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FICHA 3 | Estabilidad de las Construcciones 2 | Facultad de Arquitectura | UdelaR 2006 APUNTES DE ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
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FICHA 3 |
Estabilidad de las Construcciones 2 | Facultad de Arquitectura | UdelaR
2006
APUNTES DE ANÁLISIS MATRICIALDE ESTRUCTURAS
APUNTES DE ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
CASES DICTADAS POR EL INGENIERO ATILIO MORQUIO
EDITADOS CON LA COLABORACIÓN DE LAS ARQUITECTAS MARIANA JAURI, LAURA BOZZO, CRISTINA DUFRECHOU Y MÓNICA UMPIERRE Y DE LA BR. CLAUDIA CHOCCA. Estas notas de clase son una versión corregida de las clases dictadas en el primer y segundo semestre del año 1998.
dx
p.dx
dx
M(x)
N(x)
R
x
V(x)
x+dxx
R
p
Y
M(x+dx)
N(x+dx)
x+dx
R´
V(x+dx)
P
X
R´ X
RELACION ENTRE p, V y M PARA UNA VIGA RECTA
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, buscamos hallar una relación diferencial entre la cargadistribuida p, el cortante V y el momento flector M.Para hallar esta relación se elige un sistema deejes (X e Y) y se considera el equilibrio de unelemento infinitesimal de viga RR’ de longitud dx.Este elemento considerado como cuerpo libre estásometido al cortante y momento flector que actúanen las dos secciones de corte y a la carga elementaltransversal p.dx. (Eventualmente se podríaconsiderar una fuerza axil N como caso másgeneral).
El elemento diferencial debe cumplir con lasecuaciones de equilibrio.
1) Proyectando según la dirección vertical setiene:
Resultando que:
2)Proyectando según la dirección horizontal resulta:
o sea:
O sea que en ausencia de fuerzas horizontales aplicadas, como en nuestro caso, deberá ser lafuerza axial constante.
3) Momentos en relación al punto P.Los momentos tomados en sentido horario nos proporcionan otra ecuación.
)´()( xVdxdVxp == ( I )
V(x) + pdx - V(x +dx)=0 pdx = V(x+dx) - V(x)
N(x+dx) - N(x) = 0 N(x+dx) = N(x)
1
O sea resulta también:
Cuando dx tiende a cero el término de la derecha se convierte en la derivada del momento y p.dxtambién tiende a cero, con lo cual es posible eliminarlo resultando
Finalmente combinando las relaciones (I) y (II), se concluye que
Esta ecuación diferencial relaciona la carga distribuida, el cortante y el momento flector para unaviga recta. Observese que las tres magnitudes relacionadas son en general funciones de x, o seade la coordenada del punto.
0)(2
)()(2
=+−++ dxxMpdxdxxVxM
2)()()( pdxxV
dxxMdxxM
+=−+
2
)(")´()( 2
2
xMdx
MdxVdxdVxp ==== (III)
)´()( xMdx
dMxV == (II)
LN
dx
A´1 A1
A´3=A3
A4 A´4
A2
2
A´2
B´1
dx
B1
B3=B´3
B´4 B4
2dx
B´2 B2
A3
M
D B3
M
C
CD = r
ξ
RELACIÓN ENTRE EL MOMENTO FLECTOR Y EL RADIO DE CURVATURA.
Para relacionar las solicitaciones en una viga con su deformada, se acepta (dado que normalmenteel efecto producido por el cortante es muy pequeño comparado con el producido por el momentoflector) que puede considerarse solamente la influencia del momento flector. O sea, dicho de otramanera, para la obtención de la deformada (conocida también como elástica) de una viga, puedenormalmente ser despreciado el esfuerzo cortante.También normalmente se considera válida la hipótesis de Bernoulli, o sea que las seccionesplanas y perpendiculares al eje, luego de deformada la viga, se mantienen planas y perpendicularesal eje.
El radio de curvatura (r) de la deformada de unaviga puede ser obtenido a partir del momentoflector existente.Según se indica en la figura tomaremos lacoordenada x en la dirección de la viga yanalizaremos el problema imaginando un trozode la viga de longitud dx.Si consideramos que para ese valor de x existeun momento flector M (que en general seráfunción de x), tenemos que la viga queoriginalmente era recta (con un radio decurvatura infinito) se va a deformar alcanzandola forma de un segmento de circunferencia deradio de curvatura r (en la medida que M seafunción de x, el radio de curvatura también loserá).Elegiremos un punto genérico A4
definido por lacoordenada ξ. Notaremos el punto antes de quela viga se deforme como A4 y luego dedeformada como A’4. Para los demás puntosse empleará la misma notación.Por tener todos los lados paralelos los triángulosA3, A4, A’4 y C, D, A3 son semejantes de donderesulta que:
o lo que es lo mismo:
ξ44
44 ´2 AAr
BA=
44
44 ´2BAAA
r=
ξ
Pero por otro lado resulta que la deformación de la fibra A4 B4 (definida por la coordenada ξ) viene
dada por:
Juntando las dos últimas igualdades resulta:
y como el material es elástico, la tensión en esa fibra será:
44
44
44
4444 ´2´´)(
BAAA
BABBAA
=+
=ξε
( )r
E ξξσ =
( )rξ
ξε =
3
Sección Sección Sección
Es claro que el módulo de elasticidad y el radio de curvatura son constantes en toda la sección ypor eso pueden ser sacados afuera de la integral. La última igualdad es evidente pues la integralque queda no es otra cosa que la definición de la inercia de la sección.La igualdad obtenida anteriormente puede ser también expresada en la forma:
Finalmente el momento flector producido por estas tensiones en la sección se obtendrá integrandolas tensiones multiplicadas por el brazo correspondiente en toda la sección, resultando:
Esta expresión fue hallada para un determinado punto de coordenada x. Es claro que en generalel momento varía con x y en consecuencia el radio de curvatura también variará. La inercia de lasección puede ser constante o variable según x. Los dos términos de la igualdad serán entoncesfunciones de x, pero la igualdad deberá cumplirse para todo x.
ECUACION DE LA ELASTICA.
La deformada de una viga puede ser expresadacomo una función y (x) según se indica en la figura.Si se acepta (como hemos aceptado) la hipótesisde pequeños desplazamientos, conconsideraciones de geometría analítica (queomitiremos) se puede establecer que:
Por otro lado para pequeños ángulos de giro θ setiene que la tangente del ángulo puede ser asimiladacon el ángulo, cuando este es medido en radianes.Resultando que:
Juntando las anteriores conclusiones tendremosque:
En la anterior igualdad, como ya había sido analizado, cada término será función de la coordenadax. En general el momento flector es función de x, la inercia de la sección también puede serlo (sila viga no tiene una sección constante). El módulo de elasticidad podría variar solamente si elmaterial no fuera homogéneo. En nuestro curso descartaremos esta última posibilidad.
( )∫ ∫ ∫ ====r
EIdArEdA
rEdAM 22 ξξξξσ
θθ ≅= tgdxdy
2
21dx
ydr
=
EIM
r=
1
EIM
rdxd
dxyd
===1
2
2 θ
x
y(x)
Y
X
tg θ(x)
4
ANALOGIA DE MOHR
Resumiendo los resultados obtenidos anteriormente tenemos dos expresiones básicas, una querelaciona los esfuerzos en la viga y otra que relaciona el momento con la deformada y el giro, queson:
Obsérvese que ambas ecuaciones (son llamadas ecuaciones diferenciales, pues en ellasintervienen las derivadas de distintas funciones) tienen una clara coincidencia, en cuanto a suforma.Esto llevó a Mohr a imaginar una analogía entre una y otra ecuación. Para ello pensó que sisustituimos en la primera la carga distribuída p por el diagrama de M / EI el diagrama de cortanteque obtendremos será en realidad el diagrama correspondiente al angulo θ y el diagrama demomentos que obtenemos no será otra cosa que la deformada de la viga.Esta afirmación en el caso de la viga simplemente apoyada es totalmente válida. En el caso deuna viga con otros vínculos debe hacerse alguna consideración adicional, en la cual no entraremos.En nuestro curso nos limitaremos a usar el caso de la viga simplemente apoyada.Resumiendo las conclusiones de la analogía de Mohr podemos decir que para una vigasimplemente apoyada los diagramas de los ángulos θ y de la deformada de la viga, puedenobtenerse considerando que la viga está sometida a una carga distribuída de valor M/ EI. Conesa carga ficticia los diagramas de cortante y momento que se obtienen serán en realidad losdiagramas del giro y de la elástica respectivamente.
Con la carga real será: Con la carga ficticia será:
2
2
dxMd
dxdVp == y 2
2
dxyd
dxd
EIM
==θ
El cortante ficticio (giro en la realidad) en el extremo de la viga (o sea en el apoyo) será igual a lasreacciones verticales ficticias en dichos apoyos (giros en los extremos en la realidad).Podría hacerse un análisis más preciso teniendo en cuenta el signo de cada uno de los términos,pero esto no parece necesario pues conocido el sentido de las cargas p es bastante evidentecual es el sentido de los giros que se producen en los apoyos.
p(x) p=M EI
V V´=θ θB
M M´=y
θA
5
Normalmente en las vigas las cargas p estándirigidas hacia abajo y entonces la deformada ylos ángulos de giro tendrán los signos que seindican en la figura (en A el giro se produce ensentido horario y en B en sentido antihorario). Sifuera otro el sentido de la carga distribuída p detodas maneras se obtendría fácilmente el sentidode los ángulos de giro.
La analogía de Mohr será usada a continuación paraestablecer las expresiones del giro que se produceen los extremos de una viga simplemente apoyada.En particular se trabajará con tres situaciones tipo.Un estado de carga más complejo que los treselegidos como tipos, será resuelto como unacombinación lineal de ellos, en virtud de la validezdel principio de superposición.
GIROS EN LOS EXTREMOS DE UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA.
Viga con dos apoyos
Si cargamos la viga con el diagrama de momentos,y más aún, con M por la analogía establecida, las EI reacciones que se obtienen son θA y θB.
De esa manera llegamos a un procedimiento para determinar los giros en los extremos de la viga.θA
y θB quedan expresados en radianes. Como la viga es simplemente apoyada los
desplazamientos yA e yB
serán cero.
Para facilitar el estudio de aquí en adelante, el término que es usado como la carga distribuídaficticia puede ser reagrupado de la siguiente manera:
babR
A +=
.θ
LbA
A0=θ
baRa
B +=θ
LaA
B0=θ
Donde Imin será el valor de la inercia mínima de la viga.
