Aplicacion Limites
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Problemas de aplicacin de lmites
Pregunta 1 Se sabe que el precio de un artculo P a travs del tiempo t (en meses) est at + 8 , si se sabe que el precio de este artculo el dado por la funcin: P(t ) = t+b prximo mes ser de $6.50, y el siguiente mes ser de $6.00. Se desea saber: a) El precio del artculo para este mes. b) En que mes el precio ser de $5.50. c) Qu ocurre con el precio a largo plazo? Resolucin
Tenemos
t: P:
tiempo (meses) precio del artculo ($)
P(t ) =
at + 8 t+b
Consideraremos el mes actual como t = 0 luego, el prximo mes corresponder a t = 1 y el siguiente mes (siguiente mes al prximo) corresponder a t = 2 . Dato: El precio de este artculo el prximo mes ser de $6.50.
P(1) = 6.50
P(1) =
a(1) + 8 (1) + ba+8 b +1 (I)
6.5 =de donde
a 6.5b = 1.5
Dato: El precio de este artculo el siguiente mes - al prximo - ser de $6.00.
P(2) = 6.00
P(2) =
a(2) + 8 (2) + b
6=de donde
2a + 8 b+2 (II)
a 3b = 2
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Resolviendo el sistema formado por (I) y (II) obtenemos: Con a = 5 y b = 1 tenemos la funcin: a.
a = 5, b =1
P(t ) =
5t + 8 t +1
El precio del artculo para este mes: P(0)
P(0) =
5(0) + 8 =8 (0) + 1
En este mes el precio del artculo es $8.00. b. En un tiempo t el precio del artculo ser $5.50:
P(t ) = 5.505.50 = 5t + 8 t +1resolviendo obtenemos:t=5
Dentro de cinco meses el precio del artculo ser $5.50. c. El precio a largo plazo ocurrir cuando t +5t + 8 = lim lim P(t ) = lim t + t + t + 1 t + 5+ 8 t =5 1 1+ t
A largo plazo el precio del artculo tiende a $5.00.
Pregunta 2 Se estima que dentro de t aos, la poblacin P de un cierto pas ser de: 80 P (t ) = , millones de habitantes. 8 + 12e 0.06 t
a. b. c. d.
Cul es la poblacin actual? Cul ser la poblacin dentro de 50 aos? Despus de cuanto tiempo la poblacin ser de 5 millones de habitantes? Qu le suceder a la poblacin a largo plazo?
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Resolucin
Tenemos
t: P:
tiempo (aos) poblacin (millones de habitantes)P (t ) = 80 8 + 12e 0.06 t
a.
Poblacin actual: P(0)
P(0) =
80 =4 8 + 12e 0.06(0 )
La poblacin actual es de 4 millones de habitantes. b. Poblacin dentro de 50 aos: P(50) P(50) = 80 = 9.3 8 + 12e 0.06(50 )
Dentro de 50 aos la poblacin ser de 9.3 millones de habitantes. c. En un tiempo t la poblacin ser de 5 millones de habitantes: P(t ) = 580 =5 8 + 12e 0.06 t
e 0.06 t =
2 3
resolviendo
2 ln 3 t = = 6.8 0.06
Dentro de 6.8 aos la poblacin ser de 5 millones de habitantes. d. La poblacin a largo plazo: t + 80 80 lim P(t ) = lim = = 10 t + t + 8 + 12e 0.06 t 8 + 12(0) A largo plazo la poblacin ser de 10 millones de habitantes.
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Pregunta 3 Se estima que t meses despus del inicio de la crisis econmica, el porcentaje de la poblacin econmicamente activa que se encontrar desempleada estar dado por
P(t ) =
a + b . Si se sabe que inicialmente el 4% de la PEA est desempleada y al 1 + e 0.2ta) Encuentre los valores de a y b b) Qu porcentaje estar desempleado al cabo de 1 ao? c) Qu porcentaje estar desempleado a largo plazo?
cabo de 5 meses lo estar el 4.58%.
Resolucin
Tenemos
t: P:
tiempo (meses) porcentaje de la PEA que est desempleada (%)
P(t ) =
a +b 1 + e 0.2t
Dato: Inicialmente el 4% de la PEA est desempleada
t = 0, P = 4:
4= 4=
a +b 1 + e 0.2(0 ) a +b 2 (I)
a + 2b = 8
Dato: Al cabo de 5 meses lo estar el 4.58%. t = 5 , P = 4.58 : 4.58 =4.58 =
a +b 1 + e 0.2(5 )a +b 1.368
a + 1.368b = 6.265 (II) Resolviendo el sistema formado por (I) y (II) obtenemos:
a = 2.51b = 2.745
Con estos valores: P(t ) = b. Al cabo de 1 ao:
2.51 + 2.745 1 + e 0.2tt = 12
P(12) =
2.51 + 2.745 = 5.05 1 + e 0.2(12)
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Al cabo de 1 ao el 5.05% de la PEA estar desempleada. c. A largo plazo: t + 2.51 2.51 lim P(t ) = lim + 2.745 = 5.26 + 2.745 = t + t + 1 + e 0.2 t 1 + (0) A largo plazo el 5.26% de la PEA estar desempleada.
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