Apoyo Complementario Al Curso

7/15/2019 Apoyo Complementario Al Curso

http://slidepdf.com/reader/full/apoyo-complementario-al-curso 1/43

APOYO COMPLEMENTARIO AL CURSO, EN NINGUN CASO SUBSTITUYE LO VISTO ENCLASE. SE RECOMIENDA USAR LA NOTACION USADA EN CLASE

LO QUE SE PRESENTA A CONTINUACION FUE TOMADO DEL SITIO

UNIDAD IV. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS. Entre las distribuciones discretas a tratar en este caso están:

1. Binomial 2. Multinomial 3. Hipergeométrica

4. Hipergeométrica generalizada 5. Poisson 6. Aproximación de Poisson a la Binomial 7. Geométrica 8. Binomial Negativa

1. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Las características de esta distribución son:a) a) En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de

resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, etc, etc., denominadosarbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).

b) b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir nocambian.

c) c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.d) d) El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

A partir de un ejemplo. Desarrollaremos una fórmula que nos permita cualquier problema quetenga este tipo de distribución.Ejemplo:Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad de que aparezcan 2 águilas. Solución:Antes de empezar a resolver este problema, lo primero que hay que hacer es identificarlo como unproblema que tiene una distribución binomial, y podemos decir que efectivamente así es, ya que setrata de un experimento en donde solo se pueden esperar dos tipos de resultados al lanzar lamoneda, águila o sello, cutas probabilidades de ocurrencia son constantes, cada uno de loslanzamientos es independiente de los demás y el número de ensayos o repeticiones del experimentoson constantes, n = 3.



Para dar solución a este problema, lo primero que hay que hacer es un diagrama de árbol, endonde representaremos los tres lanzamientos, de ahí se obtendrá el espacio muestral yposteriormente la probabilidad pedida, usando la fórmula correspondiente.

A = águila, S = sello1/2 A

1/2 A

1/2 SA

1/2 A1/2 1/2 S

S1/2 A

1/2 A1/2 1/2 S

S1/2 A

1/2 S

1/2 S

δ={AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA, SSS} Para obtener la fórmula, definiremos lo siguiente: n = número de lanzamientos de monedax = número de “éxitos” requeridos = número de águilas = 2p = probabilidad de “éxito”= p(aparezca águila) =1/2

q = probabilidad de “fracaso”= p(aparezca sello) =1/2 Entonces podemos partir de la siguiente expresión para desarrollar la fórmula;

P(aparezcan 2 águilas)=(No. De ramas del árbol en donde ap. 2 águilas)(probabilidad asociada a cadarama)



Entonces el número de ramas en donde aparecen dos águilas se puede obtener; Enumerando las ramas de interés, estas serían: AAS, ASA, SAA, ¿QUÉ TIPO DE ARREGLOS SONESTOS ELEMENTOS DEL ESPACIO MUESTRAL?, Son permutaciones en donde algunos objetosson iguales, entonces, el número de ramas se puede obtener con la fórmula correspondiente,

! x!... x! x

!nnP

k

xk ,... x , x

21

21=

donde n = x1+x2+...+xk

sustituyendo en esta fórmula, tenemos lo siguiente;

)! xn( ! x

!nnP xn , x

−=

−

esta fórmula puede ser sustituida por la de combinaciones, solo en el caso de dos tipos de objetos, sihay más de dos tipos de objetos, definitivamente solo se usa la fórmula original, como se observará enel caso de la distribución multinomial, pero ¿porqué vamos a cambiar de fórmula?, simplementeporque en todos los libros de texto que te encuentres vas a encontrar la fórmula de combinaciones enlugar de la de permutaciones, que es la siguiente,

)! xn( ! x

!nnCx

−=

y sustituyendo valores, nos damos cuenta de que efectivamente son 3 las ramas de interés, que son

donde aparecen dos águilas, donde n = 3, x = 2.

ramas!!

! x

!!!

!

)!( !

!C 3

12

23

12

3

232

323

===−

=

¿Y la probabilidad asociada a cada rama?Probabilidad asociada a cada rama = p(águila)*p(águila)*p(sello)= p*p*q = p2q=

=xn xq p −

Luego la fórmula de la distribución Binomial sería:

xn x

xnn q pC ) p , x ,n( p −

−=

donde:p( x, n, p) = probabilidad de obtener en n ensayos x éxitos, cuando la probabilidad de éxito es p



Dando solución al problema de ejemplo tenemos lo siguiente:n = 3, x = 2, p = ½

8

3

8

13

2

1

4

1

12

321212123

232

23=======

− ***

!!

! ) / ( ) / ( C ) / p , x ,n( p

Para calcular la media y la desviación estándar de un experimento que tenga una distribuciónBinomial usaremos las siguientes fórmulas:

Media o valor esperado.

nP = µ

Donde:n = número de ensayos o repeticiones del experimentoP = probabilidad de éxito o la probabilidad referente al evento del cual se desea calcular la media quese refiere la mediaQ = complemento de P

Desviación estándar.

nPQ=σ

Ejemplos:1. Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un

período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos delos accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuyaa errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos.

Solución:a) n = 5x = variable que nos define el número de accidentes debidos a errores humanosx = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores de tipo humanop = p(éxito) = p(un accidente se deba a errores humanos) = 0.75q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25

0878900156250562501025075075052252

25. ). )( . )( ( ).( ).( C ). p ,n , x( p ======

−

b) +==+=====−050

0525075010750510 ).( ).( C ) x( p ) x( p ). p ,n , , x( p



015624001464800009760250750151

15... ).( ).( C =+=

−

c) En este caso cambiaremos el valor de p;

n =5x = variable que nos define el número de accidentes que no se deben a errores de tipo

humanox = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores humanosp = p(probabilidad de que un accidente no se deba a errores humanos) = 0.25q = p(probabilidad de que un accidente se deba a errores humanos) = 1-p = 0.75

0878905625001562501075025025053353

35. ). )( . )( ( ).( ).( C ). p ,n , x( p ======

−

2. Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10atm de presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determinela probabilidad de que: a) el vapor se condense en 4 de los tubos, b) en más de 2 tubos secondense el vapor, c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos.

Solución:a) n =12x = variable que nos define el número de tubos en que el vapor se condensax = 0, 1, 2, 3,...,12 tubos en el que el vapor se condensap =p(se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm)= 0.40q = p(no se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm) = 1-p=0.60

====== − ). )( . )( ( ).( ).( C ). p ,n , x( p 0167960025604956004004001244124

412

= 0.21284

b) p(X=3, 4, ...,12, n=12, p=0.40) = p(x=3)+p(x=4)+…+p(x=12)= 1-[p(x=0,1,2)]=

2122

212

1121

112

0120

0126004006004006004001

−−−++−= ).( ).( C ).( ).( C ).( ).( C

[ ] ). )( . )( ( ). )( . )( ( . 0060470160660036270401200217601 ++−=

= 1-[0.002176+0.0174096+0.06385632]= 1- 0.08344192= 0.91656

c) ======− ). )( . )( ( ).( ).( C ). p ,n , x( p 02799360010240792604004001255125

512

= 0.22703



3. La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2 dB(decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine laprobabilidad de que; a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB, b) por

lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB, c)que entre 4 y 6 amplificadores nose excedan de los 2 dB, d)encuentre el número esperado de amplificadores que se exceden de unnivel de ruido de 2dB y su desviación estándar.

Solución:a)n =10x =variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruidoexcede de 2 dBx = 0, 1, 2,...,10 amplificadores en los que el nivel de ruido excede de los 2 dBp = P(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.15q = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB =1-p= 0.85

======−

). )( . )( ( ).( ).( C ). p ,n , x( p 443705300000759302528501501501055105

510

= 0.00849

b)p(x=2,3,...,10, n=10, p=0.15)= 1- p(x = 0,1) =

1101

110

0100

0108501508501501

−−

+−= ).( ).( C ).( ).( C

= 1 – [(0.19687+(10)(0.15)(0.231617)]=1-0.544296 = 0.455705

c) n=10

x= variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruido noexcede de 2 dB

x= 0, 1, 2,...,10 amplificadores que su nivel de ruido no excede de los 2 dB

p = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.85

q = p(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 1- p = 0.15

=++==== −−− 6106

610

5105

510

4104

410150850150850150850085010654 ).( ).( C ).( ).( C ).( ).( C ). p ,n , , , x( p

=(210)(0.522)(0.00001139)+(252)(0.4437)(0.000075937)+(210)(0.3771495)(0.00005063)=

=0.001249 + 0.00849 + 0.00400997 = 0.01374897

d)n=10, p=0.15, q=1-p=0.85



oresamplificad . ). )( ( np 25115010 ≅=== µ

Interpretación:

Se espera que 2 de los 10 amplificadores probados se excedan de un nivel de ruido de 2 Db

or amplificad . ). )( . )( ( npq 11291185015010 ±≅===σ

Interpretación:Este experimento puede variar en 2 ± 1 amplificador, esto es, de 1 a 3 amplificadores que se excedan deun nivel de ruido de 2 dB

2. DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL.

Características:

a) a) Al llevar a cabo un experimento con esta distribución se esperan más de dos tipos deresultados.

b) b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados son constantes.

c) c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes.

d) d) El número de repeticiones del experimento, n es constante.