La carga ficticia puede de esa manera, ser dividida en tres términos. El primero de ellos no depende
IIM
EIEIM min
min
1=
p
Deformada
θA θB
6
L
Ao= área
G p=M EI
VA´=θA VB´=θB
R
a b
de x (es constante para toda la viga) pues ni el módulo de elasticidad ni la inercia mínima dependende la coordenada x. El segundo factor es el diagrama de momentos y el tercer factor es el cocienteentre la inercia mínima y la inercia en cada punto.Este tercer factor en el caso que la viga tenga inercia constante será igual a 1 y puede ser eliminado.En el caso que la inercia de la sección sea variable el tercer factor será una función de x que solodepende de la geometría de la viga.El primer factor por su parte al ser constante puede ser usado para dividir a la carga ficticia que secoloca en la viga o más sencillo todavía, hacer esa reducción al final luego de obtenidos losvalores de las reacciones producidas por la carga ficticia. Esta última posibilidad será la queemplearemos en lo sucesivo.O sea resumiendo: tomaremos como carga ficticia el producto del diagrama de momentos por eltercer factor (en el caso que la viga sea de sección constante alcanzará con tomar solamente eldiagrama de momentos). Luego de obtenidas las reacciones ficticias tendremos que multiplicarlaspor el primer factor para obtener los giros de los extremos.Con estas consideraciones pasamos a definir las tres aplicaciones tipos que nos servirán en losucesivo:
APLICACIONES
a) Carga ubicada en el tramo
En este caso usaremos el subíndice 1 paraidentificar este tipo de carga. Para resolverlocolocaremos como carga distribuida ficticia eldiagrama MImin
,
I(x)(usaremos directamente el diagrama demomentos M en el caso de inercia constante).Para este diagrama de carga distribuída lasreacciones pueden ser calculadas planteandoequilibrio de fuerzas. A las reacciones asíobtenidas tendremos que dividirlas entre EImin
(EI en el caso de inercia constante) para obtenerlos giros en los apoyos. En definitiva obtenemos:
LEIxA
Amin
111
´=θ
LEIxA
BImin
11=θ
Si la inercia es constante, A1 es el áreacorrespondiente al diagrama de momentos.
A1
G
A R(A1) B
x1 x´1
L
7
211
1´
LxA
A χθ =
211
1 LxA
B χθ =
LEI min=χ χSi definimos (para el método de Cross será llamado rigidez de la viga).
A2 MImín
I G
x2 x´2
L
M2(x)
A B
M=1
222
2´
LxA
A χθ =
222
2 LxA
B χθ =
22LA =
Lx32´2 = Lx
31
2 =
χθ
31
2 =A χ
θ61
2 =B
Y si la inercia es constante: ,
233
3´
LxA
A χθ =
233
3 LxA
B χθ =
Lx31´3 = Lx
32
3 =
χθ
61
3 =A χ
θ31
3 =B
23LA =
8
Y si la inercia es constante:
b) Momento de valor unitario, ubicado en el extremo izquierdo del tramo.Para este caso usaremos el subíndice 2. En este caso será:
c) Momento de valor unitario, ubicado en el extremo derecho del tramo. Para este caso usaremosel subíndice 3. En este caso será:
M3(x)
A B
M=1
x3 x´3
L
G A3
A) Caso General:Con los elementos que hemos visto hasta ahora podemos encarar este problema, que es básicopara luego ver los diferentes métodos de resolución de estructuras.Se trata de determinar las relaciones entre las fuerzas aplicadas en los extremos de una viga ylos deplazamientos de estos puntos. Más precisamente, (en nuestro caso, que estudiaremosmétodos de los desplazamientos ) interesará colocar las fuerzas en los extremos de la viga enfunción de los desplazamientos de esos extremos. Supondremos por ahora que no hay fuerzasaplicadas en los puntos intermedios de la viga.En función de lo anterior tendremos que cualquiera sean los desplazamientos y giros que seproduzcan en los extremos y cualquiera sean las fuerzas y momentos que estén aplicados en lossmos estos pueden resumirse en las siguientes figuras.
32 ABAAA MM θθθ −=
32 BBBAB MM θθθ +−=
RELACIONES FUERZAS-DESPLAZAMIENTOS EN UNA VIGAEMPOTRADA EN LOS DOS EXTREMOS.
Para simplificar nuestro lenguaje, cuando digamos desplazamientos estaremos hablandoindistintamente de desplazamientos o giros. De esa manera tendremos 6 desplazamientosposibles. Lo mismo haremos cuando digamos fuerzas, estaremos hablando indistintamente defuerzas o momentos aplicados. En total tendremos 6 fuerzas aplicadas posibles.Los sentidos que están dibujados corresponden a los signos que consideraremos positivos paracada una de las magnitudes. En lo sucesivo debemos prestar particular atención a estos signos.Nuestro problema quedará resuelto cuando logremos colocar las 6 fuerzas en función de los 6desplazamientos.Como es válida la hipótesis de superposición podemos estudiar cada movimiento por separado.Luego la suma de dos o más movimientos estará producida por la suma de las fuerzas aplicadascorrespondientes a cada uno de los desplazamientos.
En general sabemos que para una viga simplemente apoyada, los giros en sus extremos puedenser obtenidos superponiendo los tres estados tipos vistos anteriormente. En este estudio en lamedida que no hay cargas aplicadas al interior del tramo, se puede prescindir del caso tipo 1 yalcanza con superponer los casos tipos 2 y 3.Prestando atención a los sentidos de los giros que hemos elegido como positivos, se puedeconcluir que en una viga simplemente apoyada, sometida a momentos MA y MB en sus extremos,los giros θA y θB en sus extremos son los siguientes:
9
θA θB
vA vB YA YB
uA uB XA XB
vA vB
uA uB
A B A B
θA θB MA MB
En las que αA y βAB vienen dadas por las siguien-tes expresiones:
C) Caso particular con giro en A solamente y sección constante (I=cte.)Cuando la sección es constante las expresiones de las constantes se simplifican y se obtienenlos siguientes valores:
Con esos valores los momentos y fuerzas aplicadassobre los extremos de la viga serán:
Teniendo en consideración que no hay ningún estira-miento ni acortamiento de la viga, resulta finalmente que:
LMMY BA
B)( +−
=
32 ABAAA MM θθθ −=
320 BBBAB MM θθθ +−==
AAAM θχα4=
AABB MM β=
Mientras que para que haya equilibrio estático las reacciones verticales deberán ser:
B)Caso particular con giro en A solamente.Comenzaremos estudiando cuando θA
≠ 0 y todo los demás desplazamientos son nulos. En este
caso se debe cumplir que:
Debemos recordar que θA2, θA3, θB2 y θB3, son propiedades de la geometría de la viga, o sea quepara una viga dada son datos conocidos. También θA es un dato, pues es un giro que imponemos.De lo anterior resulta que tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que son MA
y MB. Estas dos incógnitas pueden ser despejadas obteniéndose las siguientes expresiones:
−
=
3
3222
2
´´4
xxxxA
LAα
3
3
33
22 ´xx
xAxA
AB ==β
.min cteII == 1=Aα 21
=ABβ
AA L
EIM θ4
=
AB LEIM θ
2=
AA LEIY θ2
6=
AB LEIY θ2
6−=
0=AX 0=BX
LMMY BA
A+
=
10
MA
A B
MB
MA L
MA+MB MA+MB
L L
θA
D) Caso particular con giro en B solamente.Estudiaremos ahora cuando θB = 0 y todo los demás desplazamientos son nulos. Este caso essimilar al anterior, reemplazando en las ecuaciones y despejando los momentos en los extremosse obtiene:
Donde las constantes αB y βBA vienen dadas porlas siguientes expresiones:
LA
BAν
θθ ==
Lv
MM AABAA =− 32 θθ
LvMM A
BBBA =+− 32 θθ
Y con las ecuaciones que quedan:
MB
A B
MA
θB
L
MA+MB MA+MB
L L
11
−
=
2
2333
2
´´
4x
xxxA
LBα
2
2
22
33
´´´
xx
xAxA
BA ==β
BBBM θχα4=
BABA MM β=
E) Caso particular con giro en B solamente y sección constante (I=cte.)Nuevamente se cumple que:
Y las fuerzas aplicadas en los extremos resultan:
F) Caso particular con desplazamiento vertical en A, solamenteEstudiaremos ahora cuando y todos los demás desplazamientos son nulos. Este caso esaparentemente más complejo pero puede ser reducido a una situación similar a las anteriores.Para hacer esta simplificación el movimiento de la viga puede ser descompuesto en dosmovimientos. Un primer movimiento que es meramente un giro de la viga que se mantiene rectao sea sin ninguna carga aplicada. Un segundo movimiento que será el indicado en la figura o seaque estamos en el caso de una viga simplemente apoyada con dos ángulos de giro en susextremos que son:
.min cteII ==
1=Bα 21
=BAβ
BA LEIM θ
2=
BB LEIM θ
4=
BA LEIY θ2
6=
BB LEIY θ2
6−=
0=AX 0=BX
0≠Av
Donde α y β son los mismos coeficientes yaindicados anteriormente.
G) Caso particular con desplazamiento vertical en A, solamente y con I=cte.En este caso resulta:
Y en consecuencia:
Resultando:
.cteII mín == 1=== BA ααα 2/1=== BAAB βββ
AA vLEIM 2
6=
AB vLEIM 2
6=
AA vLEIY 3
12=
AB vLEIY 3
12−=
0=AX
0=BX
H) Caso particular con desplazamiento vertical en B.En este caso será νB ≠ 0 y todos los demás desplazamientos = 0Producir un cierto desplazamiento en el punto B, implica aplicar las mismas fuerzas que paraproducir el desplazamiento contrario en el punto A.En consecuencia el problema puede ser estudiado como si fuera el caso F pero tomando νA=−νB.
I) Caso particular con desplazamiento vertical en B y con I = cte.De sustituir resultan α y β igual que en el caso G, y
BA vL
EIM 2
6−=
BB vL
EIM 2
6−=
BA vLEIY 3
12−=
BB vLEIY 3
12=
0=AX
0=BX
12
( )LvM A
ABAA βχα += 14
( )LvM A
BABB βχα += 14
vA =
vA +
vA
θA
θΒ
vA
y en consecuencia o sea:
K) uB≠ 0 y todos los demás desplazamientos = 0, aceptamos también que A = cte.
Es lo mismo que hacer:
Estas deformaciones generalmente sonpequeñas comparadas con las otras. El métodomatricial las considera de todas maneras. Elmétodo de Cross en cambio las desprecia.En este caso si aceptamos que el área A de lasección es constante, se tendrá que ladeformación:
ABA uLEAxx −
==−
0=AM
0=BM
0=AY
0=BY
AA uL
EAX =
AB uL
EAX −=
0=AM
0=BM
0=AY
0=BY
BA uL
EAX −=
BB uL
EAX =
BA uu −=
AX AB XX −=
Au
J) uA ≠ 0 y todos los demás desplazamientos nulos.
, la tensión , la fuerza axilLEuA−
=σL
EAuX A−=
Lu A−
=ε
Resultando que:
13
AA uL
EAX = BuL
EA−
=AY AA LEIv
LEI
θ23
612+ BB L
EIvLEI
θ23
612+−
=AM AA LEIv
LEI
θ46
2 + BB LEIv
LEI
θ26
2 +−
AB uL
EAX −= BuL
EA+
=BY AA LEIv
LEI
θ23
612−− BB L
EIvLEI
θ23
612−+
=BM AA LEIv
LEI
θ26
2 + BB LEIv
LEI
θ46
2 +−
Para el caso de sección constante si se superponen los seis estados analizados previamente seobtienen las siguientes expresiones:
Estas relaciones permiten expresar las fuerzas y momentos aplicados sobre los extremos de laviga, en función de los seis desplazamientos posibles de los extremos. Este había sido nuestroobjetivo inicial.
Obsérvese que las líneas trazadas dividen los términos en cuatro zonas. La primera zona corres-ponde a la influencia de los desplazamientos en A sobre las fuerzas en A. En general cada una delas zonas expresa la influencia de los desplazamientos de un punto sobre las fuerzas en esemismo o en el otro punto.
Si la viga no fuera de sección constante los coeficientes serían diferentes (más complicada laexpresión, pero con el mismo andamiento).Para expresar las ecuaciones hemos colocado los desplazamientos en columnas dejando losespacios libres cuando no hay términos.
Los coeficientes que multiplican a los desplazamientos dependen exclusivamente de las carac-terísticas de la viga (A, E, I, L) y en el caso de sección variable tendrán una expresión máscompleja, pero en última instancia dependen también de las propiedades geométricas y del mó-dulo de elasticidad de la viga.
Estos coeficientes pueden ser colocados formando una matriz (forma matemática constituidapor un conjunto de n*m números colocados en filas y columnas). De la utilización de esta formamatemáticaproviene el nombre del método de análisis estructural conocido como «análisis matricial de es-tructuras».La matriz (conjunto de coeficientes) es denominada matriz de rigidez de la viga.En nuestro curso no vamos a emplear esta herramienta matemática, pues no ha sido dada en loscursos previos.Eludiremos su uso buscando dar una explicación con un lenguaje accesible para el estudiante.
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EXPRESION GENERAL
El resultado que se obtiene, de sustituir el giro θA2 será:
C) Giro en A y los otros cuatro desplazamientos nulos, con I=cte.En este caso resulta:
RELACION FUERZAS-DESPLAZAMIENTOS EN UNA PIEZA EMPOTRADA-ARTICULADA
A) Caso generalComplementaremos el caso de la viga empotrada en los dos extremos ya estudiada, con el casode la viga que tiene un extremo empotrado y otro articulado. Supondremos que el extremo B estáarticulado, debiendo ser en consecuencia MB =0.
En este caso se pueden despejar todas las fuerzas y momentos incógnitas que serán en estecaso cinco (pues MB es nulo y en consecuencia conocido) con todos los desplazamientos menosθB. O sea en definitiva se puede establecer una relación de 5 fuerzas con 5 desplazamientos. θB
puede ser obtenido como consecuencia de los demás desplazamientos y será en general diferentede cero.Solo veremos dos casos, que son los que interesan para nuestro estudio.
B) Giro en A y los otros cuatro desplazamientos nulos.Como MB es nulo las ecuaciones que nos daban los ángulos de giro en A y B se simplifican y solodependen de MA. La primera de ellas queda:
2AAA M θθ =
Donde
Y en consecuencia será:
AAAM θχα4= 0=BM
22
2
´4 xAL
A =α
75.0
32
24
2
== LLL
Aα
AAA LEIM θχθ
33 == 0=BM
Aθ
AM
LM A
LM A
AY
AM
AX
BY
BX
0=BM
Av
Aθ
Bv
Bθ
Au Bu
15
D) Desplazamiento vertical en A y todos los otros cuatro desplazamientos cero.En este caso se puede descomponer el desplazamiento en dos como en el caso empotradaempotrada y queda equivalente a un giro de valor vA / L. Las expresiones quedan:
Donde αA será la expresión ya definida en el caso B.
E) Desplazamiento vertical en A y todos los otros cuatro desplazamientos cero, con I=cte.En este caso resulta nuevamente:
LvM A
AA χα4= 0=BM
Y los momentos
75.0=Aα
AA
A vLEI
LvM 2
33 == χ 0=BM
LEI mín=χ
ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL MÉTODO DE CROSS
En Cross definimos rigidez como el valor:
El coeficiente α actúa corrigiendo la rigidez en base a la variación de la sección y también de losvínculos en los extremos.
El valor β determina el momento que se trasmite para el otro extremo. Es llamado coeficiente detransmisión.
Para inercia constante, estos valores son conocidos y ya han sido vistos. Cuando la inercia esvariable, hay que recurrir a tablas.
Las expresiones en cada uno de los casos están resumidas en el cuadro que está a continuación.El método de Cross será retomado más adelante.
16
FUERZAS Y MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
A) Barra doblemente empotradaLlamaremos fuerzas y momentos de empotramiento perfecto (también llamados momentos freno)a las reacciones que se producen en los apoyos de la viga cuando son aplicadas las cargas.Cuando la viga es considerada doblemente empotrada el estado de carga puede ser estudiadocomo la superposición de tres estados.Estos tres estados de carga los consideraremos para una viga simplemente apoyada y serán lostres estados elementales ya estudiados, que hemos denominado con los subíndices 1,2 y 3. Losmomentos en los extremos son incógnitas de modo que los estados 2 y 3 que correspondían aun momento unidad deberán ser multiplicados por el valor de los momentos incógnitas.Como la viga se encuentra empotrada en los dos extremos tendremos que imponer doscondiciones, pues sabemos que los ángulos serán nulos en los dos extremos.
Recordando que:2
111
´LxA
A χθ = 2
222
´LxA
A χθ = 2
333
´LxA
A χθ =
211
1 LxA
B χθ = 2
222 L
xAB χ
θ = 233
3 LxA
B χθ =
Esta condición queda establecida por las ecuaciones siguientes:
0321 =++−= ABAAAA MM θθθθ
0321 =++−= BBBABB MM θθθθ
Este puede ser considerado un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas MA y MB.
Para resolver este sistema de ecuaciones, podemos multiplicar la primera ecuación por θB3 yluego restarle la de abajo multiplicada por θA3. De esa manera se elimina MB y queda como únicaincógnita MA.Análogamente puede ser multiplicada la segunda ecuación por θA2 y restarle la primera multiplicadapor θB2. De esa manera se elimina MA y queda como única incognita MB.Obteniendo las siguientes ecuaciones:
( ) 31313232 ABBAABBAAM θθθθθθθθ −=−
( ) 21123232 BABAABBABM θθθθθθθθ −=−
Luego si sustituimos los ángulos θ por sus respectivos valores tendremos que:
23232
31311
´´´´xxxxAxxxxAM A −
−=
23233
21211
´´´´
xxxxAxxxxAM B −
−=
18
AM BM
p
A BAθ Bθ
A B
12
3
1pLA =
8
2pL
L
1
AM BM
p
A B
a b
Aplicacionesa) Si I=cte. y p=cte. Se tiene que:
Y que:232LAA ==
2´11
Lxx ==
Sustituyendo obtengo:
123161
6333
23
22
3232
212 22
3
pLpLLLLLL
LLLLpL
M A ==
−
−
=
Y para la otra expresión si se realiza la sustitución se obtiene que:
b) Si se tiene una carga distribuida de la forma que se indica sustituyendo se obtiene:
+−= 2
22
38612 L
aLapaM A
−= 2
22
3412 L
aLapaM B
2
2
LPabM A = 2
2
LbPaM B =
c) Si se tiene una carga concentrada de la forma que se indica sustituyendo se obtiene:
3´32
Lxx == 3
2´23Lxx ==
19
12
2pLMM AB ==
AMBM
P
A B
a b
021 =+−= AAAA M θθθ
La condición en el extremo A, quedará expresada por la ecuación:
Despejando el momento MA y sustituyendo los ángulos θ A1 y θA2 por sus valores se obtieneque:
Aplicaciones
a) Si se tiene I=cte. y p=cte. entonces:
b) Si se tiene una carga distribuida como la indicada en la figura será:
B) Barra con el extremo izquierdo empotrado.En este caso el extremo derecho está articulado pudiendo girar libremenete. El momentoreacción en ese extremo será nulo.Luego la única incógnita será MA y la única condición conocida será que el extremo A no gira.
22
28
−=
LapaM A
20
AM
p
A B
22
11
´´
xAxAM A =
32
2
212
3
LL
LpL
M A = ⇒ 8
2pLM A =
AM
p
A B
a b
( ))2 2 bL
LPabM A +=
c) Si se tiene una carga concentrada como la que se indica resulta:
Análogamente podrían ser obtenidos los momentos cuando el extremo derecho es el que seencuentra empotrado.Para el cálculo de los momentos de empotramiento perfecto (momentos freno) normalmenteutilizaremos tablas. Estas contemplan las situaciones más usuales de cargas y vínculos (publica-ción de tablas y ábacos)
21
AM
P
A B
a b
o
L
1
y
1
L
2
P
2
L
3 3x
DESARROLLO DEL METODO
Desarrollaremos los pasos principales del método, empleando un ejemplo simple. En este ejemploalgunos pasos no serán necesarios. Para estos pasos que por ahora no usaremos dejaremosnúmeros libres.Luego veremos, para un caso más general, en que consisten estos espacios quehemos dejado en blanco.Supongamos la siguiente estructura plana:
PASO 1- Definición de los nodosDividiremos la estructura (en este caso, una viga) en tres tramos, según se indica en la figura.Llamaremos nodos a los puntos extremos de los tramos, con los cuales pueden éstos ser definidos.En este caso tendremos 4 nodos.El nodo 2 fue colocado en el punto de aplicación de la carga “P” para evitar tener cargas al interiorde los tramos, ya que las fórmulas vistas hasta ahora solo hacen referencia a fuerzas en losnodos. Más adelante será visto como se resuelve el problema con cargas al interior de los tramos.Tomaremos las longitudes de los tramos iguales entre si (L), para simplificar las expresiones.Para definir un nodo alcanza con indicar sus coordenadas. Los 4 nodos quedan definidos en unsistema de ejes x e y, como se indica:
PASO 2- Definición de los elementosA los tramos les llamaremos elementos. Los elementos quedan definidos por sus dos extremos,o sea por dos nodos que llamaremos nodo inicial del elemento y nodo final del elemento.De acuerdo a las consideraciones anteriores, en nuestro ejemplo tendremos 3 elementos quepodemos definir de la siguiente forma:
Al par de números correspondientes a los nodos que definen un elemento le llamaremosconectividad. El sentido de este nombre proviene de considerar que el elemento conecta los dosnodos.
