Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E ...

Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Sea una función definida sobre , , con derivada contínua sobre , . Sea además una

partición ,.......,, 10 entonces podemos obtener la poligonal formada por la

unión de segmentos con extremos ,...,1;))(,(,))(,( 111 entonces:

21

21

11 ))()(()( es la longitud de la poligonal.

Si existe el número0||

lim este es llamado la del gráfico de desde

))(,( hasta ))(,( .

x =bx x

Pi-1PiP0

Pn

Si )( es una función con derivada contínua sobre , entonces la

longitud de arco desde ))(,( hasta ))(,( es dada por:2

1

Se tiene usando las definiciones previas con sumas de Riemann.

Si )( es una función con derivada contínua sobre , entonces la longitud de arco desde ))(,( hasta ))(,( es dada por:

2

1

x0=a xn=bxi-1 xi

10.1. LONGITUD DE ARCO.

longitud de arco

- 158 -

Teorema 10.1.

Demostración:

Observación:

f ba ba

bxxxa n

nixfxPxfxP iiiiii

n

iiiiii

n

iii xfxfxxPPL

LL f

afa bfb

xfy ba

afa bfbb

adx

dx

dyL

yfx dccfc dfd

d

cdy

dy

dxL

[ ] [ ]{ }===ℑ

=−−−

∑∑=

−−=

−ℑ −+−==

ℑ→ℑ=

= [ ]

∫

+=

= [ ]

∫

+=


Dada la función 3,8;)ln()(

Inmediatamente tiene derivada contínua en 3,8

Por el teorema anterior 3

8

2

2

3

8

2 11)('1

Entonces3

8

21 )1(

Dado que 02

11podemos sustituir 22

Entonces

11

11ln

2

11

1

1ln

2

1

1)1(

2

22

221

Entonces

3

8

2

223

8

21

11

11ln

21

1)1(

32

ln21

1

Sea )( es una función contínua sobre , y ,;0)(entonces el área de la región limitada por la gráfica de , el eje y las rectas ,

es dada por )(

Se tiene directamente de la definición de integral definida.

Si ,;0)( entonces )(

Si , son funciones contínuas sobre , y ,;)()(entonces el área de la región limitada por la gráfica de , y las rectas , es

dada por ))()((

a b

f(x)

R

Ejemplo:

10.2. ÁREA DE REGIONES PLANAS.

Teorema 10.2.

.

Demostración:

- 159 -

Observación:

Corolario 10.3.

.

Demostración:

[ ]−−∈−==

[ ]−−

( ) ∫∫−

−

−

−

+=+=

∫−

−

− +=

=+−

∈ =⇒+=

+

++

−+++=+

+

−+=

−=+∫ ∫−

−

−

−

−

−

++

−+++=+= ∫

+−=

= [ ] [ ]∈∀≥==

∫=

[ ]∈∀≤ ∫−=

[ ] [ ]∈∀≤==

∫ −=

xxxfy

f

dxx

dxxfL

dxxxL

xdxzdzxiz

Cx

xxC

z

zzzdz

z

zdxxx

x

xxdxxxL

xfy ba baxxf

R f X bxaxb

aR dxxfA

baxxfb

aR dxxfA

gf ba baxxgxfR f g bxax

b

aR dxxfxgA

Z


Como )( es una función contínua en el intervalo , tiene mínimo absoluto tal que

,;)( .Trasladando el origen ,0 tenemos ',0'En el gráfico de tenemos ))(,'(),'()','())'(,'(En el gráfico de tenemos ))(,'())'(,'(Además )()(0)'()'(0

Según el teorema y la observación anterior ))(())((

Por propiedad de integral definida ))()((

Para determinar estas áreas también se puede trabajar funciones )(,)(

contínuas sobre , obteniéndose ))()((

Para determinar el área comprendida entre las curvas 222 ,Podemos considerar las funciones:

a b

g(x)

R

f(x)m

R

x´

x

32

)(2)(

1

0

232

)(2 s

158

31

53

231

53

2

1

0

335

Dada una región plana conteniendo un segmento de recta, el sólido obtenido al rotar la región plana alrededor del segmento es llamado . La recta conteniendo el segmento es llamado eje de revolución.

