Análisis de Sistemas No Lineales -...

Análisis de Estabilidad: Parte IAnálisis de Estabilidad: Parte II

Análisis de Sistemas No Lineales

Análisis de Estabilidad: Caso Autónomo

Dr. Fernando Ornelas Tellez

Universidad Michoacana de San Nicolas de HidalgoMorelia, Michoacán

DEP-FIE

Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 1/94


Contenido

1 Análisis de Estabilidad: Parte I

Introducción

Estabilidad en el Sentido de Lyapunov. Caso Autónomo

Teorema de Estabilidad de Lyapunov

GAE. Teorema de Barbashin -Krasovskii

2 Análisis de Estabilidad: Parte II

Inestabilidad. Teorema de Chetaev

El principio de Invarianza

Teorema de LaSalle

Caso Lineal y Linealización



IntroducciónEstabilidad en el Sentido de Lyapunov. Caso AutónomoTeorema de Estabilidad de LyapunovGAE. Teorema de Barbashin -Krasovskii

Outline


Introducción







Teorema de LaSalle





Introducción

La teoría de estabilidad juega un rol central en teoría de sistemase ingeniería. Existen distintos tipos de problemas de estabilidad enlos sistemas dinámicos (ISS, IOS, PE, etc.). Particularmente el cursoabordará al análisis de estabilidad de los puntos de equilibrio.

La estabilidad de puntos de equilibrio generalmente se caracteriza enel sentido de Lyapunov, quien fue un matemático e ingeniero rusoque estableció las bases de la teoría que hoy lleva su nombre.

Figura: Alexander Lyapunov (1857-1918)




Un punto de equilibrio se dice estable si todas las soluciones quese inicien en las cercanías del punto de equilibrio permanecen en lascercanías del punto de equilibrio; de otro modo el punto de equilibrioes inestable.

Un punto de equilibrio se dice asintóticamente estable si todaslas soluciones que se inicien en las cercanías del punto de equilibriono sólo permanecen en las cercanías del punto de equilibrio, sinoque además tienden hacia el equilibrio a medida que el tiempo seaproxima a infinito.

Figura: Tipos de Estabilidad




Intro.

La teoría de Lyapunov se refiere principalmente a los dos métodospropuestos por Lyapunov: el método indirecto y el directo.

Método Indirecto: Conocido también como método de linealiza-ción, establece que las propiedades de estabilidad de un sistema nolineal en la vecindad de un PE son esencialmente las mismas de suaproximación lineal.

Método Directo: Es una herramienta para el análisis de sistemas nolineales. En su inicio, el método directo es una generalización de losconceptos de energía asociados con sistemas mecánicos. La idea esconstruir una función escalar que represente la energía del sistema,con la finalidad de ver si ésta decrece.




Intro.

La limitación del método directo recae en el hecho de que general-mente es difícil encontrar una función de Lyapunov para determinadosistema.

Los resultados o teoremas de estabilidad de Lyapunov proveen decondiciones suficientes para establecer la estabilidad de los puntosde equilibrio.

Se aclara el hecho de que, si no se puede establecer la estabilidad delos PE por los métodos de Lyapunov, no implica que el sistema esestable o inestable, según lo que se quiera demostrar.




Outline


Introducción







Teorema de LaSalle





Estabilidad de Sistemas Autónomos

Considere el sistema invariante en el tiempo

x = f (x) (1)

donde f : D ! Rn es localmente Lipschitz en un dominio D ⇢ Rn.Suponga que x

e

2 D es un PE de (1).

–

Esta unidad está enfocada al análisis de la estabilidaddel PE x

e

.




Estabilidad de Sistemas Autónomos (cont.)

Por conveniencia, se considerará que xe

= 0. Esto no implica pérdidade generalidad, ya que para los casos en que x

e

6= 0, puede definirseun cambio de coordenadas como sigue:

y = x � xe

y = g(y)

donde g(y) = f (y + xe

) tiene como PE el origen.




Definiciones de Estabilidad

Definición:

El punto de equilibrio xe

= 0 de (1) es

Estable, si para cada ✏ > 0 existe � = �(✏) tal que

kx(0)k < � ) kx(t)k < ✏, 8t � 0.

Inestable, en caso contrarioAsintóticamente estable (AE), si es estable y � puede elegirsetal que

kx(0)k < � ) l«ımt!1x(t) = 0.




Conceptos de Energía

Considere el ejemplo de un cuerpo de masa m, lanzado verticalmentehacia arriba con una velocidad v0. Cuando el cuerpo ha alcanzadouna altura h sobre su posición inicial, su velocidad ha disminuido dev0 a v donde

v2 = v20 � 2 g h, g > 0

Si los dos términos de la igualdad se multiplican por m/2 se tiene

12mv2

| {z }

E . Cinetica ,

+ mgh|{z}

E . Potencial ,| {z }

Energ ıa Mecanica Total ,

=12mv2

0| {z }

E . Cinetica Inicial ,

A medida que el objeto se eleva ) v disminuye y h aumenta, de ahíque aunque los dos términos de la igualdad anterior varíen, su sumapermanece constante e igual a 1

2mv20 (la energía se conserva).




Conceptos de Energía

La energía total de un cuerpo, en cualquier punto desu trayectoria, es constante e igual a su energía cinéticainicial.

Una forma de analizar la dinámica de un sistema es por medio de laidea física del concepto de energía E [3].




