Cálculo Integral con Aplicaciones

1. QA603 G69 FRANCISCO GRANERO 1111111111/1 1/11111111 1/11111111l1li1111/111/1/ 1111111111111 0233000604 CALCULO INTEGRAL Y APLICACIONES francisco Granero http://gratislibrospdf.com/

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5. Clculo Integral y Aplicaciones Francisco Granero Doctor Ingeniero Industrial Profesor Titular de Matemtica Aplicada E.T.S. Ingenieros Industriales y de Telecomunicaciones de Bilbao Universidad del Pas Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea Prentice Hall ------Madrid. Mxico. Santaf de Bogot . Buenos Aires. Caracas. Lima . Montevideo San Juan. San Jos . Santiago. Sao Paulo White Plains http://gratislibrospdf.com/

6. / datos de catalogacin bibliogrfica GRANERO, F. CLCULO INTEGRAL Y APLICACIONES PEARSON EDUCACI N, S. A., Madrid, 2001 ISBN: 84-205-3223-1 Materia: Clculo integral: 517 Formalo 195 X 250 Pginas: 312 Todos los derechos reservados No est permitida la reproduccin total o parcial de esta obra ni su tratamiento o transmisin por cualquier medio o mtodo, sin autorizacin escrita de la Editorial. DERECHOS RESERVADOS 2001 PEARSON EDUCACIN, S. A. Nez de Balboa, 120 28006 MADRID FRANCISCO GRANERO CLCULO INTEGRAL Y APLICACIONES ISBN: 84-205-3223-1 Depsito legal: TO. 1112- 2001 PRENTICE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIN, S. A. Equipo editorial: Editora: Isabel Capella Asistente editorial: Sonia Ayerra Equipo de produccin: Director: Jos Antonio CIares Tcnico: Jos Antonio Hernn Diseo de cubierta: Mario Guindel, Yann Boix y La Senz Composicin: COPIBOOK Impreso por: GRAFILLES IMPRESO EN ESPAA - PRINTED IN SPAIN Este libro ha sido impreso con papel y tintas ecolgicos http://gratislibrospdf.com/

7. A Alicia, Patxi, Joseba y muy especialmente a Arantza http://gratislibrospdf.com/

9. eontenido PRLOGO XI 1. INTEGRALES DEFINIDAS SIMPLES ......... . ..... ..... . .. ... ......... ... . . 1.1. La integral de Riemann . . . . . ........................................ . .... 1 Algunas condiciones suficientes de integrabilidad .. ... .... .......... ....... 4 Propiedades de la integral de Riemann ... . ......................... . . .. . ... 5 Teoremas fundamentales del Clculo integral . . ..... .. .. ... ................ 8 Aplicaciones al clculo de reas planas ............... . . . .......... .. ...... 9 Generalizacin de la regla de Barrow .. ..... .. .... .. ..... .. . . .... .. . ... .... 11 1.2. Integrales impropias . . .. . . .. ... ... ..... . . . .... . ...... .. .. . ........ . . .. . .. 12 Carcter de una integral impropia ..... .......... ..... .. .... ..... . ... ... .... 13 Caso en el que el intervalo de integracin es infinito ..... . ...... . . . . . .... .. 14 Caso en el que la funcin subintegral f(x) no es acotada ..... .. .... ... ... . . 16 1.3. Integrales eulerianas ............... .. . ...... . .. . . . . .. .. ............ . ..... . 17 Convergencia y clculo de la funcin rep) .............. . . ... .. . .. . ... . .... 17 Prolongacin de la funcin Gamma .... ......... . ... .. . .... . . .. ...... . .. ... 20 La funcin euleriana B(p, q) .. .... ... .. . .. ... .. ..... .. ...... .. . ...... . .. .. . 21 1.4. Integrales paramtricas .. . ...... .... . . .. .. . ... . . . ...... ... . . ....... . .. . .. 25 Propiedades de las integrales paramtricas . .. . ................. .... . .. . .... 26 Aplicaciones de la derivacin paramtrica .. .. . . . .. . ...... . .. .. .. . ... ...... . 29 1.5. Aplicaciones de la integral definida simple .......... . ..... . ...... . ... .... 29 reas planas en coordenadas paramtricas y polares ..... ... .... . . .... .. . .. . 30 Longitud de un arco de curva .. .... .... ............... . .. . .. . .. . . . ......... 33 http://gratislibrospdf.com/

10. VIII Contenido Volumen de un slido de secciones conocidas . .... . .. . . .. .. ... . .... . . .. . .. 38 Volumen de un slido de revolucin .... . .......... . . . .. . . . .... . ... .. . . .. . . 40 rea lateral de un slido de revolucin ..... .. ...... . .... . .. ....... . ..... . . 41 Centros de gravedad o centroides . .. .......... . . . ... . .......... . .... .... . . . 44 Momentos de inercia . . .............. . . . ..... .. .. .. . . .............. . ... ... . 50 Ejercicios resueltos ....... . . . .. . . ... . . . .. .... . . .... .. ...... . . ...... . . . .. . ... .... 58 Ejercicios propuestos ... . . .. . .. . . . ............ . .... . .. . .. .. . . ... . .. . ............ 83 2. INTEGRALES CURVILNEAS....................... . . . . . ... . .. .. . ... . . .. . ... 99 2.1. Introduccin... .. .. . . . .. . .. . ... . ... . ..... .. . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.2. Integrales curvilneas en R 2 . . ..... . ........ .... . . ....... .. . .. . . 99 Propiedades ................ . .. . .. . . . .. . . .. .... . ........ ....... ... .. . . .. .... 100 Resolucin de una integral curvilnea en R2 .. .. . . . . . . . .. . ... ... . . . ... .. .. . . . 101 2.3. Integrales curvilneas en R 3 . . .. . . . .. . . .... . . . ....... . . . . .. . .... . ... . ... 105 2.4. Integral curvilnea de una funcin vectorial en R2 .. . ........... . ... .. . . 109 Propiedades y clculo .............. . ... .. .......... . .... ... .... ...... .. . .. 109 Independencia del camino. Funcin potencial ..... . .. . .. . ...... . .. . .. . .. . . . 111 Independencia del camino con puntos singulares . . ... . ... . .. . .. . .. ..... . ... 115 2.5. Integral curvilnea de una funcin vectorial en R3 .. . . .. .... . . .. .. 117 Ejercicios propuestos .. ............ . ..... . ..... . ... .. . .. .... . . . .... . .... .. . ..... 119 3. INTEGRALES DOBLES.. ... ............. ... .. . . .. . . . . .... . .. . ...... . . . ... .... 125 3.1. La integral doble . .. .. . .. . . .. ..... . ... . .. .. . .. . . ... .. . .. . .. . . ... . .. .. . . . . . 125 Clculo de reas planas ... . .. . . ................. . . .. . ... . . . ...... .. . . ...... 125 Clculo de volmenes . . .. . . ......................... . ..... . ... . ... . .... . .. 127 Cambio de variables en una integral doble ..... . . . ...... . .............. .. . . 131 Teorema de Green .. . . . . .. . .... . ... . .................. . ... . . . ........ . .... . 135 Simplificaciones en el Clculo de una integral doble . .. . .. . ..... . .. . . . . .. .. 139 Clculo de reas de superficies .............. . ................ .. ........... 140 Integral de superficie de una funcin escalar .... ... . .. .. ... . . .. ... . .. .. ... . 143 Integral de superficie de una funcin vectorial . .. . .. ... . . . ... . ... .. ... . . . . . 146 Teorema de Stokes ............. . .. . ...... . . . ...... . ...... .. . . . ....... . ... . 149 Ejercicios resueltos .... . .. . .. . ......... . ..... .. . . ......... . . .... .. . . . .. .. .. ... .. 155 Ejercicios propuestos ...... . ........ . ... . ......... . ...... ... ........ . ..... . .. . . . 162 4. INTEGRALES TRIPLES .. ....... . .. . .. . ...... .. . ... . .... . .. . ........ . .. . ..... 165 4.1. La integral triple . .... . .. . . .. .. . .. . . . ...... . ...................... . ... .. . . 165 Cambio de variables en una integral triple . .. . .... . .............. .. . ...... . 168 Lmites de integracin en cilndricas y esfricas .... ... . .. . . . . .. .. .. .. .... . . 170 Simplificaciones en el clculo de una integral triple .. . . ... .. . . . .......... . . 175 Teorema de Gauss-Ostrogradski . ... . ........ . .. . .. . .. . ............ .. .. . . . . 176 Interpretacin vectorial de los teoremas de Gauss y Stokes . . . .. .. .......... 177 Otras aplicaciones de las integrales mltiples . .. .. .. .. .. . . ... . . . .... . ..... . 184 Integrales doble y triple de Dirichlet . .. . .... .. . ... . . ... .... .. ...... . . ... . . . 189 Ejercicios resueltos ... . ... . . . .. . ......... . ... . ..... . ......... . .. . ... . ...... ... .. 193 Ejercicios propuestos . . . .. . . . ... . .. . .. . . .. .. .. .. . .... .. ....... ... .. . ... .. .... . .. 199 http://gratislibrospdf.com/