1

x2=y

x3=y2

R

R

xfy ba m

baxmxf

m myyxx

f mxfxmyxyxxfx

g mxgxxgx

mxgmxfxgxfb

a

b

aR dxmxfdxmxgA

b

aR dxxfxgA

ygxyfx

dcd

cR dyyfygA

yxxy

yyfx

yygx

dyyyAR

yy

= [ ][ ]∈∀≥

( ) +=+=−=−==

−=−≤−≤⇒≤≤

∫∫ −−−=

∫ −=

==

[ ] ∫ −=

==

==

==

∫ −=

=

−=

−=

Observación:

Ejemplo:

- 160 -

10.3. AREA DE SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN.

Definición 10.1.sólido de revolución


Dada una región limitada por el gráfico de una función con derivada contínua tal que

],[,0)( . Si rotamos esta region obtenemos una superficie de revolución .

Ahora considerando una partición = ,.......,0 de [ ]

El i-esimo intervalo [ ], forma con los puntos ))(,(,))(,( 111 un

trapezoide que al ser rotado nos dá un tronco de cono circular recto de área lateral:

21

2111 ))()(()(),(;))()((

Según el teorema del valor medio ))((́)()(;, 111

Entonces

21 ))(́(1))()((

xi-1 ba

Pi-1

xi

Pi

i

Sumando las áreas de todos los troncos de cono según la partición tenemos:

1

21

1

))(́(1))()((

Ahora si | | 0 entonces ,1 además )(2)()( 1

Según la definición de integral de Riemann el área lateral de será:

2))(́(1)(2

Si el grafico de se encuentra a un mismo lado de la recta la superficie de revolución alrededor de la recta tendrá área lateral:

2))(́(1|)(|2

Área lateral de superficies de revolución:

- 161 -

Observación:

R f

baxxf R S

bxax n a,b

xi-1, xi iiiiii xfxPxfxP

iiiiiiiiiii xfxfxxPPdLLxfxfA

iiiiiiii xxfxfxfxx

iiiii xfxfxfA

n

iiiii

n

ii xfxfxfA

iii xx iii fxfxf

S

b

aS dxxfxfA

f y = kS

b

aS dxxfkxfA

∈∀≥

{ }==

−−−

−−−− −+−==+=

−−− −=−⟩⟨∈∃

∆++= −

λ

∑∑=

−=

∆++=

→ →− →+−

∫ +=

∫ +−=

P

P

p

ll

lp

lp

l l

p

p


Consideremos el sólido tal que al trazar planos perpendiculares a cualquier eje por ejemplo el eje obtenemos continuamente secciones transversales , ],[ .

Considerando la aplicación área :],[: la cuál es contínua.

Entonces el volumen de S es dado por:

Dado el sólido que es parte común de dos cilindros circulares rectos de radio . Si los ejes de los cilindros se cortan perpendicularmente.

Podemos tomar como 8

1 de porción de la superficie con secciones transversales

rectangulares de área: 222||2

Entonces :

0

322

0 32

21

Por tanto 33

3

16)

3

2(8

Dada una región limitada por la gráfica de una función contínua ],[;)( , el eje

y las rectas , es dada. Rotando esta región alrededor del eje obtenemos un

sólido de revolución para el cuál las secciones transversales perpendiculares al eje son

yx

discos circulares de radio | | = | |.

Entonces 222 ))((||

Por lo tanto 2))((

ba

Sx

R

f(x)

x

y

10.4. VOLUMEN DE SÓLIDOS.

1) Volumen de sólidos usando secciones transversales

Ejemplo:

2) Volumen de sólidos de revolución por discos circulares

- 162 -

SX Sx bax

xSAxIRbaAb

a SS dxAVx

r

S1

xrxxyAx

rr

xS rdxxrxdxAV

rrVS

R baxxfy

X bxax X

S X

Sx y f(x)

xfyyAxS

b

aS dxxfV

∈∀

→→

∫=

−==

∫∫ =−==

==

∈∀=

==

===

∫=

ppp

p


Dada una región limitada por la gráfica de las funciones continuas

],[;)(,)( , las rectas , tal que los gráficos de las funciones

están a un mismo lado de la recta y | | | g |.