COORDENADAS NODO X Y
1 0 0 2 L 0 3 2L 0 4 3L 0
ELEMENTO NODO
INICIAL NODO FINAL
1 2 2 3 3 4
3
1 2
22
1 2 3
PASO 3 – Definición de las propiedades de los elementosOtro dato necesario para definir la estructura son las propiedades de los elementos. Laspropiedades necesarias para encarar el problema, serán para cada elemento, el módulo deelasticidad del material, el área de la sección y su inercia.En nuestro ejemplo para simplificar las expresiones consideraremos que todos los elementostienen las mismas propiedades que notaremos E, A e I respectivamente.
PASO 4 – Definición de los desplazamientos de los nodos y de las fuerzas aplicadas en losnodos.Con los datos que ya disponemos quedan definidos los desplazamientos y las fuerzascorrespondientes a cada elemento. Cada uno de estos tiene 6 desplazamientos de los nodos, 6fuerzas aplicadas en ellos y 6 ecuaciones que ya fueron vistas, que nos dan las fuerzas aplicadasen los nodos en función de los desplazamientos de los nodos:
Para cada elemento tendremos 6 ecuaciones. En total tendríamos 6 x 3 = 18 desplazamientos y18 fuerzas.Pero los desplazamientos de los nodos resultan los mismos para ambas barras (esto sucede enlos nodos 2 y 3).De modo que podemos reducir los desplazamientos de los nodos a 4 x 3 = 12 desplazamientos(en general se verificará que los desplazamientos de los nodos =Nº de nodos x 3). Losdesplazamientos de los nodos se encuentran indicados en la figura:
En los nodos 2 y 3 tenemos fuerzas aplicadas sobre una y otra barra, pero en realidad lo que nosinteresa es la fuerza total que esta aplicada sobre el nodo, de manera que debemos sumar estasfuerzas y tomar la resultante en cada nodo. De esa manera las resultantes o sea las fuerzasaplicadas en los nodos resultan también igual cantidad que los desplazamientos, o sea 12 eneste caso.
De lo anterior resulta que tanto los desplazamientos de los nodos, como las fuerzas aplicadas enlos nodos serán 12. De forma general serán el número de nodos multiplicado por tres. Es interesanteseñalar también que existe una correspondencia bien clara, una a una, entre fuerzas ydesplazamientos.
AY
AM
AX
BY
BX
BM
1 2 3
1v
1θ
1u2v
2θ
2u 3v
3θ
3u 4v
4θ
4u
1Y
1M
1X2Y
2M
2X 3Y
3M
3X 4Y
4M
4X
Av
Aθ
Bv
Bθ
Au Bu
23
PASO 5- Cálculo de las ecuaciones de cada uno de los elementos.
En general deberán determinarse las ecuaciones correspondientes a cada elemento. Para ellodebemos conocer las propiedades de cada elemento, o sea E, A e I y su longitud L que estarádefinida por la distancia existente entre el nodo inicial y el nodo final del elemento.En nuestro caso particular como hemos considerado A, E, I y L iguales para todos los elementos,las seis ecuaciones de un elemento serán las mismas que las de otro elemento, con la únicadiferencia que A y B deben ser sustituidos por los nodos respectivos o sea:
PASO 6- No es necesario para esta estructura, será visto más adelante.
PASO 7- Cálculo de las ecuaciones globales de toda la estructura
Con las ecuaciones de cada barra y sumando las fuerzas correspondientes a diferentes elementos,en cada nodo, se obtienen las expresiones de 12 fuerzas aplicadas en los nodos en función delos 12 desplazamientos de los nodos. De esa manera se tiene un sistema de 12 ecuaciones.Estas ecuaciones ya no son ecuaciones de cada elemento sino que son ecuaciones generalesde la estructura.En el nodo 1 de la estructura, las fuerzas aplicadas dependerán exclusivamente de losdesplazamientos del elemento 1 (o sea de los desplazamientos de los nodos 1 y 2), en el nodo 2de los elementos 1 y 2 (o sea de los desplazamientos de los nodos 1, 2 y 3), en el nodo 3 de loselementos 2 y 3 (o sea de los desplazamientos de los nodos 2, 3 y 4) y en el nodo 4 del elemento3 exclusivamente (o sea de los desplazamientos de los nodos 3 y 4).Veamos como se obtienen los términos de las fuerzas en los nodos donde se da la superposición(nodos 2 y 3 , fuerzas X2, Y2,M2 y X3, Y3, M3). Para ello tenemos que sumar los términos de cada unode los elementos que confluyen a cada uno de esos nodos.
N O D O ELEM EN TO A B
1 1 2 2 2 3 3 3 4
24
Elemento 1 Elemento 2
X2= 3213221 2 uL
EAuL
EAuL
EAuL
EAuL
EAuL
EAuL
EA−+−=−++−
Elemento 1 Elemento 2
Y2= 32332312133233222322231213 612122612612612612612 θθθθθθLEIv
LEIv
LEI
LEIv
LEI
LEIv
LEI
LEIv
LEI
LEIv
LEI
LEIv
LEI
+−×+−−=+−++−+−−
Elemento 1 Elemento 2
M2= 3322112332222222112 26422626464626 θθθθθθθLEIv
LEI
LEI
LEIv
LEI
LEIv
LEI
LEIv
LEI
LEIv
LEI
LEIv
LEI +−×++=+−+++−+
Las 12 ecuaciones resultantes pueden ser colocadas formando una cuadrícula, de la siguienteforma:
1u 1v 1θ 2u
2v 2θ 3u 3v 3θ 4u 4v 4θ
=1X
1uL
EA
2u
LEA
−
=1Y
1312 vLEI
126 θLEI
+
2312 vLEI
−
226 θLEI
+
=1M
126 v
LEI
14 θLEI
+
226 vLEI
− 22 θLEI
+
=2X
1uL
EA−
22 uL
EA+
3uL
EA−
=2Y
1312 vLEI
−
126 θLEI
−
2324 vLEI
+
3312 vLEI
− 326 θLEI
+
=2M
126 vLEI
12 θLEI
+
28 θLEI
+
326 vLEI
− 32 θLEI
+
=3X
2uL
EA−
32 uL
EA+
4uL
EA−
=3Y
2312 vLEI
−
226 θLEI
−
3324 vLEI+
4312 vLEI
−
426 θLEI
+
=3M
226 vLEI
22 θLEI
+
38 θLEI
+
426 vLEI
− 42 θLEI
+
=4X
3uL
EA−
4uL
EA+
=4Y
3312 vLEI
− 326 θLEI
−
4312 vLEI
+
426 θLEI
−
=4M
326 vLEI
32 θLEI
+
426 vLEI
− 44 θLEI
+
25
Elemento 1 Elemento 2
X3= 4324332 2 uL
EAuL
EAuL
EAuL
EAuL
EAuL
EAuL
EA−+−=−++−
Elemento 1 Elemento 2
Y3= 42433322234243323332332223 612122612612612612612 θθθθθθLEIv
LEIv
LEI
LEIv
LEI
LEIv
LEI
LEIv
LEI
LEIv
LEI
LEIv
LEI
+−×+−−=+−++−+−−
Elemento 1 Elemento 2
M3= 4423222442332332222 26422626464626 θθθθθθθLEIv
LEI
LEI
LEIv
LEI
LEIv
LEI
LEIv
LEI
LEIv
LEI
LEIv
LEI
+−×++=+−+++−+
En definitiva se suman los términos correspondientes a uno y otro elemento. Este procedimientoes conocido como el montaje de las ecuaciones. Si uno observa los términos que aporta cadaelemento verá que los mismos afectan una zona de la cuadrícula, o sea la zona donde se cruzanlas fuerzas y los desplazamientos correspondientes (filas y columnas respectivamente) a losnodos inicial y final del elemento. Si los nodos del elemento son consecutivos (como sucede ennuestro ejemplo) la zona será de 6 x 6 términos, mientras que si los nodos no son consecutivosserán cuatro zonas de 3 x 3, como se indica en la figura siguiente.
Obsérvese que este procedimiento repite para cada elemento las mismas operaciones sinnecesidad de realizar ninguna consideración particular, lo que lo hace especialmente convenientepara ser utilizado por computadoras. Con este procedimiento podríamos plantear las ecuacionespara cualquier pórtico.
PASO 8- Definición de las restricciones de los nodos.La estructura siempre debe tener algunos vínculos a tierra, o dicho de otra manera existen nodosque tienen restringida la posibilidad de moverse.En nuestro ejemplo dados los empotramientos en los nodos 1 y 4 y el apoyo deslizante en el nodo3, aparecerán restricciones a los desplazamientos, que podemos expresar como:u1=v1=θ1=v3=u4=v4=θ4=0Estas condiciones permiten eliminar de las ecuaciones todos los términos que involucraban aestos desplazamientos, por cada condición estaremos eliminando una columna de la cuadrícula.
PASO 9- Definición de las cargas aplicadas en los nodos.Los valores de las cargas aplicadas en los nodos, deben ser otro dato del problema.En nuestro ejemplo las fuerzas (fuerzas o momentos) son las siguientes:a) en el nodo 2 hay una fuerza vertical descendente por lo tanto Y2 =-P, en tanto que no hay
fuerzas aplicadas horizontal o momento, o sea X2=M2=0b) en el nodo 3 habrá una reacción vertical que desconocemos, pero sabemos que no hay
fuerzas aplicadas horizontal ni momento, o sea X3=M3=0.
Tenemos conocidas en total 5 fuerzas y 7 restricciones a los desplazamientos. Las fuerzascorrespondientes a las restricciones son desconocidas y constituyen las reacciones producidaspor los vínculos. (Cada vez que impongo una restricción a los desplazamientos aparece la fuerzacomo incógnita y viceversa).
