APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

CRECIMIENTO DE POBLACION

CIRO ANTONIO MALDONADO

PENAGOS

COD. D7300537

JORGE ARTURO LEON R.

DOCENTE

UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA

BOGOTA, 2012

PROGRAMA DE INGENIERIA CIVILA DISTANCIA - FAEDIS

TEORIAUna aplicación de las ecuaciones diferenciales es la de

representar modelos de crecimiento poblacional tales como (bacterias, hongos, animales en peligro de extinción, poblaciones humanas etc.), de todas estas poblaciones se destaca la forma en que evoluciona el numero P(t) de habitantes conforme pasa el tiempo t ≥ 0; esto debido a que en cualquier población se cumple el ciclo biológico (nacimiento, crecimiento, reproducción, muerte).

Algunas fallas en los modelos son los nacimientos y las muertes pues estos afectan el P(t) y otros como la migración.

P(t) es un numero entero, que representa la cantidad de habitantes (población), en nuestro estudio se considera como una función real de variable real para hacer uso de la ED.

Modelo de MalthusHistóricamente se habla de Euler como el primero que

planteo modelos de población, pero el primer modelo de evolución se le atribuye a Malthus1 quien desarrollo y obtuvo el análisis de P(t) el cual se describe así:

P’(t)=kP(t) (a En otras palabras, en cada instante la rapidez de cambio

de la población es proporcional al total de la población presente: P(t) > 0 y P(t) creciente, implica que k > 0

.dP/dt = kP - dP/P = kdt

1.Thomas Malthus (1776 – 1834) fue un economista inglés, considerado el fundador de la demografía. Es muy famoso por su publicación “Ensayo sobre el principio de la población “1798 en la cual concluía que la población humana crece de manera exponencial, mientras que la producción total de alimentos crece en forma lineal, pronosticando un futuro sombrío para la población. Afortunadamente su predicción no se ha cumplido. Sus ideas tuvieron alguna influencia en la teoría de la evolución de Darwin.

Integrando

kt

ktCktCkt

CetP

CeeeePCktPkdtPdP

)(

ln/ 111

Siendo esta ultima la solución general de la ecuación diferencial (aEs común conocer la población inicial P(0) = P0 teniendo este dato es posible calcular la constante C :

kt

k

ePtP

PCCCePP

0

00

0

)(

)0(

Para calcular k es necesario conocer la cantidad de población existente en un tiempo t1 > t0 por ejemplo P(t1) = P1

101

10101011

/)ln(ln

)/ln(/)( 11

tPPk

ktPPePPePPtP ktkt

Veamos un problema de ejemplo

PROBLEMA El número de bacterias en un cultivo

aumenta de 800 a 1800 en dos horas. Encontrar una fórmula para el número de bacterias en el tiempo t, suponiendo que en cada momento la tasa de crecimiento es directamente proporcional al número de bacterias. ¿Cuál será el número de bacterias al cabo de 5 horas?

SIGUIENTEATRAS

PLANTEAMIENTO

kdtPdP

kPdtdP

Pdtdp

P

P

/

/

/

1800)2(

800)0(

cktP ee

cktP

kdtPdP

ln

ln

/

Se establecen las condiciones iniciales del problema y las condiciones para un instante de tiempo:

Resolvemos las diferenciales mediante integración:

SIGUIENTEATRAS

SOLUCION

800

800

800)0(

)(

0

c

ce

P

cetP kt

k

kt

e

eP28001800

800

4054.0

2/)8/18(ln

28/18ln

800/1800 2

k

k

k

e k

teP 4054.0800

Resolvemos para P(t) con las condiciones iniciales y de esta manera obtenemos el valor de la constante C:

Operando en la ecuación despejamos la constante k

Por ultimo sustituimos el valor de k en la ecuación de la solución general y obtenemos la solución final del problema:

Sustituimos a C en la ecuación y obtenemos la solución general de la ecuación diferencial; luego usamos la segunda condición P(2)=1800 y reemplazando P por 1800 en la ecuación:

SIGUIENTEATRAS

02.6073)5(

022663.6073)5(

800)5( 5*4054.0

P

P

eP

Usando la ecuación para un tiempo (t) de 5 horas:

Verificación del modelo

SIGUIENTEATRAS

Bibliografía y web grafíaEcuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado.

Dennis G. Zill 6ta edición.

http://books.google.com.co/books?id=MipvfE1JLT8C&pg=PA83&lpg=PA83&dq=crecimiento+de+bacterias+ecuaciones+diferenciales&source=bl&ots=fpJTMNAG6N&sig=Z6rOuuHwYu6yvLi4vHHuzItSzg&hl=en&sa=X&ei=K9siUIrVMom09QTctYC4BA&redir_esc=y#v=onepage&q=crecimiento%20de%20bacterias%20ecuaciones%20diferenciales&f=false

http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/3.AplicacionesPrimerOrden/ImpPoblacionM.pdf

SIGUIENTEATRAS

GRACIAS!!