Entonces rotando esta región alrededor de la recta obtenemos un sólido de revolución

para el cuál las secciones transversales perpendiculares al eje son anillos circulares de

radio menor | | = | | y radio mayor | | = | |.

Así ]))(())([( 22

ba

Sx

R

f(x)

y

z

x

y =k

g(x)

]))(())([( 22

Para la recta se tiene el volumen ]))(())([( 22

Para la recta se tienen: ]))(())([( 22

Para la recta se tienen ]))(())([( 22

Consideremos los gráficos de , funciones continuas sobre [ , ] tales que

],[,)()( , la recta con .

3) Volumen de sólidos de revolución por anillos circulares

- 163 -

Observación:

4) Volumen de sólidos de revolución por anillos circulares

R

baxxgyxfy bxax

y = k f(x)-k (x-k)

y = k S

X Sx

y f(x)-k y g(x)-k

kxfkxgAxS

b

b

aS dxkxfkxgV

y = 0b

aS dxxfxgV

x = kb

aS dykyfkygV

z = k b

aS dzkzfkzgV

f g a b

baxxgxf x = k k a

∈∀== ==

≤

−−−=

⇒ ∫ −−−=

∫ −=

∫ −−−=

∫ −−−=

∈∀≤

p

p

p

p

p

£


Si alrededor de la recta hacemos rotar la región formada por los gráfico de , ,

las rectas , obtenemos un sólido de revolución el cuál es unión de cilindros ,

],[ de radio y altura .

Entonces el volumen de es dado por:

)]()()[(2

Para la recta se tienen:

)]()()[(2

ba

Sx

R

f(x)

y

z

x

y =kg(x)

S

Para determinar el volumen del sólido generado por la rotación de la región

limitada por: 1,)1( 2 alrededor de es dada por:

Consideramos:

]4,0[),(1)1()( 2

4

0)]()()[4(2

4

0

2 ])1(1)[4(2

4

0

23 )127(23

644

f(x)=(x-1)2

g(x)=x+1

R

x = k R f(x) g(x)

x = a x = b S Sx

bax x-k g(x)-f(x)

S

b

aS dxxfxgkxV

k b

b

aS dxxfxgxkV

aS

S R

xyxy L : x = 4

xxgxxxf

dxxfxgxVS

dxxxx

dxxxx

∈

∫ −−=

∫ −−=

∫

+=−=

∈=−≤−=

∫ −−=

∫ −−+−=

∫ +−= =

p

³

p

p

p

p p

Observación:

- 164 -

Ejemplo:


Dada una partícula de masa y una recta se define el de la

partícula respecto de la recta como la masa por la distancia de la partícula a la recta ó

sea: ( ).

Una si dos divisiones de ella de igual área tienen el mismo

peso. La de una lámina es la masa de una unidad cuadrada de lámina (Por lo

que la densidad de una lámina homogénea es constante y la masa de la lámina es

Área), en el caso de un alambre )).

El homogénea es el punto de equilibrio de la lámina.(Por

ejemplo el centro de masa de una lámina circular es el centro y de una lámina rectangular

está en la intersección de las diagonales).

El de masa respecto de una recta es el momento de

masa de una partícula de masa situada en el centro de masa de la lámina.

Si una lámina es dividida el momento de la lámina respecto de una recta es la suma de los

momentos de las divisiones.

El momento de masa de una partícula de masa situada en el punto ( )

del plano Euclidiano respecto de los ejes X, Y son dados por: ,

Para un sistema de partículas de masas , situadas en los puntos ( ), .., ( )

respectivamente se tienen los momentos del sistema:

1

, 1

Ahora si ),( es el centro de masa ó gravedad del sistema de partículas, con masa

1

entonces los momentos de masa de ),( respecto de los ejes coordenados

estarán dados por:

P(x, y)x

y

10.5. MOMENTOS Y CENTROS DE MASA.

Definición 10.2. (Densidad, momentos y centro de masa)

1.- momentos de masa

2.- lámina es llamada homogénea

densidad

3.- centro de masa de una lámina

4.- momento de masa de una lámina

5.-

Centro de masa ó centro de gravedad en el plano

Definición 10.3.

