ANÁLISIS MATEMÁTICO I

CONTENIDOS:

Capítulo 1 FUNCIONES

Relaciones y funciones

Funciones

Cálculo del dominio y el recorrido

Representación de funciones.

Operaciones con funciones.

Funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas

Funciones pares e impares.

Funciones crecientes y decrecientes.

Composición de funciones.

Función inversa.

Funciones trascendentes.

Capítulo 2LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Noción de límite.

Cálculo de límites en forma numérica y gráfica.

Límites laterales.

Propiedades de los límites de una función.

Evaluación del límite de una función.

- Técnica de la cancelación de factores.

- Técnica de la racionalización.

- Límites de funciones trigonométricas.

Continuidad de funciones.

Continuidad de funciones polinómicas.

Continuidad de funciones racionales.

Continuidad de funciones compuestas.

Continuidad de funciones inversas.

Discontinuidad.

Evaluación del límite mediante continuidad.

Capítulo 3 DERIVACIÓN

El concepto de derivada.

Derivada de una función.

Reglas básicas de derivación.

Derivación de funciones compuestas.

Derivada de la función inversa.

Derivadas de las funciones trigonométricas directas e inversas.

Derivación de funciones implícitas.

Derivación logarítmica.

Derivadas de orden superior.

Regla de L’Hospital.

Aplicaciones de las derivadas.

- Ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva.

- Máximos y mínimos de las funciones.

- Extremos locales o relativos.

- Criterio de la primera derivada para determinar extremos relativos.

- Concavidad del gráfico de una función.

- Puntos de inflexión.

- Criterio de la segunda derivada para determinar extremos relativos.

- Construcción de gráficos de funciones.

- Asíntotas oblicuas.

- Asíntotas verticales.

- Problemas de optimización.

- Aplicaciones a las ciencias : Física, Economía.

Contenido

Volumen 1: Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al Álgebra lineal

INDICE

Parte 1. Introducción Histórica.

Parte 2. Conceptos básicos de la teoría de conjuntos.

Parte 3. Un conjunto de axiomas para el sistema de números reales.

Parte 4. Inducción matemática, símbolos sumatorios y cuestiones relacionadas.

Los conceptos del cálculo integral.

Algunas aplicaciones de la integración y derivación.

Función logaritmo, función exponencial y funciones trigonométricas inversas.

Aproximación de funciones por polinomios. Introducción a las ecuaciones diferenciales.

Números complejos.

Sucesiones, series, integrales impropias.

Sucesiones y series de funciones.

Álgebra vectorial.

Aplicaciones del Álgebra vectorial a la Geometría analítica.

Cálculo con funciones vectoriales.

Espacios lineales.

Transformaciones lineales y matrices.

Volumen 2: Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con aplicaciones a las

ecuaciones diferenciales y a las probabilidades

INDICE:

Parte 1. Análisis lineal

1. Espacios Lineales

2. Transformaciones Lineales y Matrices

3. Determinantes

4. Autovalores y AutoVectores

5. Auto-Valores de Operadores en Espacios Euclídeos

6. Ecuaciones Diferenciales Lineales

7. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Parte 2. Análisis no lineal

8. Cálculo Diferencial en Campos Escalares y Vectoriales

9. Aplicaciones de Cálculo Diferencial

10. Integrales de Línea

11. Integrales Múltiples

12. Integrales de Superficie

Parte 3. Temas especiales

13. Funciones de conjunto y Probabilidad Elemental

14. Cálculo de Probabilidades

15. Introducción al Análisis Numérico

Contenidos (Tomo I)

Capítulo previo. Preparación para el Cálculo

Capítulo 1. Límites y suspropiedades

Capítulo 2. La Derivada

Capítulo 3. Aplicaciones de la Derivada

Capítulo 4. Integración

Capítulo 5. Funciones logarítmicas, expotenciales y otras funciones trascendentes

Capítulo 6. Aplicaciones de la Integral

Capítulo 7. Métodos de la Integración, regla de L'Hopital e integrales impropias

Capítulo 8. Series

Apéndice A. Compendio de premilinares del Cálculo

Apéndice B. Demosración de Teoremas seleccionados

Apéndice C. Reglas básicas de la Derivación en funciones elementales

Apéndice D. Tablas de Integrales

Apéndice E. Rotaciones y la ecuación general de 2° grado

Soluciones de los ejercicios impares

Contenidos (Tomo II)

