APLICACIÓN DE LOS CRITERIOS OMEGA Y ECOLÓGICO...

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS

APLICACIÓN DE LOS CRITERIOS OMEGA Y ECOLÓGICO GENERALIZADOS A

DIFERENTES CONVERTIDORES DE ENERGÍA.

T E S I SQUE PARA OBTENER EL GRADO DE DE

MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN FÍSICAP R E S E N T A :

LILIAN PARTIDO TORNEZ.

DIRECTOR DE TESISDr. L. A. ARIAS-HERNÁNDEZ

MÉXICO D.F. 2006.

APLICACIÓN DEL CRITERIO OMEGA YECOLÓGICO GENERALIZADOS A DIFERENTES

CONVERTIDORES DE ENERGÍA.

LILIAN PARTIDO TORNEZ

Resumen

En 1991 Angulo-Brown propuso la función ecológica para optimizar el fun-cionamiento de ciclos de potencia. La caracterítica más importante del criterio deoptimización ecológico es que, la potencia de salida y la eficiencia de la máquina al-canzan un buen compromiso. Este compromiso ha sido expresado cualitativamenteen dos propiedades que fueron probadas numéricamente por Angulo-Brown [1], laprimera, relacionada con la desigualdad ηC < ηMFE < ηMP y la segunda, relaciona-da con los coefientes W [ηMFE]/W [ηMP ] ≈ 0.8 y σ[ηMFE]/σ[ηMP ] ≈ 0.3, donde Wy σ son la potencia de salida y la producción de entropía respectivamente. En l997Arias-Hernández y Angulo-Brown, mostraron que estas dos propiedades se cumplenpara cualquier tipo de ley de transferencia de calor. Más tarde ellos publicaron unprocedimiento para construir una función ecológica generalizada, la cual garantizaque el convertidor de energía operado en el régimen de máxima función ecológicageneralizada, satisface el teorema de la semisuma y el corolario MFE/MPS en formaexacta, aun si las funciones característiccas no fueran parábolas. En forma paralelaCalvo-Hernández et al. [3], propusieron un criterio similar, al cual llamaron criterioOmega, para operar un convertidor de energía con un régimen de compromiso comoen el criterio ecológico. Una de las características más importantes de este criterioes que puede ser aplicado a ciclos de potencia, ciclos de refrigeración, ciclos de calory otros sistemas sin un cálculo explícito de la producción de entropía asociada alproceso. En este trabajo, se propone una generalización del criterio Omega y semuestra que éste y el criterio ecológico generalizado son equivalentes para diferentesciclos térmicos irreversibles, usando un conjunto de lemas en los cuales se muestraque siempre existe una estrecha relación entre la disipación y el flujo de energíade salida. Con estos lemas se encuentra que el máximo de la función ecológicageneralizada y la función omega generalizada se alcanza en una misma temperaturareducida ah, así las funciones características en esta temperatura reducida en ambosregímenes de operación son las mismas, por lo tanto hay un sólo modo de operaiónde compromiso. Finalmente, para los ciclos de refrigeración se encuentra que enel límite endorreversible las viejas funciones objetivo ya no tienen el máximo en lamisma temperatura reducida, en contraste con los ciclos de potencia, en los cualesesto es cierto. Esto es por el hecho de que la potencia de enfriamiento es una función

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monótona creciente, así que fue utilizado el coeficiente de desempeño para hacer elbalance entre la potencia de enfriamiento y la eficiencia del convertidor de energía.

AbstractIn 1991 F. Angulo—Brown, proposed the ecological function to optimize the oper-

ation of thermal power cycles. The most important characteristic of the ecologicaloptimization criterion is that, the power output and the efficiency of the engine,reaches a good balance. This good balance is expressed cuantitatively in two prop-erties —numerically proved first by Angulo—Brown [1]— the first one related withthe inequality ηC > ηMEF > η and the second one related with the quotientsP (ηMEF ) /P (ηMEF ) ≈ 0.8 and σ (ηMEF ) /σ (ηMEF ) ≈ 0.3, where P and σ are depower output and the entropy production respectively. In 1997 Arias—Hernándezand Angulo—Brown [2], showed that these two properties holds for any kind of heattransfer law. Later they published a procedure to construct a Generalized Ecolog-ical Function, which guaranties that the energy converter operated in the regimeof maximum generalized ecological function, fulfills the semisum theorem and theMFE/MPS corollary in exact form, regardless the characteristic functions were notparabolas. In a parallel form Calvo—Hernández et al [3], proposed a similar criterion,which they called the Omega function, to operate an energy converter in a balancedregime in the same sense of the ecological criterion. One of the most important char-acteristic of this criterion is that it must be applied to power cycles, refrigerationcycles, heat cycles and other systems without an explicit calculation of the entropyproduction associated to the process. In this work,a Generalized Omega Criterionis proposed and it is showed that this and the generalized ecological criterion areequivalent for different irreversible thermal cycles, using a set of lemmas in which itis probated that always exists a relationship between the dissipation and the outputenergy flux. With these lemmas it is found that the maximum of the generalized eco-logical function and the generalized omega function have been reached in the samereduced temperature ah, then the characteristic functions evaluated in this reducedtemperature in both operating regimes are the same, therefore there are only onecommitment operating mode. Finally, for the refrigeration cycles was found that inthe endoreversible limit the old objective functions didn’t have the maximum in thesame reduced temperature, in contrast with the power cycles in which this is true,it is by the fact that the cooling power is an increasing monotonic function, thus itis was used the coefficient of performance to make the balance between the usefulenergy of refrigeration cycle and the profit of this energy converter.

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Índice General

1 INTRODUCCIÓN 7

2 FUNCIONES CARACTERÍSTICAS 9

3 MOTORES 113.1 GENERALIZACIÓN DEL CRITERIO ECOLÓGICO . . . . . . . . . . . . 113.2 GENERALIZACIÓN DEL CRITERIO OMEGA . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 LEY DE TRANSFERENCIA DE CALOR LINEAL . . . . . . . . . . . . . 14

3.3.1 FUNCIONES CARACTERÍSTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3.2 COMPARACIÓNENTRELAS FUNCIONES ECOLÓGICAYOMEGA

GENERALIZADAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3.3 COROLARIO MFEG/MPS Y MFΩG/MPS . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 LEY DE TRANSFERENCIA DE CALOR NO-LINEAL . . . . . . . . . . 233.4.1 FUNCIONES CARACTERÍSTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4.2 COMPARACIÓNENTRELAS FUNCIONES ECOLÓGICAYOMEGA

GENERALIZADAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4.3 COROLARIO MFEG/MPS Y MFΩG/MPS . . . . . . . . . . . . . 30

3.5 DEMOSTRACIÓN DE LA EQUIVALENCIA ENTRE LOS CRITERIOS

ECOLÓGICO Y OMEGA GENERALIZADOS (ahMEG = ahMΩG) . . . . . 30

4 REFRIGERADORES 324.1 GENERALIZACIÓN DEL CRITERIO ECOLÓGICO . . . . . . . . . . . . 324.2 GENERALIZACIÓN DEL CRITERIO OMEGA . . . . . . . . . . . . . . . 344.3 LEY DE TRANSFERENCIA DE CALOR LINEAL . . . . . . . . . . . . . 34

4.3.1 FUNCIONES CARACTERÍSTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.2 COMPARACIÓNENTRELAS FUNCIONES ECOLÓGICAYOMEGA

GENERALIZADAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3.3 COROLARIO MFEG/MCOP, MFΩG/MCOP . . . . . . . . . . . . 40

4.4 LEY DE TRANSFERENCIA DE CALOR NO-LINEAL . . . . . . . . . . 404.4.1 FUNCIONES CARACTERÍSTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4.2 COMPARACIÓNENTRELAS FUNCIONES ECOLOGIGAYOMEGA

GENERALIZADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4.3 COROLARIO MFEG/MCOP, MFΩG/MCOP . . . . . . . . . . . . 46

4.5 DEMOSTRACIÓN DE LA EQUIVALENCIA ENTRE LOS CRITERIOSECOLÓGICO Y OMEGA GENERALIZADOS ( ahMEG = ahMΩG) . . . . . 47

5 CONCLUSIONES 49

6 APÉNDICE A: LEMA g 51

7 APÉNDICE B: LEMA gΩ

53

3

8 APÉNDICE C: LEMA gR 54

9 APÉNDICE D: LEMA gRΩ

55

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Índice de Figuras

1 Motor térmico no-endorreversible con fuga de calor. . . . . . . . . . . . . . 112 (a) Potencia de salida, Función de disipación vs ah.(b) Energía útil efectiva,

Energía útil perdida vs ah.Tomando r = 0.1kWK−1, τ = 0.5, Th = 700K,σhc = 1, σih = 0.01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 (a) Antiguas funciones ecológica y omega vs ah (b) Función ecológica yomega generalizadas vs ah. Tomando r = 0.1kWK−1, τ = 0.5, Th = 700K,σhc = 1, σih = 0.01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 (a) Eficiencia (ηm) vs ah, (b) Potencia de salida (W ) vs eficiencia (ηm).Tomando r = 0.1kWK−1, τ = 0.5, Th = 700K, σhc = 1, σih = 0.01. . . . . 20

5 Eficiencia evaluada en: (a) su máximo valor, (b) el ah que maximiza a lapotencia de salida, (c) el ah que maximiza a la función ecológica general-izada, (d) en el ah que maximiza a la función omega generalizada, vs τ .Tomando r = 0.1kWK−1, Th = 700K, σhc = 1, σih = 0.01. . . . . . . . . . 21

6 Razón de la potencia de salida evaluada en la ah que maximiza a las fun-ciones: (a) ecológica, (b) omega, (c) ecológica generalizada y (d) omegageneralizada, entre la potencia de salida evaluada en la ah que la max-imiza, vs τ . Cuando se utiliza un motor térmico con fuga de calor no-endorreversible, una ley de transferencia de calor lineal, r = 0.1kWK−1,Th = 700K, σh = 60000WK−1, σhc = 1, σih = 0.01. . . . . . . . . . . . . . 22

7 Razón de la función de disipación evaluada en la ah que maximiza a lasfunciones: (a) ecol ógica, (b) omega, (c) ecológica generalizada y (d) omegageneralizadas, entre la función de disipación evaluada en la ah que maximizaa la potencia de salida, vs τ . Cuando se utiliza un motor térmico confuga de calor no-endorreversible, una ley de transferencia de calor lineal,r = 0.1kWK−1, Th = 700K, σh = 60000WK−1, σhc = 1, σih = 0.01. . . . . 23

8 (a) Potencia de salida, función de disipación vs ah. (b) Energía útil efectiva,energ ía útil perdida vs ah. Tomando r = 0.1kWK−1, τ = 0.5, Th = 700K,σhc = 1, σh = 6× 106kWK, σih = 0.01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

9 (a) Función ecológica y función omega vs ah (b) Función ecológica y omegageneralizadas vs ah. Tomando r = 0.1kWK−1, τ = 0.5, Th = 700K,σhc = 1, σh = 6× 106kWK, σih = 0.01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

10 (a) Eficiencia (ηmi) vs ah, (b) Potencia de salida (Wmi) vs eficiencia (ηmi)r = 0.1kWK−1, τ = 0.5, Th = 700K, σhc = 1, σh = 6×106kWK, σih = 0.01. 28

11 Eficiencia evaluada en: (a) su máximo valor, (b) el ah que maximiza a lapotencia de salida, (c) el ah que maximiza a la función ecológica generaliza-da, (d) el ah que maximiza a la función omega generalizada, vs τ . Tomandor = 0.1kWK−1, Th = 700K, σhc = 1, σh = 6× 106kWK, σih = 0.01. . . . . 29

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12 (a) Razón de la potencia de salida evaluada en la ah que maximiza a lafunción ecológica generalizada y omega generalizadas vs τ . (b) Razón de lafunción de disipación evaluada en la ah que maximiza a la funci ón ecológicageneralizada y omega generalizadas, entre la potencia de salida evaluadaen la ah que la maximiza, vs τ . Cuando se utiliza un motor térmico confuga de calor no-endorreversible, una ley de transferencia de calor no-lineal,r = 0.1kWK−1, Th = 700K, σh = 60000kWK, σhc = 1, σih = 0.01. . . . . . 30

13 Refrigerador no-endorreversible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3214 (a) Rendimiento ( R) vs ah, (b) Comportamiento de 1

R vs 1QRc. Tomando

r = 0.0053kWK, τ = 0.94, Th = 297.09K, σhc = 1.38, σh = 0.840kWK−1. . 3615 (a) Función ecológica y función omega vs ah (b) Función ecológica y omega

generalizadas vs ah. Tomando r = 0.0053kWK, τ = 0.94, Th = 297.09K,σhc = 1.38, σh = 0.840kWK−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

16 (a) Rendimiento de la máquina evaluado en su máximo valor, en el ahque maximiza a la función omega, en el ah que maximiza a la funciónecológica, en el ahX , vs τ .(b) Rendimiento de la máquina evaluado en sumáximo valor, en el ah que maximiza a la función omega generalizada, enel ah que maximiza a la función ecológica generalizada, en el ahX , vs τ .Tomando r = 0.0053kWK, Th = 297.09K, σhc = 1.38, σh = 0.840kWK−1. 39

17 (a) Razón de la potencia de enfriamiento evaluada en el ah que maxi-miza a la función ecológica y omega generalizadas, entre la potencia deenfriamiento evaluada en el ah vs τ . (b) Rendimiento de la máquinaevaluado en el ah que maximiza a la función ecológica y omega general-izadas entre el rendimiento de la máquina evaludo en el ah vs τ . Tomandor = 0.0053kWK, Th = 297.09K, σhc = 1.38, σh = 0.840kWK−1. . . . . . . 41

18 (a) Rendimiento ( RI) vs ah, (b) Comportamiento de 1RI vs 1

QRIcTomando

r = 0.0053kWK−1, τ = 0.9, Th = 297.09K, σhc = 1.38, σh = 6×105kWK−1. 4219 (a) Función ecológica y función omega vs ah (b) Función ecológica y omega

generalizadas vs ah. Tomando r = 0.0053kWK−1, τ = 0.9, Th = 297.09K,σhc = 1.38, σh = 6× 105kWK. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

20 (a) Rendimiento de la máquina evaluado en su máximo valor, en el ah quemaximiza a la funci ón omega, en el ah que maximiza a la función ecológica,en el ahX , vs τ . (b) Rendimiento de la máquina evaluado en su máximovalor, en el ah que maximiza a la función omega generalizada, en el ahque maximiza a la función ecológica generalizada, en el ahX , vs τ .Tomandor = 0.0053kWK−1, Th = 297.09K, σhc = 1.3, σh = 6× 105WK. . . . . . . 45

21 (a) Razón de la potencia de enfriamiento evaluada en el ah que maximizaa la función ecológica y omega generalizadas, entre la potencia de enfri-amiento evaluada en el ah vs τ . (b) Rendimiento de la máquina evalu-ado en el ah que maximiza a la función ecológica y omega generalizadasentre el rendimiento de la máquina evaluado en el ah vs τ . Tomandor = 0.0053kWK−1, Th = 297.09K, σhc = 1.3, σh = 6× 105kWK. . . . . . . 47

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1 INTRODUCCIÓN

Como ya es bien sabido, la teoría de la Termodinámica Clásica no es suficiente para de-scribir varios procesos cotidianos, ya que ésta sólo da soluciones a procesos reversibles, esdecir, aquellos en donde se preserva el equilibrio interno, y la entropía total no aumen-ta, el cambio del sistema es infinitamente pequeño y los procesos tienen una duracióninfinitamente larga. Debido a esto, desde hace varios años, se han venido desarrollandonuevas ramas de la termodinámica, entre ellas, la Termodinámica de Tiempos Finitos(TTF) y la Termodinámica de Procesos Irreversibles (TPI), ambas ramas estudian lasirreversibilidades de los procesos, pero la TPI se enfoca en el planteamiento y resoluciónde las ecuaciones de la evolución temporal de las variables termodinámicas, mientras quela TTF como su nombre lo dice, analiza los procesos termodinámicos en un tiempo finito ydescribe las irreversibilidades de la máquina a través de propiedades macroscópicas, talescomo, las viscosidades, las conductancias, etc.La Termodinámica de Tiempos Finitos se ha venido desarrollando desde hace alrede-

dor de 25 años, el objetivo principal de ésta, es el analizar el funcionamiento óptimo delas máquinas térmicas y procesos reales, tales como el fenómeno de la transición super-conductora, la energía del viento, etc.Uno de los méritos de la TTF es su aplicación a diversos convertidores de energía, entre

los más usuales se encuentran los motores térmicos, los refrigeradores, y bombas de calor, yalgunos novedosos tales como máquinas cuánticas, superconductores, reactores químicos,etc. En esta tesis trabajaremos sólo con motores térmicos (capítulo 3) y refrigeradores(capítulo 4).Dentro de esta teoría se han propuesto diversos criterios de optimización para las

máquinas térmicas, entre ellos, el criterio ecológico y el omega, además de los criteriosgeneralizados de cada uno de éstos.Angulo-Brown en 1991 propuso el criterio ecológico, el cual surge de la necesidad de

relacionar el hecho de que la potencia de salida aumenta conforme la eficiencia alcanzaun punto máximo y después disminuye, y que la función de disipación es una funciónmonótona decreciente de la eficiencia. Angulo-Brown, al observar la gráfica de ambas,definió la función ecológica como la diferencia de la potencia de salida y la función dedisipación. Algunos sistemas tales como, mitocondria (glicólisis aeróbica), cloroplastos(fotosíntesis), las plantas nucleares de generación eléctrica, la energía de los vientos oatmósfera, trabajan en regímenes muy cercanos al ecológico [4, 5, 6].El criterio omega fue propuesto por un grupo de Física Aplicada de la Universidad

de Salamanca España [3], este criterio propone un compromiso entre la energía útil delproceso y la energía útil perdida, es importante recalcar que este criterio tiene la propiedadde poderse aplicar a diversos convertidores térmicos, ejemplos de éstos son los motorestérmicos, los refrigeradores y las bombas. Otra propiedad importante de destacar es queeste criterio no necesita del conocimiento explícito de la generación de entropía.El objetivo de esta tesis es hacer una comparación entre los criterios ecológico y omega

generalizados, cuando se trabaja con dos diferentes convertidores de energía, es decir,motores y refrigeradores, y utilizando diferentes leyes de transferencia de calor (Ley lineal y

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Ley no-lineal). Para hacer dicha comparación en el caso de motores utilizaremos la funciónecológica generalizada propuesta por Arias-Hernández y Angulo-Brown en 1997 [2]. Parael caso de refrigeradores en este trabajo se propone un nuevo método de generalizaciónpara la función ecológica y para la función omega (véanse las secciones 4.1 y 4.2).El modelo de la máquina térmica que se utilizó para el caso de motores fue una

máquina térmica con fuga de calor no-endorreversible, al analizar los cálculos y ver que laaportación de la conductancia externa (debida a la fuga de calor) era mínima, se decidetrabajar con los refrigeradores omitiendo la fuga de calor externa, es decir se trabaja conun refrigerador no-endorreversible sin fuga de calor.En el capítulo 3, como ya se mencionó se trabajará con motores, éste se divide en cinco

secciones en donde las dos primeras describen la forma en que se generalizan las funcionesecológica y omega, en las secciones 3.3 y 3.4 se aplican estas funciones generalizadas adiferentes leyes de transferencia de calor, la lineal y la no-lineal respectivamente, en laúltima sección se hace una demostración de la equivalencia entre los criterios ecológico yomega generalizados.En el capítulo 5, se trabaja con los refrigeradores, y consta de 5 secciones, en donde

se realiza al mismo análisis que en el caso de motores.Finalmente, en los apéndices se demuestran 4 lemas importantes que se utilizaron

durante el transcurso de la tesis, los cuales son las variantes de el lema g, para los diferentesconvertidores de energía ya mencionados.

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2 FUNCIONES CARACTERÍSTICAS

Las funciones características que definiremos en seguida en términos de las temperaturasde los almacenes externos caliente y frío,Th y Tc respectivamente, las temperaturas de lasustancia de trabajo, T

0h, T

0c , las conductancia térmicas, σh, σc,σi, y el cambio de entropía

de la sustancia de trabajo, r, son el flujo de calor absorbido Qh, el flujo de calor cedido Qc,el flujo de calor entre los almacenes externos Qi, la potencia de salida W , la función dedisipación Fd, la función ecológica E, la energía útil efectiva Eu,e, la energía útil perdidaEu,p, la función omega Ω y la eficiencia η. Estas funciones nos permitirán encontrar losmodos de operación de la máquina térmica que se esté utilizando.

FLUJO DE CALOR ABSORBIDO, FLUJO DE CALOR CEDIDO, FLU-JO DE CALOR ENTRE LOS ALMACENES EXTERNOS.Las leyes fenomenológicas de transferencia de calor con las que trabajaremos son del

tipo,Q = σx(T

nh − Tn

c ),

donde Q es el flujo de calor, σx es la conductancia térmica, Th y Tc son las temperaturasde los almacenes “caliente y frio” respectivamente. El flujo de calor absorbido, cedidoy entre los almacenes externos, varían según el tipo de máquina térmica que se utilice,además del tipo de ley de transferencia de calor que utilicemos.POTENCIA DE SALIDALa potencia de salida de la máquina es la energía que ésta produce, y está dada por

la primera ley de la termodinámica, pues la máquina trabaja en ciclos:

W = Qh −Qc, (1)

FUNCIÓN DE DISIPACIÓNLa función de disipación es la energía que desecha la máquina, definida por Tribus

[7], es la producción de entropía (σT ), multiplicada por la temperatura del almacén “frío”(Tc) de la máquina en el caso de motores y por la temperatura del almacén “caliente”(Th) para los refrigeradores respectivamente [8]:

Fmd = TcσT , (2)

FRd = ThσT . (3)

FUNCIÓN ECOLÓGICAEn la Ref. [1] Angulo-Brown propuso una función, cuyo objetivo fue lograr un buen

compromiso entre la potencia de salida y la producción de entropía, a la cual llamóFUNCIÓN ECOLÓGICA, y la definió como la diferencia entre la potencia de salida y lafunción de disipación,

E =W − Fd. (4)

RENDIMIENTO

9

El rendimiento de una máquina térmica está definido por

z =Energıa util

Energıa de entrada=

Eu

Ee, (5)

Esta cantidad está relacionada con la eficiencia del convertidor de energía con que setrabaja.ENERGÍA ÚTIL EFECTIVALa energía útil efectiva [9], se define como la enegía útil de la máquina menos el

rendimiento mínimo por la energía de entrada, es decir,

Eu,e = Eu − zminEe, (6)

donde zmin es el rendimiento mínimo que puede alcanzar la máquina.ENERGÍA ÚTIL PERDIDALa energía útil perdida [9] se define como el rendimiento máximo de la máquina por

la energía de entrada menos la energía útil, esto es,

Eu,p = zmaxEe − Eu, (7)

donde zmax es el rendimiento máximo que puede alcanzar la máquina.FUNCIÓN OMEGALa función Omega se define como la diferencia de la energía útil efectiva (Eu,e) menos

la energía útil perdida (Eu,p),Ω = Eu,e −Eu,p, (8)

esta función, fue propuesta por el grupo de Física Aplicada de la Universidad de Salamanca[3], este criterio propone un compromiso entre Eu,e y Eu,p, cuando la máquina térmicarealiza un trabajo especifico.Esta función objetivo se ha aplicado a diferentes máquinas macroscópicas, entre éstas

podemos mencionar, motores térmicos, refrigeradores y bombas de calor.En el siguiente capítulo analizaremos el caso de un motor térmico con fuga de calor.

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3 MOTORES

Figura 1: Motor térmico no-endorreversible con fuga de calor.

En la Fig. 1, se muestra un motor térmico no-endorreversible con fuga de calor,en esta máquina la sustancia de trabajo se encuentra en contacto con dos almacenesde temperaturas Th y Tc, ésta se encuentra a temperaturas T

0h y T

0c , temperaturas de

trabajo que están asociadas a estados de equilibrio de la sustancia, Qh es el flujo de calorabsorbido por la sustancia de trabajo, Qc es el flujo de calor cedido por la sustancia detrabajo, Qi es el flujo de calor entre los almacenes externos (“fuga de calor”), σh y σc sonlas conductancias térmicas entre la sustancia de trabajo y los almacenes caliente y fríorespectivamente, σi es la conductancia térmica entre los dos almacenes externos, r es elcambio de entropía en la sustancia de trabajo debida a la viscosidad, turbulencias y otrosfenómenos.

