Análisis de Sistemas No Linealesdep.fie.umich.mx/~fornelas/data/uploads/pres_tec_est.pdf · 2015....

Técnicas Lineales de EstabilizaciónTécnicas de Estabilización No Lineales

Análisis de Sistemas No Lineales

Técnicas de Estabilización

Dr. Fernando Ornelas Tellez

Universidad Michoacana de San Nicolas de HidalgoMorelia, Michoacán

Control Automático

Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 1/66


Contenido

1 Técnicas Lineales de Estabilización

Retroalimentación lineal de estado

Retroalimentación lineal de estados observados

Pre-alimentación

Control integral, control PID

2 Técnicas de Estabilización No Lineales

Transformación de Coordenadas

Difeomorfismo y Transformaciones de Estado

Linealización Exacta por Retroalimentación de Estado (Intro)

Observadores No Lineales de Estado (Intro)



Retroalimentación lineal de estadoRetroalimentación lineal de estados observadosPre-alimentaciónControl integral, control PID

Introducción

Analizar sistemas complejos que estén compuestos por varias entra-das y salidas, variantes en el tiempo o no, se volverá tedioso si seanaliza desde un punto de vista clásico de control. De hecho si elsistema es de carácter no lineal, no es posible realizar un análisisbasado en métodos clásicos como lo es la función de transferenciapara el caso lineal. En tal caso, es conveniente recurrir al conceptode representación en espacio de estado (Control Moderno).

Una representación en espacio de estado es el planteamiento de unsistema que vienen descrito por ecuaciones diferenciales de orden n,a una representación simplificada de n ecuaciones diferenciales deprimer orden. Cabe señalar que un aumento en el orden del sistemano aumenta la complejidad de análisis del mismo, ni tampoco seaumenta sustancialmente cuando se tienen sistemas MIMO.




Intro.

DefiniciónEl estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño devariables (denominadas variables de estado) de modo que elconocimiento de estas variables en t = t0, junto con elconocimiento de la entrada para t � t0, determina por completo elcomportamiento del sistema para cualquier tiempo t � t0.

Se hace el señalamiento que las variables de estado no necesitan secantidades medibles u observables físicamente (p. e., flujos magnéti-cos en un motor son usualmente parte de las variables de estado).

Dada la representación en espacio de estado, se pueden utilizar di-ferentes técnicas para modificar su comportamiento y/o asegurar suestabilidad, por ejemplo, mediante ubicación de polos.




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Pre-alimentación










Ubicación de Polos y Control Óptimo

Dar una descripción de la técnica de estabilización porubicación de polos y por control óptimo.Dar definiciones de controlabilidad (al menos dos).Simulaciones para ambas técnicas de estabilización.




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Pre-alimentación










Retroalimentación de Estados Observados

Dar una descripción de la técnica de observación del estado.Explicar el estimador de estado óptimo por filtro de Kalman1

(Dual del control óptimo).Dar definiciones de observabilidad (al menos dos).Simulaciones para ambas técnicas de observación y estimaciónde estado.

1Optimal Control and Estimation, Robert F. Stengel, Dover Publications,1994.




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Pre-alimentación










Pre-alimentación

Considere el esquema de control de temperatura

Si repentinamente existe, por ejemplo, una fuerte disminución de latemperatura de entrada del fluido que desea calentarse, el sensor detemperatura T1 percibirá este efecto en la temperatura de salidatranscurrido un cierto tiempo (cuando el fluido haya salido del

intercambiador), y sólo entonces podrá efectuarse alguna acción decontrol para corregir dicho efecto.




Pre-alimentación

Ahora bien, siendo la temperatura de entrada una perturbación medi-ble, resulta lógico pensar que se podría efectuar una acción correctivamás rápida si se informa al controlador de dicho cambio en la variablede carga. Este es el principio básico del control prealimentado. Estetipo de control es denominado feedforward “alimentar hacia adelante”- en contraposición al control realimentado o feedback.




Pre-alimentación

Descripción y simulación de un ejemplo.




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Pre-alimentación










Retro de Estado

Considere la ecuación del péndulo [1]

✓ = �a sin ✓ � b✓ + cT .

Considerando el cambio de variables x1 = ✓ � � y x2 = ✓, se llega ala representación de espacio de estado

x1 = x2

x2 = �a sin (x1 + �)� bx2 + cT .

El control del ángulo del péndulo a una posición de equilibrio � estádado por

T =a sin �c

+ K x .




