Ajuste de curvas

Unidad IV

Regresión por mínimos cuadradosInterpolación

Aproximaciones de Fourier

RMC: Regresión lineal

 

x1,

y1 , x

2,y

2 , x

3,y

3 , x

4,y

4 , ⋯ , x

n, y

n

RMC: Regresión lineal

  

Wilber Calderón

x1, y1 , x2, y2 , x3, y3 , x4, y4 , ⋯ , xn , yn

y=a0a1 xe e=y−a0−a1x

Sr=n

∑ ei2

i=1

=

n

∑ [ yi ,medida−yi , modelo ]2

i=1

Sr=

n

∑ [ yi−a0−a1 x i ]2

i=1

RMC: Regresión lineal

  

Wilber Calderón

∂Sr

∂a0

=−2∑ [ yi−a

o−a

1x

i ]=0

∂Sr

∂a1

=−2∑ [ [ yi−a

o−a

1x

i ] xi ]=0

0=∑ yi−∑ a

0−∑ a

1x

i

0=∑ yix

i−∑ a

ox

i−∑ a

1x

i2

RMC: Regresión lineal

  

Wilber Calderón

n a0a1∑ xi=∑ yi

a0∑ xia1∑ xi2=∑ x i yi

a1=n∑ x i yi−∑ x i∑ yi

n∑ x i2−[∑ x i ]

2

a0=y−a1 x

Ejemplo

Utilizando mínimos cuadrados, encontrar la ecuación de la línea recta que represente con el mínimo error posible los siguiente datos.

x = [ 1.2 2.1 2.5 3.65 4.5 5.1 5.7 6.4 7.8 9.2];y = [ -1.5 0 0.8 3.5 5.1 6.0 7.2 8.9 12 15.1];

Wilber Calderón6

Ejemplo

. Wilber Calderón7

x yi x*x y*y x*y

1.2 ­1.50 1.44 2.250 ­1.800

2.1 0.0 4.41 0.0 .0

2.5 0.80 6.25 0.640 2.000

3.65 3.50 13.32 12.250 12.775

4.5 5.10 20.25 26.010 22.950

5.1 6.00 26.01 36.000 30.600

5.7 7.20 32.49 51.840 41.040

6.4 9.10 40.96 82.810 58.240

7.8 11.50 60.84 132.250 89.700

9.2 15.10 84.64 228.010 138.920

suma suma suma suma suma

48.150 57.10 290.613 580.210 397.045

RMC: Regresión lineal

  

Wilber Calderón

a1 =n∑ xi yi−∑ x i∑ yi

n∑ xi2−[∑ xi ]

2 = 2.0777

a0 = y−a1 x = −4.2943

Coeficiente de correlación

  

Wilber Calderón

r =n∑ x i y i−∑ x i∑ yi

√n∑ x i2−[∑ x i ]

2√n∑ yi2−[∑ yi ]

2

r=0.999093

Esbozo y comparación de resultados

  

Relaciones no lineales

  

Wilber Calderón

y=a1 eb1 x

Relaciones no lineales

  

Wilber Calderón

y=a1e

b1 x

Exponencial

  

Wilber Calderón

y=a1e

b1 x ln y=ln a

1b

1x

b1 =n∑ x

iln y

i−∑ x

i∑ ln yi

n∑ xi2−[∑ x

i ]2

ln a1

= ln y−b1x

Relaciones no lineales

  

Wilber Calderón

y=a2 xb2

Relaciones no lineales

  

Wilber Calderón15

y=a2

xb2

Potencial

  

Wilber Calderón

y=a2 xb2 log y=log a2b2 log x

b2 =n∑ log xi log yi−∑ log xi∑ log yi

n∑ log x i2−[∑ log xi ]

2

log a2 = log y − b2 log x

Relaciones no lineales

  

Wilber Calderón

y=a3

x

b3x

Relaciones no lineales

  

Wilber Calderón

y=a3

x

b3x

Saturación

  

Wilber Calderón

y=a3x

b3x

1y=

b3

a3

1x

1a3

b3

a3

=

n∑1x i

1yi

−∑1x i∑

1yi

n∑ [ 1x i ]

2

−[∑ 1x i ]

2 ,1a3

= [ 1y ] −

b3

a3[ 1

x ]

;

Hacer el mejor ajuste para los siguientes datos.

Wilber Calderón

x y

1 1.990

50 51.990

99 69.830

148 72.350

197 81.490

246 84.930

294 87.390

346 89.850

383 90.690

452 91.840

501 92.790

600 93.150

;

Hacer el mejor ajuste para los siguientes datos.

f( x ) =  45.875143 +0.107865 xr =  0.76862

f( x ) = 23.82 * exp ( 0.00332 x )r = 0.57304762

f( x ) = 2.9208 x ^  0.598481r = 0.96194844

f( x ) = 102.341617 x / (50.427209 + x )r = 0.99999799

;

Hacer el mejor ajuste para los siguientes datos.

;

Saturación

x y 1/x 1/yi 1/x*1/x 1/y*1/y 1/x*1/y

1 1.99 100.00E­2 502.51E­3 100.00E­2 252.52E­3 502.51E­3

50 51.99 200.00E­4 192.35E­4 400.00E­6 369.97E­6 384.69E­6

99 69.83 101.00E­4 143.21E­4 102.03E­6 205.08E­6 144.65E­6

148 72.35 675.70E­5 138.22E­4 456.54E­7 191.04E­6 933.90E­7

197 81.49 507.60E­5 122.71E­4 257.67E­7 150.59E­6 622.92E­7

246 84.93 406.50E­5 117.74E­4 165.25E­7 138.64E­6 478.63E­7

294 87.39 340.10E­5 114.43E­4 115.69E­7 130.94E­6 389.22E­7

346 89.85 289.00E­5 111.30E­4 835.31E­8 123.87E­6 321.67E­7

383 90.69 261.10E­5 110.27E­4 681.71E­8 121.59E­6 287.90E­7

452 91.84 221.20E­5 108.89E­4 489.47E­8 118.56E­6 240.90E­7

501 92.79 199.60E­5 107.77E­4 398.41E­8 116.14E­6 215.11E­7

600 93.15 166.70E­5 107.35E­4 277.78E­8 115.25E­6 178.92E­7

suma suma suma suma suma

10.608E­1 63.994E­2 10.006E­1 25.430E­2 50.341E­2

Saturación

  

Wilber Calderón

b3

a3

=

n∑1x i

1yi

−∑1x i∑

1yi

n∑ [ 1x i ]

2

−[∑ 1xi ]

2 = 0.49273

1a3

= [ 1y ]− b3

a3[ 1

x ] = 0.0097712

a3 = 102.34, b3 = 50.427

Saturación

  

Wilber Calderón

r =

n∑1

xi

1

yi

−∑1

xi

∑1

yi

n∑ [ 1

xi]2

−[∑ 1

xi]2

n∑ [ 1

yi]2

−[∑ 1

yi]2

r=0.99999799

Saturación

  

Wilber Calderón

y=102.34 x

50.427x

RMC: Polinomial

  

Wilber Calderón

RMC: Polinomial

  

Wilber Calderón

x1, y1 , x2, y2 , x3, y3 , x4, y4 , ⋯ , xn , yn

y=a0a1 xa2 x2e e=y−a0−a1 x−a2 x2

Sr=n

∑ ei2

i=1

=

n

∑ [ yi ,medida−yi ,modelo ]2

i=1

Sr=

n

∑ [ yi−a0−a1 x i−a2 x i2 ]

2

i=1

  

Wilber Calderón

∂ Sr

∂ a0

=−2∑ [ yi−a0−a1 x i−a2 x i2 ]=0

∂ Sr

∂ a1

=−2∑ [ [ yi−a0−a1 x i−a2 x i2 ] x i ]=0

∂ Sr

∂ a2

=−2∑ [ [ y i−a0−a1 x i−a2 x i2 ] x i

2 ]=0

0=∑ yi−∑ a0−∑ a1 xi−∑ a2 xi2

0=∑ yi xi−∑ ao xi−∑ a1 xi2−∑ a2 x i

3

0=∑ yi xi2−∑ ao xi

2−∑ a1 x i3−∑ a2 x i

4

RMC: Polinomial

  

Wilber Calderón

∑ a0∑ a1 xi∑ a2 xi2=∑ yi

∑ ao xi∑ a1 xi2∑ a2 x i

3=∑ yi x i

∑ ao xi2∑ a1 x i

3∑ a2 x i4=∑ yi x i

2

RMC: Polinomial

[n ∑ x i ∑ xi

2

∑ x i ∑ x i2 ∑ xi

3

∑ x i2 ∑ x i

3 ∑ xi4 ][

a0

a1

a2]=[

∑ yi

∑ yi x i

∑ yi x i2 ]

  Primer acercamiento.

Código final.

Wilber Calderón

Código: Polinomial

:­)

Fin de sección

Wilber Calderón