11. Contenido IX TEMAS DE REPASO TI. MTODOS DE INTEGRACIN ..... .. ...... . ......... . . .. . . ........ .. .. . . .. 207 T1.1. La integral indefinida ... . .. ............. .. . ... . .. .. . . . .... . .. . . .. .. .. 207 TI.2. Integrales inmediatas ........ .. ... .. ...... . . ... ..... . ... .. . . ...... . ... 209 T1.3. Mtodos usuales de integracin .. ..... ............ .... . . ......... . . . . 211 Integracin inmediata por simple observacin . . .... ... .. . .. ... . .. ...... 211 Integracin por descomposicin o transformacin de la funcin f(x) . . .. 212 Integracin por partes ............ . ................ . . .. ... . ............ 213 Integracin mediante cambios de variable ....... ... ..... ... . .... . ...... 215 Integracin por recurrencia ....... . .... . ..... . . .. ......... . ........ .... 217 TI.4. Integrales de funciones racionales ...... ... .... ................ . . .. ... 219 Resolucin de integrales racionales por el mtodo de Hermite ..... . .. .. 223 T1.5. Transformacin de diversos tipos de integrales en integrales racionales . ..... ......... . ... . ...... . ..................... . ......... . ....... 225 Integracin de las funciones R(sen x, cos x) .. ...... .... .... . ... .. . .. . .. 225 Integracin de las funciones R (x, Jax2 + 2bx + e) .................. . . 232 Integracin de las funciones R [x, (ax + b)PI", (ax+ b)/"IS, ...] .... ... . ex + d ex + d 234 Integracin de las funciones del tipo xlll(a + bx")'J . ... ... .. .... ... .. . . . . 235 Integracin de las funciones del tipo R(c{"') .. . .... . . . ............ . ...... 237 T1.6. Integracin aproximada .. .... .. ........... . .. ......... .. ... .... ...... 237 Introduccin .. . ..... . ..................... .. .. . ...... ... . . . . . .. . ....... 237 Aproximacin mediante desarrollo en serie ..... . ... .. ......... . ........ 238 Aproximacin mediante el mtodo de Simpson .. . ....... . ... . .. . .. . . . .. 240 Ejercicios resueltos .. ... . . . .. .. ..... . .. . .. . .. . .......... . .... ... .. ... ........... 244 Ejercicios propuestos .. .... .. . ...... . . .. .. . .. . ... . .. .. .... . . . ......... ........ .. 249 T2. CURVAS y SUPERFICIES ... .... .. . ..... ... . .. . . . ....... ... .... . . .. . .. .. ... 255 T2.1. Introduccin......... . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 T2.2. Secciones cnicas .. . .... ....... . .. ... .......... . . . .. . . . . .... . . . .. . .. . . 259 T2.3. Curvas en R3 ....... . .... ............. .. ......... .. ............ . .... . 262 T2.4. Recta tangente a una curva alabeada en un punto de la misma ..... 264 T2.5. Superficies en general .. .... ............. ... ....... .... . . . ...... . ..... 267 T2.6. Curvas sobre una superficie ..... . . ..... ....................... . ... . .. 270 T2.7. Plano tangente y recta normal a una superficie en un punto de la misma ... .... .. . . .. . ......... .. ............. ... ............ .. . .. . .. .. . 272 T2.8. Superficies de revolucin ............. . .. .. .. . .. . .. . ............ ... . .. 273 T2.9. Superficies regladas .. ...... . ........ . ........ ... ... ............ . .. .. . 276 Superficies cnicas o conos ... . ........ . ...... ... . .. ... . ... .... . .... .. 276 Superficies cilndricas o cilindros .. . .. . .. .. .... . .. . . . .... . ........ .. ... 279 Superficies cuadrticas o cudricas .... . ... .... . .. ........ ......... . ... 284 REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS 291 NDICE .... .. .. . ...... .. . .. ... . . ..... . . . .......... .. . . .. . .. .. . . .... ...... ...... . .... 293 http://gratislibrospdf.com/

13. Es al mismo Arqumedes a quien hace 2.200 aos se debe el primer enfoque de la verdadera integracin: obtuvo que el rea de un seg- mento parablico es los cuatro tercios de la del tringulo con iguales base y vrtice, o lo que es lo mismo (cuadratura de la parbola), los dos tercios del paralelogramo circunscrito. Dos son los motivos por los que este libro, Clculo Integral y Aplicaciones, ha sido publicado. El primero resulta evidente, ya que durante un segundo cuatrimestre deber explicarse su contenido, exceptuando algunas aplicaciones de la integral, a nuestros alumnos de primer curso de Ingeniera. stos, conjuntamente con los estudiantes de Ciencias de cualquier Facultad o Es- cuela Superior, constituyen, pues, sus primeros y ms directos destinatarios. Sin embargo, no ha sido escrito pensando nicamente en ellos. Hay un segundo motivo debido a la existencia de otros destinatarios, a los que me referir despus de comentar la estructura de este libro, en la cual han tenido tanta influencia como los anteriores. Se ha dudado, y mucho, del lugar que debiera ocupar el tema Mtodos de Integracin que, .aunque finalmente ha sido relegado a tema de repaso, lo consideramos el ms necesario de todos y es en el que, conjuntamente con el primer tema Integrales definidas simples, ms nos hemos esmerado. Estos dos temas, por el modo en que han sido estructurados, constituyen la herramienta fun- damental que permitir manejar con eficacia los restantes conceptos del texto, o dicho de otra forma, aquellos estudiosos que se enfrenten a ambos temas y salgan con pie firme, poco ha de suponerles vrselas con las integrales curvilneas, dobles, de superficie, triples, campos vecto- riales y todas las aplicaciones. De ninguna de las integrales mltiples hemos necesitado sus definiciones, dado que han sido obtenidas a partir exclusivamente de la integral simple de Riemann, definida y desarrollada de un modo exhaustivo en nuestro primer tema. Por lo que respecta al clculo de las integrales mltiples, recuerdo que en mi poca de estu- diante nunca llegu a manejarlas con soltura; ello se debi a los numerosos cambios en el orden de integracin que entonces con tanta frecuencia se nos exiga. Esta experiencia y, claro est, la docente, nos ha guiado en muchos ejemplos del libro; en ellos se presentan y discuten las pautas y caminos a seguir para llevar a buen trmino el clculo http://gratislibrospdf.com/

14. XII Prlogo de las integrales dobles y triples. Asimismo, se aconseja (en funcin de las superficies que inter- vienen) el tipo de coordenadas a utilizar y los rdenes ms convenientes de integracin. Las aplicaciones de la integral, los centros de gravedad, momentos de inercia, clculos aproximados, etc., se definen y resuelven utilizando, cuando es posible, las tres integrales: simples, dobles y triples, indicando en cada caso la conveniencia del empleo de una u otra de ellas. En la Teora de Campos (Captulo 4), desde un punto de vista vectorial se definen y de- muestran varios notables teoremas, algunos de los cuales tuvieron su origen en la Fsica: El teorema de Green (descubierto en 1828) apareci en relacin con la teora de los potenciales elctrico y gravitatorio. El teorema de Gauss (1845) -tambin debe sealarse como autor el matemtico ruso Ostrogradski- surgi con relacin a la electrosttica. El teorema de Stokes fue sugerido por primera vez al mismo en una carta que le enviara, en 1850, el fsico Lord Kel- vin; Stokes 10 utiliz para la concesin de un cierto premio en 1854. Ha llegado el momento de referirnos a los otros destinatarios de este libro. Ellos son anti- guos ingenieros que por determinadas circunstancias desean recordar algunas materias o apren- der otras. Considero que una buena forma de hacerlo es trayendo aqu varias respuestas de un gran tcnico sobre cuestiones relacionadas con la integral. Las respuestas de Pedro G. S., coinci- dentes con las de muchos amigos ingenieros, son las siguientes: En mi trabajo nunca he utilizado integrales. En cierta ocasin las necesit para calcular la superficie exacta de una estructura y me lo resolvi otro profesor. Fuera del trabajo las he necesitado en ocasiones y siempre por el mismo motivo. lti- mamente con relativa frecuencia, mi hijo y un compaero suelen exigirme que les re- suelva algunas integrales, lo cual consigo a veces. Hace unos meses, al entregarle varias integrales resueltas exigidas por algn familiar, le adjunt mis apuntes sobre Mtodos de integracin (prcticamente iguales que los de este libro) e intent convencerlo para que los leyera como una novela, aunque con un bolgrafo en la mano. El resultado fue el siguiente: no recordando inicialmente gran parte de las derivadas, logr resolver en una semana (veinte hora,s) todas las integrales que en el tema mencionado aqu se presentan. Actualmente, 0) XIII a T = fb---dx 2 a (X - a)1II T ' =fb---dx 2 a (b - X)III representantes de las tres singularidades a las que ha quedado reducido el estudio de dichas integrales impropias, reciben el nombre de integrales tipo (TI de primera especie, T2 y T~ de segunda) y se suelen utilizar para determinar el carcter de otras integrales por comparacin con ellas. Probar que: RESOLUCiN { converge TI diverge si m > 1 si m ";; 1 { converge T, . - dlverge j L1x1JH, si m= 1 f oo 1 fH a TI = -;;; e/X = lim X- III dx = lim X H ~ oo H~ oo x-III+ I JHa a si m =1= 1 - m+ 1 .' con lo que si m = 1, evidentemente TI' = 00 (divergente). si m =1= 1: TI = - - lim H I - III - al-III =I ( ) {finito, l - m H ~oo 00 , si 1 - m < O si 1 - m > O Consecuentemente converge si m > 1 Y diverge en los dems casos. si m < 1 si m ~ 1 Probemos ahora que con T2 (y T ~ del mismo modo) sucede al revs (hagmoslo con m =1= 1, pues para m = 1 claramente tambin es divergente): f b 1 fb (x-a)_III+IJ b T = dx = lim (x - a)-lIIdx = lim - -- - - 2 a (X - a)11I e-O a +t: l:-+ Q -In + 1 a +e = - - (b - a)I-1II - lim(;)I - 1II =1 [ . ] {finito (convergente), 1 - In O si 1 - In < O Caso en el que el intervalo de integracin es infinito Consideremos una integral 11 = 100 f(x) dx, siendo f(x) acotada y no negativa (por lo ya co- mentado) en el intervalo [a, 00). (5) El motivo de lomar (b - x)'" en lugar de (x - b)'" con lo que T2 := T~, radica en que por ser b ;:> x (a :s; x :s; b), si sucediera, por ejemplo, que l1l = 1/2, se tendra (x - b)I!2 Yconsecuentemente la integral T~ carecera de sentido. http://gratislibrospdf.com/