Retro de Estado y Observador

Se desea usar únicamente la información de la salida para estabilizarel sistema previo, es decir, controlar el péndulo a partir únicamentede la medición del ángulo ✓, pero no medir la velocidad angular ✓.

Si se desea emplear la ley de control obtenida con anterioridad, sedebe proceder a diseñar un observador de estado como

˙x = Ax + Bu � L (y � x1) .

Entonces la ley de control viene dada por

T =a sin �c

+ K x .




Control Integral

En el ejemplo previo, el problema de regulación a un ángulo constantese redujo a un problema de estabilización al hacer el desplazamientodel PE deseado al origen. La técnica anterior es buena cuando seconocen los parámetros del sistema exactamente, pero puede serinadecuado ante incertidumbres paramétricas.

Ahora se analizará un enfoque de control integral que asegura re-gulación robusta ante tales incertidumbres e incluso perturbacionesexternas (constantes).

Simulación de sistema con incertidumbres...




Control Integral

El diseño del controlador con un término integral se establece aldefinir el error como e = y � y

r

, e integrando

x0 = e.

Con esta nueva variable de estado, el orden del sistema aumenta paraobtener

x = f (x , u)

x0 = y � y

r

.

Haciendo una linealización del sistema anterior sobre un punto desea-do, para obtener una retro de estado, se puede llegar al sistema au-mentado

x = Ax + Bu

x0 = Cx � y

r

.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 17/66



x = Ax + Bu

x0 = Cx � y

r

y la ley de control robusta estabilizante queda determinada por

u = �K1 x � K3 x0, K1 = [k1 k2] , K3 = k3.

Considere el péndulo simple

x1 = x2

x2 = �a sin (x1)� bx2 + cT .

El control con término integral para el control del ángulo está dadopor

T = �k1 (x1 � x

d

)� k2 x2 � k3 x0

o con observador T = �k1 (x1 � x

d

)�k2 x2�k3 x0, con x0 = x1�x

d




Control Integral (Forma alternativa para el control integral)

Modelar la perturbación d como

x = Ax + B(u + d)

d = 0

con saliday = Cx .

Entonces diseñe un observador como

˙x

˙d

!=

✓A

0

◆x +

✓B

0

◆u +

✓B

0

◆d +

✓L1L2

◆(y � Cx)

y finalmente la retroalimentación

u = K1x + K2d .




Tarea: Control Integral para un Motor de CD

Considerando que la velocidad angular esta dada por x1 = ! y lacorriente por x2 = i

x1 = a11 x2 � b

x2 = �a12 x1 � a22 x2 + c u

Diseñe un controlador con un termino integral para el motor con lossiguientes parámetros: k

m

= 0.9483 ⇤ 1.066, ke

= k

m

, Je

= 0.0221,R

a

= 2.58, La

= 0.028, TL

= 0, a11 = k

m

/Je

, b = T

L

/Je

, a12 =k

e

/La

, a22 = R

a

/La

, c = 1/La

.

Posteriormente diseñe un observador en espacio de estados para ob-servar la corriente x2 y utilícela en el controlador considerando quesólo se dispone de la medición de la velocidad angular x1 = !.!ref

= 100 rad/s.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 20/66


Transformación de CoordenadasDifeomorfismo y Transformaciones de EstadoLinealización Exacta por Retroalimentación de Estado (Intro)Observadores No Lineales de Estado (Intro)

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Pre-alimentación










Derivada de Lie

DefiniciónSea h : Rn ! R una función escalar suave, y f : Rn ! Rn uncampo vectorial suave en Rn, entonces la Derivada de Lie de h conrespecto a f es una función escalar definida por

L

f

h = rh

f =@h

@xf (x) =

nX

i=1

@h

@xi

f

i

(x)

=) es la derivada direccional de h en la dirección del vector f .




Derivadas de Lie-Recursividad

Las derivadas de Lie pueden definirse recursivamente

L

0f

h = h

L

i

f

h = L

f

(Li�1f

h) = r(Li�1f

h)f

para i = 1, 2 . . .

Análogamente, si g es otro campo vectorial,

L

g

L

f

h = L

g

(Lf

h) = r(Lf

h)g




Ejemplos: Derivada de Lie

Sea

f (x) =

2

4x1 + e

x2x3

x1 + 2x3sin x1

3

5 , g(x) =

2

4001

3

5 , h(x) = x1 + x2

Determinar: L0f

h(x), Lf

h(x), L2f

h(x) y L

g

L

f

h(x).