2
1
3
11 2
P
23
34
11
24
P
32 3
1 1
2 3 2
3 3
1 2 1
3
2
26
El sistema de ecuaciones queda ahora con 12 ecuaciones, 7 fuerzas incógnitas que son lasreacciones o sea X1, Y1, M1, Y3, X4, Y4 y M4
y 5 desplazamientos incógnitas o sea u2, v2, θ2, u3 y θ3.Las ecuaciones quedan:
X1= 2uL
EA−
Y1= 2223 612 θLEIv
LEI
+−
M1= 222 26 θL
EIvLEI
+−
0 = X2 = 2 32 uL
EAuL
EA− (A)
- P = Y2 = 3223 624 θLEIv
LEI
+ (B)
0 = M2 = 8 32 2 θθL
EILEI
+ (C)
0 = X3 = 32 2 uL
EAuL
EA+− (D)
Y3 = 2223 612 θLEIv
LEI
−−
0 = M3 = 3222 826 θθLEI
LEIv
LEI
++ (E)
X4 = 3uL
EA−
Y4 = 326 θLEI
−
M4 = 32 θLEI
PASO 10- No se necesita en nuestro ejemplo, se verá más adelante.
PASO 11- Resolución de las ecuaciones. Cálculo de los desplazamientos.El sistema anterior es un sistema de 12 ecuaciones con 7 fuerzas incógnitas y con 5desplazamientos incógnitas. O sea en definitiva un sistema de 12 ecuaciones con 12 incógnitas.La igualdad entre incógnitas y ecuaciones permitirá resolverlo.Dentro de este sistema se puede formar un subsistema de 5 ecuaciones (A), (B), (C), (D) y (E)con 5 incógnitas (desplazamientos u2, u3, v2, θ2, θ3) que podemos resolver, pues los términos de laizquierda son conocidos en las 5 ecuaciones.
27
Obtenidos esos desplazamientos, las 7 ecuaciones restantes me permiten hallar las fuerzas noconocidas (o sea las reacciones: X1, Y1, M1, Y3, X4, Y4, M4).
Si se tratara de otra estructura cualquiera la cantidad de desplazamientos incógnitas variaría perotendríamos también el mismo número de fuerzas conocidas y podríamos resolver el subsistema.Ello es debido a que donde hay un desplazamiento incógnita es porque no hay un vínculo queimpida su desplazamiento y en consecuencia la fuerza aplicada correspondiente deberá ser undato del problema.La resolución del subsistema, que es un sistema de ecuaciones lineales, es un problema quetiene diversas formas de ser resuelto por métodos computacionales, con procedimientossistematizados que pueden ser aplicados para cualquier caso.Para continuar con nuestro ejemplo podemos resolver manualmente el sistema de ecuacionesresultante. Para ello es conveniente observar que el subsistema de 5 x 5 puede a su vez sersubdividido pues las ecuaciones (A) y (D) nos vinculan los u sin que aparezcan los v ni los θ y lasecuaciones (B), (C) y (E) vinculan los v y los θ, sin que aparezcan las u, por lo que podemosresolver primero las ecuaciones (A) y (D) y luego en forma separada las ecuaciones (B), (C) y (E).
Veamos las dos ecuaciones en u:
Si multiplico (A) por queda: 2u2 = u3
Sustituyo en (D) u3, nos queda:
Luego se concluye que;
Veamos ahora las otras tres ecuaciones:
Si multiplico (C) por resulta:
Sustituyendo en (E) obtengo:
Si ahora multiplico por , queda:
Sustituyendo en (B) tendremos que: y entonces
Y luego sustituyendo resulta:
Y
Resumiendo, podemos decir que la solución buscada del sistema de ecuaciones lineales es lasiguiente:
EAL
020230242 =⇒=⇒=+− uuL
EAu
LEA
uL
EA
u2=u3=0
EIL
2 23 4θθ −=
023222226 =−+ θθLEI
LEI
vL
EI
EIL
LvLv
2222 50306 θθ =⇒=−
2222 24524 θθ
LEI
LEIP −=− 2
2
96θ=−EIPL
EI
PL24
42
23 =−= θθ
EI
PLEI
PLLv9696
552
2
3
22 −=⇒−== θθ
032 == uu EI
PL96
2
2 −=θ EI
PL24
2
3 =θ EI
PLv965 2
2 −=
28
PASO12- Resolución de las ecuaciones. Cálculo de las reacciones.
Conocidos los 5 desplazamientos incógnitas para calcular las reacciones alcanza con utilizar las7 ecuaciones restantes. Sustituyendo los desplazamientos por los valores calculados en el pasoanterior resulta:
YA =
−
+
−
−
EIPL
LEI
EIPL
LEI
966
96512 2
2
3
3 =9
16P
MA =
−
+
−
−
EIPL
LEI
EIPL
LEI
962
9656 23
2 = 7
24PL
PASO 13- No se necesita en nuestro ejemplo, se verá más adelante.
PASO 14- Cálculo de las fuerzas aplicadas en los extremos de cada elemento.
Conociendo los desplazamientos de los extremos de cada elemento y empleando las ecuacionesde cada elemento se pueden calcular las fuerzas aplicadas sobre cada elemento en sus extremos.Para el elemento 1 será:
De igual modo se puede continuar con las restantes fuerzas aplicadas en el elemento 1 en elpunto B, así como en los restantes elementos.
PASO 15- No se necesita en nuestro ejemplo, se verá más adelante.
PASO 16- Impresión de ResultadosLos programas normalmente imprimen los desplazamientos de los nodos, las reacciones en losapoyos y las fuerzas aplicadas en los extremos de cada elemento, calculadas en los pasosanteriores.
AY
AM
AX
BY
BX
BM
041 == XX PY1611
3 =
PY169
1 = 44PY −=
PLM247
1 = 124PLM =
0=AX
29
PASO 17- Diagramas de solicitaciones de los elementos y deformada de la estructura.
Con los resultados obtenidos podemos plantear los diagramas de solicitaciones y la deformadade la estructura. En muchos casos estos diagramas son realizados por el propio programa, ennuestro caso los realizaremos manualmente. Los diagramas de solicitaciones obtenidos son lossiguientes.
En esta etapa haremos las verificaciones que corresponden. Sea cual sea el método decálculo:ΣFx=0 (suma de cargas y reacciones horizontales), ΣFy=0 (suma de cargas y reaccionesverticales), ΣM=0 (suma de momentos con relación a un punto cualquiera, producidos tanto porfuerzas como por momentos, de todas las cargas y reacciones) y relacionaremos la concavidadde la elástica en función del diagrama de momentos.
La deformada tiene la siguiente forma:
169P
167P
4P
247PL
4813PL
6PL
12PL
V
M
N0
1 2 3 4
1 2 3 4
30
1 2 3 4
02 ⟨θ
03 ⟩θ
..ip
..ip
..ip
p.i. = punto de inflexión
Elástica
ETAPAS DEL MÉTODO
* PASO 1- Ubicamos los nodos. (Determino cantidad y coordenadas).
* PASO 2- Definimos los elementos. (Cantidad y conectividades).
* PASO 3- Definimos las propiedades de los elementos (área, inercia y módulo de elasticidad).
- PASO 4- Quedan así definidos los desplazamientos y las fuerzas (no sus valores, pero si sudisposición). En nuestro ejemplo serán 12 desplazamientos y 12 fuerzas: Nº de nodos por 3(4x3).
- PASO 5- Se calculan los términos de la rigidez (relaciones entre fuerzas y desplazamientospara cada barra: 6 x 6).
- PASO 6- (Transformación de coordenadas, se verá más adelante).
- PASO 7- Se construye la rigidez global (ecuaciones generales de toda la estructura). En nuestroejemplo, llegamos a un sistema de 12 ecuaciones con 12 desplazamientos y 12 fuerzas: 12x12.
* PASO 8- Definimos las restricciones producidas por los vínculos a tierra (7 desplazamientosen nuestro ejemplo) y eliminamos los términos correspondientes en las ecuaciones.
* PASO 9- Ubicamos las cargas en los nodos.
+ PASO 10- (Se relaciona con cargas que no están en los nodos, se verá más adelante).
+ PASO 11- Resolvemos el sistema: Hallamos los desplazamientos desconocidos: 5 en nuestroejemplo, sistema de 5 ecuaciones.
- PASO12- Con los desplazamientos hallados utilizamos las 7 ecuaciones restantes. Obtenemoslas fuerzas desconocidas o sea las reacciones.
- PASO 13- (Transformación de coordenadas globales a locales: se verá más adelante).
- PASO 14- Con los desplazamientos conocidos vamos a las ecuaciones de cada barraobtenidas en el PASO 5 y hallamos las fuerzas en los extremos de cada una.
- PASO 15- (Se verá más adelante).
+ PASO 16- Resultados: Imprimimos desplazamientos en los nodos, reacciones y las fuerzasen los extremos de cada elemento.
- PASO 17- En el caso de este programa dibujamos manualmente diagramas y verificamosreacciones.
* Instancias en que introducimos datos al programa.+ Instancias en que obtenemos datos del programa
31
AY
AM
AX
BY
BX
BMAvAθ
BvBθ
Au
Bu
CASOS EN QUE LOS ELEMENTOS NO SON PARALELOS
Para poder generalizar lo visto anteriormente debemos resolver las dos limitaciones que tiene elejemplo anterior. Ellas son que no había cargas al interior de los elementos (caso que será vistomás adelante) y que los elementos eran paralelos.Debido a que los elementos eran paralelos los desplazamientos en un extremo de un elementocoincidían con los desplazamientos en los extremos del elemento contiguo.
De esa manera, teníamos 3 elementos, pero no teníamos 3x6=18 desplazamientos pues en losnodos 2 y 3 coinciden los desplazamientos de un elemento con los del otro. Solo teníamos 12desplazamientos (3 x Nº de nodos, con Nº de nodos=4).
Para las fuerzas en los nodos se hacía la misma simplificación, pues las fuerzas sobre cada barrase podían sumar obteniendo las fuerzas totales aplicadas en lo nodos. De modo que resultabantambién 12 fuerzas en los nodos.
Cuando los elementos no son paralelos, como es el caso de la figura, esta simplificación ya no esposible, pues los desplazamientos de un extremo no serán los mismos que los del otro extremo.Para resolver esta dificultad es conveniente establecer dos sistemas de coordenadas: uno Localy otro Global.
El sistema de coordenadas Locales se establece con el eje “x” coincidente con el eje del elementoy el eje “y” perpendicular al anterior.
