06. analisis matematico

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO 15 de julio

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Software para análisis matemático

El proyecto Descartes es una experiencia del CNICE, antes PNTIC (Programa de Nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación) del MEC que nace en 1998, basado en una aplicación de José Luis Abreu, el autor de los programas Calcula y Cónicas, llamada Descartes y que permite generar materiales interactivos de carácter visual y dinámico, compatible con el lenguaje HTML, y por tanto utilizables en Internet, utilizando applet de JAVA.

Descartes introduce como novedad la facilidad para la confección de las escenas, a modo de pizarras electrónicas interactivas y dinámicas, y su inclusión en páginas web, de forma que una unidad didáctica será una o más páginas html, con todas las facilidades de creación y modificación que permiten los programas editores que hay en el mercado para confeccionar páginas de este tipo.

Existen en Internet numerosos applets, algunos son interactivos, es decir que permiten al usuario modificar algún parámetro y observar el efecto que se produce en la pantalla, pero lo que caracteriza a Descartes es que, además, es configurable, es decir, que los usuarios (profesores) pueden programarlo para que aparezcan diferentes elementos y distintos tipos de interacción. No hay que olvidar, también, su finalidad educativa. En particular, el applet Descartes tiene una


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programación muy matemática para que a los profesores de esta materia les resulte fácil su aprendizaje y utilización.

Básicamente, Descartes es un sistema de referencia cartesiano interactivo, en el que se pueden configurar y emplear todos los elementos habituales: Origen, ejes, cuadrantes, cuadrícula, puntos, coordenadas, vectores, etc. Permite representar curvas y gráficas dadas por sus ecuaciones, tanto en forma explícita como implícita; en particular permite representar las gráficas de todas las funciones que habitualmente se utilizan en la enseñanza secundaria, tanto en coordenadas cartesianas como en paramétricas o polares. Los elementos que interviene en la definición de las expresiones y ecuaciones pueden ser parámetros modificables por el usuario, lo que hace que las gráficas que se muestran cambien al modificar esos parámetros.

Dispone también de una poderosa herramienta de cálculo que permite evaluar cualquier expresión matemática y escribir el resultado en la escena. Como ocurre en las representaciones gráficas, los elementos que interviene en los cálculos pueden ser parámetros modificables por el usuario, lo que hace que los resultados que se muestran cambien al modificar esos parámetros.

También se pueden representar los elementos geométricos elementales, tanto en el plano como en el espacio: puntos, segmentos, arcos, etc., lo que permite hacer numerosas representaciones geométricas. Como en los casos anteriores, estos elementos pueden depender de parámetros, de forma que la representación cambia cuando el usuario los modifica.

En estos últimos años un numeroso equipo de profesores ha realizado cientos de aplicaciones y desarrollado un buen número de unidades didácticas que recorren la práctica totalidad del currículo de la ESO y Bachillerato.

Estas aplicaciones están disponibles en el servidor de Internet del CNICE (Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa). En este servidor se pueden encontrar los siguientes apartados:

Unidades Didácticas: acceso a la relación de Unidades Didácticas desarrolladas en el PNTIC con el nippe Descartes que están clasificadas por niveles y cursos; aunque también ofrece un buscador que permite acceder a las páginas por su contenido, lo que facilita la localización de unidades que tratan un determinado tema.

Aplicaciones: esta es la zona destinada a las aplicaciones desarrolladas por los profesores que quieran publicar sus trabajos. Hay que resaltar la calidad de los trabajos realizados por los alumnos


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de los cursos, ya que no se han limitado a hacer el ejercicio final que se les pedía, como aplicación de programación del applet Descartes, sino que, en muchos, casos han realizado Unidades Didácticas muy completas y con una presentación excelente.

Experiencias: se recogen, en esta zona, las experiencias llevadas a cabo por los profesores en el aula, con sus alumnos.

Buscador: Permite localizar en Descartes las aplicaciones relacionadas con un tema dado.

Descarga: Se dan instrucciones para descargar las Unidades Didácticas y las Aplicaciones en el ordenador local, de forma que puedan utilizarse todas las Unidades Didácticas y las Aplicaciones sin necesidad de estar conectados a la red.

Formación: Se accede a las páginas del curso de autoformación, que consta de cinco prácticas y el desarrollo de una aplicación.

Valoración didáctica

El Proyecto Descartes es una herramienta de primer orden para visualizar conceptos y procedimientos y técnicas matemáticas, de una forma dinámica y activa. Descartes es de hecho un libro electrónico interactivo que abarca todo el currículo de la ESO y los bachilleratos. Es especialmente interesante para los temas de geometría y de análisis, aunque también existen unidades y aplicaciones de álgebra, aritmética, probabilidad y estadística.

Hasta ahora muchos profesores han rechazado esta herramienta por pensar que se necesitaba estar conectado a Internet para poder utilizarla con los alumnos. Está claro que se puede utilizar así, on-line, pero no es necesario estar conectado. El profesor y los alumnos pueden descargar a los ordenadores locales o a disquetes, aplicaciones, unidades didácticas enteras y experiencias, modificarlas y trabajar con sus alumnos sin necesidad de estar conectado a Internet. Para poder trabajar de este modo basta con descargar el motor de Descartes y los ficheros comunes y guardarlos en el disco duro del ordenador.