Ejemplo: El Péndulo

En el ejemplo del péndulo se pueden ilustrar los tres tipos de estabi-lidad: Estable, Inestable, y Asintóticamente Estable (AE).

Ecuaciones de estado:

x1 = x2

x2 = �g

lsin x1 �

k

mx2

Puntos de Equilibrio:

Haciendo x1 = x2 = 0, los PE son

(n⇡, 0), n = 0,±1,±2, . . .




Ejemplo: El Péndulo (cont.)Análisis de la estabilidad usando conceptos de energía.

Sea la energía del péndulo E (x) = Ep

(x)+Ec

(x), con Ep

elegida talque E (0) = 0.

E (x) =

Z

x1

0

g

lsen y dy +

12x22

=g

l(1 � cos x1) +

12x22 (localmente positiva definida)

dE (x)

dt=

@E (x)

@x

d x

dt= � k

mx22 0 (semidefinida negativa)

Semidefinida negativa ya que si x2 = 0, entonces E (x) = 0 inde-pendientemente del valor de x1. El hecho de que E < 0, físicamentesignifica que las trayectorias se mueven en la dirección tal que E seestá minimizando.




Análisis de la estabilidad de los PE del péndulo:

Sin fricción (k = 0), (0, 0) es un PE estable (Se cumple larelación ✏� �).

No es AS dado que las trayectorias no convergen al PEa medida que el tiempo transcurre.

Con Fricción (k > 0), (0, 0) es un PE asintóticamente

estable

Se cumple la relación ✏ � � y ademas las trayectoriasiniciando cerca del PE, eventualmente convergen a estecuando t ! 1.

(⇡, 0), punto silla, es un PE inestable.

No se cumple la relación ✏� �.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 16/94



Sin fricción (k = 0), el sistema es conservativo (sin disipaciónde energía). Entonces

E (x) = c ) dE (x)

dt= 0

Con fricción (k > 0), se disipa energía durante la evolución delsistema. Entonces

dE (x)

dt 0

Es decir, la energía decrece hasta llegar a cero. La trayectoriax(t) ! 0, cuando t ! 1.

De esta manera, examinando la derivada de E (x) > 0 sobre las

trayectorias del sistema✓

@E (x)

@x

dx

dt

◆

, es posible determinar la esta-

bilidad del PE.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 17/94



Ejemplo: Función Definida Positiva y Semidefinida Negativa

La funciónV (x) = x2

1 + x22

es definida positiva en el espacio R2, y es semidefinida en el espacioR3 ya que en el espacio R3 esta función puede desvanecer, esto es

V (x) = x21 + x2

2 = 0 para x1 = x2 = 0 pero x3 6= 0.




Derivada Direccional

En 1892, Lyapunov propone otras funciones, además de las del tipoenergía, que pueden utilizarse para demostrar la estabilidad de unPE.

Sea V : D ! R una función continuamente diferenciable en undominio D ⇢ Rn que contiene al origen. La derivada de V a lo largode las trayectorias de (1) está dada por

V (x) =n

X

i=1

@V

@xi

xi

=n

X

i=1

@V

@xi

fi

(x)

=

@V

@x1,@V

@x2, . . . ,

@V

@xn

�

2

6

6

6

4

f1(x)f2(x)

...fn

(x)

3

7

7

7

5

=@V

@xf (x)




Derivada Direccional

Observemos que esta derivada puede pensarse como la derivada di-reccional de V (x) en la dirección del campo f (x), es decir

V (x) = Lf

V (x)

Por lo tanto, si V (x) es negativa, V decrecerá a lo largo de la soluciónde (1).




Outline


Introducción







Teorema de LaSalle





Funciones y Matrices (Semi)Definidas Positivas/Negativas

Sea V : D ! R un campo escalar continuamente diferenciable defi-nido en el dominio D ⇢ Rn que contiene al origen, entonces

V (x) es definida positiva si V (0) = 0 y V (x) > 0 en D � {0}.V (x) es semidefinida positiva si V (0) = 0 y V (x) � 0 enD � {0}.V (x) es definida negativa si V (0) = 0 y V (x) < 0 en D � {0}.V (x) es semidefinida negativa si V (0) = 0 y V (x) 0 enD � {0}.

Cualquiera de las definiciones anteriores puede ser local si las condi-ciones se cumplen dentro de una conjunto o una bola B

r

de radio r ,mientras que es global si es todo el espacio Rn.

Una matriz simétrica P es (semi)definida positiva si xT P x > 0, 8x 6=0. (xT P x � 0).




Teorema de Lyapunov

TeoremaSea el origen x = 0 un PE de (1) y sea D ⇢ Rn un dominio quecontiene al origen, sea V : D ! R una función continuamentediferenciable tal que

V (0) = 0 y V (x) > 0 en D � {0} (2)

V (x) 0 en D (3)

entonces, x = 0 es estable. Más aún, si

V (x) < 0 en D � {0} (4)

entonces x = 0 es asintóticamente estable (AE).




Teorema de Lyapunov: Bosquejo de Demostración

Parte I: V (x) 0 ! el PE es estable. Dado " > 0, se eliger 2 (0, ") tal que

Br

= {x 2 Rn | kxk r} ⇢ D

Sea ↵ = minkxk=r

V (x). Entonces ↵ > 0 por hipótesis.

Tomemos � 2 (0,↵) y sea

⌦� = {x 2 Br

|V (x) �}

donde ⌦� tiene la propiedad de que toda la trayectoria quecomienza en él para t = 0, permanecerá en ⌦� , 8t � 0.Esto dado el hecho que

V (x(t)) 0 =) V (x(t)) V (x(0)) �, 8t > 0.

Así, V (x(t)) = cte., conservandose la energía del sistema,=) el PE en x = 0 es estable.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 24/94




Parte II: V (x) < 0 ! el PE es asintóticamente estable (x(t) !0 cuando t ! 1).

Suponiendo que

V (x) < 0 en D � {0}

Dada la pendiente negativa de la derivada y considerando que V (x) >0, esto significa que

V (x(t)) ! 0 cuando t ! 1

=) x(t) ! 0 cuando t ! 1.

Esto es, el PE en x = 0 es asintóticamente estable.




Comentarios sobre el Teorema de Lyapunov

Si la función V 2 C1 satisface la condición (2), se dice que esuna función candidata de Lyapunov.Si la función V 2 C1 cumple las condiciones (2) y (3) o (4),entonces es llamada función de Lyapunov.La superficie V (x) = c para alguna constante c > 0 esllamada superficie de Lyapunov o superficie de nivel.




Búsqueda de funciones de Lyapunov

Formas cuadráticas son funciones para las cuales se puede determinarel “sign definiteness” fácilmente. Considere

V (x) = xT P x =n

X

i=1

n

X

j=1

Pij

xi

xj

con P una matriz simétrica real. Las siguientes relaciones son equi-valentes:

V (x) es definida positiva () todos los eigenvalores de P sonpositivos () los menores principales de P son positivos.Entonces P es definida positiva y se denota como P > 0.V (x) es semidefinida positiva () todos los eigenvalores de Pson no negativos () los menores principales de P son nonegativos. Entonces P es semidefinida positiva y se denotacomo P � 0.




Búsqueda de Funciones de Lyapunov (cont.)

Proposición: Sea A una matriz simétrica y real, entonces A es defini-da positiva si todos los eigenvalores de A son estrictamente positivos

xTAx > 0 8x 6= 0 , �(A) > 0





Demostración: Sea A definida positiva y �i

2 R eigenvalor de A yxi

el eigenvector correspondiente, así

Axi

= �i

xi

y xTi

Axi

> 0 por hipótesis

Entonces

xTi

Axi

= xTi

�i

xi

= �i

xTi

xi

= �i

) �i

> 0





Se prueba ahora la recíproca. Por hipótesis, sean �i

> 0 los eigenva-lores de A.

Si A simétrica real ! existe una base de eigenvalores ortonormalesde A. Entonces,

x = c1x1 + c2x2 + c3x3 + . . .+ cn

xn

Ax = c1Ax1 + c2Ax2 + c3Ax3 + . . .+ cn

Axn

= c1�1x1 + c2�2x2 + c3�3x3 + . . .+ cn

�n

xn

xT

Ax = (c1xT

1 + c2xT

2 + c3xT

3 + . . .+ cn

xT

n

)⇥ (c1�1x1 + c2�2x2 + c3�3x3 + . . .+ c

n

�n

xn

)

= c21�1 + c

22�2 + c2

3�3 + . . .+ c2n

�n

> 0 si x 6= 0




Ejemplo

Sea V (x) = ax21 + 2x1x3 + ax

22 + 4x2x3 + ax

23 .

Ejercicio: Establecer para que valores de a, la función V (x) es de-finida positiva.




Repaso Teorema de Lyapunov

Teorema:

Sea x = f (x), con x = 0 un punto de equilibrio y V (x) : D ⇢Rn ! R una función continuamente diferenciable que satisface

V (0) = 0 y V (x) > 0 en D � {0}.

SiV (x) 0 en D ) x = 0 es estable,

SiV (x) < 0 en D � {0} ) x = 0 es AE




Ejemplo 1: Péndulo sin Fricción

Analizando la estabilidad del punto de equilibrio de

x1 = x2

x2 = �g

lsin x1

con V (x) =g

l(1 � cos x1) +

12x

2

2

Se observa que V (0) = 0 y V (x) > 0 en �2⇡ < x1 < 2⇡ y x 6= 0.La derivada de V (x) a lo largo de las trayectorias del sistema es

V (x) =g

lx1 sin x1 + x2x2 =

g

lx2 sin x1 �

g

lx2 sin x1 = 0

Así, se satisfacen las condiciones (1) y (2) del Teorema, entonces seconcluye que el origen es estable (no AE). Las trayectorias que co-mienzan en la superficie V (x) = c permanece en la misma superficiepara tiempo futuro.




Ejemplo 2: Péndulos con Fricción

Considere ahora

x1 = x2

x2 = �g

lsin x1 �

k

mx2

Usando nuevamente V (x) =g

l(1� cos x1)+

12x

22 como candidata a

función de Lyapunov

V (x) =g

lsin x1x1+x2x2 =

g

lx2 sin x1+x2

✓

�g

lsin x1 �

k

mx2

◆

= � k

mx22

V (x) es semidefinida negativa (V (x) = 0 para x2 = 0 independien-temente del valor de x1). De esta forma, sólo se puede concluir queel origen es estable. Pero se sabe del retrato de fase, que el origenes AE. Se puede buscar una función V (x) tal que V (x) sea definidanegativa.




Tarea: Exposiciones

Del libro de Khalil, realizar en LYX lo siguiente:

1 Determinar la estabilidad del PE x = 0 del péndulo utilizandola función candidata de Lyapunov

V (x) =g

l(1 � cos x1) +

12xTPx .

2 Describir el Método del Gradiente Variable como unherramienta que da posibilidad de determinar una función deLyapunov.

3 Ejemplificar el Método del Gradiente Variable.




Proponiendo una V (x) del tipo V (x) =g

l(1�cos x1)+

12xTPx para

alguna matriz P 2 R2⇥2 simétrica, definida positiva a designar.

V (x) =g

l(1 � cos x1) +

12[x1 x2]

p11 p12p12 p22

�

x1x2

�

Para que la matriz P sea definida positiva, sus menores principalesdeberán ser positivos, es decir

p11 > 0, p22 > 0, p11p22 � p221 > 0

La derivada

V (x) =g

lsin x1x1 + xTPx =

g

l(1� p22)x2 sin x1 �

g

lp12x1 sin x1 +

(p11 � p12k

m)x1x2 + (p12 � p22

k

m)x2

2

Ahora se eligen p11, p12 y p22 tal que V (x) < 0.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 37/94



Buscando cancelar los términos cuyos signos son indefinidos, es decirx1x2 y x2 sin x1. Por ejemplo si

p22 = 1 p11 =k

mp22

Con esta elección, y para que se verifique (4), p12 debe cumplir

0 < p12 <k

m, tomemos p12 = 0.5

k

m

Así, V (x) está dada por

V (x) = �12k

m

g

lx1 sin x1 �

12x

2

2

Tomado D =n

x 2 R2: |x1| < ⇡

o

se cumple que V (x) es defini-

da positiva y V (x) es definida negativa en D. Por lo tanto, por elteorema de Lyapunov, el origen es AE.




Observaciones

1 Las condiciones del Teorema de Lyapunov son condicionessuficientes. Es decir, dada una función candidata de Lyapunovque no cumple con que sea función de Lyapunov, no implicaque el equilibrio no sea AE.

2 Para buscar una función de Lyapunov adecuada, se puedeproponer una V (x) que dependa de parámetros a designar, demodo tal que se verifiquen todas hipótesis del Teorema.




Método del Gradiente Variable

Es un método para construir funciones de Lyapunov. Sea V (x) unafunción escalar de x y g(x) = rV = (@V /@x)

T

,así

V (x) =@V

@xf (x) = g

T

(x)f (x)

La idea es buscar g(x) que resulte del gradiente de una función V (x)definida positiva y tal que V (x) sea definida negativa.

Se sabe que g(x) es el gradiente de una función escalar si la matrizJacobiana [@g/@x ] es simétrica, es decir

@gi

@xj

=@g

j

@xi

8i , j = 1, . . . , n




Bajo esta restricción, se elige g(x) tal que gT (x)f (x) sea definidanegativa. La función V (x) es calculada con la integral

V (x) =

Z

x

0gT (y)dy =

Z

x

0

n

X

i=1

gi

(y)dyi

Como la integral de línea de una función gradiente es independientedel camino, podemos integrar a lo largo de los ejes

V (x) =R

x10 g1(y1, 0, 0, . . .)dy1

+R

x20 g2(x1, y2, 0, . . .)dy2

+ . . .+R

x

n

0 gn

(x1, x2, . . . , yn)dyn

Dejando algunos parámetros de g(x) sin determinar, se eligen demodo tal que sea definida positiva.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 41/94



Ejemplo 3

x1 = x2 con a > 0, h(·) es localmente Lipschitzx2 = �h(x1)� ax2 h(0) = 0 y h(y) > 0 8y 6= 0, y 2 (�b, c)

Queremos elegir un vector g(x) que tal@g1

@x2=

@g2

@x1

V (x) = g1(x)x2 � g2(x) [h(x1) + ax2] < 0 para x 6= 0

V (x) =

Z

x

0gT (y)dy

Probemos cong(x) =

↵(x)x1 + �(x)x2�(x)x1 + �(x)x2

�

con ↵(·),�(·), �(·), y �(·) funciones escalares a designar.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 42/94



V (x) = ↵(x)x1x2+�(x)x22��(x)h(x1)x1��(x)h(x1)x2�a�(x)x1x2�

a�(x)x22

Cancelamos los términos que no tienen signo definido, entonces

↵(x)x1 = a�(x)x1 + �(x)h(x1)

Así V (x) = �(x)x22��(x)x1h(x1)�a�(x)x2

2 = [� � a�] x22��x1h(x)

Para que verifique que la función es pos. def., basta con que ��a� <0 y � > 0

Para verificar (neg. def.), tenemos

V (x) =R

x10 [a�y1 + �h(y1)] dy1 +

R

x20 [�x1 + �y2] dy2

= a�x212

+ �R

x10 h(y1)dy1 + �x1x2 + �

x222

=12xTPx + �

R

x10 h(y1)dy1 con P =

a� ��

�




Notar queR

x10 h(y1)dy1 > 0 dado que yh(y) > 0. La matriz P será

definida positiva si � > 0 y a�� 2 > 0, como � > 0, entonces0 < � < a�. Tomando � = ka� con 0 < k < 1,

V (x) =12xT

k�a2 ka�ka� �

�

x + �

Z

x1

0h(y1)dy1

que verifica (7)-(8), por lo tanto concluimos que x = 0 es AS.




Outline


Introducción







Teorema de LaSalle





Región de Atracción-Estabilidad Asintótica Global

DefiniciónSea �(t, x) la solución de x = f (x) que comienza en t = 0 y x = 0es un PE. Se llama Región de Atracción (RA) (región de estabilidadasintótica, dominio de atracción, o “basin”), al conjunto de puntosx tal que l«ım

t!1 �(t, x) = 0. Si un PE es un punto interior de RA,se dice que el PE es un atractor.