El sistema de coordenadas Globales será el utilizado para definir los nodos, normalmente elegidocon el eje XG horizontal y el eje YG
vertical como se indica en la figura.
Usaremos la notación siguiente:Para el nodo A: uA, vA, θA en coordenadas locales. uAG, vAG, θAG en coordenadas globales.Para el nodo B: uB, vB, θB en coordenadas locales.uBG, vBG, θBG en coordenadas globales.
Tenemos entonces los desplazamientos y fuerzas encoordenadas locales que son:
GYY
GX
X
A
B
32
Los desplazamientos y fuerzas en coordenadas globales serán:
La resolución del problema pasa por referir las relaciones fuerzas-desplazamientos (que yaconocemos en coordenadas locales) a coordenadas globales. O sea relacionando XAG, YAG, MAG,XBG, YBG y MBG, con uAG, vAG, θAG, uBG, vBG y θBG.
Las relaciones en coordenadas locales para las fuerzas en A son:
Expresiones (1)
Del mismo modo se pueden expresar las fuerzas en B:
Veremos como pasamos de las expresiones en coordenadas locales a coordenadas globales.Supondremos primero que tenemos un desplazamiento uAG y luego que tenemos uno vAG.
BAA uL
EAuL
EAX −=
BBAAA LEIv
LEI
LEIv
LEIY θθ 2323 612612 +−+=
BBAAA LEIv
LEI
LEIv
LEIM θθ 2646 22 +−+=
BAB uL
EAuL
EAX +−=
BBAAB LEIv
LEI
LEIv
LEIY θθ 2323 612612 −+−−=
BBAAB LEIv
LEI
LEIv
LEIM θθ 4626 22 +−+=
AGY
AGMAGX
BGY
BGX
BGMAGv
AGθ
BGv
BGθ
AGu
BGu
33
Veremos en coordenadas locales como resultan estos desplazamientos. Para ellodescompondremos vAG, y uAG según los ejes locales:
Este razonamiento se realizó con los desplazamientos, pero si hubiéramos razonado con lasfuerzas aplicadas hubiera sido una situación totalmente análoga.Luego la relación de las fuerzas referidas en coordenadas globales y locales será:
Y en el nodo B: Expresiones (3)
uA=uAG cos α + vAG sen α vA=-uAG sen α + vAG cos α Expresiones (2)
θA = θAG
uB=uBG cos α + vBG sen α vB=-uBG sen α + vBG cos α
θB = θBG
Si invierto el problema y quiero poner las coordenadas globales en función de las coordenadaslocales, tengo que pasar de una a otra coordenada, ahora con un ángulo -α.
Sabiendo que: cos -α = cos α sen -α = −sen αTendré las siguientes expresiones:
Un giro del extremo del elemento θAG representará en coordenadas locales el mismo giro, esto es:
θA=θAG
Si superponemos ahora los dos desplazamientos tendremos que:
Análogamente para el nodo B resulta:
αcos.AGA uu =αsenuv AGA .=
αsenvu AGA .=αcos.AGA vv =
αcos.AGu αsenu AG .α
AGu
AGu α
α
αcos.AGv
αsenv AG .
XBG=XB cos α - YB sen αYBG = XB sen α + YB cos α
MBG=MB
XAG=XA cos α - YA sen αYAG = XA sen α + YA cos α
MAG=MA
uAG = uA cos α - vA sen α vAG = uA sen α + vA cos α
θAG = θA
uBG = uB cos α - vB sen α vBG = uB sen α + vB cos α
θBG = θB
34
a) b) = + Fep - Fep Σ
Ahora podemos sustituir en las expresiones (1), los valores de uA, vA, θA, uB, vB y θB de las expresiones(2).
Me quedan XA, YA y MA (fuerzas en coordenadas locales) en función de los desplazamientos encoordenadas globales.Con las expresiones de XB, YB y MB puedo hacer lo mismo.Finalmente puedo sustituir los XA, YA, MA, XB, YB y MB (obtenidos de las últimas sustituciones) enlas expresiones (3) y quedarán relacionadas las fuerzas en coordenadas globales con losdesplazamientos en coordenadas globales como queríamos.La expresión que se obtiene es la que emplea el programa para realizar el cambio de las ecuacionesde coordenadas locales a coordenadas globales.Para diferentes elementos variarán las propiedades del elemento (E, A, I), su longitud (L) y elángulo α y con ello los coeficientes de las expresiones que relacionan fuerzas y desplazamientosglobales y entonces puedo reducir los desplazamientos incógnitas, como en el caso vistoanteriormente a 3 x Nº de nodos.Análogamente las fuerzas en coordenadas globales tendrán las mismas direcciones y puedenser sumadas en cada nodo, igual que en el caso visto anteriormente.
Este pasaje de las ecuaciones de un sistema de coordenadas a otro debe ser realizado antes demontar las ecuaciones globales de la estructura y es uno de los pasos que habíamos dejado enblanco. Podemos resumirlo en:
PASO 6- Pasaje de las ecuaciones que relacionan desplazamientos y fuerzas sobre los extremosde las barras de coordenadas locales a coordenadas globales.
Cabe señalar finalmente que cuando tenga la solución de los desplazamientos en coordenadasglobales (paso 11), antes de calcular las fuerzas en los extremos de cada barra (paso 14) con lasecuaciones de cada barra (que están en coordenadas locales), debo pasar los desplazamientosdel elemento de coordenadas globales a coordenadas locales. Esto puede resumirse:
PASO 13- Conversión de los desplazamientos de los nodos hallados en coordenadas globalespara las coordenadas locales de cada barra.
CARGAS QUE NO ESTÁN EN LOS NODOS.
Veamos ahora el otro caso que nos quedaba pendiente. La idea de este procedimiento se aplicaen cálculo matricial y también se aplica en el método de Cross. Para resolverlo descompondremosel estado de cargas en dos estados (a y b) de manera que cada uno de ellos pueda ser resueltosencillamente. La suma de los dos estados será el verdadero estado de cargas aplicado sobre laestructura.
35
En el estado a) consideraremos aplicadas todas las cargas que actúan sobre la estructura yconsideraremos que todos los nodos se encuentran fijos, o sea impedidos de desplazarse y degirar.En los nodos fijados se producirán reacciones, que evitarán los desplazamientos de los nodos dela estructura.Las fuerzas aplicadas en los nodos sobre las barras son las fuerzas de empotramiento perfecto(Fep), que ya hemos estudiado.Estas fuerzas de empotramiento perfecto pueden ser calculadas barra por barra.O sea resumiendo, tendremos en este estado quelos deplazamientos son todos nulos y que lassolicitaciones en los nodos de las barrras son lasfuerzas de empotramiento perfecto.Finalmente en cada nodo pueden ser calculadaslas reacciones producidas sumando las fuerzas deempotramiento perfecto de todas las barras queconfluyen al nodo.El estado b) deberá tener en cada nodo una carga igual y contraria a la suma de las fuerzas deempotramiento perfecto obtenidas en la parte a). O dicho de otra manera, tendrá aplicada encada nodo la suma de las descargas (supuestas las barras con empotramiento perfecto) de cadauna de las barras que llegan al nodo.De esa manera al superponer los dos estados, las fuerzas de empotramiento perfecto secontrarrestan con las descargas y solo quedan las cargas verdaderamente aplicadas sobre laestructura. Esto es necesario pues nosotros imaginamos en la parte a) que existían reaccionesen todos los nodos, pero en la realidad esto no es así. Se trata de una suposición para facilitar elcálculo.
El estado de cargas a) puede ser calculado barra por barra empleando fórmulas analíticas o através de tablas.El estado de cargas b) solo tiene cargas en los nodos por lo que puede ser calculado sin problemas.El diagrama de momentos y los deplazamientos que tenga la estructura será la suma de a) y b).
Resumiendo puede decirse que descompongo el estado de cargas en dos estados que luegosuperpongo. El primer estado no significa ningún desplazamiento de los nodos y produce fuerzasde empotramiento perfecto en los nodos.Estas fuerzas calculadas por elementos, convertidas a coordenadas globales, sumadas ycambiadas de signo (descargas) se incorporan a las carga en los nodos (Paso 10). De esa manerael programa calcula el estado b).
Finalmente debemos realizar la suma de los dos estados.Esto se realiza en el paso 15 luego de calculados los desplazamientos en coordenadas globales(Paso 11), de haberlos llevado a coordenadas locales (Paso 13) y de haber calculado los esfuerzosen los extremos de los elementos (Paso 14) producidos por los desplazameintos (estado decargas b). En el paso siguiente debo agregar los esfuerzos producidos por el estado de cargas a)(que ya fueron calculados en 10) para obtener los esfuerzos totales.A los desplazamientos calculados en b) no hay que agregarle nada pues en el estado a) losnodos no tienen desplazamientos.Resumiendo lo anterior, los pasos que faltaban quedan definidos por:PASO 10- Calculo los momentos y fuerzas de empotramiento perfecto en cada barra y los guardopara introducirlos en el paso 15. Además los cambio de signo para obtener las descargas y lospaso a coordenadas globales y los agrego como cargas en los nudos.PASO 15- Al estado obtenido por las cargas aplicadas en los nodos (estado b) debo sumarle elestado a) ya calculado en el paso 10. Sumando los dos estados obtengo las solicitaciones totalesen los nodos.
36
CONSIDERACIONES SOBRE EL PROGRAMA
A) ENTRADA Y SALIDA DE DATOSEl programa admite la entrada de los datos por archivo o teclado, la salida de los resultadospuede ser por pantalla, archivo o impresora.Se recomienda usar la salida por archivo, pues no se pierde la información, incluso el archivopuede ser impreso posteriormente, usando cualquier editor, si uno lo desea.En la salida por pantalla no caben todos los resultados en la pantalla, solamente se ve el final deellos. Solo es útil cuando se están haciendo pruebas y se quiere ver si corre el programa.La salida por impresora puede no funcionar (depende de la impresora que se dispone).En cuanto a la entrada se recomienda también usar la entrada por archivo.El archivo de entrada debe ser editado y deben colocarse los datos en la forma correcta, ellodebe hacerse antes de correr el programa. Si cuando se corre el programa se encuentra queexiste algún error del archivo de entrada, este puede ser editado nuevamente y se corrigensolamente los errores.En cambio si la entrada de datos se hace por teclado y se comete algún error, para correr otra vezel programa los datos deberán ser digitados todos nuevamente.En resumen se sugiere entrar y salir por archivo.
