Análisis Funcional Tema 3: Operadores y funcionales...

Analisis Funcional

Tema 3: Operadores y funcionaleslineales continuos

3-4-5-10-11-17 de octubre

1 Operadores

2 Funcionales

3 Duales de algunos espacios

Operadores Funcionales Duales de algunos espacios

Operadores lineales continuos

Operadores lineales

Las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales

tambien se conocen como operadores lineales

Caracterizacion de la continuidad

Si X e Y son espacios normados, un operador lineal T : X → Y es continuo

si, y solo si: ∃ M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

Primera observacion

Si X , Y son espacios normados y T : X → Y lineal, son equivalentes:

T es continuo en algun punto de X

T es continuo en 0

T es continuo (en todo punto de X)

T es uniformemente continuo

T es una funcion lipschitziana

Operadores lineales

Primera observacion

T es continuo en 0

Operadores lineales

Primera observacion

T es continuo en 0

Operadores lineales

Primera observacion

T es continuo en 0

Operadores lineales

Caracterizacion de la continuidadSi X e Y son espacios normados, un operador lineal T : X → Y es continuo

Primera observacion

T es continuo en 0

Operadores lineales

Primera observacion

T es continuo en 0

Operadores lineales

Primera observacion

T es continuo en 0

Operadores lineales

Primera observacionSi X , Y son espacios normados y T : X → Y lineal, son equivalentes:

T es continuo en 0

Operadores lineales

T es continuo en 0

Operadores lineales

T es continuo en 0

Operadores lineales

T es continuo en 0

Operadores lineales

T es continuo en 0

Operadores lineales

T es continuo en 0

Continuidad y acotacion de operadores lineales

Acotacion de funciones entre espacios normados

Si X , Y son espacios normados, una funcion f : X → Y esta acotada

en un conjunto A⊂ X , cuando f (A) es un subconjunto acotado de Y

Acotacion de operadores lineales

T es continuo

T esta acotado en cada subconjunto acotado de X

T esta acotado en la bola unidad B = x ∈ X : ‖x‖6 1

A los operadores lineales continuos entre espacios normados

se les llama tambien operadores lineales acotados

T es continuo

Acotacion de operadores linealesSi X , Y son espacios normados y T : X → Y lineal, son equivalentes:

T es continuo

Espacio vectorial de los operadores lineales y continuos

El espacio vectorial de los operadores lineales continuos

Si X es un conjunto no vacıo e Y un espacio vectorial, el conjunto Y X ,

de todas las aplicaciones de X en Y es un espacio vectorial,

con las operaciones puntuales: para f ,g ∈ Y X y λ ∈K , se tiene(f +g

)(x) = f (x)+g(x) y

(λ f)(x) = λ f (x) ∀x ∈ X

Si X e Y son espacios vectoriales, los operadores lineales de X en Y

forman un subespacio de Y X

Si X es un espacio topologico e Y un espacio normado

las funciones continuas de X en Y forman un subespacio de Y X

Si X e Y son espacios normados, denotamos L(X ,Y ) al subespacio de Y X

formado por todos los operadores lineales continuos de X en Y

Las operaciones son las puntuales: para T,S ∈ L(X ,Y ) y λ ∈K se tiene(T +S

)(x) = T (x)+S(x) y

(λT)(x) = λT (x) ∀x ∈ X

)(x) = f (x)+g(x) y

(λ f)(x) = λ f (x) ∀x ∈ X

)(x) = T (x)+S(x) y

(λT)(x) = λT (x) ∀x ∈ X

)(x) = f (x)+g(x) y

(λ f)(x) = λ f (x) ∀x ∈ X

)(x) = T (x)+S(x) y

(λT)(x) = λT (x) ∀x ∈ X

)(x) = f (x)+g(x) y

(λ f)(x) = λ f (x) ∀x ∈ X

)(x) = T (x)+S(x) y

(λT)(x) = λT (x) ∀x ∈ X

)(x) = f (x)+g(x) y

(λ f)(x) = λ f (x) ∀x ∈ X

)(x) = T (x)+S(x) y

(λT)(x) = λT (x) ∀x ∈ X

)(x) = f (x)+g(x) y

(λ f)(x) = λ f (x) ∀x ∈ X

)(x) = T (x)+S(x) y

(λT)(x) = λT (x) ∀x ∈ X

)(x) = f (x)+g(x) y

(λ f)(x) = λ f (x) ∀x ∈ X

)(x) = T (x)+S(x) y

(λT)(x) = λT (x) ∀x ∈ X

)(x) = f (x)+g(x) y

(λ f)(x) = λ f (x) ∀x ∈ X

)(x) = T (x)+S(x) y

(λT)(x) = λT (x) ∀x ∈ X

Norma de un operador

X , Y espacios normados, T ∈ L(X ,Y ) . Para M ∈ R+0 se tiene

‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X ⇐⇒ ‖T (u)−T (v)‖ 6 M ‖u− v‖ ∀u,v ∈ X

Se define la norma del operador T como la constante de Lipschitz de T :

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

Otras expresiones de la norma de un operador

Si X , Y son espacios normados y T ∈ L(X ,Y ) , se tiene:

‖T‖ = sup‖T (x)‖‖x‖

: x ∈ X \0

= sup‖T (z)‖ : z ∈ X , ‖z‖= 1

‖T (x)‖ : x ∈ X , ‖x‖6 1

‖T (u)‖ : u ∈ X , ‖u‖< 1

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

‖T‖ = sup‖T (x)‖‖x‖

: x ∈ X \0

= sup‖T (z)‖ : z ∈ X , ‖z‖= 1

‖T (x)‖ : x ∈ X , ‖x‖6 1

‖T (u)‖ : u ∈ X , ‖u‖< 1

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

‖T‖ = sup‖T (x)‖‖x‖

: x ∈ X \0

= sup‖T (z)‖ : z ∈ X , ‖z‖= 1

‖T (x)‖ : x ∈ X , ‖x‖6 1

‖T (u)‖ : u ∈ X , ‖u‖< 1

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

‖T‖ = sup‖T (x)‖‖x‖

: x ∈ X \0

= sup‖T (z)‖ : z ∈ X , ‖z‖= 1

‖T (x)‖ : x ∈ X , ‖x‖6 1

‖T (u)‖ : u ∈ X , ‖u‖< 1

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

‖T‖ = sup‖T (x)‖‖x‖

: x ∈ X \0

= sup‖T (z)‖ : z ∈ X , ‖z‖= 1

‖T (x)‖ : x ∈ X , ‖x‖6 1

‖T (u)‖ : u ∈ X , ‖u‖< 1

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

‖T‖ = sup‖T (x)‖‖x‖

: x ∈ X \0

= sup‖T (z)‖ : z ∈ X , ‖z‖= 1

‖T (x)‖ : x ∈ X , ‖x‖6 1

‖T (u)‖ : u ∈ X , ‖u‖< 1

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

‖T‖ = sup‖T (x)‖‖x‖

: x ∈ X \0

= sup‖T (z)‖ : z ∈ X , ‖z‖= 1

‖T (x)‖ : x ∈ X , ‖x‖6 1

‖T (u)‖ : u ∈ X , ‖u‖< 1

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

‖T‖ = sup‖T (x)‖‖x‖

: x ∈ X \0

= sup‖T (z)‖ : z ∈ X , ‖z‖= 1

= sup‖T (x)‖ : x ∈ X , ‖x‖6 1

‖T (u)‖ : u ∈ X , ‖u‖< 1

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

‖T‖ = sup‖T (x)‖‖x‖

: x ∈ X \0

= sup‖T (z)‖ : z ∈ X , ‖z‖= 1

‖T (x)‖ : x ∈ X , ‖x‖6 1

= sup‖T (u)‖ : u ∈ X , ‖u‖< 1

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

‖T‖ = sup‖T (x)‖‖x‖

: x ∈ X \0

= sup‖T (z)‖ : z ∈ X , ‖z‖= 1

‖T (x)‖ : x ∈ X , ‖x‖6 1

‖T (u)‖ : u ∈ X , ‖u‖< 1

Espacios de operadores

Norma de operadores

Si X e Y son espacios normados, definiendo

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

∀T ∈ L(X ,Y )

se obtiene una norma en L(X ,Y ) , llamada norma de operadores

y con ella el espacio normado L(X ,Y ) es un espacio de operadores

Convergencia en un espacio de operadores

Si X , Y son espacios normados, Tn ∈ L(X ,Y ) ∀n ∈ N y T ∈ L(X ,Y ) ,

las siguientes afirmaciones son equivalentes:‖Tn−T‖

Tn converge a T uniformemente en cada subconjunto acotado de X

Tn converge a T uniformemente en la bola unidad de X

Complitud de los espacios de operadores

Si X es un espacio normado e Y un espacio de Banach, entonces

el espacio de operadores L(X ,Y ) es tambien un espacio de Banach

Norma de operadores

Si X e Y son espacios normados, definiendo

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

∀T ∈ L(X ,Y )

Norma de operadoresSi X e Y son espacios normados, definiendo

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

∀T ∈ L(X ,Y )

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

∀T ∈ L(X ,Y )

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

∀T ∈ L(X ,Y )

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

∀T ∈ L(X ,Y )

Convergencia en un espacio de operadoresSi X , Y son espacios normados, Tn ∈ L(X ,Y ) ∀n ∈ N y T ∈ L(X ,Y ) ,

las siguientes afirmaciones son equivalentes:

‖Tn−T‖

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

∀T ∈ L(X ,Y )

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

∀T ∈ L(X ,Y )

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

∀T ∈ L(X ,Y )

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

∀T ∈ L(X ,Y )

‖T‖ = mın

M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

∀T ∈ L(X ,Y )

Complitud de los espacios de operadoresSi X es un espacio normado e Y un espacio de Banach, entonces

Extension de operadores lineales continuos

Teorema de extension

Sea Y un espacio de Banach, M un subespacio de un espacio normado X ,

y consideremos en M y M la norma inducida por X .

Para cada T ∈ L(M,Y ) existe un unico T ∈ L(M,Y )

que extiende a T , es decir, T (u) = T (u) para todo u ∈M .

Ademas se tiene:∥∥ T∥∥ =

∥∥T∥∥

Identificacion de espacios de operadores

Si M es un subespacio denso en un espacio normado X ,

con la norma inducida, e Y es un espacio de Banach, entonces

la aplicacion S 7→ S∣∣M es

un isomorfismo isometrico de L(X ,Y ) sobre L(M,Y )

Teorema de extension

Sea Y un espacio de Banach, M un subespacio de un espacio normado X ,

∥∥T∥∥

Teorema de extensionSea Y un espacio de Banach, M un subespacio de un espacio normado X ,

∥∥T∥∥

Identificacion de espacios de operadoresSi M es un subespacio denso en un espacio normado X ,

∥∥T∥∥

Identificacion de espacios de operadoresSi M es un subespacio denso en un espacio normado X ,

Funcionales lineales continuos

Funcionales lineales

Un funcional lineal en un espacio vectorial X es

una aplicacion lineal de X en K

Caracterizacion de la continuidad (repaso)

Un funcional lineal f en un espacio normado X es continuo

si, y solo si: ∃ M ∈ R+0 : | f (x)| 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

continuo en algun punto ⇔ continuo en cero ⇔ continuo ⇔⇔ uniformemente continuo ⇔ lipschitziano

continuo ⇔ acotado en cada conjunto acotado ⇔⇔ acotado en la bola unidad

Norma de un funcional

Norma de un funcional (repaso)

Si f es un funcional lineal continuo en un espacio normado X

la norma del funcional f viene dada por:

‖ f‖ = mın

M ∈ R+0 : | f (x)| 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

| f (x)|‖x‖

: x ∈ X \0

= sup| f (z)| : z ∈ X , ‖z‖= 1

| f (x)| : x ∈ X , ‖x‖6 1

| f (u)| : u ∈ X , ‖u‖< 1

‖ f‖ = mın

M ∈ R+0 : | f (x)| 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

| f (x)|‖x‖

: x ∈ X \0

= sup| f (z)| : z ∈ X , ‖z‖= 1

| f (x)| : x ∈ X , ‖x‖6 1

| f (u)| : u ∈ X , ‖u‖< 1

‖ f‖ = mın

M ∈ R+0 : | f (x)| 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

| f (x)|‖x‖

: x ∈ X \0

= sup| f (z)| : z ∈ X , ‖z‖= 1

| f (x)| : x ∈ X , ‖x‖6 1

| f (u)| : u ∈ X , ‖u‖< 1

‖ f‖ = mın

M ∈ R+0 : | f (x)| 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

= sup| f (x)|‖x‖

: x ∈ X \0

= sup| f (z)| : z ∈ X , ‖z‖= 1

| f (x)| : x ∈ X , ‖x‖6 1

| f (u)| : u ∈ X , ‖u‖< 1

‖ f‖ = mın

M ∈ R+0 : | f (x)| 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

| f (x)|‖x‖

: x ∈ X \0

= sup| f (z)| : z ∈ X , ‖z‖= 1

| f (x)| : x ∈ X , ‖x‖6 1

| f (u)| : u ∈ X , ‖u‖< 1

‖ f‖ = mın

M ∈ R+0 : | f (x)| 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

| f (x)|‖x‖

: x ∈ X \0

= sup| f (z)| : z ∈ X , ‖z‖= 1

= sup| f (x)| : x ∈ X , ‖x‖6 1

| f (u)| : u ∈ X , ‖u‖< 1

‖ f‖ = mın

M ∈ R+0 : | f (x)| 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

| f (x)|‖x‖

: x ∈ X \0

= sup| f (z)| : z ∈ X , ‖z‖= 1

| f (x)| : x ∈ X , ‖x‖6 1

= sup| f (u)| : u ∈ X , ‖u‖< 1

‖ f‖ = mın

M ∈ R+0 : | f (x)| 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

| f (x)|‖x‖

: x ∈ X \0

= sup| f (z)| : z ∈ X , ‖z‖= 1

| f (x)| : x ∈ X , ‖x‖6 1

| f (u)| : u ∈ X , ‖u‖< 1

El espacio dual de un espacio normado

Dual de un espacio normado

El espacio vectorial de todos los funcionales lineales continuos

en un espacio normado X , se denota por X∗ , (en vez de L(X ,K))

Definiendo: ‖ f‖ = mın

M ∈ R+0 : | f (x)| 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

∀ f ∈ X∗

se obtiene una norma completa en X∗

El espacio de Banach X∗ es el espacio dual del espacio normado X

y la norma de X∗ es la norma dual de la norma de X

Identificacion de algunos espacios duales (repaso)

Si M es un subespacio denso en un espacio normado X

con la norma inducida, entonces la aplicacion f 7→ f∣∣M

es un isomorfismo isometrico de X∗ sobre M∗

M ∈ R+0 : | f (x)| 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

∀ f ∈ X∗

M ∈ R+0 : | f (x)| 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

∀ f ∈ X∗

M ∈ R+0 : | f (x)| 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

∀ f ∈ X∗

M ∈ R+0 : | f (x)| 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

∀ f ∈ X∗

M ∈ R+0 : | f (x)| 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

∀ f ∈ X∗

M ∈ R+0 : | f (x)| 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

∀ f ∈ X∗

M ∈ R+0 : | f (x)| 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X

∀ f ∈ X∗

El nucleo de un funcional lineal continuo

Funcionales lineales con el mismo nucleo

Si f y g son funcionales lineales en un espacio vectorial, con ker f = ker g ,

entonces existe λ ∈K tal que f = λg

Otra caracterizacion de la continuidad

Un funcional lineal en un espacio normado es continuo

si, y solo si, su nucleo es cerrado

Funcionales lineales con el mismo nucleo

Si f y g son funcionales lineales en un espacio vectorial, con ker f = ker g ,

Funcionales lineales con el mismo nucleoSi f y g son funcionales lineales en un espacio vectorial, con ker f = ker g ,

Otra caracterizacion de la continuidadUn funcional lineal en un espacio normado es continuo

Duales de espacios de dimension finita

Extension del exponente conjugado

Definimos p∗ = ∞ para p = 1 y p∗ = 1 para p = ∞

Para 1 6 p 6 ∞ se tiene entonces 1 6 p∗ 6 ∞ y(

p∗)∗ = p

Para N ∈ N y cualesquiera a1,a2, . . . ,aN , b1,b2, . . . ,bN ∈ R+0 , se tiene:

∑k=1

ak bk 6 maxa1,a2, . . . ,aNN

∑k=1

que puede entenderse como desigualdad de Holder para p = 1 o p = ∞

Por tanto: 1 6 p 6 ∞ =⇒N

∑k=1

|x(k)| |y(k)| 6 ‖x‖p ‖y‖p∗ ∀x,y ∈KN

Duales de los espacios l Np con N ∈ N y 1 6 p 6 ∞

Los espacios de Banach l Np∗ y

(l Np)∗

son isometricamente isomorfos

De hecho, definiendo: y(x) =N

∑k=1

x(k)y(k) ∀x,y ∈KN ,

la aplicacion y 7→ y es un isomorfismo isometrico de l Np∗ sobre

(l Np)∗

p∗)∗ = p

∑k=1

|x(k)| |y(k)| 6 ‖x‖p ‖y‖p∗ ∀x,y ∈KN

(l Np)∗

∑k=1

(l Np)∗

p∗)∗ = p

∑k=1

|x(k)| |y(k)| 6 ‖x‖p ‖y‖p∗ ∀x,y ∈KN

(l Np)∗

∑k=1

(l Np)∗

p∗)∗ = p

∑k=1

|x(k)| |y(k)| 6 ‖x‖p ‖y‖p∗ ∀x,y ∈KN

(l Np)∗

∑k=1

(l Np)∗

p∗)∗ = p

∑k=1

|x(k)| |y(k)| 6 ‖x‖p ‖y‖p∗ ∀x,y ∈KN

(l Np)∗

∑k=1

(l Np)∗

p∗)∗ = p

∑k=1

|x(k)| |y(k)| 6 ‖x‖p ‖y‖p∗ ∀x,y ∈KN

(l Np)∗

∑k=1

(l Np)∗

p∗)∗ = p

∑k=1

|x(k)| |y(k)| 6 ‖x‖p ‖y‖p∗ ∀x,y ∈KN

(l Np)∗

∑k=1

(l Np)∗

p∗)∗ = p

∑k=1

|x(k)| |y(k)| 6 ‖x‖p ‖y‖p∗ ∀x,y ∈KN

(l Np)∗

∑k=1

(l Np)∗

p∗)∗ = p

∑k=1

|x(k)| |y(k)| 6 ‖x‖p ‖y‖p∗ ∀x,y ∈KN

(l Np)∗

∑k=1

(l Np)∗

p∗)∗ = p

∑k=1

|x(k)| |y(k)| 6 ‖x‖p ‖y‖p∗ ∀x,y ∈KN

(l Np)∗

∑k=1

(l Np)∗

Duales de los espacios de sucesiones

Duales de los espacios lp

Para 1 6 p < ∞ , los espacios de Banach lp∗ y(

lp)∗

De hecho, definiendo: y(x) =∞

∑n=1

x(n)y(n) ∀x ∈ lp , ∀y ∈ lp∗

la aplicacion y 7→ y es un isomorfismo isometrico de lp∗ sobre l ∗p

Dual de c0

Los espacios de Banach l1 y(

)∗son isometricamente isomorfos

∑n=1

x(n)y(n) ∀x ∈ c0 , ∀y ∈ l1

la aplicacion y 7→ y es un isomorfismo isometrico de l1 sobre c∗0

lp)∗

∑n=1

x(n)y(n) ∀x ∈ lp , ∀y ∈ lp∗

Dual de c0

∑n=1

x(n)y(n) ∀x ∈ c0 , ∀y ∈ l1

lp)∗

∑n=1

x(n)y(n) ∀x ∈ lp , ∀y ∈ lp∗

Dual de c0

∑n=1

x(n)y(n) ∀x ∈ c0 , ∀y ∈ l1

lp)∗

∑n=1

x(n)y(n) ∀x ∈ lp , ∀y ∈ lp∗

Dual de c0

∑n=1

x(n)y(n) ∀x ∈ c0 , ∀y ∈ l1

lp)∗

∑n=1

x(n)y(n) ∀x ∈ lp , ∀y ∈ lp∗

Dual de c0

∑n=1

x(n)y(n) ∀x ∈ c0 , ∀y ∈ l1

lp)∗

∑n=1

x(n)y(n) ∀x ∈ lp , ∀y ∈ lp∗

Dual de c0

∑n=1

x(n)y(n) ∀x ∈ c0 , ∀y ∈ l1

lp)∗

∑n=1

x(n)y(n) ∀x ∈ lp , ∀y ∈ lp∗

Dual de c0

∑n=1

x(n)y(n) ∀x ∈ c0 , ∀y ∈ l1

Operadores, series y bases de Schauder

Operadores y series

X , Y espacios normados, T ∈ L(X ,Y ) , xn ∈ X ∀n ∈ NSi la serie ∑

n>1xn es convergente, entonces

la serie ∑n>1

T (xn) converge, con: T

∑n=1

T (xn)

Operadores y bases de Schauder

Sea un una base de Schauder de un espacio de Banach X

y para cada x ∈ X , sea x =∞

∑n=1

αn(x)un con αn(x) ∈K ∀n ∈ N

Si Y es un espacio normado y T ∈ L(X ,Y ) , se tiene:

T (x) =∞

∑n=1

αn(x)T (un) ∀x ∈ X

luego T queda determinado por la sucesion T (un)

Operadores y series

X , Y espacios normados, T ∈ L(X ,Y ) , xn ∈ X ∀n ∈ NSi la serie ∑

n>1xn es convergente, entonces

la serie ∑n>1

∑n=1

T (xn)

∑n=1

T (x) =∞

∑n=1

Operadores y seriesX , Y espacios normados, T ∈ L(X ,Y ) , xn ∈ X ∀n ∈ N

Si la serie ∑n>1

xn es convergente, entonces

la serie ∑n>1

∑n=1

T (xn)

∑n=1

T (x) =∞

∑n=1

Si la serie ∑n>1

la serie ∑n>1

∑n=1

T (xn)

∑n=1

T (x) =∞

∑n=1

Si la serie ∑n>1

la serie ∑n>1

∑n=1

T (xn)

∑n=1

T (x) =∞

∑n=1

Si la serie ∑n>1

la serie ∑n>1

∑n=1

T (xn)

Operadores y bases de SchauderSea un una base de Schauder de un espacio de Banach X

∑n=1

T (x) =∞

∑n=1

Si la serie ∑n>1

la serie ∑n>1

∑n=1

T (xn)

∑n=1

T (x) =∞

∑n=1

Si la serie ∑n>1

la serie ∑n>1

∑n=1

T (xn)

∑n=1

T (x) =∞

∑n=1

Si la serie ∑n>1

la serie ∑n>1

∑n=1

T (xn)

∑n=1

T (x) =∞

∑n=1

Duales de los espacios de Lebesgue

Duales de los espacios Lp(Ω)

Para N ∈ N , un abierto no vacıo Ω⊂ RN y 1 6 p < ∞ ,

los espacios de Banach Lp∗(Ω) y Lp(Ω)∗ son isometricamente isomorfos

Mas concretamente, definiendo:

g( f ) =∫

f (t)g(t)dt ∀ f ∈ Lp(Ω) , ∀g ∈ Lp∗(Ω) ,

la aplicacion g 7→ g es un isomorfismo isometrico de Lp∗(Ω) sobre Lp(Ω)∗

g( f ) =∫

f (t)g(t)dt ∀ f ∈ Lp(Ω) , ∀g ∈ Lp∗(Ω) ,

g( f ) =∫

f (t)g(t)dt ∀ f ∈ Lp(Ω) , ∀g ∈ Lp∗(Ω) ,

g( f ) =∫

f (t)g(t)dt ∀ f ∈ Lp(Ω) , ∀g ∈ Lp∗(Ω) ,

g( f ) =∫

f (t)g(t)dt ∀ f ∈ Lp(Ω) , ∀g ∈ Lp∗(Ω) ,

g( f ) =∫

f (t)g(t)dt ∀ f ∈ Lp(Ω) , ∀g ∈ Lp∗(Ω) ,

Funcionales en espacios de funciones continuas

Funcionales de Dirac

Ω espacio topologico de Hausdorff, localmente compacto, t ∈Ω

El funcional de Dirac en el punto t es la aplicacion δ t : C0(Ω)→K dada por

δ t( f ) = f (t) ∀ f ∈C0(Ω)

Se tiene δ t ∈C0(Ω)∗ , con ‖δ t‖ = 1 , para todo t ∈Ω

Salvo en casos muy especiales, se tiene Lin δt : t ∈Ω 6= C0(Ω)∗

Integrales

Para g ∈ L1[0,1] definimos g : C[0,1]→K por:

g( f ) =∫ 1

0f (t)g(t)dt ∀ f ∈C[0,1]

Se tiene g ∈C[0,1]∗ con∥∥ g∥∥ =

∥∥g∥∥

1 para toda g ∈ L1[0,1]

L1[0,1] es isometricamente isomorfo a un subespacio cerrado de C[0,1]∗

Funcionales de Dirac

Ω espacio topologico de Hausdorff, localmente compacto, t ∈Ω

δ t( f ) = f (t) ∀ f ∈C0(Ω)

Integrales

g( f ) =∫ 1

0f (t)g(t)dt ∀ f ∈C[0,1]

∥∥g∥∥

Funcionales de DiracΩ espacio topologico de Hausdorff, localmente compacto, t ∈Ω

δ t( f ) = f (t) ∀ f ∈C0(Ω)

Integrales

g( f ) =∫ 1

0f (t)g(t)dt ∀ f ∈C[0,1]

∥∥g∥∥

δ t( f ) = f (t) ∀ f ∈C0(Ω)

Integrales

g( f ) =∫ 1

0f (t)g(t)dt ∀ f ∈C[0,1]

∥∥g∥∥

δ t( f ) = f (t) ∀ f ∈C0(Ω)

Integrales

g( f ) =∫ 1

0f (t)g(t)dt ∀ f ∈C[0,1]

∥∥g∥∥

δ t( f ) = f (t) ∀ f ∈C0(Ω)

Integrales

g( f ) =∫ 1

0f (t)g(t)dt ∀ f ∈C[0,1]

∥∥g∥∥

δ t( f ) = f (t) ∀ f ∈C0(Ω)

Integrales

g( f ) =∫ 1

0f (t)g(t)dt ∀ f ∈C[0,1]

∥∥g∥∥

δ t( f ) = f (t) ∀ f ∈C0(Ω)

Integrales

g( f ) =∫ 1

0f (t)g(t)dt ∀ f ∈C[0,1]

∥∥g∥∥

δ t( f ) = f (t) ∀ f ∈C0(Ω)

IntegralesPara g ∈ L1[0,1] definimos g : C[0,1]→K por:

g( f ) =∫ 1

0f (t)g(t)dt ∀ f ∈C[0,1]

∥∥g∥∥

δ t( f ) = f (t) ∀ f ∈C0(Ω)

g( f ) =∫ 1

0f (t)g(t)dt ∀ f ∈C[0,1]

∥∥g∥∥

δ t( f ) = f (t) ∀ f ∈C0(Ω)

g( f ) =∫ 1

0f (t)g(t)dt ∀ f ∈C[0,1]

∥∥g∥∥

δ t( f ) = f (t) ∀ f ∈C0(Ω)

g( f ) =∫ 1

0f (t)g(t)dt ∀ f ∈C[0,1]

∥∥g∥∥

Análisis Funcional Tema 3: Operadores y funcionales...

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