No es fácil determinar analíticamente la RA, pero se puede estimarusando las funciones de Lyapunov V (x).

De la demostración del Teorema de Lyapunov sabemos que, si exis-te una V (x) que verifica las hipótesis de EA en D, y si ⌦

c

={x 2 Rn|V (x) 0} está acotado y contenido en D, entonces to-da trayectoria que comienza en ⌦

c

permanece en ⌦c

8t > 0. Por lotanto ⌦

c

es una estima de la RA.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 46/94



¿Cuándo será la RA todo Rn?

Se puede probar la estabilidad asintótica global (GAE), si se puedeasegurar que cada punto x 2 Rn, puede incluirse en el interior deun conjunto acotado ⌦

c

. ¿Bajo que condiciones puede darse loanterior? (Esto no siempre será posible para valores de c grandes,dado que ⌦

c

podría no ser acotado)

Ejemplo 4: Sea

V (x) =x21

1 + x21+ x2

2

Para que ⌦c

esté en el interior de una bola �r

, c <«ınfrkxk V (x).

Sea l = l«ımr!1«ınf

rkxk V (x) < 1, entonces ⌦c

será acotada sic < l .




Calculemos l

l = l«ımr!1

m«ınkxk=r

✓

x21

1 + x21+ x2

2

◆�

= l«ım|x1|!1x21

1 + x21= 1

Entonces ⌦c

está acotada si c < 1

Figura: Gráfica de V (x) = cDr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 48/94



Función Radialmente No Acotada

Una condición adicional para asegurar que ⌦c

está acotada 8c esque

V (x) ! 1 cuando kxk ! 1,

es decir, la función es radialmente no acotada.




Ejemplos

1 Determine la estabilidad de x = �x . Considere la candidataV (x) =

12x2.

2 Determine la estabilidad de x = �x3. Considere la candidataV (x) =

12x2.

3 Determine la estabilidad de

x1 = �x1 + x2 + b x31

x2 = �x1 � x2

Considere la candidata de Lyapunov V (x) =12xT P x y por

facilidad, P = matriz identidad y b = 1.




Teorema de Barbashin-Krasovsky

TeoremaSea x = 0 un único PE de x = f (x). Sea V (x) : Rn ! Rcontinuamente diferenciable tal que

1 V (0) = 0 y V (x) > 08x 6= 02 Si kxk ! 1 ) V (x) ! 13 V (x) < 0 8x 6= 0

entonces x = 0 es globalmente asintóticamente estable.




Ejemplo: GAS

Considere el sistema

x1 = x2 � x1(x21 + x2

2 )

x2 = �x1 � x2(x21 + x2

2 )

Determinar: los PE, la estabilidad de los PE con V (x) = x21 + x2

2 .

Note que globalidad implica que el origen es el único PE del sistema[1].




Ejemplo: Consideremos el problema donde

x1 = x2 con a > 0, h(·) es localmente Lipschitzx2 = �h(x1)� a x2 h(0) = 0 y yh(y) > 0 8y 6= 0.

Considerando que existiera un único PE y proponiendo la funcióncandidata de Lyapunov

V (x) =�

2xT

ka2 kaka 1

�

x + �

Z

x1

0h(y)dy > 0.

Como V (x) < 0, entonces x = 0 es G.A.E.



Inestabilidad. Teorema de ChetaevEl principio de InvarianzaTeorema de LaSalleCaso Lineal y Linealización

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Introducción







Teorema de LaSalle





Inestabilidad - Teorema de Chetaev

TeoremaSea x = 0 un PE de x = f (x). Sea V (x) : D ! R funcióncontinuamente diferenciable, con V (0) = 0 y V (x0) > 0 para algúnx0 con kx0k arbitrariamente pequeña. DefinaU = {x 2 B

r

|V (x) > 0} , y suponga que V (x) > 0 en U, entoncesx = 0 es un PE inestable.

Hay más resultados para probar inestabilidad, además del teoremade Chetaev, pero este último es uno de los más importantes.

Ejemplo: x = x3 con V (x) =12x2.




Ejemplo

x1 = x1 + g1(x)

x2 = �x2 + g2(x)

donde |gi

(x)| k kxk22, i = 1, 2, en un entorno D del origen y

g(0) = 0.

Consideremos V (x) =12(x2

1 � x22 ). Considere la línea sobre x2 =

0 ! V (x) > 0.

V (x) = x21 + g1(x)x1 + x2

2 � g2(x)x2.




Ejemplo

Como |g1(x)x1 � x2g2(x)| |g1(x)x1| + |g2(x)x2| 2k kxk32, en-

tonces

V (x) � kxk22 � 2k kxk3

2 = kxk22 (1 � 2 k kxk2)

Eligiendo Br

⇢ D, r <12k

se verifican las hipótesis




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Introducción







Teorema de LaSalle





Introducción

La estabilidad asintótica de un sistema de control es una propiedadmuy importante que se busca determinar.

Cuando por medio de los resultados de Lyapunov, NO se puede de-terminar la estabilidad asintótica de un PE, debido a que la deriva-da de la función de Lyapunov es solamente semidefinida negativa,entonces es posible aplicar el principio de invarianza para intentarprobar la estabilidad asintótica del PE, cuyos resultados se le atribu-yen a LaSalle, basados en el concepto de conjunto invariante, mismoque es una generalización de PE.