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Las ventajas del proyecto se resumen en los siguientes aspectos:

Es controlable por el profesor en un tiempo razonable

Es fácil de usar para los alumnos, que no tienen que emplear demasiado tiempo en su aprendizaje

Ofrece todos los contenidos del currículo correspondiente al curso donde se vaya a usar.

Favorece metodologías activas y de aprendizaje por descubrimiento.

Potencia un aprendizaje cooperativo, el trabajo en equipo es esencial

Sirva para la atención a la diversidad, permitiendo que los materiales sean flexibles para poder modificarlos tanto cuanto se quiera.

Contenidos

Unidades didácticas

Más de 140 unidades didácticas correspondientes a:

Primer ciclo de la ESO

3º de ESO

4º de ESO (Opción A)

4º de ESO (Opción B)

Taller de Matemáticas

1º de Bachillerato de CC.NN. y SS. y Tecnológico

2º de Bachillerato de CC.NN. y SS. y Tecnológico

1º de Bachillerato de HH. y CC. SS.

2º de Bachillerato de HH. y CC. SS.

Otros niveles


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En cada curso podemos encontrar entre 10 y 20 unidades didácticas desarrolladas completamente, con applets animados, introducción teórica y ejercicios de aplicación.

Unidad: Complejos. 1º de Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y la Salud

Unidad Funciones. 4º de ESO


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Aplicaciones:

Incluye un catálogo de todas las aplicaciones (más de 160) seleccionadas por bloques temáticos: álgebra, geometría, análisis, estadística; nivel educativo y autor.

Experiencias:

En este apartado se incluyen las más de 50 experiencias de aula realizadas por profesores y alumnos.


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Aplicación de alumnos de 1º de Bachillerato

Metodología

Las aplicaciones de Descartes se pueden utilizar de varias maneras. Se pueden utilizar tanto con la clase completa en el aula de informática trabajando todos los alumnos en equipos de dos, con la misma aplicación o con aplicaciones distintas o bien en el aula ordinaria como pizarra electrónica con un portátil de uso individual para el profesor o un alumno

Para el alumno. La forma más sencilla de usar Descartes es utilizar las páginas donde se hayan insertado las escenas. Es la que utilizarán generalmente los alumnos, o las personas que se acerquen por primera vez a esta aplicación. No se requiere tener ningún conocimiento previo. Bastará con las indicaciones que se hagan en la propia página en la que se habrán señalado las actividades que se deben realizar.

Para el profesor. En este caso se necesita tener experiencia con algún editor de páginas web, puede ser un procesador de textos que permita editar este tipo de páginas. El profesor puede editar las páginas que le interesen y modificar la propuesta de actividades, quitando, corrigiendo o añadiendo actividades; esto no requiere más conocimientos que saber usar un procesador de textos. Si además ha practicado con las herramientas de configuración del nippe puede efectuar con facilidad pequeños cambios: colores, poner o quitar ecuaciones, puntos, segmentos, etc.


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Las escenas interactivas que permiten a los alumnos:

investigar propiedades

adquirir y relacionar conceptos

aventurar hipótesis y comprobar su validez

hacer deducciones

establecer propiedades y teoremas

plantear y resolver problemas

Alguien puede pensar que material tan amplio y con un potencial didáctico tan grande debe ocupar mucho espacio y que las descargas se pueden eternizar. No es el caso. El motor que permite visualizar los applets y los archivos comunes con todos los índices no ocupa más de 200 K y una unidad didáctica completa está alrededor de los 30 K. Es decir en un simple disquete podemos incorporar unas cuantas unidades y aplicaciones. Los tiempos de descarga no llegan al minuto.

Wiris

Requisitos del ordenador del usuario: Ordenador con navegador que admita Java 1.1 o superior (por ejemplo Netscape Navigator 4, Internet Explorer 4 o versiones superiores).

Se trata de una aplicación multiplataforma on line (Windows, Linux, Mac, ...)

Aplicación desarrollada por Maths for More dentro del programa Innova de la UPC.

Es de acceso libre y gratuito.


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Es una plataforma de cálculo matemático que funciona exclusivamente on line a través de cualquier navegador de Internet utilizando un applet de JAVA. Varias CC.AA. la tienen incorporada en sus servidores educativos, entre ellas la CAM, en su servidor www.educamadrid.org

El motor matemático reside en el servidor y no en el ordenador del usuario. Las peticiones de cálculo se realizan vía el protocolo HTTP-POST y CGI. Esto consiste en ejecutar un programa que se comunica con la componente del motor Java y solicita cálculos y espera los resultados, que a la vez vuelve al cliente.

Los usuarios acceden al mismo mediante una interfaz que sirve para leer, presentar y editar documentos y materiales ya existentes, para entrar directamente las expresiones que se quieren calcular, para mostrar los resultados de los cálculos, y para guardar un documento, en formato estándar, para ser usado posteriormente. Incorpora un lenguaje matemático próximo al utilizado en clase de matemáticas.