Usaremos archivos con terminación .DAT para los archivos de datos y terminación .SOL para losarchivos de salida de datos o solución del problema.
B) VERIFICACION CON LA SALIDA DE DATOSEl programa aunque no ruede completo (se interrumpa su ejecución) siempre va a producir algúnarchivo de salida de datos. Esta salida debe ser editada luego de correr el programa, en ellapuede verificarse hasta donde los datos leídos son correctos. De esa manera se determinafácilmente el lugar del archivo de datos donde se encuentra el error y en el que debemos realizarla modificación correspondiente. Este proceso continúa hasta que la salida de datos esté completa.
C) ERROR EN LA ESTRUCTURAEl programa puede leer todos los datos e imprimirlos todos, de forma aparentemente correcta yno correr totalmente, esto es interrrumpirse sin dar todos los resultados.Generalmente, cuando esto ocurre, en algún lugar está dividiendo entre 0 y esto indica que elsistema de ecuaciones no tiene solución. En este caso el formato de los datos está siendo correctopero no sus valores.Y si los datos estuvieran bien y continúa dando error, entonces la que está mal es la estructuradiseñada.Seguramente le falta algún vínculo o algún elemento. No es una estructura estable y por eso nopuede ser resuelta.
D) UNIDADESLas unidades son solicitadas por el programa pero este solo las guarda y las devuelve en lasalida. La coherencia de las unidades empleadas es responsabilidad nuestra. Debemos elegiruna unidad para las longitudes y otra para las fuerzas (por ejemplo centímetros y decanewton).Las demás magnitudes deberán ser expresadas en función de estas unidades (áreas encentímetros cuadrados, inercias en centímetros a la cuarta, momentos en decanewton centímetro,módulo de elasticidad en decanewton por centímetro cuadrado). Los ángulos son adimensionadosy se expresan en radianes.
E) VERIFICACION DE LOS DATOSEs conveniente verificar los datos, para ello uno deja a un lado el esquema de la estructura yempleando solamente el archivo de salida vuelve a construir la estructura, coloca sus apoyos ycoloca sus cargas. Luego se coteja con el esquema inicial para verificar si está todo correcto.
37
F
1
p
2
Obse
rvador a b c
F) VERIFICACION DE LAS REACCIONESEs conveniente verificar si las reacciones neutralizan efectivamente las cargas externas, paraello se proyectan las reacciones y las cargas sobre el eje x, sobre el eje y, y finalmente se toma sumomento en relación a algún punto.
G) DIAGRAMAS DE SOLICITACIONESLos diagramas de fuerzas axiles, cortante y momentos deben ser dibujados a mano, con losdatos que proporciona el programa para los extremos de las barras y teniendo en cuenta lascargas aplicadas en la barra.
H) DEFORMADA DE LA ESTRUCTURAEl programa proporciona los desplazamientos y giros de los nodos, con estos resultados y losdiagramas de los momentos (que nos dan una idea de la concavidad de la deformada de loselementos) se puede dibujar la deformada de la estructura. Esta es una verificación muyconveniente.
I) CARGASEl programa admite tres tipos de cargas.En primer lugar se introducen los datos de ls carga en los nodos (fuerzas y momentos). Estascargas estan referidas en coordenadas globales, serán positivas según el eje x global, según eleje y global y en sentido antihorario para los momentos.En segundo lugar admite cargas distribuídas (constantes) en las barras, éstas deben serperpendiculares a las barras y estarán referidas en coordenadas locales de la barra, según lasconvenciones que veremos más adelante.En tercer lugar admite cargas concentradas en las barras, éstas deben ser perpendiculares a lasbarras y estarán referidas en coordenadas locales de la barra, según las convencionees queveremos más adelante.
J) CONVENCIONES PARA CARGAS EN LAS BARRASLas cargas en las barras estarán referidas siempre en coordenadas locales.Convendremos que para analizar las cargas y luego los esfuerzos en una viga uno debe colocarsede frente a la viga y viendo el primer nodo de la misma a nuestra izquierda. Por ejemplo para laviga 1,2 será:
Las cargas, tanto distribuidas como concentradas, que apuntan hacia el observador, tendrán porconvención signo negativo (como es el caso de las indicadas en la figura).Las distancias serán medidas siempre desde el primer nodo.Para cargas distribuídas (constantes) se deberá conocer el número de la barra, la carga distribuídacon signo, la distancia desde el punto donde se inicia la carga al primer nodo y la distancia desdeel punto donde terminan las cargas al primer nodo (de acuerdo a la figura serán a y brespectivamente).Para carga concentrada se deberá conocer el número de la barra, la carga concentrada consigno y la distancia desde el punto de aplicación al primer nodo (de acuerdo a la figura será c).
38
K) CARGAS NO PERPENDICULARESSi hay cargas en los elementos, no perpendiculares al elemento, la carga puede ser descompuestaen una componente normal a la barra y otra de tipo axial, como se indica en la figura siguiente:
El programa que estamos empleando admite las cargas perpendiculares, pero no admite lascargas axiales. (Esta es una limitación de este programa, otros programas admiten este tipo decargas).
Veremos como se resuelve el problema en el caso de las cargas axiales:Para ello podemos superponer dos estados de carga.Un estado a) en el que no hay ningún desplazamiento de los nodos y aparecen solamente fuerzasaxiles de empotramiento perfecto.Otro estado b) en el que aparecen las cargas de empotramiento perfecto con signo cambiado(descargas) en los nodos.
En el caso q=cte. Será F1=F2=qL Para el caso a) el diagrama de fuerza axil será elsiguiente:
q qN qL
qL
= + q α qN
α
a) b) F2 -F2
L q = q +
F1 -F1
Los demás esfuerzos en la barra y en todas las demás barras son todos iguales a cero.a) Puede ser resuelto manualmente,b) Puede ser resuelto por el programa si colocamos las descargas que corresponden en los
nodos.
qL 2
C
T
qL
2
39
La resolución de a) depende de las cargas aplicadas. Para carga distribuída constante a lo largode toda la barra las fuerzas de empotramiento perfecto y los diagramas de fuerzas axiles son losindicados en la figura.Luego de tener los resultados obtenidos con el programa de la parte b) o sea de las descargasconsideradas en los nodos, junto lógicamente con todas las demás cargas que actúan sobre laestructura, se puede al final superponer manualmente los diagramas de fuerza directa de lacarga a) y luego obtener los diagramas de solicitaciones totales.
L) CONVENCIONES DE SIGNOS PARA LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS EN LAS BARRASNormalmente se ha usado para los diagramas de cortante y momento la convención que seexpresa en la figura:
Esta convención, no debe confundirse con la convención empleada para descargar las cargassobre los nodos, según la cual los momentos son del mismo sentido cuando siguen el sentidohorario o antihorario. (En este caso hemos convenido que para el método matricial el sentidoantihorario sería el positivo y que para el método de Cross sería positivo el sentido horario).En el caso de los diagramas de momento, la convención sobre el sentido de los momentos quese ha empleado viene dada por la forma que se flexan los elementos, de manera que los diagramasse dibujan hacia el lado que se encuentran las fibras traccionadas.Nosotros ahora vamos a hacer un acuerdo sobre los signos de los diagramas de cortante ymomento.Los cortantes dibujados hacia arriba, serán de signo positivo y cuando sean hacia abajo seránnegativos.En relación con los momentos acordaremos que son positivos cuando están dibujados haciaabajo y son negativos cuando están hacia arriba. Estas son las convenciones más normalmenteusadas.Cuando la viga no es horizontal usaremos las mismas convenciones, ubicándonos en la posicióndel observador ya expuesta anteriormente (de frente a la barra y con el nodo inicial a la izquierda).Para los esfuerzos axiles consideraremos que son positivos cuando son de tracción y negativoscuando son de compresión.En función de lo anterior para un pequeño tramo de una barra los sentidos positivos serán losindicados en la figura:
q V M
+ + _ _ _ _ +
i
f
obse
rvado
r
i = nodo inicialf = nodo final
M
M
V
V
N
N
40
I P
1 2 3 4
II P
1 4 2 3
F) MEDIO ANCHO DE BANDAVamos a comparar para la misma estructura dos numeraciones de nodos diferentes, lo haremoscon la estructura del ejemplo ya analizado anteriormente.Para la estructura I teníamos, según ya fuevisto que cuando colocábamos las docefuerzas en función de los docedesplazamientos, la relación podía seragrupada en 16 cuadrados de 3x3, mostrandola influencia de los desplazamientos de unnodo sobre las fuerzas que se producen enotro nodo. De esa manera podía subdividirseesa relación de 12 por 12 en 16 partes en lasque cada una expresa la acción de tresdesplazamientos sobre tres fuerzas. En laestructura I aparecían 6 cuadrados que tienentodo cero, según se indica en la figura.
0=ceroX=diferente de cero
En el caso I puede observarse una banda en el centro rodeada de ceros. Podemos definir elmedio ancho de banda según se indica en la figura.En el caso II la banda vendría a ser todo el cuadrado y el medio ancho de banda será el doble queen el caso anterior.Para la resolución del sistema de ecuaciones el número de operaciones necesarias es menorcuando el medio ancho de banda es menor, un número menor de operaciones implica menostiempo de cálculo y además implica cometer menos errores de redondeo, o sea resultados masrápidos y más precisos.El menor ancho de banda permite también disminuir el espacio de memoria que se utiliza, o seacon la misma memoria empleada se puede resolver una estructura mayor.De manera que debemos buscar que nuestro medio ancho de banda sea lo mas pequeñoposible. Esto lo lograremos si buscamos que la diferencia entre dos nodos que están contiguosno sea muy grande. En la estructura I la máxima diferencia entre nodos contiguos es de 1, encambio en la estructura II es de 3.Cuando se realiza la numeración de los nodos debe buscarse que no queden contiguos dosnodos con diferencia de numeración muy grande. El programa da el medio ancho de banda de laestructura, para que sea tenido en cuenta.
X
0
0
X
0
X
X
X
0
X
X
0
X
X
0
X
MAB =12
MAB
Para la estructura II cambian la ubicación de dichos cuadrados pero también aparecen los 6cuadrados igual a cero, como indicamos en la figura.
X
X
0
0
X
X
X
0
0
X
X
X
0
0
X
X
MAB=6
MAB
41
En el caso que se muestra a continuación es claro que es mejor la solución II.
