2

.

Competencia: aplicación y definición de la elipse como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.

Ejercicios resueltos:

1.) Encuentra la ecuación de la elipse con focos F(0, 3) y F’(0, –3), y cada uno de

sus lados rectos igual a 9.

Como los focos tienen la misma abscisa, el eje focal es el eje y. El centro

se encuentra en el punto medio entre ellos: C(0, 0).

La distancia c es: c 0 3 3

b2 a2 c2 ,

b 2 a 2 9

El lado recto es: LR 2b

9a

2 2

Sustituyendo: 2a 2 9 9a

2a 2 9a 18 0

9 a

92 42 1822

a 9 81

1444

9 15

4

a 24

61 4

a 6

32 4 2

El valor negativo de a no se considera puesto que a es una longitud. Por tanto a = 6.

b 2 a 2 9

b 2 36 9 27

La ecuación de la elipse es

x

y 1

27 36

2.) Los focos de una elipse son los puntos F(3, 8) y F’(3, 2) y la longitud de su

eje menor es 8. Encuentra la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus vértices

y su excentricidad.

El eje focal es paralelo al eje y.

El centro tiene la misma abscisa que los focos: h = 3.

La distancia entre los focos es: c 8 2

3

2

2

k = 2 + c = 2 + 3 = 5 → C(3, 5)

2b = 8

b = 4

a 2 b 2 c 2

a 2 16 9 25

Ecuación de la elipse:

x 32

16 y 52

125

Vértices: V(h, k + a) = (3, 5 + 5) = (3, 10); V’(h, k – a) = (3, 5 – 5) = (3, 0)

Excentricidad: e c

= 3

a 5

3.) Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto

(4, 0) es igual a la mitad de su distancia a la recta x – 16 = 0 e interpreta

el resultado.

Distancia de un punto (x, y) al punto (4, 0): d1 x 4 y 02

Distancia del mismo punto (x, y) a la recta x – 16 = 0:

d2 x 16

d 1

d1 2 2

12

x 42 y2 =

1 x 162

x 42 y2

1 x

162

4

x 2 8x 16 y 2 1 x 2 32x 256

1 x2 8x

644 4

2 2

2

2 2

3 x2 y2 48

4

3x2

4 48y2

1

48

x

y 1

64 48

El lugar geométrico descrito es una elipse horizontal con centro en el origen, eje

mayor igual a 2(8) = 16 y eje menor igual a 2

48 .

4.) Un arco con forma de semielipse tiene una altura máxima de 45m y un claro de

150m. Encuentra la longitud de dos soportes verticales situados de manera

que dividan en claro en tres espacios iguales.

Si el eje x es la base del arco (el eje focal de la elipse) y el origen es su punto medio,

la ecuación es del tipo x y 2

a 2 b 2 1 , con el semieje mayor, a = 75 y el

semieje

menor, b = 45. Para que el claro se divida en tres partes iguales, la distancia de

los soportes a cada vértice y entre ellos debe ser de 50m.

La ecuación es:

x

y 1

5625 2025

2

2

2 2

Para determinar la altura de los soportes, se hace x = 25 en la ecuación y se

despeja el valor de y:

252y2

15625 2025

625

y 1

5625 2025

1

y 1

9 20252 8y

2025 9

y 2 16200

18009

y 30 2

Puesto que y es una longitud (la altura de los postes), se toma sólo la raíz positiva.

Objetivo 2. Recordarás y aplicarás la definición de la hipérbola como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica.

Ejercicios resueltos:

1.) Encuentra los elementos de la hipérbola

y

x 1

9 16

a 2 9 ; b 2 16

→ a = 3; b = 4

c 2 a 2 b 2

c 2 9 16 25

c 5 (la raíz negativa se descarta)

Centro C(0, 0)

Eje focal El eje y

Vértices V(0, 3), V’(0, –3)

Focos F(0, 5), F’(0, –5)

Distancia focal 10

2

2

2 2

Longitud del eje transverso 6

Longitud del eje conjugado 8

Longitud de cada lado recto 2b 2 32=a 3

Excentricidade

c =

5a 3

Asíntotasy

3 x ; y

3 x

4 4

2.) Encuentra la ecuación de la hipérbola horizontal que tiene su centro en (0, 0), su

lado recto mide 6 unidades y su excentricidad es 7 2

LR 2b

6a

→ b 2 3a

e c

aa 2 b 2 7

a 2a 2 b 2 7→

a 2 44a 2 3a

7a 2

7a 2 4a 2 12a 0

3a 12 0

a 12

4 ;3

a 2 16

b 2 3(4) 12

Hipérbola horizontal: x y 2

1a 2 b 2

La ecuación que se pide es:

x

y 1

16 12

2

2

2

3.) Determina la ecuación de la hipérbola con C(0, 0), eje focal sobre el eje y, y que

pasa por los puntos (4, 6) y (1, –3)

Hipérbola vertical: y x 2

1a 2 b 2

Se sustituyen las coordenadas de los puntos por los que pasa:

(6) 2

(4) 1 →

36 16 1

a 2 b 2 a 2 b 2

36b 2 16a 2 a 2

b 2

y:

(3) 2

(1) 1 →

9 1 1

a 2 b 2 a 2 b 2

9b 2 a 2 a 2 b 2

Se despeja a2 en la segunda ecuación:

a 2 b 2 a 2 9b 2

a 2 b 2 1 9b 2

9b 2

y se sustituye en la primera:

a 2

b 2 1

2 2 36b 2 16

9b 9b b 2

b 2 1 b 2 1

2 2

39b 2 b 2 1 144b 2

b 2 1

9b 4

b 2 1

36b 4 36b 2 144b 2 9b 4

27b 4 108b 2 0

Se resuelve para b y se sustituye para calcular a:

27b 2 108

b 2 108

427

a 2 9(4)

36

La ecuación de la hipérbola es:

4 1 5

y x 136 45

4.) Los vértices de una hipérbola son los puntos (–3, 2) y (–3, –2) y la longitud de

su eje conjugado es 6. Encuentra la ecuación de la hipérbola, las coordenadas de

sus

focos y su excentricidad.

V(–3, 2) y V’(–3, –2) → la hipérbola es vertical:y k 2

a 2x h2

1

b 2

Centro de la hipérbola: h = –3,2 2

k 2

4

22

→ C(–3, 0)

Semieje transverso: a = 0 2 2

Eje conjugado 2b = 6 → semieje conjugado: b = 3

Ecuación de la hipérbola:y 02

4x 32

19

c a 2 b 2 = 4 9 13

Focos: 3, 13 , 3, 13

Excentricidad: e 132

Objetivo 3. Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una elipse o

de una hipérbola y las características de los coeficientes de una ecuación

de

segundo grado que representa a una elipse o a una hipérbola.

Ejercicios resueltos:

1.) Comprueba que el lugar geométrico de la ecuación

2x 2 4 y 2 3x 12 y 6 0 es

una elipse y encuentra las coordenadas del centro, de los vértices y focos.

A = 2, C = 4, 2 ≠ 4, ambos son positivos.

D = 3, E = –12, F = 6;

CD 2 AE 2 4 ACF = 432 2 122 4246= 36 + 288 – 192 = 132 > 0

la ecuación sí representa una elipse. Por los valores de A y de C, tiene su eje

focal paralelo al eje x.

A b 2

; Por lo tanto:C a 2

;D 2b 2 h ;

E 2a 2 k ;

F b 2 h 2 a 2 k 2 a 2 b 2

a2 = 4; a = 2; b2 = 2; b = 2 ;

c 2 a 2 b 2

h

→

D2b 2

c 2 4 2 2

= 34

k E

= 12

32a 2

C

8 2

3 3 , ;4 2

3 3 5 3 11 3 V 2, = , , V’ , ; 4 2 4 2 4 2

3 3 3 3 F 2 , , F’ 2, 4 2 2 2

2.) Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que el producto de

las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos (–2, 1) y (4, 5) es igual

a 3

Pendiente de las rectas que pasan por los puntos (x, y) y (–2, 1):

y 1m1 = x 2Pendiente de las rectas que pasan por los puntos (x, y) y (4, 5):

y 5m2 = x 4

y 1 y 5 m1m2 = 3

x 2 x 4

y 2 5 y y 5 3

x 2 2x 4x 8y 2 6 y 5 3x 2 2x 83x 2 y 2 6x 6 y 29 0

El lugar geométrico es una hipérbola.

m m 6

2

2 2

3.) Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tal que el producto de

las pendientes de las rectas que unen el punto P con los puntos fijos (3, –2) y (–2,

1) es

igual a 6 .

Pendiente de la recta que une a P con (3, –2):

Pendiente de la recta que une a P con (–2, 1):

m1

m2

y 2x 3

y 1x 2

y 2 y 1 1 2

x 3

x 2

y y 2 6

Es una elipse.

x 2 x 6y 2 y 2 6x 2 x 66x 2 y 2 6x y 38 0

4.) Encuentra todos los elemento de la elipse

2x 2 9 y 2 18 0

A = 2, C = 9, D = 0, E = 0, F = -18; 2 ≠ 9, ambos son positivos y C > A. La

ecuación no tiene términos en x ni en y por lo que el centro está en el origen.

2x 2 9 y 2 18 0

2x 2 9 y 2 18

x

y 1

9 2

c 2 9 2 7

C(0, 0), V(3, 0), V’(-3, 0); F( 7 , 0), F’(- 7 , 0);

LR 4

;3 e

7 ; 2a = 6; 2b = 2 2

3