Wiris permite abordar todos los bloques de la ESO y del bachillerato: el cálculo, el análisis, la geometría, el álgebra, la combinatoria, etc. También incluye el tratamiento de unidades de medida, y representación gráfica de calidad e interactiva.

http://www.educamadrid.org/


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Contenidos y herramientas:

Aritmética:

Operaciones con números enteros, racionales, radicales, decimales, reales (incluyendo constantes como p y e ) y complejos.

Funciones de divisibilidad (mcm, mcd, primos y factorización) con enteros. Funciones trascendentes de variable real (trigonométricas, exponenciales y logarítmicas).

Sucesiones de números: progresiones aritméticas y geométricas. Series.

Combinatoria:

Cálculo del número de permutaciones, variaciones y combinaciones.

Listas y conjuntos. Unión, intersección y complementario de listas y conjuntos.

Factorial y números binomiales.

Generación de subconjuntos combinatorios.

Álgebra:

Operaciones con polinomios con coeficientes numéricos (enteros, racionales, decimales y complejos) o simbólicos (parámetros); funciones de divisibilidad (mcm, mcd, primalidad y factorización). Fracciones algebraicas.

Búsqueda de raíces de polinomios: raíces enteras, racionales, radicales, decimales y complejas. Solución de sistemas algebraicos (también con parámetros).

Resolución de sistemas generales de ecuaciones (no necesariamente lineales). Resolución numérica de sistemas de ecuaciones.

Resolución de sistemas de inecuaciones en una variable.


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Simplificación de expresiones matemáticas generales.

Álgebra lineal:

Álgebra de vectores y matrices. Coeficientes numéricos y simbólicos.

Producto escalar y vectorial.

Rango, determinante y traza.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con notación matricial (también con parámetros). Sistemas lineales dependientes de parámetros.

Álgebra lineal con vectores y matrices con coeficientes simbólicos (expresiones matemáticas formadas por composición de funciones elementales).

Análisis

Representación determinando dominio, asíntotas, máximos, mínimos, puntos singulares, puntos de inflexión, simetrías, etc.


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Dominio de funciones. Intervalos de monotonía. Asíntotas. Extremos absolutos y relativos. Puntos de inflexión.

Límite de funciones.

Derivación simbólica. Polinomios de Taylor.

Cálculo simbólico de primitivas. Primitivas dependientes de parámetros. Integrales definidas.

Geometría en el plano:

Creación de figuras geométricas: puntos, vectores, segmentos, rectas, circunferencias, arcos, cónicas, triángulos, poligonales, curvas.

Representación de figuras geométricas del plano.

Propiedades del tablero: medida, color, zoom, ejes, etc.

Exportación a los formatos Portable Document Format de Adobe (pdf) y PostScript.

Operaciones con figuras geométricas: intersección, transformación afín, distancia,...

Conversión automática de ecuaciones a objetos geométricos.

Conversiones entre las diferentes ecuaciones de la recta: explícita, implícita, punto pendiente, ...


Es una herramienta matemática e carácter general muy similar en cuanto a sus prestaciones y posibilidades a las últimas versiones de Derive. Tiene el inconveniente de tener que trabajar conectado a Internet, lo que por otra parte supone también la ventaja de no tener que contar con el programa instalado en el ordenador. En el servidor de la CAM es de acceso libre y gratuito.

En cuanto a sus características didácticas son similares a las reseñadas para Derive y su tiempo de aprendizaje de funcionamiento es similar.

A pesar de trabajar on line el tiempo de respuesta de los cálculos es muy bajo funcionando casi con respuesta automática.


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Metodología

Se puede plantear tres posibilidades de uso del programa:

El trabajo con toda la clase en el aula de informática con equipos estables de dos alumnos por ordenador con prácticas guiadas.

El uso como pizarra electrónica en la clase ordinaria por parte del profesor o de los alumnos para poner de manifiesto resultados, mostrar situaciones y realizar comprobaciones.

El uso individual y en el domicilio del alumno como herramienta de estudio, repaso y refuerzo. Esto exige una conexión ADSL.


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Hoja de cálculo. Excel y OpenOffice Calc

La hoja de cálculo, de Microsoft Office o de Open Office, es una herramienta de primera magnitud para la adquisición de conceptos y destrezas matemáticas para el alumno de todos los cursos.

No se trata de que el alumno aprenda el funcionamiento de la hoja de cálculo como herramienta informática, basta con que conozca sus rudimentos. No es necesario, y a veces ni siquiera aconsejable ya que ello llevaría un exceso de tiempo del que habitualmente no disponemos, que el alumno construya sus propios modelos.

Nuestra propuesta de actuación va encaminada a la realización por el profesor de los modelos relacionados directamente con un concepto matemático, y proporcionar a los alumnos hojas de trabajo sobre ese mismo modelo. La ventaja principal es la posibilidad de simular experimentos con un número importante de datos, algo imposible de conseguir en una clase normal, elaborar conjeturas y comprobar y validar las mismas y a partir de ahí construir y afianzar el concepto estudiado.

