Otras Aplicaciones de La Integral

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Capítulo 2Integral definida

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Integral definida 2

En e l c apítulo anterior estudiam os la integ ral inde finida,

la c ual perm itía a través de un p ro ceso inverso a la deri - 

vación, llegar a una func ión prim itiva que se llamó anti- 

derivada. Este proceso permitió partir de funciones como 

el ingreso marginal, el co sto marginal y la utilidad margi- 

nal respectivamente a las funciones de ingreso to tal, cos- 

to tot al y u tilid ad to tal. En este capítulo se estud iará el 

proc eso de integrac ión definida el cual nos lleva a deter- 

m inar un área lim itada po r c urvas, que nos servirá para 

estudiar otras apl icacion es como el excedente del con- 

sumidor y del produ ctor.

INTEGRAL DEFINIDA

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M atemática II

PLAN DEL CAPÍTULO

1. CÁLCULO DEL ÁREA MEDIANTE RECTÁNGULOS Y TRAPECIOS

2. INTEGRACIÓN DEFINIDA

3. APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN DEFINIDA

4. PRÁCTICAS CON INTEGRAL Y DERIVE

OBJETIVO GENERAL

• El estudiante podrá desarrollar problemas sencillos de aplicación de laintegral definida en el campo de la economía y la administración,apoyado en el uso de un sof tware de matemática.

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Integral definida 21. INTEGRACIÓN DEFINIDA

La necesidad de evaluar las áreas de figuras fue uno de los factores que motivó hacia el desarrollo del cálculo

integral. En la geometría euclidiana o plana existen fórmulas que nos permiten determinar las áreas respecti-

vas, tal es el cado de rectángulos, triángulos, cuadrados, etc. Sin embargo, no hay fórmulas para calcular elárea de figuras limitadas por curvas. Podemos lograr una aproximación por métodos gráficos convirtiendo el

área en múltiples rectángulos o trapecios, y haciendo la suma de las áreas de estos. Esto último nos lleva a la

interpretación de la integral definida como el área entre curvas.

Básicamente la integral definida nos indica un área entre unas

curvas, aunque esta área nos sirva como modelo para repre-

sentar otros fenómenos. Partiremos del estudio de la obten-

ción de la derivada por métodos gráficos. Los métodos gráfi-

cos incluyen aproximación por rectángulos, (Véase el ejemplo

1), los cuales se pueden aplicar como rectángulos de un ancho

determinado y como altura el valor de la función en el punto

medio, o como el promedio entre el área entre el rectángulo

conformado por la altura máxima de la función en el subinter-

valo y el conformado por la altura con el valor mínimo; y la

aproximación por trapecios. (véase elejemplo 2).

La integración a partir de métodos gráficos nos proporciona

una clara idea del área que estamos calculando, sin embargo

resulta ser imprecisa y si queremos un alto grado de precisión

el proceso se hace muy largo. Frente a esto existe el procesode integración indefinida por medio de reglas algebráicas, a tra-

vés del uso de unos teoremas conocidos como el teorema fun-

damental del cálculo y el teorema de Barrow. No nos detendre-

mos en lo específico de estos teoremas sino que veremos en

que consiste el proceso de hallar la integral definida en laex-

plicación 1 y el ejemplo 3.

La idea de estudiar el proceso de integración en este módulo

apunta a su aplicación en el estudio de algunos fenómenos

administrativos como gastos de mantenimiento y recaudo defondos, y económicos como el excedente del consumidor (véan-

se la explicación 2 y los ejemplos 4 al 6), del productor

(véanse laexplicación 3 y los ejemplos 7 al 9) y la relación

ingreso - costo. En tales casos puede determinarse el punto,

en el tiempo, donde el ingreso producido se iguale con el costo

del factor. Véanse laexplicación 4y losejemplos 10 (utili-

dad máxima),11 (valor de salvamento) y12 (ingreso total).

Oferta. Número de artículos de un productoque es puesto en el mercado para laventa.

Demanda. Número de artículos de un pro-ducto, que los consumidores estandispuestos a comprar en un momentodado.

Ingreso Marginal. Ingreso adicional que serecibe por producir y poner en el mer-cado un artículo más. Matemática-

mente se entiende como la variacióndel ingreso total en función de las va-riaciones unitarias de la cantidad deartículos vendidos.

Costo marginal. Costo adicional de produ-cir un artículo adicional. Se entiendecomo la variación del costo total res-pecto a variaciones unitarias de lacantidad producida.

VOCABULARIO

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M atemática II

Ejemplo 1. Cálculo mediante rectángulos

Supongamos que se necesita saber el área que hay bajo la

recta 321 +=   x y , y entre los valores x= 5 y x= 10. Se en-

tiende entonces que nos referimos al área encerrada entre larecta indicada y el eje horizontal x, que por los lados está limita-da por rectas verticales que cortan los valores de x: 5 y 10.Véase la figura 1.

Cuente cuantas cuadrículas quedaron sombreadas: 31 comple-tas, más otros fragmentos que podrían sumar entre dos y tres.Intuitivamente diremos que el área que intentamos medir tiene un

valor entre 33 y 3 4.

Como no siempre es posible construir cuadrículas con alturaentera, entonces podemos hacerlo calculando rectángulos deun ancho determinado y de altura correspondiente al valor me-dio de la función para obtener una aproximación. Así, tomemosesta vez un ancho de rectángulo de uno . El primer rectángulo iráde cinco a seis y tendrá como ancho el valor de y para el pro-

medio entre 5 y 6 es decir para 5,5 será 75,535,52

1=+= y .

Así, el valor del área del primer rectángulo es (5 ,75)·1= 5,75;

El á re a p ar a x= 6 , 5 : 25,635,62

1=+= y , se rá

(6,25) ·(1)= 6,25

El á re a p ar a x= 7 , 5 : 75,635,72

1=+= y , se rá

(6,75) ·(1)= 6,75y así sucesivamente:

Área = 5 ,7 5 + 6 ,2 5 + 6 ,7 5 + 7 ,2 5 + 7 ,7 5 = 3 3,7 5Revise el ejemplo y com pare con la figura 2. Este tipo de aproxi-mación con rectángulos resulta ser exacta para el trabajo confunciones lineales como la del ejemplo, sin embargo, en áreasdelimitadas por c urvas, presenta un c onsiderable grado de error.

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Integral definida 2 DOCUMENTOS

  Figura 1. Área bajo la recta y= 0.5x+ 3

Figura 2. Aproximación usando rectángulos.

Ejemplo 2Cálculo del área usando trapecios

Intentemos calcular ahora el área en-tre la curva  x y   5= , el eje x y los

valores de x: 2 y 8.

Podemos formar rectángulos, como enel ejemplo 1, sin embargo para lograruna mejor aproximación, usaremosahora los trapecios. Recordemos quela fórmula para hallar el área del trape-

cio es 2

)(   hb B A

  += . Revise la grá-

fica de la figura 3 y verifique ademásque uno de los lados del trapecio co-rresponde con un o de los lados d el tra-pecio siguiente. Si contamos las cua-drículas, podemos aproximar que elárea esté entre 62 y 66 unidades cua-dradas. En la parte izquierda del eje yse ha aclarado los valores que toma lafunción a los lados de cada trapecio.Para calcular el área del primer trape-c io , t enemos que la base menor

b = 5 2 = 7,07 es decir el valor de lafunción calculada en X = 2; la base

m ayo r B = 5 3 = 8 ,6 6 o el valor dela función calculado en X = 3. Estabase mayor corresponde con la basemenor del siguiente trapecio, y comose vio cada base de trapecio se calcu-

la encontrando el valor de la compo-nente y para el valor x correspondienteal límite de cada intervalo tomado.

El primer trapecio tiene como área

( )87,7

2

166,807,7

2

)(1   =

⋅+=

+=

  hb B A

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4

M atemática IIDOCUMENTOS

Ejemplo 2Continuación

Para el s iguiente t rapecio la base menor es 8,66 y la mayor B = 5 4 + 3 = 10.

El segundo trapecio tiene como área

 ( )

33,92

11066,8

2

)(2   =

⋅+=

+=

  hb B A

El ter cer tr ap ec io t i en e c o m o bas e m a yo r B = 5 5 + 3 = 1 1 .1 8 , y

área  ( )

59,102

118,11103

  =⋅+

= A

El cuar to t rapecio t iene como base mayor B = 5 6 + 3 = 12 ,25, y á rea

( )71,11

2

125,1218,114

  =⋅+

= A

El qu in to trapec io t iene como base mayor B = 5 7 + 3 = 13 ,23 , y á rea

( )74,12

2

123,1325,125

  =⋅+

= A

El sexto trapecio t iene como base mayor B = 5 8 + 3 = 14,14, y área

Por tanto el área total a medir es A = 7,87 + 9,33 + 10,59 + 11,71 + 12,74 +13,69 = 65,93. Lo cual es una buena aproximación ya que el valor real es muycercano a 66.

Conclusión: L a integral definida de  x y   5= entre 2 y 8 es 66, ó 6658

2

=∫   dx x .

Una mejor aproximación se logra si se toma un mayor número de trapecios ya quelogramos delimitar mejor el área a medir. En este caso hemos tomado 6 peropodríamos tomar 32 por ejemplo y para no demorar en el procedimiento usamos unprograma de computador y obtenemos un área de 65,99 que constituye una mejoraproximación. La actividad 1, le permitirá verificar también esta forma de aproxi-mación con el apoyo del software.

 

69,132

114,1423,136   A

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Integral definida 2 DOCUMENTOS

Figura 3. Área bajo la curva x y   5=

, la recta x y los valores 2 y 8.

EXPLICACIÓN 1INTEGRAL DEFINIDA.

La integral definida de una función con-tinua ƒ en un intervalo desde x= a hastax= b es el cambio neto de una antideri-vada de ƒ en ese intervalo. En formasimb ólica, si F(x) es una antiderivada deƒ(x) es una antiderivada de ƒ(x), enton-c es

[ ]   )()()()(   a F b F  x F dx x f    b

a

b

a

−==∫

donde F'(x)= ƒ(x), el integrando es ƒ(x),el límite superior es b y el límite inferiores a.

En otras palabras m ás coloq uiales, la in-tegral definida la obtenemos ejecutandoel proceso de integración usando la re-gla que aplique al caso, luego reempla-zamos en el resultado el límite superior,y por otro lado reemplazamos también

el límite inferior. Por últim o restamo s es-tos últ imos valores y obtendremos laintegral definida.

Tenga en cuenta que no puede haber in-tegral definida si no hay unos límites deintegración superior e inferior.No se debe confundir una integral defi-nida con una integral indefinida. La inte-

gral definida ∫

b

a

dx x f     )(

es un número

real; la integral indefinida ∫   dx x f     )(   es

un conjunto de funciones, todas antide-rivadas de ƒ(x) que entre ellas sólo sediferencian en el valor de la constantede integración.

Ejemplo 3. Integración Definida

Volvamos a los casos de los ejemplos uno y dos. En elprimero se calculó gráficamente la integral definida co-rrespondiente al área bajo la curva y= 0,5x+ 3 entre los

valores de x: 5 y 10 es decir ( )∫   +10

5

21 3 dx x .

Siguiendo el proceso indicado en la definición 1, tenemosque aplicando la regla de integración de la potencia llega-mos a:

  ( )∫   +10

5

21 3 dx x =

10

5

210

5

2

34

322

1

++=

++⋅   K  x

 x K  x

 x,

Ahora reemplazamos los valores extremos:

75,3325,2155534

5103

4

10   22

=−= 

  

 +⋅+−

 

  

 +⋅+   K  K  ,

por otro cam ino hemos llegado a que ( )∫   +10

5

21 3 dx x = 3 3,7 5.

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M atemática IIDOCUMENTOS

Ejemplo 3. Continuación

En el ejemplo 2 se calculó gráficamente la integral definida que corresponde al área bajo la curva de

 x y   5= entre 2 y 8 es 66, ó dx x∫8

2

5 . Incorporando a este ejercicio nuestro nuevo método, tenemos que:

  dx x∫8

2

5 = dx x∫8

2

2

/

5 , re-expresando según la definición de raíz. Ahora aplicando la regla de la integral de una

potencia tenemos dx x∫8

2

2

/

5 =

8

223

8

223

2

3

2

3

105

⋅=

  x x. Ahora reemplazamos los límites superior e inferior y

tenemos:

8

23

102

3

  x=

3

210

3

810

2

3

2

3

− = 7 5,9 3 - 9,4 3 = 6 6

Es decir 6658

2

=∫   dx x . En este caso se nota que el segundo proceso resulta más sencillo.

1 Adaptado de DRAPER Jean E. “M atemáticas para la Administración y Economía”, obra citada.Págs. 426-428.

EXPLICACIÓN 2EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR1

Una función de demanda representa las cantidades de un artículoque podrían comprarse a varios precios. Si el precio en el mercadoes po  y la correspondiente demanda en el mercado es qo, entoncesaquellos consumidores que estuviesen dispuestos a pagar un pre-cio mayor que el de este mercado, ganan, por el hecho de que elprecio es solamente po. Véase la figura 4.

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50

Integral definida 2

Figura 4. Excedente del consumidor.

El excedente del consumidor mide la riqueza económica desde el lado del

comprador.

Bajo ciertas hipótesis económicas la ganancia del consumidor se representapor el área situada debajo de la curva de demanda y por encima de la rectap= po. Marshall denomina a esta área Excedente del consumidor y se evalúacomo:

Excedente del consumidor = ∫   −oq

o

oo pqdqq f     )( , donde la función de de-

manda es p= ƒ(q), o también como: ∫

1

)(

 p

 podp p g  , donde la función de de-

manda es q= g(p) y p1 es el valor de p cuando q= 0, es decir, p1 es la ordena-da del intercepto con el eje y, de la función de demanda:

Excedente del consumidor = ∫   −oq

o

oo pqdqq f     )( = ∫1

)(

 p

 po

dp p g  . Véanse

los ejemplos 4 al 6.

DOCUMENTOS

Explicación 2. Continuación

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M atemática II

Ejemplo 4. Excedente del consumidor

Si la función de demanda es 2485   qq p   −−= , hallar el excedente delconsumidor (a) si qo= 5, (b) s i po= 64. Véase la figura 5.

  Figura 5. Gráfica de la demanda para el ejemplo 4

(a ) Excedente del consumidor = ( )∫   −−−5

0

2 )40)(5(485   dqqq =

2003

285

5

0

32 −

−−

  qqq = 333,33-200= 133,33

(b ) Excedente del consumidor = ( )∫   −−−3

0

2 )64)(3(485   dqqq =

1923

285

3

0

32 −

−−

  qqq = 2 28 -1 92 = 3 6

DOCUMENTOS

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Integral definida 2

Ejemplo 5. Excedente del Consumidor

Si la función de dem anda es q p   −=   9 , y qo= 5, hallar el excedente del

consumidor por dos métodos. Véase la Figura 6.

Figura 6. Gráfica de la demanda para el ejemplo 5.

Excedente del consumidor ( )∫   −−5

0

)2)(5(9   2

1

dqq =

( )   109

3

2  5

0

2

3

−−   q =

3

81018

3

16=−+− =

O también, Excedente del consumidor = ( )∫   −   dp p 29 =

3

2

3

39

−  p

 p =

3

8

3

818927   =+−− , igual que por el otro procedimiento.

DOCUMENTOS

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M atemática II

Ejemplo 6. Demanda en situación de monopolio

La cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de monopolio, se determinan por medio de la

función de demanda 216   q p   −= y por el costo marginal de tal manera que semaximice la ganancia. Determinar el correspondiente excedente del consumidor. Véase la figura 7.

Figura 7. Gráfica del excedente del consumidor para el ejemplo 6.

Ingreso =   316   qq −

Ingreso Marginal =La gananc ia se max imiza cuando e l ingreso marginal se hace igual a l cos to marginal , es dec i r

qq   +=−   6316   2 , transponemos los términos hacia la izquierda:   0103   2 =−+ qq

( )( )   0253   =+−   qq , los valores para q son -2 y 5/3, sin embargo el que tiene sentido para nuestro fin es 5/3.

P(5/3)= 16-(5/3)²= 119/9, entonces qo= 5 /3 , po= 1 19 /9 .

Ex c e d en t e p ar a el c o n s u m i d o r = ( )∫    

  

  

  

 −−

35

0

2

9

119

3

516   dqq =

27

595

316

35

0

3

− q

q =

09,381

250

27

595

81

125

3

80≈=−−

DOCUMENTOS

qdqdp MC    +==   6

2316   q−

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Integral definida 2

Cuando se establece un precio de mercado, todos

los productores ofrecen ese producto al precio delmercado; pero hay n productores que estarían dis-puestos a ofrecer el produc to a un precio menor. Elexcedente del productor es la diferen-cia entre el precio que percibe el pro-ductor y el precio al que estaría dis-puesto a ofrecer cada una de las uni-dades de producto.

