APLICACIONES DE RELACIONES BINARIAS

Sesin Nro. 09Departamento de Ciencias

RECORDEMOS SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MTODO GRFICOQu relacin se tiene entre el sistema de ecuaciones y el grfico?

Cmo se determin el trazado de las rectas ?

Cuntos semiplanos observas en el grfico?

El par ordenado (0;0) es solucin de alguna ecuacin?

Podras ubicar algn par ordenado que pertenezca a la inecuacin 2x+y < 5?

APLICACINEn un taller dispone semanalmente de 24 kg de algodn y 15kg de lana para la produccin de dos tipos de tapices decorativos A y B, segn los siguientes requerimientos : Tapiz A : 200gr de algodn y 100gr de lanaTapiz B : 200gr de algodn y 300gr de lana

Si el tapiz A se vende a S/ 40 y el tapiz B a S/ 60; determina las restricciones y plantea la funcin objetivo determinando el mximo ingreso.

LOGRO DE SESINAl finalizar la sesin, el estudiante resuelve problemas aplicativos de programacin lineal, relacionados a la economa y la gestin, para maximizar o minimizar cantidades, usando las grficas de las relaciones.

Inecuacin lineal con dos incgnitas.Sistema de inecuaciones con dos incgnitas.Programacin lineal.

Contenidos

1. INECUACIN LINEAL CON DOS INCGNITASInecuacin lineal con dos incgnitas es la que suele expresarse mediante cualquiera de las desigualdades siguientes:

a.x + b.y cTambiny m.x + na.x + b.y cTambiny m.x + na.x + b.y < cTambiny < m.x + na.x + b.y > cTambiny > m.x + n

La solucin es el conjunto de pares (x,y) que satisface la desigualdad.

La solucin siempre va a ser un SEMIPLANO.

Para hallar la solucin de una inecuacin lineal con dos incgnitas debemos recurrir al mtodo grfico. La frontera del semiplano puede o no formar parte de la solucin si la inecuacin contiene o no el signo de la igualdad (=).

*

Ejemplo 1

- x + 2 y 2 0

Despejada y:

2y x + 2y (x + 2) / 2y 0,5 .x + 1

Dos puntos de la recta frontera:

Tabla: x y

01- 20

Como y la solucin es el semiplano inferior. El punto ( 0, -3 ) pertenece a la solucinEl punto ( 1, 3 ) no pertenece a la solucin

Ejemplo 2

x + y 4 > 0

Despejada y: y > 4 - x

Dos puntos de la recta frontera:

Tabla: xy0440Como y > la solucin es el semiplano superior

Como no contiene el signo igual (=), la recta frontera no forma parte de la solucin.El punto ( 0, 0 ) no pertenece a la solucinEl punto ( 7, 7 ) pertenece a la solucin

Ejemplo 3

x - 3 0

Despejada y: x 3

Dos puntos de la recta frontera.Tabla: xy 30 33

Como x > la solucin es el semiplano derecho

Como contiene el signo igual (=), la recta frontera forma parte de la solucin.El punto ( 0, - 2 ) no pertenece a la solucinEl punto ( 5, 3 ) pertenece a la solucin

2. SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCGNITASEn un sistema de inecuaciones lineales con dos incgnitas (x , y ) la solucin del sistema ser la interseccin de los dos semiplanos soluciones de las inecuaciones del sistema. Esta satisface todas las desigualdades.

Para hallar la solucin de un sistema de inecuaciones lineales con dos incgnitas debemos recurrir al mtodo grfico. La frontera de cada semiplano puede o no formar parte de la solucin si la inecuacin contiene o no el signo de la igualdad (=).

Ejemplos:

EJEMPLO 1

Sea el sistema y 4 0(1) - x + y > 0(2)

Despejamos las y: y 4(1) y > x(2)

Representamos las rectas fronteras de la solucin:

Tabla (1) Tabla (2) x yx y 0 40 0 4 44 4

Sealamos los semiplanos segn el signo de las desigualdades.

La solucin es la zona rayada comn.El punto ( 3, 0 ) no pertenece a la solucinEl punto ( 0, 4 ) pertenece a la solucinZONA SOLUCIN

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EJEMPLO 2

Sea el sistema - x + y > 0 (1) x + y 4 0 (2)

Despejamos las y: y > x (1) y 4 - x (2)

Representamos las rectas fronteras de la solucin: Tabla (1)Tabla (2) xyx y 000 4 444 0

Sealamos los semiplanos segn el signo de las desigualdades.La solucin es la zona rayada comn.ZONA SOLUCINCEl punto ( 2, 0 ) no pertenece a la solucinEl punto ( 2, 4 ) pertenece a la solucin

EJEMPLO 3

Sea el sistema: 5x + 2y 1200 (1) x + 2y 400 (2)

Despejamos las y:

y 600 2,5x y 200 0,5x

Representamos las rectas fronteras de la solucin: Tabla (1)Tabla (2) xyx y 06000 200 200100400 0

Sealamos los semiplanos segn el signo de las desigualdades.La solucin es la interseccin de las zonas sombreadas.XYZONA SOLUCINEl punto ( 100, 300 ) no pertenece a la solucinEl punto ( -100, 0 ) pertenece a la solucin

Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 soles por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos ms grandes, le paga 7 soles por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que cabe 120, y otra para los impresos B, en la que cabe 100. Ha calculado que cada da es capaz de repartir 150 impresos como mximo. Lo que se pregunta el estudiante es: Cuntos impresos habr que repartir de cada empresa para que su beneficio diario sea mximo?

*

Cantidad de impresos de la empresa A Cantidad de impresos de la empresa BLa funcin objetivo es

Con las restricciones:

120150100150Vrtices:ACBDE

Ahora remplazamos cada vrtice en la funcin a maximizar Por lo tanto: Para que su beneficio sea mximo habr que repartir 50 impresos de la empresa A y 100 impresos de la empresa B Mximo

Gutirrez Gmez, Andrs; Garca Castro, Fernando (1981) (en espaol). lgebra lineal (1 edicin).Ediciones Pirmide, S.A.ISBN 978-84-368-0174-3.