La posibilidad de incorporar a la simulación gráficos estadísticos dinámicos convierte a este material en imprescindible para el estudio del azar y la estadística. Pero su aplicación también se puede extender al estudio del álgebra y de la funciones.


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La hoja de cálculo permite:

- Aproximar al alumno a los conceptos matemáticos a través de simulaciones próximas a la realidad.

- Obviar la realización de cálculos repetitivos y tediosos para invertir el tiempo en la adquisición del concepto a través de la formulación y comprobación de conjeturas

- Comprobar hipótesis y conjeturas en la línea de laboratorio de matemáticas

Aplicaciones en clase

Algoritmos:

Este tipo de modelos constituye la aplicación ideal para una Hoja de Cálculo. Son modelos que dan vida a los distintos algoritmos estudiados en clase. Son muy intuitivos los de tipo numérico y menos los algebraicos, aunque con ayuda también se pueden abordar.

Aritmética mercantil

Las hojas de cálculo se inventaron para este tipo de cálculos, por lo que es muy fácil preparar modelos para facturas, recibos, cuentas domésticas, presupuestos, cálculo de intereses, etc.

Aritmética y Álgebra:

Aunque la Hoja de Cálculo no contiene un lenguaje simbólico, sus posibilidades de asignación de nombres, búsqueda de objetivos e iteración, permiten un uso restringido, y siempre complementario, en el aprendizaje de conceptos y técnicas algebraicas. Fundamentalmente se


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reducen a módulos que resuelven ecuaciones, inecuaciones o sistemas y verificadores de identidades, simplificaciones o soluciones de ecuaciones.

Tipos de modelos

Manipulaciones algebraicas y simplificaciones: modelos que comprueban valores numérico y si dos expresiones algebraicas con una o varias variables son equivalentes o no.

Adivinar un número: permite la práctica de la jerarquía de operaciones mediante la construcción de un modelo que adivine un número pensado usando las técnicas de despejar variables.

Comprobaciones: Corrige las soluciones de una ecuación, dando simplemente la calificación de verdadero o falso.

Resoluciones de ecuaciones: Permite resolver una ecuación por tanteo o mediante búsqueda de objetivos. También puede comprobar resultados ya dados.

Sistemas: Clasifica un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas y lo resuelve.

Inecuaciones: Visualiza los valores de una inecuación en un intervalo de números, a fin de descubrir los cambios de signo y encontrar las soluciones.

Ecuación de segundo grado: Desarrolla la fórmula correspondiente destacando el papel del discriminante en la distinción de casos.

Azar y estadística

La Hoja de Cálculo, mediante la generación de números aleatorios y su gran velocidad de procesamiento, permite simular experimentos y recogidas de datos que de otra forma requerirían mucho tiempo y trabajo. Lo normal será usar en clase un modelo confeccionado previamente.

Los modelos están fundados en simulaciones de experimentos aleatorios y estadísticos que permiten al alumno ver la evolución de las probabilidades y de los parámetros estadísticos en situaciones próximas a la realidad.

Disponer de un modelo adecuado, en Hoja de Cálculo, permite poder insistir en los conceptos más que en los cálculos. El uso de estos modelos puede organizarse de forma que su confección sea simultánea con su uso y el aprendizaje de los temas.


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La hoja de cálculo permite liberar al alumno de la aplicación rutinaria de cálculos laboriosos y de algoritmos repetitivos enfocando su atención a los conceptos y procesos matemático. Por otra parte constituyen un instrumento muy potente para realizar simulaciones próximas a la realidad.

Enumeramos algunas de sus ventajas:

Permiten liberar a los alumnos de los cálculos largos, orientando más bien los ejercicios a la toma de decisiones y análisis.

Con ellas se pueden resolver problemas mediante métodos muy distintos a los usados con los instrumentos tradicionales.

Son muy rápidos, lo que los hace útiles para cuestiones en las que lo importante es el planteo y no los cálculos.

Facilitan la investigación de casos y su generalización.

Los modelos constituyen tablas "vivas" de datos, en las que cualquier pequeño cambio se ve reflejado inmediatamente en las tablas, cálculos y gráficos, abriendo así un camino muy interesante a las investigaciones de tipo estadístico.


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Son muy atractivos visualmente, pues se puede incluso reproducir cualquier tabla de datos de los libros o la prensa conservando la estética y dotándolas del cálculo automático del que carecen.

El trabajo de resumir una situación en variables, fórmulas y procesos es ya de por sí educativo, independientemente de la utilidad posterior del modelo.

Se incide en las estrategias de resolución y no en los cálculos, con lo que se profundiza más en las cuestiones y se relativiza la importancia del dominio de los algoritmos.

Permiten planificar mejor las resoluciones, logrando también más orden en la cuestión tratada.

Se pueden abordar con ellos problemas más complejos, que de otra forma consumirían mucho tiempo de clase.

Es el único modo de acceder a muestras grandes en los centros de enseñanza.

Metodología

Es conveniente organizar las prácticas de Hoja de Cálculo de forma que no constituyan experiencias aisladas, sino que formen ciclos, para así aprovechar mejor el tiempo de aprendizaje previo que es inevitable.