El excedente del productor mide la ri-queza económ ica desde el lado del pro-

ductor.

Una función de oferta representa las res-pectivas cantidades de un artículo quepodrían venderse a varios precios. Si elprecio en el mercado es p

o  y la corres-

pondiente oferta en dicho mercado esq

o, entonces aquellos productores que

estuviesen dispuestos a vender el artí-culo a un precio inferior al de este mer-cado, ganan, por el hecho de que el pre-cio es po.

Bajo ciertas hipótesis económicas la ganancia to-tal del productor se representa por el área situadaencima de la curva de oferta y debajo de la rectap= po, llamándose esta área el excedente del pro-ductor (véase la figura 8) cuya evaluación se hacecomoExcedente del productor

=   ∫−

oq

oo  dqq f   pq0

)(, donde la función de oferta

es p= ƒ(q), o también como

Excedente del productor = ∫1

0

)(

 p

 p

dp p g  , donde la

función de oferta es q= g(p) y p1  es el valor de ycuando x= 0 (es decir, p

1 es el intercepto con p de

la función de oferta)

La suma de los excedentes constituye la contri-bución que el mercado hace al bienestar general.En competencia perfecta, dicha contribución esmáxima. De esta forma, el punto A es un puntode eficiencia pero no un criterio de equidad.El área del triángulo inferior a las áreas rayadasrepresenta los recursos productivos empleadosen la producción de equilibrio. De esta forma, losrecursos productivos están medidos en costos,ya que representan la integral del costo margi-nal. Por otra parte, si se multiplica base por altu-ra de esa área, se obtiene el costo de los consu-midores, o sea, el precio pagado por la cantidadconsumida.

EXPLICACIÓN 3EXCEDENTE DEL PRODUCTOR2

Excedente de l p roduc to r ∫−oq

oo   dqq f   pq0

)( =

∫1

0

)( p

 p

dp p g  .

Figura 8. Excedentes del productor y del consumidor.

2 Adap tado de DRAPER obr a c i tada.

DOCUMENTOS

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M atemática II

Ejemplo 7. Excedente del productor

Si la ecuación de oferta es ( )22+=   q p y el precio s e fija en p1= 25 hallar el excedentedel productor por dos métodos. Véase la figura 9.

Excedente del productor = =   ∫   −25

4

)2(   21

dp p

  ∫  

  +−=+−

3

0

32

3

)2(75)2(75

  qdqq = 36

3

8

3

12575   =+−

Como alternativa,

  ∫   −25

4

)2(   21

dp p =

25

4

23

2   23

−   p

 p=   368

3

1650

3

250=+−−

 

Figura 9. Excedente del productor para el ejemplo 7.

DOCUMENTOS

∫   +−3

0

2)2()25)(3(   dqq

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Integral definida 2

Ejemplo 8. Excedente del productor en el punto de equilibrio.

La cantidad demandada y el precio correspondiente, en situación de competencia pura se deter-

minan por medio de las funciones de demanda y de oferta,2

16   q p   −=   y q P    +=  4 ,respectivamente. Determinar el correspondiente excedente del productor (véase la figura 10).

qq p   +=−=   416   2

0122 =−+ qq

0)3)(4(   =−+   qq

q= y q= -4, sólo nos interesa el valor que aplica es decir q= 3.q

1= 3 reemplazando en una de las ecuaciones de oferta o de demanda: p

1= 7.

Excedente del produc tor =   ∫   +−

3

0

)4()7)(3(   dqq =

3

0

2

2421

+−   qq =

29

291221   =−−

El área representada por ∫   +3

0

)4(   dqq habría podido evaluarse también como por la fórmula del

área del trapecio,2

33

2

3)74(

2

)(=

+=

+=

  h Bb A . ¿Cuál es el excedente del consumidor?

  Figura 10. Excedente del productor para el ejemplo 8

DOCUMENTOS

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5

M atemática IIDOCUMENTOS

Ejemplo 9. Ambos excedentes

La cantidad demandada y el correspondiente precio, en situación de competencia pura, se determinan

con las funciones de demanda y oferta, 236   q p   −=   y4

62q

 p   += , respectivamente. Determi-

nar el correspondiente excedente del consumidor y el excedente del productor. (Véase la figura 11).

 4

6362

2   qq p   +=−= , dado que el equilibrio se registra cuando demanda y oferta son iguales,

entonces igualamos las dos fórmulas y luego despejamos el valor de q.

q²= 2 4

q= 2 6

Excedente del consumidor =   ( )( )∫   −−62

0

2 1262)36(   dqq   =

6243

36

62

0

3

− q

q   = 4,78632624616672   ≈=−−

Excedente del productor =

=   6,196864612624   ≈=−−

 

Figura 11. Excedentes del consumidor y del productor para el ejemplo 9.

( )( )   dqq

∫    

  

 −−

62

0

2

461262

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58

Integral definida 2 DOCUMENTOS

EXPLICACIÓN 4INGRESO VS. COSTO

La integración puede utilizarse en economíapara determinar la utilidad total o las ganan-cias netas totales en varios contextos. En ge-neral la utilidad se maximiza (suponiendo quees un modelo de competencia perfecta) cuan-do el ingreso marginal se iguala con el costomarginal y la ganancia total es la integral de ladiferencia entre el ingreso marginal y el costomarginal desde una cantidad cero hasta la can-tidad para la cual la utilidad se maximiza.

Recuerde del módulo de Matemática 1, que elingreso marginal es el recibido por la venta deun artículo más y se obtiene matemáticamen-te como la derivada del ingreso total, mientrasque el costo marginal es la variación en el cos-to por producir un artículo adicional y se obtie-ne matemáticamente como la derivada del cos-to total.

