APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.pptx

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APLICACIÓN DE

ECUACIONES

DIFERENCIALES DEPRIMER ORDEN



Con frecuencia se desea describir el comportamiento de algún sistema o

fenómeno de la vida real en términos matemáticos. Dicho sistema puedeser físico, sociológico, químico, eléctrico, etc.

Pasos a seguir para la formulación de un modelo matemático de un

sistema

!e debe identificar las variables causantes del cambio del sistema.

Podemos elegir no incorporar todas las variables en el modelo desde el

comien"o.

!e establece un con#unto de hipótesis ra"onables acerca del sistema

que tratamos de describir. $sas hipótesis también inclu%en todas lasle%es empíricas aplicables al sistema.



VIDA MEDIA$n física, el periodo medio es una medida de la estabilidad de

una sustancia radiactiva. $s simplemente, el tiempo que

transcurre para que se desintegre o transmute la mitad de los

átomos en una muestra inicial A0, % que se conviertan enátomos de otro elemento. &ientras ma%or sea su semivida,

más estable es una sustancia.



EJEMPLO 1: VIDA MEDIA CARBONO

Consideremos una muestra de material que

contenga '(t) átomos de cierto isotopo

radiactivo en el momento t. !e puede

observar que una fracción constante de esosátomos radiactivos decae espontáneamente

(transformándose en átomos de otro elemento

o en otro isotopo del mismo) durante cada

unidad de tiempo. Por consiguiente la

muestra se comporta tal como una población

con tasa de mortalidad constante % en la que

no ocurren nacimientos.



SOLUCIÓN:Para obtener un modelo de '(t), plantearemos la ecuación diferencial

!abemos que su solución es N(t) = N0 , donde No =N(0), el número de átomos

radiactivos presentes en la muestra cuando t * +.

$l valor de la constante de decaimiento depende del isotopo particular que se

esta mane#ando. !i es grande, el isotopo decae con rapide", mientras que si

está pró-imo a cero, el isotopo decae con lentitud % puede constituir un factor

relativamente persistente sobre su ambiente. !uele especificarse la constante de

decaimiento en términos de otro parámetro, la vida media del isotopo, dado queeste parámetro es más conveniente. a vida media / de un isotopo radiactivo es el

tiempo requerido para que decaiga la mitad de la masa.



Para encontrar la relación entre % tenemos que

a vida media del carbono radiactivo C01 es de alrededor de23++ a4os.

Una muestra de car!n enc"ntrad" en St"ne#en$e resu%t!tener e% &'( de C1) de una muestra c"ntem*"r+nea,

-Cu+% es %a edad de %a muestra.



5n reactor autorregenerador convierte el uranio 678

relativamente estable en el isótopo reactivo, plutonio

679. Después de 02 a4os se determina que sedesintegró +,+17 : de la cantidad inicial de

plutonio.

Ca%cu%e %a /da meda de este s!t"*" s %a ra*dede desnte$rac!n es *r"*"rc"na% a %a cantdad*resente,

EJEMPLO 2: VIDA MEDIA PLU3ONIO

A0



!i ;(t) es la cantidad de plutonio presente en el momento t,

entonces la ecuación diferencial que describe el fenómeno es

;plicando la cantidad inicial

Donde



SOLUCIÓN:

!i el +.+17: de los átomos de ;+ se ha desintegrado, entonces aún queda el

99,923: de la sustancia. Para hallar la declinación < empleamos lo siguiente

$ntonces despe#amos , % tenemos



!e calcula la vida media

Despe#amos t, que será

igual a



LE4 DE EN5RIAMIEN3O

DE NE63ON!egún la e% de enfriamiento de 'e=ton la rapide" con que se enfría un ob#eto

es proporcional a la diferencia entre su temperatura % el medio que lo rodea.

a formulación matemática de la le% empírica de 'e=ton, relativa alenfriamiento de un ob#eto, se e-presa con la ecuación diferencial lineal de

primer orden

$n el que es una constante de proporcionalidad, >(r) es la temperatura del

ob#eto cuando t ? + % es la temperatura ambiente@ o sea, la temperatura del

medio que rodea al ob#eto, lo cual consideramos una constante.tm

tm



!i servimos una ta"a de café a una a

una temperatura a 92Ac % al minuto

está a 82Ac , % suponiendo que la

habitación está a 6+Ac. -Cu+nd"*"drem"s t"mar e% ca78 s %a

tem*eratura d!nea *arac"nsumr%" es de &9c.

EJEMPLO 1: 3EMPERA3URA DEL CA5E



Bbtenemos la solución de la ecuación diferencial, que es de variables separables

calculando

Donde < es una constante proveniente de la integración. mponiendo ahora que

%(+)*92, calculamos la contante resolviendo la ecuación.

Con lo que c*32, por otra parte como al minuto de haber servido el café la

temperatura de este había ba#ado hasta los 82Ac tenemos que

$sto nos permite obtener el valor de la constante < que sería igual a

*log(0702). a función es

Define entonces la evolución de la temperatura de la ta"a de café con el tiempo.

Para averiguar el momento en el cual la temperatura de dicha ta"a es de E2Ac

resolvemos la ecuación



SOLUCIÓN:

Res*uesta: a temperatura idónea para tomar el café se logra

apro-imadamente después de tres minutos % medio de fue servido el café.



!upongamos una ma4ana de domingo caluroso,

que en una tienda mientras las personas están

traba#ando el aire acondicionado mantiene la

temperatura de la tienda a 6+Ac. ; medio día seapaga el aire acondicionado % la gente se va a

sus casas, la temperatura e-terior permanece

constante a 72Ac. S %a c"nstante de tem*" de%ed7c" es de ) #"ras -Cu+% ser+ %a

tem*eratura de% ed7c" a %as 2 de %a tarde.-En ;u8 m"ment" %a tem*eratura en e%nter"r ser+ de 2<c.

EJEMPLO 2: 3EMPERA3URA DE LA 3IENDA



SOLUCIÓN:Planteamos la siguiente ecuación diferencial que nos permitirá responder

la primera pregunta -Cu+% ser+ %a tem*eratura de% ed7c" a %as 2 de %a

tarde.

Dado que, #unto con la condición inicial que dice que >(+)*6+ que se

corresponde con la temperatura al medio día la solución será

Con la condición inicial es posible obtener C % esta nos proporciona la

solución

$s decir que a las 6 de la tarde la temperatura será de



Para darle respuesta a la segunda pregunta que nos plantea el

problema -En ;u8 m"ment" %a tem*eratura en e% nter"r ser+ de2<c.=

tenemos que en el momento en el que t0 en que la temperatura será de63Ac la obtendremos al resolver la ecuación

$sta nos proporciona la respuesta haciendo el respectivo despe#e de t0

quedando así de la siguiente manera.

Res*uesta: ;pro-imadamente a las dos horas % media.



$cuaciones diferenciales con aplicaciones de

modelado. Dennis F Gill. &athematics >homson. Eta

edición. e% de enfriamiento de 'e=ton pagina 32 %

vida media pagina 31.

$cuaciones diferenciales. 5niversidad 'acional

!antiago del $stero. icenciados barra $lsa,

!anguedolce Hocefa, 'avarro !ilvia. e% de

enfriamiento pagina 27 % vida media pagina 2E.

BIBLIO>RA5IA:

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