El trabajo se realiza en equipos de dos personas por ordenador, el profesor suministra el modelo ya elaborado y la hoja de trabajo debiendo desarrollar cada equipo una parte o la totalidad de los ejercicios propuestos. En ocasiones las instrucciones de tareas a realizar están incorporadas en el propio modelo. La composición de los equipos podrá buscar la homogeneidad y clasificación por niveles o bien la compensación, uniendo alumnos de distinto nivel para su apoyo mutuo. Para organizar los progresos es conveniente rellenar algún tipo de ficha indicando los conceptos o técnicas que va dominando cada equipo, los trabajos realizados y las carencias observadas. Según los resultados se podrá cambiar la composición de los equipos.

También se puede utilizar un determinado modelo con un solo ordenador y cañón de proyección.

Actividades


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Estarán recogidas en hojas de trabajo que pueden ser de dos tipos:

Hojas de trabajo con el ciclo de Observar- Relacionar- Deducir con las que cada equipo alcance los objetivos adecuados a sus capacidades.

Listas de tareas rápidas con comprobación de resultados, cuyo único objetivo será la ejercitación en técnicas rutinarias. Estarán formadas por baterías clasificadas por su dificultad.

Aritmética

Buscador de números naturales


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Es uno de los programas elaborados por el profesor Antonio Roldán como aplicaciones para el desarrollo de temas específicos del currículo de la ESO.

Este programa es de libre difusión y se puede obtener en la página web del IES Salvador Dalí: http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1

Este programa busca y presenta en pantalla números naturales que cumplan ciertas condiciones. Es útil para verificación de conjeturas, recuentos, ecuaciones diofánticas, etc.

Permite encontrar números que verifican ciertas condiciones entre 1 y 1.000.000. Se pueden imponer hasta cinco condiciones acumuladas. Las condiciones implementadas sobre números naturales son: par-impar, primo, múltiplo de, divisor de, triangular, cuadrado, perfecto, abundante, deficiente, capicúa; y números relacionados mediante una condición impuesta por una fórmula, por ejemplo: primo de la forma 4n+1 o una pauta.

En el informe final se presenta una lista y un informe de los resultados obtenidos. En la lista aparecen los números encontrados y en el informe se puede consultar su suma, producto o otra variable.

http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1


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Aplicaciones en clase

Es un programa para realizar investigaciones de carácter abierto sobre relaciones y propiedades numéricas de aritmética elemental.

El programa permite comprobar conjeturas como las siguientes:

Conjetura de Goldbach: Todo número par mayor que dos es suma de dos primos

El número 153 es suma de los cubos de sus cifras, 1, 5 y 3. ¿Hay otros números de tres cifras que cumplan lo mismo?

El número 2025 es el cuadrado de 45, pero si se suman 20 y 25 también resulta 45.

¿Hay otros números de cuatro cifras que tengan la misma propiedad?

Conjetura de Girard: Todo número primo de la forma 4n+1 es suma de dos cuadrados

¿Qué números de tres cifras al borrarles las centenas quedan divididos por cinco?

¿Qué números son cuadrados y triangulares a la vez?

¿Cuánto suman los números impares que hay entre 240 y 370?

¿De cuántas formas se puede descomponer el número 20 en tres sumandos mayores que 2?

Encuentra los números de Mersenne que hay menores que 10.000


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Es una herramienta ligera y a la vez de un gran valor didáctico. Permite abordar estudios sobre relaciones clásicas de números enteros: múltiplos, divisores, primos, poligonales...

El enfoque del programa es servir para constatar conjeturas y comprobar relaciones. Permite al profesor introducir en clase problemas históricos de gran valor educativo sin necesidad de realizar tediosos cálculos.

La posibilidad de introducir condiciones nuevas basadas en fórmulas algebraicas hace posible su utilización como introducción al lenguaje algebraico.

Ventajas

Permiten liberar a los alumnos de los cálculos largos, orientando más bien los ejercicios al análisis y elaboración de conclusiones.

Con él se pueden resolver problemas mediante métodos muy distintos a los usados con los instrumentos tradicionales.

Es muy rápido, lo que le hace útil para cuestiones en las que lo importante es el planteo y no los cálculos.

Facilita la investigación de casos y su generalización.

Constituye una herramienta fabulosa para la clase de Taller de Matemáticas

Herramientas de cálculo

Calc 3D Prof


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Se trata de un programa gratuito que contiene una colección de herramientas matemáticas que incluyen:

editor de texto con funciones matemáticas, calculadora activa en el texto, integral definida...

representación de funciones en el plano y en el espacio,

gráficos y cálculos estadísticos,

geometría analítica en el plano y en el espacio: ecuaciones de rectas, planos, intersección de rectas, de planos, ángulos, distancias...

geometría sintética y métrica: polígonos regulares, medidas de sus elementos, circunferencia y círculo

algoritmos de cálculo con:

- números complejos (suma, resta, producto, división, raíces y potencias, y funciones de variable compleja)

- vectores (suma, resta, producto por números, producto escalar, producto vectorial y producto mixto, módulos, ángulos)

- matrices y determinantes ((suma, resta, producto por números, roducto por vectores, producto de matrices cuadradas, determinante, rango, traza, matriz inversa...)