De acuerdo con lo anterior, podemos tambiénencontrar la función de costo total cuando co-nocemos la variación en el costo que se pre-senta al producir un ar tículo adicional, integran-do la función costo m arginal llegamos a la fun-ción de costo total, donde la constante de in-tegración es el costo de producir cero artículoes decir el costo fijo.

Para el ingreso total tenemos un proceso simi-

lar. El ingreso total se obtiene como la integraldel ingreso marginal, teniendo como constan-te de integración el valor cero, ya que se sabeque si no hay producción y venta, entonces nohay ingreso; a no ser que la actividad se en-contrara subsidiada por el Estado, caso en elcual la constante de integración corresponde-ría a dicho monto.

Ejemplo 10. Utilidad máxima

Hallar la cantidad producida que maximice la utilidady determinar la utilidad total en dicho punto si lasfunciones de ingreso marginal y de costo marginalestán dadas por:

22525   qq MR   −−=

2310   qq MC    −−=

Haciendo MR= MC= 0

03102525   22 =++−−−   qqqq

0215   2 =−−   qq

  0)3)(5(   =−+   qq

q = -5 y q = 3. No nos interesa el valor -5 por que nohay producciones negativas, por lo que el valor quenos sirve es q = 3.

La prim era derivada de M R-MC es la segunda deriva-da de la utilidad total y, por lo tanto, su signo ind ica sila utilidad se maximiza o se minimiza para un valorparticular de q .

822)(2

2

−=−−==−   qdq

U d  MC  MR

dq

d , así la

utilidad se maximiza para q = 3.

Utilidad total =

= = 45 - 9 - 9 = 27.

 

3

0

2)215(   dqqq

3

0

32

315

 

qqq

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5

M atemática IIDOCUMENTOS

Ejemplo 11. Valor de salvamento

Una compañía manufacturera de la cual el Estado es socio, ha comprado una máquina cuya producciónrepresenta ganancias adicionales (ingreso adicional menos costo adicional de mano de obra y materiales) enun tiempo t, de

2

4

1225)(   t t  E    −= , donde E(t) está en unidades de 10.000 dólares y t está en años. El costo adicional de

reparación y mantenimiento en el tiempo t es 22)(   t t  R   =

donde R(t) está en unidades de 10.000 dólares y t está en años. Primero supóngase que se puede eliminar lamáquina en cualquier tiempo sin costo alguno o valor de salvamento. Entonces debe retirarse la máquina en elmomento en que las ganancias adicionales se igualan con el costo adicional de reparación y mantenimiento.Véase la figura 12.

Las ganancias adicionales se igualan con el costo de reparación y mantenimiento cuando22

41 2225   t t    =−

2

49225   t =

t² = 1 00t= 10 .Por lo tanto, debe retirarse la máquina después de 10 años. Las ganancias netas totales (ganancias menoscosto de reparación y mantenimiento) después de 10 años son

  [ ]dt t  Rt  E ∫   −

10

0)()( = dt t   )225(

10

0

2

49

∫   − = [ ]10

03

43225   t t  − = 2.250 - 750 = 1.500 ó U$1.500.000.

Ahora, agreguemos que la máquina tiene un valor de salvamento en un tiempo t det 

t S +

=6

6480)( , donde S(t)

está en unidades de 10.000 dólares y t está en años. Entonces la compañía maximizará sus ganancias netassi suprime la máquina dentro de un tiempo t cuando las ganancias netas después de T igualen el valor delsalvamento en T (Véase la figura 13).

Las ganancias netas después de T igualan al valor de salvamento en T cuando ∫   −=+

10

2

49 )225(

6

480.6

dt t T 

 3

43

22515006

480.6

T T T  +−=+ , de donde3

432251500)(   T T t  N    +−= . Pero, sigamos:4

4323

29 225500.1350.1000.9480.6   T T T T T    +−++−=

432

4

3

2

9225150520.20   T T T T    ++−+= = )630195)(4(   2

2153

43 −−+−   T T T T  , si este producto es

igual a cero entonces T - 4 = 0, o el otro factor es cero. Con la primera hipótesis llegamos a una respuestacoherente. Por lo tanto, debe retirarse la máquina después de cuatro años.

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60

Integral definida 2

 Figura 12. Cuando las ganancias adicionales se igualancon el costo de mantenimiento

  Figura 13. Gráfica para el ejemplo 11.

DOCUMENTOS

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6

M atemática II

Ejemplo 12. Ingreso Total

Una Entidad Promotora de Salud EPS está considerando la adición a su nómina de vendedores de planes com-

plementarios. El costo del empleo de vendedores adicionales es: x y   485

  2 =   donde y representa el costo en

unidades de 10.000 dólares y x es el número de vendedores adicionales empleados, y el ingreso adicional es

)10(4)2(   2 +=−   x R , donde R es el ingreso en unidades de 10.000 dólares y x es el número de vendedores

adicionales empleados. (Supóngase que las funciones de costo y de ingreso son continuas, aunque realmenteellas tienen significado solamente para valores enteros de x). La entidad empleará vendedores adicionales hastacuando el costo de esta adición iguale al ingreso adicional obtenido (véase la figura 14).

El costo de empleo de vendedores adicionales se iguala con el ingreso adicional obtenido si R= y:

)10(4)2(   2 +=−   x R   404442 +=+−   x R R    x R R   43642 =−−

Por lo tanto, R= y cuando

12

5364

22   y

 y y   =−−   0432487   2 =−−   y y   0)12)(267(   =−+   y y

y= 12 , y= 1 5y deben emplearse 15 vendedores adicionales. El ingreso neto total resultante (ingreso total menos costo) es

[ ]∫   ++−12

0

2

412

485 9 dy y y y = [ ]dy y y∫   −+

12

0

2

4879 =

12

0

3

1447

2

92

 

−+   y y

 y

= 72+ 108-84= 96 unidades o 96.000.

