Calculo de Numérico y Manejo de Errores.

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LUIS ROJAS CI: 23868537

En el mundo de la actualidad, la tecnología está avanzada la cual casi todo lo que es diseñado y calculado tiene que ver con los números, y los métodos numéricos que proporcionan una alternativa para cálculos complicados. También al usar la computadora para obtener soluciones directamente, se pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a suposiciones de simplificación o a técnicas lentas.

Análisis Numérico, Consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos, tomando en cuenta las características especiales de los instrumentos de cálculo (como calculadoras, computadoras) que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo con el fin de calcular o aproximar alguna cantidad o función, para el estudio de errores en los cálculos. Los métodos Numérico han jugado un papel fundamental en el desarrollo tecnológico actual, en análisis numérico se habla de tanto temas matemáticos que comenzare con uno de ellos que son Numero de maquina; es un sistema numérico que consta de dos dígitos que son Ceros (0) y Uno (1) de base 2, el termino representación máquina o representación binaria significa que es de base 2, la más pequeña posible, este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares.

Otros de los sistemas es el de Numero de maquina decimal son aquellos números cuya representación viene dada de la siguiente forma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ..., k"; de lo antes descrito, se indica que las maxicomputadoras IBM (mainframes) tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £ 76.

Los errores absolutos y relativos no nos podemos olvidar de ellos ya que también forman parte de los cálculos, bueno hasta ahora hemos estudiado alguna teoría básica de los métodos numéricos que se implementarán más adelante, suponiendo condiciones ideales para su implementación. En otras palabras, no hemos tenido en cuenta que al realizar estos procedimientos de forma numérica en una computadora se generan situaciones de error. Tales situaciones de error se denominan errores numéricos y la presente sección se encarga un poco de su estudio y sus efectos en los cálculos numéricos. Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisión. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema en particular. Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas.

Las cotas de los errores absolutos y relativos, Normalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco se conocerá el error absoluto (ni el relativo) de tomar p* como una aproximación de p. Se pretende encontrar cotas superiores de esos errores. Cuantas más pequeñas sean esas cotas superiores, mejor. Sea f una función derivable en I,[a, b] Í I, P la solución exacta de la ecuación f(x)=0 y Pn una aproximación a P. Supongamos |f '(x)| ³ m > 0, " x Î [a, b], donde Pn, P Î [a, b]. Entonces:

Esto nos da una cota del error al tomar una aproximación de la solución exacta, conociendo una cota inferior del valor absoluto de la derivada. Algunas veces, en la práctica, la exactitud de una

raíz aproximada Pn se estima en función de cómo satisfaga f(Pn) = 0; es decir si el número |f(Pn)| es pequeño, se considera entonces Pn una buena aproximación de P; pero si |f(Pn)| es grande, entonces Pn no se considera como una buena aproximación de la solución exacta P.

Las fuentes básicas de errores, existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).

Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente: errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos. En cualquier caso, la relación entre el resultado exacto y el aproximado está dada por: Valor verdadero = valor aproximado + error, de donde se observa que el error numérico está dado por: Ev = valor verdadero - valor aproximado. Donde Ev significa el valor exacto del error.

A) Error De Redondeo

El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada número (real) se reemplaza por el número de máquina más cercano. Esto significa que todos los números en un intervalo local están representados por un solo número en el sistema numérico de punto flotante.

"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a: y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.

El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a y y después truncar para que resulte un número de la forma: fl (y)= 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.

El último método comúnmente se designa por redondeo. En este método, si dk+1 ³ 5, se agrega uno (1) a d k para obtener a fl(y); esto es, redondeamos hacia arriba. Si dk+1< 5, simplemente truncamos después de los primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo.

B) Error de Truncamiento, Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a: y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.

Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y, que se representará por fl (y), se obtiene terminando la mantisa de y en k cifras decimales. Existen dos

formas de llevar a cabo la terminación. Un método es simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . . . para obtener: fl (y)= 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.

Este método es bastante preciso y se llama truncar el número.

Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de pasos se detiene en un número finito de pasos. Generalmente se refiere al error involucrado al usar sumas finitas o truncadas para aproximar la suma de una serie infinita. El error de truncamiento, a diferencia del error de redondeo no depende directamente del sistema numérico que se emplee.

C) Errores de una suma y una resta, en esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional a la épsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de productos interiores.

En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes.

Errores de una Suma y Una Resta, en esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional a la épsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de productos interiores. En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes.