Unidad 8: Aplicaciones del Cálculo Integral

Análisis Matemático I – CIBEX

Facultad de Ciencias ExactasUniversidad Nacional de La Plata

Unidad 8: Aplicaciones delCálculo Integral

2015 - Primer Cuatrimestre

Dr. Gerardo Rossini, Dra. Ana AlonsoEquipo Coordinador

UNIDAD 8

Aplicaciones del cálculo integral

Contenidos de la Unidad 8: Ecuaciones diferenciales y soluciones integrales. Cálculo dediversas cantidades acumuladas. Funciones nuevas, de�nidas como integral inde�nida defunciones conocidas. Integrales impropias. Criterios de convergencia por comparación.Repaso general de cálculo integral.

Clase 8.1. Ecuaciones diferenciales

Contenidos de la clase: Nociones de ecuaciones diferenciales. Ecuaciones diferencialesde primer orden sencillas: integración directa e integración por separación de variables.Modelos exponenciales.

8.1.1. Introducción

Muchos modelos matemáticos se construyen relacionando derivadas de cierta función. Un ejemplotípico, que verán en Física I, es la segunda Ley de Newton que establece que la aceleración de un objetoes proporcional a la fuerza aplicada. Aquí la función de interés es la posición del objeto en función deltiempo, digamos x(t), pero la ley se re�ere a la aceleración, que se escribe como la derivada segunda

a(t) =d2x

dt2. La segunda Ley de Newton se escribe como una igualdad

Md2x

dt2= F

donde M es una constante (la masa del objeto) y F puede depender de la posición y del tiempo (lafuerza neta aplicada). Supongan que la masa m y la fuerza F son conocidas, y que en esta igualdadtenemos como incógnita a la función x(t). El problema no es encontrar un número, sino encontrar unafunción que satisfaga la igualdad. La ecuación que estamos discutiendo es una ecuación diferencial.

Se llama ecuación diferencial a una igualdad donde se considera incógnita a una función, y dondeinterviene no sólo la función, sino también sus derivadas.

Una solución de una ecuación diferencial será una función de�nida y derivable en cierto dominio,tal que al reemplazar la función y sus derivadas en la ecuación se veri�que la igualdad para todoslos puntos del dominio.

Ejemplo 8.1.1. Veamos un ejemplo concreto de aplicación de la segunda Ley de Newton: unauto de masa M = 1000 kg viaja por un camino recto, donde su posición se describe con una

variable x, sometido a una fuerza constante F = 2000kg.m

s2mientras el tiempo t transcurre en un

cronómetro desde t = 0 hasta t = 60 s. Intentemos encontrar la función x(t) que da la posición del

auto en función del tiempo, resolviendo la ecuación diferencial Md2x

dt2= F :

1000 kgd2x

dt2= 2000

kg.m

s2

o bien, despejando y trabajando sin unidades,

d2x

dt2= 2

296

CLASE 8.1. ECUACIONES DIFERENCIALES 297

Recordemos que la velocidad del auto se de�ne como la derivada primera v =dx

dt, y escribamos

la aceleración comod2x

dt2=dv

dt. Resulta más sencillo encontrar primero la velocidad resolviendo la

ecuación diferencialdv

dt= 2

Dado que conocemos su derivada, hallamos v(t) como la primitiva

v(t) =

ˆ2 dt = 2t+ C

donde la constante de integración C puede tomar cualquier valor.¾Qué signi�ca que haya in�nitas soluciones posibles? Conviene evaluar la solución en el instante

inicial t = 0:v(0) = 2× 0 + C = C

para reconocer que la función v(t) apropiada depende de la velocidad inicialv(0) del auto (la funciónv(t) será distinta, por ejemplo, para un auto que se hallaba detenido cuando se aplicó la fuerza opara un auto que ya se hallaba en movimiento). La solución la escribimos entonces como

v(t) = 2t+ v(0)

y consideramos a v(0) como un dato conocido.Ahora que resolvimos la función velocidad, conocemos la derivada de la función posición x(t)

dx

dt= 2t+ v(0)

y podemos construir x(t) como una primitiva

x(t) =

ˆ(2t+ v(0)) dt = t2 + v(0) t+D

donde D es una nueva constante de integración que puede tomar cualquier valor. Para concretar elvalor de esta constante conviene evaluar la solución en el instante inicial t = 0:

x(0) = 02 + v(0)× 0 +D = D

Esto nos permite reconocer que la función x(t) apropiada depende de la posición inicial x(0) delauto (la función x(t) será distinta, por ejemplo, para un auto que se hallaba en x = 100m cuandose aplicó la fuerza o para un auto que ya se hallaba en x = 500m). La solución de la ecuación

diferenciald2x

dt2= 2 es la familia de funciones

x(t) = t2 + v(0) t+ x(0)

donde x(0) y v(0) son constantes relacionadas con datos iniciales. El dominio de validez de esta

solución es el intervalo de tiempo [0, 60], porque según el enunciado sólo allí vale la ecuaciónd2x

dt2= 2.

Podemos gra�car varias soluciones:


Como en cualquier ecuación, conviene veri�car que el resultado sea correcto. Para eso bastaderivar x′(t) = 2t+ v(0) y volver a derivar x′′(t) = 2. Efectivamente, para cualquier valor de x(0) yv(0), se veri�ca que

d2x

dt2= 2

Reconocemos en el ejemplo que es bastante sencillo veri�car una solución de una ecuación dife-rencial: basta con derivar la función propuesta, reemplazar en la ecuación y controlar que se cumplala igualdad, para todos los valores de la variable en el dominio de interés. Reconocemos también quehay una familia de soluciones, con parámetros arbitrarios: eligiendo valores para esos parámetros seobtienen distintas funciones que son soluciones de la misma ecuación diferencial.

Según las condiciones iniciales del problema, habrá valores únicos x(0) y v(0) adecuados a esascondiciones. Cuando se elige una determinada función dentro de la solución general, se dice que seidenti�ca una solución particular de la ecuación diferencial.

Si existe la solución de una ecuación diferencial, típicamente no es única: se espera encontrar unafamilia de soluciones, dependientes de parámetros arbitrarios.Cuando se pueda probar que una familia incluye todas las soluciones posibles, se dice que se haencontrado la solución general de la ecuación diferencial.

Actividad 8.1.2. En el grá�co del ejemplo anterior,

1. Encuentren dos soluciones con el mismo valor x(0) y distinto valor de v(0).2. Encuentren dos soluciones con distinto valor x(0) y el mismo valor de v(0).

Por otro lado, construir soluciones de cierta ecuación diferencial puede ser un problema realmentedifícil. También puede ser difícil probar que la familia de soluciones hallada contiene todas las solucionesposibles.

En el resto de sus carreras van a encontrar varias ecuaciones diferenciales. Si son sencillas, podránresolverlas solos. En otros casos, el enfoque es el siguiente: van a aprender a reconocer ciertas ecua-ciones típicas y tratar de recordar la forma de la familia de soluciones apropiada (o recordar dóndeencontrarlas).

Actividad 8.1.3. Veri�quen que la ecuación

f ′′(t) = −ω2f(t)

conocida como ecuación de oscilaciones armónicas, admite soluciones en todo el eje real, de la forma

f(t) = a cos(ωt) + b sen(ωt)

donde a y b son constantes arbitrarias.

Otros ejemplos que encontrarán son la ecuación de difusión, ecuaciones de transporte, la ecuaciónde ondas, etc.

Veremos en este curso solamente ciertas ecuaciones diferenciales sencillas con derivadas primeras.Vamos a construir soluciones de esas ecuaciones, utilizando directamente el cálculo integral.

8.1.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden

Consideremos una ecuación diferencial donde la incógnita es una función f(x).1 Si aparece laderivada primera f ′(x) y no aparecen derivadas más altas, se dice que la ecuación es de primer orden.Si aparecen derivadas hasta f ′′(x) se dice que es de segundo orden, etc.

1Como trabajamos con funciones de una variable, se dice que la ecuación diferencial es ordinaria. En AnálisisMatemático II verán funciones de dos o más variables; las ecuaciones diferenciales con funciones de varias variables sellaman ecuaciones en derivadas parciales.


También se dice que la ecuación diferencial está escrita en forma normal cuando se despeja laderivada más alta en términos de la función f(x), de sus otras derivadas y de la variable x. En elejemplo 8.1.3 la ecuación diferencial es de segundo orden y está escrita en forma normal.

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, en forma normal, son

1. f ′(x) = 2x2. f ′(x) = 3f(x)3. f ′(x) = x f(x)− x2

Si usamos la notación y = f(x), se escriben estas ecuaciones como

1. y′ = 2x2. y′ = 3y3. y′ = xy − x2

(es la forma más usual, pero al leerla no deben olvidar que se asume que y es función de x). La últimaecuación podría aparecer en otra forma, por ejemplo como y′ + x2 − xy = 0.

Veremos técnicas para resolver los ejemplos 1 y 2. El ejemplo 3, aunque sea de primer orden, esalgo más complicado y queda fuera de estas técnicas.

8.1.3. Ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver por integracióndirecta

Veamos si podemos resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, donde la funciónincógnita y(x) cumpla

y′(x) = g(x)

y donde g(x) sea una expresión conocida, que en principio depende de x pero no depende de y. Aunqueno conocemos y(x), la ecuación nos dice explícitamente que su derivada y′(x) es una función g(x)conocida. En otras palabras, la función incógnita y(x) debe ser una primitiva de g(x). La solución lahallamos integrando,

y(x) =

ˆg(x) dx+ C

La solución, como anticipamos, no es única. Tenemos una familia de in�nitas funciones, según el valorque elijamos para la constante de integración C.

Ejemplo 8.1.4. Consideremos el movimiento del auto del ejemplo 8.1.1, pero con una fuerzaoscilante que depende del tiempo como F (t) = 1000 cos(5t) (escrita sin unidades). La segunda Ley

de Newton, escrita como Mdv

dt= F nos dice que

dv

dt= cos(5t)

Luego la velocidad del auto es

v(t) =

ˆcos(5t) dt =

1

5sen(5t) + C

donde se puede evaluar v(0) =1

5sen(0) + C = C para obtener C = v(0).

Actividad 8.1.5. Hallen la solución general y = f(x) de la ecuación

xy′ = ln(x)

para x ∈ (0,+∞). Veri�quen la solución obtenida y su dominio de validez.


8.1.4. Ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver por separaciónde variables

Consideremos una ecuación diferencial ordinaria de primer orden más completa, donde la funciónincógnita y(x) cumpla una ecuación de la forma

g(y(x)) y′(x) = h(x)

Es decir, que el lado derecho depende de x solamente por composición con y(x). Por ejemplo,

(y(x) + 2) y′(x) = 3x2

En estos casos es apropiada la técnica de separación de variables, que combina ideas de diferenciales,de sustitución y de funciones implícitas.

Primero consideramos un punto genérico (x, y) de la grá�ca de la función solución y multiplicamosambos miembros por un incremento diferencial dx:

g(y(x)) y′(x) dx = h(x) dx

Recorriendo un intervalo del eje x, la acumulación de contribuciones del lado izquierdo debe ser iguala la acumulación de contribuciones del lado derecho:ˆ

g(y(x)) y′(x) dx =

ˆh(x) dx

En el lado izquierdo reconocemos el diferencial dy = y′(x) dx, que nos permite escribir la sustituciónˆg(y) dy =

ˆh(x) dx

Finalmente, si conocemos primitivas G(y) y H(x) para cada lado, obtenemos

G(y) = H(x) + C

donde, recordemos, y = y(x) es función de x. Por eso esta ecuación nos dará, en general, una expresiónde y como función implícita de x. En algunos casos se podrá despejar explícitamente y(x).

Ejemplo 8.1.6. Vamos a hallar la solución de la ecuación diferencial

y′ =2x

y2

donde se asume que y es una función derivable de x y que y(x) 6= 02.Primero le damos a la ecuación una forma tal que y(x) e y′(x) aparezcan solamente en el lado

izquierdo de la igualdad, y que x aparezca solamente en el lado derecho,

y2 y′ = 2x

En este momento se dice que hemos separado las variables. Luego multiplicamos ambos lados pordx y hacemos la integral inde�nida (o primitiva) de estas expresiones:ˆ

(y(x))2 y′(x) dx =

ˆ2x dx

En el lado izquierdo, calculemos la integral por sustituciónˆ(y(x))2 y′(x) dx =

ˆy2dy =

1

3y3 + C1

En el lado derecho, calculemos ˆ2x dx = x2 + C2

Igualando ambos resultados,1

3y3 = x2 + C

(donde es usual juntar las constantes desconocidas en una sola, C2 − C1 = C).


Esta ecuación en dos variables de�ne implícitamente soluciones y(x) de la ecuación diferencial. Eneste caso podemos despejar

y(x) =3√

3x2 + 3C

que da explícitamente la familia de soluciones.

Actividad 8.1.7.

Veri�quen por derivación directa que la función y(x) = 3√

3x2 + 3C es solución de la ecuacióndiferencial dada. Discutan la posibilidad de que en algún punto resulte y(x) = 0, como enel caso C = −1 que mostramos en la �gura

Gra�quen con GeoGebra varias soluciones de la ecuación diferencial (es decir, elijan variosvalores de la constante de integración C). Intenten utilizar un deslizador para cambiar losvalores de C.

Observación 8.1.8. Las grá�cas de las distintas soluciones de una ecuación diferencial se co-nocen como curvas integrales. El nombre se debe a que, como ya hemos visto en varios ejemplos,las soluciones se obtienen integrando.

8.1.5. Ecuaciones diferenciales escritas en lenguaje diferencial

Las ecuaciones diferenciales de primer orden frecuentemente se escriben usando diferenciales. Vea-mos cómo podemos hacerlo en los casos de integración directa y de separación de variables.

1. La ecuación diferencial y′(x) = f(x) se puede trabajar multiplicando ambos miembros por dxpara obtener y′(x) dx = f(x) dx o simplemente

dy = f(x) dx

Como las variables x e y están separadas (a cada lado de la igualdad) se pueden acumular losdiferenciales para resolver

y =

ˆf(x) dx

2. La ecuación diferencial g(y) y′ = h(x) también se puede trabajar multiplicando ambos miem-bros por dx para obtener g(y) y′dx = h(x) dx o simplemente

g(y) dy = h(x) dx

Como las variables x e y están separadas se pueden acumular los diferenciales para resolverˆg(y) dy =

ˆh(x) dx

Para acostumbrarse a esta notación, proponemos la siguiente


Actividad 8.1.9.Hallen las curvas integrales y(x) de la ecuación

2x dx+ y2 dy = 0

Escriban la ecuación diferencial en forma normal despejando y′(x).

En los casos vistos, la ecuación diferencial establece una relación de proporcionalidad local entredy y dx. Se puede despejar dy como

dy = (expresión que depende de (x, y)) dx

donde la "constante de proporcionalidad" no se mantiene constante, sino que varía a lo largo de la curvasolución. La ecuación diferencial nos dice que, siguiendo una función solución (todavía desconocida),los diferenciales de x y de y están relacionados. Para �jar la idea conviene interpretar en un grá�co

Este punto de vista es muy signi�cativo en la construcción de modelos aplicados; de alguna manera,se parte de una "regla de tres simple" de validez local (en la aproximación diferencial) y se generalizala noción de proporcionalidad permitiendo que dependa de factores variables.

Una aplicación importante: leyes exponenciales

En muchos modelos aplicados se encuentra el siguiente planteo: que la variación de una función esproporcional al valor mismo de la función. Por ejemplo:

En cinética química, la velocidad instantánea de una reacción A→ B, de�nida como −d[A]

dt, es

proporcional a la concentración molar [A] de la sustancia que reacciona (recuerden el ejemploal �nal de la Clase 3.3). Llamando k a la constante de proporcionalidad, se plantea

−d[A]

dt= k[A]

En lenguaje diferencial,

d[A] = −k[A] dt

En el crecimiento de una población de bacterias, la tasa de crecimiento se de�ne como la

derivadadn

dtde la cantidad de bacterias n(t) respecto del tiempo t. Es razonable que la tasa

de crecimiento sea proporcional a la cantidad de bacterias presentes, por lo que se plantea

dn

dt= k n

En lenguaje diferencial,

dn = kn dt


En el decaimiento de una sustancia radiactiva, la emisión de radiación se mide como la cantidadde núcleos que decaen por unidad de tiempo (llamada velocidad de desintegración). Si N(t) esla cantidad de núcleos activos en función del tiempo, la velocidad de desintegración se calcula

como −dNdt

. Experimentalmente se encuentra que

−dNdt

=1

τN

donde τ se conoce como tiempo de vida media y es característica de cada radioisótopo. Enlenguaje diferencial,

dN =1

τN dt

Todos estos casos se rigen por el mismo tipo de ecuación diferencial. Por supuesto, aunque se apliquenen problemas distintos, el mismo tipo de ecuaciones tiene el mismo tipo de soluciones.

Vamos a resolver la ecuación diferencial y analizar sus soluciones. Llamemos y(t) a una cantidadque depende del tiempo t, y estudiemos la ecuación diferencial

y′(t) = k y(t)

donde k es un valor constante.La ecuación es de variables separables. Para proceder, asumamos que para todo instante y(t) 6= 0.

Podemos escribir1

y(t)y′(t) = k

o bien1

ydy = k dt

Con las variables y y t ya separadas, integramosˆ1

ydy = k

ˆdt

La solución implícita es 3

ln |y(t)| = kt+ C

donde C es una constante arbitraria. El dominio de estas soluciones es el eje real completo.Podemos despejar la expresión explícita de y: en primer lugar, exponenciando ambos miembros

despejamos |y| como|y(t)| = eCekt

donde eC resulta una constante positiva. Ahora bien, dado que buscamos una función y(t) derivable,debe ser continua. Como ekt 6= 0 en todo el eje real, cualquiera de estas soluciones, por el Teore-ma del Valor Intermedio, debe ser siempre positiva o siempre negativa: al resolver el valor absolutoencontramos dos familias de soluciones separadas, y(t) = eCekt y y(t) = −eCekt.

Por último, falta estudiar la posibilidad de soluciones con y(t) = 0 en algún punto. Reemplazandola función nula y(t) = 0, con derivada y′(t) = 0, en la ecuación y′(t) = k y(t) vemos que tambiénes solución. Se puede probar (aunque está fuera de nuestro alcance) que la función nula es la únicasolución que nos faltaba.

La ecuación diferencial de primer orden

y′(t) = k y(t)

tiene como solución general a la familia de funciones

y(t) = Aekt

donde A toma cualquier valor real (positivo para representar y(t) = eCekt, negativo para repre-sentar y(t) = −eCekt y cero para representar y(t) = 0). Cada solución de esta familia tiene comodominio todo el eje real.

3Recuerden que, cuando x es positiva, la primitiva de 1/x es ln(x). Cuando x es negativa, la primitiva de 1/x esln(−x). Se incluyen las dos posibilidades al escribir ln |x|.


Más allá del método utilizado, es fácil veri�car explícitamente que una función y(t) = Aekt satisfacela ecuación diferencial

y′(t) = Akekt = k(Aekt

)= k y(t)

para cualquier constante A.

Observación 8.1.10. Por tener esta familia de soluciones, se dice que una ecuación diferencialde la forma

y′(t) = k y(t) o bien dy = k y dt

describe leyes exponenciales. Vale la pena recordar la forma de la ecuación y la forma de lassoluciones.

Actividad 8.1.11. Gra�quen con GeoGebra parte de la familia de soluciones de y′(t) = k y(t)con k = 2 (sugerencia: use un deslizador para el valor de A).

Gra�quen con GeoGebra parte de la familia de soluciones de y′(t) = k y(t) con k = −2.¾Qué diferencia observan según el signo de k?

8.1.6. Ejercicios

Ejercicio 8.1.1. Hallen la solución general de la ecuación y′ = 2x. Gra�quen la familia de solu-ciones.

Ejercicio 8.1.2. Encuentren la solución general y(x) de(x2 + 1

)y′ = xy

Ejercicio 8.1.3. Encuentren la ecuación de la curva y(x) que pase por el punto (1, 3) y tengapendiente y′ = y/x2 en todos sus puntos. Gra�quen la solución.

Ejercicio 8.1.4. Encuentren la ecuación de la curva y(x) que satisface 2xy dx− x

ydy = 0 y pasa

por el punto (2, 1). Gra�quen la solución.