- 165 -

P m L

P L

ML = md P, L

m =

( m = (Longitud

m

m

P m x, y

MX = my MY = mx

n m1,… mn x1, y1 xn, yn

n

iiiX ymM

n

iiiY xmM

yxC

n

iimm yxC

ρ

∑=

= ∑=

=

∑=

=r r


, con 11

,

Por tanto ,),(

Consideremos una lámina homogénea ocupando una región en el plano la cuál está limitada

por las gráficas de las funciones continuas , sobre [ ] y las rectas x = a , x = b tales que

],[;)()( . Podemos considerar una partición = ,.......,0 de [ ]

con punto medio ],[ 1

Por ser la lámina homogénea la masa de i-esimo rectángulo de la partición es dado por

,......1;)]()([ y el centro de masa de este rectángulo es dado por.

)()(

a b

f(x)

R

xixi-1 i

Ci

g (x)

2

)()(,

Por lo que los momentos de masa para los n-rectángulos estarán dados por:

11 2

)()())()((

11

))()((

Entonces el centro de masa ó gravedad para los n-rectángulos homogéneos estará dado por:

1

1

22

1

1

))()((

]))(())([(2

1

,))()((

))()((,),(

xmMymM YX

n

iiiY

n

iiiX xmMymM

m

M

m

MyxC XY

R

f g a, b

baxxgxf bxax n a,b

i ii xx

niiiii xfgm

gf iiii

gfC

i

n

i

iiii

n

iiiX x

gffgymM

i

n

iiii

n

iiiY xfgxmM

n

iiii

n

iiiii

n

iiii

n

iiiii

XY

xfg

xfg

xfg

xfg

m

M

m

MyxC

== ∑∑==

==

=

∈≤ { }==

−

=∆−=

+

λ

+=

∆

+−== ∑∑

==

∆−== ∑∑==

∆−

∆−

∆−

∆−=

=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

Centro de masa ó gravedad de una lámina en el plano

- 166 -

P

l

llr

ll lll

llllr

lllr

ll

lll

ll

lll


Ahora si | | 0 entonces por definición de integral de Riemann el centro de masa ó gravedad

de la lámina limitada por la región es dado por:

))()((

]))(())([(,

))()((

))()((),(

22

2

1

Observar que las coordenadas del centro de masa no dependen de la densidad . Además

recordar que el área de la región es dada por:

))()(()( .

Consideremos un alambre homogéneo ocupando una curva en el plano, descrita por el gráfico

de una función con derivada contínua ],[;)( .

Con una partición del intervalo [ ], = ,.......,0 obtenemos la poligonal desde

))(,( 00 hasta ))(,( que une los segmentos de recta desde ))(,( 11 hasta

))(,( y los centros de gravedad de estos segmentos de rectas es dado por

2

))((, 1 donde

21 .

Los momentos de los n-segmentos estarán dados por:

1

121

21

1 2

)()())()(()(

1

21

21

1

))()(()(

Por otro lado en cada ,1 existe tal que ))((')()( 11 entonces:

x0=a xn=bxi-1 xii

P

P

→

−

−

−

−=

∫

∫

∫∫

ρ

∫ −=

∈=

{ }==

−−

+− += −

∑∑=

−−−

=

+−+−==

∑∑=

−−=

−+−==

⟩⟨ − −− −=−

λ

R

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxfxg

dxxfxg

dxxfxg

dxxfxgxyxC

R

b

adxxfxgRA

baxxfy

a,b bxax n

xfx nn xfx ii xfx

ii xfx

iii

xfxf iii

xx

n

i

iiiiii

n

iiiX

xgxfxfxfxxymM

n

iiiiii

n

iiiY xfxfxxxmM

ii xx ci iiiii xxcfxfxf

Centro de masa ó gravedad de un alambre en el plano

- 167 -

l l

r

lr


1

12

2

)()())('(1 ,

1

2))('(1

Ahora si | | 0 entonces )(2

)(2

2

)()(,, 1

1

Por tanto según definición de integral de Riemann el centro de masa del alambre es dado por:

22 ))('(1)(,

))('(1,),(

2))('(1 .