- resolución de sistemas lineales


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Es un programa muy interesante no tanto para la ESO sino sobre todo para el bachillerato ya que de hecho es una calculadora gráfica que incluye todas las herramientas procedimentales contempladas en el currículo. Está especialmente indicado para los alumnos de 2º de bachillerato de Ciencias como herramienta de apoyo y de comprobación de ejercicios.

Con un planteamiento educativo diferente, donde no se primase la adquisición de algoritmos y técnicas específicas, sería un excelente auxiliar tanto para el alumno como para el profesor a la hora de fomentar un aprendizaje a través de la investigación. Cabe decir en su favor que nunca lo dejarán utilizar en los exámenes de las PAUs.

Para el profesor puede ser un instrumento de ayuda para preparar materiales, ejercicios, comprobar resultados...

LinCalc


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Programa gratuito. Herramienta más limitada y concreta que la anterior. Es una calculadora que permite realizar todas las operaciones habituales con vectores y matrices.

Su presentación tiene una serie de limitaciones al utilizar sucesivas ventanas para definir objetos y presentar resultados, pero a cambio tiene la ventaja de su facilidad de manejo y de su pequeño tamaño.

Programa útil para alumnos de 4º de ESO y bachillerato como herramienta de comprobación de resultados y para la realización de cálculos rutinarios con vectores y matrices.


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Winmat

Otro excelente programa de cálculo matricial. Admite hasta 20 filas y columnas. Calcula determinantes de matrices cuadradas, rangos, trazas. Realiza operaciones con matrices, calcula inversas y resuelve ecuaciones matriciales y sistemas de ecuaciones lineales. Calcula matrices de proyección, reflexión y rotación en el plano y el espacio. Permite definir matrices mediante fórmulas algebraicas. Forma parte de la colección de software matemático conocido con el nombre de "Peanut Software" desarrollado por Rick Parris de la Phillips Exeter Academy Mathematics Department de Exeter. Descarga e información: http://math.exeter.edu/rparris/

Análisis. Estudio de funciones

Este tipo de programas es probablemente el mas abundante y fueron los pioneros entre el software de matemáticas. Casi todos los programas de matemáticas de carácter general incluyen una aplicación de representación gráfica de funciones. Existen disponibles en Internet un sinfín de graficadores de funciones con un potencial cada vez más amplio.

http://math.exeter.edu/rparris/


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Mostramos algunos de ellos a título de ejemplo.

Winplot

Software gratuito de la colección de Peanut, desarrollado por Richard Parris de la Phillips Exeter Academy.

Descripción

Se trata probablemente del programa más completo en la actualidad para el estudio de funciones, de curvas en el plano y en el espacio y de superficies.

Puede trabajar en 2D y en 3D.


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En 2D permite trabajar las curvas definidas de forma explícita, implícita, en paramétricas y en coordenadas polares. Se pueden definir funciones definidas a trozos.

Permite a través de la ventana inventario ver simultáneamente el aspecto algebraico (fórmula, dominio, derivada...) y el gráfico.

Dada una función nos dice los ceros, los extremos, dibuja la función derivada y calcula la integral definida en un intervalo, dibuja integral indefinida, calcula la longitud del arco de curva, el volumen del sólido de revolución sobre la recta que se fije, dibuja la superficie de revolución... también nos proporciona directamente una tabla de valores de la función.

Si definimos dos funciones nos da su intersección y nos ofrece la posibilidad de realizar las operaciones habituales con ellas, dibujándola gráfica obtenida.

Permite calcular el área encerrada entre dos curvas, el volumen del sólido de revolución generado al rotar.

La utilización de parámetros permite el estudio de las características globales de familias de funciones de forma ágil.


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Se pueden anclar textos explicativos asociados a las curvas y cuenta con precisas herramientas de zoom y de desplazamiento de la ventana por las distintas regiones de la gráfica.

También se puede trabajar directamente con puntos aislados u obtenidos de una lista elaborada con un tratamiento de texto u hoja de cálculo, con segmentos definiendo sus extremos y con rectas introduciendo los coeficientes de su ecuación general. Y calcula puntos de corte entre rectas.

Cuenta con una aplicación didáctica interesante para el estudio de la función cuadrática y es la de encontrar la ecuación de parábolas generadas aleatoriamente.

Para los alumnos de bachillerato cuenta con la opción de trabajo en 3D para la representación de rectas, curvas, planos y superficies.

Los planos se introducen mediante un punto y el vector normal.

Las ecuaciones de las superficies se pueden introducir de cinco formas distintas:


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- Explícita

- Implícita

- Paramétricas

- Coordenadas cilíndricas

- Coordenadas esféricas

Tiene las mismas prestaciones que para el estudio de curvas en 2D


Es una excelente herramienta para el estudio de geometría analítica y sobre todo de funciones. Su versatilidad permite realizar estudios de las propiedades globales y locales de las funciones estudiadas en la ESO y los bachilleratos liberando al alumno y al profesor de la pesada tarea de representar en la pizarra gráficas a partir de tablas de valores.