Ejercicio 8.1.5. Hallen la solución general de la ecuación diferencial f ′(x) = 3f(x). Gra�quenalgunas soluciones particulares.

Ejercicio 8.1.6. Se analizan datos n versus t medidos en un cultivo de bacterias (n es el número de

bacterias, contado al microscopio, y t es el tiempo expresado en horas). Se acepta el modelodn

dt= k n,

pero no se conoce el valor de k.Si se observan 10 bacterias al comenzar las medidas (t = 0) y se observan 80 bacterias 5 horas

después, calculen el valor de k.

Ejercicio 8.1.7. (a) Ajusten los valores de A y k en un modelo exponencial f(t) = Aekt sabiendoque f(1) = 5 y f(5) = 2.

(b) Ajusten los valores de A y k en un modelo exponencial f(t) = Aekt sabiendo que ln f = 3 + 2t.

CLASE 8.2. CÁLCULO DE CANTIDADES ACUMULADAS 305

Clase 8.2. Cálculo de cantidades acumuladas

Contenidos de la clase: Cálculo de cantidades acumuladas en Matemáticas: longitud deuna curva, área entre dos curvas, volumen y super�cie de sólidos de revolución. Cálculosaplicados en Física y Química: trabajo mecánico.

La integral de�nida se usa en todo tipo de cálculos donde se describa un proceso de acumulación.En general, podemos hablar de un proceso que se describe con una variable x que recorre valores

en cierto rango, digamos entre a y b, y de una cantidad F que se acumula cada vez que x realiza unincremento in�nitesimal dx (es decir, pasa de un valor x a un valor levemente incrementado x + dx).Si en cada paso dx del proceso la cantidad in�nitesimal dF acumulada se puede estimar (localmente)proporcional al incremento dx como

dF = f(x) dx

entonces el total acumulado se calcula como la integral de�nida

F =

ˆ b

af(x) dx

Vamos a describir varios planteos de este tipo, y proponerles que los resuelvan. Las primerasse re�eren a objetos matemáticos, y luego discutimos cálculos que harán pronto en otras materias.Esperamos que reconozcan que el mecanismo de planteo es siempre el mismo (primero estimar lacantidad diferencial acumulada, luego integrarla) y que puedan aplicarlo a otras situaciones.

8.2.1. Cálculo de la super�cie encerrada entre dos curvas

Consideremos la grá�ca de dos funciones f(x) y g(x) en un intervalo del eje x, donde f(x) ≥ g(x).Nos interesa calcular el área A encerrada entre las dos curvas (se podría decir que g(x) describe el"piso" y que f(x) describe el "techo") y las rectas verticales que pasan por los bordes del intervalo("paredes").

En esta aplicación la variable x recorre un rango entre a y b, y por cada incremento dx se acumulaun área rectangular in�nitesimal dA de altura f(x)− g(x) y base dx,

dA = (f(x)− g(x)) dx

Luego, la expresión para calcular el área total es

A =

ˆ b

a(f(x)− g(x)) dx


8.2.2. Cálculo de la longitud de una curva

Consideremos una curva dada como la grá�ca de una función f(x), derivable en un intervalo [a, b].Nos interesa calcular la longitud L de la curva, desde x = a hasta x = b.

Como la función f(x) es derivable, un tramo in�nitesimal de la curva se aproxima bien por surecta tangente. En esta aplicación la variable x recorre un rango entre a y b, y por cada incremento dxse acumula una longitud de curva in�nitesimal dl que se calcula como la hipotenusa de un triángulorectángulo, con base dx y altura dy = f ′(x) dx:

dl =√

(dx)2 + (dy)2

=

√(dx)2 + (f ′(x))2 (dx)2

=

√1 + (f ′(x))2 dx

Luego, la expresión para calcular la longitud de la curva completa es

L =

ˆ b

a

√1 + (f ′(x))2 dx

8.2.3. Cálculo del volumen de un sólido de revolución

Imaginen una pieza trabajada en un torno ( por ejemplo, la columna de una baranda de madera).Se trata de un volumen con un eje de simetría, y un per�l dado por la distancia de la super�cie aleje: esta distancia varía a medida que recorremos el eje de la pieza, pero para cada punto del eje ladistancia se mantiene constante al dar una vuelta alrededor del eje. Cada corte perpendicular al eje desimetría es un círculo de radio r, que depende del punto x del eje que se considere. A los cuerpos conesta forma se los llama sólidos de revolución.

Nos interesa calcular el volumen de un sólido de revolución, conociendo su per�l. Llamemos x al ejede simetría, y r(x) al radio del corte hecho en el punto x, y digamos que el sólido ocupa un intervalodel eje, desde x = a hasta x = b. El sólido se genera rotando sobre el eje una grá�ca como la quemostramos; cada rectángulo in�nitesimal como el sombreado genera un disco de radio r(x).


En esta aplicación la variable x recorre un rango entre a y b, y por cada incremento dx se acumulaun disco in�nitesimal de radio r(x) y altura in�nitesimal dx. Como la base del disco tiene una super�cieπ (r(x))2, y el volumen del disco se calcula como base por altura, tenemos

dV = π (r(x))2 dx

Luego, la expresión para calcular el volumen completo es

V = π

ˆ b

a(r(x))2 dx

8.2.4. Cálculo de la super�cie de un sólido de revolución

Nos interesa ahora calcular la super�cie de un sólido de revolución, conociendo su per�l. Como enla aplicación anterior, llamemos x al eje de simetría, y r(x) al radio del corte hecho en el punto x, ydigamos que el sólido ocupa un intervalo del eje, desde x = a hasta x = b. El sólido se genera rotandosobre el eje una grá�ca como la que mostramos; cada arco in�nitesimal como el sombreado genera unasuper�cie in�nitesimal con forma de cinta, de ancho dl y largo 2πr(x). La longitud in�nitesimal se

escribe como dl =√

1 + (r′(x))2 dx, como discutimos al calcular longitud de curvas.

En esta aplicación la variable x recorre un rango entre a y b, y por cada incremento dx se acumulaun área in�nitesimal

dA = 2πr(x) dl

= 2πr(x)

√1 + (r′(x))2 dx

Luego, la expresión para calcular la super�cie exterior del sólido de revolución es

A = 2π

ˆ b

ar(x)

√1 + (r′(x))2 dx

Noten que no hemos incluido la super�cie de las "tapas". Si las necesitan, sumen la super�cie de loscírculos de radio r(a) y r(b).


8.2.5. Trabajo mecánico

El trabajo mecánico es una de las formas en que un sistema físico puede transferir energía a otrosistema: cuando un sistema empuja a otro, y ese empuje produce un desplazamiento, trans�ere energía.El trabajo mecánico realizado es la cantidad de energía transferida, y es común anotarlo con la letraW . Si en el proceso consideramos un desplazamiento in�nitesimal, podemos hablar de un diferencialde trabajo dW ; luego el trabajo total es la acumulación de estas contribuciones a lo largo de undesplazamiento �nito.

La forma general de escribir dW requiere el uso de vectores. Sin embargo, vamos a mencionar dossituaciones particulares donde ya podemos realizar el cálculo del trabajo mecánico:

Cuando se realiza una fuerza F sobre un objeto en la misma dirección que su desplazamientodx, el diferencial de trabajo realizado por la fuerza sobre el objeto se expresa

dW = F dx

Realizarán cálculos de este tipo en Física.Cuando un gas, con una presión P , empuja las paredes del recipiente que lo contiene y produceun aumento de volumen dV , el diferencial de trabajo realizado por el gas sobre el recipiente seexpresa

dW = F dV

Realizarán cálculos de este tipo en Química.

Veamos ejemplos de cálculos (teóricos) en estas dos situaciones:

Ejemplo 8.2.1. Un mol de gas ideal se mantiene a temperatura constante T . Su presión P ysu volumen V se relacionan por la ley de gases ideales

PV = nRT

donde n es el número de moles y R es una constante (conocida como constante universl de losgases). En un proceso de expansión su volumen pasa de un valor V1a un valor V2. Se desea calcularel trabajo realizado por el gas.

El cálculo planteado es la integral

W =

ˆ V2

V1

P (V ) dV

donde la presión depende del volumen como

P (V ) = nRT1

VComo n, R y T son constantes,

W = nRT

ˆ V2

V1

1

VdV

Podemos resolver esta integral, y el resultado es

W = nrT [lnV ]V2V1 = nRT ln

(V2

V1

)

Ejemplo 8.2.2. Se estudia un cuerpo unido al extremo de un resorte. Al estirar el resorte unalongitud x, su extremo ejerce una fuerza F (x) = −kx sobre el cuerpo (el signo − indica que la fuerzaes opuesta a la dirección del desplazamiento). Calculemos el trabajo ejercido por el resorte sobre elcuerpo al estirarse desde x = 0 hasta una distancia d.

El trabajo se calcula como la integralˆ d

0−kx dx = −k1

2

[x2]d0

= −1

2kd2

APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA: DEFINICIÓN DE NUEVAS FUNCIONES 309

No insistiremos mucho con estas aplicaciones, ya que todavía no han estudiado el contexto en quese plantean. Esperamos que recuerden estos ejemplos y resulten útiles cuando vean el tema en otrasmaterias.

Aplicaciones de la integral inde�nida: de�nición de nuevas funciones

La integral inde�nida nos permite construir nuevas funciones, a partir de una función continuaconocida: la expresión

F (x) =

ˆ x

af(u) du

tiene sentido preciso siempre que f(u) sea continua entre a y x. Además, el Teorema Fundamental delCálculo asegura que esta nueva función F (x) es derivable.

En muchos casos podemos conseguir una primitiva de f(u), y entonces sabemos que esta "nueva"función F (x) no es otra cosa que la primitiva más alguna constante.

Consideren ahora algún caso en que no podamos conseguir una primitiva de f(u). En estos casosla función F (x) es realmente nueva. Varias funciones importantes de de�nen con este mecanismo, ypor ser nuevas reciben nombres nuevos.

8.2.6. Función logaritmo natural como integral inde�nida

Vamos a aprovechar la integración inde�nida para discutir un complemento de teoría: la de�niciónformal de la función logaritmo natural.4

Consideren la función de�nida como

F (x) =

ˆ x

1

1

udu

es decir, la función área acumulada bajo la grá�ca de y = 1/u, entre u = 1 y u = x.

Según el Teorema Fundamental del Cálculo, esta expresión da una función derivable de x paracualquier x en un intervalo abierto donde 1/u sea continua y que contenga al número 1. El mayorintervalo posible, en este caso, es (0,+∞). Es decir, la función

F : (0,+∞)→ R con regla de asignación F (x) =

ˆ x

1

1

udu

está bien de�nida y es derivable en todo su dominio, con función derivada

F ′(x) = 1/x

Ahora recordemos la función logaritmo natural, ln(x). Vemos que tanto ln(x) como F (x) sonprimitivas de 1/x, en todo el intervalo (0,+∞). Es decir, están en la misma familia de primitivas ysólo pueden ser diferentes por una constante, ln(x) = F (x) + C.

4Supongan por un momento que no conocen la función logaritmo natural (o que no aceptan que la estemos usandosin una de�nición precisa).


Para averiguar esa constante basta evaluar en x = 1: F (1) =´ 1

1

1

udu = 0 y ln(1) = 0. Entonces

C = 0, y concluimos que

ln(x) =

ˆ x

1

1

udu

Desde otro punto de vista, si no conocemos la función ln(x), entonces esta última ecuación es lade�nición del logaritmo natural. Noten que se puede de�nir ln(x) a partir de una función algebraicasencilla y bien conocida, y = 1/u, mediante sumas de Riemman y el límite que de�ne la integral deRiemann. Recién a esta altura del curso podemos hacerlo.

Muchos libros de Análisis Matemático esperan este momento para introducir la función logaritmonatural, y luego de�nen la exponencial como su inversa. Siendo éste un curso cuatrimestral, preferimosintroducir tempranamente estas funciones tan importantes para a�anzar su uso y propiedades

8.2.7. Función error

Mencionemos un ejemplo más de una función de�nida como integral inde�nida. Esta es realmentenueva, se llama función error, y es de uso frecuente en Estadística (por ejemplo, en la teoría de erroresde los procesos de medición experimental).

Se de�ne

erf : R→ R con regla de asignación erf(x) =2√π

ˆ x

0e−t

2dt

Quizás quieran dedicar algunos intentos a calcular la primitiva´e−t

2dt, con todas las técnicas que

hemos practicado. No lo van a lograr, hoy en día se sabe que no se puede encontrar una primitiva escritacon funciones elementales. A pesar de eso, la función está bien de�nida y hay técnicas para calcularlacon la precisión deseada (por ejemplo mediante polinomios de Taylor). Está incluida en calculadorasy programas de cálculo, por ejemplo en GeoGebra. Su grá�ca es

y por supuesto conocemos su derivada,

erf′(x) =2√πe−x

2

8.2.8. Ejercicios

Les proponemos una serie de ejercicios aplicados. Verán que están en el mismo orden que losejemplos de esta clase.

Ejercicio 8.2.1. Encuentren el área de la región encerrada por las grá�cas de y = x2 + 2, y = −x,x = 0 y x = 1. Para organizar el cálculo deben gra�car y reconocer tanto el intervalo de integracióncomo las funciones que hacen de "piso" y "techo" del área encerrada.

Ejercicio 8.2.2. Encuentren el área de la región encerrada por las grá�cas de las parábolas y = 2x2

e y = 12−x2. En este caso, además de gra�car y reconocer las funciones que hacen de "piso" y "techo",deberán encontrar los puntos de intersección entre las curvas para ubicar los límites de integración.

Ejercicio 8.2.3. Calculen la longitud de un tramo de la parábola y = x2, entre x = 1 x = 5.¾Pueden dar la fórmula para un tramo general, en términos de la posición de sus extremos?


Ejercicio 8.2.4. Calculen usando integrales la longitud del segmento de recta que une los puntos(−3, 1) y (5, 5). ¾Da lo mismo que la fórmula de distancia entre dos puntos?

Ejercicio 8.2.5. Calculen el volumen de un paraboloide de rotación, generado por rotación de la

parábola y = x2 alrededor de su eje de simetría, para x entre 0 cm y 10 cm.

Ejercicio 8.2.6. Calculen el volumen de una esfera de radio R, tratándola como el sólido que segenera al girar una semicircunferencia del mismo radio.

Ejercicio 8.2.7. Un fármaco se presenta al público en comprimidos con forma de elipsoide acha-

tado: el sólido generado al rotar la elipsex2

a2+y2

b2= 1, con a = 5mm y b = 2mm, alrededor del eje y.

Para calcular la dosis contenida en cada comprimido les encargan calcular el volumen del comprimido.¾Pueden hacerlo?

Ejercicio 8.2.8. Calculen la super�cie de un paraboloide de rotación, generado por rotación dela parábola y = x2 alrededor de su eje de simetría, para x entre 0 cm y 10 cm.

Ejercicio 8.2.9. Volvamos al comprimido del ejercicio 8.2.7. Para calcular la cantidad de azúcarnecesaria para revestirlo, les piden que calculen su super�cie. ¾Pueden hacerlo?

Ejercicio 8.2.10. La fuerza de atracción gravitatoria que el planeta Tierra ejerce sobre un cuerpode masa m depende de la distancia r en que se halla el cuerpo respecto del centro del planeta. Se puedeescribir, según la Ley de Gravitación Universal, como

F (r) =GMTm

r2

donde G es una constante universal y MT es la masa de la Tierra. Escriban una expresión para eltrabajo mecánico realizado sobre el cuerpo cuando su distancia al centro de la Tierra varía desde elradio terrestre R hasta un valor R+ h.

Ejercicio 8.2.11. Calculen el trabajo mecánico realizado por un gas cuando se expande mante-niendo su presión P constante, desde un volumen V1 hasta un volumen V2.

Desafío (para pensar más) 8.2.12. Aunque no tengamos una expresión de la función errorescrita con funciones conocidas, podemos trabajar con sus polinomios de Taylor.

1. Escriban el polinomio de Taylor de grado 3 de erf(x) centrado en x0 = 0.(ayuda: la derivada primera está en la guía, y a partir de ella pueden calcular las derivadassuperiores con las reglas usuales.erf(0) se calcula usando propiedades de la integral de Riemann,consulten la De�nición 7.4.3. )

2. Utilicen el polinomio para calcular erf(0.5).3. Estimen el error cometido en la aproximación.

Desafío (para pensar más) 8.2.13. Supongan que no conocen la función logaritmo, y analicenla función de�nida como

F : (0,+∞)→ R con regla de asignación F (x) =

ˆ x

1

1

udu

1. Prueben que es continua y creciente en todo su dominio.2. Discutan la existencia de su función inversa.3. Den una expresión para la derivada de la función inversa.


Desafío (para pensar más) 8.2.14. Sabiendo ahora que ln(x) =´ x

1

1

udu,

1. Usando que ln(e) = 1, propongan una caracterización del número e.2. Justi�quen que existe el número propuesto (ayuda: deben usar el Teorema del Valor Intermedio)

CLASE 8.3. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 313

Clase 8.3. Actividades de integración

Contenido de la clase: ejercitación en aplicaciones del cálculo integral.

Ejercicio 8.3.1. En cada caso hallen una función F (x) que cumpla las condiciones pedidas:

F ′(x) = x3 + x; F (1) = 0.

F ′(x) =x

x2 + 1; F (1) = 1.

Ejercicio 8.3.2. Hallen una solución f(x) particular de f ′(x) =√x+ 2x en el dominio (0,+∞),

tal que f(1) = 0. Gra�quen la solución.

Ejercicio 8.3.3. Resuelvan las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) y′ =√xy; (b) y′ = x(2 + y); (c)y′ =

5x

y(d) (cosx) y′ = senx; (e) eyy′ − 2 senx (ey + 1) = 0.

Ejercicio 8.3.4. (a) Para las ecuaciones diferenciales del ejercicio anterior, hallen la soluciónparticular que pasa por el punto (0, 1).

(b) Hallen ahora en cada caso la solución particular que veri�ca y(0) = −1.

Ejercicio 8.3.5. La población de una colonia de bacterias en un laboratorio se duplica cada mediahora. El experimento comienza con una bacteria.(a) Encontrar el modelo exponencial que describe el crecimiento de la colonia de bacterias en funcióndel tiempo t (medido en horas).(b) ¾Cuántas bacterias habrá después de 24 horas?

Ejercicio 8.3.6. En otra población de bacterias a las 2 horas había 125 bacterias y después de 4horas la población se incrementó a 350 bacterias. ¾Con cuántas bacterias comenzó el cultivo?

Ejercicio 8.3.7. La estructura molecular del azúcar cambia durante la re�nación, en la fase cono-cida como �inversión�. Iniciado el proceso, la razón de cambio de la cantidad de azúcar es proporcionala la cantidad restante. Si 1000kg de azúcar se reducen a 800kg en las primeras 10 horas, ¾qué cantidadde azúcar quedará después de otras 14 horas?

Ejercicio 8.3.8.

1. Calculen el área determinada por la grá�ca de la función f(x) = 3(x2 − x) y el eje x.2. Calculen el área determinada entre las grá�cas de las funciones f(x) = (x−1)3 y g(x) = x−1.3. Calculen el área determinada entre las grá�cas de las funciones f(x) = x2 − 4x − 3 y g(x) =−x2 + 2x+ 3.

4. Calculen el área determinada entre las curvas y = x3 e y = x, para 0 ≤ x ≤ 2.

Ejercicio 8.3.9. En cada caso, gra�quen la región indicada y calculen su área.

1. La región limitada por la grá�ca de la función f(x) = 4− x2 y el segmento que une los puntos(2, 0) y (0, 4).

2. La región encerrada entre las rectas y = 2, y = 9/2 y la parábola y = x2/2.3. La región limitada por la grá�ca de la función f(x) = 4x− x2 − 1, el eje y y la recta tangente

horizontal a la grá�ca de f(x)

Ejercicio 8.3.10.

Calculen la longitud de la curva y = ln(cosx) cuando 0 ≤ x ≤ π/4.

CLASE 8.3. ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 314

Calculen la longitud de la curva y = 12 cosh 2x que se recorre desde x = 0 hasta x = 2 ln(

√5).

Ejercicio 8.3.11. Consideremos la grá�ca del tramo de parábola x = y2 +1 recorrida desde x = 1hasta x = 5.

1. Calculen el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la grá�ca alrededor del ejex. Gra�quen.

2. Si la grá�ca se rotara alrededor del eje y, ¾qué propondrían para calcular el volumen del sólidode revolución que se genera? Gra�quen.

Ejercicio 8.3.12. Se asume que la razón de cambio del decaimiento de un elemento radiactivo esproporcional al número de núcleos radiactivos que están presentes en ese instante. Se llama vida mediaal número de años que se necesitan para reducir la muestra a la mitad .

Supongamos que en el accidente de Chernobyl se liberaron 10g del isótopo plutonio. Sabiendo quela vida media del plutonio es de 24100 años, ¾cuánto tiempo debe pasar para que solamente quede 1gen el lugar?

Ejercicio 8.3.13. En los años 50 del siglo pasado el biólogo austríaco L. von Bertalan�y (1901-1972) desarrolló un modelo matemático para la talla de un individuo en función de su edad, que seutiliza con frecuencia para predecir el tamaño de los peces. Sea L(t) la longitud del individuo en laedad t y sea A la talla máxima de la especie, es decir la talla máxima alcanzable por un pez adulto. Laley de crecimiento de este modelo dice que la velocidad de crecimiento es proporcional a la diferenciaentre la longitud actual y la longitud máxima permisible, es decir:

L′ = k(A− L),

donde k es la constante de propocionalidad de cada especie.Supongamos que para cierta especie de peces se sabe que la talla máxima permisible es de 50 cm,

k = 0, 5, y t se mide en años. Admitiendo que L(0) = 0, calcular cuánto tiempo hay que esperar paraque los peces alcancen 30 cm y 40 cm.

CLASE 8.4. INTEGRALES IMPROPIAS 315

Clase 8.4. Integrales impropias

Contenido de la clase: Noción de integrales impropias y de convergencia. Integrales im-propias por discontinuidades in�nitas en el intervalo de integración. Integrales impropiaspor límites de integración in�nitos. Estudio por primitiva directa.

8.4.1. Introducción

En la Unidad 7 estudiamos la integral de Riemann, o integral de�nida, en casos en que estábamosseguros de que la integral existe. La garantía está en el teorema 7.2.6: cuando integramos una funciónf(x) en un intervalo cerrado, y f(x) es continua en ese intervalo cerrado, entonces la integral existe.Es decir, las sumas de Riemann se pueden construir y tienen un límite �nito cuando aumentamosarbitrariamente el número de sub-intervalos y la norma de la partición tiende a cero.

También presentamos una generalización de este resultado cuando el integrando f(x) es una funcióncontinua a trozos, con límites laterales �nitos en cada discontinuidad, la integral de Riemann nopresenta di�cultades. En esos casos, la integral existe y se puede calcular sumando tramos, como si elintegrando fuera una función continua cada sub-intervalo cerrado.

Sin embargo, hay planteos en que naturalmente surgen otras situaciones. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 8.4.1. Calculemos el perímetro de una circunferencia de radio R = 5, usando laestrategia vista en la clase 8.3 para calcular longitud de curvas.

La ecuación de la circunferencia de radio R = 5 con centro en el origen es

x2 + y2 = 25

Podemos describir la mitad superior con la función

y(x) =√

25− x2

Recordemos que a un segmento in�nitesimal dx le corresponde una longitud de arco

dl =√dx2 + dy2 =

√(1 + y′(x)2) dx

En este ejemplo, como

y′(x) = − x√25− x2

tenemos

dl =5√

25− x2dx

La longitud de la semicircunferencia está dada por

L =

ˆ 5

−5

5√25− x2

dx

Antes de usar la regla de Barrow tenemos que veri�car sus hipótesis, en primer lugar si el inte-

grando es continuo en [−5, 5]. Vemos que en este caso no se cumple: f(x) =5√

25− x2presenta

discontinuidades tipo asíntota vertical en x = −5 y en x = 5.


En consecuencia, no podemos usar la regla de Barrow.

En esta Unidad vamos a discutir lo que puede suceder con el límite de una sucesión de sumas deRiemann cuando la función no cumple con las hipótesis de la Regla de Barrow 7.2.7.

Vamos a estudiar dos situaciones particulares que pueden aparecer al plantear integrales, distintasa las vistas en la Unidad 7:

1. integral de una función f(x) continua en un intervalo semi-abierto [a, b), cuandolımx→b− f(x) = ±∞, o de una función f(x) continua en un intervalo semi-abierto (a, b],cuando lımx→a+ f(x) = ±∞.

2. integral de una función f(x) continua en un intervalo semi-in�nito [a,+∞), o de unafunción f(x) continua en un intervalo semi-in�nito (−∞, b].

En el primer caso el motivo que hace especial a esta integral es que el integrando no es continuo enuno de los bordes del intervalo de integración, con límite +∞ o −∞ en ese borde. En el segundo caso,el motivo especial es que el intervalo de integración tiene longitud in�nita. En ambos casos se dice quela integral es impropia.

Aunque todavía no los discutimos concretamente, conviene anticipar una regla general: cuandouna integral es especial por más de una de las causas mencionadas, debemos separar el intervalo deintegración en dEjercicios

istintos sub-intervalos que tengan una sola causa, y analizarlos por separado. Si tan sólo una delas integrales involucradas no existe, entonces la integral completa no existe. Y si todas las integralesinvolucradas existen, entonces la integral completa existe y usamos la aditividad respecto del intervalopara sumar los resultados de cada integral.

Ejemplo 8.4.2. Consideremos la integralˆ 1

−1

1

xdx

El integrando, es decir la función1

x, tiene una discontinuidad in�nita en x = 0, donde no está

de�nida. Observen la lista de causas de integral especial que anotamos: solamente encontramosfunciones continuas en intervalos semi-abiertos, es decir funciones que no son continuas en un soloborde del intervalo de integración. La regla general indica que debemos analizar por separadoˆ 0

−1

1

xdx y

ˆ 1

0

1

xdx

En cada integral separada vemos que el integrando tiene una discontinuidad in�nita en un soloborde del intervalo (caso (a)):

en [−1, 0) encontramos que lımx→0−

1

x= −∞ y en (0, 1] encontramos que lım

x→0+

1

x= +∞

Corresponde analizar cada integral por separado, con las técnicas que veremos en esta clase. Silas dos integrales quedan bien de�nidas, podemos usar la aditividad respecto del intervalo y sumarlos resultados de cada parte.

8.4.2. Integrales impropias en intervalos �nitos, por causa de asíntotas verticales

Veamos el caso 1 mencionado en la Introducción: integrales de funciones continuas en intervalossemi-abiertos, con límite in�nito en el borde abierto.

Consideremos un inte0rvalo semiabierto [a, b) y una función f(x) continua en [a, b) pero discontinuapor izquierda en x = b, con lımx→b− f(x) = +∞ o lımx→b− f(x) = −∞. Lo que hace especial a la


integral´ ba f(x) dx es la discontinuidad in�nita de f(x) en un borde del intervalo de integración. Se la

llama integral impropia en el intervalo [a, b].

)[

Podemos interpretar en el dibujo que la integral intenta describir el área bajo una curva, en un casoen que la curva tiene una asíntota vertical. En la región sospechosa vemos una zona arbitrariamentealta, pero a la vez arbitrariamente angosta. El área que aporta a la suma de Riemann un rectángulocon base tendiendo a cero y altura tendiendo a in�nito plantea una situación indeterminada, del tipo"0 por in�nito". Encontraremos en distintos ejemplos que el área total puede tomar un valor �nito, otender a in�nito.

Para calcular estas integrales se recurre a un proceso de límite:

primero se calcula la integral en un intervalo cerrado [a, c] incluido en [a, b) (es decir cona < c < b). Se trata de la integral de una función continua en un intervalo cerrado, estamosseguros de que existe.luego se calcula el límite del resultado enterior, cuando c tiende a b por izquierda (es decir, semueve c para cubrir "lo mejor posible" el intervalo [a, b).si el límite existe, se dice que la integral de f(x) entre a y b converge, y el valor del límite esel resultado de la integral.si el límite es in�nito ( +∞ o −∞) se dice que la integral diverge, y no se le asigna valor.

)[

Formalizamos la siguiente de�nición:

Definición 8.4.3. Dada una función f(x) continua en un intervalo semi-abierto [a, b) conlımx→b− f(x) = +∞ o lımx→b− f(x) = −∞, se de�ne la integral impropiaˆ b

af(x) dx = lım

c→b−

ˆ c

af(x) dx

en el caso en que este límite exista y sea �nito, y se dice que la integral converge a dicho límite.Si el límite es in�nito, se dice que la integral impropia diverge.

Una de�nición similar se da en el caso de funciones continuas con asíntota vertical en el bordeizquierdo de un intervalo (a, b]. En este caso el valor del punto c debe tender hacia a por derecha al�nal del cálculo. Vale la pena copiar la de�nición en detalle:


Definición 8.4.4. Dada una función f(x) continua en un intervalo semi-abierto (a, b] conlımx→a+ f(x) = +∞ o lımx→a+ f(x) = −∞, se de�ne la integral impropiaˆ b

af(x) dx = lım

c→a+

ˆ b

cf(x) dx

en el caso en que este límite exista y sea �nito, y se dice que la integral converge a dicho límite.Si el límite no existe, se dice que la integral impropia diverge.

Ejemplo 8.4.5. Estudiemos el área que está "encerrada" entre el eje x y de la grá�ca def(x) = 1/

√x entre x = 0 y x = 1.

La función tiene en x = 0 una asíntota vertical, ya que lımx→0+1√x

= +∞ y por lo tanto no está

acotada (por eso decimos "encerrada" entre comillas: el "techo" y la "pared" no llegan a juntarse).En principio no sabemos si el área que buscamos será �nita. Siguiendo la de�nición 8.4.4 debemoscorrer el borde en x = 0 hacia la derecha del grá�co, construyendo un intervalo cerrado [c, 1] dondef(x) resulta continua y por lo tanto integrable, y luego tomar límite tendiendo para c tendiendo a0 por la derecha. Si el límite es �nito, la integral impropia converge a dicho valor. En caso de que ellímite no exista, diremos que la integral diverge (o que no converge)

Calculemos la integral en [c, 1], con c entre 0 y 1:0ˆ 1

c

1√xdx =

[2x1/2

]1

c= 2

(1−√c).

Ahora tomemos el límite

lımc→0+

(ˆ 1

c

1√xdx

)= lım

c→0+2(1−√c)

= 2.

Como el límite es �nito, la integral impropia converge. Corresponde decirˆ 1

0

1√xdx = 2

En palabras, la integral converge a pesar del comportamiento asintótico vertical del integrando.En este caso en que la función es positiva y por lo tanto la integral respresenta el área geométrica

entre la grá�ca y el eje x, entre x = 0 y x = 1, se dice que el área encerrada es �nita (a pesar deque la función no es acotada).

Ejemplo 8.4.6. Analicemos´ 3

01

x−3dx.Haciendo el grá�co, vemos que en [0, 3) la función es negativa y en x = 3 tiene una asíntota

vertical, ya que lımx→3−1

x−3 = −∞.


Para estudiar su posible convergencia, debemos tomar ahora un número 0 < c < 3, calcularla integral en [0, c] (que existe por ser 1

x−3 continua en ese intervalo) y luego tomar límite cuandoc→ 3−. ˆ c

0

1

x− 3dx = [ln |x− 3|]c0 = ln |c− 3| − ln | − 3| = ln(3− c)− ln 3

Tomando límite

lımc→3−

(ˆ c

0

1

x− 3dx

)= lım

c→3−(ln(3− c)− ln 3) = −∞

Por lo tanto la integral´ 3

01

x−3dx diverge.En palabras, la integral diverge a causa del comportamiento asintótico vertical del integrando.

Debe quedar claro de los dos ejemplos anteriores que la presencia de una asíntota vertical en unextremo del intervalo de integración puede causar la divergencia de la integral, o no causarla y dar unresultado convergente. Será importante distinguir entre las dos posibilidades, incluso antes de intentarel cálculo.

Recuerden que la presencia de una asíntota vertical en el integrando causa una di�cultad deconvergencia, y que esa di�cultad debe ser analizada.

Veamos un tercer ejemplo, donde la función a integrar presenta asíntotas verticales (di�cultades deconvergencia) simultáneamente en los dos extremos de un intervalo (a, b) de integración. En este caso,la regla general indica que se debe partir el intervalo de integración, para analizar por separado cadadi�cultad de convergencia.

Ejemplo 8.4.7. Intentemos calcular´ 3

01

x2−3xdx.

Como x2 − 3x = x(x − 3), el integrando f(x) = 1x2−3x

tiene asíntotas verticales en x = 0 yx = 3, ambos bordes del intervalo [0, 3]. Vamos a partir el intervalo [0, 3] en algún punto intermedio,digamos x = 1, y estudiar por separado las integrales

´ 10

1x2−3x

dx y´ 3

11

x2−3xdx. Gra�quen para

visualizar el procedimiento.Para hallar una primitiva usamos el método de fracciones simples, proponiendo

1

x(x− 3)=A

x+

B

(x− 3)

Sumando e igualando numeradores debe cumplirse (A + B)x − 3A = 1. Resolvemos el sistemaresultante A+B = 0, −3A = 1 y obtenemos A = −1/3 y B = 1/3. Luego una primitiva esˆ

1

x(x− 3)dx = −1

3

ˆ1

xdx+

1

3

ˆ1

x− 3dx = −1

3ln |x|+ 1

3ln |x− 3|,

válida en intervalos que no contengan x = 0 ni x = 3.Tomemos un punto c entre 0 y 1 para calcular

ˆ 1

c

1

x2 − 3xdx =

[−1

3ln |x|+ 1

3ln |x− 3|

]1

c

=1

3ln(2) +

1

3ln |c| − 1

3ln |c− 3|


y un punto d entre 1 y 3 para calcular

ˆ d

1

1

x2 − 3xdx =

[−1

3ln |x|+ 1

3ln |x− 3|

]d1

= −1

3ln |d|+ 1

3ln |d− 3| − 1

3ln(2)

Tomemos ahora límites:

lımc→0+

[1

3ln |c| − 1

3ln |c− 3|

]= lım

c→0+

[1

3ln | c

c− 3|]

= −∞

lımd→3−

[−1

3ln |d|+ 1

3ln |d− 3|

]= lım

d→3−

[1

3ln |d− 3

d|]

= −∞

Vemos que no convergen ni´ 1

01

x2−3xdx ni

´ 31

1x2−3x

dx. Bastaría saber que una de estas integrales no

converge para concluir que la integral completa´ 3

01

x2−3xdx no converge.

8.4.3. Integrales impropias de funciones continuas en intervalos semi-in�nitos.

En esta sección vamos a considerar el caso 2 mencionado en la introducción: integrales impropiasde la forma ˆ +∞

af(x) dx

donde f(x) es continua en el intervalo de longitud in�nita [a,+∞).Estas expresiones se llaman integrales impropias en el intervalo [a,+∞), porque no se ajustan a la

de�nición de integral de Riemann (de�nición 7.2.4), dada para intervalos cerrados de longitud �nita.La di�cultad de convergencia es precisamente que el intervalo de integración se extiende hasta +∞.

Ejemplo 8.4.8. Empecemos planteando el problema de convergencia con un ejemplo. Vamos aconsiderar la función f(x) = 1/x2 en el intervalo [1,+∞).

Nos preguntamos si tiene sentido calcular el área "encerrada" entre la curva y el eje x, desdex = 1 y hacia la derecha. Decimos "encerrada" entre comillas, porque este dibujo no está acotado,es in�nitamente largo hacia la derecha.

Para de�nir estas integrales se utiliza la siguiente estrategia:

trabajamos primero en un intervalo cerrado [a, b] con b > a. Allí existe´ ba f(x) dx.

luego tomamos el límite para b→ +∞, para cubrir lo mejor posible el intervalo [a,+∞).si el límite existe, se dice que la integral de f(x) entre a y +∞ converge, y el valor del límitees el resultado de la integral.si el límite es in�nito ( +∞ o −∞) se dice que la integral diverge, y no se le asigna valor.

Se formaliza esta estrategia en la de�nición


Definición 8.4.9. Dada una función f(x) continua en un intervalo semi-in�nito [a,+∞), sede�ne la integral impropia comoˆ +∞

af(x) dx = lım

b→+∞

ˆ b

af(x) dx

En el caso en que este límite exista y sea �nito, se dice que la integral converge a dicho límite.Si el límite no existe, se dice que la integral impropia diverge.

Ejemplo 8.4.10. (continuación)

Veamos cómo funciona la de�nición con´ +∞

1

1

x2dx:

ˆ b

1

1

x2dx =

[−1

x

]b1

= 1− 1

b

luego

lımb→+∞

ˆ b

1

1

x2dx = lım

b→+∞

(1− 1

b

)= 1

Concluimos que la integral´ +∞

1

1

x2dx converge, con resultado

´ +∞1

1

x2dx = 1.

Una estrategia similar se utiliza para de�nir integrales impropias de la formaˆ b

−∞g(x) dx

Definición 8.4.11. Dada una función f(x) continua en un intervalo semi-in�nito (−∞, b], sede�ne la integral impropia comoˆ b

−∞f(x) dx = lım

a→−∞

ˆ b

af(x) dx

en el caso en que este límite exista y sea �nito, y se dice que la integral converge a dicho límite.Si el límite no existe, se dice que la integral impropia diverge.

Ejemplo 8.4.12. Consideremos la integral impropia´ 0−∞ e

x dx

Tenemos que ˆ 0

aex dx = [ex]0a = 1− ea

y que

lıma→−∞

ˆ 0

aex dx = lım

a→−∞(1− ea) = 1

Es decir, la integral converge y de�ne el valor del área bajo la curva.


En los dos ejemplos anteriores la función integrando tiende a cero cuando x tiende al borde in�nitodel intervalo, y la integral resulta convergente. Es importante reconocer que, aunque el integrandotienda a cero, una integral impropia en un intervalo semi-in�nito puede ser divergente . El ejemplo mássencillo es

Ejemplo 8.4.13. Estudiemos la convergencia de´ +∞

1

1

xdx. Tenemos que

ˆ b

1

1

xdx = [ln(x)]b1 = ln(b)

que resulta divergente,

lımb→+∞

ˆ b

1

1

xdx = +∞

Si bien la grá�ca de 1/x se ve similar a la de 1/x2 en el ejemplo 8.4.8, hay una diferenciaimportante en el cálculo del área bajo la curva: en un caso el área es �nita y en el otro el área esin�nita.

Lo que sí podemos a�rmar en general es que, si el integrando no tiende a cero, entonces la integralhasta in�nito no converge. Esto queda anotado como

Propiedad 8.4.14. Condición necesaria de convergencia.Dada la integral impropia

´ +∞a f(x) dx, si lımx→+∞ f(x) no vale cero entonces la integral impropia

no converge.

8.4.4. Ejercicios

Ejercicio 8.4.1. Las siguientes integrales impropias sirven como modelos sencillos para reconocercondiciones de convergencia en intervalos �nitos. Determinen cuáles son convergentes y cuáles sondivergentes:´ 1

0

1

xpdx cuando 0 < p < 1

´ 10

1

xpx cuando p > 1

´ 10

1

xpdx cuando p = 1´ 1

0 ln(x) dx

Ejercicio 8.4.2. Ya están en condiciones de calcular el perímetro de la circunferencia de radioR = 5, según el planteo presentado en la Introducción de esta clase.

1. Calculen la longitud del arco de la circunferencia x2 + y2 = 25 en el primer cuadrante. Multi-pliquen por 4 para obtener la longitud de la circunferencia completa.


2. ¾Pueden calcular para un radio genérico R que la longitud de la circunferencia es L = 2πR ?3. ¾Conocían alguna justi�cación de esta famosa fórmula, antes de cursar Análisis Matemático?

Ejercicio 8.4.3. También están en condiciones de completar el ejemplo 8.4.2. Discutan si se puedeasignar un resultado a ˆ 1

−1

1

xdx

Ejercicio 8.4.4. Dadas las siguientes integrales, analicen por qué son impropias. Determinen siconvergen o divergen y en el caso en que converjan, calculen a qué valor lo hacen.

(a)

ˆ 1

0

1

x√xdx

(b)

ˆ 9

1

13√x− 9

dx

(c)

ˆ 0

−1

1

x2dx

(d)

ˆ 1

0

1

x2dx

(e)

ˆ 2

0

x− 3

2x− 3dx

Ejercicio 8.4.5. Calculen el perímetro de una elipse de semiejes a y b. (Recuerden la expresión

general de una elipse centrada en el origen x2

a2+ y2

b2= 1) Aprovechando las simetrías de la elipse,

conviene calcular sólo la longitud del arco del primer cuadrante, y luego multiplicar por 4).

Ejercicio 8.4.6. Las siguientes integrales impropias sirven como modelos sencillos para reconocercondiciones de convergencia en intervalos semi-in�nitos. Determinen cuáles son convergentes y cuálesson divergentes:´ +∞

1

1


´ +∞1

1

xpx cuando p > 1

´ +∞1

1

xpdx cuando p = 1´ +∞

1 e−x dx

Ejercicio 8.4.7. Determinar si las siguientes integrales convergen o divergen:

(a)

ˆ +∞

1

1

1 + x2dx

(b)

ˆ 0

−∞

1

1 + x2dx

(c)

ˆ +∞

0xe−x

2dx

(d)

ˆ +∞

1xe−x dx

(e)

ˆ 1

0ln(x) dx

Ejercicio 8.4.8. Sin calcular, analizar si es posible que la integralˆ +∞

1

ex

xdx converja.

CLASE 8.5. CRITERIOS DE COMPARACIÓN. 324

Clase 8.5. Criterios de comparación.

Contenidos de la clase: Criterios de comparación.

8.5.1. Criterios de convergencia para integrales impropias

Algunas veces es imposible, o muy complicado, hallar una primitiva para calcular exactamente unaintegral impropia y sin embargo es importante poder anticipar si es convergente o divergente5. Vamos amencionar teoremas de comparación que permiten a�rmar si una integral impropia converge o diverge.

Teorema 8.5.1. Consideremos dos funciones f(x) y g(x) no negativas y continuas en un intervalosemi-abierto [a, b), con asíntotas verticales en x = b, tales que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) en [a, b).

Si´ ba g(x) dx es convergente, entonces

´ ba f(x) dx también es convergente.

Si´ ba f(x) dx es divergente, entonces

´ ba g(x) dx también es divergente.

Un enunciado similar es válido para funciones no negativas y continuas en un intervalo semi-abierto (a, b], con asíntotas verticales en x = a.

En un grá�co como el siguiente podemos decir que la grá�ca de g(x) está por encima de la grá�cade f(x). Luego,* si el área bajo la curva g(x) es �nita, entonces el área bajo la curva f(x) necesariamente es �nita* si el área bajo la curva f(x) es in�nita, entonces el área bajo la curva g(x) necesariamente es in�nita

Teorema 8.5.2. Consideremos dos funciones f(x) y g(x) no negativas y continuas en un intervalosemi-in�nito [a,+∞), tales que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) en [a,+∞).

Si´ +∞a g(x) dx es convergente, entonces

´ +∞a f(x) dx también es convergente.

Si´ +∞a f(x) dx es divergente, entonces

´ +∞a g(x) dx también es divergente.

Un enunciado similar es válido para funciones continuas en un intervalo semi-abierto (−∞, b].En un grá�co como el siguiente podemos decir que la grá�ca de g(x) está por encima de la grá�ca

de f(x). Luego,* si el área bajo la curva g(x) es �nita, entonces el área bajo la curva f(x) necesariamente es �nita.* si el área bajo la curva f(x) es in�nita, entonces el área bajo la curva g(x) necesariamente es in�nita.

Argumento: en cada teorema, la idea grá�ca de la primer a�rmación es que, si el área bajo lagrá�ca de g(x) es �nita, y f(x) se mantiene debajo de g(x) en todo el intervalo, entonces el área bajo lagrá�ca de f(x) es obligadamente �nita. Análogamente, la idea grá�ca de la segunda a�rmación es que,si el área bajo la grá�ca de f(x) es in�nita, y g(x) se mantiene encima de f(x) en todo el intervalo,

5Por ejemplo, si es convergente tiene sentido calcularla al menos en forma aproximada, usando métodos numéricos.


entonces el área bajo la grá�ca de g(x) es obligadamente in�nita. Una demostración formal involucralas propiedades de desigualdades entre integrales 7.5.1 y el paso al límite de la de�nición 8.4.3.

Ejemplo 8.5.3. Comencemos con un ejemplo en que se pueda hacer una comparación, y también

la integral exacta, como´ +∞

1

x− 1

x3dx.

Vemos que para x ≥ 1

0 ≤ x− 1

x3=

1

x2− 1

x3<

1

x2

Como´ +∞

1

1

x2dx converge (lo resolvieron en un ejercicio anterior), entonces

´ +∞1

x− 1

x3dx tam-

bién converge.

El criterio de comparación es sencillo de aplicar, pero usualmente la di�cultad consiste en armar lasdesigualdades. En esta guía propondremos ejercicios con comparaciones guiadas, o con desigualdadesbastante evidentes.

Para agilizar las comparaciones, resulta importante recordar patrones de comparación conocidos.Esto signi�ca conocer integrales que sabemos son convergentes o divergentes.

Actividad 8.5.4. En el ejercicio 8.4.1 les pedimos que calculen algunas integrales modelo. Conlos resultados construyan una tabla clasi�cando si convergen o divergen´ 1

0

1


´ 10

1

xpx cuando p > 1

´ 10

1

xpdx cuando p = 1´ 1

0 (− ln(x)) dx

Gra�quen con GeoGebra las cuatro funciones (por ejemplo, con p = 1/2, 1, 2). Establezcan grá�ca-mente comparaciones entre los integrandos y la convergencia de las integrales.

Actividad 8.5.5. En el ejercicio 8.4.6 les pedimos que calculen algunas integrales modelo. Conlos resultados construyan una tabla clasi�cando si convergen o divergen´ +∞

1

1


´ +∞1

1

xpx cuando p > 1

´ +∞1

1

xpdx cuando p = 1´ +∞

1 e−x dx

Gra�quen con GeoGebra las cuatro funciones (por ejemplo, con p = 1/2, 1, 2). Establezcan grá�ca-mente comparaciones entre los integrandos y la convergencia de las integrales.

Ejemplo 8.5.6. Supongamos que queremos analizar la convergencia o divergencia deˆ +∞

3

x− 2

x3 + 9dx.

Podemos usar que x− 2 < x y que x3 + 9 > x3 para escribirx− 2

x3 + 9≤ x

x3=

1

x2.

Como la integralˆ +∞

3

1

x2dx converge, por el criterio de comparación también converge la integral

original.


Para el caso en que x → +∞, conocemos comparaciones asociadas a los comportamientos asintó-ticos de algunas funciones básicas. Es lo que llamamos orden de magnitud . Las más importantes lasestudiamos en la Unidad 4, y las podemos recordar como

cuando x→+∞, lnx� xa � ex (siendo a > 0)

Ejemplo 8.5.7. Consideremos la integralˆ +∞

10

√x

e2xdx.

Como√x = x1/2 y 1/2 > 0, podemos escribir para x grande, que

√x < ex. Luego

√x

e2x<

ex

e2x=

1

ex.

Comoˆ +∞

10

1

exdx converge, también lo hace la integral original.

Hay ocasiones en los que conviene llevar una integral impropia por asíntotas en x = 0 a una integralimpropia en el +∞, en la esperanza de que la nueva integral sea más fácil de analizar. Esto se lograpor sustitución: la sustitución adecuada para mapear el 0 a +∞ es u = 1/x.

Veamos en un ejemplo cómo se trabaja en estos casos.

Ejemplo 8.5.8. Consideremos la integral impropiaˆ 1

0[− ln(x)] dx.

Si bien esta integral tiene primitiva, supongamos que no recordamos cómo hacerla y solamenteestamos interesados en saber si converge o no. La di�cultad de convergencia se encuentra en x = 0,ya que lımx→0+ [− ln(x)] = +∞.

Corresponde tomar un número 0 < c < 1, trabajar con la integralˆ 1

c[− ln(x)] dx

y luego tomar límite para c→ 0+.Hagamos la sustitución x = 1/u. Tenemos que dx = −1/u2du; y que los límites de integración

son

u(c) = 1/c y u(1) = 1.

Recordemos que ln(x) = ln(1/u) = ln 1− lnu = − lnu. Lamando d = 1/c podemos escribir entonces

ˆ 1

c[− ln(x)] dx =

ˆ 1

dlnu

[− 1

u2

]du =

ˆ d

1

lnu

u2du,

donde usamos que al cambiar los límites de integración la integral cambia de signo. Si ademásobservamos que cuando c→ 0+, d = 1

c → +∞, tendremos queˆ 1

0[− ln(x)] dx = lım

c→0+

ˆ 1

0[− ln(x)] dx = lım

d→+∞

ˆ d

1

lnu

u2du =

ˆ +∞

1

lnu

u2du.

es decir cambiamos una integral impropia en el 0 por una integral impropia en +∞. Veamos queesta última converge por comparación.

Sabemos que si una variable u es su�cientemente grande, 0 ≤ ln(u) < uα, para cualquierexponente α > 0. Como en el denominador tenemos u2, elijamos un exponente adecuado para queal dividir por esa potencia siga quedando una integral convergente (sabemos que 1/xp converge enin�nito si p > 1). Elijamos uα =

√x. Para u ≥ 1.


0 ≤ lnu ≤√u

es decir

0 ≤ lnu

u2≤√u

u2=

1

u3/2

cuando u > 1.

Finalmente aplicaremos el teorema de comparación para f(x) =lnu

u2y g(x) =

1

u3/2. Como sa-

bemos que la integralˆ +∞

1

1

u3/2du converge, también lo hace la integral de

ˆ +∞

1

lnu

u2du.

8.5.2. Ejercicios

Ejercicio 8.5.1. Demuestren que la integral impropia´ 1

0

1

x+√xdx converge, comparando

1

x+√x

con1√x

Ejercicio 8.5.2. Decidan por comparación la convergencia o divergencia de´ 1

0

(1

x+ x2

)dx (sugerencia: comparar con

´ 10

(1

x

)dx)

´ 10

(1√x− x2

)dx (sugerencia: comparar con

´ 10

(1√x

)dx)

Ejercicio 8.5.3. Analicen la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias enintervalos �nitos utilizando criterios de comparación.