Consideremos una lámina homogénea de densidad constante la cuál esta limitada en el plano

por el gráfico de una función contínua en , y ,;0)( . Entonces el

sólido de revolución obtenido al rotar la región alrededor del eje tiene centro de gravadad

llamado ubicado en el eje de revolución en este caso el eje .

Para una partición = ,.......,0 el i-esimo rectángulo al girar genera un disco de

radio )( con 1 , espesor y volumen 2))(( .

Luego la masa del disco estará dada por 2))(( donde es la densidad.

El centro de masa de este disco está sobre el eje de revolución )0,0,( .

El momento de masa del disco respecto del plano estará dado por )))((( 2

x0=a xn=bxi-1 xii

z

y y=f(x)

∑=

−

+∆+=

∑=

∆+=

→ =→+

→→ −−

++=

=∫∫

∫ +=

[ ] [ ]∈∀≥

{ }==

+= − ∆ ∆

∆ ρ

∆

λ

n

i

iiiiX

xgxfxcfM

n

iiiiY xcfM

iiii

iiii cfcfxfxf

cxx

L

dxxfxf

L

dxxfx

m

M

m

MyxC

b

a

b

aXY

b

adxxfL

XY f ba baxxf

X

X

bxax n

if iii

xxix ii xf

ii xf

i

YZ iii xf

r

lr

l

l l lp

lr p

l

lr pl

P

P

Centroide de sólidos de revolución en el espacio

centroide

- 168 -


Y el momento de masa para todos los discos será 1

2))((

Ahora si | | 0 entonces por definición de integral de Riemann se tiene que el momento de

masa del sólido de revolución respecto del plano es dado por 2))(( con

masa total 2))(( .

Por tanto el centroide del sólido 0,0,))((

))((0,0,)0,0,(

2

2

Si una región del plano está limitada por los gráficos de las

funciones contínuas , en [ , ] y con centro de masa ó gravedad ),( de la

lámina que ocupa .

Entonces el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor del eje es dado

a b

g(x)

R

,

f(x)

Entonces el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor del eje es dado

por: 2 . Donde es el área de la región .

Usando discos circulares: ]))(())([( 22

En el centro de gravedad ),( de se tiene:

))()((

]))(())([( 22

2

1

Como el área de es ))()((

entonces 2

∑=

∆

→

∫=

∫=

=

==

∫∫

( )

=

∫ −=

∫

∫−

−=

∫ −=

=

n

iiii xf

YZb

aYZ dxxfxM

b

adxxfm

b

a

b

aYZ

dxxf

dxxfx

m

MxC

R

f(x) g(x) a b g(x) f(x) yx

R

S R X

yx

S R X

RS AyV A R

b

aS dxxfxgV

yx R

b

a

b

a

dxxfxg

dxxfxgy

Rb

aR dxxfxgA

RS AyV

lr pl

r p

r p

³

p

p

p

P

Teorema 10.4. (De Papus)

- 169 -

Demostración:


Usando transformación de coordenadas el volumen del sólido al rotar la región alrededor de

la recta es dada por 2 . Donde es el área de y es la distancia del centro de

gravedad de la lámina hasta .

Para la lámina que ocupa la región limitada por ,4 2

Se tiene que:

6

27])4[(

3

0

2

5

54])4[(

2

1 22

4

27])4([ 2

223

,5

12,),(

Considerar el sólido de revolución generado al rotar sobre el eje X la región

limitada por el eje , y la recta .

Podemos usar el método de los discos circulares para determinar:

0,0,)0,0,(

4

x=4y-y2

y=xR

3

2

243

))((3

0

53

0

2

5

243

))((3

0

43

0

2

Entonces 0,0,2

50,0,)0,0,(

3

y=x2

R

y

z

x

Observación:

Ejemplo:

Ejemplo:

- 170 -

R

L AdVS A R d

R L

R xyyyx

dyyyyA

dyyyyM Y

dyyyyyM Y

m

M

m

MyxC XY

X y = x2 x = 3

m

MxC YZ

m

dxxdxxfxM YZ

dxxdxxfm

m

MxC YZ

p

rr

rr

r p

r pr p

r p

r pr p

=

=−=

=−−= ∫

∫ =−−=

∫ =−−=

=

=

==

=

== ∫∫

=

== ∫∫

=

==


Si se ejerce una fuerza constante sobre un cuerpo entonces en un desplazamiento el trabajo

realizado se define .

En el plano Euclidiano podemos considerar F(x) = k constante y el incremento de la distancia

en el eje desde hasta

Entonces el trabajo realizado por la fuerza para desplazar el cuerpo la distancia será:

que es el área del rectángulo limitado por , , y el eje .

Ahora si consideramos un cuerpo desplazado por una fuerza variable y el

desplazamiento desde hasta . Para obtener el trabajo total W realizado por esta

fuerza podemos considerar una partición = ,......., tal que desde hasta

F

d

F(x)=k

R

y

a b x

fuerza podemos considerar una partición = ,.......,0 tal que desde hasta

consideramos la fuerza constante ],[,)()( 1 con trabajo )( .

Cuando | | 0 podemos usar la definición de integral de Riemann para obtener que el

trabajo realizado por la fuerza desde hasta es dado por: )(

x0=a xn=bxi-1 xii

yy=F(x)

10.6. CALCULO DEL TRABAJO Y PRESIÓN DE LÍQUIDOS.

Trabajo realizado por una fuerza

- 171 -

F d

W = Fd

x X x = a x = b

F d = b-a

W = Fd F(x) = k x = a x = b X

F = F(x)

x = a x = b

bxax xi-1 xi

bxax n xi-1 xi

iiiii xxxkFxF iii xxFW

F(x) x = a x = bb

adxxFW

∆

{ }==

{ }==

−∈== ∆=

→

∫=

λ

P

P

P

l


Sobre el eje consideremos un resorte de longitud . Según la ley de Hooke la

fuerza necesaria para alargar ó comprimir el resorte es directamente proporcional la

elongación ó compresión. Ó sea la fuerza necesaria para estirar ó comprimir el resorte

unidades es dado por donde es una constante.

El trabajo para estirar el resorte es0

,

para comprimir 0

Para determinar el trabajo necesario al bombear un líquido de un recipiente

semiesférico de radio y altura podemos tener en cuenta: Centrar el recipiente en el eje ,

cortar el recipiente por el plano determinando el trabajo para levantar le líquido de la

mitad del recipiente el trabajo total será .

Para esto consideremos una partición = ,......., con el intervalo ],[

-b

L

a

b

Para esto consideremos una partición = ,.......,0 con el intervalo ],[ 1

podemos construir una sección cilíndrica de profundidad radio 22 )()( el

cuál tendrá volumen: ))(())(( 222

2

1

2

1

h+r

xi-1

xi

i

hz

y

Ejemplo:

Ejemplo:

- 172 -

X L

x

F(x) =Kx K

akxdxW

bkxdxW

r h X

XZ W1

W = 2W1

rhxhx xx

rhxhx n ii xx

ix hrf ii

iiiii xhrxfV

∫=

∫−

=

{ }+==

{ }+== −

∆ −−=

∆−−=∆=

ε

P

P

ee

epep


Si es el peso por unidad de volumen del líquido entonces el peso de la sección cilíndrica

requerida para el volumen será ))(( 22

2

1 que es la fuerza requerida para

bombear el elemento de volumen . Cuando | | 0 la distancia que recorre el elemento de

volumen es i y el trabajo para bombear el elemento de volumen será:

entonces ))(( 22

2.

El trabajo total: ))((2

22 221

La fuerza ejercida por unidad cuadrada por un líquido sobre una placa se

llama presión del líquido.

Para una placa sumergida horizontalmente:

Si es el número de unidades del peso por unidad cúbica del líquido y es el número de

unidades de profundidad de un punto bajo la superficie del líquido entonces es la

unidad de presión ejercida por el líquido en el punto.

Ahora si es el número de unidades cuadradas de área de una placa plana que está

sumergida horizontalmente en el líquido y es el número de unidades de fuerza originada

por la presión del líquido que actúa sobre la cara superior de la placa entonces:

Para una placa sumergida verticalmente:

Podemos considerar el principio de Pascal: “En cualquier punto en un líquido la presión es

la misma en todas las direcciones”

Ahora sea una placa ocupando la región limitada por el eje , las rectas , y la

función contínua ],[,)( .

La longitud de la placa en una profundidad está dada por .

Consideremos una partición = ,.......,0 de ],[ el intervalo ],[ 1 dá

un i-esmo rectángulo con longitud )( y ancho 1 .

Si rotamos cada rectángulo 90º tenemos placas rectangulares sumergidas horizontalmente a

una profundidad i.

w

Vi iii xhrP w

Vi

iii PW iiii xhrW w

rh

hxdxhxrwWW

w h

p = wh

A

F

whAFpAF whAFpAF

R X x = a x = b

baxxfy

x f(x)

rhxhx n ba ii xx

if iii xxx

∆−−=

→

ε

= ∆−−=

∫+

−−==

=⇒= =⇒=

∈=

{ }+== −

−−=∆

ε

ep

e eepp

p

e

P

P

Presión de líquidos

Definición 10.4.

i)

- 173 -

ii)


Como sabemos la fuerza ejercida por la presión del líquido estará dada )(

Cuando | | 0 podemos usar la definición de integral de Riemann para obtener la fuerza

ejercida por la presión del líquido: )(

b

xi-1

xi

i

a

x

y

y=f(x)

iiii xfwF

b

adxxwxfW

∆=

→

∫=

ε

ee

P

- 174 -


I. - Graficar y hallar el área limitada por: 1) y2 = 5a2 – ax ; y2 = 4ax 2) y = ln( x2 ) ; y = ln( 4 ) ; x = e

3) y = tg –1x ; y = cos -1

2

3 ; y = 0

4) 0;

0;4

4 2

4;163

4;16

4882

5) y + x = 0 ; y = 0

)( ; f(t) = 0;12

2;3 2

II.- a) Solucionar los siguientes problemas 1) Determinar el volumen del sólido que es la parte común a dos cilindros circulares

rectos de radio r suponiendo que sus ejes se cortan perpendicularmente. 2) La base de un sólido S es una elipse cuyos ejes miden 20 y 10 unidades. La

intersección de ese sólido con un plano perpendicular l eje mayor de la elipse es un cuadrado. Hallar el volumen de S.

3) La base de un sólido S está limitado por x = y2 , x = 3 – 2y2. Hallar el volumen de S sí las secciones transversales perpendiculares al eje X son cuadrados.

b) Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región R alrededor L. 1) L : y = 0 y R : y = sen2 x , x = 0, x = 2) L : y = 0 y R : x2 + (y – b)2 = a2 ; b a 3) L : y = -1 y R : y = cos-1 x ; y = sen-1 x ; x = 1

4) L : x = 0 y R : y = 102 ; x = 3 ; x = 4

5) L : y = 0 y R : y = cos1

sen ; x = ; x =

3 5) L : y = 0 y R : y =

cos1 ; x =

2 ; x =

2 6) L : x = 1 y R : y = | x2 – 2x – 3 | ; y +1 = 0 ; x = 2 ; x = 4 7) L : x = 0 y R : y = | sen x | ; 2x = ; 2x = 3 ; y = 0 8) L : x = -4 y R : 2x + 3y = 0 ; 4x2 + 9y2 = 36

9) L : y = 2

y R : y = tg-1 x ; x = 0 ; x = 4

; y = 0

III.- Hallar el Centro de Gravedad de las regiones limitadas por: 1) y = x2 – 4 ; y = 2x – x2

2) 3 ; y = 0 ; x = 0

3) y = x3 – 3x ; y = x sobre el lado derecho del eje Y 4) La elipse b2x2 + a2y2 = a2b2 con los ejes x 0 , y 0 5) y = x3 , y = 4x en el primer cuadrante.

