Apunte Sistema Biela -

8/19/2019 Apunte Sistema Biela -

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Área Departamental Aeronáutica

Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional de La Plata

Mecanismos y Elementos de Máquinas – Mecanismos y Sistemas de Aeronaves

Pablo L. Ringegni

Revisión 4La Plata 2015


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Motores Alternativos - Sistema Biela - Manivela 2014

Página N° 2

Índice

MECANISMOS Y ELEMENTOS DE MÁQUINAS – MECANISMOS Y SISTEMAS DEAERONAVES .............................................................................................................. 1

Índice 2

SISTEMA BIELA-MANIVELA 3

Desplazamiento lineal (x) del pistón en función del ángulo............................................................................. 3 Velocidad del pistón. .................................................................................................. ........................................ 4 Aceleración del pistón. ....................................................................................................................................... 5

DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DE UN PUNTO CUALQUIERA DE BIELA. 8 Desplazamiento. ................................................................................................................................................. 8 Velocidad. ............................................................. ................................................................. ............................. 9 Aceleración. .......................................................... ................................................................. ............................. 9

CINEMÁTICA DE LA MANIVELA 10 Desplazamiento del punto C: .................................................................................................................... ........ 10

Velocidad del punto C: ............................................................................................... ...................................... 10 Aceleración del punto C: .................................................................................................................................. 10

MODELIZACIÓN DEL SISTEMA BIELA MANIVELA 11 Modelización del pistón:................................................................................................................................... 11 Modelización de la manivela: ................................................................ ........................................................... 12 Modelización de la biela: ............................................................ .............................................................. ........ 12

Modelo dinámicamente equivalente 13

Modelo práctico o aproximado 14

ESTUDIO DE FUERZAS EN EL SISTEMA BIELA – MANIVELA. DIMENSIONADO PRELIMINARDE SUS COMPONENTES 16

Componente Perno de Pistón ................................................................ ............................................................ 17 Componente Biela ............................................................................................................................................ 17 Componente Muñón de manivela .......................................................... ........................................................... 18 Componente manivela ...................................................................................................................... ................ 19 Análisis de reacciones en los vínculos ............................................................. ................................................. 21 Análisis en las paredes del pistón .......................................................... ........................................................... 22 Diagrama del par motor ......................................................................................................... ........................... 23

Bibliografía 24


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SISTEMA BIELA-MANIVELA

El movimiento alternativo del pistón es transformado en movimiento rotatorio del cigüeñal por el sistema biela - manivela como se representa en la Figura 1.

Figura 1: Sistema Biela – Manivela

En este designamos con R el radio de la manivela, con L la longitud de la biela, con elángulo de rotación del cigüeñal a contar del Punto muerto superior (P.M.S)., y con el ánguloque forma el eje de la biela con el eje del cilindro (ángulo de oblicuidad).

Desplazamiento lineal (x) del pistón en función del ángulo

.

)cos1()cos1(coscos L R L R L R X (1)

Como

21cos sen (2)

De la figura 1 se obtiene:

DC sen L sen R sen L

R sen

Si ponemos: R

L


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Se tiene:

sen sen 1

Reemplazando en (2) tenemos:

xaeequivalent Función sen sen 1:1

11cos 2

2

2

Desarrollando en serie y tomando los dos primeros términos tenemos:

21...

42211

2 x x x

x

Entonces tenemos que:

2

2

2

2

24

2cos11

2

111

11cos

sen x sen

Reemplazando en (1) tenemos:

)2cos1(4

1)cos1(

)2cos1(4

)cos1(2

R X

L R X

Velocidad del pistón.

La velocidad del pistón está dada por:

d

dx

dt

d

d

dx

dt

dx X

22

1 sen sen R X

Donde:60

2 n

rad/seg

La velocidad máxima del pistón se obtiene cuando:

0

dt

X d o bien 0

dt

d

d

X d

0)2cos1

(cos2

Rdt

X d

O sea, cuando:

0)2cos1

(cos

Y tomando:1cos22cos 2


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Tenemos:

0)1cos2(1

cos 2

21

44cos

2

max

U

En la práctica, la velocidad máxima del pistón se obtiene con suficiente aproximación cuandola biela y la manivela son perpendiculares entre sí. Se obtiene entonces de la Figura 1 que:

11max

tg R

Ltg U

Quedando para este caso práctico la velocidad máxima:

11 2

2

1tg sentg sen R X

Aceleración del pistón.