Máxima diferencia=9-2=7 Máxima diferencia=2
N) VINCULOSLos vínculos se expresan indicando el nodo, luego la restricción según x, según y y finalmente larestricción al giro. El número 0 indica que no hay restricción mientras que el número 1 indica queexiste restricción, o sea el nudo esta impedido de moverse en esa dirección.Por ejemplo 2,0,1,0 indica que el nodo 2 no tiene restricciones según x, que según y esta impedidode moverse y que puede girar libremente. Sería un vínculo de este tipo:
Si en cambio estuviera empotrado entonces las restricciones del nodo debieran ser expresadasasi: 2,1,1,1 2
O) RESPONSABILIDADLos resultados obtenidos siempre deben ser verificados y analizados. La computadora realiza uncálculo según nuestras indicaciones y no tendrá ni ella ni el programa, ninguna responsabilidadsobre el proyecto estructural realizado. Del mismo modo que el uso de las calculadoras de manotampoco garantiza la corrección del proyecto. La computadora es una herramienta más poderosapara el cálculo y esta puede ser su ventaja. Pero debe quedar claro que es solo una herramienta.Pero el diseño estructural será por un largo tiempo responsabilidad exclusiva del técnico. Estedebe conocer si las hipótesis son adecuadas, saber sus limitaciones, ver si las cargas son correctas,debe verificar críticamente resultados, etc.En el diseño de una estructura no hay solo cálculos mecánicos, hay un conjunto de conceptos yhay también aspectos de creación que solo puede realizar un técnico. Esto vale para cualquiermétodo de cálculo.Visto de un ángulo diferente puede decirse que frente al colapso de una estructura por problemasde cálculo habrá una responsabilidad moral y ética del técnico, pero también esta responsabilidadpuede llegar al terreno legal y hasta penal.Volviendo a verlo del ángulo positivo puede decirse que durante muchos años seguirá siendonecesario el técnico para el diseño estructural, difícilmente llegue a ser posible que un buenoperador PC pueda sustituirnos.Por lo menos por algunas décadas esto parece casi imposible.
I II 5 6 9 10
4 7 7 8
3 8 5 6
2 9 3 4
1 10 1 2
2
42
EN RELACION CON LA ENTRADA DE DATOS
* Nombre del problema.* Cantidad de nodos.* Cantidad de elementos.
COORDENADAS DE LOS NODOS* Número del nodo, coordenada x, coordenada y. (Poner en orden los nodos desde el número
1 hasta el último, un renglón para cada uno)CONECTIVIDADES* Número del elemento, número del nodo inicial, número del nodo final. (Poner en orden los
elementos desde el número 1 hasta el último, un renglón para cada uno).
RESTRICCIONES* Cantidad de nodos con restricciones.* Número del nodo, restricción según x, restricción según y, restricción al giro. (0 significa sin
restricción, 1 con restricción, colocar un renglón por cada nodo restringido).
PROPIEDADES DE LAS BARRAS* Cantidad de tipos diferentes de barras (en relación a sus propiedades geométricas, área e
inercia y a su módulo de elasticidad). Se deben utilizar las mismas unidades en que seespecificaron las cotas.
* Area, inercia, módulo de elasticidad. (Propiedades del primer tipo de barras).* Cantidad de barras con estas propiedades.* Indicar uno a uno los números de las barras que tienen estas propiedades.(Si hay más de un tipo de barra, se repiten los tres últimos renglones tantas veces como seanecesario, hasta terminar)
CARGAS EN LOS NODOS (se indican en coordenadas globales).* Cantidad de nodos cargados. (si no hay ninguno, ingresar 0).* Nodo, fuerza según x, fuerza según y, momento. (Un renglón para cada nodo cargado).
CARGAS DISTRIBUIDAS EN LOS ELEMENTOS (Se indican en coordenadas locales)* Cantidad de cargas distribuídas (si no hay ninguna ingresar 0)* Número del elemento, valor de la carga distribuida, distancia desde el nodo inicial al principio
de la carga, distancia desde el nodo inicial al final de la carga. (un renglón para cada carga).
CARGAS CONCENTRADAS EN LOS ELEMENTOS (Se indican en coordenadas locales).* Cantidad de cargas concentradas en los elementos (si no hay ninguna ingresar 0)* Número del elemento, valor de la fuerza, distancia desde el nodo inicial a la fuerza (un renglón
para cada carga a ingresar).
EN RELACIÓN CON LA SALIDA DE DATOS
* Repite todos los datos ingresados de la estructura.* Medio ancho de banda de la matriz.* Desplazamientos nodales (según orientación de los ejes de coordenadas globales).* Reacciones (según orientación de los ejes de coordenadas globales).* Fuerzas y momentos en los extremos de los elementos (para dibujar diagramas, según
convención indicada en el punto L de consideraciones sobre el programa).
43
EJEMPLO DE ARCHIVO DE DATOS
pórtico con ppropio (archivo de datos)431,0,02,450,6003,1350,04,1350,6001,1,22,3,43,2,421,1,1,13,1,1,13600,45000,20000011800,106667,20000012700,71458,2000001341,-270,-360,02,-270,-360,03,0,-600,04,0,-600,021,-0.9,0,7503,-5.35,0,90011,-135,450
unidades utilizadas para el ingreso de datos: cm daN
44
135daN
4,50 90 daN/m
120daN/m200daN/m
2 4
1 3
535 daN/m = (360+175) daN/m
I
150 daN/m III
II
ESQUEMA DE CARGAS
2 4
1 3
4,50 9,00
0,20x0,40
6,00
0,20x
0,35
III
II
I 7
,50
0,20x0.30
descomposición del peso propio
150 daN/m 120daN/m
90daN/m
45
ESQUEMA DE CARGAS TAL COMO SE INGRESAN AL PROGRAMA
CONSIDERACION DE LA COMPONENTE AXIL DEL PESO PROPIO.APLICACIÓN DEL ARTIFICIO EXPUESTO, PARA LOS ELEMENTOS I Y II.
l = 7,
50
Situación a Situación bSe resuelve Se ingresamanualmente al programa
daNlp 4502
50,71202´
=×
= daNlp 4502´
=
daNlp 4502
50,71202´
=×
= daNlp 4502´
=
mdaNp /´ = mdaNp /´ + mdaN /120 mdaN /120
46
2 4
1 3
III
II
( )2
6200600 ×=daN
cmdaN /35,5
daN135
daN360
daN270
cmdaN /90,0
daN270
daN360
( )2
6200600 ×=daN
( )2
50,7120450 ×=daN
daN360
daN270
FACULTAD DE ARQUITECTURACurso de Estabilidad II 1999
Ejercicios de Pórticos
pórtico con ppropio
Las unidades de longitud son: cm
Las unidades de fuerza son: daN
Número de nodos 4Número de elementos 3
Nodo Coordenada x Coordenada y
1 .00 .00 2 450.00 600.0 3 1350.00 .00 4 1350.00 600.00
Elemento Nodo inicial Nodo final
1 1 2 2 3 4 3 2 4
Nodo Apoyo en x Apoyo en y Apoyo en r
1 1. 1. 1.3 1. 1. 1.
Clave para los tipos de apoyo de los nodos: 1 = apoyo, 0 = libre
Elemento Area Inercia Módulo
1 .60000E+03 .45000E+05 .20000E+062 .80000E+03 .10667E+06 .20000E+063 .70000E+03 .71458E+05 .20000E+06
Fuerzas aplicadas en los nodos
Nodo Carga x Carga y Momento
1. -270.000 -360.000 .000 2. -270.000 -360.000 .000 3. .000 -600.000 .000 4. .000 -600.000 .000
47
Fuerzas en los elementos:Carga distribuída
Elemento Carga dist. Principio de la carga Fin de la carga
1. -.900 .000 750.000 3. -5.350 .000 900.000
Fuerzas en los elementos: Carga concentrada
Elemento Carga concentrada Distancia desde el principio
1. -135.000 450.000
MEDIO ANCHO DE BANDA = 9
DESPLAZAMIENTOS, REACCIONES Y FUERZAS EN LOS ELEMENTOS
Desplazamientos nodales:
Nodo Desp. x Desp. y Rotación z 1 .000000 .000000 .000000 2 1.370369 -1.051209 -.003362 3 .000000 .000000 .000000 4 1.358965 -.013346 .000460
Reacciones:
Elemento Nodo F. Axial (x) F. Cort. (y) Momento(z)
1 1 -2999.3410 504.4256 -137023.6000 1 2 -2999.3410 -305.5743 -52329.3500 2 3 -3558.8700 1774.0620 -515875.3000 2 4 -3558.8700 1774.0620 548561.7000 3 2 -1774.0470 1856.1310 -52329.3800 3 4 -1774.0470 -2958.8690 -548561.8000
*****FIN DEL PROGRAMA*****
Fuerzas y momentos en los extremos de los elementos:
Nodo Fuerza x Fuerza y Momento z 1 1666.058 3062.124 137023.600 3 -1774.062 4158.870 515875.300
48
DIA
GR
AM
AS
DE
SOLI
CIT
AC
ION
ES
49
V daN
504
1370
0.90 daN/cm
135 daN
1
2
9936
450
305 52
3
13C
450
2999
T
+
M daNm
2549
3449
C = C
2999
N daN
Situación a Situación b1313702
50.4)99504(0 =−
+=M
Observ
.
I
50
1774
3
5159
=
4159
C
+CT
3559
600
C
V daN
1774
4M
daNm
5486
N daN
3559
600
2959
Situación a Situación b
Observ.II
51
mx 47.30 =
5486
1774
523
1774
M daNm
N daN C
2697
2959
1856
2
V daN
5.35 daN/cm4
I Observ.
26975232
47.318560 =−
×=M
mx 47,30 =
VERIFICACION DE LOS RESULTADOS
APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DEL EQUILIBRIO PARA ESTRUCTURASESQUEMATIZABLES EN EL PLANO.
1. ΣFVERT.=0
-535x9-150x7,5-200x6-135.cos53º+3062,124+4159,87=0,006=0
2. ΣFHORIZ=0
135.sen53º+1666,058-1774,062=0,004=0
3. ΣM1=0 (Toma de momento con respecto al nodo 1)
-150x7,50x2,25-535x9,00x9,00-200x6x13,50-135x4,50+4158,87x13,50+5158,753+1370,236=0,016=0
REACCIONES
535 daN/m
200 daN/m
1370 daNm
150 daN/m
1
2 4
3
135 daN
1666 daN
3062 daN
1774 daN
5159 daN
5159 daNm
º53cos135׺53=α
º53135 sen×
α
52
DEFORMADA
53
2
1 3
42xδ
2yδ
4xδ
4yδ
2θ
2θ
4θ
4θ..ip ..ip..ip
..ip = punto inflexión