Corchete de Lie

DefiniciónSean f : Rn ! Rn y g : Rn ! Rn campos vectoriales suaves en Rn,entonces el Corchete de Lie de f y g es un tercer campo vectorialdefinido por

[f , g ] = rg

f �rf

g

=@g

@xf (x)� @f

@xg(x)

El corchete de Lie se indica también de forma recursiva como

ad

k

f

g(x) =hf , adk�1

f

g(x)i

para k � 1, con ad

0f

g(x) = g(x).




Ejemplos: Corchete de Lie

Sea

f (x) =

2

4x1 + e

x2x3

x1 + 2x3sin x1

3

5 , g(x) =

2

4001

3

5 , h(x) = x1 + x2

Determinar: [f , g ] (x) y [f , adf

g(x)] = [f , [f , g ]].




Tarea

Dado el sistemax = f (x) + g(x)u

y = h(x) = x1 + x2

con

f (x) =

�2x1 + ax2 + sin x1�x2 cos x1

�g(x) =

0

cos(2x1)

�

hallar L0f

h(x), Lf

h(x), L2f

h(x), Lg

L

f

h(x) y [f , g ] (x).




Propiedades del Corchete de Lie

i.- bilinealidad:

[↵1f1 + ↵2f2, g ] = ↵1 [f1.g ] + ↵2 [f2, g ]

[f ,↵1g1 + ↵2g2] = ↵1 [f , g1] + ↵2 [f , g2]

donde f , f1, f2, g , g1, g2 son campos vectoriales suaves y ↵1,↵2 cons-tantes escalares.




Propiedades del Corchete de Lie (cont.)

ii.- Anticonmutatividad

[f , g ] = � [g , f ]

–iii.- Identidad de Jacobi

L

adfg

h = L

f

L

g

h � L

g

L

f

h

donde h(x) es una función escalar suave de x .




La identidad de Jacobi puede usarse recursivamente. Por ejemplo:

L

ad

2f

g

h = L

ad

f

(adf

g)h � L

ad

f

g

L

f

h

= L

f

[Lf

L

g

h � L

g

L

f

h]� [Lf

L

g

� L

g

L

f

] Lf

h

= L

2f

L

g

h � 2Lf

L

g

L

f

h + L

g

L

2f

h

Identidades análogas pueden obtenerse para corchetes de Lie de ma-yor orden.




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Pre-alimentación










Difeomorfismo

DefiniciónUna función � : Rn ! Rn, derivada de una región ⌦, se llamaDifeomorfismo si es suave, y su inversa ⌦�1 existe y es suave. Si ⌦coincide con Rn =) difeomorfismo global

Sea �(x) una función suave definida en una región ⌦ en Rn. Sila matriz Jacobiana r� es no singular en un punto x = x0 de ⌦,entonces �(x) define un difeomorfismo local en una subregión de ⌦.




Un difeomorfismo puede utilizarse para transformar un sistema nolineal en otro, tal como se hace con sistemas lineales.

Considere el sistema descrito por

x = f (x) + g(x)u

y = h(x)

y sea z un nuevo conjunto de estados definido por

z = �(x).

Entonces

z =@�

@xx

=@�

@x(f (x) + g(x)u).




Puede escribirse la nueva representación en espacio de estados como

z = f

⇤(z) + g

⇤(z)u

y = h

⇤(z)

donde se ha utilizado x = ��1(z).




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Pre-alimentación










Intro.: Linealización Exacta por Retro. de Edo.(Linealización entrada-Estado)

Considere el sistema

x = f (x) + g(x)u (1)y = h(x).

¿Existirá una ley de control por retro de estado

u = ↵(x) + �(x)v

y un difeomorfismoz = �(x)

que transforme el sistema no lineal en uno lineal equivalente?

x = Ax + B v , v = K x .




Ejemplo: Linealización Exacta para el Péndulo

Considere el modelo del péndulo con x1 = ✓��, x2 = ✓ y T = u+T

ss

dado como

x1 = x2

x2 = �a [sin (x1 + �)� sin �]� b x2 + c u

si se elige

u =a

c

[sin (x1 + �)� sin �] +1c

v

para cancelar a [sin (x1 + �)� sin �], entonces se llegará

x1 = x2

x2 = �b x2 + v .




Ley de Control Linealizante y Estabilizante

Dado el sistema lineal

x1 = x2

x2 = �b x2 + v .

