Ministerio de Educacin

Universidad Tecnolgica Nacional

Facultad Regional Concepcin del Uruguay

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Ctedra: ANLISIS MATEMTICO II Cdigo: X9525

Carrera: INGENIERA ELECTROMECNICA

Plan: ORD. N 757/1029 Ao: 2014

Rgimen: CUATRIMESTRAL Horas semanales: 10

PROGRAMA ANALTICO

A) CLCULO VECTORIAL

UNIDAD 1: EL ESPACIO n

Espacio eucldeo n. Operaciones vectoriales en n. Norma y distancia. Proyecciones. Nociones mtricas y topolgicas en n. Intervalos, entornos y segmentos en n. Puntos de acumulacin. Conjuntos abiertos y cerrados. Conjuntos compactos, conexos y convexos.

Funciones de n m. Definicin, ejemplos, dominio y recorrido. lgebra de funciones. Cam-pos escalares y vectoriales. Geometra de las funciones: curvas en n, superficies en 3, cam-pos vectoriales. Ecuaciones cartesianas, vectoriales y paramtricas. Coordenadas cilndricas y

esfricas. Conjuntos de nivel.

UNIDAD 2: EL LMITE FUNCIONAL

Lmite de funciones vectoriales de varias variables. Definicin y Propiedades. Lmite de campos escalares. Lmites restringidos. Limites iterados o sucesivos. Continuidad. Propiedades de las funciones continuas. Operaciones con funciones continuas. Teoremas fundamentales de las funciones continuas.

UNIDAD 3: DERIVADA Y DIFERENCIABILIDAD

Derivada en direccin de un vector y derivadas parciales. Teorema del valor medio para cam-pos escala-res. Diferenciabilidad. Matriz Jacobiana y Vector Gradiente. Propiedades de las funciones diferenciables. Derivada direccional y diferenciabilidad. Espacio tangente: Aplicacio-nes. Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz. Diferenciales sucesivas.

UNIDAD 4: DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS E IMPLCITAS

Diferenciabilidad de funciones compuestas. Regla de la cadena. Funciones implcitas. Derivadas de funciones implcitas. Derivada de la funcin inversa. Operadores diferenciales. Frmulas clsicas del anlisis vectorial..

UNIDAD 5: APROXIMACIN POLINOMIAL DE CAMPOS ESCALARES - EXTREMOS

Frmula de Taylor para campos escalares. Aproximacin lineal y cuadrtica. Resto de Taylor.

Extremos de campos escalares. Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de ex-tremos. Extremos ligados. Mtodo de los multiplicadores de Lagrange.

UNIDAD 6: CURVAS EN n

Trayectorias en n. Curvas. Clasificacin. Ecuacin vectorial y ecuaciones paramtricas. Curvas regulares. Reparametrizacin. Longitud de un arco de curva. Abscisa curvilnea. Reparametriza-

cin por longitud de arco. Triedro intrnseco. Curvaturas de Flexin y torsin. Frmulas de Fre-

net. Aplicaciones a la dinmica.

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UNIDAD 7: INTEGRALES MLTIPLES

La integral doble sobre un rectngulo. Interpretacin geomtrica. Propiedades de las integrales dobles. Teorema de Fubini. Cambio del orden de integracin. La integral doble sobre regiones ms generales. Cambio de variables en integrales dobles. Aplicaciones de las integrales dobles.

La integral triple. Propiedades. Cambios de variables en integrales triples. Aplicaciones.

UNIDAD 8: INTEGRALES DE LNEAS

Integral de un campo vectorial. Definicin y propiedades. Independencia del camino de inte-gracin. Campos conservativos. Funcin potencial: su determinacin. Integral de lnea de un campo escalar. Definicin y propiedades. Teorema de Green. Aplicaciones.

UNIDAD 9: INTEGRALES DE SUPERFICIES

Superficies en 3. Orientacin de superficies. rea de una superficie. Integrales de superficies de funciones reales. Integrales de superficies de campos vectoriales. Flujo de un campo vecto-

rial. Teorema de Gauss. Teorema de Stokes. Aplicaciones.

B) ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIDAD 10: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Conceptos bsicos. Solucin general y particular. Orden y grado. Forma explcita. Ecuacin diferencial de primer grado: interpretacin geomtrica. Variables separables. Ecuacin homo-gnea. Ecuacin diferencial exacta. Factor integrante. Ecuacin lineal. Ecuacin de Bernoulli. Trayectorias ortogonales. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.

UNIDAD 11: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

Conceptos bsicos. Solucin general. Teorema de existencia y unicidad. Ecuacin de la forma

y(n) = f(x). Ecuaciones diferenciales lineales de orden n. Propiedades de las soluciones de la

ecuacin lineal homognea. Dependencia e independencia lineal de funciones: Wronskiano.

Sistema fundamental de soluciones. Ecuacin diferencial lineal homognea con coeficientes

constantes. Ecuacin diferencial lineal no homognea con coeficientes constantes. Solucin

general. Propiedades de la solucin. Mtodo de variacin de las constantes. Mtodo de los

coeficientes indeterminados.

BIBLIOGRAFA BSICA

A) CLCULO VECTORIAL

APOSTOL T. M., Calculus, Vol. II. 2da. ed. - Edit. Revert S.A. Espaa, 1992.

MARSDEN, Jerrold y TROMBA Anthony; Clculo Vectorial, 3ra. ed. Edit. Addison-Wesley Iberoamericana, EEUU, 1991.

PITA RUIZ, Claudio; Clculo Vectorial, Prentice-Hall Hispanoamericana S.A., Mxico, 1995.

ESTRADA CASTILLO, O., GARCA Y COLOM, P. y MONSIVAIS GALINDO, G.; Clculo vecto-rial y aplicaciones, Grupo Edit. Iberoamericana, 1999.

WILLIAMSON, Richard E, CROWELL Richard H, TROTTER, Hale F; Calculus of vector fun-tions, Prentice Hall (Englewood Cliffs,N.J.), 2da. Ed. 1968.

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B) ECUACIONES DIFERENCIALES

ACERO, Ignacio y LPEZ Maril; Ecuaciones diferenciales Teora y Problemas, Edit. Alfa-Omega, 1999.

APOSTOL T. M.; Calculus, Vol. II. 2da. ed.- Edit. Revert S.A. Espaa, 1992.

PENNEY, Edwards Y.; Ecuaciones diferenciales elementales con aplicaciones, Prentice-Hall Hispanoamericana S.A., Mxico, 1986.

ZILL, Dennis G.; Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, 6ta. ed. - Thomson Editores, Mxico, 1998.