3.1 GENERALIZACIÓN DEL CRITERIO ECOLÓGICO

Como ya se mencionó anteriormente, Angulo-Brown propuso la función ecológica, sinembargo, algunos autores han señalado que la función ecológica no es la única posibilidady que se podrían construir una multitud de pseudo funciones ecológicas, es por esto que, en1997, Arias-Hernandez y Angulo-Brown propusieron una familia de funciones ecológicasdadas por:

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EG =W − εFd. (9)

Así como también, la llamada FUNCIÓN COMPROMISO [2], la cual se define de lasiguiente manera:

C =W [ηME]

W [ηMP ]− σ [ηME]

σ [ηMP ]. (10)

Esta función proporciona el criterio para obtener el parámetro ε que generaliza a la fun-ción ecológica. En otros trabajos [10, 11] se ha demostrado que este parámetro tambiénse puede calcular mediante la función g, evaluando dicha función en la eficiencia quemaximiza a la potencia de salida:

ε = g(ηMP ) =W [ηMP ]

Fd [ηMP ]. (11)

Es importante recalcar que si escribimos las funciones características en términos delcociente ah, se obtiene el mismo parámetro de generalización que cuando las obtenemosen términos de la eficiencia.La función ecológica generalizada tiene dos propiedades importantes [1, 13]:1.- La eficiencia que la maximiza se puede escribir como la semisuma de la eficiencia

de Carnot y la eficiencia que maximiza a la potencia de salida, es decir,

ηME =1

2(ηC + ηMP ) (12)

a esta propiedad de se le conoce como el TEOREMA DE LA SEMISUMA.2.- El corolario MFE/MPS, en el que se demuestra que si tomamos el cociente de la

potencia de salida evaluada en la eficiencia que maximiza a la función ecológica, entrela potencia evaluada en la eficiencia que maximiza a la potencia de salida, el resultadoes aproximadamente 0.75, cuando se trabaja con una máquina sin fuga de calor no-endorreversible. Y si se toma el cociente de la entropía evaluada en la eficiencia quemaximiza a la función ecológica entre la entropía evaluada en la eficiencia que maximizaa la potencia de salida, el resultado es aproximadamente 0.25 cuando se trabaja en lasmismas condiciones, es decir,

W (ηME)

W (ηMP )≈ 0.75 (13)

σ (ηME)

σ (ηMP )≈ 0.25 (14)

el mismo resultado se obtiene si cambiamos a la representación de ah.

3.2 GENERALIZACIÓN DEL CRITERIO OMEGA

En analogía a la función ecológica generalizada, se propone una función omega general-izada de la siguiente manera

ΩG = Eu,e − λEu,p (15)

12

donde

λ =Eu,e(ahMP )

Eu,p(ahMP )= g

Ω[ahMP ]. (16)

En el caso de motores térmicos, los parámetros de generalización los denotaremos porεM y λM . Éstos se pueden obtener mediante las funciones g y g

Ω, tal y como se enuncia

en el siguiente lema.

LEMA. εM = g[ahMP ] y λM = gΩ[ahMP ]

Los parámetros de generalización de las funciones ecológica y omega ( εM y λM) sepueden obtener mediante la función g y la función g

Ω, evaluadas en el ah que maximiza

a la potencia de salida (ahMP ), es decir,

εM = g[ahMP ],

λM = gΩ[ahMP ].

DEMOSTRACIÓNPartiremos de la llamada función compromiso [10]

C[ε] =W [ahMEG ]

W [ahMP ]− T2σ[ahMEG]

T2σ[ahMP ],

utilizando el lema g, es decir, g = WT2σT

, tenemos

C[ε] =W [ahMEG ]

W [ahMP ]− W [ahMEG]g[ahMP ]

g[ahMEG ]W [ahMP ],

simplificando

C[ε] =1

W [ahMP ]

∙W [ahMEG ]− g[ahMP ]

W [ahMEG]

g[ahMEG ]

¸,

para obtener el ε que maximiza a la función compromiso el cual denotaremos por εMC ,se debe tomar la derivada parcial respecto a ε, e igualar a cero:

∂C[ε]

∂ε=

1

W [ahMP ]

⎡⎣∂W [ahMEG ]

∂ε− g[ahMP ]

∂W [ahMEG

]

g[ahMEG]

∂ε

⎤⎦εMC

= 0,

si hacemos un cambio de variable y utilizamos la regla de la cadena, se obtiene,"∂W [ah]

∂ah− g[ahMP ]

∂W [ah]g[ah]

∂ah

#ahMEG

× ∂ahMEG

∂ε

¯ahMEG

= 0. (17)

Por otro lado, si sustituimos el lema g en la función ecológica generalizada, es decir,

EG =W − εMW

g,

13

y a ésta le tomamos la derivada parcial con respecto a ah e igualamos a cero, para encontrarel ah que la maximiza. Comparando este resultado con la Ec.(17), y tomando en cuentaque

∂ahMEG

∂εno es cero, se puede concluir que

εM = g[ahMP ]

es el parámetro que realiza el máximo compromiso entre la potencia de salida y la funciónde disipación.Análogamente construyendo una función compromiso para el criterio omega, se puede

probar que el parámetro de generalización de la función omega generalizada es:

λM = gΩ[ahMP ]

3.3 LEY DE TRANSFERENCIA DE CALOR LINEAL

3.3.1 FUNCIONES CARACTERÍSTICAS

En seguida definiremos las funciones características en términos de Th, Tc, T0h ,T

0c , r,

σh, σc, σi, para una ley de transferencia de calor lineal, para simplificar estas funcionesintroduciremos la siguiente notación:

ah =ThT0h

≥ 1, ac =T 0cTc≥ 1, τ = Tc

Th,σhc =

σhσc,σih =

σiσh

(18)

Cuando se trabaje con un motor térmico y una ley de transferencia de calor lineal,denotaremos las funciones características con el superíndice m.FLUJO DE CALOR ABSORBIDOEl flujo de calor absorbido por la sustancia de trabajo está dado por una ley de

transferencia lineal:

Qmh = σh(Th − T

0h) = σhTh(1− a−1h ) (19)

FLUJO DE CALOR CEDIDOEl flujo de calor cedido por la sustancia de trabajo está dado por:

Qmc = σc(T

0c − Tc) = σhTh

τ

σhc(ac − 1) (20)

sustituyendoQh yQc en la expresión para el cambio de entropía de la sustancia de trabajo,es decir, (ver el apartado:“Función de disipación”)

Qh

T0h

− Qc

T 0c

= −r (21)

resolviendo para ac obtenemos,

amc =σh

σh − [r + (ah − 1)σh]σhc, (22)

14

si sustituimos lo anterior en la ecuación (20) tenemos que,

Qmc = σhTh

µτ [r + (ah − 1)σh]

σh − [r + (ah − 1)σh]σhc

¶. (23)

FLUJO DE CALOR ENTRE LOS ALMACENES EXTERNOS.El flujo de calor entre los almacenes externos Qm

i para un motor térmico es:

Qmi = σhThσih (1− τ) . (24)

POTENCIA DE SALIDALa potencia de salida es:

Wm = σhTh

∙(ah − 1)

ah+

τ [r + (ah − 1)σh]−σh + [r + (ah − 1)σh]σhc

¸, (25)

cuando se grafica esta función vs ah (ver figura 2a), para valores arbitrarios de τ , r, σhcse encuentra que esta función es una curva convexa con un solo máximo, por lo tantoexiste una ah, asociada a estos parámetros, tal que la potencia de salida es máxima, aesta ah se le puede llamar “Temperatura reducida alta”, la denotaremos por amhMP , paradeterminarla tomamos la derivada parcial de la potencia de salida con respecto al ah y seiguala a cero, resolviendo la ecuación tenemos,

amhMP =σh (1 + σhc)− rσhc

σh [σhc +√τ ]

. (26)

FUNCIÓN DE DISIPACIÓNPara obtener la función de disipación es necesario calcular primero la producción total

de entropía del universo (Fig. 1), es decir, la máquina térmica más sus alrededores, lacual está dada por:

σT = σA + σST , (27)

en donde, σA es la tasa de producción de entropía de los almacenes externos y σST es latasa de producción de entropía en la sustancia de trabajo por ciclo:

σA =Qc

Tc− Qh

Th+

Qi

Tc− Qi

Th, (28)

σST =Qh

T 0h− Qc

T 0c+ r, (29)

con r la producción de entropía interna global de la sustancia de trabajo, debido a laviscosidad, turbulencias y otros fenómenos disipativos. Como la sustancia de trabajoopera en ciclos se debe cumplir que

σST = 0

y por lo tanto

−r = Qh

T 0h− Qc

T 0c, (30)

15

sustituyendo las Ecs. (28), (29) y (30) en la Ec.(27), obtenemos

σT =Qc

Tc− Qh

Th+

Qi

Tc− Qi

Th, (31)

multiplicamos por Tc, para obtener la funcion de disipación

Fmd = TcσT = Qc −

TcTh

Qh +Qi −TcTh

Qi (32)

Fmd = Qc − τQh +Qi(1− τ)

sustituyendo las Ecs. (19), (23) y (24) en la ecuación anterior obtenemos

Fmd = σhTh

∙σih (1− τ)2 + τ

½1− ahah

+[r + (ah − 1)σh]


¾¸(33)

la gráfica de esta función vs. ah se puede observar en la Fig. 2a.RENDIMIENTOEl rendimiento para un motor térmico, es conocido como la eficiencia de la máquina,

la cual está dada por:

η =W

QH(34)

dondeQH = Qh +Qi. (35)

Sustituyendo las Ec. (19), (24), y (25) en la ecuación anterior, obtenemos

ηm =

hah − 1 + τ [r+(ah−1)σh]ah

−σh+[r+(ah−1)σh]σhc

i−1 + ah [1 + σih (1− τ)]

, (36)

tomando la derivada parcial con respecto a ah, igualando a cero, y resolviendo la ecuaciónobtendremos amhMη, es decir, el ah que maximiza a la eficiencia, que sustituyendo en elrendimiento o eficiencia obtenemos la eficiencia máxima de la máquina, que denotaremospor ηmmax

ηmmax = η[amhMη] (37)

ENERGÍA ÚTIL EFECTIVAPara un motor térmico tenemos que el rendimiento mínimo es cero, por lo que la

energía útil efectiva se reduce a la energía útil Eu, la cual para este caso es la potencia desalida. Así, sustituyendo las Ecs. (19), (24) y (25) en la Ec.(25)

Emu,e =Wm = σhTh

∙(ah − 1)

ah+


¸. (38)

Cuando se toma el límite endorreversible (r → 0), se obtiene la siguiente expresión.

ımr→ 0

Emu,e = σhTh

∙(ah − 1)

ah+

τ(ah − 1)σh−σh + (ah − 1)σhσhc

¸.

16

ENERGÍA ÚTIL PERDIDALa energía útil perdida, se obtiene al sustituir el rendimiento máximo (ver Ec.(37)),

la potencia, Ec. (25), y el flujo de calor de entrada, Ec. (35), en la Ec. 7

Emu,p = σhTh

½−1 + 1− ηmmax

ah+ ηmmax [1 + σih(1− τ)] (39)

+τ

σhc

∙−1 + σh


¸¾.

El comportamiento de esta expresión cuando se grafica vs ah se puede observar en la Fig.2b.FUNCIÓN ECOLÓGICALa función ecológica se obtiene, al sustituir las Ecs. (25) y (33) en la Ec.(4).

Em = σhTh

½−σih (1− τ)2 +

(ah − 1)ah

(1 + τ) +2τ (r + (ah − 1)σh)

−σh + [r + (ah − 1)σh]σhc

¾, (40)

al observar la gráfica de la función ecológica vs ah, (Fig. 3) notamos que es una funciónconvexa con un sólo máximo, el cual podemos calcular si tomamos la derivada de la funciónecológica con respecto a ah e igualamos a cero, resolviendo esta ecuación obtenemos

amhME =

√1 + τ [σh − (r − σh)σhc]

σh√2τ + σhσhc

√1 + τ

, (41)

en el límite endorreversible se tiene

imr→0 amhME =

√1 + τ [1 + σhc]√2τ + σhc

√1 + τ

. (42)

FUNCIÓN OMEGALa función omega se obtiene, al sustituir la energía útil efectiva, Ec. (38), y la energía

útil perdida, Ec. (39) en la Ec. (8).

Ωm = σhTh

½2− 2

ah+

2τ (r + (ah − 1)σh)−σh + [r + (ah − 1)σh]σhc

+[1 + ah (−1 + σih(−1 + τ)] ηmax

ah

¾,

(43)al igual que la función ecológica ésta es también una función convexa con un solo máximoel cual está dado por:

amhMΩ =1

σ2h (2τ + σ2hc [−2 + ηmax])σhσhc [σh − (r − σh)σhc] (−2 + ηmax)+ (44)

√2

q−σ2h [σh − (r − σh)σhc]

2 τ (−2 + ηmax)

¾en el límite endorreversible (r → 0, σih → 0) el ah que maximiza a la función ecológica(amhME), es el mismo que el ah que maximiza a la función omega a

mhMΩ.

17

Figura 2: (a) Potencia de salida, Función de disipación vs ah.(b) Energía útil efectiva,Energía útil perdida vs ah.Tomando r = 0.1kWK−1, τ = 0.5, Th = 700K, σhc = 1,σih = 0.01.

3.3.2 COMPARACIÓNENTRE LAS FUNCIONES ECOLÓGICAYOMEGAGENERALIZADAS.

Para poder hacer la comparación entre la función ecológica y la función omega general-izadas, primero que nada debemos describir las características y propiedades de cada unade éstas.

• FUNCIÓN ECOLÓGICA GENERALIZADA.Para describir esta función es necesario calcular primero el parámetro ε, el cualgeneraliza la antigua función ecológica, éste se puede obtener con ayuda de la funcióncompromiso, Ec. (10), o con la función g evaluada en el ah que maximiza a lapotencia de salida, es decir,

εm = g(amhMP ) =Wm(amhMP )

Fmd (a

mhMP )

, (45)

si se sustituyen las Ecs.(25), (26) y (33), en la ecuación anterior obtenemos:

εm =σh(−1 +

√τ)2 − r(σhc + τ)

σih(−1 + τ)2 [σh(1 + σhc)− rσhc] + σh√τ(−1 +√τ)2 + r(1 + σhc)τ

, (46)

la función ecológica generalizada se obtiene al sustituir las Ecs. (25), (33) y (46) enla Ec. (9)

EmG = σhTh

½(ah − 1)

ah+


− (47)

εm∙σih (1− τ)2 + τ

½1− ahah

+[r + (ah − 1)σh]


¾¸¾,

18

si se grafica esta ecuación vs ah, Fig. 3, podemos observar que es una función convexacon un solo máximo, el cual se puede calcular si se toma la derivada parcial de lafunción ecológica con respecto a ah y se iguala a cero. Resolviendo esta ecuaciónse obtiene,

amhMEG=[σh − σhc (−r + σh)]

√1 + τεM

σhh√

τ + τεM + σhc√1 + τεM

i . (48)

Figura 3: (a) Antiguas funciones ecológica y omega vs ah (b) Función ecológica y omegageneralizadas vs ah. Tomando r = 0.1kWK−1, τ = 0.5, Th = 700K, σhc = 1, σih = 0.01.

• FUNCIÓN OMEGA GENERALIZADA.Al igual que en la función ecológica generalizada, es necesario calcular primero elparámetro λ, éste se puede calcular con ayuda de la función compromiso para lafunción omega o con la función g

Ωevaluada en el ah que maximiza a la potencia de

salida, es decir,

λm = gΩ(amhMP ) =

Emu,e(a

mhMP )

Emu,p(a

mhMP )

, (49)

sustituyendo las Ecs. (26), (38) y (39), en la ecuación anterior obtenemos:

λm =£−σh(−1 +

√τ)2 + r(σhc + τ)

¤/£σih(−1 + τ)2 + r(τ + σhc) (50)

ηmmax£σh + σh(1 + σhc)σih(−1 +

√τ)− σhc (−1 + σih(−1 + τ)

¤¤,

la función omega generalizada se obtiene al sustituir las Ecs. (38), (39) y (50) en laEc. (15),

ΩmG = σhTh

½(ah − 1)

ah+


(51)

λm∙½−1 + 1− ηmmax

ah+ ηmmax [1 + σih(1− τ)]

+τ

σhc

∙−1 + σh


¸¸¾,

19

de manera similar si se grafica esta ecuación vs ah, (ver Fig. 3), es también unafunción convexa con un sólo máximo en

amhMΩG= σhσhc [σh + σhc (σh − r)] [−1 + λm (ηmmax − 1)]+ (52)q

−σ2h [σh + σhc (σh − r)]2 τ (1 + λm) [−1 + λm (ηmmax − 1)]¾/©

σ2h£τ (1 + λm) + σ2hc (−1 + λm (ηmmax − 1))

¤ª.

Figura 4: (a) Eficiencia (ηm) vs ah, (b) Potencia de salida (W ) vs eficiencia (ηm). Tomandor = 0.1kWK−1, τ = 0.5, Th = 700K, σhc = 1, σih = 0.01.

En seguida enumeraremos algunas de las características y propiedades importantes delas funciones ecológica y omega generalizadas

1. Las funciones ecológica y omega generalizadas tienen los mismos ceros y el mismomáximo, (Fig. 3), esto se demostrará en la siguiente sección.

2. Se obtiene un rizo al graficar la potencia de salida vs η. (ver Fig. 4b).

3. En la Fig. 5 se puede observar numéricamente que,

η [amhMP ] < η£amhMEG

¤= η

£amhMΩG

¤< η

£amhMη

¤.

4. En el LÍMITE ENDORREVERSIBLE, en el cual se considerará que la máquinaes internamente reversible. Esto lo logramos tomando en las expresiones el límiteσih → 0, r → 0. En este caso se obtienen expresiones analíticas muy sencillas quese reducen a las ya conocidas, entre ellas,

20

Figura 5: Eficiencia evaluada en: (a) su máximo valor, (b) el ah que maximiza a lapotencia de salida, (c) el ah que maximiza a la función ecológica generalizada, (d) enel ah que maximiza a la función omega generalizada, vs τ . Tomando r = 0.1kWK−1,Th = 700K, σhc = 1, σih = 0.01.

- Los parámetros de generalización de la función ecológica y omega, en este límite son

εm = λm =1√τ.

-La eficiencia de la máquina en condiciones de máxima:I.-EFICIENCIA

ηMη = η£amhMη

¤= 1− τ = ηc.

II.- POTENCIAηMP = η [amhMP ] = 1−

√τ .

III.- FUNCIÓN ECOLÓGICA Y FUNCIÓN OMEGA

ηME = η [amhME] = ηMΩ = η [amhMΩ] = 1−r

τ(τ + 1)

2.

IV.- FUNCIÓN ECOLÓGICA Y FUNCIÓN OMEGA GENERALIZADAS

ηMEG= η

£amhMEG

¤= ηMΩG

= η£amhMΩG

¤= 1− τ 3/4.

21

Figura 6: Razón de la potencia de salida evaluada en la ah que maximiza a las funciones:(a) ecológica, (b) omega, (c) ecológica generalizada y (d) omega generalizada, entre lapotencia de salida evaluada en la ah que la maximiza, vs τ . Cuando se utiliza un motortérmico con fuga de calor no-endorreversible, una ley de transferencia de calor lineal,r = 0.1kWK−1, Th = 700K, σh = 60000WK−1, σhc = 1, σih = 0.01.

3.3.3 COROLARIO MFEG/MPS Y MFΩG/MPS

El corolario MFE/MPS, lo vamos a escribir en una forma más general, ya que además decomparar el régimen de máxima función ecológica con el de máxima potencia de salida,compararemos también el régimen de máxima omega, función ecológica generalizada yfunción omega generalizada, con el régimen de máxima potencia de salida de la siguientemanera,

W [α]

W [ahMp]

Fd[α]

Fd[ahMp]

donde α, sería la temperatura reducida ah que maximiza al régimen que se quiera comparcon el régimen de máxima potencia de salida.En las Figs. 6 y 7, se muestra la relación que tienen la potencia de salida y la función

de disipación, en relación a los 3 criterios. En las Figs. 6a y 6b observamos que la potenciade salida en los regímenes de máxima función ecológica y omega es un 90% de la potenciade salida en su máximo valor, mientras que la disipación es del 50% al 60% (ver Figs. 7a

22

Figura 7: Razón de la función de disipación evaluada en la ah que maximiza a las funciones:(a) ecol ógica, (b) omega, (c) ecológica generalizada y (d) omega generalizadas, entre lafunción de disipación evaluada en la ah que maximiza a la potencia de salida, vs τ . Cuandose utiliza un motor térmico con fuga de calor no-endorreversible, una ley de transferenciade calor lineal, r = 0.1kWK−1, Th = 700K, σh = 60000WK−1, σhc = 1, σih = 0.01.

y 7b) aproximadamente de la de máxima potencia, por lo que al operar con este régimen,el costo de operación de la máquina por su desgaste general sería muy alto.Por otro lado, cuando se trabaja en alguno de los regímenes de compromiso generaliza-

dos, se observa que la potencia de salida en estos regímenes es de un 80% de la potenciade salida en su máximo valor (ver Figs. 6c y 6d) y la disipación disminuye a un 30%aproximadamente, en estos regímenes comporados con el régimen de máxima potencia desalida (ver Figs. 7c y 7d).

3.4 LEY DE TRANSFERENCIA DE CALOR NO-LINEAL


Para escribir explícitamente la función ecológica y la función omega es necesario haceruso de las funciones características, que en el caso de un motor térmico con fuga de calorno-endorreversible y utilizando una ley de transferencia de calor no-lineal las denotaremoscon el superíndice mi. Éstas están dados por:FLUJO DE CALOR ABSORBIDOEl flujo de calor absorbido por la sustancia de trabajo cuando se utiliza una ley de

23

transferencia de calor no lineal ( del tipo T−1) es:

Qmih =

σhTh(ah − 1). (53)

FLUJO DE CALOR CEDIDOEl flujo de calor cedido por la sustancia de trabajo, para un motor térmico y utilizando

una ley de transferencia de calor no-lineal es:

Qmic =

σhTh

1

τσhc(1− a−1c ), (54)

sustituyendo Qh y Qc en la condición dada por Ec. (30), esto es, que la sustancia detrabajo opere en ciclos. Resolviendo para ac obtenemos:

amic =

2σh

σh +pσh [σh − 4σhcτ 2 ah(ah − 1)σh + rT 2h]

, (55)

si sustituimos esto en la Ec. (54) tenemos:

Qmic =

σh − Γ

2Thσhcτ, (56)

donde Γ =pσh [σh − 4σhcτ 2 ah(ah − 1)σh + rT 2h].

POTENCIA DE SALIDALa potencia de salida es:

Wmi =σh(−1 + 2(−1 + ah)σhcτ) + Γ

2Thσhcτ, (57)

donde el ah que maximiza a la potencia de salida (ver Fig. 8a) es,

amihMP =

1

2+

pσh + σhcτ 2 (σh − 4rT 2h )2τpσh (1 + σhc)

. (58)

FUNCIÓN DE DISIPACIÓNLa función de disipación:

Fmid =

σh(1 + 2σhc£σih (1− τ)2 + (−1 + ah)τ

2¤)− Γ

2Thσhcτ. (59)

ENERGÍA ÚTIL EFECTIVALa energía útil efectiva como ya se había mencionado es la potencia de salida de la

máquina térmica:

Emiu,e =

σh(−1 + 2(−1 + ah)σhcτ) + Γ

2Thσhcτ. (60)

EFICIENCIA

24

La eficiencia de la máquina está dada por:

ηmi =σh(−1 + 2(−1 + ah)σhcτ) + Γ

2σhσhc£σih (1− τ)2 + (−1 + ah)τ

¤ . (61)

ENERGÍA ÚTIL PERDIDALa energía útil perdida:

Emiu,p =

−Γ+ 2σhc [ηmaxσih (1− τ) + τ (ah − 1) ηmax − 1]2Thσhcτ

. (62)

Figura 8: (a) Potencia de salida, función de disipación vs ah. (b) Energía útil efectiva,energ ía útil perdida vs ah. Tomando r = 0.1kWK−1, τ = 0.5, Th = 700K, σhc = 1,σh = 6× 106kWK, σih = 0.01.

FUNCIÓN ECOLÓGICALa función ecológica se obtiene, al sustituir las Ecs. (57) y (59) en la Ec. (4)

Emi =σh(−1 + σhc

£−σih (1− τ)2 + (−1 + ah)τ(1 + τ)

¤) + Γ

Thσhcτ, (63)

al observar la gráfica de la función ecológica vs. ah (ver Fig. 9a), nos damos cuentaque es una función convexa con un solo máximo, el cual podemos calcular si tomamos laderivada de la función ecológica con respecto a ah e igualamos a cero. Resolviendo estaecuación obtenemos

amihME =

1

2

"1 +

(1 + τ)pσh + σhcτ 2 (σh − 4rT 2h )

τpσh (4 + σhc(1 + τ)2)

#. (64)

FUNCIÓN OMEGA

25

La función omega se obtiene, al sustituir la energía útil efectiva, Ec. (60), y la energíaútil perdida, Ec. (62), en la Ec. (8),

Ωmi =Γ+ σhc [ηmaxσih (1− τ) + τ (ah − 1) 2− ηmax]

Thσhcτ, (65)

donde el ah que maximiza a esta función (Fig. 9a), para una ley de transferencia de calorinversa, es

amihMΩ =

1

2− (−2 + ηmax)Λ

2τpσh (4 + σhc(−2 + ηmax)

2), (66)

conΛ =

qσh + σhcτ 2 (σh − 4rT 2h ).

3.4.2 COMPARACIÓNENTRE LAS FUNCIONES ECOLÓGICAYOMEGAGENERALIZADAS.

• FUNCIÓN ECOLÓGICA GENERALIZADA.

El parámetro ε que generaliza esta función, se puede calcular utilizando la funcióng evaluada en el ah que maximiza a la potencia de salida, como se muestra en seguida,

εmi = g(amihMP ) =

Wmi(amihMP )

Fmid (ami

hMP ),

sustituyendo las Ecs, (57), (59) y (58), en la ecuación anterior obtenemos:

εmi =−σh√1 + σhc (1 + τσhc) + Λ

√σh [1 + σhc]

σh√1 + σhc

£1 + σhc

¡2σih (−1 + τ)2 + τ 2

¢¤+ Λ√σh [σhc − 1]

, (67)

la función ecológica generalizada se obtiene al sustituir las Ecs.(57), (59) y (67) en la Ec.(9)

EmiG =

1

2σhcτTh

£Λ(1 + εmi) + σh

©εmi − 1 + 2σhc

¡−σihεmi+ (68)

τ£−1 + ah

¡1 + τεmi

¢− (σih [τ − 2] + τ) εmi

¤¢ª¤.

Si observamos la Fig. 9b, es decir la gráfica de función ecológica generalizada vs ah,podemos ver que es una función convexa con un solo máximo, el cual podemos calcular sitomamos la derivada parcial con respecto a ah e igualamos a cero, con lo que obtenemos,

amihMEG

=1

2

⎡⎣1 + Λ(1 + τεmi)

σhτq(1 + εmi)2 + σhc (1 + τεmi)2

⎤⎦ . (69)

26

Figura 9: (a) Función ecológica y función omega vs ah (b) Función ecológica y omegageneralizadas vs ah. Tomando r = 0.1kWK−1, τ = 0.5, Th = 700K, σhc = 1, σh =6× 106kWK, σih = 0.01.

• FUNCIÓN OMEGA GENERALIZADA.Al igual que en la ecuación anterior, es necesario calcular primero el parámetro degeneralización λ, este se puede calcular con ayuda de la función compromiso parala función omega o con la función g

Ωevaluada en el ah que maximiza a la potencia

de salida,

λmi = gΩ(ami

hMP ) =Emiu,e(a

mihMP )

Emiu,p(a

mihMP )

al sustituir las Ecs. (58), (60) y (62) en la ecuación anterior llegamos a:

λmi =£σh√1 + σhc (1 + τσhc)− Λ

√σh [1 + σhc]

¤/£σhΛ

¡1− σhc

£−1 + ηmi

max

¤¢+(70)

+σh√1 + σhc

£−1 + σhc

¡−2σihηmi

max (1− τ) + τ¡−1 + ηmi

max

¢¢¤¤.

La función omega generalizada se obtiene al sustituir las Ecs. (60), (62) y (70) enla Ec. (15),

ΩmiG =

1

2σhcτTh

©¡1 + λmi

¢(Γ− σh (1− τ))− 2σhσhc

£σihη

mimaxλ

mi (1− τ)−(71)

τ¡ηmimaxλ

mi (1 + ah)− ah(1 + λmi)¢¤ª

.

De manera similar, si se grafica esta ecuación vs. ah (Fig. 9), podemos observarque ésta también es una función convexa con un solo máximo en

amihMΩG

=n√

σhτh¡1 + λmi

¢2+ σhc

£1 + λmi

¡1− ηmi

max

¢¤2i(72)

+Λ¡1 + λmi

£1− ηmi

max

¤¢q¡1 + λmi

¢2+ σhc

£−1+

¡−1 + ηmi

max

¢λmi¤2¾

/n2√σhτ

h¡1 + λmi

¢2+ σhc

£1 + λmi

¡1− ηmi

max

¢¤2io.

27

Podemos mencionar algunas características de las funciones ecológica y omega gener-alizadas.

1. Las funciones ecológica y omega generalizadas, al igual que en el caso de una ley detransferencia de calor lineal, tienen los mismos ceros y el mismo máximo, como sepuede observar en la Fig. 9.

Figura 10: (a) Eficiencia (ηmi) vs ah, (b) Potencia de salida (Wmi) vs eficiencia (ηmi)r = 0.1kWK−1, τ = 0.5, Th = 700K, σhc = 1, σh = 6× 106kWK, σih = 0.01.

2. Se obtiene un rizo al graficar la potencia de salida vs. η (Fig.10).

3. En la Fig. 11 se puede observar numéricamente que,

η£amihMP

¤< η

£amihMEG

¤= η

£amiMΩG

¤< η[

£amihMη

¤.

4. En el LÍMITE ENDORREVERSIBLE (σih → 0, r → 0).

• — Los parámetros de generalización, en este límite son

εmi = λmi =

√1 + σhc√1 + τ 2σhc

.

— La eficiencia de la máquina en condiciones de máxima

∗ EFICIENCIAηmiMη= η[ami

hMη] = 1− τ .

∗ POTENCIA

ηmiMP = η[ami

hMP ] =1 + σhc −

√1 + σhc

√1 + τ2σhc

σhc(1 + τ).

28

Figura 11: Eficiencia evaluada en: (a) su máximo valor, (b) el ah que maximiza a lapotencia de salida, (c) el ah que maximiza a la función ecológica generalizada, (d) el ah quemaximiza a la función omega generalizada, vs τ . Tomando r = 0.1kWK−1, Th = 700K,σhc = 1, σh = 6× 106kWK, σih = 0.01.

∗ FUNCIÓN ECOLÓGICA Y FUNCIÓN OMEGA

ηmiME = η[ami

hME] = ηmiMΩ = η[ami

hMΩ]

=2 + σhc [1− (−2 + τ) τ ]−

p1 + σhc(1 + τ)2

p4 + σhc(1 + τ)2

σhc (1 + 3τ).

∗ FUNCIONES ECOLÓGICA Y OMEGA GENERALIZADAS

ηmiMEG

= η[amihMEG

] = η£amiMΩG

¤= η[ami

hMΩG].

29

3.4.3 COROLARIO MFEG/MPS Y MFΩG/MPS

El corolario cuando se utiliza una ley de transferencia de calor no-lineal (inversa de latemperatura), al igual que para una ley de transferencia de calor lineal, la potencia desalida en los regímenes de función ecológica y omega generalizadas es de un 80% de lapotencia en su máximo valor, pero ahora la disipación se incremento a un 35% a un 60%de la disipación en el régimen de máxima potencia.

Figura 12: (a) Razón de la potencia de salida evaluada en la ah que maximiza a la funciónecológica generalizada y omega generalizadas vs τ . (b) Razón de la función de disipaciónevaluada en la ah que maximiza a la funci ón ecológica generalizada y omega generalizadas,entre la potencia de salida evaluada en la ah que la maximiza, vs τ . Cuando se utilizaun motor térmico con fuga de calor no-endorreversible, una ley de transferencia de calorno-lineal, r = 0.1kWK−1, Th = 700K, σh = 60000kWK, σhc = 1, σih = 0.01.

3.5 DEMOSTRACIÓN DE LA EQUIVALENCIA ENTRE LOSCRITERIOS ECOLÓGICOYOMEGAGENERALIZADOS(ahMEG

= ahMΩG)

En las Figs. 3 y 9, se puede observar que en ambos casos, cuando de utiliza una leyde transferencia de calor lineal y no-lineal, las funciones ecológica y omega generalizadastienen el mismo máximo, lo cual demostraremos analíticamente en seguida, para elloprimero escribiremos la función ecologica generalizada definida de la siguiente manera:

EG =W − εTcσ,

sustituyendo la potencia de salida y la función de disipación, además tomando en cuentaque −QC =W −QH y la ecuación (34), obtenemos

EG = [η(1 + ε)− εηc]QH ,

30

si maximizamos con respecto ah, es decir,

dEG

dah=

d

dah[η(1 + ε)− εηc]QH = 0,

desarrollando y simplificando se llega a,∙QH

dη

dah

¸ahMEG

=

∙∙εηc − (1 + ε)η

(1 + ε)

¸dQH

dah

¸ahEG

. (73)

Utilizando que

ε = g [ahMP ] =ηhMP

ηc − ηhMP

y ε+ 1 =ηc

ηc − ηhMP

sustituyendo en la Ec. (73)∙QH

dη

dah

¸ahMFEG

=

∙£ηhMP− η

¤ dQH

dah

¸ahFEG

. (74)

Ahora haciendo el mismo procedimiento para la función omega generalizada, se llega a,

ΩG = [η (1 + λ)− ληmax]QH ,

si maximizamos con respecto a ah

dΩG

dah=

d

dah[η (1 + λ)− ληmax]QH = 0,∙

QHdη

dah

¸ahMΩG

=

∙∙ληmax − (1 + λ) η

(1 + λ)

¸dQH

dah

¸ahΩG

. (75)

Utilizando que

λ = gΩ[ahMP ] =

ηhMP

ηmax − ηhMP

y λ+ 1 =ηmax

ηmax − ηhMP

,

sustituyendo en la Ec. (75) y simplificando,∙QH

dη

dah

¸ahMΩG

=

∙£ηhMP− η

¤ dQH

dah

¸ahΩG

. (76)

Si observamos las Ecs. (74) y (76) veremos que son las mismas ecuaciones diferenciales aresolver, por lo tanto los ahEG y ahMΩG son el mismo para ambos casos.Con la demostración anterior se puede ver que el máximo de función ecológica y la fun-

ción omega generalizadas siempre será el mismo indistintamente de la ley de transferenciade calor con la que se trabaje.En el siguiente capítulo analizaremos a otro convertidor de energía, es decir, con un

refrigeradores el cual lo trabajaremos de forma similiar que para los motores.

31

4 REFRIGERADORES

En la Fig. [13] se muestra el modelo no endorreversible de un refrigerador, en donde Thy Tc, son la temperatura de los almacenes térmicos exteriores de la máquina, la sustanciade trabajo o refrigerante se encuentra a una temperatura T 0h en su trayectoria isotérmicacaliente y a T 0c en su trayectoria isotérmica fría, Qh es el flujo de calor cedido por lasustancia de trabajo, Qc es el flujo de calor absorbido por la sustancia de trabajo, σh y σcson las conductancias térmicas entre el almacén caliente y frío, y la sustancia de trabajo,respectivamente, r es la producción interna de entropía de la sustancia de trabajo.

Figura 13: Refrigerador no-endorreversible.

4.1 GENERALIZACIÓN DEL CRITERIO ECOLÓGICO

En esta sección se propone la función ecológica generalizada de la siguiente manera

EG = Pe− εRThσ, (77)

con εεR = gR[ahX ], (78)

donde ahX es el ah que se obtiene de resolver la siguiente ecuación,

=1

2max, (79)

32

con y max el coeficiente de performance (COP) y el COP máximo de la máquina re-spectivamente.La demostración de la Ec. (78), se realizará en el siguiente lema tomando en cuenta

el procedimiento que se llevó acabo en el caso de motores.

LEMA εR = gR[ahX ], λR = gRΩ [ahX ]Los parámetros de generalización de las funciones ecológica y omega para un refriger-

ador, se pueden obtener mediante las funciones gR y gRΩ , evaluadas en el ahX,es decir,

εR = gR[ahX ]

yλR = gRΩ [ahX ].

DEMOSTRACIÓNSea una función compromiso en términos de la potencia de enfriamiento y de la función

de disipación para un refrigerador

CR =Pe[ahMEG]

Pe[ahX ]− Thσ[ahMEG]

Thσ[ahX ],

donde ahMEG es el ah que maximiza a la función ecológica generalizada, si reescribimosesta ecuación con ayuda del lema gR (Vease Apéndice C: lema gR) obtenemos,

CR =1

Pe[ahX ]

∙Pe[ahMEG]− gR[ahX ]

Pe[ahMEG ]

gR[ahMEG ]

¸,

tomando la derivada parcial con respecto a εR e igualando a cero obtenemos,

1

Pe[ahX ]

∙∂Pe[ahMEG]

∂εR− gR[ahX ]

∂

∂εR

µPe[ahMEG ]

gR[ahMEG]

¶¸= 0,

haciendo un cambio de variable y utilizando la regla de la cadena obtenemos,∙∂Pe[ah]

∂ah− gR[ahX ]

∂

∂ah

µPe[ah]

gR[ah]

¶¸ahMEG

× ∂ah∂εR

= 0. (80)

Por otro lado, tomando en cuenta el lema gR, se puede reescribir la función ecológicageneralizada, de la forma,

ERG = Pe− εR

Pe

gR,

derivando parcialmente con respecto a ah e igualando a cero, se llega a

∂ERG

∂ah=

∙∂Pe[ah]

∂ah− εR

∂

∂ah

µPe[ah]

gR[ah]

¶¸arhMEG

= 0, (81)

comparando la Ec. (80) con esta ecuación obtenemos:

εR = gR[ahX ],

de forma similar, construyendo una función compromiso para el criterio omega se puededemostrar que,

λR = gRΩ [ahX ].

33

4.2 GENERALIZACIÓN DEL CRITERIO OMEGA

En analogía a la función ecológica generalizada se propone la función omega generalizadade la siguiente manera,

ΩRG = ER

u,e − λRERu,p,

con λR de la forma,λR = gRΩ [ahX ],

donde ahX el mismo que en el caso anterior.

4.3 LEY DE TRANSFERENCIA DE CALOR LINEAL


Las funciones características para un refrigerador no endorreversible y utilizando una leyde transferencia de calor lineal las definiremos en que términos de Th, Tc, T

0h ,T

0c , r, σh,

σc, para simplificar las expresiones utilizaremos la siguiente notación

ah =T 0hTh≥ 1, ac =

TcT 0c≥ 1, τ = Tc

Th,σhc =

σhσc

. (82)

cuando trabajemos con un refrigerador y una ley de transferencia de calor lineal, lasfunciones características las denotaremos con un superíndice R.FLUJO DE CALOR CEDIDOEl flujo de calor cedido por el refrigerante, al utilizar una ley de transferencia de calor

lineal está dado por:QR

h = σhTh(ah − 1). (83)

FLUJO DE CALOR ABSORBIDOEl flujo de calor absorbido por el refrigerante cuando se utiliza una ley de transferencia

lineal está dado por:QR

c = σhThτ

σhc(1− a−1c ). (84)

Sustituyendo las Ecs. (83) y (84) en la condición que nos da la entropía de la sustanciade trabajo del ciclo (∆S = 0) (ver Ec89) y. resolviendo para ac tenemos,

aRc = 1 + σhc

∙1− 1

ah− r

σh

¸. (85)

POTENCIA DE ENFRIAMIENTOLa potencia de enfriamiento de una refrigerador no-endorrevrsible se obtiene de la

siguiente ecuaciónPe = QR

c , (86)

sustituyendo la Ec. (85) en la Ec.(84) obtenemos:

Pe =σhσhc

∙σhcΞ

σhcΞ− ahσh

¸, (87)

34

donde Ξ = σh − ah σh − r.FUNCIÓN DE DISIPACIÓNPrimero calcularemos la producción de entropía total de un refrigerador no endorre-

versible (ver Fig.13), es decir,σT = σA + σST ,

en donde σA es la producción de entropía de los alrededores, σST es la producción deentropía de la sustancia de trabajo por ciclo,

σA =Qh

Th− Qc

Tc, (88)

σST =Qc

T 0c− Qh

T 0h+ r = 0, (89)

donde r es la producción de entropía interna de la sustancia de trabajo debida a lasturbulencias, viscosidades y otros fenómenos del dispositivo,

−r = Qc

T 0c− Qh

T 0h. (90)

Esto debido a que la sustancia de trabajo realiza ciclos. Por la tanto la producción total deentropía es sólo la entropía de los almacenes, para el caso de los refrigeradores la funciónde disipación se define como la producción de entropía total por Th [8]:

ThσT = Qh −Qc

τ, (91)

sustituyendo las Ecs. (83) y (84) en la ecuación anterior se llega a,

FRd = σhTh

⎡⎣−1 + ah +1

σhc

⎛⎝−1 + 1

1 + σhc³1− 1

ah− r

σh

´⎞⎠⎤⎦ . (92)

RENDIMIENTOEl COP se define de la siguiente manera,

COP = =Pe

Qh −Qc. (93)

Si observamos la Fig. 14a, podemos ver que es una función convexa con un solo máximo,el cual podemos calcular si tomamos la derivada parcial con respecto a ah de esta funcióne igualamos a cero, resolviendo obtendríamos el ahM .El COP máximo lo obtenemos si sustituimos el ahM en el rendimiento de la máquina,

es decir,max = [ahM ], (94)

35

Figura 14: (a) Rendimiento ( R) vs ah, (b) Comportamiento de 1R vs 1

QRc. Tomando

r = 0.0053kWK, τ = 0.94, Th = 297.09K, σhc = 1.38, σh = 0.840kWK−1.

que para un refrigerador endorreversible es igual al rendimiento de Carnot, el cual estádado por,

c =τ

1− τ. (95)

ENERGÍA ÚTIL EFECTIVAPara un refrigerador la energía útil, Eu, es la potencia de enfriamiento, Pe, el rendimien-

to mínimo de la máquina es cero y la energía de entrada, Ee, es el trabajo suministrado,W , por lo tanto, si sustituimos en la Ec. (6), se llega a,

ERu,e = Pe. (96)

ENERGÍA ÚTIL PERDIDASustituyendo el rendimiento máximo de la máquina, Ec. (94), la energía de entrada

(W ) y la energía útil (Pe) en la Ec. (7) otenemos,

ERu,p =

σhTh [(−1 + ah) max [−σhcΞ+ ahσh] + (1 + max)Ξτ ]

ahσh − σhcΞ. (97)

FUNCIÓN ECOLÓGICALa función ecológica para un refrigerador no-endorreversible es

ER = Pe− Thσ, (98)

sustituyendo las Ecs. (87) y (92) en la ecuación anterior,

ER =σhTh [(1 + σhc + τ) (σh + ahr)− ahσhc (2 + 2σhc + τ) + a2hΦ

2]

σhσhc − ahΦ2, (99)

dondeΦ =

pσh + σhc (σh − r).

36

Esta función es una curva convexa con un solo máximo en el siguiente punto (Fig. 15a),

aRhME =σh¡σhc +

√1 + τ

¢Φ2

.

FUNCIÓN OMEGALa función omega para un refrigerador cuando se utiliza una ley de transferencia de

calor lineal es,

ΩR =σhτ

σhcTh

½2 +

2ahσhσhσhc − ahΦ2

− (100)

(r − σh)2 σhc [a

2hΦ+ σh (σhc + τ)− ah (Φ− rt+ σh [σh + τ ])]

(ahΦ2 − σhσhc) (2Φ√rσh − σ2h [τ − 1]− r2 (σhc + τ) + rσh (1 + σhc + 2τ))

),

al igual que en el caso de la función ecológica es una curva convexa (ver Fig. 15a), con elmáximo dado en ,

aRhMΩ =σhΦ2

⎡⎣σhc +q2σh (2Φ

√r + r + σh)− 2r (r − σh)σhc − (r − σh)

2 τ

r − σh

⎤⎦ .4.3.2 COMPARACIÓNENTRE LAS FUNCIONES ECOLÓGICAYOMEGA

GENERALIZADAS.

En seguida describiremos las funciones ecológica y omega generalizadas.

• FUNCIÓN ECOLÓGICA GENERALIZADA,

El parámetro ε, que nos generaliza la función ecológica, se puede obtener con ayuda dela función compromiso, Ec. (10), o con la función gR evaluada en el ah que resuelvela ecuación (79), es decir,

εR = gR(aRhX) =PeR(aRhX)

FRd (a

RhX)

,

si se sustituye las Ecs.(87), (92) y el aRhX en la ecuación anterior obtenemos:

εR =(r − σh)

2

−4√rσhΦ+ σ2h (τ − 1)− 2rσh (2 + σhc + τ) + r2 (1 + 2σhc + τ). (101)

La función ecológica generalizada se obtiene al sustituir las Ecs. (87), (92) y (101)en la ecuación

ERG = Pe− εRThσ,

37

Figura 15: (a) Función ecológica y función omega vs ah (b) Función ecológica y omegageneralizadas vs ah. Tomando r = 0.0053kWK, τ = 0.94, Th = 297.09K, σhc = 1.38,σh = 0.840kWK−1.

si se gráfica esta ecuación vs ah, Fig. 15, observamos que es una función convexa conun solo máximo, el cual podemos calcular al tomar la derivada parcial con respectoa ah e igualar a cero, con lo que obtenemos

aRhMEG=

σh³σhc +

√τ+ε√ε

´σh + σhc (−r + σh)

. (102)

• FUNCIÓN OMEGA GENERALIZADA.El parámetro de generalización de la función omega, es decir, λR, se obtiene conayuda de la función gΩ evaluada en el ah que se obtiene de la ecuación (79), es decir,

λR = gΩ(aRhX) =

ERu,e(a

RhX)

ERu,p(a

RhX)

,

al sustituir la Ecs. (96), (97) y aRhX en la ecuación anterior obtenemos:

λR = 1. (103)

La función omega generalizada se obtiene al sustituir las Ecs. (38), (97) y (103) enla siguiente ecuación

ΩRG = ER

u,e − λRERu,p.

Al graficar esta ecuación vs ah, Fig. 15, observamos que al igual que la funciónecológica generalizada es una función convexa con un solo máximo en el siguientepunto:

aRhMΩΩ= aRhMΩ.

38

En seguida enumeraremos algunas de las características y resultados importantes delas funciones ecológica y omega generalizadas, para ciclos de refigeración cuando se utilizauna ley de transferencia de calor lineal:

Figura 16: (a) Rendimiento de la máquina evaluado en su máximo valor, en el ah quemaximiza a la función omega, en el ah que maximiza a la función ecológica, en el ahX , vsτ .(b) Rendimiento de la máquina evaluado en su máximo valor, en el ah que maximiza a lafunción omega generalizada, en el ah que maximiza a la función ecológica generalizada, enel ahX , vs τ . Tomando r = 0.0053kWK, Th = 297.09K, σhc = 1.38, σh = 0.840kWK−1.

1. Al igual que en el caso de los motores, las funciones ecológica y omega general-izadas tienen los mismos ceros y el mismo máximo (Fig. 15), lo cual se probaráanalíticamente más adelante.

2. La gráfica 1 vs 1Qcnos muestra que (ver Fig. 14b) el comportamiento predicho

para los refrigeradores reales se preserva, es decir, un coeficiente de performancemáximo con una potencia de enfriamiento con un compotamiento monótono cre-ciente.

3. En la Fig. 16a, se muestra numéricamente que el COP satisface las siguientesdesigualdades,

R£aRhX

¤< R

£aRhME

¤< R

£aRhMΩ

¤< R [ahM ] .

4. Mientras que en la Fig. 16b, se muestra numéricamente que,

R£aRhX

¤< R

£aRhMEG

¤= R

£aRhMΩG

¤< R [ahM ] .

5. En el LÍMITE ENDORREVERSIBLE (r → 0)

39

-Las funciones ecológica y omega en el límite endorreversible no son iguales ER 6= ΩR.-Los parámetros de generalización εR y λR, en este límite no son iguales, a saber

εR =τ

1− τ,

λR = 1.

-Las funciones ecológica y omega generalizadas son iguales,

ERG = ΩR

G =(ah − 1)σhτ [−2 + ah + σhc (ah − 1) + τ ]Th

(τ − 1) [ah + σhc (ah − 1)].

-El rendimiento del refrigerador con el límite endorreversible en condiciones deI.- MÁXIMO RENDIMIENTO

R [ahM ] =τ

1− τ.

II.-MÁXIMA FUNCIÓN ECOLÓGICA Y OMEGA

R£aRhME

¤=

τ

−τ +√1 + τ

.

R£aRhMΩ

¤=

√2− τ

τ.

III.-MÁXIMA FUNCIÓN ECOLÓGICA Y OMEGA GENERALIZADAS

R£aRhMEG

¤= R

£aRhMΩG

¤=

τ

−τ +√2− τ

.

4.3.3 COROLARIO MFEG/MCOP, MFΩG/MCOP

En el caso de ciclos de refrigeración, el cociente de las potencias de enfriamiento (Fig. 17a)es aproximadamente 1.8, es decir, los regímenes de MFEG y MFΩG la máxima potenciade enfriamiento es casi al doble que el régimen de máximo rendimiento, y en la Fig. 17bse observa que el rendimiento en el régimen de MFEG y MFΩG son 0.8 del redimientoen su máximo valor, dicho en otras palabras los regímenes de máxima función ecológicageneralizada y de máxima función omega generaliada trabajan en un régimen muy cercanoal de máximo rendimiento.

4.4 LEY DE TRANSFERENCIA DE CALOR NO-LINEAL


En seguida describiremos las funciones características de un refrigerador no endorre-versible cuando se trabaja con una ley de transferencia de calor no lineal del tipo T−1

40

Figura 17: (a) Razón de la potencia de enfriamiento evaluada en el ah que maximiza ala función ecológica y omega generalizadas, entre la potencia de enfriamiento evaluada enel ah vs τ . (b) Rendimiento de la máquina evaluado en el ah que maximiza a la funciónecológica y omega generalizadas entre el rendimiento de la máquina evaludo en el ah vsτ . Tomando r = 0.0053kWK, Th = 297.09K, σhc = 1.38, σh = 0.840kWK−1.

tomando en cuenta las definiciones de la Ec. (82). A estas funciones las denotaremos conun superíndice RI.FLUJO DE CALOR CEDIDOEl flujo de calor cedido por el refrigerante, al utilizar una ley de transferencia de calor

lineal está dado por:QRIh =

σhTh(1− a−1h ). (104)

FLUJO DE CALOR ABSORBIDOEl flujo de calor absorbido por el refrigerante cuando se utiliza una ley de transferencia

lineal está dado por:

QRIc =

σhTh

1

τσhc(ac − 1). (105)

sustituyendo QRIh y QRI

c en la Ec.(90), y resolviendo para ac obtenemos:

aRIc =1

2

∙1 +

Ψ

ah√σh

¸, (106)

conΨ =

qσh [a2h + 4(−1 + ah)σhcτ 2]− 4a2hrσhcT 2hτ 2.

Si sustituimos en la Ec. (105) tenemos:

QRIc =

σhTh

τ

σhc

µ1

2

∙1 +

Ψ

ah√σh

¸− 1¶. (107)

POTENCIA DE ENFRIAMIENTO

41

La potencia de enfriamiento está dada por,

PeRI = QRIc =

−ahσh +Ψ√σh

2ahσhcτTh, (108)

en este caso ésta sí presenta un màximo dado en

aRIhMPe = 2. (109)

FUNCIÓN DE DISIPACIÓNLa función de disipación, Ec. (91), para un refrigerador cuando se utiliza una ley de

transferencia de calor no lineal es,

FRId =

σh [ah + 2 (ah − 1)σhcτ 2]−Ψ√σh

2ahσhcτTh. (110)

RENDIMIENTOEl COP para esta ley está dado por:

RI =Pe

Qh −Qc=

ah√σh −Ψ

−√σh [ah ++2 (ah − 1)σhcτ ], (111)

observando la Fig. 18a, podemos ver que esta función es convexa con un solo máximo, elcual se calcula tomando la derivada parcial con respcto a ah del rendimiento, igualando acero, y resolviendo la ecuación obtendríamos el aRIhM .El rendimiento máximo lo obtenemos al sustituir el ahM en el rendimiento de la

máquina es decir,RImax =

RI [aRIhM ]. (112)

Figura 18: (a) Rendimiento ( RI) vs ah, (b) Comportamiento de 1RI vs 1

QRIcTomando

r = 0.0053kWK−1, τ = 0.9, Th = 297.09K, σhc = 1.38, σh = 6× 105kWK−1.

ENERGÍA ÚTIL EFECTIVA

42

Para un refrigerador la energía útil efectiva, Ec. (6), es la potencia de enfriamientodada por

ERIu,e = PeRI . (113)

ENERGÍA ÚTIL PERDIDASustituyendo el rendimiento máximo, Ec. (112), la energía de entrada (W ) y la energía

útil (Pe) en la Ec. (7) se llega a,

ERIu,p =

ahσh¡1 + RI

max

¢+ 2 (−1 + ah)

RImaxσhcσhτ −

¡1 + RI

max

¢Ψ√σh

2ahσhcτTh. (114)

FUNCIÓN ECOLÓGICASustituyendo las Ecs.(108) y (110) en la Ec. (98) obtenemos,

ERI =−σh [ah (1 + τ) + 2 (−1 + ah)σhcτ

2] +√σh (1 + τ)Ψ

2ahσhcτTh. (115)

Al graficar esta función con respecto a ah (Fig. 19a), se obtiene una curva convexa conun solo máximo, en el siguiente punto

aRIhME =2

1 +σh+σhcτ2(σh−4rT 2h)√σh(1+τ [2+τ(1+σhc)])

. (116)

FUNCIÓN OMEGASustituyendo las Ecs. (113) y (114) en la Ec.(8),

ΩRI =−σh [ah (1 + τ) + 2 (−1 + ah)σhcτ

2] +√σh (1 + τ)Ψ

2ahσhcτTh, (117)

Al graficar esta función con respecto a ah (Fig. 19a ), observamos que es también, al igualque la función ecológica una curva convexa con un solo máximo dado en:

aRIhMΩ =2

1 +max σh+σhcτ2(σh−4rT 2h)

τ√

σh(4+ max(4+ max[1+σhc]))

. (118)

4.4.2 COMPARACIÓNENTRE LAS FUNCIONES ECOLOGIGAYOMEGAGENERALIZADAS

En analogía a los casos anteriores primero describiremos cada una de las funciones gen-eralizadas:

• FUNCIÓN ECOLÓGICA GENERALIZADA.

43

La función ecológica generalizada de un refrigerador cuando se utiliza una ley detransferencia de calor no lineal es:

ERIG =

√σhΨ

¡τ + εRI

¢− σh

¡ahτ + [ah + 2 (−1 + ah)σhcτ

2] εRI¢

2ahσhcτ 2Th, (119)

donde εRI es el parámetro de generalización dado por,

εRI = gRI(aRIhX) =PeRI(aRIhX)

FRId (aRIhX)

.

Si se grafica la función ecológica geeralizada vs. ah, Fig. 19b, se observa que esuna función convexa con un solo máximo, el cual podemos calcular, si se toma laderivada parcial con respecto a ah y se iguala a cero esta ecuación, al resolverla seobtiene

aRIhMEG=

2

1 +εRI σh+σhcτ2(σh−4rT 2h)√σh(ε(2τ+ε)+τ2[1+σhcε2])

. (120)

Figura 19: (a) Función ecológica y función omega vs ah (b) Función ecológica y omegageneralizadas vs ah. Tomando r = 0.0053kWK−1, τ = 0.9, Th = 297.09K, σhc = 1.38,σh = 6× 105kWK.

• FUNCIÓN OMEGA GENERALIZADA.Para escribir la función omega generalizada es necesario calcular primero el parámetroλRI , el cual al igual que en el caso lineal es una constante,

λRI = 1. (121)

44

Figura 20: (a) Rendimiento de la máquina evaluado en su máximo valor, en el ah quemaximiza a la funci ón omega, en el ah que maximiza a la función ecológica, en el ahX , vsτ . (b) Rendimiento de la máquina evaluado en su máximo valor, en el ah que maximiza ala función omega generalizada, en el ah que maximiza a la función ecológica generalizada,en el ahX , vs τ .Tomando r = 0.0053kWK−1, Th = 297.09K, σhc = 1.3, σh = 6× 105WK.

Sustituyendo la ecuación anterior, la energía útil efectiva, Ec. (113), y la energíaútil perdida, Ec. (114), en la Ec. (77), obtenemos

ΩRIG = ΩRI . (122)

Si se grafica esta ecuación vs ah ( Fig. 19b), podemos observar que es una funciónconvexa con un solo máximo, el cual podemos calcular, si se toma la derivada parcialcon respecto a ah y se iguala a cero. Resolviendo se obtiene,

aRIhMΩG=

2

1 +RImax σh+σhcτ2(σh−4rT 2h)

√σhτ 1+λRI(2+λRI+ max[2+(2+ max1+σhc)λRI])

.

En seguida enumeraremos las propiedades más importantes de las funciones ecológicay omega generalizadas para un refrigerador, cuando se utiliza una ley de transferencia decalor no-lineal, del tipo T−1.

1. La función ecológica y omega generalizadas tienen los mismos ceros y el mismomáximo (Fig. 19), lo cual se demostrará analíticamente en la siguiente sección.

2. La gráfica 1 vs 1Qcnos muestra que (Ver Figura 18) al igual que cuando se uti-

liza una ley de transferencia de calor lineal el comportamiento predicho para losrefrigeradores reales se preserva.

45

3. En la Fig. 20a se muestra numéricamente que,

RI£aRIhME

¤< RI

£aRhX

¤< RI

£aRIhMΩ

¤< RI [ahM ] .

4. Mientras que en la Fig. 20b se muestra numéricamente que,

RI£aRIhX

¤< RI

£aRIhMEG

¤= RI

£aRIhMΩG

¤< RI

£aRIhM

¤.

5. En el LÍMITE ENDORREVERSIBLE (r → 0)

-Las funciones ecológica y omega en el límite endorreversible no son iguales ERI 6= ΩRI .-Los parámetros de generalización εRI y λRI , en este límite no son iguales,

εRI =τ

1− τ,

λRI = 1.

1. -Las funciones ecológica y omega generalizadas son iguales

ERIG = ΩRI

G =σh (ah [2− τ ] + 2 [−1 + ah]σhcτ

2)

2ahσhc (−1 + τ) τTh

.+(−2 + τ)

pσ2h (a

2h + 4 (ah − 1))σhcτ 2

2ahσhc (−1 + τ) τTh.

-El rendimiento del refrigerador en condiciones de

I.- MÁXIMO RENDIMIENTO

RI [ahM ] =τ

1− τ.

II.-MÁXIMA FUNCIÓN ECOLOGICA Y OMEGA

RI£aRIhME

¤6= RI

£aRIhMΩ

¤.

III.-MÁXIMA FUNCIÓN ECOLÓGICA Y OMEGA GENERALIZADAS

RI£aRIhMEG

¤= RI

£aRIhMΩG

¤.

4.4.3 COROLARIO MFEG/MCOP, MFΩG/MCOP

En el caso de ciclos de refrigeración no-lineales, el corolario nos muestra, que el cocientede la potencia de enfriamiento es aproximadamente 2 a 2.5 (ver Fig. 21a), y en la Fig.21b, al igual que en una ley de transferencia de calor lineal, los regímenes de máximafunción ecológica y máxima función omega trabajan en un régimen muy cercano al demáximo rendimiento.

46

Figura 21: (a) Razón de la potencia de enfriamiento evaluada en el ah que maximiza ala función ecológica y omega generalizadas, entre la potencia de enfriamiento evaluada enel ah vs τ . (b) Rendimiento de la máquina evaluado en el ah que maximiza a la funciónecológica y omega generalizadas entre el rendimiento de la máquina evaluado en el ah vsτ . Tomando r = 0.0053kWK−1, Th = 297.09K, σhc = 1.3, σh = 6× 105kWK.

4.5 DEMOSTRACIÓN DE LA EQUIVALENCIA ENTRE LOSCRITERIOS ECOLÓGICOYOMEGAGENERALIZADOS( ahMEG

= ahMΩG)

Si observamos la Fig. 19b podemos ver que al igual que para el caso de motores, en amboscasos, para ley lineal y no-lineal, las funciones ecológica y omega generalizadas tienen elmismo máximo cuando se trabaja con refrigeradores, lo cual demostraremos analítica-mente en seguida, para ello primero describiremos la función ecológica generalizada lacual está definida de la siguiente manera,

EG = Pe− εThσ,

utilizando el lema gR,

ERG = QR

c

∙1− εR

µ1 − 1

c

¶¸.

