APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE (GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS)

Si tenemos una masa distribuida de modo continua sobre una región A del plano xy, un elemento dm de masa será

dm= (x, y)dydx= (x, y)=dA En donde = (x, y) es la densidad en el punto (x, y) de A, en tal supuesto, cabe utilizar una integral doble para calculara) la masa

M="r" (x, y)dA; b) el primer momento de la masa respecto al eje x

Mx="" y (x, y)dAc) su primer momento respecto al eje y,

My="" x(x, y)dADe a y b se deducen las coordenadas del centro de masa

Otros momentos de importancia en las aplicaciones a la mecánica son los momentos de inercia de la masa. Estos son los segundos momentos que se obtienen utilizando los cuadrados en lugar de las primeras potencias de las distancias o brazos de palanca x y y. Así el momento de inercia respecto al eje x representado por Ix se define por

y el momento de inercia respecto al eje y es

Tiene también interés el momento de inercia polar respecto al origen dado por

Esta ultima formula r2=x2+y2 es el cuadrado de la distancian desde el origen al punto representativo (x, y)En todas estas integrales deben ponerse los mismos límites de integración que si se tratara solo de calcular el área de A.Observación 1.- Cuando una partícula de masa m gira alrededor de un eje, y describiendo una circunferencia de radio r con velocidad angular o velocidad lineal v= r, su energía cinética es

½mv²=½mr²².Si un sistema de partículas de masa m1,m2,…,mn gira alrededor de su eje con la misma velocidad angular q, siendo r1,r2,…,rn sus distancias al eje de giro, la energía cinética del sistema es

Donde

Es el momento de inercia del sistema respecto al eje en cuestión que depende de los valores mk de las masas y de sus distancias rk.

Cuando una masa m se mueve sobre una recta con velocidad v como su energía cinética es ½mv², y se precisa una cantidad de trabajo para detener la partícula. Esta forma análoga, si un sistema de masas efectúa un movimiento de rotación como en el caso de un volante, la energía cinética de que esta animado esto

y se necesita esta misma cantidad de trabajo para llevar al reposo el sistema giratorio. Vemos que I desempeña en este caso el mismo papel que ejerce m volante en el movimiento rectilíneo. En cierto sentido el momento de inercia de un volante el lo que se opone a iniciar o detener su movimiento de rotación de igual modo que la masa de un automóvil podría consumir trabajo para iniciar o detener su movimiento.Si en lugar de un sistema discreto de partículas, como en las ecuaciones 17, 18, se tiene una distribución continua de masa en un alambre, una placa delgada o un sólido, hay que dividir la masa que total en elementos de masa m tales que si r representa la distancia de cierto punto de m a un eje, todos los demás puntos del elemento m se hallan a distancia r± del eje donde 0 cuando tienden a cero la máxima dimensión del m. El momento de inercia de la mas total respecto al eje en cuestión se define por

Así, por ejemplo, el momento polar de inercia dado por la ecuación de un eje z trazado por el punto 0 perpendicular al plano xy.Además de su importancia en relación con la energía cinética de los cuerpos en rotación, el momento de inercia desempeña un papel decisivo en la teoría de la flexión de vigas cargadas, cuyo “coeficiente de rigidez” viene dado por EI, siendo E el modulo de Young, e I, el momento de inercia de una sección recta de la viga respecto a un eje horizontal que pasa por su centro de gravedad. Cuanto mayor sea I, tanto mejor resistirá la viga a la flexión. Este hecho se utiliza en las vigas de perfil en I con cuyas alas superior e inferior están a distancias relativamente grandes del centro, y proporcionan, por tanto, mayores valores de r2 en la ecuación 20, contribuyendo así a incrementar el momento de inercia respecto al que sería si toda la masa se hallase distribuida uniformemente; por ejemplo, en una viga de de perfil cuadrado.Observación 2.- Los momentos son también importantes en estadística. El primer momento se utiliza en el calculo de la media (es decir, valor promedio) de un conjunto de datos. El segundo momento (que corresponde al momento de inercia) se usa en el cálculo de varianza (r²) o de la desviación típica (r).Los momentos tercero y cuarto también se Emplean en relación con ciertas magnitudes estadísticas denominadas torcimiento o sesgo y curtosis y el momento de t-ésimo se define por

En esta expresión; rk recorre todos los valores de la variable estadística en consideración por ejemplo: rk puede representar altura en centímetro o peso en decagramos, etc. Mientras que mk Es el número de individuos de todo el grupo cuya “medida” es igual a rk. Una tabla de valores mk en función de rk constituye una “distribución de frecuencias”, de la Mt es el t-ésimo momento. La medida r se define por

donde M1 es el primer momento, y m="mk, el número total de individuos de la “población” considerada. La varianza r2 depende del segundo momento respecto a la media, y se define por

donde es la llamada desviación típica. Tanto la varianza como la desviación típica miden la forma en que los valores de r tienden a agruparse en torno a r (pequeños valores de ) o a diseminarse (grandes valores de ). Mediante transformaciones

algebraicas en , la varianza se puede escribir también así

Hay una diferencia esencial entre el significado atribuido a y en el caso de la fórmula

que expresa el área en la figura 5 bajo la curva y=f(x) desde x=a a x=b, y el que se le da en las integrales dobles de las ecuaciones 12 a 13. En 23 se debe remplazar y por f(x) deducido de la ecuación de la curva, antes de integrar, puesto que y significa la ordenada del punto (x, y) sobre la curva y=f(x). Pero en el caso de las integrales dobles a a b no hay que reemplazar por una función de x antes de integrar, porque el punto (x, y) es, en general, un punto del elemento dA=dydx y x e y son variables independientes. Las ecuaciones de las curvas que constituyen la frontera la región A intervienen solo en los límites de integración. Así:1.- En el caso de integrales simples tales como

no se integra respecto a y, sino que se sustituye y por su valor en función de x antes de realizar la integración.2.- En el caso de integrales dobles, tales como

hay que integrar respecto a y; por consiguiente no se debe sustituir y antes de efectuar la integración. Las ecuaciones y=f1(x) e y=f2(x) de las curva de contorno de A se utilizan para los límites de integración y solo se deberán sustituir después de efectuar la integración.

Bibliografía propuesta

Libro: Cálculo Tomo IIAutor: Roland E. Hostetler Robert P.Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano

Libro: Cálculo con Geometría AnalíticaAutor: Swokowski Earl W.Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano