ANÁLISIS MATEMÁTICO I

CONTENIDOS:

Capítulo 1 FUNCIONES

Relaciones y funciones Funciones Cálculo del dominio y el recorrido Representación de funciones. Operaciones con funciones. Funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas Funciones pares e impares. Funciones crecientes y decrecientes. Composición de funciones. Función inversa. Funciones trascendentes.

Capítulo 2 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Noción de límite. Cálculo de límites en forma numérica y gráfica. Límites laterales. Propiedades de los límites de una función. Evaluación del límite de una función.

- Técnica de la cancelación de factores.- Técnica de la racionalización.- Límites de funciones trigonométricas.

Continuidad de funciones. Continuidad de funciones polinómicas. Continuidad de funciones racionales. Continuidad de funciones compuestas. Continuidad de funciones inversas. Discontinuidad. Evaluación del límite mediante continuidad.

Capítulo 3 DERIVACIÓN

El concepto de derivada. Derivada de una función. Reglas básicas de derivación. Derivación de funciones compuestas. Derivada de la función inversa. Derivadas de las funciones trigonométricas directas e inversas.

Derivación de funciones implícitas. Derivación logarítmica. Derivadas de orden superior. Regla de L’Hospital. Aplicaciones de las derivadas.

- Ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva.- Máximos y mínimos de las funciones.- Extremos locales o relativos.- Criterio de la primera derivada para determinar extremos relativos.- Concavidad del gráfico de una función.- Puntos de inflexión.- Criterio de la segunda derivada para determinar extremos relativos.- Construcción de gráficos de funciones.- Asíntotas oblicuas.- Asíntotas verticales.- Problemas de optimización.- Aplicaciones a las ciencias : Física, Economía.

ContenidoVolumen 1: Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al Álgebra lineal

INDICEParte 1. Introducción Histórica.Parte 2. Conceptos básicos de la teoría de conjuntos.Parte 3. Un conjunto de axiomas para el sistema de números reales.Parte 4. Inducción matemática, símbolos sumatorios y cuestiones relacionadas.Los conceptos del cálculo integral.Algunas aplicaciones de la integración y derivación.Función logaritmo, función exponencial y funciones trigonométricas inversas.Aproximación de funciones por polinomios. Introducción a las ecuaciones diferenciales.Números complejos.Sucesiones, series, integrales impropias.Sucesiones y series de funciones.Álgebra vectorial.Aplicaciones del Álgebra vectorial a la Geometría analítica.Cálculo con funciones vectoriales.Espacios lineales.Transformaciones lineales y matrices.

Volumen 2: Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidadesINDICE:Parte 1. Análisis lineal1. Espacios Lineales2. Transformaciones Lineales y Matrices3. Determinantes4. Autovalores y AutoVectores5. Auto-Valores de Operadores en Espacios Euclídeos6. Ecuaciones Diferenciales Lineales7. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Parte 2. Análisis no lineal8. Cálculo Diferencial en Campos Escalares y Vectoriales9. Aplicaciones de Cálculo Diferencial10. Integrales de Línea11. Integrales Múltiples12. Integrales de Superficie

Parte 3. Temas especiales13. Funciones de conjunto y Probabilidad Elemental

14. Cálculo de Probabilidades15. Introducción al Análisis Numérico

Contenidos (Tomo I)

Capítulo previo. Preparación para el Cálculo

Capítulo 1. Límites y suspropiedades

Capítulo 2. La Derivada

Capítulo 3. Aplicaciones de la Derivada

Capítulo 4. Integración

Capítulo 5. Funciones logarítmicas, expotenciales y otras funciones trascendentes

Capítulo 6. Aplicaciones de la Integral

Capítulo 7. Métodos de la Integración, regla de L'Hopital e integrales impropias

Capítulo 8. Series

Apéndice A. Compendio de premilinares del CálculoApéndice B. Demosración de Teoremas seleccionados Apéndice C. Reglas básicas de la Derivación en funciones elementalesApéndice D. Tablas de IntegralesApéndice E. Rotaciones y la ecuación general de 2° grado Soluciones de los ejercicios impares

Contenidos (Tomo II)

Índice de Aplicaciones

Capítulo 9. Cónicas, ecuaciones Paramétricas y Coordenadas polares

Capítulo 10. Vectores y Geometría del espacio

Capítulo 11. Funciones Vectoriales

Capítulo 12. Funciones de varias variables

Capítulo 13. Integración múltiple

Capítulo 14. Análisis vectorial

Capítulo 15. Ecuaciones Diferenciales

Apéndice A. Demostraciones de teoremas seleccionados

Soluciones de ejercicios impares

Índice

Contenidos

Algebra Vectorial Geometria Analitica Solida Funciones vectoriales de una variable real Funciones reales de un vector Funciones vectoriales de un vector Integrales multiples Funciones de conjunto e integrales multiples Sucesiones Series Integrales impropias Ecuaciones Diferenciales Funciones Definidas por ecuaciones diferenciales

1 Introducción a las ecuaciones diferenciales 11.1 Definiciones y terminología 21.2 Problemas de valor inicial 121.3 Las ecuaciones diferencialescomo modelos matemáticos 19Ejercicios de repaso 332 Ecuaciones diferenciales de primer orden 3 6

2.1 Variables separables 372.2 Ecuaciones exactas 452.3 Ecuaciones lineales 522.4 Soluciones por sustitución 63Ejercicios de repaso 693 Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden 713.1 Ecuaciones lineales 723.2 Ecuaciones no lineales 863.3 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales 97Ejercicios de repaso 108La AZT y La supervivencia con SIDA (Ap. N)Dinámica de una población de lobos (Ap. Iv)4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 1124.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 1134.1.1 Problemas de valor inicial y de valor en la frontera 1134.1.2 Ecuaciones homogéneas 1164.1.3 Ecuaciones no homogéneas 1234.2 Reducción de orden 1304.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 1334.4 Coeficientes indeterminados método de la superposición, 1424.5 Coeficientes indeterminados método del anulador 1534.6 Variación de parámetros 1634.7 Ecuación de Cauchy-Euler 1694.8 Sistemas de ecuaciones lineales 1774.9 Ecuaciones no lineales 186Ejercicios de repaso 1935 Modelado con ecuaciones diferenciales de orden superior 1955.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 1965.1.1 Sistema de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado 1965.1.2 Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre 20 15.1.3 Sistemas de resorte y masa: movimiento forzado 2065.1.4 Sistemas análogos 2 ll5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la frontera 2225.3 Ecuaciones no lineales 233Ejercicios de repaso 244Degeneración de las órbitas de los satélites (Ap. IV)Derrumbe del puente colgante de Tacoma Narrows (Ap. IV)6 Soluciones en forma de series de potencias de ecuaciones lineales 2476.1 Repaso de las series de potencias; soluciones en forma de series de potencias 2486.2 Soluciones en torno a puntos ordinarios 2576.3 Soluciones en torno a puntos singulares 2656.4 Dos ecuaciones especiales 278

Ejercicios de repaso 2947. La transformada de Laplace 2957.1 Definición de la transformada de Laplace 2967.2 Transformada inversa 3057.3 Teoremas de traslación y derivadas de una transformada 3 1 27.4 Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas 3257.5 Aplicaciones 3337.6 Función delta de Dirac 3497.7 Sistemas de ecuaciones lineales 354Ejercicios de repaso 3628. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 3658.1 Teoría preliminar 3668.2 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes 3768.2.1 Valores propios reales y distintos 3768.2.2 Valores propios repetidos 3808.2.3 Valores propios complejos 3848.3 Variación de parámetros 3908.4 Matriz exponencial 395Ejercicios de repaso 398Modelado de una carrera armamentista (Ap. Iv)9. Métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias 4009.1 Campos direccionales 4019.2 Métodos de Euler 4059.3 Métodos de Runge-Kutta 4149.4 Métodos multipasos 4219.5 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de orden superior 4249.6 Problemas de valor en la frontera de segundo orden 430Ejercicios de repaso 43510 Funciones ortogonales y series de Fourier 43710.1 Funciones ortogonales 43810.2 Series de Fourier 44410.3 Series de Fourier de cosenos y de senos 44910.4 El problema de Sturm-Lìouville 46010.5 Series de Bessel y de Legendre 46810.5.1 Serie de Fourier-Bessel 46910.5.2 Serie de Fourier-Legendre 472Ejercicios de Repaso 47511 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y problemas de valor en la frontera en coordenadas rectangulares 47711.1 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales separables 47811.2 Ecuaciones clásicas y problemas de valor en la frontera 48311.3 Ecuación de transmisión de calor 49 1

11.4 Ecuación de onda 49411.5 Ecuación de Laplace 50111.6 Ecuaciones no homogéneas y condiciones en la frontera 50511.7 Empleo de series de Fourier generalizadas 50911.8 Problemas de valor en la frontera con series de Fourier con dos variables 5 14Ejercicios de repaso 518Apéndice I Función gamma AP-1Apéndice II Introducción a las matrices AP-4Apéndice III Tabla de transformadas de Laplace AP-24Apéndice IV Aplicaciones del modelado AP-27A La AZT y la supervivencia con SIDA AP-28B Dinámica de una población de lobos AP-30C Degeneración de las órbitas de los satélites AP-33D Derrumbe del puente colgante de Tacoma Narrows AP-35E Modelado de una carrera armamentista AP-37Apéndice V Tabla de transformadas de Laplace AP-39Apéndice VI Tabla de integrales AP-41Respuestas a los problemas de número impar