Al igual que hicimos con la distribución binomial, en este caso partiremos de un ejemplo paraobtener la fórmula general para resolver problemas que tengan este tipo de distribución.

Ejemplo:

Se lanza al aire un dado normal, 5 veces, determine la probabilidad de que aparezca dos númerosuno, dos números tres y un número cinco.

Solución:

Si pensamos en la forma que se han resuelto otros problemas, lo primero que se me ocurre estrazar un diagrama de árbol que nos muestre los 5 lanzamientos del dado; esto sería muylaborioso, y se muestra parte del mismo a continuación;

12 1



1 3 24..... 3

5 4

2º lanzamiento 6 5

5ºlanzamiento 6

2

3a

4 12

1er lanzamiento 5 3 2º lanzamiento4

6 6 5

Del diagrama de árbol se obtendría el espacio muestral y enseguida se determinarían lasprobabilidades requeridas. En lugar de lo anterior, obtendremos una fórmula a partir de lasiguiente expresión:

p(aparezcan dos unos, dos tres y un cinco)=(número de ramas en donde haya dos unos, dos tres y uncinco)(probabilidad asociada a cada una de las ramas) Para esto definiremos lo siguiente: n = número de lanzamientos del dadox1 = número de veces que aparece el número 1 = 2x2 = número de veces que aparece el número 2 = 0

x3 = número de veces que aparece el número 3 = 2x4 = número de veces que aparece el número 4 = 0x5 = número de veces que aparece el número 5 = 1p1 = probabilidad de que aparezca el número 1 = 1/6p2 = probabilidad de que aparezca el número 2 = 1/6p3 = probabilidad de que aparezca el número 3 = 1/6p4 = probabilidad de que aparezca el número 4 = 1/6p5 = probabilidad de que aparezca el número 5 = 1/6



p6 = probabilidad de que aparezca el número 6 = 1/6 Luego, ¿cómo obtendremos el número de ramas donde aparecen dos números 1, dos números 3 y unnúmero 5?

Enunciando algunas de las ramas, tenemos lo siguiente; (1, 1, 5, 3, 3), (5, 1, 1, 3, 3), (1, 3, 3, 1, 5), ... etc, etc. ¿Qué tipo de arreglos son estos, combinaciones, permutaciones o que?SON PERMUTACIONES EN DONDE HAY OBJETOS IGUALES.Por tanto el número de ramas se puede obtener de la siguiente manera:

El número de ramas =30

4

120

122

5

1225===

!!!

! P , ,

Y en forma general,

! x!... x! x

!n P

k

x ,... x , xn k

21

21

=

Luego la probabilidad asociada a cada una de las ramas, sería;p(asociada a cada una de las ramas) = p(#1)p(#1)p(#3)p(#3)p(#5)=p1*p1*p3*p3*p5=

=p12*p3

2*p5

Por tanto la fórmula general será:

k x

k

x x

k

k p.... p p! x!... x! x

!n )n , x ,... x , x( p 21

21

21

21=

donde: p(x1, x2,....,xk , n) = probabilidad de que en n ensayos aparezcan x 1 objetos del primer tipo, x 2 objetos delsegundo tipo.......y x k objetos del último tipo.

n = x1+x2+....xk Resolviendo el ejemplo;n = 5x1 = número de veces que aparece el número 1 = 2x2 = número de veces que aparece el número 3 = 2x3 = número de veces que aparece el número 5 = 1p1= probabilidad de que aparezca el número 1 = 1/6



p2 = probabilidad de que aparezca el número 2 = 1/6p3 = probabilidad de que aparezca el número 3 = 1/6

00385800001286030616161

122

55121

122

321. ). )( ( ) / ( ) / ( ) / (

!!!

! )n , x , x , x( p ========

Ejemplos:1. Las probabilidades son de 0.40, 0.20, 0.30 y 0.10, respectivamente, de que un delegado llegue poraire a una cierta convención, llegue en autobús, en automóvil o en tren. ¿Cuál es la probabilidad deque entre 9 delegados seleccionados aleatoriamente en esta convención a) 3 hayan llegado por aire, 3en autobús, 1 en auto y 2 en tren?, b) 4 hayan llegado por aire, 1 en autobús y 2 en auto?, c) 5 hayanllegado en auto? Solución:a) n = 9

x1= # de delegados que llegan por aire = 3x2= # de delegados que llegan en autobús = 3x3= # de delegados que llegan en auto = 1x4= # de delegados que llegan en tren = 2 p1 = probabilidad de que un delegado llegue por aire = 0.40p2 = probabilidad de que un delegado llegue en autobús = 0.20p3 = probabilidad de que un delegado llegue en auto = 0.30p4 = probabilidad de que un delegado llegue en tren = 0.10

00774140100300200400

2133

992133

2133

4321. ).( ).( ).( ).(

!!!!

! )n; x , x , x , x( p =======

b) n=9x1 = 4 por aire; p1 = 0.40x2 = 1 en autobús; p2 = 0.20x3 = 2 en auto; p3 = 0.30x4 = 2 en tren; p4 = 0.10

1567603003002004002214

992214

2214

4321. ).( ).( ).( ).(

!!!!

! )n; x , x , x , x( p =======

c)n=9x1= 5 lleguen en auto; p1 = 0.30x2 = 4 (lleguen por aire o autobús o tren); p2 = 0.40+0.20+0.10 = 0.70

073514070030045

9945

45

21. ).( ).(

!!

! )n; x , x( p =====



2. De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillo de indias resultará en unadescendencia roja, negra y blanca en la relación 8 : 4 : 4. Encuentre la probabilidad de que entre 8descendientes, a) 5 sean rojos, 2 negros y un blanco, b) 3 sean rojos y 2 sean negros. Solución:

a)n = 8x1 = 5 rojos; p1= prob. Sean rojos = 8/16 = 0.50x2 = 2 negros; p2 = prob. Sean negros = 4/16 = 0.25x3 = 1 blanco; p3 = prob. Sean blancos = 4/16 = 0.25

0820310250250500125

88125

125

321. ).( ).( ).(

!!!

! )n; x , x , x( p ======

b)n=8

x1 = 3 rojos; p1 = 0.50x2 = 2 negros; p2 = 0.25x3 = 3 blancos; p3 = 0.25

0683590250250500323

88323

323

321. ).( ).( ).(

!!!

! )n; x , x , x( p ======

3.Según una encuesta preliminar acerca del voto que los ciudadanos darán por los candidatos paragobernador del estado se ha detectado que aproximadamente un 52% votará por el partido verde, un40% por el partido azul y un 8% por los partidos restantes, si se seleccionan aleatoriamente 6 personas

con edad de votar, determine la probabilidad de que: a) 2 voten por el partido verde, 1 por el azul y 3por el resto de los partidos, b) 2 voten por el partido verde y 4 por el azul. Solución:a) n = 6x1= 2 voten por partido verde; p1= prob. de que una persona vote por partido verde = 0.52x2= 1 vote por partido azul; p2 = prob. de que una persona vote por partido azul = 0.40x3= 3 voten por otros partidos; p3 = prob. de que una persona vote por otros partidos = 0.08

00332260080400520

312

66312

312

321. ).( ).( ).(

!!!

! )n: x , x , x( p ======

b)n = 6x1= 2 voten por el partido verde; p1= prob. de que una persona vote por partido verde=0.52x2= 4 vote por partido azul; p2 = prob. de que una persona vote por partido azul = 0.40x3= 0 voten por otros partidos; p3 = prob. de que una persona vote por otros partidos = 0.08



1038340080400520

042

66042

042

321. ).( ).( ).(

!!!

! )n; x , x , x( p ======

3) DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA. Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:

a) a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos deresultados.

b) b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.c) c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.d) d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

Ejemplo:

En una urna o recipiente hay un total de N objetos, entre los cuales hay una cantidad a deobjetos que son defectuosos, si se seleccionan de esta urna n objetos al azar, y sin reemplazo,¿cuál es la probabilidad de obtener x objetos defectuosos?