Se puede utilizar tanto en el aula de informática para trabajo autónomo de los alumnos de todo un grupo en equipos como en el aula ordinaria utilizando una pizarra electrónica o un simple cañón de proyección.

Su utilización permite al profesor desviar el objetivo principal hasta ahora de que el alumno sepa representar curvas cada vez más complejas valiéndose primero de tablas y después de técnicas analíticas (puntos de corte con los ejes, extremos, intervalos decrecimiento, concavidad, puntos de inflexión..), hacia un enfoque más general de asociar propiedades de las curvas a sus fórmulas algebraicas, de asociar gráficas a fenómenos, objetos y enunciados, y a visualizar y descubrir conceptos, propiedades y aplicaciones del análisis de una forma ágil e intuitiva.

El reducido tamaño de la aplicación 1,3 MB y de los ficheros de aplicaciones que se pueden generar, 4 KB, cada uno, y el hecho de que pueda funcionar sin necesidad de instalación en el disco duro hace posible su utilización incluso con disquetes independientes lo que le hace fácilmente transportable y aplicable en cualquier equipo.


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Metodología

Se puede plantear tres posibilidades de uso del programa:

El trabajo con toda la clase en el aula de informática con equipos estables de dos alumnos por ordenador con prácticas guiadas o investigaciones y comprobaciones autónomas.

El uso como pizarra electrónica en la clase ordinaria por parte del profesor o de los alumnos para poner de manifiesto resultados y propiedades, mostrar tipos de funciones y realizar comprobaciones.

El uso individual y en el domicilio del alumno como herramienta de estudio, de comprobación y de repaso o refuerzo.

Funciones para Windows


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Descripción

Este programa es una versión mejorada de uno de los premios del MEC en el concurso de programas educativos para ordenador, de 1993 convocado por el PNTIC.

Se trata de un pequeño programa en cuanto a su tamaño pero de una gran herramienta en cuanto a sus prestaciones.

Como su nombre indica sirve para realizar estudio de funciones. Presenta funciones definidas de forma explícita o mediante tabla de valores. Tiene una herramienta de estadística bidimensional para el estudio de regresión lineal, cuadrática, potencial, exponencial...

Como afirma su autor, el profesor Jordi Lagares, autor de otros interesantes programas para funciones, permite estudiar, dada una función de una variable, casi todo lo que hay en las programaciones oficiales de la asignatura de Matemáticas, durante casi toda la enseñanza primaria, secundaria y primer ciclo universitario.

El hecho de haber sido creado y desarrollado por un profesor de nuestro país en activo tiene la ventaja de abordar directamente los aspectos vinculados directamente a las exigencias curriculares sin incorporar otros tipos de herramientas superfluas. Su principal objetivo es ayudar


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a los alumnos a adquirir y dominar una gran mayoría de los conceptos y procesos ligados con las funciones.

Así, la mayoría de las opciones de los menús son referencias directas ligadas a éstos:

Imagen, Antiimagen, Raíces, Discontinuidades aisladas, Máximos, Mínimos, Puntos de inflexión, Derivada en un punto, Integral definida, Integral de línea, Intervalos de crecimiento, Intervalos de decrecimiento, Intervalos de concavidad, Intervalos de convexidad, Función derivada, Segunda derivada, Función integral, Cortes y Área encerrada entre dos funciones.

Puede representar hasta 6 funciones reales o numéricas.

Con dos funciones nos permite calcular los puntos de corte y el área entre las funciones entre dos valores de x.


Tiene las mismas ventajas y aplicaciones didácticas que Winplot, aunque sus prestaciones y efectos de presentación sean más limitados.

En cambio tiene implementadas todas las herramientas matemáticas para poder abordar el desarrollo de los temas curriculares de Análisis de la ESO y del bachillerato de forma precisa y exhaustiva. Su manejo y aprendizaje es bastante simple y requiere poco tiempo.

Al incorporar la posibilidad de definir tablas de valores ha incorporado además de las herramientas estadísticas, la posibilidad de realizar interpolación y extrapolación lineal y polinómica.

Es un instrumento imprescindible tanto para el profesor como para los alumnos, para una utilización similar al programa anterior.


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La posibilidad de exportar los gráficos a cualquier aplicación de windows lo convierte en una herramienta muy valiosa para la preparación de materiales impresos, ejercicios, exámenes...

FunGraph

Existen en Internet muchos programas para representar y estudiar funciones similares al anterior. De hecho no es tan complicado fabricarse uno a la medida. Como muestra de ello presentamos este desarrollado íntegramente en el IES Salvador Dalí de Madrid por un alumno en la clase de Informática de bachillerato de Ciencias utilizando visualbasic.

Por supuesto es un programa gratuito que se puede bajar de Internet de la página del IES Salvador Dalí de Madrid. No necesita instalación y puede funcionar desde un disquete.


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Descripción

Realiza prácticamente las mismas funciones que el programa anterior.