Índice de Aplicaciones

Capítulo 9. Cónicas, ecuaciones Paramétricas y Coordenadas polares

Capítulo 10. Vectores y Geometría del espacio

Capítulo 11. Funciones Vectoriales

Capítulo 12. Funciones de varias variables

Capítulo 13. Integración múltiple

Capítulo 14. Análisis vectorial

Capítulo 15. Ecuaciones Diferenciales

Apéndice A. Demostraciones de teoremas seleccionados

Soluciones de ejercicios impares

Índice

Contenidos

Algebra Vectorial

GeometriaAnalitica Solida

Funciones vectoriales de una variable real

Funciones reales de un vector

Funciones vectoriales de un vector

Integrales multiples

Funciones de conjunto e integrales multiples

Sucesiones

Series

Integrales impropias

Ecuaciones Diferenciales

Funciones Definidas por ecuaciones diferenciales

1 Introducción a las ecuaciones diferenciales 1

1.1 Definiciones y terminología 2

1.2 Problemas de valor inicial 12

1.3 Las ecuaciones diferenciales

como modelos matemáticos 19

Ejercicios de repaso 33

2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 3 6

2.1 Variables separables 37

2.2 Ecuaciones exactas 45

2.3 Ecuaciones lineales 52

2.4 Soluciones por sustitución 63

Ejercicios de repaso 69

3 Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden 71

3.1 Ecuaciones lineales 72

3.2 Ecuaciones no lineales 86

3.3 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales 97

Ejercicios de repaso 108

La AZT y La supervivencia con SIDA (Ap. N)

Dinámica de una población de lobos (Ap. Iv)

4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 112

4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 113

4.1.1 Problemas de valor inicial y de valor en la frontera 113

4.1.2 Ecuaciones homogéneas 116

4.1.3 Ecuaciones no homogéneas 123

4.2 Reducción de orden 130

4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 133

4.4 Coeficientes indeterminados método de la superposición, 142

4.5 Coeficientes indeterminados método del anulador 153

4.6 Variación de parámetros 163

4.7 Ecuación de Cauchy-Euler 169

4.8 Sistemas de ecuaciones lineales 177

4.9 Ecuaciones no lineales 186

Ejercicios de repaso 193

5 Modelado con ecuaciones diferenciales de orden superior 195

5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 196

5.1.1 Sistema de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado 196

5.1.2 Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre 20 1

5.1.3 Sistemas de resorte y masa: movimiento forzado 206

5.1.4 Sistemas análogos 2 ll

5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la frontera 222

5.3 Ecuaciones no lineales 233

Ejercicios de repaso 244

Degeneración de las órbitas de los satélites (Ap. IV)

Derrumbe del puente colgante de Tacoma Narrows (Ap. IV)

6 Soluciones en forma de series de potencias de ecuaciones lineales 247

6.1 Repaso de las series de potencias; soluciones en forma de series de potencias 248

6.2 Soluciones en torno a puntos ordinarios 257

6.3 Soluciones en torno a puntos singulares 265

6.4 Dos ecuaciones especiales 278

Ejercicios de repaso 294

7. La transformada de Laplace 295

7.1 Definición de la transformada de Laplace 296

7.2 Transformada inversa 305

7.3 Teoremas de traslación y derivadas de una transformada 3 1 2

7.4 Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas 325

7.5 Aplicaciones 333

7.6 Función delta de Dirac 349

7.7 Sistemas de ecuaciones lineales 354

Ejercicios de repaso 362

8. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 365

8.1 Teoría preliminar 366

8.2 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes 376

8.2.1 Valores propios reales y distintos 376

8.2.2 Valores propios repetidos 380

8.2.3 Valores propios complejos 384

8.3 Variación de parámetros 390

8.4 Matriz exponencial 395

Ejercicios de repaso 398

Modelado de una carrera armamentista (Ap. Iv)

9. Métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias 400

9.1 Campos direccionales 401

9.2 Métodos de Euler 405

9.3 Métodos de Runge-Kutta 414

9.4 Métodos multipasos 421

9.5 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de orden superior 424

9.6 Problemas de valor en la frontera de segundo orden 430

Ejercicios de repaso 435

10 Funciones ortogonales y series de Fourier 437

10.1 Funciones ortogonales 438

10.2 Series de Fourier 444

10.3 Series de Fourier de cosenos y de senos 449

10.4 El problema de Sturm-Lìouville 460

10.5 Series de Bessel y de Legendre 468

10.5.1 Serie de Fourier-Bessel 469

10.5.2 Serie de Fourier-Legendre 472

Ejercicios de Repaso 475

11 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y problemas de valor en la frontera en

coordenadas rectangulares 477

11.1 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales separables 478

11.2 Ecuaciones clásicas y problemas de valor en la frontera 483

11.3 Ecuación de transmisión de calor 49 1

11.4 Ecuación de onda 494

11.5 Ecuación de Laplace 501

11.6 Ecuaciones no homogéneas y condiciones en la frontera 505

11.7 Empleo de series de Fourier generalizadas 509

11.8 Problemas de valor en la frontera con series de Fourier con dos variables 5 14

Ejercicios de repaso 518

Apéndice I Función gamma AP-1

Apéndice II Introducción a las matrices AP-4

Apéndice III Tabla de transformadas de Laplace AP-24

Apéndice IV Aplicaciones del modelado AP-27

A La AZT y la supervivencia con SIDA AP-28

B Dinámica de una población de lobos AP-30

C Degeneración de las órbitas de los satélites AP-33

D Derrumbe del puente colgante de Tacoma Narrows AP-35

E Modelado de una carrera armamentista AP-37

Apéndice V Tabla de transformadas de Laplace AP-39

Apéndice VI Tabla de integrales AP-41

Respuestas a los problemas de número impar