APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDAAPLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDAAPLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDAAPLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Cálculo de áreas de figuras planas.

Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución.

Cálculo de longitud de arco de curva.

Cálculo de volúmenes.

Cálculo de longitud de arco de curva.

Cálculo de áreas de superficies de revolución.

Cálculo de densidad y centros de masa, velocidad ytrabajo.

IntegralIntegral definidadefinidaIntegralIntegral definidadefinida

En el símbolo de la integral los números a y bEn el símbolo de la integral los números a y bse denominan límites de integración ( es ellímite inferior y b es el límite superior).

Teorema fundamental del Cálculo

La primera parte de este teorema afirma que si F (la primitiva)corresponde a la integral de una función f, luego:

F’(x)=f(x)

Esto es: La derivada es la operación inversa de la integral.

la segunda parte dice que si f(x) es una función continua en la segunda parte dice que si f(x) es una función continua en[a, b] y F es una primitiva de f en [a, b] entonces:

Para aplicarlo se va a utilizar la siguiente notación:

b

a

aFbFdxxf )()(

b

a

b

a aFbFxFdxxf )()(

Sea f(x) una función integrable en [a, b], entonces:1. Si k es cualquier constante entonces:

2. Si g(x) es una función integrable en [a, b], entonces:

dxxfkdxxkfb

a

b

a

bbb

Propiedades de la Integral Definida

dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

b

a

3. Sea c є [a, b], es decir, a≤c ≤ b. Entonces f es integrable en[a, b], si solo si f es integrable en [a, c] y en [c, b]:

dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

b

a

4. La integral definida sobre un punto es cero, esto es:

0 dxxfa

a

5. La integral definida de a a b de f es igual a menos laintegral definida de b a a de f, es decir:

ab

dxxfdxxfa

b

b

a

6. Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral espositiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.

IntegralIntegral definidadefinida:: IInterpretaciónnterpretación GGeométricaeométricaIntegralIntegral definidadefinida:: IInterpretaciónnterpretación GGeométricaeométrica

En la figura la región esel área bajo la curva, yesta limitada en su partesuperior por la gráfica deuna función continua no

a b

una función continua nonegativa f, en su parteinferior por el eje x, a suizquierda por la recta x = ay a su derecha por la rectax = b.

RR

Área bajo la curva deuna función continua enen el intervalo [a,b] :

=

La integral definida o área bajo lacurva

f(x)

Área bajo la curva f(x)dx

a b

GRÁFICAS DE FUNCIONES

Técnicas para simplificar el trabajo de graficar:a) Intersección con los ejes cartesianos: Intersección con el eje X. se sustituye en la ecuación Intersección con el eje X. se sustituye en la ecuación

el valor cero para x Intersección con el eje Y: se despeja a x y sesustituye el valor cero para y

Se utilizan los dos puntos (0,y) y (y,0) como referentedel trazado de la gráfica

GRÁFICAS DE FUNCIONES

b) Simetría:b) Simetría: Con respecto al origen. Si para cada punto (x,y) en la gráfica

también existe el punto (-x,-y) en ella. Lo comprobamos siremplazando a y por –y y a x por –x obtenemos unaecuación equivalente.

GRÁFICAS DE FUNCIONES

c) La primera derivada: Debemos recordar que la primera derivada representa la

tangente a la curva en un punto de ella, si la igualamos acero el punto de referencia es un máximo o un mínimo.

d) La segunda derivada y puntos de inflexiónd) La segunda derivada y puntos de inflexión El signo de la segunda derivada nos dice si la concavidad de

la curva, si es (+) se trata de un mínimo y la curva es cóncavahacia arriba, si es (-) se trata de un máximo y la curva escóncava hacia abajo.

Si igualamos a cero la segunda derivada estaremosdefiniendo los posibles puntos de inflexión

GRÁFICAS DE FUNCIONES

Las funciones cuadráticas tienen una o las dos variables elevadas al cuadrado. Lasmás comunes son las cónicas que tienen la ecuación general:

FUNCIONES CUADRÁTICAS

De la cual derivan las formulas generales particulares:

Parábola vertical

Elipse

Parábola horizontal

Circunferencia

Hipérbola horizontal

Hipérbola vertical

GRÁFICAS DE FUNCIONES IMPORTANTES

y = x² - 2y = x² + 2

y = -x² + 2

y = (x+2)² y = (x-2)²

Ejemplo 1

Calcular el área delimitada por la curva y = 4x - x2 y el eje OX.

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la

ecuación.2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de

integración los puntos de corte.

Ejemplo 2

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función estápor debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:

Calcular el área delimitada por la curva y = x2 − 4x y el ejeOX.OX.

Ejemplo 3

.

Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje OX entre y

Ejemplo 4

Cuando la función define tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Paracalcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo laecuación.

2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada

intervalo.

Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8xy el eje OX.

ÁREA COMPRENDIDA ENTRE DOS FUNCIONES

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de lafunción que está situada por encima menos el área de la funciónque está situada por debajo.

R

Área entre dos funciones que se cortan

Y f(x)

g(x)

X

Área (R) =

a

b

[f(x) - g(x)] dx +

b

c

[g(x) - f(x)] dx

a b c

Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.

Ejemplo 5

En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocerlos límites de integración.

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encimade la parábola.

Ejemplo 6

Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x.

De x = 0 a x = 4, la parábola queda porencima de la recta.encima de la recta.

Ejemplo 7Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones

3y =x2 e y = −x2 + 4x.

Hallamos los puntos de corte de las funciones, con ello encontramoslos límites de integración.

Ejemplo 8Hallar el área de de la región limitada por las funciones: y =

sen x, y = cos x, x = 0.

En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones:

La gráfica del coseno queda por encimaLa gráfica del coseno queda por encimade la gráfica del seno en el intervalo deintegración.

x=0