Definiciones

Sea x(t) la solución de x = f (x)

Un punto p es un punto límite positivo de x(t) si existe unasecuencia {t

n

}, con tn

! 1 cuando n ! 1, tal quex(t

n

) ! p cuando n ! 1. (un PE AS).El conjunto de todos los puntos límites positivos de x(t) sedenomina el conjunto límite positivo de x(t). (Ejemplos deestos conjuntos: un PE AS, un ciclo límite estable).Un conjunto M es un conjunto invariante de x = f (x) si

x(t1) 2 M ) x(t) 2 M, 8t 2 R.

Un conjunto M es un conjunto invariante positivo si

x(t1) 2 M ) x(t) 2 M, 8t � t1.

M puede contener PE, ciclos límites, ⌦c

.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 60/94



Decimos que x(t) tiende a M cuando t tiende a infinito, sipara cada " > 0, existe T > 0 tal que

dist(x(t),M) < " 8t > T

donde dist(p,M) denota la distancia de un punto p a un conjuntoM. Ésta es la mínima distancia de p a cualquier punto M, es decir

dist(p,M) = «ınfx2M

kp � xk




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Introducción







Teorema de LaSalle





Conjunto Invariante

DefiniciónUn conjunto M es un conjunto invariante positivo para unsistema dinámico, si para la trayectoria x(t), la cual inicia en unpunto dentro de M, ésta permanece en M para todo tiempo futuro.

Por ejemplo, cualquier PE es un conjunto invariante, también lo esla RA, un ciclo límite.Lema: Si una solución x(t) de x = f (x) es acotada y permanece enD para todo t � 0, entonces su conjunto límite positivo1 L+ es unconjunto invariante y no vacío. Además

x(t) ! L+ cuando t ! 1.

1Es decir, la trayectoria a la cual converge el sistema




Teorema de LaSalle

Un resultado importante que describe la convergencia a un conjuntoinvariante es el principio de invarianza de LaSalle o teorema deLaSalle:

TeoremaSea ⌦ ⇢ D un conjunto que es invariante positivo con respecto ax = f (x). Sea V : D ! R una función continuamente diferenciabletal que V (x) 0 en ⌦. Sea E el conjunto de todos los puntos de⌦ donde V (x) = 0. Sea M el mayora conjunto invariante contenidoen E . Entonces toda solución que comienza ⌦ tiende a M cuandot ! 1.

aEn el sentido de la teoría de conjuntos, M es la unión de todos los

conjuntos invariantes dentro de E .




Teorema de LaSalle

E = R




A diferencia del Teorema de Lyapunov, el Teorema de LaSalle:

No requiere que V (x) sea definida positiva. Además de quesólo se requiere que V 0. (No necesariamente negativadefinida (V (x) < 0)El conjunto ⌦ no está necesariamente ligado a la construcciónde V (x).

En muchas aplicaciones la construcción de V (x) va a garantizar laexistencia de un conjunto ⌦. En particular, si ⌦

c

= {x 2 |R|V (x) c}es acotado y V (x) 0 en ⌦

c

, entonces podemos tomar ⌦ = ⌦c

.

Cuando V (x) es definida positiva, ⌦c

es acotado para c > 0 su-ficientemente pequeño. Si V (x) es radialmente no acotada, ⌦

c

esacotada para cualquier c .




Aplicación del Principio de Invarianza en EstabilidadCorolarioSea x = 0 un PE de x = f (x). Sea V : D ! R una función C1 ydefinida positiva en un dominio D que contiene al origen x = 0, yque V (x) 0 en D. Considere E =

n

x 2 D|V (x) = 0o

y supongaque ninguna solución, excepto la trivial x(t) = 0, puede permanecerindefinidamente en E . Entonces el origen es AE.

–CorolarioSea x = 0 un PE de x = f (x), Sea V : Rn ! R una función C1,radialmente no acotada y definida positiva, tal que V (x) 0 enRn. Sea E =

n

x 2 Rn|V (x) = 0o

y suponga que ninguna solución,excepto la trivial x(t) = 0, puede permanecer indefinidamente enE . Entonces el origen es GAE.

Cuando V (x) < 0, entonces S = {0}.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 67/94



Ejemplo: Péndulo con Fricción

Considere el péndulo simple

x1 = x2

x2 = �g

lsin x1 �

k

mx2.

Tomando V (x) =g

l(1� cos x1)+

12x

22 como candidata a función de

Lyapunov, se obtiene V (x) = � k

mx22 .




Dada V (x) = � k

mx22 , entonces V (x) es semidefinida negativa (V (x) =

0 para x2 = 0 independientemente del valor de x1), entonces no sepuede concluir nada sobre la EA. Es aquí donde se puede aplicar elPrincipio de Invarianza de LaSalle.

Considere el conjunto de valores de x tales quen

V (x) = 0o

, esto esx2 = 0, entonces que una trayectoria o solución entre en esta regióny permanezca ahí para siempre significa que

x2 = 0 =) x2 = 0 =) sin(x1) = 0.

Lo implicación anterior se puede cumplir sólo para x1 = 0, mismaque es la solución trivial. Por lo tanto se puede concluir que el origenes un PE AS.

En sí, el método consiste en buscar que x = 0 sea el único quesatisface todas las ecuaciones resultantes a partir del conjunto E .




Ejemplo

Sea el sistema

x1 = x2

x2 = �g(x1)� h(x2)

donde g y h son localmente Lipschitz y satisfacen

g(0) = 0 y yg(y) > 0 y 8 y 6= 0, y 2 (�a, a)h(0) = 0 y yh(y) > 0 y 8 y 6= 0, y 2 (�a, a)

Suponga función candidata de Lyapunov V (x) =R

x10 g(y)dy +

12x22 .




Ejemplo

Sea el sistema de primer orden

y = ay + u

con la ley de control adaptable u = �ky , k = �y2 con � > 0.

Con f. cand. de Lyap. como V (x) =12x21 +

12�

(x2 � b)2, b > a

Nota: Dado que V (x) es radialmente no acotada, entonces ⌦c

escompacto y positivo invariante.

Sol. Defina como variables de estado x1 = y y x2 = k .

Determine los PE. Defina ⌦c

=�

x 2 R2|V (x) c

. Tomando ⌦ =⌦c

, E = {x 2 ⌦c

|x1 = 0}, y M = E , entonces por el Teorema deLaSalle, cualquier trayectoria que inicia en ⌦

c

tiende a E cuandot ! 1.




Tarea

1.- Determinar la estabilidad del ciclo limite para el siguiente sistema:

x1 = x2 � x1�

x21 + x2

2 � 1�

x2 = �x1 � x2�

x21 + x2

2 � 1�




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Introducción







Teorema de LaSalle





Linealización

Significado de la Linealización: Linealizar una función no lineal f (x , u),significa tener una aproximación de ésta cerca de un punto (x s , us),por medio de una función lineal.

No es usual establecer el tamaño de la región donde es valida lalinealización, solo se puede decir que es pequeña, y dependerá direc-tamente de la no linealidad de la función. Por lo tanto, los resultadoso análisis obtenidos de la linealización serán de carácter local.




Linealización por Taylor

Expresando por series de Taylor la siguiente función no lineal

x1 = f1(x1, x2) = f1(p1, p2) + a11(x1 � p1) + a12(x2 � p2) + T.O.Sx2 = f2(x1, x2) = f2(p1, p2) + a21(x1 � p1) + a22(x2 � p2) + T.O.S

donde p = (p1, p2) es un PE, por lo tanto f1(p1, p2) = f2(p1, p2) = 0,

y aij

=@f

i

(x1, x2)

@xj

�

�

�

x=p

.

Con el cambio de coordenadas y1 = (x1 � p1) y y2 = (x2 � p2), seobtiene

y1 = a11y1 + a12y2 + T.O.Sy2 = a21y1 + a22y2 + T.O.S




Linealización por Taylor

En una vecindad lo suficientemente pequeña de y = 0

y1y2

�

=

a11 a12a21 a22

�

y1y2

�

, es decir, y= Ay

con

A =

2

6

4

@f1@x1

@f1@x2

@f2@x1

@f2@x2

3

7

5

�

�

�

x=p

=@f

@x

�

�

�

x=p

Jacobiano

¿Es necesario el cambio de coordenadas, y = (x � p), en el casoparticular de que p = 0?




Linealización de un Sistema con Control

Suponga el sistema escalar descrito por

x = f (x , u)

por series de Taylor se puede aproximar a f (x , u), alrededor de unpunto p, como

f (x , u) = f (xp

, up

)+

✓

@f

@x

◆

x

p

,up

(x � xp

)+

✓

@f

@u

◆

x

p

,up

(u � up

)+T .O.S .

Despreciando los términos de orden superior de la serie y definiendoy = x � x

p

se llegará a la aproximación lineal

y = ay + bu

donde a =

✓

@f

@x

◆

x

p

,up

y b =

✓

@f

@u

◆

x

p

,up

.




Tarea

1 Investigar el caso multivariable. Incluir un ejemplo (suficientede orden 2) y la comparación entre el no lineal y el linealalrededor del punto elegido (se sugiere un sistema que tengaun PE en el origen). Además, se sugiere que se sea un sistemaque tenga acción de control u, donde se proponga una simpleretroalimentación de estado negativa para mejorar suestabilidad, o bien estabilizarlo. Simularlo. Comparar su modelolineal con el método de linealización de Matlab. Ejemplo:

x1 = �x31 + x2

x2 = �2x1 � cos(x1) sin(x2) + u

2 Investigar y discutir diferentes técnicas de linealización (incluirla de Taylor), por ejemplo, linealización exacta porretroalimentación (ejemplo el péndulo invertido), y analizar susprincipales diferencias.




Tarea: Linealización del Carro-Péndulo




Por medio de la linealización de Taylor, determine el modelo linealen el PE cero. Posteriormente, utilice el modelo lineal para diseñaruna acción de control por retroalimentación de estado para controlarla posición del carro-péndulo a un ángulo de 5 grados (x

p

= 5⇡

180rad).

y =

9.81 sin(y) + cos(y)

�u � 0.25y2 sin(y)1.5

�

0.5⇥4

3 � 13 cos2(y)

⇤

Nota: revisar que el punto de equilibrio cero sea el inestable.




Estabilidad del Origen en Sistemas Lineales

El método de linealización de Lyapunov (Método Indirecto o primermétodo de Lyapunov) estudia la estabilidad local de un sistema nolineal.

Ésta es una formalización de la intuición que un sistema no linealdebería comportarse de manera similar a su aproximación linealizadaen una región alrededor de su punto de linealización.

Debido a que todos los sistemas físicos son no lineales, el métodode linealización será usado como la justificación fundamental de usartécnicas de control lineales en la práctica, es decir, el método muestraque diseños de control lineales estables garantizan la estabilidad localdel sistema físico no lineal.




Estabilidad del Origen en Sistemas Lineales

Seax = Ax (5)

El PE x = 0 de (5) es

Estable, si todos los eigenvalores de A tienen parte real nopositiva.Globalmente asintóticamente estable, si todos los eigenvaloresde A tienen parte real negativa. Se dice entonces que A es unamatriz de estabilidad o matriz Hurwitz.




Estabilidad del Origen usando el Método directo deLyapunov

TeoremaConsidere la siguiente candidata a función de Lyapunov

V (x) = xTPx

donde P es real, simétrica y definida positiva. La derivada de V (x)sobre las trayectorias del sistema es

V (x) = xTPx + xTPx = xT (PA+ ATP)x = �xTQx

donde Q es una matriz simétrica definida por

PA+ ATP = �Q (6)

Si Q es definida positiva )el origen es AE (por Teorema deestabilidad de Lyapunov).Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 83/94



Para sistemas lineales, pueden resumirse los pasos del método indi-recto de Lyapunov como:

1 Se elige Q real, simétrica y definida positiva.2 Resolvemos (6) para P .

3 Si (6) tiene una solución definida positiva para P ) el origenes GAE.

A la ecuación (6) se llama comúnmente Ecuación de Lyapunov.




TeoremaA es Hurwitza , dada Q simétrica, definida positiva, existe Psimétrica, definida positiva que satisface la ecuación de Lyapunov(6). Además, si A es Hurwitz, entonces P es la única solución de(6).

aRe{�i

} < 0 para todos los eigenvalores de A.

Demostración:

1 Condición suficiente: se sigue del Teorema de estabilidad deLyapunov, con la función V (x) = xTPx .

2 Condición necesaria: supongamos que todos los eigenvalores deA tienen parte real negativa y considere

P =

Z 1

0eA

T

tQeAtdt




Se observa que

La integral existeLa matriz P es simétrica

Se prueba por contradicción que P es definida positiva.

Suponga que existe un vector x no nulo tal que xTP x = 0.

Sin embargo,

xTP x = 0 )R10 xT eA

T

tQ eAt xdt = 0) eAt x = 0 8t � 0 ! x = 0

esta contradicción muestra que P es definida positiva.




Además, se demuestra que P es una solución de (6).

Reemplazando la expresión propuesta para P en la ecuación de Lya-punov:

PA+ ATP =R10 eA

T

tQeAtAdt +R10 AT eA

T

tQeAtdt

=R10

d

dteA

T

tQeAtdt

= eAT

tQeAt |10 = �Q

lo que muestra que P es una solución.




Comentarios

¿Cuál es la ventaja de este método?

Provee una función de Lyapunov cuando A es Hurwitz ) permiteobtener conclusiones sobre la estabilidad del sistema lineal (5) cuandoéste está perturbado.

Tarea: Ejercicios 3.24 y 3.25 caso (1), del Khalil, 2da. Edición.




Sistemas No Lineales y Linealización

Sea el caso no linealx = f (x) (7)

donde f : D ! Rn es una función cont. diferenciable en un dominioD 2 Rn. Sea f (0) = 0 (el origen está en D y es un PE del sistema).Por el Teorema del valor medio2

fi

(x) = fi

(0) +@f

i

@x(z

i

) x

donde zi

es un punto sobre el segmento que conecta a x con el origen.2Dada f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en (a, b), entonces

existe al menos algún punto c tal que:

f (a)� f (b)a� b

= f 0(c).




Cont.

Considerando f (0) = 0, se puede escribir fi

(x) como

fi

(x) =@f

i

@x(z

i

) x

=@f

i

@x(0) x +

@fi

@x(z

i

)� @fi

@x(0)

�

x .

Por lo tanto,f (x) = Ax + g(x)

donde A =@f

@x(0) y g

i

(x) =

@fi

@x(z

i

)� @fi

@x(0)

�

x .




Considere que la función gi

(x) satisface

|gi

(x)| �

�

�

�

@fi

@x(z

i

)� @fi

@x(0)

�

�

�

�

kxk

Por continuidad de@f

@xse tiene que

kg(x)kkxk ! 0 cuando kxk ! 0

En consecuencia, el sistema no lineal (7) en un entorno pequeño delorigen puede aproximarse por su linealización en el origen.

x = Ax donde A =@f

@x(0).




Método Indirecto de LyapunovTeoremaSea x = 0 un PE del sistema no lineal

x = f (x)

donde f : D ! Rn es una función continuamente diferenciable yD 2 Rn es un entorno del origen. Sea

A =@f

@x(x)

�

�

�

�

x=0.

Entonces,

1 El origen es AE si <e {�i

(A)} < 0.2 El origen es inestable si <e {�

i

(A)} > 0.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 92/94



The largest invariant set M in P is zero pendulum energy, zero cartvelocity (i.e. zero total energy of the entire system). Notas de Inver-ted Pendulum


Appendix For Further Reading

[allowframebreaks]For Further Reading

H. Khalil,Nonlinear Systems,Prentice-Hall, 2002.

J-J. E. Slotine and W. Li,Applied Nonlinear Control,Prentice-Hall, 1991.

M. Vidyasagar,Nonlinear Systems Analysis,Prentice-Hall, 1993.

S. H. Strogatz,Nonlinear Dynamics and Chaos,Perseus Publishing, 2002.

S. Someone.On this and that.Journal on This and That. 2(1):50–100, 2000.


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