  Figura 14. Relación Ingreso Vs. Costo.

DOCUMENTOS

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62

Integral definida 2 ACTIVIDADES Y DOCUMENTOS

En el CD-ROM de Funda menta ción está el software "Integ ral" instá lelo en el computa do r en una c a rpeta

inde pend iente y ejec ute el prog ra ma "RUNME.BAT" d e e sa ca rpeta . Elija la opc ión 2 d e mo nitor a c olor. Ala p regunta de ver instrucciones "wo uld you like som e instruccions? " res ponda "Yes " la p rimera vez q ue a bra

el prog rama . Pa ra sa lir de la a yuda pulse ES C.

En el menú "C rea te Integ ra ls" ha g a c lic en la opc ión "C rea te Integ ral" co mo s e indica la fig ura 15. Use las

teclas de flecha s pa ra des pla zarse po r los menús ya q ue el Mouse puede presentarle problema s.

  Fig ura 15. So ftwa re "Integra l".

En la venta na es criba la siguiente e cua ción: 5 * S QRT(X) y pulse ENTER.El prog rama so licitará el límite inferior de la integ ral "Low er x limit:", es criba 2 y pulse ENTER. Lueg o

so licitará el límite superior d e la integ ral "Uppe r x limit:", es criba 8 y p ulse ENTER.

En el menú "Integ ral Operations " es co ja la opc ión "Trapezo ida l Rule" y pulse ENTER unas se is vec es , enton-

ces apa recerá una tabla q ue va mos trand o a la izq uierda el número de trape cios y a la derecha el va lor de

la integra l ob tenida co n es e número de tra pec ios . Véa se la fig ura 16. Revise el ejemplo 2 y compa re. ¿ Qué

conclusión tiene usted respecto del número de trapecios? ¿A que valor se aproxima el valor del área

cuand o a umenta el número de trape cios?

 Fig ura 16. Aproxima ción a la integ ra l definida usa ndo tra pec ios .

ACTIVIDAD 1INTEGRACIÓN POR TRAPECIOS

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6

M atemática IIACTIVIDADES Y DOCUMENTOS

En el computa do r, ing rese a l progra ma Derive.

Digite la ecua ción x²+ 3 en la ventana de ec uaciones co mo: xˆ2+ 3 y pulse Enter.

El objeto d e e sta ac tivida d e s representar y o btener con Derive ∫   +5

1

2 )3(   dx x q ue representa

el área limitada por y= x²+ 3, y= 0, x= 1, y x= 5, como se ilustra en la figura 18 generada por

derive.

Genere la gráfica correspondiente, siguiendo el mismo procedimiento de la actividad con

Derive de l ca pítulo a nterior. S eleccione d el menú "Se lecc iona r" la opc ión "Ra ng o d e la g ráfi-

ca " o s implemente pulse Control + R. Como rang o d e la g ráfica los siguientes: Horizontal

de sd e -1 has ta 6 co n 7 divisiones , vertica l des de -2 has ta 30 con 16 divisiones .

Ahora pos icionad o en la ventana d e ec uac iones de Derive seleccione de l menú "Cá lculo" la

opc ión "Integ ra les " o pulse C ontrol + S hift + I. Se lecc ione la opc ión integra l de finida y dig ite

los límites d el intervalo d e integ ra ción como se muestra e n la fig ura 17 y hag a clic e n el botón

"S implifica r", debe ob tener el valor 160/3 y a l hac er clic e n el íco no ≈ ob tend rá e l valor 53,33.

 Fig ura 17. P a rá metros de integra ción indefinida .

S eleccione la o pción de l menú Opciones/Aproxima r antes de dibuja r. Ahora, des de la venta-

na de ecua ciones introduzca la orden P lotint (x^ 2 + 3, x, 1, 5) y pulse Enter, luego grafiq ue

es a expres ión, y d eb erá o btener un resultad o s imila r al de la fig ura 18.

La s g ráfica s de las fig ura s de es te ca pítulo fueron g enera da s co n Derive, repa se e l ca pítulo

ge nerando las gráfica s usted mismo.

ACTIVIDAD 2 INTEGRACIÓN DEFINIDA USANDO DERIVE

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64

Integral definida 2

Fig ura 18. Gráfica de un á rea g enera da por Derive.

ACTIVIDADES Y DOCUMENTOS

1.   ∫3

2

2 xdx , Rta. 5

2.   ∫4

3

5dx , Rta . 5

3.   ( )∫   −4

0

2 43   dx x , Rta. 48

4.   ∫1

0

1124   dx x , Rta . 2

PRÁCTICA DE ENTRENAMIENTO

5.   ( )dx x∫   −−2

1

2 32 ,Rta. -2

6. ∫4

1

3   dx x , Rta. 14

7.   ( )∫   −3

2

52 412   xdx x , Rta . 15.625

8.   ∫   −3

2

2 32   dx x x , Rta. 7.82

Ca lcular cad a una d e las s ig uientes integ rales de finida s y verifica r la respues ta.

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6

M atemática IIACTIVIDADES Y DOCUMENTOS

PRÁCTICA DE APLICACIÓN

1. Determinación de excedentes.La función de demanda para un producto es

qq f   p   05,0100)(   −==  , do nde p es el preciopor unida d (en dólares) de q unida des. La fun-

ción de oferta es p= g(q)= 10+ 0,1q . De termi-

nar los excedentes d e cons umidores y produc-

tores ba jo el eq uilibrio del merca do . Us a r Deri-

ve para g enera r el g ráfico res pec tivo.

2. Determinación de Excedentes.La ecua ción

d e d e m a n d a p a r a u n p r o d u c t o e s

290

)(   −= p

 pf  

 y la ecuación de oferta es

q = g ( p)= P-1. Determina r el excede nte de los

consumidores y el de los productores cuan-do se ha es tab lecido e l eq uilibrio d el merca -

d o .

3. Excedentes bajo equilibrio. En los s ig uien-

tes ca sos la primera ecuac ión es la d e dema n-

da y la seg unda es la ecuación de o ferta de

un producto. En ca da ca so, determine el ex-

cede nte de co nsumidores y el excede nte de

productores b a jo e q uilibrio d el merca do .

a . q p   8,020 −= ,

q  2,14 +

.

b .

5

50

+q

, 5,410

+=   q p .

c . )10(100   pq   −= ,

)1(80   −  p

.

4. Excedente de consumidores. La ecuación de

demanda de un producto es  pq   −=   10010 .

Calcule el excedente de consumidores bajo

el eq uilibrio d el mercad o, q ue ocurre a un pre-

cio d e $84.

5. Excedente de consumidores. La ecuación de

demanda para un producto es q p   −=   112 , y

la ecua ción de oferta es 12   +=   q p , donde p

es el precio por unidad (en cientos de dóla-

res) cuando q unidades se demandan o se

ofrece n. Determine a la s 1.000 unida de s má s

cercanas el excedente d e c onsumidores ba jo

eq uilibrio de l mercad o.

6. Excedentes bajo equilibrio. La ecuación de

dema nda pa ra un producto es

600.3

50602 +

−=q

q p  y la ecuación de

oferta es 26)20ln(10   −+=   q p . De termi-

ne el exced ente de c onsumidores y el de pro-

ductores b ajo eq uilibrio del mercad o. Red on-

dee s us respuestas al entero má s cercano.

7. Distribución de Ingresos. El economista Wil-

fredo P a reto3  es tableció una ley empírica de

distribución de ingresos superiores q ue d a el

número N de persona s q ue reciben x o má s

dólares. Síbax

dx

dN    −−= , donde a y b son

cons tantes, ob tenga una integral definida q ue

dé el número total de pe rso nas co n ing reso s

entre a y b, siendo a < b.

8. Flujo continuo de ingreso. El valor actual

(en d ólares) de un flujo co ntinuo d e ingreso

de $2.000 a l a ño duran te 5 a ños a l 6%com-

p u e s t o c o n t i n u a m e n t e e s t a d a d o p o r

∫  −

5

0

06,0000.2   dt e   t 

. Evalúe el va lor actua l a l dó -

lar más cercano.

9. Demografía. P ara c ierta población, supon-

g a q ue l es una función tal que l(x) es el nú-

mero de personas q ue alca nzan la ed ad x en

cua lq uier año . Esta función s e lla ma función

de la tab la de vida . Ba jo c ondiciones apro-

piadas, la integral ∫+n x

n

dt t l    )( da el número

esperado de g ente en la poblac ión q ue tiene

entre exacta mente x y x+ n año s, inclusive. Si

 x xl    −=   100000.10)(   de termine el nú-

mero d e g ente que tiene exac tamente entre

36 y 34 años inclusive. Dé su respuesta al

entero más cercano ya q ue respues tas fra c-

cionaria s no tienen se ntido.

➥3 Véase el módulo Matemát ica 1. Páginas 124 y 125.

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66

Integral definida 2

10.C os to ma rg inal. La función de co sto ma rgina l

de un fabrica nte es 32,0   +=   qdq

dc. Si c está

en d óla res, determine e l cos to de incrementar

la p rod ucción de 60 a 70 unida des .

11.Ingreso ma rg ina l. La función de ing res o ma r-

g ina l de un fab rica nte es

 q

 MRdq

dr 

100

000.1== . Si r está en dó lares,

encuentre el cambio en el ingreso total del

fabrica nte si la producc ión a umenta d e 400 a

900 unida de s.

12.C urva de Lorentz. Una c urva de Lorentz se us a

para estudiar las distribuciones de ingresos.

Si x es el porcentaje acumulativo de los re-

ceptores d e ingresos, ordenado s de más po-

bres a más ricos , y y es el porcentaje acumu-

lativo de los ingresos, entonces la igualdad

de la distribución de ingresos está da da por

la línea y= x en la figura 19, donde x y y s e

expresan como decimales. Por ejemplo, el

10%d e la g ente recibe el 10%de los ing re-

so s tota les , el 20%rec ibe el 20%de los ingre-sos , etc. S uponga q ue la distribución real está

dada por la curva de Lorentz definida por

 x x y21

1

21

20   2 += . Observe, por ejemplo,

q ue el 30%de la g ente recibe só lo el 10%de

los ingresos totales. El grado de des viac ión

de la igualdad se mide por el coeficiente de

des igua lda d pa ra una c urva de Lorentz. Este

coeficiente se define como el área entre la

curva y la d ia gona l, dividida e ntre el área ba jo

la dia go nal:

 diagonal labajoárea

diagonal la ycurvalaentreárea.

Po r ejemplo, cua ndo todo s los ingresos son

igua les, el coeficiente de des igua lda d es cero.

Encuentre e l coe ficiente de des ig ualdad pa ra

la curva de Lorentz definida a ntes.

Figura 19. Curva de Lorentz para el problema 12.

PRÁCTICA DE APLICACIÓN

ACTIVIDADES Y DOCUMENTOS

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6

M atemática II

RESPUESTAS

ACTIVIDADES Y DOCUMENTOS

1. CS= 9.000 y PS= 18.000

2. C S = 72,85 y PS = 32.

3. (a) CS= 25,6 y PS= 38,4; (b) CS= 50 LN(2)-25

y PS= 1,25; (c) CS= 800 y PS= 1.000.