La aceleración del pistón la podemos obtener considerando:

)2cos1

(cos2

R X

d

X d

dt

d

d

X d

dt

X d X

La aceleración máxima se obtiene tomando d/dt = 0, o sea:

0)22

(3

sen sen Rdt

d

Como: cos22 sen sen

Tendremos: 0)cos4

1(3

sen R

dt

d

O sea, cuando: 0)cos4

1(

sen

Se cumple esto cuando:sen = 0 o bien

cos = - /4


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La primera solución (sen = 0) corresponde a = 0 o =

Es decir en los puntos muertos superior e inferior.El valor de la aceleración para estos ángulos será:

)1

1(201

R (máxima) PMS

)1

1(22

R (mínima) PMI

La segunda solución (cos = - /4) corresponde a una aceleración cuyo valor es elsiguiente:

1

8

116

2

4

)1cos2

(cos)2cos1

(cos

2

2

2

222

3

R R

R R

1

8

2

3 R es un mínimo.

Consideremos los dos mínimos existentes:

)1

1(22

R

1

8

2

3 R

* Si = 4 tenemos que 2 = 3 existe un solo mínimo.

* Cuando 4 el valor mínimo corresponde a:

1

8

2 R

y se alcanza dos veces, una antes del P.M.I. y otra después del P.M.I. (ver Figura 2).

* Cuando 4 no es posible que exista la solución cos = - /4, por lo tanto el valor mínimode la aceleración corresponde al P.M.I. y tiene un valor igual a:

)1

1(2

R


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Figura 2 - Aceleración del pistón

Figura 3 - Aceleración del pistón


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DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DE UN PUNTOCUALQUIERA DE BIELA.

Desplazamiento.

El desplazamiento respecto de o, de un punto cualquiera (E) de la biela (Figura 4) será igual aldesplazamiento del punto B respecto de O, más la longitud h, menos el desplazamientorelativo del punto E respecto al B )(

EB X , de este modo se obtiene:

Figura 4

B E BO E X X h X

Siendo: )cos.( hh X B E

coscos0

h X hh X h X B B E

:0 E

X es el desplazamiento relativo de E con respecto a O y lo llamaremos XE

Luego: cosh X X

B E

y la componente en el eje Y es hsenY Y

B E

Pero YB =0, luego


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hsenY E

Sustituyendo sen y cos de la igualdad:

2

22

2

2

2

2

2

4

2cos11cos

4

2cos1

2

...2

11cos

1

sen

sen sen

sen sen

Tenemos que:

sen L

h RY

h

L

h R X

E

E

)2cos1(1

4

1)cos1(

E = punto considerado de la biela si el pistón estuviera en PMS;E’= punto E si la biela tuviera solamente movimiento hacia abajo (se cumple OE=BE’); E’’= punto actual biela después del desplazamiento del pistón en su valor X y rotación de la

biela.

Velocidad.

Las dos componentes de la velocidad

X E E Y

del punto E serán:

11 2

2

cos

E E E

E E E

dX dX d h X R sen sen

dt d dt L

dY dY d hY R

dt d dt L

Aceleración.

Las dos componentes Ex y E

y de la aceleración serán:

2

2

1cos 1 cos 2

E E x

E

E E y

E

d X d X d h R

dt d dt L

d Y d Y d h R sen

dt d dt L


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CINEMÁTICA DE LA MANIVELA

El desplazamiento, velocidad, y aceleración del punto C de la manivela (Figura 5), se puedevisualizar en las siguientes ecuaciones:

Figura 5

Desplazamiento del punto C:

cos. R X C

sen RY C

.

Velocidad del punto C:

sen R X C

..

cos.. RY C

Aceleración del punto C:

cos.². R X C

sen RY C .².


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MODEL IZACIÓN DEL SISTEMA BIELA MANIVELA

Para efectuar un análisis de fuerzas dinámicas completo de cualquier mecanismo se necesitanconocer las propiedades másicas (masa, centro de gravedad, momento de inercia) de loseslabones móviles.

La manivela se encuentra en rotación pura y el pistón en traslación pura (figura 6). La biela

se encuentra con un movimiento complejo (rotación más traslación) y para efectuar unanálisis dinámico exacto se necesitaría determinar la aceleración lineal de su CG para todaslas posiciones, lo cual implicaría evaluar todas las secciones de la biela punto a punto, desdeel muñón que articula con el pistón, hasta el muñón que articula con la manivela. Por estemotivo, se presenta la necesidad de obtener un modelo de la biela que permita simplificar elanálisis dinámico por lo que a continuación se presentará dicho análisis. La misma necesidadse plantea para el pistón y la manivela.Se parte del análisis del sistema biela-manivela completo, analizando componente porcomponente: pistón, manivela y biela.Cabe destacar que se estudiará el caso en que el sistema biela manivela es un mecanismo quetiene un movimiento de entrada rotacional en la manivela con velocidad angular constante ygenera un movimiento de salida rectilíneo alternativo del pistón

Modelización del pistón:Inicialmente se comienza por el pistón, considerando una masa puntual (MP) equivalente oigual a la masa del pistón completo, incluyendo los aros del mismo.Vale recordar que el pistón tiene únicamente movimiento rectilíneo alternativo.La biela y la manivela son reemplazadas por unas barras rígidas articuladas, las cuales tienenla función de transmitir el movimiento. Para este análisis no se considera la masa de lasmismas.

“Se considera para el análisis una masa puntual concentrada en B, con el mismo valor de la masa del pistón”. Figura 7

Punto B – Masa puntual equivalente ala masa del pistón (MP)

Punto C – Articulación biela/manivela

Punto O – Articulación demanivela


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Modelización de la manivela:La manivela presenta únicamente movimiento de rotación.Para el análisis de la manivela se considerará toda la masa de la manivela concentrada en el

punto C (llamando Mm a la masa de la manivela),

“Se considera para el análisis una masa puntual concentrada en C, con el mismo valor de la masa de lamanivela”.

Figura 8

Modelización de la biela:La idea básica es generar un modelo de la biela con masas distribuidas de tal forma que

permita simplificar el análisis representando la dinámica de la biela real de la forma másaproximada posible. Se intentará crear un modelo de dos (2) masas puntuales concentradas,una en el muñón de manivela (punto C) y otra en el perno del pistón (punto B) de tal maneraque la masa concentrada en la manivela estaría en rotación pura como parte de la manivela, yla masa concentrada en el perno del pistón estaría en traslación pura como parte del pistón.

Estas masas puntuales concentradas no tienen dimensión y se supone que se conectan con una barra sin masa pero rígida.

Figura 6A continuación se detallará el estudio referente a como se modeliza la biela con masa

distribuida.

Mm


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Modelo dinám icamente equiv alente

En la siguiente figura (figura 9), se muestra una biela común con masa distribuida quellamaremos original. En la figura b) se muestra un modelo genérico de la biela compuesto pordos (2) masas. Una masa

t m se localiza a una distancia

t l del CG de la barra original y la

segunda masa p

m a una distancia pl del CG. La masa de la biela original es b M y su

momento de inercia con respecto a su CG es3G

I .

Los requerimientos para la equivalencia dinámica son los siguientes:

1- La masa del modelo debe ser igual a la del cuerpo rígido original (biela).2- El centro de gravedad del modelo debe de estar en la misma localización que el del

cuerpo rígido original (biela).3- El momento de inercia del modelo debe ser igual que el del cuerpo rígido original

(biela).