29. Integrales definidas simples 15 Para determinar el carcter de esta integral impropia de primera especie, nicamente utiliza- remos ciertos criterios, anlogos a los que el alumno ya conoce por haberlos estudiado en todo tipo de series. De dichos criterios presentamos aqu los siguientes: Criterio del lmite SI 11m -- = . . f(x) {k finito, siendo m > 1 : / 1 converge x-+ oo ~ k =f. O (pudiera ser (0), con m ~ 1 : /1 diverge x'" Criterio de comparacin (equivalente al anterior) Aplicando la propiedad (8) de la integral de Riemann se tienen los siguientes resultados (k E R+): 1 Si Vx E [a, (0), kf(x) < - con m > 1 : /1 converge xIH 1 Si Vx E [a, (0), kf(x) > - con m ~ 1 : /1 es divergente XIII Criterio integral Sea y = f(x) , como se ha dicho, una funcin acotada y no negativa en el intervalo [a E R, (0): Si f(x) es decreciente en [b ~ O, (0), entonces, la serie f(n) y la integral/1 tienen el mismo carcter (6). Ejemplos 1. Probar que si lim f(x) =1= O, entonces, la integral impropia de primera especie 11 es divergente. x-+ eo Ntese que este enunciado resulta equivalente al siguiente: Es condicin necesaria para la convergencia de 11 que lim f(x) (caso de que este lmite exista) = O x- 00 RESOLUCiN Por la hiptesis, si lim f(x) = k(k E R + al ser f no negativa) =1= O, entonces podr determinarse un X o tal x- 00 que Vx > X o se verifique f(x) > K. Consecuentemente: feo f~ f eo f eo11 = a f(x)dx = a f(x)dx + Xo f(x)dx > Al (finito) + Xo Kdx = ro con lo que 11 sera divergente. (6) Ntese, con relacin a la convergencia, que si a < b, el intervalo la, b] no influye por corresponderle (funcin acotada en intervalo finito) un rea finita. http://gratislibrospdf.com/

30. 16 Clculo integral y aplicaciones 2. Utilizando los tres criterios estudiados, determnese el carcter de la integral impropia (de primera especie): f ro X 2 1 = 2 2 dx (una nica singularidad) - 2 (2x + 3) RESOLUCiN (siempre debe comprobarse previamente la condicin necesaria de convergencia) al . f(x). X2 1 ]m - - = 11m 4 2 : - x ~ ro I x ~ ro 4x + 12x + 9 XIII xm + 2 lim 4 2 x ~ ro 4x + 12x + 9 xl1! XIII + 2 1 XIII 1 = Iim - 4- = - Iim 2" = - (finito) con m = 2 > 1 = 1 converge. x ~ ro 4x 4 x~ ro X 4 X2 1 1 1 bl VX E [- 2 00) f(x) < - = - - " 4x4 4 X2 = 4f(x) < - (m = 2 > 1) XIII = 1 converge. el Puesto que sera muy engorroso precisar todas las exigencias del criterio integral (f decrece a partir de x = ~), con las integrales que generalmente se estudian es suficiente un razonamiento anlogo al siguiente (~ == tiene igual carcter que): f(x) es acotada y no negativa en [ - 2, 00), y necesariamente decrecer en [b ~ O, w ) puesto que lim f(x) = O. En consecuencia: x -tCX) Caso en el que la funcin subintegral ((x) no es acotada Consideremos la integral 12 = f:f(x) dx, siendo f(x) no acotada (supongamos en su extremo inferior x = a) y no negativa por lo repetidamente mencionado. Sin ms consideraciones, nicamente apoyndonos en los resultados hasta aqu obtenidos y trasladndolos al criterio del lmite, por ejemplo, el carcter de la integral 12 podr extraerse del siguiente cuadro: Si lim f(x) = {k finito, siendo In < 1 : 12 es convergente x --+a + 1 k =1= O (puede ser (0), con In ~ 1 : 12 diverge - - -- (x - a)'" En el caso de que la singularidad tuviera lugar en el extremo superior b, el primer trmino de la anterior igualdad sera: lim [f(X) : 1 J.x--+ b - (b - x)'" Si la funcin f(x) integrable en [a, b] no est definida en el punto C E [a, b] pero la disconti- nuidad en C es evitable, entonces (regla de Barrow generalizada) la correspondiente integral, denominada por tal motivo seudoimpropia, es convergente con relacin a dicho punto c. http://gratislibrospdf.com/

31. Integrales definidas simples 17 1.3. INTEGRALES EULERIANAS Estas integrales, llamadas tambin funciones eulerianas Gamma y Beta, aparecen muy frecuentemente en todo tipo de clculos, y su concurso da lugar a la resolucin de numerossimas integrales definidas. B(p, q) = J: XP- l (1 - X)q- l dx con p, q E R + con pE R+ Con frecuencia, se las denomina asimismo, integrales eulerianas de primera y segunda especie respectivamente. Convergencia y clculo de la funcin euleriana r(p) Veamos en primer lugar, que esta integral converge Vp > Oy diverge en los dems casos. Para ello, descomponemos rep) en dos integrales con una nica singularidad (cuando p < 1, en x = Oobviamente existe singularidad): No es difcil observar que la ltima integral (impropia por tener infinito su intervalo de integracin) siempre converge (cualquiera que sea p). Comprobmoslo mediante el criterio del lmite: 1 X",+p -l lim (XP-l e-X) : - = lim . = O(siempre) finito, con m = 2 > 1 x--+ w x11l x--+oo eX por lo que concierne a la singularidad debida a x = O, escribiremos: 1 x'" lim (xp - 1 e- X) : {e -X --t l ' = lim - - ( O)'" f 1 - p x-+O X - x-+O X y como la convergencia se da cuando m < 1 y este lmite finito (m ~ 1 - p), resultar para ello que: l-p ~ mO operando de forma anloga se probara que, cuando p ~ O, la integral r(p) es divergente. Clculo de r(p) Obtendremos su valor a partir de la funcin euleriana r(p + 1) e integrando por partes (recur- dese que p > O): http://gratislibrospdf.com/

32. 18 Clculo integral y aplicaciones ['(p + 1) = f oo xpe-Xdx{x~= u ........ du = PXP~ldX} = - xpe-xJooo + o e x dx = dv v = - e x Aplicando esta ley de reculTencia (para valores donde la funcin Gamma es convergente) e inicindola con ['(p) = (p - 1)[,(p - 1), escribiremos: ['(p) = (p - 1)r(p - 1) , ['(p - 1) = (p - 2)r(p - 2) ['(p - 3) = (p - 3)[,(p - 3), ... que da lugar a la forma ms conveniente: ['(p) = (p - 1)r(p - 1) ['(p) = (p - 1)(P - 2)[,(p - 2) ['(p) = (p - 1)(P - 2)(P - 3)[,(p - 3) de donde resulta finalmente la relacin: ['(p) = (p - 1)(p - 2) (p - 3) ... r1(r) , r(a eleccin) > O Cuando p E N, Ypuesto que ['(1) = Loo e - xdx = 1, se tiene: ['(p) = (p - 1)(P - 2)(P - 3) .. . 321 ['(1) = (p - 1)1 lo cual justifica, an cuando p no sea natural, que se escriba frecuentemente: y que sirve para generalizar el concepto factorial de un nmero. Ntese asimismo que ['(1) = 1 = (l - 1) 1 ~ 01 = 1. (4) (5) Cuando p if: N, el clculo de ['(p) suele llevarse a cabo mediante unas tablas (Figura 1.11), con las que, como se ver, pueden obtenerse muy aproximados todos los valores de ['(p) con p E R +. Obsrvese que los valores de estas tablas son las ordenadas ['(P), p E [1, 2), de una pequea porcin de la curva representada en la Figura 1.12. http://gratislibrospdf.com/

33. Integrales definidas simples 19 I VALORES DE r(p), 1 :S P < 2 ~~-0----------2-----3------4-----5-----6-----7------8-----9~ 1,0 1 0,9943 0,9888 0,9835 0,9784 0,9735 0,9687 0,9642 0,9597 0,9555 1,1 0,9514 0,9474 0,9436 0,9399 0,9364 0,9330 0,9298 0,9267 0,9237 0,9209 1,2 0,9182 0,9156 0,9131 0,9108 0,9085 0,9064 0,9044 0,9025 0,9007 0,9990 1,3 0,8975 0,8960 0,8946 0,8934 0,8922 0,8912 0,8902 0,8893 0,8885 0,8879 1,4 0,8873 0,8868 0,8864 0,8860 0,8858 0,8857 0,8856 0,8856 0,8857 0,8859 1,5 0,8862 0,8866 0,8870 0,8876 0,8882 0,8889 0,8896 0,8905 0,8914 0,8924 1,6 0,8935 0,8947 0,8959 0,8972 0,8986 0,9001 0,9017 0,9033 0,9050 0,9068 1,7 0,9086 0,9106 0,9126 0,9147 0,9168 0,9191 0,9214 0,9238 0,9262 0,9288 1,8 0,9314 0,9341 0,9368 0,9397 0,9426 0,9456 0,9487 0,9518 0,9551 0,9584 1,9 0,9618 0,9652 0,9688 0,9724 0,9761 0,9799 0,9837 0,9877 0,9917 0,958 Figura 1.11 Consecuentemente, para calcular el valor r(p), se har: { Cuando p E N -> ro = (p - 1)! r(p) si p E (O, 1) -> r(p + 1) (en tablas) = pr(p) p t/= N {Si P > 1 -> se aplica (5) con r E O, 2) Y tablas Complementando lo expuesto con la siguiente frmula, que aqu no demostraremos (mtodo de integracin de los residuos): ti r(p) .ro - p) = -- , O < p < 1 senpn (6) en la mayora de casos no se necesitar recurrir a las tablas. r (P) 11 IV::)V , ,,, , ,, , , ~~~~~~~~~-4--+-----~p { --4 -3 -2 -1 o 1 2 3 f f Figura 1.12 http://gratislibrospdf.com/