6) y = a cosh entre x = -a , x = a ( Arco de la Catenaria )

IV.- Hallar el centroide del sólido de revolución de : 1) La región limitada por x + 2y = 2 , el eje X , el eje Y alrededor del eje X

10.7. RELACIÓN DE EJERCICIOS:

- 175 -

<

≥−

=

≤−

−>−+

=

∫

>−−

<

π≥

+

−−

π π

=+

≥ ≥

x

xx

xxx

yxx

xxx

y

xdttf

tt

tt

x

x

x

x

yx

a

x

p p

p p


2) La región limitada por y2 = x3 ; x = 4 alrededor del eje X. 3) La región limitada por y = x3 ; x = 2 , el eje X, alrededor de x = 2 4) La región limitada por x4y = 1 ; y = 1 ; y = 4 , alrededor del eje Y. 5) La región limitada por y = x2 ; y = x + 2 alrededor de y = 6

6) La región limitada por y = 4 el eje X, la recta x = p, alrededor de x = p

V.- 1) A(0, 0), B(a, 0), C(0, 2

) ; a > 0 vértices de un triángulo. Calcular el volumen del

sólido obtenido por la rotación en torno de la recta = x – a de la región limitada por el triángulo

2) Sea R la región limitada por y = x2 – 1 , y = x – 1 Hallar el volumen del sólido obtenido por la rotación de la región R alrededor de la recta y = x – 1.

3) Usar el teorema de Papus para hallar el centro de gravedad de la región limitada por un semicírculo y su diámetro.

4) Usar el teorema de Papus para hallar el volumen de una esfera de radio r.

5) Sí R es la región limitada por el semicírculo y 22 y el eje X. Usar el teorema de Papus para hallar el momento de R respecto de la recta y = -4

VI. 1) Un resorte tiene una longitud natural de 8 Ud. Sí una fuerza de 20 Ud. estira el resorte 0.5 Ud. Hallar el trabajo realizado al estira l resorte de 8Ud. a 11Ud.

2) Un resorte tiene una longitud de 6 Ud. Una fuerza de 12,000 Ud. comprime el resorte 5.5 Ud. Hallar el trabajo realizado al comprimirlo de 6 Ud. a 5 Ud. (la ley de Hooke se cumple para extender y comprimir )

3) Un tanque de agua en forma de cono recto mide 20 Ud. de diámetro en su parte superior y 15 Ud. de profundidad. Sí la superficie del agua está 5 Ud. por debajo de la tapa del tanque hallar el trabajo realizado al bombear el agua hasta la parte superior del tanque

4) Una pila llena de agua tiene 10 Ud. de largo y su transversal tiene la forma de un triángulo isósceles de 2 Ud. de ancho de sección en el tapón y 2 Ud. de altura ¿ Cuánto trabajo se realiza al bombear todo el agua fuera de la pila sobre la parte ¿ Cuánto trabajo se realiza al bombear todo el agua fuera de la pila sobre la parte superior ?

5) Un tanque rectangular lleno de agua tiene 2 pies de ancho y 18 pulgadas de profundidad hallar la fuerza de presión a un extremo del tanque.

6) El fondo de una alberca es un plano inclinado. La alberca tiene 2 Ud. de profundidad en el extremo y 8 Ud. en el otro. Sí el ancho de la alberca es 25 Ud. y la longitud es de 40 Ud. Hallar la fuerza total debido a la presión del líquido sobre el fondo.

7) Halle la fuerza que el agua ejerce sobre un triángulo sumergido con base paralela a la superficie de 9 dm. altura 4 dm. con base sumergida a 2 dm.

8) Halle la fuerza que soporta un semicírculo de radio sumergido verticalmente en agua de tal forma que su diámetro coincide con la superficie libre de aquella.

9) Una presa vertical tiene la forma de un trapecio. Calcule la presión total del agua sobre dicha presa sabiendo que la base superior tiene a = 70 mt. base inferior b = 50 mt. y su altura h= 20 mt.

px

a

xr −

- 176 -

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