Figura 9

Al expresar matemáticamente estos tres (3) requisitos para la equivalencia dinámica entérminos de variables se obtiene:

bt p M mm 1)


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t t p p l ml m .. 2)

3².². Gt t p p I l ml m 3)

Existen cuatro (4) incógnitas con tres (3) ecuaciones, pm , pl , t

m, t

l , por lo que se debe de

elegir un valor para cualquier variable a fin de resolver el sistema. Se elegirá la distanciat

l

que será igual a la distancia del CG al perno del pistón,b

l , como se ve en c). Esto colocará

una masa en una localización deseada, que es el perno del pistón y que está animado detraslación. Al resolver las ecuaciones anteriores 1) y 2) se obtiene el valor de las masassupuestas:

b p

bb p

l l

l M m

. 4)

b p

p

bbl l

l M m

. 5)

Y sustituyendo estas expresiones de p

m yb

m en 3), se tiene una relación entre pl y

bl (ecuación 6), que es la que tiene que cumplir el modelo que se intenta construir para que el

mismo se comporte dinámicamente igual a la biela original:

bb

G p

b pbG p

b p

p

b p

b p

bb

l M

I l

l l M I l l l

l M l

l l

l M

.

..²..²..

3

3

6)

Esta expresión 6) obtenida, representa en un cuerpo rígido, la relación entre la distancia delcentro de percusión al CG ( pl ) y la ubicación del centro de rotación percusiva ( bl ) (respecto

del CG) correspondiente. Es decir que la distancia pl es la localización del centro de percusión

correspondiente a un centro de rotación enbl , así que la segunda masa

pm debe de colocarse

en el centro de percusión P del eslabón para obtener una equivalencia dinámica exacta junto

con las masas determinadas en 4) y 5).

Modelo práctic o o apr ox imado

La configuración de la biela original es grande en el muñón de manivela y pequeña en elextremo del perno del pistón. Esto coloca el CG cerca del extremo grande. El centro de

percusión P estará aún más cerca del extremo grande de lo que estaría el CG. Por esta razón se puede colocar la segunda masa concentrada, que pertenece a P, en la manivela con un errorrelativamente pequeño respecto al modelo dinámico. Este nuevo modelo práctico oaproximado es adecuado para los cálculos de diseño preliminares.


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Al sustituir la distanciaa

l por pl y llamando a las masas concentradas a esas distancias MC y

MB, se vuelven a escribir las ecuaciones como:

a p l l

ba

bb

l l l M MC

.

ba

ab

l l

l M MB

.

Estas ecuaciones determinan la cantidad de la masa total de la biela que se debe de colocar encada extremo para modelar dinámicamente dicho eslabón en forma práctica o aproximada.

“Se considera para el análisis una masa puntual concentrada en B y otra en C, sumando ambas el valor de la

masa de la biela original”.

Figura 10

El momento de inercia para el modelo práctico o aproximado queda:

bab l l M I ..

2

Por lo tanto, aparece entre ambos modelos una diferencia de cuplas ( C C ) de valor:

senl l l M I I C pabbCGC .

²

)..(.).( 2

Punto B – Masa puntual equivalente a lamasa de la biela concentrada en B (MB).

Punto C – Masa puntual de la biela concentrada en C (MC)


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ESTUDIO DE FUERZAS EN EL SISTEMA B IELA –MANIVELA.DIMENSIONADO PREL IMINAR DE SUS COMPONENTES

De acuerdo a lo visto anteriormente, el modelo práctico del sistema biela manivela queda:

Figura 11donde:MP: masa del pistónMB: masa de la biela concentrada en el punto B.MC: masa de la biela concentrada en el punto C.

:mc

M

masa de la manivela concentrada en C.

A continuación se realizará el dimensionado de los componentes del sistema:


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Componente Perno de Pistón

Figura 12

cos.

X MP Fpp

con

)2cos

1

(cos

2

R X

quedando

A

Fppadm pp

2

donde::

PP F Fuerza en el perno del pistón en dirección de la biela

: X Aceleración en el punto B del pistón:

r F Fuerza de acción sobre la pared del pistón:ip F Fuerza de inercia en el pistón

: A Área del perno del pistón

Componente Biela

Si se corta la biela transversalmente como muestra la siguiente figura (Figura 13), se puedeevaluar la fuerza que se transmite por la misma.


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Figura 13

:b

F Fuerza que se transmite por la biela

:b

A Área de la biela

: MB MP Masa del pistón más la masa de la biela en B:

adm Tensión normal admisible del material de la biela

Componente Muñón de manivela

Figura 14

:mm

F Fuerza en el muñón de manivela (se resuelve por el teorema del coseno)

:mc

F Fuerza de la masa de la biela en C, rotando alrededor de O.

:b

F Fuerza que se transmite por la biela hacia el muñón de la manivela

o también se puede esquematizar como:


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Figura 15

donde::

admmm tensión normal admisible del material del muñón de la manivela.

:r

b F Componente radial de F b en la dirección radial de la manivela.

:t

b F Componente tangencial de F b en la dirección perpendicular de la manivela.

:mm

A Área del muñón de manivela.

)(. sen F F b

t

b

)cos(. b

r

b F F

Componente manivelaLas masas de la manivela son puramente rotantes, por lo tanto las fuerzas que generan sonfuerzas centrifugas y su dirección es radial.Si designamos con Mm a la masa de la manivela y con R el radio de rotación de su centro degravedad, se tiene:

2 R M F

m MC


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Figura 16

donde::

MC F Fuerza de la masa de la manivela en C, rotando alrededor de O.

En la manivela se presentan esfuerzos de tracción/compresión, de corte y de flexión quegeneran las siguientes tensiones:

- mr

bmc MC A F F F compresióntracción /)(/

con

2 R MC F

mc

- J rm R F t b flexión /)..(

- m

t

b A F corte /)(

donde:

m A : Área de la manivela

rm: radio de la manivela J : momento de inercia de la manivela

Para el dimensionado deberá usarse alguna hipótesis de rotura


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Análisis de reacciones en los vínculos

Figura 17

-Análisis en el vínculo “o”:

R F M t

bt .

)(. sen F F b

t

b

)(.. sen R F M bt

cos.. FT sen FR RY

sen FT FR R X .cos.

)( r

bmc MC F F F FR

donde:

:t

M Momento producido por la fuerza t b

F

: X

R Esfuerzo en el vínculo en dirección X

:Y

R Esfuerzo en el vínculo en dirección Y: FR Resultante de las fuerzas radiales en la articulación definir las formula

: FT Fuerza en la articulación debido a esfuerzos tangenciales, únicamente dada por t b

F .


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Análisis en las paredes del pistón

Figura 18

sen F F PP r

.

cos.. sen

X MP F r

tg X MP F r ..

donde::

r F Fuerza de roce en las paredes del pistón

: MP Masa del pistón:

PP F Fuerza que transmite la biela al perno del pistón

La componenter

F es tanto mayor cuanto mayor es el ángulo y es evidentemente la razón

de la pérdida de potencia causada por el rozamiento entre el pistón y la pared del cilindro.


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Diagrama del par motor

La componente F b es transmitida por la biela al codo del cigüeñal y por lo tanto al cigüeñal. F b actúa con respecto al eje de rotación con un brazo d = r sen ( + ), de modo que origina el

momento motor Mt de intensidad:

d F M bt

.

)( senr F M bt

Figura 19

cos

cos)(cos

sen senr F senr

F M ip

ip

t

Recordando que

sen1

sen , y que

22

11cos sen , se tiene:

22

11

cos

sen

sen senr F M ipt


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Pá i N° 24

y, despreciando el término

2

2

1 sen , se tiene en definitiva:

2

21 sen senr F M ipt

La misma expresión del momento motor puede obtenerse descomponiendo la fuerza F b en unacomponente radial Fr b y una tangencial F

t b.

La primera, Fr b, evidentemente no contribuye al momento motriz, mientras la segunda, Ft b,

actúa con un brazo r constante. El momento motriz vale:

r F M

t

bt

De la figura se tiene inmediatamente:

)( sen F F b

t

b

Y por lo tanto:

)sen(r FM bt

De este modo se puede trazar en función de el diagrama del par motor Mt el cual se anula para = 0 y = .

B ib li og rafía

- Manuales del Ingeniero Técnico. Motores Térmicos. Motores de pistón y turbinas agas. Günther Schneider

- Motori Endotermici. Dante Giacosa- Diseño de Maquinaria. Robert L. Norton (Segunda Edición)

-

Apunte de Cátedra de Motores (Dpto. Aeronáutica). Algunas partes están transcriptasdel mismo.

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