Para este sistema lineal equivalente se puede diseñar

v = K x = k1x1 + k2x2.

La ley total de control aplicada al sistema resultante está dada como

u =a

c

[sin (x1 + �)� sin �] +1c

(k1x1 + k2x2) .




La Linealización por Retro No es Robusta

Considere el sistema dinámico nominal

x = �x

3 + u

y sea el sistema real

x = � (1 � ✏) x3 + u, ✏ > 0.

Linealizar el sistema basándose en el sistema nominal. Entonces seperderá la estabilidad del sistema original cuando se linealice porretro de estado.




SL a partir de la Estructura del SNL

No se puede realizar la cancelación de las no linealidades para unsistema no lineal en general.

Por lo tanto, para lograr tener un sistema lineal equivalente a partirde uno no lineal, se requiere que este último, tenga cierta estructura.

La estructura es [1]

x = Ax + B��1(x) [u � ↵(x)] (2)

y la acción de control linealizante viene dada por

u = ↵(x) + �(x)v .




El SNL sin la Estructura

Suponga que el SNL no tiene la estructura de (2).

Bajo la condición anterior, no necesariamente implica que no se pue-da linealizar por retroalimentación. Esto debido a que el modelo deestado no es único.

Dependerá de la elección de las variables de estado, entonces paraotra representación en variables de estado podría existir.




Ejemplo: Cambio de Variables de Estado

Sea el sistema

x1 = a sin x2

x2 = �x

21 + u.

No se puede diseñar u tal que se cancele el término a sin x2.

Sin embargo, proponiendo el siguiente cambio de variables

z1 = x1

z2 = a sin x2




se llega a

z1 = z2

z2 = a cos x2dx2

dt

= a cos x2��x

21 + u

�

Seleccionando u = x

21 +

1a cos x2

v , para �⇡2< x2 <

⇡

2se logrará la

linealización. Expresando en términos de z

x1 = z1

x2 = sin�1⇣z2

a

⌘

z1 = z2

z2 = a coshsin�1

⇣z2

a

⌘i ⇥�z

21 + u

⇤




Sistema Linealizable Entrada-Estado

DefiniciónUn sistema no lineal

x = f (x) + g(x)u (3)

donde f : Dx

! Rn y g : Dx

! Rn⇥p son lo suficientemente suavessobre el dominio D

x

⇢ Rn, se dice ser linealizable entrada-estado siexiste un difeomorfismo � : D

x

! Rn tal que D

z

= �(Dx

) contieneel origen y un cambio de variables z = �(x) que transforma elsistema (3) en la forma

z = A z + B��1(x) [u � ↵(x)] (4)

con (A,B) controlable y �(x) no singular para todo x 2 D

x

.




Condiciones de un Sistema Linealizable Entrada-Estado

Suponga que un sistema no lineal se puede linealizar por retro deestado. Dado z = �(x), entonces

z =@�

@xx =

@�

@x[f (x) + g(x)u] .

Si z = A z + B��1(x) [u � ↵(x)] = A�(x) + B��1(x) [u � ↵(x)],entonces

@�

@x[f (x) + g(x)u] = A�(x) + B��1(x) [u � ↵(x)]

Por lo tanto, cualquier difeomorfismo �(x) que transforma (3) a (4),debe satisfacer

@�

@xf (x) = A�(x)� B��1(x)↵(x) (5)

@�

@xg(x) = B��1(x)




Comentarios

De esta manera, si existe � para algunas ↵, �, A y B , entonces elsistema no lineal se puede linealizar por retro de estado. En conse-cuencia, se puede deducir que el difeomorfismo � no es único.

La existencia de �, ↵, �, A y B tal que se satisfagan las dos con-diciones previas, son condiciones necesarias y suficientes para que elsistema (3) sea linealizable entrada estado.




Matrices(A,B) forma Canónica Controlable

Sin perder generalidad, considérese el caso SISO y donde las matricesA y B se eligen con la forma canónica de controlabilidad, entoncesla transformación puede escribirse como [1]

�(x) =

2

666664

�1(x)�2(x)

...�n�1(x)�n

(x)

3

777775.

Entonces las condiciones (5) se simplifican a





@�1(x)

@xf (x) = �2(x)

...@�

n�1(x)

@xf (x) = �

n

(x)

@�n

(x)

@xf (x) = �↵(x)/�(x)

Note que las expresiones anteriores se determinan en función de�1(x).





