Aplicacion Del Terorema de Green
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PROBLEMA DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DE GREEN
Para calcular el área dentro de la curva x2 + y2 = R2 se utiliza la
siguiente formula:
[ ]
( )
( ) ( )
2
22
222
222
22222
222222
22
22
22
220
2220
22
22222
2222
R
RRRR
R
Rarcsen
RRR
R
R
Rarcsen
RRR
R
R
yarcsen
RyR
ydyyR
dyyRyRdyxdydx
dxdydAArea
R
R
R
R
R
R
R
R
yR
yR
R
R
yR
yR
AA
π
ππ
=
���
�
���
�
��
�
�
���
�
�−+−
��
�
�
���
�
�+⋅=
���
�
���
�
��
�
�
� −+−−
−−�
�
�
�
�+−⋅=
���
�
���
�+−⋅=−=
��
���
���
�� −−−−==
��
�
�
�=
==
−−
−−
−
−−−
−
−−
Dicha área también se puede integrar utilizando el teorema de Green, calculando los valores de dQ/dx y
dP/dy para obtener los valores de Q y P
0
01
1
==
=∂
∂−=
∂
∂
=∂
∂−
∂
∂∴��
�
�
�
∂
∂−
∂
∂=
PxQ
y
P
x
Q
y
P
x
QdA
y
P
x
Qdxdy
DA
Haciendo los siguientes cambios: =+CC
xdyQdyPdx
Hay que parametrizar la ecuación, por lo tanto:
x = R cos t dx = - R sen t dt y = R sen t dy = R cos t dt
Para 0 < t < 2π, queda la siguiente formula:
( ) ( )
π
πππ
ππ
2
2
2
0
2
2
0
22
2
0
04
10
2
14
4
12
2
12
4
1
2
1
R
sensenRtsentR
dttcosRdttcosRtcosRxdyC
=
��
���
���
�
�+−�
�
�
�+=��
���
�+=
⋅=⋅⋅⋅⋅=
x
-R
A
-R
y
R
x2 + y
2 = R
2
x
-R
-R
y
R
x = R cos t
y = R sen t
t
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TEOREMA DE GREEN
En fenómenos de transporte se ocupa la ecuación 1.1 para expresar la rapidez del flujo de salida (V)
( ) dvdsVvS
⋅∇=⋅= VV ρρ Ec.1.1 Donde V es el vector de velocidad
Dicha ecuación ha empleado el teorema de Green para convertir una integral de superficie a una
integral de volumen. Para entender el teorema se analizará el caso de dos dimensiones:
Tesis del Teorema de Green
���
�
�
∂
∂−
∂
∂=+
DC
dAy
P
x
QQdyPdx Ec. 1.2
Relaciona una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C.
DEMOSTRACIÓN PARA UNA REGIÓN SIMPLE
Procedimiento: Demostrar primero la ec.1.3, luego la ec.1.4 para después sumar y llegar a la ec.1.2.
∂
∂−=
DC
dAy
PPdx Ec. 1.3 ∂
∂=
DC
dAx
QQdy Ec. 1.4
• Demostración de la ecuación 1.3:
Sea C la curva cerrada que determina la frontera de la región
D. Al proyectar la región D sobre el eje X, se forman las curvas C1, descrita por la función y1(x); y la curva C2 descrita por la función y2(x). (Fig 1.1)
C1 está definida por: { ( ) bxa;xy ≤≤1}
C2 está definida por: { ( ) bxa;xy ≤≤2}
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]
( )( ) ( )( )
−=−−=
−−=
−==
��
�
�
�
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂
CCC
b
a
a
b
b
a
b
a
xyxy
b
a
xy
xy
b
a
xy
xyD
PdxPdxPdx
dxxy,xPdxxy,xP
dxxy,xPxy,xPdxy,xP
dxdyy
y,xPdydx
y
y,xPdA
y
P
12
2
1
2
1
2
1
12
12
Por lo tanto: −=∂
∂
CD
PdxdAy
P o escrito de otra forma: ∂
∂−=
DC
dAy
PPdx
x
y
a b
D
y1(x)
y2(x)
C1
C2
Figura 1.1
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• Demostración de la ecuación 1.4:
Ahora, al proyectar la región D sobre el eje Y se forman las curvas C3, descrita por la función x1(y); y la curva C4 descrita por la función x2(y) (Fig 1.2).
C3 está definida por: { ( ) dyc;yx ≤≤1}
C4 está definida por: { ( ) dyc;yx ≤≤2}
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]
( )( ) ( )( )
=+=
+=
−==
��
�
�
�
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂
CCC
c
d
d
c
d
c
d
c
yxyx
d
c
yx
yx
d
c
yx
yxD
QdyQdyQdy
dyy,yxQdyy,yxQ
dyy,yxQy,yxQdyy,xQ
dydxx
y,xQdxdy
x
y,xQdA
x
Q
34
2
1
2
1
2
1
12
12
Por lo tanto: ∂
∂=
DC
dAx
QQdy
Al sumar la ecuación 1.3 y 1.4 se obtiene:
���
�
�
∂
∂−
∂
∂=+
∂
∂=
∂
∂−=
DC
DC
DC
dAy
P
x
QQdyPdx
dAx
QQdy
dAy
PPdx
El teorema de Green explica la relación entre una integral
de línea alrededor de una curva cerrada simple C (Fig 1.3) y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial más del teorema general de Stokes.
En general este tipo de teoremas resulta muy útil porque, dado un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, se puede elegir la posibilidad más simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o integrar la diferencia de sus derivadas parciales sobre el recinto que delimita dicha curva.
En fenómenos de transporte permite la posibilidad de
realizar el cambio de una integral de volumen a una integral de superficie (o viceversa), según nos convenga, siempre y cuando se cumplan las condiciones necesarias facilitando muchos de nuestros cálculos.
x
y
c
D x1(y)
x2(y)
C4
C3
d
Figura 1.2
Curva simple no cerrada
Curva simple cerrada
Curva no simple cerrada
Curva no simple no cerrada
Figura 1.3