(a)

ˆ 1

0

e−x√xdx

(b)

ˆ 1

0

1√x(1 + x)

dx

(c)

ˆ π/2

0

sen2 x4√xdx

(d)

ˆ 1

0

1

x− x4dx

Ejercicio 8.5.4. Analicen la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias enintervalos in�nitos utilizando criterios de comparación.

(a)

ˆ +∞

2

e−x√xdx

(b)´ +∞

1

3

ex + 5dx

(c)

ˆ +∞

1

1√x2 − 0.1

dx comparen con 1/x

(d)

ˆ +∞

−∞

1

ex + e−xdx separen en dos integrales y comparen con 1/ex o con 1/e−x

(e)

ˆ +∞

π

2 + cosx

xdx

Ejercicio 8.5.5. Proponiendo la sustitución u = 1/x, analicen si la integralˆ 1

0

− lnx√x

dx es

convergente o divergente.

CLASE 8.6. REPASO GENERAL DE LAS UNIDADES 7 Y 8: CÁLCULO INTEGRAL 328

Clase 8.6. Repaso general de las Unidades 7 y 8: Cálculo integral

Contenidos: esta clase está diseñada para repasar el cálculo integral, en vistas al SegundoParcial. Pueden encontrar ejercitación de repaso de las unidades 5 y 6 en el sitio web.

8.6.1. Integración directa - Familia de primitivas y solución particular

Ejercicio 8.6.1. Encontrar la familia de primitivas F (x) de cada función f(x) y hallar la primitivaparticular pedida en cada caso:

f(x) = 3x− 5; F (0) = 1f(x) =

√x; F (1) = 1

f(x) = senx; F (π) = 0f(x) = 8ex; F (0) = 3

Ejercicio 8.6.2. Calcular las siguientes integrales aplicando la regla de Barrow. Justi�car por quépuede utilizarse.

(a)

ˆ 2

1(x−2 + 2x) dx; (b)

ˆ π/4

0sec2 x dx; (c)

ˆ 2

1

(3√x+

23√x

)dx; (d)

ˆ −1

−2

(3√x+

23√x

)dx

Ejercicio 8.6.3. En cada caso escribir la función F (x) =´ x−1 f(t) dt, indicando su dominio. ¾Dónde

es derivable? ¾Cuánto vale F ′(x)?

f(t) =

{ex − 1, si -1≤x ≤ 0

senx, si 0 < x ≤ π; f(t) =

1, si -1≤x ≤ 0

x, si 0 < x ≤ 1

2− x, si 1 < x < 2

1, si 2 < x ≤ 3

Ejercicio 8.6.4. Supongamos una función continua f(x) en el intervalo [−5, 5] tal que´ 5

0 f(x) dx =4. Calcular las siguientes integrales (justi�car los pasos realizados)

(a)

ˆ 5

0(f(x) + 2) dx; (b)

ˆ 3

−2f(x+ 2) dx;

(c)

ˆ 5

−5f(x) dx si f(x) es par;

(d)

ˆ 5

−5f(x) dx si f(x) es impar

8.6.2. Técnicas de integración

Ejercicio 8.6.5. Por medio de sustituciones adecuadas, calcular las siguientes integrales

(a)

ˆcos(3x) dx; (b)

ˆ √x− 1 dx; (c)

ˆ5x dx; (d)

ˆsenx sen(cosx) dx; (e)

ˆarctanx

1 + x2dx

Ejercicio 8.6.6. Integrando por partes, calcular las siguientes integrales

(a)

ˆx2 lnx dx; (b)

ˆx2 ln2 x dx; (c)

ˆx5x dx; (d)

ˆex sen(x) dx; (e)

ˆx2 cos(3x) dx

Ejercicio 8.6.7. Separando en fracciones simples, calcular las siguientes integrales

(a)

ˆx2 + 1

x2 − xdx; (b)

ˆ2x+ 3

(x− 1)2dx; (c)

ˆ1

x3 + xdx; (d)

ˆx2 + x

(x2 + 1)(x− 1)dx


Ejercicio 8.6.8. Resolver las siguientes integrales

(a)

ˆdx√

x+ 1 +√x; multiplicar y dividir por el conjugado primero

(b)

ˆ √u− 2

u+ 2du; proponer s =

√u− 2

(c)

ˆ √lnx+ 1

x lnxdx; proponer u = lnx

8.6.3. Teoría y aplicaciones

Ejercicio 8.6.9. Deriven las siguientes funciones. Indiquen qué resultado teórico se está utilizando.

F (x) =´ x

0 ln(t2 + 5) dt

F (x) =´ 2x cos(5t) dt

F (u) =´ u2

5 cos(5x) dx

F (u) =

ˆ senu

2u−1

1

t4 + 1dt

Ejercicio 8.6.10. Encuentren la función f(x) que veri�ca queˆ x

0f(t) dt = senx+ 5x2.

¾Qué resultado teórico utilizaron para hallar la respuesta?

Ejercicio 8.6.11. Encuentren una función continua y positiva f(x) tal que para todo x ≥ 0 elárea de la región bajo la grá�ca de f(x) entre 0 y x sea igual a x3.

Ejercicio 8.6.12. Dadas las siguientes funciones, veri�quen las hipótesis del Teorema del ValorMedio para integrales, y hallen el valor de c que toma el valor promedio de f(x) en el intervalo indicado(puede haber más de un valor de c). Interpreten grá�camente.

(a) f(x) = 1/x; [1, e] (b) f(x) = x2; [−1, 1]

Ejercicio 8.6.13. Encuentren el valor de b adecuado para que el valor promedio de f(x) =2 + 6x− 3x2 en el intervalo [0, b] sea igual a 3. (puede haber más de un valor de b)

Ejercicio 8.6.14. Decidan si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. En todos los casosjusti�quen las respuestas (con un fundamento teórico si el enunciado es verdadero, o con un contra-ejemplo si es falso).(a) El valor de la integral

´ ba f(x) dx siempre es un número positivo.

(b)´ ba (f(x) + g(x)) dx =

´ ba f(x) dx+

´ ba g(x) dx

(c)´ ba f(x)g(x) dx =

(´ ba f(x) dx

)(´ ba g(x) dx

)8.6.4. Aplicaciones de la integral (ecuaciones diferenciales, cantidades acumuladas)

Ejercicio 8.6.15. Un vivero de plantas verdes suele vender cierto arbusto después de 6 años decrecimiento y cuidado. El ritmo de crecimiento durante esos 6 años es, aproximadamente,

dh

dt= 1.5t+ 5

donde t es el tiempo medido en años y h es la altura en centímetros. Las plantas de semillero miden12cm de altura cuando se plantan (es decir en t = 0).(a) Determinar la altura después de t años.(b) ¾Qué altura tienen los arbustos en el momento en que son vendidos?


Ejercicio 8.6.16. Una población de animales aumenta con una rapidez igual a 200 + 50t, dondet se mide en años. ¾Cuál es el aumento de la población entre el cuarto y el décimo año?

Ejercicio 8.6.17. Supongamos que la velocidad de un cuerpo que se mueve a lo largo de un eje ses

ds

dt= 9.8t− 3

(a) Encuentren el desplazamiento del cuerpo en el intervalo de tiempo de t = 1 a t = 3, sabiendo ques = 5 en el instante inicial t = 0.(b) Respondan la misma pregunta, suponiendo ahora que s = −2 en el instante inicial t = 0.

Ejercicio 8.6.18. Resuelvan las siguientes ecuaciones diferenciales para hallar y(x):

(a) 2√xydy

dx= 1 con dato y(4) = 1

(b)dy

dx=

e2x−y

ex+y con dato y(1) = 1/2.

Comprueben por derivación implícita que la respuesta hallada es correcta.

Ejercicio 8.6.19. Consideren la grá�ca de la función f(x) = e−x para 0 < x < 1.(a) Calculen el área bajo la curva.(b) Calculen el volumen del sólido generado al hacer girar la región alrededor del eje x.(c) Considerando ahora la región determinada para 0 < x < +∞, calculen el área de la región y elvolumen del sólido in�nito generado al rotar la región alrededor del eje x.

Ejercicio 8.6.20. En todos los casos, gra�quen primero y resuelvan:(a) Encuentren el área de la región acotada por la parábola y = 2− x2y la recta y = −x.(b) Encuentrenel área de la región en el primer cuadrante, que está acotada por arriba por y =

√x y

por abajo por el eje x y la recta y = x− 2.(c) Encuentren el área determinada por las curvas y = 2 senx e y = sen(2x), con 0 ≤ x ≤ π.

Ejercicio 8.6.21. Calculen el área de la región limitada por la parábola y = x2, la recta tangentea la curva en el punto (1, 1) y el eje x.

Ejercicio 8.6.22. Calculen la longitud de la curva y = 4√

23 x3/2 − 1 para 0 ≤ x ≤ 1.

Ejercicio 8.6.23. Determinen el área de la super�cie generada al hacer girar la curva y = 2√x

para 1 ≤ x ≤ 2 alrededor del eje x.

8.6.5. Integrales impropias

Ejercicio 8.6.24. Analicen por qué son impropias las integrales siguientes. Decidan su convergen-cia o divergencia por cálculo directo, y en caso de ser convergentes, den el valor de la integral.

(a)

ˆ 1

−1

1

x2/3dx

(b)

ˆ −2

−∞

2

x2 − 1dx

(c)

ˆ +∞

0

1

4 + x2dx

(d)

ˆ 0

−∞e−|x| dx


(e)

ˆ π/2

0

senx

cosxdx

(f)

ˆ 2

0

1

x2 − 1dx

Ejercicio 8.6.25. Utilizando el criterio de comparación, analicen si las siguientes integrales im-propias convergen o divergen.

(a)

ˆ +∞

1

1

x3 + xdx

(b)

ˆ +∞

2

√x− 1

x2dx

(c)

ˆ +∞

2

lnx

x4dx

(d)

ˆ +∞

3

x+ 1

x2 − 1dx

Ejercicio 8.6.26. Analicen si las siguientes integrales impropias convergen o divergen. En todoslos casos, propongan la sustitución u = 1/x para estudiar mejor la integral. Si hace falta, utilicen elcriterio de comparación para la última integral.

(a)

ˆ 1

0

− lnx

x3dx

(b)

ˆ 1

0− lnx

1 + x4dx

Unidad 8: Aplicaciones del Cálculo Integral

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