Tomando la derivada parcial con respecto a ah e igualando a cero obtenemos,

QRc

d

dah

∙1¸=

∙1

εR−µ1 − 1

c

¶¸dQR

c

dah,

sustituyendo εR = c MX/( c − MX),

QRc

d

dah

∙1¸=

∙1

MX− 1

¸dQR

c

dah. (123)

Por otro lado, la función omega generalizada está dada por,

ΩRG = Pe− λR [ maxW − Pe] ,

47

pero = Pe/W ,

ΩRG =

∙1 + λR − λR max

¸Pe,

tomando la derivada con respecto a ah,e igualando a cero tenemos

Ped

dah

∙1¸=

∙1 + λR

λR max

− 1¸dPe

dah,

sustituyendo,λR =

MX

max − MXλR + 1 =

max

max − MX,

Ped

dah

∙1¸=

∙1

MX− 1

¸dPe

dah, (124)

si observamos las ecuaciones (123) y (124) y tomando en cuenta que Pe = Qc, veremosque son las mismas ecuaciones, por lo tanto, si se resuelven para ah , el ahMEG y el ahMΩG

son las mismas.

48

5 CONCLUSIONES

Durante el desarrollo de la Termodinámica de Tiempos Finitos, ha sido propuesta unagran cantidad de criterios de optimización, cuyo objetivo es proporcionar informaciónextra—termodinámica que en conjunto con los modelos de los convertidores energéticos, seacapaz de predecir el desempeño energético de éstos. Así, en 1991 fue propouesta la funciónecológica, como función objetivo para optimizar el funcionamiento de un modelo de motorendorreversible, y se encontró que ésta realizaba un buen compromiso entre la potencia desalida y la disipación de este motor. Posteriormente, se construyeron diferentes criteriosde compromiso que fueron aplicados en diferentes ambitos de la conversión de energía,pues se observó que en una gran cantidad de procesos de conversión energética, tantobiológicos como no—biológicos, se realiza un balance entre el flujo de energía de salida yla eficiencia con la que se convierte el flujo de energía de entrada en el de salida.En este trabajo se escogieron dos de estos criterios de compromiso, el ecológico y el

omega, para compararlos cuando se aplican a diferentes convertidores de energía. Enprincipio, las funciones objetivo para un mismo modelo de convertidor energético, corre-spondientes a dichos criterios, se construyen de diferente manera, sin embargo, cuandose comparan las funciones de proceso que los caracterizan, presentan un comportamientomuy parecido. Por esta razón, se decidió usar la versión generalizada de la función ecológ-ica y construir la función omega generalizada, tanto para ciclos de potencia irreversiblescomo para ciclos de refrigeración irreversibles. El estudio se realizó bajo la hipótesis dedos diferentes leyes de transferencia de calor, una tipo Newton y la otra conocida como“ley inversa”; además, para ambas leyes de calor en los ciclos de potencia se consideróuna fuga de calor, mientras que en el caso de los ciclos de refrigeración se estimó quelas características reales de los refrigeradores permitian omitir la transferencia directa decalor (fuga de calor) entre el evaporador y el condensador. Con estos modelos (lineal yno—lineal) se reprodujo muy bien el comportamiento cualitativo de ambos convertidoresde energía, como se muestra en las gráficas de las figuras 4 y 10 para los motores, asícomo en las gráficas de las figuras 14 y 18 para los refrigeradores. Aunado a lo anterior,se construyeron todas las funciones características para dichos modelos, y en particu-lar se encontró que, independientemente de la ley de transferencia de calor que se estéutilizando las funciones ecológica y omega generalizadas, tienen el máximo en la mismatemperatura reducida ah. Lo que motivó el resultado más importante de este trabajo,que consiste en la demostración analítica y general de que tanto para ciclos de potenciairreversibles, como para ciclos de refrigeración irreversibles, dicha temperaura reducida ahes la misma para ambos criterios, independientemente de la ley de transferencia de calorque se esté utilizando. Para demostrar los teoremas de equivalencia entre ambos criteriosde compromiso, fue necesaria la demostración de un conjunto de lemas que proporcionanuna relación cuantitativa entre la energía útil y la energía perdida, para cada tipo deconvertidor energético.Es necesario señalar que, a pesar de que se obtienen los mismos resultados para ambos

tipos de ciclos térmicos, el criterio para generalizar las funciones objetivo es diferente paracada tipo de convertidor, pues en el caso de los refrigeradores, como la potencia de enfri-

49

amiento no presenta un máximo, se consideró una temperatura reducida “característica”que resulta de resolver la ecuación = 1

2 max, y con esta condición realizar demostracionesanálogas a las del caso del motor. Así mismo, vale la pena mencionar que en el límiteendorreverssible se recuperan todos los resultados conocidos para este tipo de modelos.Finalmente, se puede decir que con estos resultados se ha comprobado la importancia

que tiene la información extra—termodinámica que proporciona la operación de los conver-tidores de energía, a traves de las variables de proceso, pues se demostró que dos criteriosde optimización que en principio son independientes, proporcionan los mismos parámet-ros útiles para analizar el desempeño energético de dichos convertidores, con la ventajaadicional de que en cada caso especifico se puede aplicar una u otra función objetivogeneralizada.

50

6 APÉNDICE A: LEMA g

Lema gExiste una función de la eficiencia g[η] que satisface

W = g[η]Tcσ,

donde W es la potencia de salida y Tcσ es la función de disipación total de un motortérmico con fuga de calor que trabaja en ciclos entre dos almacenes de temperatura. Dichafunción está dada por

g =η

ηc − η.

DEMOSTRACIÓNDenotaremos a σT como la producción de entropía total del universo, σA la producción

de entropía en los almacenes, σST producción de entropía de la sustancia de trabajo,

σT = σA + σST ,

σA =Qc

Tc− Qh

Th+

Qi

Tc− Qi

Th,

σST =Qh

T 0h− Qc

T 0c+ r,

donde r es la producción de energía interna global de la sustancia de trabajo debido a laviscosidad, turbulencias y otros fenómenos disipativos.

−r = Qh

T 0h− Qc

T 0c,

por lo tanto, la producción de entropía total está dada por:

σT =Qc

Tc− Qh

Th+

Qi

Tc− Qi

Tc,

de la primera ley de la termodinámica tenemos que W = Qh − Qc ⇒ Qc = Qh −W ,sustituyendo en la ecuación anterior,

σT =Qh

Tc(1− Tc

Th)− W

Tc+

Qi

Tcηc,

tomando a ηc = 1− TcThy η = W

Qh+Qi,

σT =Wη−Qi

Tcηc −

W

Tc+

Qi

Tcηc,

51

σT =W

Tc(ηcη− 1),

multiplicando por TcTcσT =W (

ηc − η

η),

si definimos a la función g como g = ηηc−η

, tenemos,

TcσT =W (1

g),

W = gTcσT ,

obteniendo así la misma relación que se obtuvo al trabajar al motor térmico sin fuga decalor externa.

52

7 APÉNDICE B: LEMA gΩ

Lema gΩ

Existe una función de la eficiencia gΩ[η] que satisface

Eu,e = gΩ[η]Eu,p,

donde Eu,e es la energía útil efectiva y Eu,p es la energía útil perdida de un motor térmicocon fuga de calor que trabaja en ciclos entre dos almacenes de temperatura. Dicha funciónestá dada por

gΩ=

η

ηmax − η.

DEMOSTRACIÓNLa energía útil perdida está dada por:

Eu,p = zmaxEi −Eu,

donde zmax es el rendimiento máximo, Ei es la energía de entrada, Eu es la energía útilde la máquina, para el caso de motores, zmax es la eficiencia máxima (ηmax), Ei el calorsuministrado (QH), Eu es el trabajo (W ), por lo tanto:

Eu,p = ηmaxQH −W

ademásQH = Qh +Qi,

QC = Qc +Qi,

W = QH −QC = Qh −Qc, (125)

tomando en cuenta que,

η =W

QH⇒ QH =

W

η,

podemos escribir la energía útil perdida de la siguiente manera:

Eu,p = ηmaxW

η−W,

Eu,p =W (ηmax − η

η),

si definimos a la función gΩ, como

gΩ=

η

ηmax − η, (126)

tenemos:Eu,e = g

ΩEu,p.

53

8 APÉNDICE C: LEMA gR

Lema gR

Existe una función que depende del rendimieto de la máquina gR[ ] que satisface

Pe = gR[ ]Thσ,

donde Pe es la potencia de enfriamiento y Thσ es la función de disipación total de unrefrigerador que trabaja en ciclos entre dos almacenes de temperatura. Dicha función estádada por

gR =c

c −.

DEMOSTRACIÓNPartiendo de la definición de la entropía total de la máquina

σT =Qh

Th− Qc

Tc,

pero Qh =W +Qc,

σT = Qc

µ1

Th− 1

Tc

¶+

W

Th,

multiplicando por Th, obtendríamos la función de disipación para refrigeradores,

FRd = ThσT = Qc

µ1− 1

τ

¶+W,

tomando en cuenta que c =τ1−τ y = Qc

Wse llega a

ThσT = Qcc −c

,

Qc

ThσT=

Pe

ThσT=

Pe

FRd

=c

c −,

si definimos a la función gR = c

c− obtenemos,

Pe = gRFRd .

54

9 APÉNDICE D: LEMA gRΩ

Lema gRΩ

Existe una función que depende del rendimiento de la máquina gRΩ[ ], que satisface

Eu,e = gRΩ[ ]Eu,p,

donde Eu,e es la energía útil efectiva y Eu,p es la energía útil perdida de un refrigeradorque trabaja en ciclos entre dos almacenes de temperatura. Dicha función es

gRΩ =max −

.

DEMOSTRACIÓNLa energía útil perdida está dada por:

Eu,p = zmaxEi −Eu,

donde zmax es el rendiemiento máximo, Ei es la energía de entrada, Eu es la energía útilde la máquina, para el caso de refrigeradores, zmax es la rendimiento máximo ( max), Ei

es el trabajo (W ), Eu el calor extraido por lo tanto (Qc):

Eu,p = maxW −Qc,

pero = Qc

W,

Eu,p = Qc

hmax − 1

i,

recordando que la energía útil efectiva es la potencia de enfriamiento, y está el calorextraido, llegamos a

Eu,e

Eu,p=

max −= gRΩ ,

por lo tanto,Eu,e = gRΩEu,p.

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Referencias

[1] F. Angulo Brown, An Ecological optimization criterion for finite-time heat engines,J. Appl. Phys., 69, 7465, 1991.

[2] L.A.Arias- Hernández and F. Angulo-Brown, A general property of endoreversiblethermal engines, J.Appl. Phys., 81, 2973, 1997.

[3] A.Calvo-Hernández, A, Medina, J. M. M. Roco, J. A White and S. Velasco, Unifiedoptimization criterion for energy converters. Phys. Rev. E 63, 037102-1, 2001.

[4] M. Santillán, L.A. Arias-Hernández and F. Angulo-Brown, Some optimization criteriafor biological systems in linear irreversible thermodynamics, II Nuov. Cim. D: 19; 99;1997.

[5] F. Angulo-Brown, L. A. Arias-Hernández and M. Santillán. On some connections be-tween firts order irreversible thermodynamics and finite-time thermodynamics, Re-vista Mexicana de Física, Vol 48, No. 51, pag 182-192, 2002.

[6] M. A. Barranco-Jiménez and F. Angulo-Brown, A simple model on the influence ofthe greenhouse effect on the efficiency of solar- to-wind energy conversion, II Nuov.Cim. C: 26; 535; 2003

[7] M, Tribus, Thermostatics and termodynamics, De Van Nostrand, Princeton, 1961.

[8] Jímenez de Cisneros B, Arias-Hernández L. A., Calvo Hernández A., Linear irre-versible thermodynamics and coeficient of performance. Phyical Review E (Accepted)2006.

[9] Sánchez-Salas N. Optimización de máquinas térmicas, Tesis Doctoral, Universidadde Salamanca, España, 2003.

[10] F.Angulo Brown and Arias-Hernández L.A., Comment on ‘A general property ofendoreversible thermal engines, [J.Appl. Phys. 89,1518, 2001], J. Appl. Phys., 89,1520, 2001.

[11] L. A. Arias -Hernández, G. Ares de Parga, and F. Angulo-Brown,On Some Nonrn-doreversible Engine Models with Nolinear Heat Transfer Laws, Open Sys. & Infor-mation Dyn, 10, 351-375, 2003.

[12] Arias-Hernández L.A. and F.Angulo Brown, Memorias del XVI Congreso Nacionalde Termodinámica , 228, 2003.

[13] Arias-Hernández L.A. and F.Angulo Brown, Thermodynamic optimization of endore-versible engines, Rev. Mex. Fís., 40, 866, 1994.

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