34. 20 Clculo integral y aplicaciones La aplicacin de (6) para p = ~ da lugar a [r(~)J= n, ypuesto que r(p) es siempre positivo (xP- e- x> O, 't:j x), resulta el valor r(~) = Jn, con el que se obtienen los r(~) para todo n E N. Ejemplo 9 Calcular el valor r(p) cuando a) p = 11, b) p = 0,32, e) p = 4,36, d) p = - . 2 RESOLUCiN (vanse previamente valores aprox imados en la Figura 1.12) al Para un valor de p relativamente grande, el clculo de r(p) ser difcil. Si no se requiere exactitud, puede utilizarse la frmula aproximada (Stirling) p! ~ j2;;;c .pI'. e- P En este caso se tendr: r(l l) = lO! = 3.628.800 (exactamente) , r(ll) ~ 3.598.696 (Stirling) 0,8946 bl r(0,32 < 1) : r(l ,32) = 0,32r(0,32) => r(0,32) = - - = 2,7956. 0,32 el r(4,36) = 3,362,36 1,36 r(l,36) = 10,78420,8902 = 9,600l. ( 9) 7 5 3 (3) 105dI r 2 {tablas} = 2'2'2 r 2 = 8. 0,8862 = 11 ,631375. r - {aplicando r(J /2) = Jn} = -. - .-. - r - = - Jn = 6,5625 1,7724 = II ,631375( 9) 7 5 3 1 (1) 105 2 2 2 2 2 2 16 Prolongacin de la funcin Gamma En el caso de que p ~ O, la integral r(p) = LX) XP-l e- Xdx es, como se ha visto, divergente. No obstante, si r(p) se define exclusivamente a partir de la relacin: 't:j P E R : r(p + 1) = pr(p) =*" r(p + 1) r(p) = -- - p (7) habremos realizado una extrapolacin de la funcin Gamma, dado que si p > O su valor coincide con el de la integral, y si p < O resulta un valor finito. Vemoslo calculando, por ejemplo r( - 5/2). http://gratislibrospdf.com/

35. Integrales definidas simples 21 Mediante la frmula (7) se tiene: m- ~) 1 p= -- 2 3 p= - - 2 S p= -- 2 r(-~) = r(l/2) = -2Jn 2 -1/2 r(-~) = r(l/2) = ~ Jn 2 - 3/2 3 r(-~)= n-3/2) = - ~ Jn 2 - 5/2 15 resultado al que se puede llegar mucho ms rpidamente, escribiendo: tud, r(-~)= - ~ Jn2 15 Este mtodo de obtener el valor de np) para p < 0, recibe el nombre de prolongacin anal- tica de la funcin Gamma. La correspondiente prolongacin grfica puede observarse en la Fi- gura l.12. La funcin euleriana B(p, q) Empezaremos, como anteriormente, probando que la integral euleriana de primera especie: converge cuando p y q son mayores que cero, y diverge en los dems casos (ntese que existe singularidad en ambos extremos de integracin: en x = cuando p - 1 < 0, y en x = 1 cuando q - 1 < O). Nos limitaremos a efectuar dicha demostracin, estudiando nicamente la singularidad en x = 1 utilizando el criterio del lmite, puesto que el proceso correspondiente al extremo inferior x = es totalmente anlogo: nte. x=l . xP-l(l - X)q-l : 11m 1 x--+l- (l - x)" . (l - x)" 11m 1 x->l- (l-X) -q (7) y como la convergencia se da cuando m < 1 Y este lmite finito (m ?= 1 - q), resultar para ello, que: inci- plo l-q~mO de igual forma se probara la convergencia con p > en el extremo inferior, y asimismo la di- vergencia en los dems casos. http://gratislibrospdf.com/

36. 22 Clculo integral y aplicaciones Clculo de B(p, q) El valor de B(p, q), suele obtenerse, utilizando su relacin con la funcin r(p) que en estos momentos tan bien conocemos. Dicha relacin, que se demuestra con rigor (p, q E R+) en el Ejercicio resuelto 5 del Tema 3 (Integrales dobles) y que aqu probaremos parcialmente (en la tercera de las propiedades que siguen) viene definida por: Ejemplo r(p) r(q) B(p, q) = r(p + q) Consideremos la integral impropia convergente: != dx f 2 1 -2 .j(2 - x)(2 + X)2 (8) Efectuando el cambio de variable x = 4t - 2 (vase propiedad 4) se transforma en una integral euleriana B(p, q). Hllese su valor. RESOLUCiN Haciendo x= 4t - 2 {x = 2, t = l} el intervalo [ - 2, 2] se transforma en el [O, 1] Yconsecuentemente x = -2, t = O podra resultar una integral B(p, q). Vemoslo: Como (2 - x)(2 + X)2{X = 4t - 2} = (4 - 4t)(4t)2 = 43 . tl(l - t), tendremos: con lo que al ser dx = 4 dt, resulta: !=- t- 2j3 .(I-t)-1/3 4dt= t - l /3(l _ t)-1 /3dt =1 JI JI {P-1 = -2/3} 4 o o q - 1 = - 1/3 = B(~ ~) = r(lj3)r(2/3) = r(~)r(~) {(6)} = _n_ = 2J3n3' 3 reI) 3 3 n 3 sen - 3 Propiedades de la funcin B(p, q) 1. Existe la simetra B(p, q) = B(q, p), puesto que: B(p, q) = JIxP - l(1 - X)q-ldX{X = 1 - t} = - IlO (1 - t)p-ltq -l dt = B(q, p) dx = -dt http://gratislibrospdf.com/

37. Integrales definidas simples 23 2. f 1 2 Clculo de todas las integrales o sen'" x cos" Xdx (m ~ O, n ~ O): fl f~B(p, q) = o xp- l(l - X)q-l dx{x = sen2t} = o sen2l'-=-2t cos2 (J - 2tL2 senLCstdt) = { 2P -l=m con lo que al ser , resulta: 2q-l=n sen"'xcos"xdx = - B - - - - f 1 2 1(m + 1n+ 1) o 2 2' 2 (9) (es conveniente, aplicando la relacin anterior, comprobar las frmulas obtenidas en el Ejemplo resuelto 3 que posteriormente aparece en la Seccin La integral de Riemann). 3. Relacin entre las funciones B(p, q) Y r(p) En estos momentos, estamos en disposicin de probar la relacin (8) cuando, como se ha dicho, uno de los parmetros p o q sea natural y el otro real positivo. Para lograrlo, integraremos por partes B(p, q) rebajando el exponente q - ], y supondremos que q E N, P E R+ (hacemos hincapi en que la demostracin con p, q E R+ se realiza en el tema de Integrales dobles): xl' ] 1 q - 1 f1 q - 1 = - (1 - X)q-l + - - xl'(l - x)q- 2 dx{q = 1,2, oo.} = - - B(p + 1, q - 1) p o P o P con lo que aplicando esta ley de recurrencia, escribiremos: q - 1 B(p, q) = - - B(p + 1, q - 1) P q - 2 B(p + 1, q - 1) = - - B(p + 2, q - 2) p + 1 1 B(p + q - 2, 2) = B(p + q - 1, 1) puesto que q E N p+q-2 http://gratislibrospdf.com/

38. 24 Clculo integral y aplicaciones habida cuenta adems que: B(p + q - 1, 1) = J1 X p + q - 2 dx = __1__ o p+l-l se tiene: (q - l)(q - 2) 32 1 B(p,q) =p-(P--+~1~) -..-.(p~+-q----2)-(p-+--q---1-) (q - 1)! p(p + 1) .. . (p + q - 1) y multiplicando el numerador y el denominador del cociente anterior por (p - 1)!, resulta finalmente: (P-1)!(q-l)! (P-1)!(q-1)! r(p)T(q) B(p, q) = (p _ 1)![P(P + 1) .. . (p + q - 1)] (p + q - 1)! r(p + q) 4. Cambios de variable Las integrales eulerianas, en particular B(p, q), dan lugar al clculo de numerosas integrales definidas. Este clculo se basa generalmente en lograr, haciendo un cambio de variable adecua- do en la integral 1, que sta se transforme en una funcin B(p, q), es decir: La transformacin del intervalo de integracin de cualquier integral en el intervalo [0, 1], se lleva a cabo mediante los siguientes cambios de variable, que darn lugar (o no) a una funcin B(p, q): Si el intervalo de 1 es [a, b] : x = (b - a)t + a a a Si es [a, (0) o (- 00, a] : x = -. Tambin x = - - t 1 - t a Si [O, (0) o (- 00 , O] siendo (a + bxPF divisor en f(x) : a + bxP= - t (lO) A veces, a los cambios anteriores, hay que aadir el cambio t lll = u(m > O), cambio que transforma el intervalo [O, 1] en s mismo, y que igualmente puede transformar tambin en funciones B(p, q) otras integrales enmascaradas cuyo intervalo de integracin sea el [O, 1] (vase el cuarto y quinto de los Ejercicios resueltos correspondientes). Puede tambin suceder, aunque menos frecuentemente, que la integral enmascarada 1 sea una funcin r(p). Si esto ocurre, los correspondientes cambios de variable (que dependern de la apariencia de 1) son muy numerosos, aunque evidentemente todos ellos debern conducir a la obtencin del intervalo [0, (0) asociado a dicha funcin Gamma (vase el primero de los Ejem- plos resueltos, y asimismo el primero de los propuestos). http://gratislibrospdf.com/

39. Integrales definidas simples 25 1.4. INTEGRALES PARAMTRICAS Toda aquella integral (simple) que adems de la variable de integracin presente ciertos parmetros situados en su funcin subintegral o en sus extremos, recibe el nombre de Integral paramtrica o Integral dependiente de parmetros. Estas integrales, por tanto, son de la forma: leA) = f(x, A) dx J(A, 11) = f(x, A, 11) dx, ... donde los citados parmetros se consideran constantes durante el proceso de integracin, pu- diendo suceder que los extremos de integracin dependan tambin de estos parmetros. Estudiaremos el caso de la anterior integral leA), es decir, el caso de un solo parmetro. La generalizacin (Ejemplo resuelto 6 y propuestos 3 y 4) es inmediata. Previamente, para fijar ideas, resolveremos un ejemplo muy simple, que a parte de justificar la notacin leA) (aunque resulta evidente que la integral l es funcin nicamente de A), presenta un resultado (que inmediatamente probaremos) y que corresponde a la ms notable relacin de esta seccin. Ejemplo Consideremos la integral leA) = ff(x, A) dx , f(x, A) = 3}.x2 + A2 + 2 al Resolver la integral, obteniendo su valor le},). Seguidamente dervese este valor respecto de A, es dl(},) decir, hllese -;-. dl(},) f3bl Comprubese que tambin -;- = 1 f~.(x, },) dx. RESOLUCiN al IU,) = (3h2 + A2 + 2)dx = 3A - + A2 X + 2x = 2},2 + 26), + 4 ->-- = 4}, + 26. f 3 X3 ] 3 dl(A) 1 3 1 dA bl f 3 f3 ]3 dl(A) f~(x, A)dx = (3x2 + 2A)dx = x 3 + 2h = 4), + 26 = - - o 1 1 1 dA Hacemos hincapi en que se ha realizado la siguiente comprobacin (que como veremos, en ciertas condiciones, y siendo a y b constantes, siempre se verifica): f b dl(A) fbSi IV,) = a f(x, },) dx , entonces -;- = a f~(x, A) dx http://gratislibrospdf.com/

40. 26 Clculo integral y aplicaciones Propiedades de las integrales paramtricas 1. Continuidad Consideremos la integral leA) = ff(x, J,)dx, con a y b independientes, en pnncIpIO, del parmetro A. Si la funcin subintegral f(x, J,) (supuesta como una funcin de dos variables) es continua en el dominio D = {(x, J,) E R2 / a ~ x ~ b, e ~ A ~ d} (subconjunto rectangular de R2 ), entonces, elegido un e l E R + podr lograrse (en D) que If(x, A + L1A) - f(x, J,)I < e l' Y por consiguiente: 't/ A E [e, d] : IIU, + L1A) - IU,)1 = Ir f(x, A + L1J,)dx - ff(x, A)dxl = = Ir [f(x, A + L1A) - f(x, J,)] dxl ~ fIf(x, J, + L1J,) - f(x, A)Idx < fe l dx de donde resulta que: 't/ A E [e, d] : II(A + L1A) - I(A) 1 < el (b - a) = e lo cual implica, en el intervalo [e, d], la continuidad (y continuidad uniforme por ser intervalo cerrado) de la funcin lCA). Por otra parte y debido a esta continuidad de leA) podemos escribir: 't/ J,o E [e, d] : lim leA) = IU,o) finito => l-+in: fb f(x, A)dx = fb f(x, Ao) dx J. -+;'0 ;. "-o a a con lo que aplicando (continuidad) lim f(x, A) = f(x, AO) finito, resulta: ),-+;'0 lim fb f(x, A)dx = fb lim f(x, A)dx A-+ .lo a a A-+;'0 (11) (el lmite de la integral es igual a la integral del lmite). Cuando los extremos de integracin dependan del parmetro J" y sean estas funciones a(A) y b(A) continuas 't/ A E [e, d] , de igual forma se probaran la continuidad de la funcin leA) y la anterior igualdad entre el lmite de la integral y la integral del lmite. 2. Derivacin bajo el signo integral al Comencemos, como anteriormente, suponiendo que a y b no dependen del parmetro A. Si las funciones f(x, A) y f~(x, A) son continuas en el mencionado dominio D, para todo A E [e, d] podr escribirse: f b dIU,) . I(A + L1J,) - leA) . a [f(x, J, + L1A) - f(x, A)]dx - - = hm = hm dA LH -+ O L1A 6 .. _ _ = 4 b sen t( - a sen t dt) = o Y - b sen t SI X - O, t - n/2 ,,/2 f " /2 n = 4ab sen2 t dt = 4ab .- o 4 => A = nab 2. El grfico de toda curva cuya ecuacin polar es p = k(1 cos e), p = k(1 sen e), tiene forma de corazn y recibe el nombre de cardioide. al Dibjese la curva cardioide de ecuacin p = 4(1 + cos e). bl Calcular el rea interior a esta cardioide y exterior a la circunferencia X2 + y2 = 36. RESOLUCiN al Razonando con la ecuacin p = 4(1 + cos e), se tiene entre otras cosas que: - Cuando ecrece de O a n, p decrece de 8 a O. Al crecer ede n a 2n, p tambin lo hace de O a 8 (lo cual se desprende de la simetra existente respecto del eje polar x, puesto que al cambir epor - e, p no vara -> puntos (p, e) y (p, - e). http://gratislibrospdf.com/

47. Integrales definidas simples 33 - Dando asimismo algunos valores a la coordenada e(e ~ n) resultan los pares de valores: b) Puesto que la ecuacin de la circunferencia en coordenadas polares es p = 6(x2 + y2 = p2 cos2e+ + p2 sen2e = p2 = 36), la interseccin de ambas curvas se tendr de la resolucin del sistema: p = 4(1 + cos e)} ( n ) -> 6 = 4(1 + cos e) -> (e, p) = -, 6 p = 6 3 con lo que (segundo grfico de la Figura l.16), escribiremos: A = Al (sector correspondiente a la cardioide) - A 2 (sector circular) = 1 f"/3 1 f"/3 1 f"/3 f"/3= - pid8 - - p~ d8 = - (pi - pD de {simetra} = (pi - p~) de 2 - ,,/3 2 - ,,/3 2 - ,,/3 o Como pi - p~ = 16 (1 + cos 8)2 - 36 = 4 (4,cos2e+ 8 cos e- 5), resulta finalmente: f "/3 f"/3A = 4 o (4cos 2 e + 8cos8 - 5)de = 4 o [2(1 + cos2e) + 8cos8 - 5]de = 18 )3 - 2n n /2 2nl3 nl3 nl4 4nl3 5nl3 3nl2 Longitud de un arco de curva x (e = O) Figura 1.16 e = ~ 3 e=-~ 3 x Sea una curva plana (C) definida en cartesianas, paramtricas y polares respectivamente, por las ecuaciones: y = f(x) { X = x(t) y = y(t) p = p(e) Consideremos un arco (porcin de dicha curva) liso, comprendido entre los puntos de absci- sa x = a, x = b (Figura 1.17), cuya longitud (s) se desea calcular. http://gratislibrospdf.com/

48. 34 Clculo integral y aplicaciones y e ~------~--------------------~--------- x o a b Figura 1.17 Para ello, razonaremos de igual modo que anteriormente, es decir, partimos del elemento diferencial de arco (ds), teniendo presente que, si se supone dicho elemento rectilneo, se comete un error despreciable (por ser este error un infinitsimo de orden superior al de ds) . Por todo lo, cual podr escribirse ds = JdX2 + dy 2, Yen consecuencia: Cartesianas: ds = JI + (:ydx --+ s = fJI+ [f'(x)] 2dx Paramtricas: ds = - + - dt--+( dX) 2 (dy ) 2 dt dt Polares: { X = pcos eLa diferenciacin de las frmulas da lugar a y = psen e dx = cos edp - p sen ede} : ds = J dx2 + dy2 = J (dp)2 + (pde)2 dy = sen edp + P cos ede y multiplicando y dividiendo por de, resulta: (18) (19) (20) En el caso de una curva en R3 , recordando (repsese si es preciso el Apndice 2) que toda curva del espacio (plana o alabeada) puede venir definida por los sistemas (entre otros): { F(X, y, z) : O G(x, y, z) - O { z = f(x, y) z = g(x, y) { y = f(x) z = g(x) {~ : ~(t) z = g(t) { X = x(t) y = y(t) . z = z(t) http://gratislibrospdf.com/

49. Integrales definidas simples 35 y razonando, como anteriormente, a partir de la diferencial de arco ds = J dX2 + dy2 + dz2, escribiremos: Cartesianas: J (d y )2 (dZ)2 fX 2 J (d y )2 (dZ)2ds = 1 + dx + dx dx ---7 S = Xl 1 + dx + dx dx Paramtricas: ds = ( dX)2 (dy)2 (dZ) 2 1t2dt + dt + dt dx ---7 s = t JX'(t)2 + y'(t)2 + Z'(t)2 dt 1 Ejemplos 1. Consideremos una circunferencia de radio r y un punto P(x, y) de la misma. Cuando esta circunferencia rueda sin deslizar sobre una recta, el punto P genera una curva plana denominada cicloide (Figu- ra 1.18). al Determinar unas ecuaciones paramtricas de la cicloide y estudiar si es una curva lisa. bl Calcular la longitud de un arco completo de esta curva. y x o fI 2:n:r Figura 1.18 RESOLUCiN al Tomaremos como parmetro el ngulo t (en radianes) que en un tiempo (T) ha girado el punto P alrededor del centro de la circunferencia (C). De la observacin de las Figuras 1.18 y l.19, se tiene: x = OH ~ MC = rt + rcos(3 2 n ~ t) = rt +

50. 36 Clculo integral y aplicaciones y Posicin inicial (T = O) -1------------------------ --'--l-------"-..-=---___rl _____""'-____-=------Jx~o=p H Figura 1.19 Para discutir si la curva es lisa, consideremos sus derivadas: x'(t) = r(1 - cos t) y'(t) = r sen t Estas funciones derivadas son continuas en todo R, pero sin embargo, se anulan simultneamente en los puntos t = 2kn, k E Z (vase Figura l.18). En consecuencia la cicloide no es lisa en 1 = R. Ntese, no obstante, que la curva es lisa en cada subintervalo (O, 2n), (2n, 4n), ... Cuando esto sucede, es decir, cuando el intervalo 1 puede dividirse en subintervalos en los que la curva es lisa, se dice que sta es lisa a trozos en el citado intervalo. b) Aplicando la Frmula (19), siendo: se tiene: s = r J2 - 2costtdt cost = cos2 - - sen2 - = 2r sen - dt =f 2IT { t t} f 2IT t o 2 2 o 2 [ tJ2"=4r - cos 2 o =4r[ - (-[-I)]=8r 2. Consideremos las curvas el y e 2 definidas por las ecuaciones: al e es una curva cerrada que recibe el nombre de Lemniscata de Bernouilli. Obtngase su ecuacin en polares, dibjese su grfica, hllese el rea por ella encerrada y finalmente, su longitud. bl Expresar grficamente e2 . Calclese el rea encerrada por el eje de ordenadas y la porcin de e2 comprendida entre el origen y su primer punto de corte con dicho eje. Obfngase por ltimo la longitud de dicha porcin de esta notable curva denominada Espiral de Arqumedes. http://gratislibrospdf.com/

51. Integrales definidas simples 37 RESOLUCiN al Aplicando las frmulas del cambio (x = pcos e, y = p sen e), resulta: = ' {p = O (origen) p2 = cos 2e donde un razonamiento anlogo al utilizado con la Figura 1.16, da lugar al primer grfico de la Figu- ra 1.20. y x p ='8 ' Figura 1.20 Habida cuenta de la simetra existente, escribiremos: A = 4 .- P2 de = 2 cos 2e = 2 - - = 1 1 f"/4 f"/4 sen 2e J"/4 2 o o 2 o dp Para calcular s deberemos obtener la derivada - . Por tanto: de y r y = (tg p) x x ? ~ ~ p- = cos 2e {derivando respecto de e} : 2p - = - 2 sen 2e --> - = p'(e) = de de r/4 s= 4 Jo _ sen 2e (dP)2_sen 2 2e _ sen 2 2e- - ----> - - - - - - - - - p @ p2 cmW ( d )2 f"/4p2 + d: de = 4 o sen 2 2e f"/4 de cos2e+--de =4 ~ {2e=t}= cos 2e o y' cos 2e _ f"/2 - .1 /2 {2P- 1= O } _ 1 (1 1)_1(1/2)10/4)- 2 cos (t) dt - 2 .- B - - - - - - -- o 2q - 1 = - 1/2 2 2' 4 1(3/4) 1(p + 1) en donde aplicando que 1(P) = , y tablas (Figura 1.11), resulta: P { 1(l/4) = 41(5/4) = 3,6256 1(3/4) = (4/3)1(7/4) = 1,2254 --> s = Jn.2,9585 = 5,2438 http://gratislibrospdf.com/

52. 38 Clculo integral y aplicaciones b) Puesto que la recta genrica r barre el rea pedida cuando fJ vara entre (se prueba fcilmente al ser r : y = tg P.x) y n/2, tendremos: l = - [1 ,571 J 3,467 + L(l,571 + J 3,467)] = 2,079 2 Volumen de un slido de secciones conocidas 48 Consideremos un cuerpo slido del que se conoce el rea de cualquier seccin perpendicular a uno de los ejes coordenados. Sup'ongamos que el eje es el z, que dicha rea es una funcin continua de la variable z definida por A = A(z), y finalmente, para centrar ideas, que el slido en cuestin es el representado en el primer grfico de la Figura 1.21. Si el elemento (diferencial) de volumen, sombreado en este grfico, tiene adems una altura dz, podr tomarse como valor de su volumen (error despreciable) el valor dV = A(z) dz. Conse- cuentemente, y razonando como en los casos anteriores, resulta: f ll dV = A(z) dz --4 V = o A(z) dz. En general: I Z? V= A(z)dz Z I (21) Las frmulas correspondientes, cuando las secciones conocidas son normales a los otros dos ejes coordenados, son evidentes. La relacin (21) se conoce COn el nombre de Regla de Cavalieri. z z A (z) 5 Y -/-----..y x x Figura 1.21 http://gratislibrospdf.com/

53. Integrales definidas simples 39 Ejemplos 1. Consideremos un slido cuya base es la elipse X2 + y2 = 1. Obtener su volumen, sabiendo que toda 16 25 . seccin normal al eje y es un tringulo issceles de altura 6 unidades. RESOLUCiN Una vez reflejados los datos (segundo grfico de la Figura 1.21) y teniendo en cuenta que: escribiremos: 25 - y2 4 x2 = 16 -*x = - J 25 - y2 (cuando x ~ O) 25 5 , 1 A(y) (tringulo ABe) = 2 (Area tringulo sombreado) = 2 - 6x = 2 4 = 6 - J 25 - y2 5 24 = A(y) = - J 25 - y2 5 En consecuencia: dV = A(y) dy -* V = - J 25 - y2dy {simetra} = 2 - J 25 - y2 dy 24 f5 24 f5 5 - 5 5 o { y = 5, t = n/2}y realizando el cambio y = 5 sen t , resulta: y = O, t = O V = - J 25(1 - sen2 t) (5 costtdt) = 240 cos2 tdt = 240 - = 60 n 48 fn/2 f n/2 n 5 o o 4 X2 y2 Z2 2. Determinar el volumen del elipsoide 2: + -; + 2: = l. a b- e RESOLUCiN Intersecando el elipsoide con el plano z = O(por ejemplo), se tiene la elipse x: + y:= 1, cuya rea como a b sabemos, es nabo Como la seccin A(z) del elipsoide por un plano paralelo al z = O, y distante z de l, es una elipse de semiejes (dibjese el grfico correspondiente): se tendr que: a - - - a'=-Jc2 _z2 e b - - b' = - Jc2 - Z2 e http://gratislibrospdf.com/

54. 40 Clculo integral y aplicaciones Por consiguiente: nab fe 2nab fC 4 dV = A(z) dz ---+ V = -2 (e2 - Z2 ) dz = -2- (e2 - Z2) dz = - nabe e - c e o 3 Volumen de un slido de revolucin Supongamos una curva e definida por la funcin y = f(x) continua en un cierto intervalo [a, b]. Al girar esta curva alrededor del eje x (por ejemplo) engendra un slido de revolucin (Figu- ra 1.22) cuyo volumen, podr calcularse aplicando (21) ya que se conoce el rea de cualquier seccin normal a dicho eje. y y y R y=: g (x) ~-"" ~~----~L------J----~--------~------~ x o a x x + dx b a b Figura 1.22 Aplicando pues la frmula de Cavalieri, y como A(x) (rea circular sombreada) es n[y = f(x)] 2, resultar que el volumen del slido en cuestin comprendido entre a y b, vendr dado por: (22) Las frmulas correspondientes en paramtricas (obvias) y en polares por giro alrededor del eje polar (prubese sta), vienen expresadas por las siguientes relaciones: f t2 V = n [y'(t)]2X'(t) dt tl (23) En caso de que la curva e pueda expresarse por la ecuacin x = g(y), el volumen del cuerpo de revolucin engendrado por e al girar alrededor del eje y, resulta (22) evidente (vase Figu- ra 1.24 y ejemplo correspondiente). Consideremos ahora la regin R1 de la Figura 1.22 (rea limitada por la curva y el eje x entre a y b). Evidentemente el volumen engendrado por R 1 al girar alrededor del eje x vendr dado por (22) pues el cuerpo generado es el mismo que cuando gira la curva y = f(x). Hecho este comentario, tratemos ahora de obtener el volumen engendrado por la citada regin R 1 al girar alrededor del eje y, utilizando nicamente la ecuacin y = f(x). Para ello, razonaremos, como siempre, con elementos diferenciales. http://gratislibrospdf.com/

55. Integrales definidas simples 41 El rectngulo sombreado en R 1 de base dx y altura y = f(x), genera, por giro alrededor del eje y, una corona cilndrica (tubo de grosor dx), cuyo volumen diferencial (dV) es: dV = V1 (cilindro de radio x + dx) - V2(cilindro de radio x) = n(x + dX)2y - nx2y = = n[2x dx + (dx)2 ]y '" 2nx -j(x) dx Asimismo, el elemento diferencial de volumen generado por el rectngulo de la regin R2 al girar alrededor del eje y, vendr expresado por dV = 2nx[f(x) - g(x)]dx. Consecuentemente, el giro alrededor del eje y de las secciones R 1 y R2 (segundo grfico de la Figura 1.22), generan slidos de revolucin cuyos volmenes respectivos V(R 1) y V(R 2) son: VeR 1) = 2n fxf(x) dx V(R2) = 2n fx [f(x) - g(x)]dx (24) rea lateral de un slido de revolucin Supongamos que la curva anteriormente definida por la funcin continua y = f(x) (considrese el segundo grfico de la Figura 1.22) gira alrededor del eje x, dando lugar a un cuerpo de revolucin cuya rea lateral (A) se desea obtener. Habida cuenta de que el elemento diferencial sombreado engendra un tronco de cono (r1 y r 2 radios de sus bases, y generatriz rectilnea g '" ds), cuya rea lateral es, como sabemos: resulta: dA = 2ny JI + (~~y dx -t A = 2n ff(x) J l + [f'(x)]2dx (25) Ejemplos 1. Consideremos la circunferencia C de centro (O, 2) Yde radio 2. al Determnese el volumen generado por C al girar alrededor del eje x, y comprubese el resultado utilizando coordenadas polares. bl Traslademos la circunferencia C hasta que su centro sea el punto (O, 5). Calcular el rea del cuerpo resultante (toro) al girar esta ltima circunferencia alrededor del eje x. RESOLUCiN al Observando la Figura 1.23, es claro que el volumen (V) pedido ser el generado por la semicircunfe- rencia C1 de trazo continuo (y ~ 2) menos el correspondiente a la C2(Y :S 2). http://gratislibrospdf.com/

56. 42 Clculo integral y aplicaciones y Q(O, 4) - 2 Como: , ." "", ,, , ~/,' I () 2 r Toro x Figura 1.23 -- {el : Y = 2 + J4 - X2 , y - 2 = J4 - X2 ----> J--e2 : Y = 2 - 4 - X2 y operando por la simetra con la regin sombreada, escribiremos: = 16n J4 - x2 dx{x = 2sent} = 16n4 cos2 tdt = 64n - = 16n2 f 2 f"/2 n o o 4 En polares: del tringulo rectngulo OPQ se tiene de inmediato que p = 4 sen 8 es la ecuacin de e (comprubese sustituyendo x = p cos 8, y = p sen 8 en su ecuacin cartesiana). n Como para que r barra la zona sombreada, 8 debe variar entre O y - , aplicando la frmula (23), se 2 tendr: 2n f"/2 256n f"/2 {2P - 1= 4}V=2- (4sen8)3sen 8d8= - - sen4 8de __ = 3 o 3 o 2q ] - 0 = 256n.~ B(~ ~) = 12Sn 1(52)r(l2) = 64n (~ ~ n) = 16n2 3 2 2' 2 3 1(3) 3 2 2 b) Razonando como anteriormente se tiene que el : 5 + J 4 - x2 , e2: 5 - J 4 - X2 ; con lo cual, aplicando la frmula (25) resulta (dibjese e y analcese el porqu del signo + que aparece en la relacin que sigue): f 2 - - 2dx f2 dx A = 2 2n [5 + J 4 - X2 + (5 - J4 - X2) ] J = SOn J = 40n2 o 4 - X2 . o 4 - X2 http://gratislibrospdf.com/

57. Integrales definidas simples 43 2. La curva de la Figura 1.24, es parte del grafo de una funcin y = f(x) definida implcitamente por la ecuacin x(4 - X)2 - y2 = O. y 4 x Figura 1.24 Hallar el volumen engendrado por la regin sombreada al girar alrededor del eje y: a) A partir de la frmula (22) dV = rrx2 dy. b) Mediante la relacin (24) dV = 2rrxf(x) dx. RESOLUCiN a) De la ecuacin x3 - 8X2 - y2 + 16x = Odada, difcilmente podra despejarse x = g(y) para con ello aplicar la frmula (22). Sin embargo, como se nos exige aplicar dicha frmula, consideramos que una so-' lucin es escribir lo siguiente: dV = rrx2 dy {y = f(x) } = rrx2 . f'(x) dx y en consecuencia: V{simetra, y ~ O} = 2 rr f:x 2 f'(x) dx dy Obtengamos f'(x) = -: dx - dy 1 - 4 - 3x Al ser (y ~ O) Y = J X(4 - x), - = --- (4 - x) - J x = - --- dx 2Jx 2 J x con lo que: I X2 f'(x) dx = - (4X3/ 2 - 3X5/ 2) dx . 2 En consecuencia: 1 f4 [8 6 J4 2.048 V = 2rr ' - (4X3 / 2 - 3X5 / 2) dx = rr - X5 / 2 - - X7 / 2 = - - rr (valor absoluto) 2 o 5 7 o 35 b) V{(24)} =22rr xf(x)dx = 4rr x. J x(4 - x)dx=4rr (4x3 / 2 _x5 / 2 )dx=-- rr. f 4 f4 - f4 2.048 o o o 35 http://gratislibrospdf.com/

58. 44 Clculo integral y aplicaciones Teoremas de Pappus Enel segundo grfico de la Figura 1.22, se muestra un elemento diferencial de rea dA = f(x) dx, que por giro alrededor del eje y engendra otro elemento diferencial de volumen dV = 2nxf(x) dx. Si lo anterior se expresa, escribiendo: dV = 2nx dA poda este resultado, enunciarse en los siguientes trminos: el volumen engendrado por la regin sombreada (de rea dA) al dar una vuelta alrededor del eje y, es igual al producto de dA por la distancia recorrida por dicha regin. Lo anterior justifica los dos siguientes teoremas debidos a Pappus (300 a.e.) y que podrn probarse con rigor al estudiar centros de gravedad en la siguiente Seccin. Consideremos una regin A del plano situada a un solo lado de una recta (r) de este plano: El volumen del cuerpo engendrado por A al dar una vuelta completa alrededor de r, es igual al producto del rea de la regin A por la distancia que ha reconido su centro de gravedad. El rea de un slido de revolucin, es igual al producto de la longitud del arco que lo genera por la distancia recorrida al dar una vuelta completa el centro de gravedad de dicho arco. Ejemplo al Aplquense estos teoremas para comprobar los resultados del primer ejemplo anterior (vase la Figu- ra 1.23). bl Obtnganse las frmulas generales del volumen y rea del toro engendrado por una circunferencia de centro (0, a) y radio r (1' < a) que gira alrededor del eje x. RESOLUCiN al La circunferencia de centro C(O, 2) y de radio r = 2, encielTa un rea de 4n 2 (u == unidades). Al dar una vuelta alrededor del eje x, su centro de gravedad C reCOITe una distancia de 4n u. En consecuencia: V(pedido) = 4n .4n = 16n2 En el segundo apartado nos piden un rea: cuando la circunferencia de longitud 2nr = 4n, gira alrededor del eje x, su centro de gravedad C(O, 5) recorre 2n' 5 = IOn. Por tanto: A(pedida) = 4n IOn = 40n2 bl Teniendo en cuenta los siguientes datos del toro: rea del Crculo = nr2 , longitud de su circunferencia = 2nr, distancia recorrida por su centro de gravedad C(O, a) = 2na, resulta: V(toro) = nr2 2na = 2a(nr)2 A(toro) = 2nr 2na = 4a(n2r) Centros de gravedad o centroides Sean dos masas In 1 Y1n2 sobre las que acta el campo gravitacional terrestre (para centrar ideas trataremos con fuerzas gravitatorias). Consideremos asimismo (Figura 1.25) una referencia, en http://gratislibrospdf.com/

59. x, 'n la n o: al e- u- de ar e- 0- as n Integrales definidas simples 45 dm m) m (C) 9 I I- x) IX O I I I I m)g I I I I I t mg m 9 C(x,y,Z) I 1- IX X O X I I I I I I tmg Figura 1.25 la que hemos representado el origen O (punto arbitrario) y nicamente uno de sus ejes (aunque se ha tomado este eje x normal a las fuerzas mig, el resultado que buscamos no depende de la direccin de dicho eje). . Recordando de mecnica elemental que la fuerza resultante mg, para producir el mismo efecto que las m1g Ym2g, adems de verificar mg = m1g + m2g (m = m1 + m2) deber tener el mismo momento esttico M (respecto de cualquier punto, por ejemplo O) que ellas, tendremos (vase el primer grfico de la Figura 1.25): m1x1 + m2x2 => x= m = m1 + m2 siendo en R3 inmediatas las siguientes relaciones (m = L m): _ _ _ LmXi C(x, y, Z) : x = -- m LmiZi z=-- m Supongamos ahora (segundo grfico de la Figura 1.25) un cuerpo de masa m. Razonando con elementos diferenciales, operando de igual forma que anteriormente, y prescindiendo de los lmites de integracin, escribiremos: d(M) = tdm- g)x ~ M (momento respecto de O) = g f x dm y puesto que el momento de la fuerza mg es M = mg X, resulta: M = g f x dm = mg x => f x dm = m .x En consecuencia: _ fXdm x=--- m fZdm z=-- m fYdm y=-- m C(x, y, z) : X (26) http://gratislibrospdf.com/

60. 46 Clculo integral y aplicaciones IEste punto C (donde puede considerarse concentrada toda la masa del cuerpo) se denomina cefitroide o centro de gravedad del sistema de partculas o del cuerpo por ellas formado. Si el cuerpo es de densidad constante (p), al ser m = p' V(dm = p' dV) las relaciones (26) darn lugar a las: _ _ _ fXdV C(x, y, Z) : x = -V- fYdV Y=-V- _ fZdV z=-- V '(27) De igual modo, cuando el cuerpo en cuestin fuese una superficie plana (en este caso p sera la masa por unidad de superficie) o una lnea plana o alabeada (p sera la masa por unidad de longitud), se tendran respectivamente para el centroide C las siguientes relaciones: Ejemplos _ _ _ fXdA C(x, y) : x = - - A _ _ _ fXdS C(x, y, Z) : x = - - s IYdA ji = - - (A es el rea de la placa) A fYdS y =;= - - s fZdS z= - - (s == longitud) s (28) (29) 1. Calcular el centroide C(x, ji) de una placa plana homognea (densidad superficial constante) en forma de tringulo rectngulo, siendo a y b la dimensin de sus catetos. RESOLUCiN Para hallar la coordenada xoperaremos con el primer tringulo de la Figura 1.26, en donde dA = Y dx = 1 = f(x)dx, A = - ab: 2 y b y ----------------- x 1 f 2 fa 2 fa bx 2aX = - xdA = - x[f(x)dx] = - X - dx =- A abo aboa 3 bx y= - a y b - --- --- --- --- ------ ------ --- -- --- - y ---------------~======1 a x o x a Figura 1.26 x http://gratislibrospdf.com/

61. 'Integrales definidas simples 47 asimismo, observando el segundo tringulo [dA = (a - x) dy], escribiremos: 1 { ( ay)} 2 fb ( a) bji = AY dA dA = a - b dy = ab o ay - byZ dy = "3 Obtengamos nuevamente el resultado ji = b/3 integrando en la variable x (que en alguna ocasin pudiera facilitar los clculos): ji = - y dA y = - , dA = (a - x) dy = (a - x) - dx = - - (a - x) - dx = -1 f { bx b } 2 fa bx b b A a a ab oa a 3 Veamos otra forma de hallar el centroide C(x, ji) de placas planas que suele resultar ms simple que con las frmulas (28): Consideremos la Figura l.13, y supongamos que la superficie (A) es la limitada por la curva y = f(x), el eje x, y las rectas x = X l ' X = x z. Habida cuenta de que (x, y/2) es el centroide del elemento diferencial (de rea dA) sombreado, se tiene: Los momentos de A respecto de los ejes x e y, son: Los momentos de dA = f(x) dx respecto de dichos ejes, son: y f(x) 1 IX 2 _ d(M) = (dA)- =f(x)d.x- --+ M _= - fZ(x)dx = Ay x 2 2 " 2 x, d(M) = (dA) .x = xf(x) d.x --+ My = f,2 xf(x) d.x = A .x en consecuencia: C(x, ji) : x= - xf(x) dx , )1 = - fZ(x) dx1 IX 2 1 IX 2 A x, 2A x, (30) aApliquemos (30) para obtener de nuevo la ordenada ji = b/3 (Figura 1.26): _ 1 fa(bX) Z _ 1 b Z fa Z _ b a 3 _ b y- - - dx--'- x dx--'- -- 2A O a ab aZ o a3 3 3 2. Consideremos un cuadrante del crculo definido por la ecuacin XZ + yZ ~ R2 . a) Hallar su centroide aplicando las frmulas (28), (30) Yel Teorema de Pappus. b) Este cuadrante al girar alrededor de uno de sus ejes, engendra una semiesfera (x2 + y2 + zZ ~ RZ). Obtngase su centro de gravedad. http://gratislibrospdf.com/

