repaso matricial

Econometría I8. Repaso Matricial

Rafael Sánchez F.

Septiembre 2015

Rafael Sánchez F. (UAI) Econometría I Septiembre 2015 1 / 27

8.1. Introducción

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos aij dondei representa la fila donde se encuentra el elemento y j representa lacolumna en que se encuentra.

El orden de una matriz es la cantidad de filas y columnas que tiene.

Por ejemplo: A =(1 3 42 1 −3

)se dira que es de orden 2x3.

Para denotar matrices se utilizan las letras mayusculas y para loselementos las minusculas.

Se describiran de la siguiente manera: La matriz Amxn indica que lamatriz A tiene m filas y n columnas. Si m = n se llamara matrizcuadrada. Asimismo, el elemento a21 = 2, es decir aFila,Columna.


8.1. Introducción (cont.)

Vectores es un arreglo lineal de elementos aij .Estos pueden servectores fila o vectores columnas.

Vector fila: es una matriz de 1xn : [a11 a12.....a1n ]

Vector columna: es una matriz de mx1 :

a11a21..am1


8.2. Operacion con Matrices

Igualdad: A = B, si aij = bijTransposicion: la traspuesta de la matriz Amxn es una matrizA′nxm que tiene por filas a las columnas de A.

Propiedades:

(A′)′ = A(A+ B)′ = A′ + B ′

(AB)′ = B ′A′

(αA)′ = αA′,si α es un escalar y A una matriz.Si A = A′ entonces se dice que A es simetrica.Si matriz A es nxk,entonces A′A será simétrica y cuadrada de ordenkxk.


8.2. Operacion con Matrices

Ejemplo de matrices traspuestas:

Sea la matriz A =(1 23 4

).Calcule su traspuesta

Respuesta: A′ =(1 32 4

)


8.2. Operacion con Matrices (cont.)

Suma y resta

Sea Amxn y Bmxn ,entonces Cmxn = A+ B es tal que cij = aij+bijSea Amxn y Bmxn ,entonces Cmxn = A− B es tal que cij = aij−bij

Propiedades:

A+ B + C = A+ (B + C ) = (A+ B) + C

A+ B = B + A



Ejemplo de suma y resta de matrices: Encuentre C, donde C=A+B.

Ademas usted sabe que: A =(1 23 4

)y B =

(5 67 8

)Respuesta: C =

(1+ 5 2+ 63+ 7 4+ 8

)=

(6 810 12

)



Multiplicacion

Producto de una matriz por un escalar: Sea Amxn una matriz y α unaconstante, entonces Bmxn = αA, es tal que bij = αaijProducto de una matriz por otra matriz: Sea Amxn y Bpxq , elproducto AB solo se puede calcular si n = p (matrices conformables).Cmxq = AB

es tal que cij se obtiene multiplicando elemento por elemento de la filai-esima de A por la columna j-esima de B y sumando estos productos. Esdecir:

cij =n∑s=1aisbsj



Ejemplo de multiplicacion de matrices: Encuentre C, donde C=AB.

Ademas usted sabe que: A =(2 −13 2

)y B =

(1 3 52 −1 1

)Respuesta:

C =(2 ∗ 1+ (−1) ∗ 2 2 ∗ 3+ (−1) ∗ (−1) 2 ∗ 5+ (−1) ∗ 13 ∗ 1+ 2 ∗ 2 3 ∗ 3+ 2 ∗ (−1) 3 ∗ 5+ 2 ∗ 1

)=(

0 7 97 7 17

)



Propiedades:

AB 6= BALa unica matriz que se puede multiplicar por si misma es la matrizcuadrada. ¿porque?Si AA = A se dice que A es idempotente.

Si Amx1,entonces A′A es un escalar igual am∑s=1a2i mientras que el

AA′ sera una matriz cuadrada y simetrica de orden mxm.A(BC ) = ABC = (AB)CA(B + C ) = AB + AC



Traza: la traza de una matriz cuadrada es igual a la suma de loselementos de la diagonal principal.

Propiedades:

Tr(A+ B) = Tr(A) + Tr(B)Tr(ABC ) = Tr(CAB) = Tr(BCA)

Matriz Diagonal: Matriz que sólo tiene elementos en su diagonal.

Ejemplo:Ejemplo: Amxn =

a11 . . . 0. a22 . . .. . . . .. . . . .0 . . . amn



Matriz Identidad: se denota como In a la matriz cuadrada de ordenn que tiene elementos 1 en la diagonal y 0 en el resto. Ej:

I2 =(1 00 1

)Propiedades: Sea Amxn, luego ImA = AIn = A

Matriz Nula: es la matriz con 0 en todos sus elementos: Ejemplo:

Amxn =

0 0 . . 00 0 . . 0. . . . .. . . . .0 0 . . 0



Diferenciacion Matricial: Si anx1 =

a11a21..an1

, xnx1 =

x11x21..xn1

y

Anx1 =

a11 . . . a1na21 a22 .. . .. . .an1 . . . ann

Entonces:

∂(a′x)x

= a;∂(x ′Ax)x

= 2Ax ;∂(2Ax)x

= 2A



Demostremos el primer caso (los otros dos quedan como TAREA):

a′x = anx1 =(a1 . . . . an

)x1x2..xn

= a1x1 + a2x2 + ....+ anxn

Derivando respecto a cada uno de los elementos de x :

∂(a′x )x1

= a1∂(a′x )x2

= a2...∂(a′x )xn

= anRafael Sánchez F. (UAI) Econometría I Septiembre 2015 14 / 27


Reuniendo en un vector las derivadas del escalar (a′x) con respecto acada elemento de x , tendriamos:

∂(a′x)x

=

a1a2...an

= a



Determinante de una matriz: el determinante es una funcion queasocia un numero real a una matriz cuadrada. Generalmente serealiza a traves del procedimiento de Laplace:

1 Elija cualquier fila o columna de una matriz y para cada uno de loselementos calcule el cofactor. El cofactor de un elemento aij seracij = (−1)i+jMij .

2 Mij (matriz menor) es el determinante de la matriz que surge deeliminar la fila i y la columna j de la matriz original.

3 Multiplique cada elemento aij de esa fila o columna por su cofactor cij .

4 Determinante de A = |A| =n∑j=1aijcij ∀i



Ejemplo 1: A =(a11 a12a21 a22

)entonces: elegimos la primera columna |A| =

n∑j=1aijcij = a11c11 + a21c21

calculamos los cofactores:c11 = (−1)1+1M11 = (−1)2a22 = a22c21 = (−1)2+1M21 = (−1)3a12 = −a12por lo tanto: |A| =

n∑j=1aijcij = a11c11 + a21c21 = a11a22 − a21a12



Ejemplo 2: A =

2 −1 33 0 −52 1 1

entonces: elegimos la primera columna

|A| =n∑j=1aijcij = a11c11 + a21c21 + a31c31 = 2c11 + 3c21 + 2c31

calculamos los cofactores:

c11 = (−1)1+1M11 = (−1)2∣∣∣∣0 −51 1

∣∣∣∣ = 1 ∗ (0− (−5)) = 5



c21 = (−1)2+1M21 = (−1)3∣∣∣∣−1 31 1

∣∣∣∣ = (−1)(−1− 3) = 4c31 = (−1)3+1M31 = (−1)4

∣∣∣∣−1 30 −5

∣∣∣∣ = (1)(5− 0) = 5por lo tanto: |A| =

n∑j=1aijcij = a11c11 + a21c21 + a31c31 =

2c11 + 3c21 + 2c31 = 2 ∗ 5+ 3 ∗ 4+ 2 ∗ 5 = 32



Propiedades:

|A| = |A′|Intercambiar dos filas (o columnas) cambia el signo del determinanteSi una fila de un determinante se multiplica por k, el determinantequeda multiplicado por k.Si una fila (o columna) es combinacion lineal de otra fila (o columna)el determinante de la matriz es cero. Una matriz con determinantecero se denomina matriz singular.



Matriz Inversa: dada la matriz cuadrada An, A−1n es su matriz inversasi: AnA−1n = In

Procedimiento de cálculo: A−1n = (Ac )′

|A| =Matriz de cofactores transpuesta

Determinante de A

La matriz de cofactores se forma de sustituir cada elemento de lamatriz por su correspondiente cofactor cij . Dondecij = (−1)i+jMij , siendo Mij (menor) el determinante de la submatrizque se forma cuando a la matriz A se le elimina la fila i y la columnaj .



Ejemplo: sea A =

1 0 00 0 10 1 0

calcule su inversa. Para responder se debe encontrar: A−1n = (Ac )′

|A| por lotanto si tomamos la primera columna, nos quedaria:|A| = 1c11 + 0c21 + 0c31 = c11 y

c11 = (−1)1+1(0 11 0

)= (−1)2(−1) = −1

entonces: |A| = 1c11 + 0c21 + 0c31 = c11 = −1



(Ac )′

|A| =

(−1)2(0 11 0

)(−1)3

(0 10 0

)(−1)4

(0 00 1

)(−1)3

(0 01 0

)(−1)4

(1 00 0

)(−1)5

(1 00 1

)(−1)4

(0 00 1

)(−1)5

(1 00 1

)(1−)6

(1 00 0

)

−1 =

(1)(−1) (−1)(0) (1)(0)(−1)(0) (1)(0) (−1)(1)(1)(0) (−1)(1) (1)(0)

−1



(Ac )′

|A| =

−1 0 00 0 −10 −1 0

−1 =

1 0 00 0 10 1 0

Propiedades:

¿Siempre existe A−1?. No, la matriz A debe ser cuadrada y no singular.(A−1)−1 = ALa inversa (si es que existe), es única.(AB)−1 = B−1A−1

(A′)−1 = (A−1)′



Rango de una matriz: una matriz Amxn puede interpretarse como unacolección de m vectores fila de dimensión n, o como una colección den vectores columna de dimensión m.

Entonces, podemos hablar de filas linealmente independientes (LI) olinealmente dependientes (LD). Se denomina rango de una matriz almáximo número de columnas (o filas) LI.

Propiedades:

El número máximo de filas LI es igual al número máximo de columnasLI.Rango (Amxn)=min(m,n)Rango A = Rango A′

Si rango Amxn = m = n,entonces A es no singular y su inversa existe yes única.


8.3. Formas Cuadraticas y Matrices definidas posiitivas

La forma cuadrática de la matriz A (n x n simétrica) definida paratodos los vectores (columna) xnx1: f (x) = x ′︸︷︷︸

1xn

A︸︷︷︸nxn

x︸︷︷︸nx1

=Definida

positiva: matriz A es d.p. si x ′Ax > 0 ∀ todos los vectores xnx1 6= 0.

Semidefinida positiva: matriz A es s.d.p. si x ′Ax ≥ 0 ∀ todos losvectores xnx1 6= 0.

Propiedades:

Los elementos diagonales de una matriz d.p. son > 0.Si A es d.p., A−1 existe y es d.p.


8.3. Formas Cuadraticas y Matrices definidas posiitivas

Matriz Idempotente: la matriz A (nxn simétrica) es idempotente siAA = A.

Propiedades:

Rango(A) = traza(A).A es s.d.p.


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