La segunda igualdad dada en (5) queda expresada como

@�1(x)

@xg(x) = 0

...@�

n�1(x)

@xg(x) = 0

@�n

(x)

@xg(x) = 1/�(x) 6= 0





En resumen, teniendo(A,B) en la forma Canónica Controlable, �1(x)debe satisfacer

@�i

(x)

@xg(x) = 0, i = 1, 2, ..., n � 1;

@�n

(x)

@xg(x) 6= 0

(6)donde

�i+1(x) =

@�i

(x)

@xf (x).

Si se puede terminar �1(x) que satisfaga (6), entonces

�(x) =1

(@�n

/@x) g(x); ↵(x) = � (@�

n

/@x) f (x)

(@�n

/@x) g(x)

Por lo que el problema queda resulto al determinar �1(x) que satis-faga (6). Adicionalmente, se cumpla la condición �(0) = 0.




Ejemplo: Linealización entrada-estado

Considere el sistema

x1 = a sin x2

x2 = �x

21 + u.

Así, f (x) =⇥a sin x2, �x

21⇤T , mientras que g(x) = [0, 1]T . Por lo

que se debe cumplir@�1(x)

@xg(x) =

@�1(x)

@x2= 0 (i.e., �1(x1)), con

�1(0) = 0;@�2(x)

@xg(x) =

@�2(x)

@x26= 0 y �2(x) =

@�1(x)

@xf (x) =

@�1(x)

@x1a sin x2.

Entonces,@�2(x)

@x2=

@�1(x)

@x1a cos x2 6= 0, esto es

@�1(x)

@x16= 0 y

cos x2 6= 0, i.e.,⇣x2 <

��⇡

2

��⌘.

Proponiendo �1(x1) = x1. También podría ser �1(x1) = x1 + x

31 .Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 51/66



Ejemplo: Linealización entrada-estado

Proponiendo �1(x1) = x1, se llega a la solución propuesta en elejemplo anterior de linealización entrada-estado. Esto es:

z1 = �1(x1) = x1

yz2 = �2(x1) = a sin x2.

También podría ser �1(x1) = x1 + x

31 , dando por resultado una

transformación distinta pero igualmente valida.

Tarea: Revisar ejemplo 12.2 y 12.3 de Khalil, segunda edición.




Linealización Entrada-Salida

En ocasiones se está interesado en tener una realización lineal entrela entrada de un sistema no lineal con respecto a una determinadasalida. A este problema se le llama linealización entrada-salida.

Para abordar este problema, se introducen los conceptos de gradorelativo del sistema y dinámica cero.

DefiniciónConsidere un sistema no lineal de orden n dado como

x = f (x) + g(x) u

y = h(x)

El grado relativo r del sistema se define como el número de vecesque hay que derivar la salida y hasta que explícitamente aparece laentrada u.




Grado Relativo y Dinámica Cero

Determine el grado relativo del Oscilador de Van del Pol [1](pp. 549,pdf) cuando y = x1 y cuando y = x2.

¿Que pasa con la dinámica residual?

Si la dinámica resultante o residual, conocida como dinámica cero,es estable, se dice que el sistema es de fase mínima, de lo contrario,de fase no mínima.

Tarea: Simular el convertidor Boost (modelo promediado) con saliday = x1 (corriente), y posteriormente con salida y = x2 (voltaje).Controlar el voltaje en ambos casos. (Usar control por bloques)

x1 = �x2

L

u +E

L

x2 = � x2

RC

+x1

C

u.




Difeomorfismo para Grado Relativo r < n

Si al realizar la derivada de la salida de un sistema aparece alguna delas entradas y ésta es acompañada por un término g(x) 6= 0, entoncesse puede realizar la linealización entrada-salida [1]. El difeomorfismotoma la forma

z = �(x) =

2

66666666664

�1(x)...

�r

(x)�� 1(x)

... n�r

(x)

3

77777777775

=

2

4⇠

��⌘

3

5 =

2

4Parte linealizable

��Diámica cero

3

5

donde@

i

@xg(x) = 0 para 1 i n� r , 8x 2 D

x

. La dinámica ceroes la dinámica interna del sistema cuando y ⌘ 0 [5].




Comentarios sobre Grado Relativo

Si el sistema no lineal y su salida tienen grado relativo r = n, entoncesel sistema es linealizable entrada-estado y linealizable entrada-salida[1].