Solución:

Luego;

n N

xna N xa

C

C *C )n , x( p −−=

donde:

p( x ,n) = probabilidad de obtener x objetos defectuosos de entre n seleccionados

=−− xna N xa C *C muestras de n objetos en donde hay x que son defectuosos y n-x buenos

== δ n N C todas las muestras posibles de seleccionar de n objetos tomadas de entre N objetos en total = espacio muestral



Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si deseleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos?

Solución:

N = 10 objetos en total

a = 3 objetos defectuosos

n = 4 objetos seleccionados en muestra

x = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra

=

−

−−=====

−−

! )!(

!

! )!(

!*

! )!(

!

C

C *C

C

C *C )n , x( p

4410

10

227

7

223

3

42410

2723

410

2431023

====!!

!*

x x x

x x x

!!

! x x x x!!

! x x*

!!

! x x

!!

!!!

!*!!

!

22

4

78910

6723

46

678910

25

567

21

123

46

10

25

7

21

3

donde:

=78910

6723

x x x

x x x

probabilidad asociada a cada muestra de 4 objetos que se seleccionaron, con loque se demuestra que las probabilidades no son constantes

=!!

!

22

4

formas o maneras de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados = muestrasde 4 objetos entre los que 2 son defectuosos

Como se observa en el desarrollo de la solución del problema, la pretensión es demostrar que lasprobabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes. Luego la probabilidad de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados al azar sería:



30020160

6048

4

24

5040

252

22

4

78910

6723.*

!!

!*

x x x

x x x====

Ejemplos:

1. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico enuna botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial dela aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad deque el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que nosea arrestado por posesión de narcóticos?.

Solución:a) N = 9+6 =15 total de tabletasa = 6 tabletas de narcóticon = 3 tabletas seleccionadasx = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número de tabletas de narcótico

que se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletas p(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 3 tabletas seleccionadashaya 1 o más tabletas de narcótico)

=++====

315

0936

315

1926

315

29163321

C

C *C

C

C *C

C

C *C )n;tabletasó , x( p

815380455

371

455

20135216

455

120

455

915

455

366.

) )( ( ) )( ( ) )( ( ==

++=++=

otra forma de resolver; p(el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = 1 – p(de que entre las tabletasseleccionadas no haya una sola de narcótico)

=−===−=

315

39061301

C

C *C )n; x( p

81538501846150455

8411 ..

) )( ( =−=−=

b) b) p(no sea arrestado por posesión de narcóticos)

=====

315

390630

C

C *C )n; x( p

1846150455

841.

) )( ( ==



2. De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?,b) al menos 2 no exploten?

Solución:a) N = 10 proyectiles en totala = 7 proyectiles que explotann = 4 proyectiles seleccionadosx = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el número de proyectiles queexplotan entre la muestra que se dispara

166670210

35

210

13544

410

0347 . ) )( (

C

C *C )n; x( p ======

b) N = 10 proyectiles en totala = 3 proyectiles que no explotann = 4 proyectiles seleccionadosx = 0, 1, 2 o 3 proyectiles que no explotan p(al menos 2 no exploten) = p( 2 o más proyectiles no exploten) = p(x = 2 o 3; n=4) =

3333330210

70

210

763

210

71213

410

17332723 . ) )( ( ) )( (

C

C *C C *C ==

+=

+=

+=

3. a)¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamentea dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes,de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?, b) ¿Cúal es la probabilidad de que como máximo 2de las identificaciones pertenezcan a menores de edad?

Solución: a) N = 9 total de estudiantesa = 4 estudiantes menores de edadn = 5 identificaciones seleccionadasx = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores deedadx = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad

2380950126

10352

59

3524

. ) )( (

C

C *C )n , x( p =====

b) N = 9 total de estudiantesa = 4 estudiantes menores de edad



n = 5 identificaciones seleccionadasx = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de

edadx = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad

=++

=++

===126

10654115210

59

352445145504) )( ( ) )( ( ) )( (

C

C *C C *C C *C )n; , , x( p

642860126

81

126

60201.==

++=

4. Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptación de los artículos producidosantes de ser embarcados. El plan es de dos etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y seselecciona una muestra de 3 para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra uno, lacaja entera se regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso, la caja

se embarca. a)¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículosdefectuosos?, b)¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo un artículo defectuoso seregresa para verificación?

4) DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA GENERALIZADA. Características:

a) a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan más de dos tiposde resultados.

b) b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados no son constantes.

c) c) Los ensayos o repeticiones del experimento no son independientes entre sí.d) d) El número de repeticiones del experimento n, es constante.

Entonces en este caso se tienen más de dos tipos de objetos, por lo que la fórmula a utilizarsería:

n N

y xnba N yb xa

C

C *C *C )n , y , x( p

−−−−

=

donde:N = x + y + z = total de objetosa = total de objetos del primer tipob = total de objetos del segundo tipoc = N-a-b = total de objetos del tercer tipon = objetos seleccionados en la muestrax = objetos del primer tipo en la muestray = objetos del segundo tipo en la muestra



z = n-x-y = objetos del tercer tipo en la muestra

Ejemplos:1.En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3 con defectos menores y 2 con defectosmayores, se seleccionan al azar 5 productos de este lote, determine la probabilidad de que a) 3 de los

productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores, b) 4 de los productosseleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores. Solución:a)N= 20+3+2 =25 total de artículosa=20 productos sin defectosb= 3 productos con defectos menoresN-a-b= 2 productos con defectos mayoresn= 5 productos seleccionados en la muestrax = 3 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el # de productos sin defectos en lamuestra

y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos condefectos menores en la muestraz = n-x-y = 5-3-1 = 1 producto con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el # deproductos con defectos mayores en la muestra

1287410

53130

6840

53130

231140513

525

1213320 . ) )( )( (

C

C *C *C )n , y , x( p =======

b)N= 25a=20 productos sin defectosb= 3 productos con defectos menoresN-a-b= 2 productos con defectos mayores

n= 5 productos seleccionados en la muestrax = 4 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el # de productos sin defectos en lamuestray = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos condefectos menores en la muestraz = n-x-y = 5-4-1 = 0 productos con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el # deproductos con defectos mayores en la muestra

27357053130

14535

53130

134845

514

525

0213420

. ) )( )( (

C

C *C *C )n; y , x( p

===

====

3.Un club de estudiantes extranjeros tiene en sus listas a 2 canadienses, 3 japoneses, 5 italianos y 2alemanes. Si se selecciona aleatoriamente un comité de 4 estudiantes, encuentre la probabilidad de



que: a)estén representadas todas las nacionalidades, b)estén representadas todas las nacionalidades,excepto la italiana. Solución:a) N = 12 estudiantes

a = 2 Canadiensesb = 3 Japonesesc = 5 ItalianosN-a-b-c = 2 Alemanesn = 4 estudiantes seleccionados para formar comitéx = 1 estudiante Canadiense en el comité seleccionadoy = 1 estudiante Japonés en el comité seleccionadoz = 1 estudiante Italiano en el comité seleccionadon-x-y-z = 1 estudiante Alemán en el comité seleccionado

1212120495

60

495

2532

4111412

12151312

. ) )( )( )( (

C C *C *C *C )n; z , y , x( p

===

=====

b) N = 7 estudiantes quitando a los Italianosa = 2 Canadiensesb = 3 JaponesesN-a-b = 2 Alemanesn = 4 estudiantes seleccionados para formar comitéx = 1 o 2 estudiantes Canadienses en el comité seleccionado

y = 1 o 2 estudiantes Japoneses en el comité seleccionadon-x-y= 1 o 2 estudiantes Alemanes en el comité seleccionadop(estén representadas todas las nacionalidades, excepto la italiana)

=++=

====+===+===

47

121322

47

122312

47

221312

412421411

C

C *C *C

C

C *C *C

C

C *C *C

)n , y , x( )n , y , x( p )n , y , x( p

685714035

6126

35

231

35

232

35

132.

) )( )( ( ) )( )( ( ) )( )( ( =

++=++=

5) DISTRIBUCIÓN DE POISSON. Características:

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc,etc,:



- # de defectos de una tela por m2

- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc.- # de bacterias por cm2 de cultivo- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, lafórmula a utilizar sería:

! x ) , x( p

x λ ε λ λ

−

=

donde:p( x , λ) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es λ

λ = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o productoε = 2.718 x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo,área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalodado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otroproducto dado.

Ejemplos:1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de

que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquierade dos días consecutivos?

Solución:a) a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un

día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.λ = 6 cheques sin fondo por díaε = 2.718

13392024

0024801296

4

7182664

64

. ). )( (

!

).( )( ) , x( p =====

−

λ

b)x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos díasconsecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.λ = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivosNota: λ siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar”de lo mismo que x.



10495303628800

00000615101019173646

10

7182121210

1210

. ). )( .(

!

).( )( ) , x( p =

Ε ====

−

λ

2. En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) unaimperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más unaimperfección en 15 minutos.

Solución:a) a) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3

minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.λ = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata

32930701

548845060

1

718260

601

601

.

). )( .(

!

).( ).(

). , x( p

.

=====

−

λ

b) b) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5

minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.λ = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata

=

+−===−===

−−

!

). )( (

!

).( )( ) , , x( p )....etc , , , x( p

1

71821

0

71821111011432

110

λ λ

=1-(0.367918+0.367918) = 0.26416

c) c) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15

minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc.λ = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata

=+===+=====

−−

!

).( )(

!

).( )( ) , x( p ) , x( p ) , , x( p

1

71823

0

718233130310

3130

λ λ λ

= 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106

6. APROXIMACIÓN DE POISSON A LA BINOMIAL. En este caso se determinarán probabilidades de experimentos Binomiales, pero que dadas suscaracterísticas, es posible aproximarlas con la distribución de Poisson, estas características son, n∞→ ( n es muy grande) y p→0 (p es muy pequeña), por lo que:



! xq pC ) p ,n , x( p

x

xn x

xn

λ ε λ −− ≅=

La expresión anterior solo se cumple cuando n →∞ y p→0, solo en este caso, si esto no se cumple,la aproximación no se puede llevar a efecto, por lo que la fórmula a utilizar en este caso sería:

! x ) , x( p

x λ ε λ λ

−

=

Donde:λ =µ= np = número esperado de éxitos = tasa promedio de éxitos

n = número de repeticiones del experimentop = probabilidad de éxito = p(éxito) Una regla general aceptable es emplear esta aproximación si n≥20 y p≤0.05: sí n≥100, laaproximación es generalmente excelente siempre y cuando np≤10. Ejemplos:1. 1. Se sabe que el 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernaciones

defectuosas. Determine la probabilidad de que 2 de 100 libros encuadernados en ese taller,tengan encuadernaciones defectuosas, usando, a) la fórmula de la distribución Binomial, b) laaproximación de Poisson a la distribución Binomial.

Solución:a) n = 100p = 0.05 = p(encuadernación defectuosa) = p(éxito)q = 0.95 = p(encuadernación no defectuosa) = p(fracaso)x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = = 0, 1, 2,

3,....,100 encuadernaciones defectuosas

0812095005049509500500501002982982

2100. ).( ). )( ( ).( ).( C ). p ,n , x( P ======

b)n = 100 encuadernacionesp = 0.05

λ = np = (100)(0.05)= 5x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = = 0, 1, 2,3,....,100 encuadernaciones defectuosas



08430

2

7182552

52

.!

).( )(

! x ) , x( p

x

=====

−−λ ε λ λ

Al comparar los resultados de las probabilidades con una y otra distribución, nos damos cuenta de quela diferencia entre un cálculo y otro es de tan solo 0.0031, por lo que la aproximación de Poisson es una

buena opción para calcular probabilidades Binomiales. 2.Un fabricante de maquinaria pesada tiene instalados en el campo 3840 generadores de gran tamañocon garantía. Sí la probabilidad de que cualquiera de ellos falle durante el año dado es de 1/1200determine la probabilidad de que a) 4 generadores fallen durante el año en cuestión, b) que más 1 deun generador falle durante el año en cuestión. Solución:a) n = 3840 generadoresp = 1/1200 = probabilidad de que un generador falle durante el año de garantíaλ = np = (3840)(1/1200) = 3.2 motores en promedio pueden fallar en el año de garantía

x = variable que nos define el número de motores que pueden fallar en el año de garantía == 0, 1, 2, 3,....,3840 motores que pueden fallar en el año de garantía

1781504

718223234

234

.!

).( ).( ). , x( p

.

====

−

λ

b) p(x=2,3,4,....,3840;λ=3.2)=1-p(x=0,1;λ=3.2) =

+−=

−−

!

).( ).(

!

).( ).( ..

1

718223

0

7182231

231230

=1- (0.04078 + 0.13048) = 0.82874

3. En un proceso de manufactura, en el cual se producen piezas de vidrio, ocurren defectos oburbujas, ocasionando que la pieza sea indeseable para la venta. Se sabe que en promedio 1 decada 1000 piezas tiene una o más burbujas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestraaleatoria de 8000 piezas, menos de 3 de ellas tengan burbujas? Solución:n = 8000 piezasp = 1/1000= 0.001 probabilidad de que una pieza tenga 1 o más burbujasλ = np = (8000)(1/1000) = 8 piezas en promedio con 1 o más burbujasx = variable que nos define el número de piezas que tienen 1 o más burbujas == 0,1, 2, 3,....,8000 piezas con una o más burbujas

=++===−−−

!

).( )(

!

).( )(

!

).( )( ); , , x( p

2

71828

1

71828

0

718288210

828180

λ



= 0.000336 + 0.002686 + 0.010744 = 0.013766

7. DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA.

Esta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un éxito porprimera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento, para obtener la fórmula deesta distribución, haremos uso de un ejemplo.

Ejemplo:Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que aparezcaáguila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, Determine laprobabilidad de que en el último lanzamiento aparezca una águila. Solución:Si nosotros trazamos un diagrama de árbol que nos represente los 8 lanzamientos de la moneda,observaremos que la única rama de ese árbol que nos interesa es aquella en donde aparecen 7 sellosseguidos y por último una águila; como se muestra a continuación:

S S S S S S S A

Sí denotamos;x = el número de repeticiones del experimento necesarias para que ocurra un éxito por primera yúnica vez = 8 lanzamientosp = probabilidad de que aparezca una águila = p( éxito) = 2/3q = probabilidad de que aparezca un sello = p(fracaso) = 1/3 Entonces la probabilidad buscada sería; P(aparezca una águila en el último lanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) =

=q*q*q*q*q*q*q*p = pq x 1−

Luego, la fórmula a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con esta distribución sería;

pq ) x( px 1−=

Donde:

p(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y única vez p = probabilidad de éxitoq = probabilidad de fracaso Resolviendo el problema de ejemplo;x = 8 lanzamientos necesarios para que aparezca por primera vez una águilap = 2/3 probabilidad de que aparezca una águilaq = 1/3 probabilidad de que aparezca un sello



p(x=8) = 00030480323118 . ) / ( ) / ( =−

Ejemplos:1. Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es

de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidosa prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivosde medición sometidos a prueba, sea el primero que no muestre una desviación excesiva?.

Solución:a) a) x = 6 que el sexto dispositivo de medición probado sea el primero que muestre una

variación excesivap = 0.05 =probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesivaq = 0.95 =probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva

p(x = 6) = 038690050950 16 . ).( ).( =−

b) b) x = 5 que el quinto dispositivo de medición probado, sea el primero que no muestre

una desviación excesivap = 0.95 = probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variaciónexcesivaq = 0.05 = probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva

p(x = 5) = 0000059095005015 . ).( ).( =−

2. Los registros de una compañía constructora de pozos, indican que la probabilidad de que unode sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en el término de un año es de 0.20. ¿Cuál es laprobabilidad de que el quinto pozo construido por esta compañía en un año dado sea el primeroen requerir reparaciones en un año?.

Solución:x = 5 que el quinto pozo sea el primero que requiera reparaciones en un añop = 0.20 = probabilidad de que un pozo requiera reparaciones en el término de un añoq = 0.80 = probabilidad de que un pozo no requiera reparaciones en el término de un año

p(x = 5) = 08192020080015

. ).( ).( =−

9. Problemas Propuestos. 1. 1. En una cierta área de la ciudad se da como una razón del 75% de los robos la necesidad de

dinero para comprar estupefacientes. Encuentre la probabilidad que dentro de los 5 próximosasaltos reportados en esa área



a) a) exactamente 2 se debieran a la necesidad de dinero para comprar drogas;b) b) cuando mucho 3 se debieran a la misma razón arriba indicada.

r. a) 0.0879b) 0.3672

2. 2. Un agricultor que siembra fruta afirma que 2/3 de su cosecha de duraznos han sidocontaminada por la mosca del mediterráneo. Encuentre la probabilidad de que al inspeccionar4 duraznos

a) a) los 4 estén contaminados por la mosca del mediterráneob) b) cualquier cantidad entre 1 y 3 esté contaminada.

r. a) 16/81b) 64/61

3. 3. De acuerdo con una investigación llevada a cabo por la Administrative Management

Society, 1/3 de las compañías en Estados Unidos le dan a sus empleados cuatro semanas devacaciones después de 15 años de servicio. Encuentre la probabilidad de que 6 de las

compañías investigadas al azar, el número que les dan a sus empleados cuatro semanas devacaciones después de 15 años de servicio esa) a) cualquier cantidad entre 2 y 5;b) b) menos de 3.

r. a) 0.647b) 0.680

4. 4. De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la Universidad deMassachussets, aproximadamente 60% de los adictos al Valium en el estado de Massachussets,lo tomaron por primera vez debido a problemas psicológicos. Encuentre la probabilidad deque los siguientes 8 adictos entrevistados

a) a) exactamente 3 hayan comenzado a usarlo debido a problemas psicológicos.b) b) al menos 5 de ellos comenzaran a tomarlo por problemas que no fueron psicológicos.

r. a) 0.1239b) 0.5941

5. 5. Al probar una cierta clase de neumático para camión en un terreno escabroso se encontró

que 25% de los camiones terminaban la prueba con los neumáticos dañados. De los siguientes15 camiones probados encuentre la probabilidad de que

a) a) de 3 a 6 tengan ponchaduras;b) b) menos de 4 tengan ponchaduras;c) c) más de 5 tengan ponchaduras

r. a) 0.7073b) 0.4613c) 0.1484

6. 6. De acuerdo con un reporte publicado en la revista Parade, septiembre 14 de 1980, unainvestigación a nivel nacional llevada a cabo por la Universidad de Michigan reveló que casi el70% de los estudiantes del último año desaprueban las medidas para controlar el hábito defumar mariguana todos los días. Si 12 de estos estudiantes se seleccionan al azar y se lespregunta su opinión, encuentre la probabilidad de que el número que desaprueba dichamedida sea



a) a) cualquier cantidad entre 7 y 9b) b) cuando mucho 5;c) c) no menos de 8

r. a) 0.6294b) 0.0386

c) 0.7237 7. 7. La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación de corazón es de

0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de los próximos 7 pacientes que se sometana esta intervención sobrevivan?

r. 0.1240

8. 8. Un ingeniero de control de tráfico reporta que el 75% de los vehículos que pasan por unpunto de verificación tienen matrículas del estado. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 7 delos siguientes 9 vehículos no sean del estado?

r. 0.8343

9. 9. Una investigación de los residentes de una ciudad de Estados Unidos mostró que 20%preferían un teléfono blanco que de cualquier otro color disponible. ¿Cuál es la probabilidadde que más de la mitad de los siguientes 20 teléfonos que se instalen en esta ciudad sean de colorblanco?

r. 0.0006

10. 10. Se sabe que el 40% de los ratones inyectados con un suero quedan protegidos contra unacierta enfermedad. Si 5 ratones son inyectados, encuentre la probabilidad de que

a) a) ninguno contraiga la enfermedad;b) b) menos de 2 la contraigan;c) c) más de 3 la contraigan

r. a) 0.0778b) 0.3370c) 0.0870

11. 11. Suponga que los motores de un aeroplano operan en forma independiente y de que fallan

con una probabilidad de 0.4. Suponiendo que uno de estos artefactos realiza un vuelo seguroen tanto se mantenga funcionando cuando menos la mitad de sus motores, determine quéaeroplano, uno de los 4 motores o uno de 2, tiene mayor probabilidad de terminar su vueloexitosamente.

r. 0.8208 y 0.8400; ***2- plano del motor

12. 12. Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria binomial del problema propuesto

7.r. µ=6.3 ≅ 6 y σ2=0.63

13. 13. Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria binomial del problema propuesto

9.



r. µ=4 y σ2=3.2

14. 14. De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillos de indias resultará enuna descendencia roja, negra y blanca en la relación 8:4:4. Encuentre la probabilidad de quede 8 descendientes 5 sean rojos, 2 negros y 1 blanco.

r. 21/256 15. 15. Las probabilidades son de 0.4, 0.2, 0.3 y 0.1, respectivamente, de que un delegado llegue por

aire a cierta convención, llegue en autobús, 3en automóvil o en tren. ¿Cuál es la probabilidadde que entre 9 delegados seleccionados aleatoriamente en esta convención, 3 hayan llegado poraire, 3 en autobús, 1 en automóvil y 2 en tren.

r. 0.0077

16. 16. El dueño de una casa planta 6 tallos que selecciona al azar de una caja que contiene 5 tallosde tulipán y 4 de narciso. ¿Cuál es la probabilidad de que plante 2 tallos de narciso y 4 detulipán?

r. 5/14 17. 17. Un comité de tres integrantes se forma aleatoriamente seleccionando de entre 4 doctores y 2

enfermeras. Escriba una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatroriaX que representa el número de doctores en el comité. Encuentre P(2 ≤ X ≤ 3).

( )( )

( ), ) , ,; x( h..respuesta x x

6

3

2

2

4

436−=

x=1, 2, 318. 18. Una compañía está interesada en evaluar sus actuales procedimientos de inspección en el

embarque de 50 artículos idénticos. El procedimiento es tomar una muestra de 5 piezas y

autorizar el embarque si se encuentra que no más de 2 están defectuosas. ¿qué proporción del20% de embarques defectuosos serán autorizados?r. 0.9517

19. 19. La probabilidad de que una persona que vive en cierta ciudad posea un perro se estima en

0.3. Encuentre la probabilidad de que la décima persona entrevistada aleatoriamente en estaciudad sea la quinta persona que posee un perro.

r. 0.0515

20. 20. Un científico inocula varios ratones, uno a la vez, con un germen de una enfermedad hastaque obtiene 2 que la han contraído. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es 1/6. ¿cuáles la probabilidad de que se requieran 8 ratones?

r. 0.065121. 21. Suponga que la probabilidad de que una persona determinada crea una historia acerca de

los atentados a una famosa actriz es de 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de quea) a) la sexta persona que escucha tal historia sea la cuarta que la crea?b) b) La tercera persona que escucha tal historia sea la primera en creerla?

r. a) 0.1638b) 0.032



22. 22. Tres personas lanzan una moneda y la que salga dispareja paga los cafés. Si todas lasmonedas caen iguales, se lanzan nuevamente. Encuentre la probabilidad de que se necesitenmenos de 4 lanzamientos.

r. 63/64

23. 23. La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para obtenersu licencia de piloto privado es de 0.7. Encuentre la probabilidad de que una persona apruebeel examen

a) a) en el tercer intentob) b) antes del cuarto intento

r. a) 0.0630b) 0.9730

24. 24. En promedio, en una cierta intersección ocurren 3 accidentes viales por mes ¿Cuál es la

probabilidad de que en un determinado mes en esta interseccióna) a) ocurran exactamente 5 accidentes?

b) b)

ocurran menos de 3 accidentes? r. a) 0.1008b) 0.4232

25. 25. Una cierta área del este de Estados Unidos es afectada en promedio por 6 huracanes al año.

Encuentre la probabilidad de que en un determinado año esta área sea afectada pora) a) menos de 4 huracanes;b) b) cualquier cantidad entre 6 y 8 huracanes.

r. a) 0.1512b) 0.4015

26. 26. En un estudio de un inventario se determinó que, en promedio, la demanda por un artículo

en particular en una bodega era de 5 veces al día. ¿Cuál es la probabilidad de que en undeterminado día este artículo sea requerido

a) a) más de 5 veces?b) b) Ni una sola vez?

r. a) 0.3840b) 0.0067

27. 27. El número promedio de ratas de campo por acre en un campo de trigo de 5 acres se estima

que es de 12. Encuentre la probabilidad de que menos de 7 ratas de campo se encuentrena) a) en una acre de terreno determinado;b) b) en 2 de los siguientes 3 acres inspeccionados.

r. a) 0.0458b) 0.0060

28. 28. Un restaurante prepara una ensalada que contiene en promedio 5 verduras diferentes.

Encuentre la probabilidad de que la ensalada contenga más de 5 verdurasa) a) en un determinado día;b) b) en 3 de los siguientes 4 días;



c) c) por primera vez el 5 de abril.r. a) 0.3840

b) 0.1395c) 0. 0553

29. 29. La probabilidad de que una persona muera debido a cierta infección respiratoria es 0.002.Encuentre la probabilidad de que mueran menos de 5 de las próximas 2000 personasinfectadas.

r. 0.6288 30. 30. Suponga que en promedio 1 persona de cada 1000 comete un error numérico al preparar su

declaración de impuestos. Si se seleccionan al azar 10 000 formas y se examinan, encuentre laprobabilidad de que 6, 7 u 8 formas tengan error.

r. 0.2657 31. 31. La probabilidad de que un estudiante presente problemas de escoliosis (desviación lateral

sufrida por la columna vertebral) en una escuela de la localidad es de 0.004. De los siguientes1875 estudiantes revisados encuentre la probabilidad de quea) a) menos de 5 presenten este problemab) b) 8, 9 o 10 presenten este problema

r. a) 0.1321b) 0.3376

32. 32. En un proceso de manufactura se seleccionan aleatoriamente 15 unidades diarias de la línea

de producción para verificar el porcentaje del número de defectos en el proceso. A partir deinformación histórica se sabe que la probabilidad de que se tenga una unidad defectuosa es0.05. El proceso se detiene en cualquier momento en que se encuentran dos o más defectos.Este procedimiento se utiliza para proporcionar una señal en caso de que la probabilidad dedefectos se incremente.

a) a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día el proceso de producción sedetenga? (suponga un 5% de defectos)

b) b) Suponga que la probabilidad de que se tenga un defecto se incrementa a 0.07. ¿Cuáles la probabilidad de que en un determinado día el proceso de producción se detenga?

33. 33. Se está considerando la producción de una máquina automática de soldar. Se consideraráexitosa si tiene una efectividad del 99% en sus soldaduras. De otra manera, no se consideraráeficiente. Se lleva a cabo la prueba de un prototipo y se realizan 100 soldaduras. La máquinase aceptará para su fabricación si no son defectuosas más de tres soldaduras.

a) a) ¿Cuál es la probabilidad de que una máquina eficiente sea rechazada?b) b) ¿Cuál es la probabilidad de que una máquina ineficiente con 95% de soldaduras

correctas sea aceptada?

34. 34. Una agencia que renta automóviles en un aeropuerto local tiene disponibles 5 Ford, 7Chevrolet, 4 Dodge, 3 Datsun y 4 Toyota. Si la agencia selecciona aleatoriamente 9 de estosvehículos para transportar delegados desde el aeropuerto hasta el centro de convenciones en el



centro de la ciudad, encuentre la probabilidad de que se utilicen 2 Ford, 3 Chevrolet, 1 Dodge,1 Datsun y 2 Toyota.

35. Las llamadas de servicio entran a un centro de mantenimiento de acuerdo con un proceso dePoisson y en un promedio entran 2.7 llamadas por minuto. Encuentre la probabilidad de que:

a) a) no más de 4 llamadas entren en un minuto cualquiera;b) b) menos de 2 llamadas entren en un minuto cualquiera;más de 10 llamadas entren en un periodo de 5 minutos.

UNIDAD V. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS Entre las distribuciones a tratar en esta unidad serían:

1. Distribución Normal 2. Aproximación de la Normal a la Binomial 3. Exponencial

1. DISTRIBUCIÓN NORMAL.

Características: a) a) Es generada por una variable de tipo continuo, denominada x;

-∞< x < ∞b) b) La función que nos define esta distribución es:

2222

2

1 σ µ ε π σ

σ µ / ) x( ) , , x( f −−=-∞< x < ∞

Al dar a la función los valores de µ , σ2 y valores a x, obtendremos la distribución en

cuestión, la que tiene forma de campana, por lo que también se le conoce como campanade Gauss. Hay un número infinito de funciones de densidad Normal, una para cadacombinación de µ y σ. La media µ mide la ubicación de la distribución y la desviaciónestándar σ mide su dispersión.

c) Es simétrica con respecto a su eje vertical.d) Es asintótica con respecto a su eje horizontal; esto quiere decir que jamás va a tocar eleje de las equis.e) El área total bajo la curva es 1.

f) Sí sumamos a µ ± σ, se observará que aproximadamente el 68.26% de los datos seencuentran bajo la curva, si sumamos a µ ± 2σ, el 95.44% de los datos estará entre esoslímites y si sumamos a µ ± 3σ, entonces el 99.74% de los datos caerá dentro de esos límites.Esta característica es a la vez una forma empírica y rápida de demostrar si los datos que seanalizan tienen una distribución Normal; ya que para trabajar los datos con estadistribución, debe verificarse que efectivamente así se distribuyen, ya que de no hacerlo, lasdecisiones que en un momento dado se tomarán de un análisis de los datos con ladistribución Normal, serían erróneas.



¿Cómo se determinan probabilidades con la distribución Normal?De acuerdo a como se trataron las distribuciones de probabilidad continuas en la unidad III,lo más lógico es que la función f(x, µ, σ2), se integre entre los límites de la variable x; esto es,

∫ =<≥b

a

dx ) , , x( f )b xa( p2σ µ

La integral anterior nos daría el área bajo la curva de la función, desde a hasta b, quecorresponde o es igual a la probabilidad buscada.Debido a la dificultad que se presenta para integrar esta función cada vez que sea necesario,lo que se hace es tipificar el valor de la variable x, esto es, x se transforma en un valor de z,de la siguiente manera:

valor

x z =

−=

σ

µ

Este valor de z es buscado en una tabla donde vienen áreas asociadas a este valor, yhaciendo uso de los valores tabulados, se determina la probabilidad requerida. La tabla quees usada para calcular las probabilidades es la que nos dá el área que se muestra acontinuación:

Ejemplos:1. 1. El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre internamente con un mortero de cemento para evitar la

corrosión. En un estudio de los recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de transmisión de agua enCalifornia (Transportation Engineering Journal, Noviembre de 1979) se especificó un espesor de 7/16 pulgadas para el mortero. Ungran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y una desviación estándar de 0.082 pulgadas. Sí lasmediciones de espesor, tenían una distribución Normal, ¿qué porcentaje aproximado fue inferior a 7/16 de pulgada?

Solución:

x = variable que nos define el espesor del mortero en pulgadas

µ = 0.635 pulgadas

σ = 0.082 pulgadas

0 Z

X = 7/16µ=0.635

Z



412408520820

635043750

0820

6350167..

.

..

.

. / Z −≈−=

−=

−=

p(z <= -2.41) = 1 - p(z <= 2.41) = 1 - 0.9920 = 0.008

p(x < 7/16 pulgadas) = 0.008

Por tanto, 0.008 x 100% = 0.8% de los recubrimientos de mortero tienen un espesor menor de 7/16 pulgadas

2. 2. Un tubo fluorescente estándar tiene una duración distribuida Normalmente, con unamedia de 7,000 horas y una desviación estándar de 1,000 horas. Un competidor hainventado un sistema de iluminación fluorescente compacto que se puede insertar en losreceptáculos de lámparas incandescentes. El competidor asegura que el nuevo tubocompacto tiene una duración distribuida Normalmente con una media de 7,500 horas yuna desviación estándar de 1,200 horas. a. ¿Cuál tubo fluorescente tiene mayorprobabilidad de tener una duración mayor de 9,000 horas? b. ¿Cuál tubo tiene mayorprobabilidad de tener una duración de menos de 5,000 horas?

Solución:a) Tubo 1X1 = variable que nos define la duración en horas de un tubo fluorescenteµ = 7,000 horasσ = 1,000 horas

Tubo 2X2 = variable que nos define la duración del tubo fluorescente del competidorµ = 7,500 horas

σ = 1,200 horas

X= 9000µ=7000



0020001

00070009

1.

,

, , z =

−=

p(z1 >= 2.00) = 1 – 0.9792 = 0.0228

p(x1> 9,000 horas) = 0.0228

2512001

50070009

2.

,

, , z =

−=

p(z2 >= 1.25) = 1 - 0.8943 = 0.1056 p(x2 > 9,000 horas) = 0.1056 Por tanto el tubo fluorescente del competidor tiene una probabilidad mayor de durar másde 9,000 horas.

b)

0020001

000700051

. ,

, , z −=−=p(z1 <=-2.00) = 1 - p(z1 <= 2.00) = 0.9772= 0.0228

p(x1< 5,000 horas) = 0.0228

X = 9000µ=7500

X = 5000µ=7000



0822001

50070005

2.

,

, , z −=

−=

p(z2 <= -2.08) = 0.0188

p(x2 < 5,000 horas) = 0.0188

Por tanto, el tubo fluorescente que tiene una mayor probabilidad de durar menos de 5,000horas es el del primer fabricante.

3. 3. La distribución de la demanda (en número de unidades por unidad de tiempo) de unproducto a menudo puede aproximarse con una distribución de probabilidad Normal.Por ejemplo, una compañía de comunicación por cable ha determinado que el númerode interruptores terminales de botón solicitados diariamente tiene una distribuciónNormal, con una media de 200 y una desviación estándar de 50.

a) a) ¿En qué porcentaje de los días la demanda será de menos de 90interruptores?

b) b) ¿En qué porcentaje de los días la demanda estará entre 225 y 275interruptores?

c) c) Con base en consideraciones de costos, la compañía ha determinado que sumejor estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficientepara atender plenamente la demanda en 94% de todos los días. ¿Cuantosinterruptores terminales deberá producir la compañía cada día?

Solución:a) X = variable que nos indica el número de interruptores demandados por día a unacompañía de cable

µ = 200 interruptores por díaσ = 50 interruptores por día

X = 5000µ= 7500

X = 90 µ = 200



20250

20090. z −=

−=

p(z = - 2.20) = 0.0139 p(x < 90) = 0.0139Por tanto, 0.0139 x 100% = 1.39% de los días se tendrá una demanda menor de 90interruptores.

b)

50050

2002251

. z =−

=

p(z1 <= 0.50) = F(0.5)= 0.6914

50150

200275

2. z =

−=

p(z2 <= 1.50) = F(1.5)= 0.9331 p(0.5≤ z ≥ 1.5) = F(z2) – F(z1) = 0.9331 – 0.6914 = 0.2417

p(225≤ x ≥ 275) = 0.2417

Por tanto, 0.2417 x 100% = 24.17% de los días se tendrá una demanda entre 225 y275 interruptores.

c) c) En este caso se trata de determinar que valor toma x cuando se pretende cumplir conel 94% de la demanda de todos los días.

µ = 200X1 = 225

X2 = 275



Por tanto despejaremos de la fórmula de z;

σ

µ −=x

Z ; x = µ + zσ

x = µ + z(p = 0.94)σ = 200 + z(p = 0.94)(50) == 200 + (1.55)(50) = 277.5 ≅ 278 interruptores terminales por día

¿cómo se obtiene el valor de z? En la tabla buscamos la z que corresponde a una probabilidad de 0.94 y nos damoscuenta de que no existe un valor exacto de 0.94 por lo que tomamos los valores deárea más cercanos; luego, z(p = 0.9394) = 1.50; z(p = 0.9406) = 1.60

Por tanto si interpolamos, encontramos que el valor de z para una probabilidad de0.94 es de 1.55, y es el valor que se sustituye en la ecuación. En algunos casos las tablas solo indican la mitad de la probabilidad y hay que

recordar que la otra mitad es 0.6. por esto surge la pregunta¿Cuál es la razón de usar un área de 0.44 en lugar de una de 0.94 para buscar en latabla el valor de z? Es muy simple, la tabla que estamos usando es una tabla que solo trabaja con áreasque son definidas de la media hasta el valor de x y x puede estar tanto del lado

derecho de la media, como del lado izquierdo de la media, es por esto que el área autilizar es de 0.44 que se encuentra al lado derecho de la media.

3. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL. A pesar de que la distribución Normal puede utilizarse para resolver muchos problemas eningeniería y ciencias, existen aún numerosas situaciones que requieren diferentes tipos de funciones

µ = 200X = ¿

Z

94%



de densidad, tales como la exponencial y la gamma y algunas otras como la weibull, etc., etc., demomento solo trataremos sobre el uso de la exponencial.

Resulta que la exponencial es un caso especial de la distribución gamma, ambas tienen un grannúmero de aplicaciones. Las distribuciones exponencial y gamma juegan un papel importante tantoen teoría de colas como en problemas de confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en las

instalaciones de servicio y el tiempo de falla de los componentes y sistemas eléctricos,frecuentemente involucran la distribución exponencial. La relación entre la gamma y laexponencial permite que la distribución gamma se utilice en tipos similares de problemas. La variable aleatoria x tiene una distribución exponencial, con parámetro β, si su función dedensidad es:

β

β

x

x ) x( f

−

=1

, x > 0 ; f(x) = 0 en cualquier otro caso

donde β > 0 La media y la variancia de la distribución exponencial son:

µ = β y σ2 = β2

Relación con el proceso de Poisson.Las aplicaciones más importantes de la distribución exponencial son aquellas situaciones en dondese aplica el proceso de Poisson , es necesario recordar que un proceso de Poisson permite el uso dela distribución de Poisson. Recuérdese también que la distribución de Poisson se utiliza paracalcular la probabilidad de números específicos de “eventos” durante un período o espacioparticular. En muchas aplicaciones, el período o la cantidad de espacio es la variable aleatoria. Porejemplo un ingeniero industrial puede interesarse en el tiempo T entre llegadas en una interseccióncongestionada durante la hora de salida de trabajo en una gran ciudad. Una llegada representa elevento de Poisson.La relación entre la distribución exponencial (con frecuencia llamada exponencial negativa) y elproceso llamado de Poisson es bastante simple. La distribución de Poisson se desarrolló como unadistribución de un solo parámetro λ, donde λ puede interpretarse como el número promedio deeventos por unidad de “tiempo” . Considérese ahora la variable aleatoria descrita por el tiempoque se requiere para que ocurra el primer evento. Mediante la distribución de Poisson, seencuentra que la probabilidad de que no ocurran en el espacio hasta el tiempo t está dada por:

t

t

! )t ( )t ,( p λ

λ

ε λ ε λ −

−

==0

0

0

; 7182.=ε

Ahora puede utilizarse lo anterior y hacer que X sea el tiempo para el primer evento de Poisson.La probabilidad de que el período hasta que ocurre el primer evento de Poisson exceda x es lamisma que la probabilidad de que no ocurra un evento de Poisson en x . Esto último por supuesto

está dado por xλ ε − . Como resultado,



P(X ≥ x ) = xλ ε −

Entonces, la función de distribución acumulada para x es:

P(0≤ X ≤ x ) = 1 - xλ ε −

Ahora, con objeto de que se reconozca la presencia de la distribución exponencial, puede derivarsela distribución acumulada anterior para obtener la función de densidad:

f( x ) = xλ λε −

La cual es la función de densidad de la distribución exponencial con β λ

1=

.

Nótese que la media de la distribución exponencial es el parámetro

β

, el recíproco del parámetroen la distribución de Poisson. El lector debe recordar que con frecuencia se dice que la distribuciónde Poisson no tiene memoria, lo cuál implica que las ocurrencias en períodos de tiempo sucesivos

son independientes. Aquí el parámetro importante β es el tiempo promedio entre eventos. En

teoría de la confiabilidad, donde la falla de un equipo concuerda con el proceso de Poisson, β recibe el nombre de tiempo promedio entre fallas. Muchas descomposturas de equipo siguen elproceso de Poisson, y entonces la distribución exponencial es aplicable.En el siguiente ejemplo se muestra una aplicación simple de la distribución exponencial en unproblema de confiabilidad. La distribución binomial también juega un papel importante en lasolución.

Ejemplos:1. Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años está

dado por la variable aleatoria T, distribuida exponencialmente con tiempo promedio de falla5=β . S í 5 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de

que al menos 2 continúen funcionando después de 8 años?

Solución:La probabilidad de que un determinado componente esté funcionando aún después de 8 años es:

20

5

18 5

8

8

5 .dt )( P

t

≅==>−∞ −

∫ ε ε

la | nos indica que la integral se va a evaluar desde 8hasta ∞

Sea x el número de componentes funcionando después de 8 años. Entonces mediante la distribuciónBinomial,n = 5p = 0.20 = probabilidad de que un componente esté funcionando después de 8 años



q = 1-p = 0.80 = probabilidad de que un componente no funcione después de 8 años P(x ≥ 2 ) = p(x=2) + p(x=3) + p(x=4)+p(x=5) = 1 – p(x = 0, 1)

{ } 2627073730180208020141

15

50

05.. ).( ).( C ).( ).( C =−=+−=

2. El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en una cafetería es una

variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál esla probabilidad de que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos en almenos 4 de los 6 días siguientes?

Solución:

5276014

13 4

3

4

13

0

4

1

.dt )T ( P t

=−===≤−−−

∫ ε ε ε

la nos indica que la integral va a ser

evaluada de 0 a 3 x = número de días en que un cliente es atendido antes de que transcurran 3 minutosx = 0, 1, 2,...,6 días

p = probabilidad de que un cliente sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un díacualquiera = 0.5276q = probabilidad de que un cliente no sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un díacualquiera = 1- p = 0.4724

=+==== 0666

1556 4724052760472405276052760665 ).( ).( C ).( ).( C ). p , N ,o x( P

= 0.11587 + 0.02157 = 0.13744

4. Problemas Propuestos.

1. 1. Un investigador de la UCLA reporta que las ratas viven un promedio de 40 meses cuandosus dietas son muy restringidas y luego enriquecidas con vitaminas y proteínas. Suponiendo

que las vidas de tales ratas están normalmente distribuidas con una desviación estándar de 6.3meses, encuentre la probabilidad de que una rata determinada vivaa) a) más de 32 meses;b) b) menos de 28 meses;c) c) entre 37 y 49 meses.

r. a) 0.8980b) 0.0287

c) 0.6080



2. 2. Las piezas de pan de centeno distribuidas a las tiendas locales por una cierta pastelería

tienen una longitud de 30cm y una desviación estándar de 2cm. Suponiendo que las longitudesestán normalmente distribuidas, ¿qué porcentaje de las piezas son

a) a) de más de 31.7cm de longitud?

b) b) entre 29.3 y 33.5 cm de longitud?c) c) de una longitud menor que 25.5 cm?r. a) 19.77%

b) 59.67%c) 1.22%

3. 3. Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200 ml

por vaso. Si la cantidad de refresco es normalmente distribuida con una desviación estándarigual a 15 ml.

a) a) ¿Qué fracción de los vasos contendrá más de 224 ml?b) b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 ml?

c) c)

¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 ml en lossiguientes 1000 refrescos?d) d) ¿Debajo de qué valor se obtiene el 25% más pequeño de los refrescos?

r. a) 0.0548b) 0.4514c) 23d) 189.95 ml

4. 4. El diámetro interno ya terminado de un anillo de pistón está normalmente distribuido con

una media de 10 cm y una desviación estándar de 0.03 cm.a) a) ¿Qué proporción de los anillos tendrá un diámetro interno que exceda de 10.075 cm?b) b) ¿Cuál es la probabilidad de que un anillo de pistón tenga un diámetro interno entre

9.97 y 10.03 cm?c) c) ¿Debajo de qué valor de diámetro interno caerá el 15% de los anillos de pistón?

r. a) 0.0062b) 0.6826c) 9.969 cm

5. 5. Un abogado se traslada diariamente de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de

la ciudad. En promedio el viaje le toma 24 minutos con una desviación estándar de 3.8minutos. Asuma que la distribución de los tiempos de traslado está normalmente distribuida.

a) a) ¿Cuál es la probabilidad de que un traslado le tome al menos ½ hora?b) b) Si la oficina abre a las 9:00 AM y él sale de su casa a las 8:45 AM diariamente ¿Qué

porcentaje de las veces llega tarde a su trabajo?c) c) Si deja su casa a las 8:35 AM y en la oficina se sirve un café entre las 8:50 y las 9:00

AM ¿Cuál es la probabilidad de que se pierda el café?d) d) Encuentre el periodo arriba del cual se encuentra el 15% de los traslados más lentos.e) e) Encuentre la probabilidad de que 2 de los siguientes traslados tomarán al menos ½

hora.r. a) 0.0571



b) 99.11%c) 0.3974d) 27.952e) 0.0092

6. 6. Las estaturas de 1000 estudiantes están normalmente distribuidas con una media de 174.5cm y una desviación estándar de 6.9 cm. Suponiendo que las alturas se registran cerrando losvalores a los medios centímetros, ¿Cuántos estudiantes tendrían estaturas

a) a) menores que 160.0 cm?b) b) entre 171.5 y 182 cm?c) c) de 175 cm?d) d) mayores que o iguales a 188.0 cm?

r. a) 16b) 549c) 28d) 27

7. 7. Una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $9.25 por hora con unadesviación estándar de 60 centavos. Si los salarios están distribuidos aproximadamente enforma normal y los montos se cierran a centavos,

a) a) ¿Qué porcentaje de los trabajadores reciben salarios entre $8.75 y $9.69 por horainclusive?

b) b) ¿el 5% más alto de los salarios por hora de empleado es mayor a qué cantidad?r. a) 56.99%

b) $10.23

8. 8. La resistencia a la tensión de cierto componente metálico está normalmente distribuida conuna media de 10 000 kg/cm2 y una desviación estándar de 100 kg/cm2. Las mediciones seregistran y se redondean a 50 kg.

a) a) ¿Cuál es la proporción de estos componentes que exceden de 10 150 kg/cm2 deresistencia a la tensión?

b) b) Si las especificaciones requieren que todos los componentes tengan una resistencia ala tensión entre 9800 y 10200 kg/cm2 inclusive, ¿qué porcentaje de piezas se esperaríaque se desecharan?

r. a) 0.0401b) 0.0244

9. 9. Si un conjunto de observaciones están normalmente distribuidas, ¿qué porcentaje de éstas

difiere de la media ena) a) más de 1.3σ?b) b) menos de 0.5σ?

r. a) 19.36%b) 39.70%

10. 10. La precipitación pluvial promedio, registrada hasta centésimas de milímetro en Roanoke,

Virginia, en el mes de marzo es de 9.22 centímetros. Suponiendo que se trata de una



distribución normal con una desviación estándar de 2.83 cm, encuentre la probabilidad de queel próximo marzo Roanoke tenga

a) a) menos de 1.84 cm de lluvia;b) b) más de 5 cm pero no más de 7 de lluvia;c) c) más de 13.8 cm de lluvia.

r. a) 0.0045b) 0.1496c) 0.0526

11. 11. La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación

estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro delperiodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo 3% de los motores que fallan, ¿qué tanlarga deberá ser la garantía que otorgue? Suponga que las vidas de los motores siguen unadistribución normal.

r. 6.24 años

12. 12.

Un proceso produce 10% de artículos defectuosos. Si se seleccionan del proceso 100artículos aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que el número de defectuososa) a) exceda de 13?b) b) sea menor de 8?

r. a) 0.1210b) 0.2033

13. 13. Investigadores de la George Washington University y el National Institute of Health

reportan que aproximadamente 75% de las personas creen que “los tranquilizantes funcionanmuy bien para que una persona esté más tranquila y más relajada”. De las siguientes 80personas entrevistadas, ¿cuál es la probabilidad de que

a) a) al menos 50 sean de la misma opinión?b) b) mas de 56 sean de la misma opinión?

r. a) 0.9966b) 0.1841

14. 14. Si 20% de los residentes en una ciudad de los Estados Unidos prefiere un teléfono blanco

que cualquier otro color disponible, ¿cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000teléfonos que se instalen en esta ciudad

a) a) entre 170 y 185 inclusive sean blancos?b) b) al menos 210 pero no más de 225 sean blancos?

r. a) 0.1171b) 0.2049

15. 15. Un fabricante de medicamentos sostiene que cierta medicina cura una enfermedad de la

sangre en el 80% de los casos. Para verificarlo, los inspectores del gobierno utilizan elmedicamento en una muestra de 100 individuos y deciden aceptar dicha afirmación si se curan75 o más.

a) a) ¿Cuál es la probabilidad de que lo que se dice sea rechazado cuando la probabilidadde curación sea, en efecto, 0.8?



b) b) ¿Cuál es la probabilidad de que la afirmación sea aceptada por el gobierno cuandola probabilidad de curación sea menor a 0.7?

r. a) 0.0838b) 0.1635

16. 16. Estadísticas publicadas por la National Highway Traffic Safety Adminitration y el NationalSafety Council muestran que en una noche de fin de semana, en promedio, 1 de cada 10conductores está ebrio. Si se verifican 100 conductores en forma aleatoria la siguiente nochedel sábado, ¿cuál es la probabilidad de que el número de conductores ebrios sea

a) a) menor de 32?b) b) más de 49?c) c) al menos 35 pero menos de 47?

r. a) 0.0778b) 0.0571c) 0.6811

17. 17.

La cantidad de tiempo durante el que funciona una cámara de vigilancia sin que se lereponga es una variable aleatoria con distribución exponencial, con β = 50 días. Determine lasprobabilidades de que una cámara así, a) tenga que ser repuesta en menos de 20 días, b) tengaque ser repuesta en al menos 40 días.

18. 18. Una refinadora de azúcar tiene 3 plantas de proceso, y todas reciben azúcar morena a

granel. La cantidad de azúcar que puede procesar una planta en un día se pude representarmediante una función exponencial con un promedio de 4 (mediciones en toneladas), para cadauna de las tres plantas. Si las plantas trabajan en forma independiente, calcular la probabilidadde que sean exactamente 2 de las tres plantas las que procesen más de 4 toneladas en un díadeterminado.

r.0.26

Apoyo Complementario Al Curso

Documents

Transcript of Apoyo Complementario Al Curso