62. 48 Clculo integral y aplicaciones RESOLUCiN a) (28). Puesto que C(x, ji = x), calculemos x(primer grfico de la Figura 1.27): y R / / o / / / / / / x _ 1 R3 4 R3 4R x = - - = - - = - => A 3 nR2 3 3n R x x Figura 1.27 C(4R, 4R) 3n 3n z (30). Calculemos ji que parece ms sencillo: ji = - f2(X)dx = - (R2 - x2)dx = - . - = - 1 fb 2 iR 2 2R 3 4R 2A a nR2 O nR2 3 3n y (Pappus). El cuadrante sombreado al girar alrededor del eje y, genera una semiesfera de volumen ~ nR3 , el cual deber ser igual al rea de cuadrante (n: 2 ) por el camino recorrido por su centroide C(2nx). En consecuencia: 4R- => x=- 3n b) Puesto que C(O, O, Z), escribiremos (segundo grfico de la Figura 1.27): Al ser dV{cilindro} = na2. dz = n(R2 - Z2) dz, aplicando (27), se tiene: 3. Consideremos una regin (R) limitada por la curva y = f(x) = 2x - x2, y el eje x. Dicha regin gira alrededor del eje y. http://gratislibrospdf.com/

63. Integrales definidas simples 49 al Prubese aplicando Pappus y la frmula (24), que el volumen del cuerpo de revolucin engendrado es V = Sn/3. bl Hllese nuevamente V utilizando la frmula usual dV = nxz dy. Ntese ahora que en y = f(x) debern considerarse dos ramas, la x = l - ~ a izquierda de x = 1, Y la x = 1 + ~ a derecha. Con ello, resultar: V = n (l + ~)Zdy - n (1 - ~fdy = 4n (l - y)l/zdy =- JI JI JI Sn o o o 3 el Comprubese que los centroides de R y del cuerpo tienen por coordenadas respectivas (1 , 2/5) Y (O, y, O), siendo: 1 f 3 JI 3 ( 3) 2y = - ydV= - y 4n(l-y)l/zdy = - B 2,- = - (tambin) V Sn o 2 2 5 4. Reptase el anterior ejemplo con y = f(x) = senx (entre O y n/2), comprobando que: JI(n)Z JI n 3 (n Z )dV = nxz dy -+ V = n o "2 dy - n o (arc seny)z dy = "4 - n "4 - 2 = 2n Intntese asimismo obtener V (entre O y n) = 2nz, utilizando nicamente la relacin dV = nxz dy. Centroides de slidos de revolucin Consideremos nuevamente la Figura 1.13 y supongamos que el rea (A) encenada por la curva y = f(x) , y el eje x entre Xl y xz' gira alrededor de dicho eje. En las condiciones dadas, resulta evidente que C(i, O, O) ser el centroide del cuerpo de revolucin engendrado. Como adems dV (generado por la regin sombreada) = nyz dx, sustituyendo esta relacin en (27), se tendr: C(i,O,O):i=- xdV = - x nyZdx=- xf2(x)dx1 f 1 f n IXl V V V x , (31) Ejemplo al Suponiendo que un cuadrante de crculo (primer grfico de la Figura 1.27) gira alrededor del eje x, comprubese mediante (31) que el centroide de la semiesfera engendrada es C(i, O, O)/i = 3Rz/S. bl Aplicando las frmulas (27) y (31) transformada, obtngase el centroide C(O, O, Z) de un cono de revolucin (cuyo eje es el z) de altura h y radio de la base r. RESOLUCiN al _ _ n C(x, O, O) : x = -2- - nR3 3 http://gratislibrospdf.com/

64. 50 Clculo integral y aplicaciones b) Habiendo situado el cono en la posicin de la Figura 1.28, y puesto que: 1 siendo V = - nr2 . 11, se tiene: 3 dV = na2 dz - = - = n - dz {r a} (rz)2 h z 11 z hy- rz = O r o x Figura 1.28 -1 1 y Adecuacin de (31): la curva hy - rz = O (del plano yz) gira alrededor del eje z. El equivalente de Xf2(X) dx, ser obviamente: Consecuentemente (31): que coincide con la expresin integral anteriormente obtenida. Momentos de inercia Consideremos una masa puntual m distante r de un punto o un eje (E) a.lrededor del cual gira con velocidad angular w (Figura 1.29). Su energa cintica (W) vendr expresada, como sabemos, por: http://gratislibrospdf.com/

65. Integrales definidas simples 51 x z In r-----~, --y --------~ ,,, x : r d (y) / z V --------------------------'j--- -___ ////E y Figura 1.29 Si el cuerpo (de masa m) no es puntual, la igualdad anterior resulta vlida para cada una de sus partculas de masa mi (m = L m) puesto que w es la misma para todas. Con ello, podremos escribir: 1 1 1 W = - (m r2 )w2 + - (m r2 )w2 + .. . = - (L m.r2 )w2 2 11 2 22 2 " Por definicin, los factores mr2 , L mir~ se denominan momentos de inercia (de la masa puntual o del cuerpo en cuestin) respecto del elemento (E) alrededor del que giran. Los momentos de inercia suelen representarse por la letra mayscula I. El momento de inercia respecto de un plano se define del mismo modo: producto de m (si es puntual) por el cuadrado de su distancia a dicho plano. Por otra parte, como el cuerpo, en general, estar formado por infinitas partculas, el clculo de su momento de inercia deber llevarse a cabo mediante integracin. Razonando con elementos diferenciales, es decir: momento de inercia diferencial correspondiente a una masa dm que dista r del punto, eje o plano, escribiremos: (32) Ntese que para aplicar correctamente (32), la distancia entre cualquier punto de dm (dm puede ser un anillo delgado, una placa delgada circular, ...) y el punto, eje o plano considerado, debe ser constante e igual a r . Ejemplo Hallar en funcin de su masa CM) los momentos de inercia de los siguientes cuerpos: al Un cilindro de masa M y radio R respecto de su eje CE). http://gratislibrospdf.com/

66. 52 Clcu lo integral y aplicaciones b) Una varilla muy delgada de masa M y longitud L respecto de un punto (o eje E) que pase por uno de sus extremos. RESOLUCiN a) Supongamos que la altura del cilindro es h, y p su densidad (V = nR2 h, M = pV): di = r2 dm {dm = pdV, dV = 2nrdr h} = 2nhp r3 dr : i R 1 I = 2nhp r3 dr = - nhp R4 o 2 Como se pide I en funcin de M , multiplicando y dividiendo por M = pV = p ' nR2 h, resulta: 1 M I = - nhp . R4 . - - - 2 p nR2 h 1 => I (cilindro) = - MR 2 2 Si el cilindro fuese hueco de radio r (interior) y R (exterior), del mismo modo se probara que: 1 I(cilindro de radios r y R) = - M(R 2 + r2 ) 2 y en el caso de ser hueco con pared muy delgada (R ~ r), se tendra: I (cilindro hueco de pared delgada --> tubo o anillo) = MR2 b) Aunque se simplificar de igual forma que la h anterior, supongamos que la seccin transversal de la varilla (Figura 1.30) es A (V = A . L, M = p V): di = r2 dm {dm = p dV = peA dr)} = pA . r2 dr : f f L 1 1 M 1 I = r2 dm = pA r2 dr = - pAL3 = - pAL3 . - - = - ML2 o 3 3 pAL 3 dm E .~=========::::I:::::I==:=J 1__--r--__ I~dr L Figura 1.30 http://gratislibrospdf.com/

67. Integrales definidas simples 53 Relaciones entre momentos de inercia A continuacin, se presentan ciertas relaciones entre los momentos de inercia de un cuerpo, que facilitarn en gran medida el clculo de stos. Para fijar ideas, las deduciremos utilizando la masa puntual m (vase Figura 1.29), pues en el caso de un cuerpo, dichas relaciones, que tambin son vlidas, se obtienen de forma totalmente anloga (operando con dm). Denotemos por lo, Ix, Ixy, ... los momentos de inercia de m (o del cuerpo en cuestin) respecto del origen, del eje x, del plano xy. ... Observando la Figura 1.29, las distancias expresadas en ella, y aplicando las definiciones dadas, escribiremos: de donde son inmediatas, entre otras, las siguientes relaciones: (33) Ejemplo Consideremos una esfera maciza de radio R y masa M. Calclese: a) El momento de inercia respecto de un eje que pase por su centro. b) El momento de inercia respecto de su centro, aplicando (32). RESOLUCiN a) Tratar de obtener este momento de inercia aplicando la frmula (32) y operando en cartesianas, presenta gran dificultad. Mucho ms sencillo resulta hallar el momento de inercia (lx) respecto de un plano que pasa por el centro de la esfera, y aplicar las relaciones (33). Basndonos en el segundo grfico de la Figura l.27 (esfera completa), y t01~ando como dm el cilindro diferencial sombreado (todos los puntos de dm distan un constante r = z del plano horizontal), escribiremos: 4 multiplicando y dividiendo por M = PV = p."3 nR3 , se tiene: M http://gratislibrospdf.com/

Cálculo Integral con Aplicaciones

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