Si r < n, entonces hay dinámica cero. Una forma de avaluar la esta-bilidad de la dinámica cero es proponiendo una función de Lyapunovy verificar su estabilidad (no siempre es sencillo diseñar la funciónde Lyapunov); otra forma sería linealizar la dinámica cero y analizarsu estabilidad con mediante métodos utilizados en sistemas lineales,siendo local el resultado.




Ejemplo: Linealización Entrada-Salida

Considere el sistema [3]

x =

2

4�x1x1 x2x2

3

5+

2

4e

x2

10

3

5u

y = h(x) = x3

Determine el difeomorfismo para representar el sistema con su partelinealizable ⇠ y su dinámica cero ⌘.

SOL: Considere z = �(x) =⇥�1(x) �2(x) 1(x)

⇤, donde �1(x) =

h(x), �2(x) = L

f

h(x),@ 1

@xg(x) = 0 y �(0) = 0.





Considerando �(0) = 0, se tiene

�1(x) = h(x) = x3, �2(x) = L

f

h(x) = x2, mientras que

@ 1

@xg(x) =

@ 1

@x1e

x2 +@ 1

@x2= 0.

Eligiendo 1(x) = x1�e

x2 +1, se cumple la restricción anterior, y sesatisface que �(0) =

⇥�1(0) �2(0) 1(0)

⇤= 0. Adicionalmente,

el Jacobiano resulta en

@�(x)

@x=

2

40 0 10 1 01 �e

x2 0

3

5

el cual es no singular para todo x , resultando en una transformaciónglobal.





Finalmente el sistema transformado resulta en

z1 = z2

z2 = (�1 + z3 + e

z2) z2 + u

z3 = (1 � z3 � e

z2) (1 + z2ez2) .




Controlabilidad para Sistemas No Lineales

La prueba de controlabilidad débil (local) se resume como

1 Sea la matriz de control g(x) =⇥b1 b2 · · · b

m

⇤and

�0 = span {g(x)} = span (bi

) , 1 i m.2 Let �1 = �0 + [f (x), b

i

] + [bj

, bi

] , 1 j m, donde[f (x), b] es el corchete de Lie, donde la notacion + indica lasuma de spans.

3 Sea �k

= �k�1 + [f (x), d

j

] + [bi

, dj

] , 1 i m, 1 j n, donde d

j

es una base para �k�1.

4 La prueba termina cuando �k+1 = �

k

. Finalmente, unsistema es débilmente controlable sirank {�

C

} = rank {�k

} = n 8x .




Ejemplo: Controlabilidad para Sistemas No Lineales

Considere el oscilador de Van der Pol

x1 = x2

x2 = �x1 +12�1 � x

21�x2 + x1u. (7)

La controlabilidad débil resulta en

�0 =

0x1

�

�C

= �1

= �0 + [f (x), g(x)]

=

"0 x1

x1 �x2 +12�1 � x

21�x1

#

y finalmente rank {�C

} = 2 8x , con x1 6= 0.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 61/66



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Pre-alimentación










Observabilidad para Sistemas No Lineales

Para el caso lineal hay que verificar que la siguiente matriz O =⇥c cA · · · cA

n�1 ⇤T sea de rango completo.

Para un sistema no lineal [5]

x = f (x)

y = h(x)

la generalización de observabilidad es que la siguiente matriz sea derango completo para todo x :

O , @

@x

2

6664

h(x)L

f

h(x)...

L

n�1f

h(x)

3

7775.




Sistema Transformado (cont.)

Para el sistema transformado lineal, se puede diseñar un observadorpara estimar z tal que kz � zk ! 0 cuando t ! 1.

Dado que � es el difeomorfismo

x , ��1(z)

entonces se tendría un observador para el sistema no lineal.




Controlabilidad, Observabilidad y Linealización

TeoremaConsidere el sistema no lineal x = f (x) + g(x)u y sea (x

e

, ue

) un

PE. Asuma una región U que contiene al PE. Si sistema linealizado

a partir del no lineal en el PE es controlable, entonces hay una

región donde el sistema no lineal es localmente controlable.

El mismo concepto se puede aplicar para observabilidad.

Comentarios finales: el diseño de observadores para sistemas no li-neales, es un problema en general difícil, pero hay ciertas clases desistemas para los cuales se tienen resultados para hacer diseño.


Appendix For Further Reading

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H. Khalil,Nonlinear Systems,Prentice-Hall, 2002.

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M. Vidyasagar,Nonlinear Systems Analysis,Prentice-Hall, 1993.

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