4. CS= $426,67.

5. CS= $254.000.

6. C S = 1.197 y P S = 477.

7. ∫  −−

b

a

bdxax .

8. $8.639.

9. 1.973.333.

10. $160.

11. $2.000.

12. 20/63.

AUTOEVALUACIÓN

1. Al introd ucir un impues to, el precio q ue pa g a

el consumidor es d istinto del que percibe e l

productor. Esa diferencia representa, justamen-

te, el impues to. Cua ndo s e introd uce o se in-

crementa un impuesto, se des plaz a hac ia arri-

ba el costo marginal de la empresa; por lo

tanto,

a . Se des plaza hacia aba jo la curva de oferta.

b. Se desplaza ha cia arriba la curva de o ferta.

c. No s e logra un punto de e q uilibrio d e mer-

cado .

d. Aumenta el excede nte d el consumidor

e. Aumentan las c antida des ofrecida s.

2. Las s iguientes afirmac iones so n verdaderas

excepto una. ¿C ual?

a. Con el impuesto se produce una apropia-

ción del Estado d e los e xcedentes d el con-

sumidor y del productor.

b. La pa rte que es tra nsferida a l Estado no

represe nta una pérdida a nivel g lob a l.

c. Con el impuesto, hay una parte q ue cons-

tituye una pé rdida q ue no la g ana nad ie.

d . La incidenc ia d el impuesto depend e de so -

bre quién reca ig a e l mismo y no de la elas-

ticidad d e la s curvas.

e. Los productores tras lad an la totalida d

del impuesto a los cons umidores c uan-

do la curva de demanda es perfecta-

mente inelástica.

3. La función de ga sto del consumidor re-

presenta el gasto mínimo para lograr un

nivel de utilida d d eterminad o. La diferen-

cia entre lo q ue es tarían d ispuestos a pa-

ga r los cons umidores pa ra una determi-

nad a c antida d de producto y lo q ue efec-

tivamente pag an, s e llama :

a . Propensión marginal al consumo.

b. Propensión ma rginal al ahorro.

c. Costo marginal.

d. Excede nte d el consumidor.

e. Excede nte d el productor.

4. La diferencia entre lo q ue percibe el pro-

ductor y el precio a l que e sta ría dispuesto

a o frecer cad a una de las unida des d e pro-

ducto, se llama :

a . Propensión marginal al consumo.

b. Propensión ma rginal al ahorro.

c. Costo marginal.

d. Excede nte d el consumidor.

e. Excede nte d el productor.➥

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Integral definida 2 ACTIVIDADES Y DOCUMENTOS

5. La función del ingreso total se puede ob-

tener com o la integ ra l indefinida de:

a. El costo marginal.b. La utilida d ma rg ina l.

c. El ingreso ma rginal.

d. El cos to total.

e. El ingreso promedio.

6. Po demos lleg a r a la función de utilida d

total usa ndo e l proces o de integra ción in-

de finida , co ntand o c on la s ig uiente infor-

mación:

a . La función de oferta y e l co sto fijo.

b. La ecuación de dema nda y e l ingreso

promedio.

c. Las funciones d e cos to fijo y cos to va -

riable.

d. El ing reso marginal y el cos to marginal.

e. Los e xcede ntes del productor y del con-

sumidor.

7. La antiderivada de la utilida d ma rginal es

lo mismo q ue:

a . La derivada de la utilida d total.b. La derivada de la utilida d med ia.

c . El Ingreso Ma rginal menos el Costo Ma r-

ginal.

d. La integ ral indefinida de la utilida d to-

tal.

e. La integral indefinida de la utilida d ma r-

ginal.

8. La integ ral definida entre do s valores a y b

de x pa ra una función se define co mo:

a . El área ba jo la curva entre x= a y x= b.

b. La variación marginal entre x= a y x= b.

c. La antiderivada de d icha función.

d. La derivada de d icha función en los pun-

tos a y b.

e. El área entre la c urva y el eje y desde y= a

ha s ta y = b .

9. La curva de Lorentz se usa para estudiar:

a . Las distribuciones de ingresos .

b. La producción máxima.

c. El óptimo de Pa reto.

d. La s distribuciones d e utilida de s.

e. El a ná lisis marginal.

10. Para calcular la integral definida debemos

se g uir el proc ed imiento s iguiente:

a . Ca lcular la a ntiderivada de la función y lue-

go reempla za r esta función en el límite su-

perior e inferior. Luego hallar la diferencia

de eso s dos valores obtenidos .

b . Ha l la r e l lím it e c ua n d o ∆ x 0 d e

[ƒ (x+ x)-ƒ (x)]/ x. El res ulta d o ob teni-

do es nuestra integral busca da .

c. Hallamo s la d erivada de la función y lueg o

reemplazamos en ella la diferencia entre

los do s límites de l intervalo.

d. Halla mos primero la integ ral inde finida y

lueg o reemplaza mos en ella la diferencia

entre los límites s upe rior e inferior de la in-

tegral.

e. Simplifica mos la expres ión, a plica mos la

regla de integración indefinida y simplifi-

ca mos e l res ultado

Barnet Raymond A.Matemáticas para Administración y Ciencias Sociales . 2ª Edición. Nueva Editorial Interamenricana S.A. México,1983.

Draper Jean E. & Klingman Jane S.Matemáticas para Administración y Economía . Editorial Harla. México, 1976.

Haeussler Jr Ernest F. & Paul Richard S.Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. 8ª Edición. EditorialPrentice Hall. México, 1997.

HoffmanLawrenceD Cálculo para Ciencias Sociales y Administrativas EditorialMcGrawHill Bogotá 1980

AUTOEVALUACIÓN

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS