x2 +0x - 10 -R(X)= - 4x7 - 3x6 -7X5 - 0 x4 -5 x3 - 0x2 - 2x + 1 Q(X) - R(X)= -11 x7 - 3x6 -25/3 x5 +0X4 - 15/4 x3 -6 x2 -2X -9

MULTIPLICACION: se efectúa multiplicando cada término de primer polinomio por el segundo completo tomando en cuenta los signos, los valores numéricos y la propiedad de potencia para la multiplicación de las variables. En esta operación no es necesario ordenar.

EJEMPLO T(X) = 4x6 -3 x2 +2x5 - x + 1/2 D(X)= ¾ X8 – 6X4 +5X2 -3 HALLAR: T(X). D(X)

T(X). D(X)= 4x6 (¾ X8 – 6X4 +5X2 -3) -3 x2 (¾ X8 – 6X4 +5X2 -3) +2x5 (¾ X8 – 6X4 +5X2 -3) - x(¾ X8 – 6X4 +5X2 -3) + ½ + 3X14 - 24 X10 +20X8 – 12X6 -9/4X10 + 18X6 – 15X4 +9X2 +6/4 X 13 -12X9+10X7 -6X5-3/4X9 +6X5 -5X3 +3X + ½ 3X14 +6/4 X 13 + (- 24 -9/4) X10 + (-12-3/4) X9 +20 X8 +10X7 + (18– 12)X6 +( -6 +6) X5– 15X4 -5X3 +3X + 1/2 + 3X14 +6/4 X 13 -105/4 X10 -51/4 X9 +20 X8 +10X7 +0 X5– 15X4 -5X3 +3X + 1/2

DIVISION DE POLINOMIOS: para efectuar es necesario que el polinomio dividendo y el divisor estén ordenado de forma decreciente.

EJEMPLO D(x)= -35X -8 X3 -24 + 2X5 -11X2 -3X4

M(x)= -3X +X2 -2 EFECTUAR: D(x) M(x) 2X5 -3X4 -8 X3 -11X2 - 35X -24 X2 -3X -2 -2x5 + 6x4 +4x3

-3x4 – 4x3 -11X2 - 35X -24 2x3 +3x2 +5x +10 3x4 +9x3+ 6x2

5x3 - 5x2- 35X -24

- 5x3 +15x2 +10x 10x2 -25x -24 -10x2 +30x +20 15x -4

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PROFESORA: VERUSKA LARA I LAPSO

ASIGNACIÓN 1: OPERACIONES DE POLINOMIOS

A. DADOS LOS POLINOMIOS.

1. P(X) ─ 4 X2 + 3 X4 + 11 X ─ 2X3 ─10 3

2. Q(X) ─6X5 ─ 3X + 7 X2 + 8X6 + 5 4

3. R(X) 3 ─ X2 + 5X + 2X3 4. D(X) ─ 35X ─8X3─24 + 2X5 ─ 11X2 ─ 3X4 5. M(X) ─ 3X + X2 ─2 6. T(X) 6X6 +2X4 +17X5 ─38X2 +9X +2X3 ─63 7. H(X) 2X3 ─ X + 5X2 +7

HALLAR:

a) Q(X) +P(X)

b) Q(X) ─ 2 P(X) + 3R(X) c) 3P(X) ─ 5 Q(X) + 3 R(X)

2 4 d) R(X).P(X) e) R(X).Q(X) f) R(X).R(X) g) T(X) H(X) h) D(X) M(X)

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UNIDAD DE APRENDIZAJE 3: DIVISIBILIDAD POR RUFFINI.TEOREMA DE RESIDUO. FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACION

1. DIVISIBILIDAD POR RUFFINI (X ): solo se aplica cuando el divisor tiene forma (X ). Es un método que agiliza la obtención del cociente y el residuo en una división y su aplicación es como sigue:

a) El dividendo debe estar ordenado en forma creciente y además debe estar completo.

b) Debe verificarse que el divisor es de forma (X ), es decir, la variable sumada o restada con un valor.

c) Debe extraerse los coeficientes del dividendo con sus signos respectivos y ser colocados en forma horizontal y continua.

d) Por el primer coeficiente debe trazarse una línea vertical, dejar un espacio y luego trazar una horizontal que se cruce con la anterior. En dicho cruce debe colocarse el valor que acompaña a la variable del divisor pero cambiado designo.

e) El primer coeficiente debe ser colocado en la parte inferior en la misma forma como se presenta. A partir de allí comenzar un proceso de multiplicación con diagonal y en la forma vertical una suma algebraica esto debe repetirse hasta el último coeficiente.

f) El último valor obtenido será el residuo de la división, el resto de los valores formara el cociente haciéndose acompañar de una variable que partirá desde un nivel menor al grado del dividendo.

Ejemplo

-3X +2X2 +X4 +3 +5X3 (X +2) X4 +5X3 +2X2 -3X +3 (X +2) 1 5 2 -3 3 -2 -2 -6 8 -10 1 3 -4 5 -7 C(x) = X3 +2X2 -4X +5 R(x) = -7

2) DIVISIBILIDAD POR RUFFINI (ax ): en este caso se debe transforma dividiendo todo los términos del dividendo y del divisor por el valor que está multiplicando a la variable.

Ejemplo -6x6 +4x3 -12x2 +2x -7 (2x +1)

Dividiendo el dividendo y el divisor entre 2 tenemos:

-6x6 + 0x5 +0x4 +4x3 -12x2 +2x -7 (2x + 1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -3X6 + 0x5 +0x4 + 2 x3 - 6 x2 + X -7/2 (X +1/2 ) -3 0 0 2 -6 1 -1/2 ½ -3/2 -3/4 -3/8 13/16 -83/16 -51/64 -3 -3/2 -3/4 13/8 -83/16 -51/32 -550/128 C(x) = -3X5 - 3/2X4 -3/4X3 +13/8X2 -83/16X -51/32 R(x)= -550/128

3) DIVISIBILIDAD POR RUFFINI (X/a b) : cuando en el divisor, lavariable estadividida por un valor (X/a b) todos los términos del dividendo y el divisor se multiplican por dicho valor y al final el residuo se divide por el mismo.

Ejemplo 5x4 -3x2 +3 (x/5 -2) Multiplicando el dividendo y el divisor por ( 5) tenemos: 5(5x4 -3x2 +3 ) 5 (x/5 -2) Obtenemos lo siguiente: 25x4 -15x2 +15 (x -10 )

Ordenando: 25x4 + 0x3 - 15x2 + 0x +15 (x -10) 25 0 -15 +0 15 10 250 2500 2485 248500 25 250 2485 24850 248515 C(X)= 25x3 +250x2 +2485x +24850 R(X)= 248515

4) DIVISIBILIDAD POR RUFFINI (XN a) :para transformar este divisor obligatoriamente hay que hacer un cambio de variable, Una vez realizado el cambio correspondiente se ordena, se completa, se aplica Ruffini y el resultado final se regresa a la variable original.

Ejemplo

2x10 - 3/5x6 +4x8 -1/2x4 +8x2 ( x2 -3 ) Realizando el cambio de variable tenemos que: Y= x2

Dando como resultado lo siguiente: 2Y5 -3/5 Y3 + 4Y4 -1/2 Y2 +8 Y (Y -3) Ordenando: 2Y5 + 4Y4 -3/5 Y3 -1/2 Y2 +8 Y (Y -3) 2 4 -3/5 -1/2 8 0 3 6 30 441/5 2621/10 8124/10 2 10 147/5 877/10 2708/10 8124/10 C(X) = 2Y4 10Y3 + 147/5 Y2 +877/10 Y + 2708/10 R(x)= 8124/10 C(x) = 2X8 10X6 + 147/5 X4 +877/10 X2 + 2708/10 R(x)= 8124/10

5) TEOREMA DE RESIDUO R(X): se aplica para obtener un valor del residuo haciendo una valoración numérica del dividiendo con el numero que acompaña a la variable en el divisor pero cambiado de signo .No hace falta ordenar y completar.

Ejemplo 1

Hallar R(X) 5x4 -3x2 +5x +5 (x-3) x= 3 R(X) = 5x4 -3x2 +5x +5 R(X) = 5(3)4 -3 (3)2 + 5 (3) +5 R(X)= 405 - 27 +15 +5 R(X)= 398 Ejemplo 2 Hallar el valor de m para que al dividir el polinomio P(X)= 2x +mx + (3m -1) x +5m entre (x+2), el residuo sea a -5. P(X)= 2x3 +mx + (3m -1) x +5m x= -2 -5 = 2(-2)3 +m (-2) + (3m -1)(-2) +5m -5= -16 +4m -6m +2 +5m -5= -16 +3m +2 3m= -5+14 m= 9/3 m= 3

6) FACTORIZACION Y SIMPLIFICACION DE POLINOMIO: al factorizar el polinomio de colocarse las soluciones al lado de la variable haciendo el respectivo cambio de signo.

Ejemplo 1 X5 + x4 -5x3 –x2 +8x -4 X4 +3x3 -3x2 -7x +6 Factorizando X5 + x4 -5x3 –x2 +8x -4 posibles raíces

1 1 -5 -1 8 -4 1 1 2 -3 -4 4 1 2 -3 -4 4 0 1 1 3 0 -4 1 3 0 -4 0 1 1 4 4 1 4 4 0 -2 -2 -4 1 2 0 -2 - 2 1 0

X4 +3x3 -3x2 -7x +6 posibles raíces 1 3 -3 -7 6 1 1 4 1 -6 1 4 1 -6 0 1 1 5 6 1 5 6 0 -2 -2 -6 1 3 0 -3 -3 1 0 Simplificando (x-1)(x-1)(x-1)(x+2)(x+2) (x-1)(x-1)(x+2)(x+3) (x-1)(x+2) (x+3)

U.E “NUESTRA SENORA DE LOURDES”

AREA DE FORMACION: MATEMÁTICA DE 5TO AÑO

PROFEORA: VERUSKA LARA

I LAPSO

TEMA NO 3: DIVISIBILIDAD POR RUFFINI.TEOREMA DE RESIDUO. FACTORIZACIÓN Y

SIMPLIFICACION

GUIA DE ESTUDIO 3

A. RESOLVER LAS SIGUIENTES DIVISIBILIDADES POR RUFFINI.

1. ─3x + 2x2 + 3 + 5x3 (x + 2)

2. ) 3. 6x5 ─ 2x3 + 4x ─ 8 + 7x2 4. ─2x + 8x4 ─ 3x2 +x3 + 10 (x/3 + 1) 5. 3x6 – 2ax4 + 5a2x2 ─ 6a3 (x2 ─ a) 6. ax18 ─ 3ax12 +ax6 + 5 (x6 – 2)

B. DETERMINE EL VALOR DE RESIDUO

1. X5 ─ 5 X4 + 7X3 ─ 8X2 + 10X + 9 2. Hallar el valor de M para que al dividir el polinomio dado por X+ 1 el residuo es igual a 8.

C. FACTORICE Y SIMPLIFIQUE LOSSIGUIENTES POLINOMIOS.

1. X5 + X4 ─5X3 ─ X2 + 8X ─4 X4 +3X3 ─ 3X2 ─7X +6

2. X4 ─ 5X2 + 4 X4 ─ X3 ─ 7 X2 + X + 6

3. X3 + 6X2 +11 X + 6 X3─ 7X─6

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