Aportes de La Didactica de La Matematica

8/17/2019 Aportes de La Didactica de La Matematica

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Aportes de la Didctica de la Matemtica para pensar laAportes de la Didctica de la Matemtica para pensar laAportes de la Didctica de la Matemtica para pensar laAportes de la Didctica de la Matemtica para pensar laenseñanzaenseñanzaenseñanzaenseñanza

Autoras: !raciela C"emello# Mónica A$rasar# %il&ia C"ara ' Analía Crippa ( )*uipo+reas curriculares del Ministerio de )ducación

Desde hace más de tres décadas se han divulgado en nuestro país numerosos aportes

referidos a la enseñanza de la Matemática, que dieron lugar a variadas experiencias en

distintas escuelas y vienen orientando las políticas curriculares en el área desde hace varios

años, generando un enfoque concordante a través del tiempo !ste enfoque responde a las

demandas sociales emergentes en relaci"n con las competencias desea#les a desarrollar en

los alumnos, y ha sido plasmado en diferentes documentos curriculares en cuyo análisis es

necesario seguir tra#a$ando entre docentes, en espacios de tra#a$o com%n

&or ello, en esta clase desarrollaremos algunos puntos de partida generales incluidos en

Enseñar Matemática en el segundo ciclo de los Cuadernos para el aula NAP, que han sido

ela#orados a partir de diferentes tra#a$os de especialistas en Didáctica de la Matemática

EL TRABAJO MATEMÁTICO EN LA ESCUELA

Desde una perspectiva que entiende a la Matemática como una forma de producci"n, como

una cultura, incluimos a continuaci"n algunas reflexiones extraídas de los mencionados

documentos, que permiten caracterizar la práctica matemática que consideramos pertinente

promover en las aulas

“Pensar la actividad matemática en la ciencia y en la escuela

El conocimiento matemático, como ocurre con otros conocimientos y con las producciones

culturales en general, ha ido generándose y transformándose en diferentes momentos


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'

históricos, en diálogo permanente con problemas que tienen lugar en los distintos entornos

sociales y culturales

Cuando se quiere estudiar una determinada situación o interactuar con ella desde la

Matemática, se formulan preguntas que pueden referirse tanto al mundo natural y socialcomo a la misma Matemática Para responderlas, se utili!an modelos matemáticos

conocidos o se elaboran con"eturas y se producen nue#os modelos En todos, las conclusiones

que se elaboran se interpretan para determinar si responden o no a las preguntas planteadas

inicialmente

$ambi%n forma parte de este proceso me"orar la eficacia de los modelos que se crean y de las

formas de comunicar los descubrimientos, as& como establecer relaciones entre lo nue#o y lo

que ya se conoce

El proceso de construcción y las conclusiones resultantes tienen rasgos espec&ficos' un modo

particular de pensar y proceder, y conocimientos con caracter&sticas particulares Estos

conocimientos permiten anticipar el resultado de algunas acciones sin reali!arlas

efecti#amente Por e"emplo, para determinar de cuántas formas distintas puedo combinar (

entradas, )* platos centrales y )+ postres diferentes en un restaurante, es posible calcular el

producto ( )* )+ sin necesidad de armar las diferentes posibilidades y contarlas Por otra

parte, los resultados se consideran necesariamente verdaderos si, para obtenerlos, se han

respetado reglas matemáticas Por e"emplo, para la multiplicación planteada en el problema

anterior, se puede "ustificar que ( )* )+ - ( * . )+ - /( *0 )+ . - )+ )+ .,

aplicando propiedades de la multiplicación En el mismo sentido, al traba"ar con figuras en

1eometr&a es posible afirmar, aun sin hacer ning2n dibu"o, que si se construye un

cuadrilátero cuyas diagonales son distintas, este no puede ser un cuadrado pues, si lo fuera,

tendr&a sus diagonales iguales

A la #e!, la obtención de nue#os resultados conlle#a la necesidad de crear un lengua"e para

comunicarlos 3os n2meros, las figuras y las relaciones tienen representaciones cuyo uso se

con#iene entre los matemáticos

4e esta manera, la acti#idad matemática en la ciencia está muy fuertemente ligada a la

resolución de problemas y a un modo particular de ra!onar y comunicar los resultados

Esta forma de traba"ar en Matemática deber&a ser tambi%n la que caracterice

la acti#idad en el aula desde los inicios de la escolaridad 5e trata de que los alumnos entrenen el juego matemático, es decir, que se ocupen de producir conocimientos nue#os /para


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(

ellos0 frente a los problemas que se les planteen, y que debatan para #alidarlos 3uego, con la

inter#ención del maestro, los reconocerán como conocimientos que forman parte de la

Matemática As&, en la escuela, los niños deber&an ser introducidos en la cultura matemática,

es decir, en las formas de traba"ar 6matemáticamente74esde esta perspecti#a, entendemos que saber Matemática requiere dominar los

conocimientos de esta disciplina para utili!arlos como instrumentos en la resolución de

problemas, y tambi%n para definirlos y reconocerlos como ob"etos de una cultura

Reconsiderar el sentido de la Matemática en la escuela

3a concepción que cada persona se #a formando de la Matemática depende del modo en que

#a conociendo y usando los conocimientos matemáticos En este proceso, la escuela tiene un

rol fundamental, ya que es all& donde se enseña y se aprende de un modo sistemático a usar

la Matemática El tipo de traba"o que se realice en la escuela influirá fuertemente en la

relación que cada persona construya con esta ciencia, lo que incluye el hecho de sentirse o no

capa! de aprenderla

Cuando la enseñan!a de la Matemática, en lugar de plantearse como la introducción a la

cultura de una disciplina científica, se presenta solo como el dominio de una t%cnica, la

acti#idad en el aula se limita a reconocer, luego de las correspondientes eplicaciones del

maestro, qu% definición usar, qu% regla hay que aplicar o qu% operación 6hay que hacer7 en

cada tipo de problema

5e aprende qu% hacer, pero no para qu% hacerlo ni en qu% circunstancia hacer cada cosa

Esta enseñan!a ha deri#ado en dificultades que ya conocemos' por una parte, aunque

permite que algunos alumnos logren cierto ni#el de 6%ito7, cuando el aprendi!a"e se e#al2a

en t%rminos de respuestas correctas para problemas tipo, de"a afuera a muchos alumnos que

no se sienten capaces de aprender Matemática de este modo Por otra parte, lo as&

aprendido se demuestra claramente insuficiente en el momento en que se trata de usar los

conocimientos para resol#er situaciones diferentes de aquellas en las que se aprendieron

8tras #eces, la acti#idad en el aula incluye la resolución de problemas di#ersos, y se pasa de

uno a otro y a otro sin un traba"o reflei#o que #uel#a sobre lo reali!ado

$raba"ar solo resol#iendo problemas, sin eplicar o fundamentar 6matemáticamente7,

tambi%n es insuficiente El traba"o que implica #ol#er sobre lo reali!ado, por uno mismo o porlos compañeros, eige siempre una eplicitación, un reconocimiento y una sistemati!ación


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)

del conocimiento que se pone en "uego en la resolución de los problemas, en las formas de

obtenerlo y de #alidarlo 5in este proceso, los conocimientos matemáticos aprendidos en la

escuela /las nociones y las formas de traba"ar en Matemática0 no tendrán, a futuro, las

mismas posibilidades de reutili!ación, ya que quedar&an asociados a su uso en algunos casos particulares

En s&ntesis, 6cómo7 se hace Matemática en el aula define, al mismo tiempo, 6qu%7

Matemática se hace, y 6para qu%7 y 6para qui%nes7 se la enseña, lo que plantea una

disyunti#a central en relación con la construcción de las condiciones que posibilitan el acceso

a la Matemática de unos pocos o de todos

Priorizar un tipo de trabajo matemático

9esulta pues #ital que prioricemos en la escuela, desde el momento en que los niños se

inician en el estudio de la Matemática, la construcción del sentido de los conocimientos por

medio de la resolución de problemas y de la refleión sobre estos, para promo#er as& un

modo particular de traba"o matemático que est% al alcance de todos los alumnos y que

suponga para cada uno'

: ;n#olucrarse en la resolución del problema presentado, #inculando lo que se quiere resol#er

con lo que ya se sabe y plantearse nue#as preguntas

: Elaborar estrategias propias y compararlas con las de sus compañeros considerando que

los procedimientos incorrectos o las eploraciones que no los lle#an al resultado esperado

son instancias ineludibles y necesarias para el aprendi!a"e

: 4iscutir sobre la #alide! de los procedimientos reali!ados y de los resultados obtenidos

: 9efleionar para determinar qu% procedimientos fueron los más adecuados o 2tiles para la

situación resuelta

: Establecer relaciones y elaborar formas de representación, discutirlas con los demás,

confrontar las interpretaciones sobre ellas y acerca de la notación con#encional

: Elaborar con"eturas, formularlas, comprobarlas mediante el uso de e"emplos o "ustificarlas

utili!ando contrae"emplos o propiedades conocidas

: 9econocer los nue#os conocimientos y relacionarlos con los ya sabidos

: ;nterpretar la información presentada de distintos modos, y pasar de una forma de

representación a otra seg2n su adecuación a la situación que se quiere resol#er


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*

: Producir tetos con información matemática a#an!ando en el uso del #ocabulario

adecuado7

&ara generar en el aula un tra#a$o matemático de las características del que aca#amos dedescri#ir es necesario diseñar actividades que den lugar a diferentes tipos de tareas por

parte de los alumnos+ algunas que prioricen la resoluci"n, otras la comunicaci"n en forma

oral o escrita, otras la $ustificaci"n, otras la formulaci"n de preguntas a#e advertir que si

#ien el acento de dichas actividades puede estar puesto en un tipo de tarea particular, de

ning%n modo implica de$ar de lado las otras &or e$emplo, las $ustificaciones de#en estar

presentes en las distintas prácticas propias del quehacer matemático

&or otra parte, y con respecto a la construcci"n del sentido -./, dice 0uy rousseau+ 2 El

sentido de un conocimiento matemático se define no sólo por la colección de situaciones

donde este conocimiento es reali!ado como teor&a matemática< no sólo por la colección de

situaciones donde el su"eto lo ha encontrado como medio de solución, sino tambi%n por el

con"unto de concepciones que recha!a, de errores que e#ita, de econom&as que procura, de

formulaciones que retoma, etc7 -rousseau, 134(+ 156/

7sí, al seleccionar un con$unto de pro#lemas para tra#a$ar con una noci"n a enseñar, es

necesario advertir dos cuestiones &or un lado, que se trata de un recorte entre muchos

posi#les respecto de una colecci"n más amplia cuyo estudio demandará varios años de

escolaridad &recisar los criterios que fundamentan los distintos recortes en cada nivel de

concreci"n curricular, da lugar a la explicitaci"n del prop"sito particular que orienta un nivel,

un ciclo, un año, una unidad de tra#a$o &or otro lado, que ese con$unto de pro#lemas de#e

incluir aquellos que permiten analizar los límites de la noci"n en estudio, es decir, pro#lemas

en los que la noci"n no funciona como instrumento de resoluci"n 8n e$emplo es el de

considerar, en el con$unto de pro#lemas para tra#a$ar la noci"n de proporcionalidad,

algunos donde esta relaci"n no se cumpla -como es el caso de los pro#lemas de costo de

via$es en taxi, con un pago fi$o por la #a$ada de #andera y luego un costo por 9il"metro/

a#e destacar aquí en el nivel del aula que muchas veces, con la intenci"n de no confundir a

los alumnos, el maestro evita incluir este tipo de pro#lemas para enseñar un contenido,

cuesti"n que de#emos tomar en los espacios de capacitaci"n


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:

;tro didacta, hacer no puede oponerse al saber, puesto que constituye su criterio y

se fundamenta en %l 5aber y saber>hacer son dos #ertientes indisociables del pensamiento

conceptual7

6n concepto no puede ser reducido a su definición, al menos si se está interesado en su

aprendi!a"e y enseñan!a A tra#%s de las situaciones y de los problemas que se pretenden

resol#er es como un concepto adquiere sentido para el niño= ->ergnaud, 1336 + 1((@156/

!stas ideas estuvieron presentes en la ela#oraci"n de diversas producciones curriculares

como los A7& y los diseños curriculares provinciales como tam#ién en distintos materiales

de desarrollo curricular !n los diferentes documentos curriculares se plantea como

actividad principal de la clase de matemática la resolución de problemas la re!le"ión sobre

la misma, lo que involucra para el maestro tanto la elecci"n de pro#lemas desafiantes pero

adecuados para los conocimientos de sus alumnos, así como una particular gesti"n de la


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5

clase, cuestiones que, de modo general, a#ordaremos en esta clase y profundizaremos en las

restantes

LA SELECCI#N $E %ROBLEMAS

&ara atender a la construcci"n de sentido que mencionamos, será necesario precisar con

qué criterios se seleccionaran los pro#lemas que configuran el proyecto de enseñanza de un

tema particular

!n los uadernos para el 7ula del Begundo iclo se lee+

“Elegir los problemas

Estamos afirmando que el sentido de los conocimientos matemáticos se construye al resol#er

problemas y refleionar sobre ellos Esto nos plantea, en principio, algunos interrogantes

centrales' ?qu% problemas presentamos@, ?cómo con#iene seleccionar el repertorio de

acti#idades para un determinado contenido y un grupo particular de alumnos@

En principio, la posibilidad de dominar una noción matemática con suficiente ni#el de

generalidad como para poder utili!arla en distintas situaciones dependerá de que la #ariedad

de problemas considerados al estudiarla sea representati#a de la di#ersidad de contetos de

uso, de significados y de representaciones asociados a la noción $ambi%n habrá que tener en

cuenta que la noción que se quiere enseñar sur"a como una 6herramienta necesaria7 para

resol#er el problema y no como una definición que hay que aplicar, y que la presentación dela información no fomente ideas estereotipadas acerca de los modos de resolución


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4

Consideramos que cada acti#idad constituye un problema matemático para un alumno en la

medida en que in#olucra un enigma, un desaf&o a sus conocimientos matemáticos, es decir, si

estos le permiten iniciar la resolución del problema y, para hacerlo, elabora un cierto

procedimiento y pone en "uego las nociones que tiene disponibles, modificándolas yestableciendo nue#as relaciones

En este sentido, la acti#idad que puede resultar problemática para un alumno no lo es

necesariamente para otro, puesto que depende de los conocimientos de que dispone As&,

para atender la heterogeneidad en cada grupo de alumnos respecto de sus conocimientos

iniciales y dar a todos la posibilidad de construir una solución es necesario plantear buenas

preguntas, confiar en que todos los niños pueden responderlas de alg2n modo, admitir

diferentes procedimientos y, luego, traba"ar con los conocimientos que sur"an para a#an!ar

hacia los que se quiere enseñar por medio del planteo de nue#as preguntas7

on relaci"n a la selecci"n de pro#lemas, es necesario tener presente que la inclusi"n de

pro#lemas desafiantes orientados a a#ordar nuevas nociones o nuevos procedimientos, no

implica de$ar de lado instancias tendientes a la consolidaci"n de lo que se está aprendiendo

!s necesario tam#ién proponer actividades que permitan utilizar dichas nociones o

procedimientos en situaciones diferentes, lo que permitirá la extensi"n de su campo de

utilizaci"n, enriqueciendo su sentido Cam#ién es necesario pensar en actividades tendientes

a que los alumnos alcancen un mayor dominio de lo que están aprendiendo, lo que

favorecerá que dichos aprendiza$es estén más anclados y disponi#les

7demás de considerar la finalidad a que apunta cada pro#lema y el tipo de tareas que se

promueve, es necesario tener en cuenta los contextos en los que se plantean, los

significados que se priorizan, las representaciones involucradas, las varia#les didácticas

seleccionadas, el tipo de tarea que se le propone a los alumnos y el carácter de herramienta

u o#$eto que pueden revestir las nociones involucradas

7 continuaci"n nos centraremos en los contextos en que se proponen los pro#lemas, el

carácter de instrumento u o#$eto de los conocimientos involucrados y los tipos de tareas ,

reservando para las pr"ximas clases los análisis que apunten a los significados, lasrepresentaciones y las varia#les didácticas


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3

on relación a los conte!tos

eemos en los uadernos para el 7ula para el segundo ciclo+

2Para cada noción es posible considerar diferentes contetos que nos permitan plantear

problemas en los que la resolución requiera su uso Estos conte!tos podrán ser matemáticoso no , incluyendo entre estos 2ltimos los de la #ida cotidiana, los ligados a la información que

aparece en los medios de comunicación y los de otras disciplinas7 -Ministerio de !ducaci"n,

'66(+ '1/

De nuestra experiencia como capacitadores, podemos afirmar que, en ocasiones, se

interpreta que por e$emplo, 2hacer cuentas= es equivalente a tra#a$ar pro#lemas en el

contexto matemático !sta asimilaci"n nos interpela a reflexionar en la capacitaci"n so#re la

idea de que, si #ien resolver cuentas es un tra#a$o en ese contexto, puede tanto apuntar a

afianzar el dominio de una técnica como constituirse en un #uen pro#lema &ara ello es

necesario que la actividad planteada so#re las cuentas permita que se esta#lezcan 2nuevas

relaciones= o se descu#ran 2nuevos conceptos= y no se trate solo de e$ercitar 2una sucesi"n

fi$a de pasos=

&odemos analizar dos e$emplos so#re pro#lemas ligados a 2las cuentas= que forman parte

de una de las secuencias con operaciones con n%meros naturales, la ela#orada para sexto

grado

Ac&i'idad para los alumnos( $escomponer para mul&iplicar

a/ 7nalizá esta forma de multiplicar y explicá qué propiedades aseguran que los

resultados que se o#tienen son correctos+

1) x (: E

5 x ' x 3 x )

:( x ' x ' x ' E 1': x ' x ' E '*' x ' E *6)

#/ F&odrías usar este tipo de descomposiciones para hacer alguna de estas

operacionesG F&or quéG

5' x :6 E )* x '3 E )1 x (5 E


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!n esta actividad, se piden varias tareas, analizar un procedimiento para multiplicar y

$ustificarlo, y repetirlo si es posi#le para otros n%meros 7l intentar usarlo, los alumnos verán

qué condici"n de#en cumplir los factores para que el procedimiento sea posi#le, nuevo

conocimiento que deriva de la resoluci"n

Ac&i'idad para los alumnos( $i'idir sin calculadora

uando ucio no tiene la calculadora multiplica el divisor por 16, por *6, por166 para aproximar el cociente y opera así+ )*:6 + ') E

') x 16 E ')6 ')6 x * E 1'66')6 x 16 E ')66

)*:6 H ')

')66 166

'1:6

1'66 *6

3:6

')6 16

5'6')6 16

)46

')6 16

')6

')6 16

6 136

a/ 8sen el método de ucio para resolver+ :*46 + (' E 1(45* +)'* E

#/ F&iensan que podrían modificar el método de ucio para hacer la cuenta enmenos pasosG

Cam#ién en este pro#lema de#en analizar un procedimiento dado para poder repetir los

pasos seg%n lo que pide el ítem a uego, para hacerlo en menos pasos, podrán pensar en


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una transformaci"n de esos pasos @por e$emplo usando do#les o triples del x 16@ en un

nuevo pro#lema intramatemático

!n el mismo texto dice+ 63os contetos tendrán que ser significativos para los alumnos, esdecir que implicarán un desaf&o que puedan resol#er en el marco de sus posibilidades

cogniti#as y sus eperiencias sociales y culturales pre#ias Asimismo, los conocimientos

in#olucrados en el problema deberán cobrar inter%s para ellos y ser coherentes desde el

punto de #ista disciplinar7 -Ministerio de !ducaci"n, '66(+ '6/

!n relaci"n con la significatividad ha#rá que poner el foco en la capacitaci"n en dos

cuestiones a primera es que no solo es significativo un contexto que aluda al mundo

cercano, a las experiencias de la vida cotidiana Cam#ién lo son aquellos contextos que los

chicos conocen a través de cuentos, historias, via$es, programas de televisi"n, etc 7simismo

pueden ser significativas las curiosidades, los 2trucos= numéricos, los acerti$os, siempre que

los sa#eres requeridos para a#ordar la pregunta sean aquellos que los alumnos conocen

a segunda cuesti"n es que, al elegir los contextos para ela#orar pro#lemas y formular las

preguntas, es importante revisar que las preguntas tengan sentido en sí mismas, es decir,

que aludan a pro#lemas reales o verosímiles Muchas veces, las preguntas no atienden al

sentido que tiene averiguar lo que se pide a#ría preguntarse frente a ellas+ Fquién puede

necesitar sa#erloG y Fpara quéG &or e$emplo+ Fcuántos años tienen entre la mamá y la hi$aG,

Fcuántas manchas tiene una $irafaG Bi pretendemos que los alumnos consideren que la

matemática nos provee de herramientas %tiles para resolver 2verdaderos pro#lemas=,

tendremos que cuidar que lo que se pregunta tenga sentido

8n contexto que podría ser utilizado en la clase de matemática es el de los )ue*os+ Bu

inclusi"n va más allá de la idea de despertar el interés, pues permite a los alumnos resolver

pro#lemas que tienen sentido y ha#ilita a que 6hagan Matemática, es decir elaboren

estrategias propias, utilicen las representaciones que consideren adecuadas, discutan con sus

pares, epliquen sus ideas, den ra!ones de sus procedimientos y resultados, confronten sus

producciones con las de otros, acepten cr&ticas y otros puntos de #ista7 -hemello, 7grasar,

hara, '661+ )/


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1'

!ste recurso de enseñanza da lugar a plantear una considera#le cantidad de pro#lemas con

una dinámica que permite a los alumnos acordar resultados, y discutir procedimientos entre

ellos

!n relaci"n con este recurso, el foco de la intervenci"n se suele poner no s"lo en $ugarefectivamente, sino tam#ién en analizar posi#les estrategias de $uego #asadas en diferentes

conocimientos, considerando variantes al cam#iar 2algo= en la situaci"n+ los materiales, la

organizaci"n del grupo, las reglas

Berá tam#ién interesante ela#orar con los docentes actividades para plantear a los niños

luego de $ugar @algunas de $uego simulado y otras intramatemáticas@ y discutir a qué

conclusiones, reglas, formulaciones podrían arri#ar los alumnos

uando se da lugar a este tipo de ela#oraci"n en el acompañamiento, las propuestas de

actividades que plantean como tarea para los alumnos decidir c"mo $ugar, o decidir quién

gana, son más frecuentes que las que apuntan a analizar $ugadas de otros, o a ela#orar una

explicaci"n so#re por qué se $ug" de cierta forma

7 prop"sito de puntualizar el sentido de incluir $uegos en la clase de Matemática, harlot

plantea+

25i por "uego se designa una acti#idad donde el alumno reali!a con placer >que no ecluye el

esfuer!o, sino que lo sostiene>, una acti#idad que permite un funcionamiento del

pensamiento no condicionado por reglas eteriores #i#idas por el alumno como artificiales y

arbitrarias, no tengo ninguna ob"eción Además el alumno tiene derecho a que su acti#idad

sea socialmente reconocida como un traba"o serio y no como un "uego y se engañe a ciertos

alumnos con la idea de que ellos "uegan en la escuela en #e! de traba"arB

Pero si por "uego matemático, se designa una acti#idad puntual no articulada alrededor de

un campo de problemas, no anclado en el programa, sin proyecto intelectual ni institucional,

ya no estoy de acuerdo Estos momentos de a#entura matemática no son para ecluir, pero

no pueden constituir la base de un aprendi!a"e de las matemáticas Este supone la

articulación entre situaciones, que para el maestro al menos, sean ricas de progresión futura

El alumno debe sentir que %l progresa y el docente, por su lado, no puede librarse de toda

dependencia con los programas7


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1(

on relación al carácter de instrumento o de objeto

omo di$imos anteriormente, otro aspecto a considerar en la selecci"n de los pro#lemas es

si la noci"n que queremos tra#a$ar al presentar el pro#lema permite resolverlo, o si es un

o#$eto de estudio >eamos como caracteriza estas dos nociones su autora,


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1)

realizados con diferentes procedimientos, esos cálculos son 2o#$eto de estudio= Del mismo

modo, 2producir una manera de realizar un cálculo= tam#ién es un pro#lema y las dos

actividades de las páginas 5 y 4, 2Descomponer para multiplicar= y 2Dividir sin calculadora=

son e$emplos de pro#lemas donde los cálculos son o#$eto de estudio 7m#os tipos depro#lemas de#erían formar parte del proyecto de enseñanza

on relación a los tipos de tareas

!n los Cuadernos para el aula del 5egundo Ciclo leemos+

23os niños podrán reali!ar diferentes tareas En algunas ocasiones, traba"arán usando los

conocimientos matemáticos de manera impl&cita, sin nombrarlos ni escribirlos, por e"emplo,

al medir, construir, decidir cómo "ugar o calcular En otras, utili!arán los conocimientos

matemáticos de manera epl&cita' tendrán que describir cómo midieron o calcularon, qu%

instrumentos usaron para construir y qu% hicieron en cada paso, o producirán un instructi#o

para que otro construya una figura o realice un cálculo, eplicarán por qu% decidieron utili!ar

un procedimiento u otro, cómo pueden comprobar que un resultado es adecuado $ambi%n

darán ra!ones para con#encer a otro compañero de que los n2meros encontrados o las

figuras dibu"adas cumplen con las condiciones del problema< tendrán que argumentar sobre

si un procedimiento es o no correcto En otras oportunidades, será el maestro el que presente

una afirmación para que los alumnos discutan sobre su #alide!7

#nálisis de problemas

7 continuaci"n presentamos algunos pro#lemas extraídos de las secuencias ela#oradas para

este curso, y realizamos un primer análisis atendiendo a lo que venimos desarrollando

7ctividad para los alumnos+ Deudas pendientes

a/ !n una empresa lograron ahorrar en el año I54666 Juieren saldar las 1'cuotas pendientes de I'*66 de una maquinaria &agarán un #ono a sus ('empleados de I 1'66 a cada uno


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1*

@ FKicieron las mismas cuentasG

@ F!s posi#le ordenar los cálculos en grupos para hacerlos con una calculadorasin anotar resultados parcialesG

@

FKay una sola forma de hacerloG

!l pro#lema está planteado en un contexto extramatemático, dado que se trata de cálculos

que usualmente se realizan en las empresas, y que son accesi#les para los alumnos del

Begundo iclo

!n el inciso a, la tarea está centrada en resolver cálculos, para lo que es posi#le utilizar

diversos procedimientos, pues las operaciones pueden ser realizadas inicialmente en forma

separada, para luego tra#a$ar con los resultados, y tam#ién se puede armar una o dos

expresiones com#inadas

Aotemos que en este inciso, las operaciones y su orden surgen como herramientas

necesarias de resoluci"n y que su uso no está explicitado en el enunciado del pro#lema -por

e$emplo, expresando 2tengan en cuenta el orden de las operaciones=/, lo que favorece laconstrucci"n de sentido por parte de los alumnos

!n el inciso #/ se propone discutir acerca del orden en que se de#en realizar una serie de

cálculos y so#re el uso del paréntesis, lo que permite explicitar relaciones que posi#lemente

se hayan usado anteriormente de manera implícita !ste análisis implica la consideraci"n de

los cálculos y la forma de escri#irlos como o#$eto de estudio

;tro aspecto a tener en cuenta es que los datos no se presentan en el orden en el que de#en

ser usados, lo que llevará seguramente a la necesidad de leer varias veces el enunciado


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1:

Ac&i'idad para los alumnos( $escomponer para di'idir

a/ &ara resolver el cálculo 3(: ( 3, a dos amigos se les ocurrieron distintasdescomposiciones

Luan+ 366 ( 3 (: ( 3

&edro+ 3(: ( ( 3(: ( ( 3(: ( (

Fon quién estás de acuerdoG F; am#os son correctosG F&or quéG

#/ F8sarías alguna de esas descomposiciones para dividir 1436 ( 3 o ):4 ( 3G

c/ F"mo podrías descomponer *6) para que fuera fácil de dividir por 3G FN :5*G

d/ &edro dice que se puede descomponer el dividendo en una suma si cada

sumando es m%ltiplo de 3 Luan dice que no hace falta y le muestra esta cuenta,

FJuién tiene raz"nG

15:6 + 3 1566 :6 H 3

366 *) 166 46 4 : 1 E 13*

466 :

5'6

46

5'

4 1)

*

e/ &ara resolver )46 + 1', tam#ién se presentan dos maneras de descomponer el

n%mero que divide -el divisor/

)46 + 1' E )46 + 16 + ' )46 + 1' E )46 + ) + (

F!s lo mismoG F&or quéG

!n este caso se trata de un pro#lema planteado en contexto intramatemático, y la tarea

consiste en discutir resoluciones realizadas por otros+ si es posi#le, o no, descomponer en


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15

sumandos el dividendo o el divisor uego se avanza en un análisis acerca de c"mo elegir los

sumandos para descomponer el dividendo y el divisor de modo que se facilite el cálculo !s

importante tener en cuenta que, si #ien lo que dice &edro es cierto -s"lo hay que tener

cuidado y no olvidarse de los restos parciales/ conviene elegir al menos un sumando que seam%ltiplo para facilitar el cálculo y hacer menos aproximaciones Aotemos que en este caso

se prioriza un tra#a$o acerca de las propiedades de la divisi"n en cuanto o#$etos de estudio

7ctividad para los alumnos+ Kaciendo etiquetas

Dos amigas recortan papel autoadhesivo para hacer etiquetas as dos han

recortado etiquetas iguales a ésta -di#u$o/

Bol us" la tercera parte del papel que tenía y recort" una etiqueta como esta

Mili dice que us" la mitad de su papel que tenía

a/ F!s posi#le que am#as tengan raz"nG#/ Di#u$á c"mo podrían ha#er sido los papeles que tenían Bol y Milic/ !l papel que tenía Bol, o el que tenía Mili, Fpodrían ha#er sido como esteGF&or quéG

d/ Marcá en el rectángulo anterior c"mo se podrían cortar ) etiquetas igualesFKay más de una posi#ilidadG


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14

!n esta actividad se promueve un tra#a$o en el que se considera un %nico entero dividido en

partes iguales a misma está planteada en un contexto extramatemático, ya que se trata de

etiquetas que se recortan de un rectángulo inicial 7quí, dos etiquetas de igual forma y

tamaño resultan ser partes distintas -1H' y 1H( respectivamente/ de enteros diferentes, loque puede o#tenerse como conclusi"n al reconstruir cada uno de ellos !sta reconstrucci"n

podrá dar rectángulos distintos seg%n como u#iquen las partes uego, ha#rá que comparar

un rectángulo di#u$ado con los o#tenidos por los niños al hacer la reconstrucci"n, lo que

podrá o no dar el mismo di#u$o y ha#rá que ver si se puede tratar del mismo papel o no

Oinalmente, se pide o#tener cuartos en un rectángulo, lo que permitirá o#tener como

conclusi"n que partes iguales pueden tener diferentes formas

Aotemos que las tareas que se promueven apuntan a $ustificar procedimientos realizados

por otros y a representar, específicamente a di#u$ar !n todas ellas la noci"n de fracci"n

como parte de un entero funciona como instrumento implícito

7ctividad para los alumnos+ ;tros procedimientos

P a/ Di#u$á un cuadrilátero cuyas diagonales miden ) y 5 cm, de modo que

cada una corte a la otra en el punto medio

#/ F&odés asegurar que la figura que di#u$aste es igual a la que hicieron tus

compañeros sin verlasG F&or quéG

PP a/ &ara que Mariana pudiera construir esta figura sin verla, los chicos escri#ieron

estos mensa$es Freés que alguno permite construir la figuraG F&or quéG


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13

#/ FJué informaci"n ha#ría que agregar a cada mensa$e para que la figura sea un

rom#oide que se pueda superponer con el del di#u$oG

Be trata de una actividad planteada en contexto intramatemático, en la que las propiedades

de los cuadriláteros constituyen una herramienta implícita de resoluci"n !n la primera

parte, la tarea consiste en realizar una construcci"n, y luego en discutir acerca de la unicidad

o no de la misma os alumnos de#erán concluir que es posi#le construir tantos

cuadriláteros como quieran, ya que hay 2muchas= soluciones !n la segunda parte, se

promueven tareas que apuntan a la comunicaci"n escrita y a la $ustificaci"n, y permite

relacionar datos con cantidad de soluciones !n este caso las propiedades de las diagonales

del rom#oide permitirán esta#lecer las condiciones para que la construcci"n sea %nica

Los problemas su *es&ión en clase

&ara que los alumnos puedan involucrarse en una práctica matemática como la que

descri#imos, además de seleccionar pro#lemas utilizando los criterios explicitados, esnecesario tener en cuenta otras condiciones+ qué materiales pueden utilizarse, c"mo

organizaremos la clase, que interacciones entre alumnos prevemos en funci"n de la

organizaci"n propuesta, y cuáles serían las intervenciones que de#eríamos realizar durante

el desarrollo de la clase &ara analizar estas cuestiones nos remitimos nuevamente a la

lectura de los Cuadernos para el aula del 5egundo Ciclo


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'6

-Las si&uaciones de ense.an/a

En algunas ocasiones, la tarea que se propone al alumno puede presentarse solo mediante el

enunciado de un problema o con una pregunta para un con"unto bien elegido de cálculos o

con un interrogante que deba ser respondido a partir de una información publicada en eldiario o en un teto de Ciencias Naturales o de Ciencias 5ociales En otras ocasiones, habrá

que proporcionar los instrumentos de 1eometr&a para reali!ar una construcción o los

materiales para un "uego por e"emplo dados y tablas para anotar punta"es, el croquis de un

recorrido, un mapa, etc En todos los casos, una primera condición es asegurarnos de tener

disponibles los materiales a utili!ar

$ambi%n habrá que anticipar cuál es el tipo de interacciones que queremos que se den para

organi!ar distintos momentos de la clase' las de cada alumno y el problema, las de los

alumnos entre s& y las de los alumnos con el maestro Para ello, habrá que proponer, seg2n

con#enga y de manera no ecluyente, momentos de traba"o en forma indi#idual, en

pequeños grupos o con toda la clase

===========================================

En 5egundo Ciclo, es importante tambi%n que los alumnos comiencen a anali!ar el nivel de

generalidad que tienen las respuestas a los problemas que resuel#en As&, comprobar que se

pueden obtener dos triángulos iguales plegando un cuadrado de papel glas% no es suficiente

para afirmar que las diagonales de cualquier cuadrado son congruentes Asimismo, habrá

que descubrir y eplicitar que algunas afirmaciones son #erdaderas en un campo num%rico, o

para un con"unto de figuras, y no lo son para otros Por e"emplo, el producto de una

multiplicación es mayor que cualquiera de sus factores, siempre que se opera con n2meros

naturales, pero esto no es cierto si, por e"emplo, los factores son n2meros racionales menores

que )

Al anticipar el desarrollo de la clase y pre#er las condiciones necesarias para que ocurran las

interacciones que nos interesan, diseñamos una situación problemática a propósito del

conocimiento que queremos enseñar Esta situación incluye un con"unto de elementos y

relaciones que estarán presentes en la clase' el problema, los materiales, una cierta

organi!ación del grupo, un desarrollo con momentos para distintos intercambios Al

planificar, tambi%n anticipamos los diferentes procedimientos y las representaciones que

podrán usar los alumnos, nuestras preguntas y las conclusiones matemáticas posibles


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'1

La *es&ión de la clase

Demos planteado ya que, para que los alumnos desarrollen el tipo de traba"o matemático

que buscamos promo#er, serán fundamentales las inter#enciones del docente durante la

claseEl traba"o de resolución de problemas que se propone en este enfoque genera muchas #eces

inseguridad Pensamos' ?cómo #oy a presentar este problema si no muestro antes cómo

hacerlo@, ?cómo #oy a organi!ar la clase si cada uno responde de una manera distinta@ o

?cómo #oy a corregir si hay distintos procedimientos en los cuadernos@ 9especto de la

primera pregunta, para iniciar el aprendi!a"e de un nue#o conocimiento en el proyecto de

cada año escolar tendremos que presentar un problema asegurándonos de que todos hayan

comprendido cuál es el desaf&o que se les propone Para que cada alumno acepte ocuparse

de %l, es esencial generar el deseo de resol#erlo Este tipo de inter#ención, que busca que el

alumno se haga cargo de la resolución, es siempre parte del inicio de la clase, pero puede

reiterarse en distintos momentos, toda #e! que sea necesario y oportuno Es una in#itación

para que el chico resuel#a por s& solo y no una orientación sobre cómo debe hacerlo o qu%

debe hacer Para comen!ar, los niños lo resuelven de manera indi#idual o en pequeños

grupos, con diferentes procedimientos, seg2n los conocimientos de los que dispone cada

uno7

7ntes de seguir avanzando, consideremos como e$emplos dos pro#lemas y la diversidad de

procedimientos que los alumnos podrían utilizar para resolverlos identificando los

conocimientos puestos en $uego

hocolates en el cine

7na feste$" su cumple yendo al cine con sus amigas >ero y uz levaron )

chocolates para repartir en partes iguales entre las (, sin que so#re nada Di#u$a

c"mo pueden repartir los chocolates y escri#í cuánto le toca a cada una


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''

!l reparto de chocolates, se puede pensar de varias formas, dando lugar a procedimientos

diferentes+

Beguramente los chicos tra#a$arán so#re una representaci"n rectangular o cuadrada, dado

el contexto del pro#lema !n el primer procedimiento se piensa que cada chica come 1

chocolate y la tercera parte de otro, en el segundo, reci#e dos mitades y la tercera parte de

otro y en el %ltimo, reci#e una tercera parte de cada uno de los ) chocolates !n los tres

procedimientos los conocimientos que los alumnos ponen en $uego son la idea de divisi"n

como reparto, la de dividir un entero en partes iguales y las de Q y 1H(, fracciones que son la

expresi"n de una cantidad que es una parte de un todo Cam#ién las escrituras de la parte

podrán ser distintas, aditivas, con pala#ras, s"lo con fracciones unitarias, con fracciones

mayores que 1, entre otras, poniendo de manifiesto conocimientos diferentes

21 y 1H(= 1 1H( Q Q 1H(

1H( 1H( 1H( 1H( )H( 2cuatro terceras partes=

7lgunos alumnos podrían realizar procedimientos con errores marcando los tercios de la

forma siguiente+

>emos que si #ien se ha considerado que son tres partes, se ha o#viado que el reparto de#e

ser equitativo y por lo tanto las partes iguales

!nvolver un regalo

as amigas de 7na le llevaron como regalito una tar$eta a idea fue hacer una

mitad cada una en su casa, y luego pegarlas so#re un rectángulo de cartulina que

compr" >ero uando se encontraron am#as se sorprendieron porque no podíanpegarlas en el rectángulo FJué pudo ha#er ocurridoG


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'(

a no coincidencia de las partes para formar un %nico entero, pudo provenir de dos

cuestiones diferentes 8na de ellas es que no hicieran mitades del mismo rectángulo con lo

que las partes no resulta#an de igual área

;tra cuesti"n es que cada amiga pensara en una mitad de forma distinta a la otra

A C

!n términos de conocimientos, se ponen en $uego dos ideas relativas a la noci"n de fracci"n

cuando se consideran partes de cantidades+ 2para que las partes sean compara#les entre sí

de#en referirse a una misma unidad= y 2si #ien la parte de una cantidad es independiente de

la forma, dada una parte, siempre se pueden reconstruir enteros de la misma cantidad de

magnitud, que no necesariamente tienen la misma forma=

!n este caso -7, , y / se trata de tres enteros iguales, todas las partes 2mitades= tienen la

misma área y distinta forma y si se com#inan, por e$emplo, un triángulo de 7 y un cuadrado

de se o#tiene un entero de la misma área que el rectángulo original

>olviendo a la caracterizaci"n de la gesti"n de la clase, esta variedad de procedimientos

de#erá ser o#$eto de de#ate y reflexi"n, tal como se explicita a continuaci"n retomando el

texto incluido en los uadernos para el aula a#e señalar que este análisis de lo producido

no necesariamente se realiza inmediatamente después de terminar de resolver &or

e$emplo, algunos procedimientos podrían conservarse para ser retomados en otra clase

6=, habrá que dar lugar a un intercambio donde participen todos los alumnos y en el que se

#ayan eplicando las diferentes aproimaciones al conocimiento que se quiere enseñar, y

debatir sobre ellas Al anali!ar las diferentes soluciones, tendremos que #alori!ar de igual


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')

modo todas las producciones, ya sea que permitan o no arribar a una respuesta al problema

planteado

Al dar lugar a la presentación y eplicación de los procedimientos utili!ados por los chicos, es

necesario animarlos a dar razones de lo reali!ado, a eplicar por qu% lo hicieron de cierta forma, a argumentar sobre la #alide! de sus producciones Esto les permitirá #ol#er sobre lo

que han pensado, para anali!ar sus aciertos y errores, y controlar, de este modo, el traba"o

Alentarlos a hablar o participar a aquellos que no lo hacen espontáneamente significa

traba"ar suponiendo que los chicos pueden progresar y no que #an a fracasar

En alg2n caso, recuperar todas las producciones escritas distintas, y presentarlas en con"unto

para compararlas y discutir cómo me"orar cada una, puede contribuir a 6despersonali!ar7 las

mismas, focali!ando el análisis en su #alide! o ni#el de generalidad y no en los conocimientos

de quienes las elaboraron As& el 6error7 de unos se capitali!a en la refleión de todos

Este traba"o incorpora a los alumnos en el proceso de e#aluación en un lugar diferente del

habitual, donde quedan a la espera de la palabra del docente que les ratifica de inmediato si

lo que hicieron está bien o no 5i han asumido como propia la tarea de resolución, querrán

saber si lo producido es o no una respuesta a la pregunta que organi!ó el quehacer

matemático en el aula El debate del con"unto de la clase dará por #álida o no una respuesta,

y lle#ará a la modificación de los procedimientos que conducen a errores

En un comien!o, las ra!ones que los alumnos den al debatir se apoyarán en e"emplos,

comprobaciones con materiales como plegar papeles o tomar medidas, entre otros casos,

para luego a#an!ar hacia el uso de propiedades

A la #e!, estas 2ltimas se enunciarán con distintos ni#eles de generalidad< por e"emplo,

pasaremos de' Pod%s hacer F G H y te da lo mismo que H G F, en el Primer Ciclo, a' Al sumar es

posible cambiar el orden de los n2meros, en el 5egundo Ciclo

Con la inter#ención del maestro, se reconocerán y sistemati!arán los saberes que se #an

descubriendo Esta tarea de establecer relaciones entre las conclusiones de la clase y el

conocimiento matemático al que se pretende llegar, introduciendo las reglas y el lengua"e

espec&ficos, y entre los conocimientos ya incorporados y los nue#os, es una tarea que está

siempre a cargo del maestro y que resulta imprescindible para que los alumnos identifiquen

qu% han aprendido


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'*

Para esto, no tenemos que basarnos en ning2n esquema r&gido Esas inter#enciones pueden

darse en distintos momentos, siempre que sean oportunas< es decir que lleguen despu%s de

que los alumnos hayan desplegado sus propios ra!onamientos

El camino propuesto no implica diluir la palabra del maestro$ Cuando los chicos estánresol#iendo los problemas solos o con su grupo, el maestro podrá pasar cerca de cada uno,

atendiendo lo que #an haciendo, los t%rminos que usan, lo que escriben, qui%nes no

participan y qui%nes siguen atentamente aun sin hablar lo que hacen sus compañeros 4e

tal modo, el maestro tendrá un registro del con"unto de conocimientos que se despliegan en

la clase Esta información será fundamental para tomar decisiones en el momento del

debate' ?qu% grupo con#iene que hable primero@, ?cuáles tienen una respuesta similar@,

?qu% procedimiento es el más potente para hacer a#an!ar el debate hacia el conocimiento

que se espera enseñar@ Esto permitirá optimi!ar el tiempo dedicado

a la puesta en com2n, de manera que no resulte tediosa para los alumnos ya que, cuando los

procedimientos son muy similares, bastará con tomar como ob"eto de análisis la producción

de uno solo de los grupos

El docente tampoco queda al margen del debate de la clase, puesto que es %l quien lo

conduce A #eces, las conclusiones a las que los chicos llegan en con"unto son parcialmente

#álidas All&, el maestro podrá decir, por e"emplo' Por ahora acordamos que resol#emos as&<

en la próima clase lo seguiremos #iendo 4e esta manera, inter#iene en el proceso sin

anticiparse, pero de"ando marcas, planteando la pro#isoriedad de lo acordado o alguna

contradicción que queda pendiente por resol#er As&, no in#alidaremos el traba"o de la

6comunidad clase7, pero de"aremos instalado que hay alguna cuestión que hay que seguir

discutiendo

En relación con el modo de organizar la clase frente a las distintas respuestas y tiempos de

traba"o de los niños, los docentes muchas #eces planteamos situaciones para que sean

resueltas por todo el grupo, lo que nos permite #alorar, corregir, hacer señalamientos a las

inter#enciones de los alumnos

Es cierto que es más fácil lle#ar adelante el traba"o colecti#o sobre un 2nico procedimiento,

pero de este modo se corre el riesgo de que solo un grupo de alumnos participe acti#amente

siguiendo al maestro, mientras otros se quedan al margen de la propuesta< y aunque todos lo

siguieran, lo aprendido se limita a una 2nica manera de pensar


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':

3a alternati#a que proponemos a la organi!ación habitual de la clase, seg2n nuestros

ob"eti#os, será armar la acti#idad de distintas maneras' indi#idual, por pares o grupos de más

alumnos, y aun con distintos tipos de tareas para cada grupo o dentro del mismo grupo,

alentando la mo#ilidad de los roles y estando atentos a la posible configuración deestereotipos que, lamentablemente, algunas #eces hacen que la discriminación se eprese en

la clase de Matemática

$anto los momentos de traba"o indi#idual como los compartidos en grupo aportan al alumno

un tipo de interacción diferente con el conocimiento, por lo que ambos deberán estar

presentes en la clase

Muchas #eces, cuando estamos a cargo de un plurigrado , separamos a los niños seg2n el

añoIgrado que cursan, y #amos atendiendo a un grupo por #e!

5in embargo, a la hora de reali!ar adaptaciones a las acti#idades presentadas, es importante

tener en cuenta el enfoque de enseñan!a, de manera de no perder la rique!a de las

propuestas que ofrecemos Por e"emplo, para alcan!ar determinados aprendi!a"es, es

indispensable generar espacios de debate en los que deber&an participar alumnos que

compartan repertorios de conocimientos y ni#eles de análisis similares 5in embargo, ocurre

muy frecuentemente que en estos escenarios haya solo uno o que sean muy pocos los

alumnos en alguno de los añosIgrados, lo que hace imposible organi!ar un #erdadero debate

entre ellos En estos casos, proponemos agrupar niños de #arios añosIgrados y organi!ar

acti#idades con un conteto com2n, proponiendo una tarea distinta a cada grupo, de modo

que los desaf&os sean adecuados a los distintos conocimientos de los alumnos Esto permite

que en el momento de la confrontación todos los alumnos puedan entender las discusiones

que se generen e incluso puedan participar de las mismas, aunque no sean originadas por la

acti#idad que le correspondió a su grupo Por e"emplo, se podr&a proponer para grupos

armados con niños de FJ, (J y .J añosIgrados un "uego como 63a escoba del uno7 ) de cartas

con fracciones, diferenciando la comple"idad a la hora de anali!ar las partidas simuladas

En esta propuesta, el cuaderno o la carpeta tiene diferentes funciones' en %l, cada chico

ensaya procedimientos, escribe conclusiones que coinciden o no con su resolución y,

e#entualmente, registra sus progresos, por e"emplo, en tablas en las que da cuenta del

repertorio de cálculos que ya conoce 4e este modo, el cuaderno o la carpeta resultan un

registro de la historia del aprendi!a"e y los docentes podemos recuperar las conclusiones quelos alumnos hayan anotado cuando sea necesario para nue#os aprendi!a"es


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'5

En este sentido, con#iene además con#ersar con los padres que, acostumbrados a otros usos

del cuaderno, pueden reclamar o preocuparse al encontrar en %l huellas de errores que para

nosotros "uegan un papel constructi#o en el aprendi!a"e 4e todos modos, es recomendable

discutir con el equipo de colegas de la escuela cómo se registra en el cuaderno la presenciade una producción que se re#isará más adelante

$ambi%n el pizarrón tiene diferentes funciones All& aparecerá todo lo que sea de inter%s para

el grupo completo de la clase, por e"emplo' los procedimientos que queremos que los

alumnos comparen, escritos por un representante del grupo que los elaboró o por el maestro,

seg2n lo que pare!ca más oportuno

Con#endrá usar tambi%n papeles afiche o de otro tipo para lle#ar el registro de las

conclusiones, como tablas de productos, acuerdos sobre cómo describir una figura, etc, para

que el grupo las pueda consultar cuando sea necesario

Promo#er la diversidad de producciones es un modo de incluir a todos en el aprendi!a"e, de

generar confian!a en las propias posibilidades de aprender y de poner en e#idencia la

multiplicidad de formas de pensar frente a una misma cuestión, as& como la necesidad de

acordar cuáles se consideran adecuadas en función de las reglas propias de la Matemática

Es muy importante instalar en la escuela las condiciones necesarias para que los niños

sientan que los errores y los aciertos surgen en función de los conocimientos que circulan en

la clase, es decir que pueden ser discutidos y #alidados con argumentos y eplicaciones Es as&

como pretendemos que los chicos #ayan internali!ando progresi#amente que la Matemática

es una ciencia cuyos resultados y progresos se obtienen como consecuencia necesaria de la

aplicación de ciertas relaciones y del debate entre quienes las plantean, y no como una

práctica de la adi#inación o del a!ar o un saber que no sufre transformaciones

4e todos modos, sabemos que seleccionar problemas y secuencias de acti#idades que

puedan ser abordadas por los alumnos de la clase con distintas herramientas, e inter#enir

con#enientemente para que todos puedan a#an!ar, supone para nosotros una dificultad

mucho mayor que la de presentar un problema que la mayor&a resuel#e de la misma manera

Kui!á nos d% un poco de tranquilidad saber que a traba"ar en grupo se aprende y que, en el

inicio de este aprendi!a"e, hay que tolerar una cuota de desorgani!ación, hasta que los

alumnos incorporen la nue#a dinámica

na cuestión ligada a la organi!ación de la enseñan!a que con#iene tener en cuenta es la dearticular, en cada unidad de traba"o, alg2n con"unto de acti#idades que formen una


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secuencia para desarrollar cierto contenido El criterio que utili!amos al presentar algunos

e"emplos en el apartado 6Propuestas para la enseñan!a7 es que en cada nue#a acti#idad de

una misma secuencia se tome como conocimiento de partida aquel que haya sido

sistemati!ado como conclusión en la anterior8tra cuestión tambi%n ligada a la elaboración de una unidad de traba"o, y que permite

me"orar el uso del tiempo de clase, es la articulación de contenidos Algunos contenidos

relacionados con distintos NAP pueden abordarse en una misma unidad y a2n en una misma

secuencia Por ello, es con#eniente tener en cuenta que la presentación de los NAP no indica

un orden de enseñan!a y que, antes de armar las unidades, es indispensable tener un

panorama de la totalidad de la propuesta7


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BIBLIO0RA12A

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Aportes de La Didactica de La Matematica

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