Representa una o dos funciones, traza la gráfica de la derivada primera y segunda y la recta tangente a la curva en un punto.

Calcula los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad.

Encuentra los puntos singulares: cortes con los ejes, corte entre dos funciones, máimos, mínimos y puntos de inflexión.

Halla la integral definida entre dos valores de x y el área entre dos curvas. Calcula el volumen del sólido de revolución de la curva al girar sobre el eje OX.


Aunque más limitado en cuanto a herramientas y presentación que Funciones para windows, sirve perfectamente para abordar todos los items del estudio de funciones en los cursos de la ESO y del bachillerato.

Tiene el atractivo de su mínimo tamaño y su portabilidad ya que puede funcionar desde un disquete; y sobre todo el hecho de haber sido desarrollado por un alumno de bachillerato lo que garantiza la empatía hacia la herramienta de los alumnos.

Inconveniente: no se pueden guardar en ficheros las funciones estudiadas.

Programas de estadística y probabilidad


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Winstats

Software gratuito de la colección de Peanut, desarrollado por Richard Parris de la Phillips Exeter Academy.

Winstats es una sencilla y a la vez completa herramienta para la realización de cálculos y representaciones estadísticas con una o dos variables. Incluye instrumentos de simulaciones y de cálculo de probabilidades de experimentos habituales.

En el modo una variable tras introducir o importar los datos de un texto u hoja de cálculo nos da de forma automática todos los parámetros estadísticos:

Número de datos, valor mínimo, cuartiles, mediana, máximo valor, deciles, percentiles, media aritmética, rango, rango intercuartílico, desviación media, desviación típica, desviación standard...


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Representa gráficamente los datos mediante diagramas de cajas, histogramas, ajuste a la normal...

En el modo de dos variables nos dibuja la nube de puntos y representa y calcula directamente la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X. Admite regresiones polinómicas, exponenciales, logarítmicas...

Permite interpolar, extrapolar, estimar valores en función de una de las variables, calcula distancias de un punto a la recta de regresión, representa mínimos cuadrados.

En el modo probabilidad trabaja con la distribución binomial B(n,p), calcula las probabilidades prob[x=i] prob[x<=i] prob[i<x], y las presenta en forma de tablas, calcula las probabilidades de intervalos, representa la distribución, la ajusta con una normal.

Distribución normal: presenta por defecto N(0,1), pero permite cambiar los parámetros de una normal diferente tipificándola. Representa la curva, calcula las probabilidades de intervalos y nos ofrece tablas de probabilidades.

En el modo de simulación de experimentos aleatorios incluye varios casos tradicionales

Lanzamiento de dados. Se puede fijar el número de dados, el número de tiradas


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Podemos estudiar estadísticas de la suma, de la diferencia, del mínimo y del máximo. Permite fijar condiciones de realización del experimento: tiradas hasta obtener un determinado resultado, obtenerlo un determinado número de veces...

Incluye hasta 12 experimentos distintos: urnas con bolas de colores, extracción de cartas, lanzamientos de agujas, de monedas, dianas, ruletas numéricas, generación de números aleatorios; realizando el estudio estadístico y la presentación de los resultados obtenidos.


Es un auxiliar ágil y atractivo para los alumnos, no sólo para la realización de cálculos de los parámetros estadísticos de una o dos variables sino también para abordar el estudio de la probabilidad utilizando situaciones próximas a la realidad mediante simulaciones de experimentos familiares.

Las herramientas de cálculo directo de probabilidades de distribuciones binomiales y normales permiten hacer un enfoque práctico y visual de situaciones concretas.


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En clase utilizando el programa con un proyector permite mostrar experiencias simuladas de una forma sencilla y vistosa, superando las presentaciones de situaciones de azar muy teóricas y estáticas.

La obtención de resultados con simulaciones con un número elevado de repeticiones del experimento hace visible la aproximación de frecuencias relativas a la probabilidad y la extracción de conclusiones de una forma natural e intuitiva.

StadiS

Se trata de un pequeño programa gratuito, creado por Jesús Plaza, fácil de utilizar, que consume pocos recursos y con el que podemos resolver todos los problemas de estadística de la ESO y los bachilleratos. El programa es en síntesis una poderosa calculadora estadística, calcula los principales parámetros con los que trabajamos en Estadística Descriptiva.

Puede trabajar con una o dos variables (distribuciones unidimensionales o bidimensionales). Contempla variables estadísticas cualitativas y cuantitativas (discretas o continuas) Ordena los datos de forma ágil y variada, puede:


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· Presentar las columnas de las frecuencias absolutas y relativas. · Presentar las columnas de las frecuencias absolutas y relativas acumuladas · Ordenar los datos (variable estadística cualitativa) · Realizar recuento de datos (acumulando en las frecuencias absolutas) · Mostrar la columna de marcas de clase (variable continua) · Generar todo tipo de columnas (hasta 41)

La tabla de la distribución permite que veamos las columnas necesarias para el cálculo de parámetros.

Medidas de centralización, calcula :

· Medias : aritmética, geométrica, cuadrática y armónica · Mediana y moda · Cuantiles : percentiles, cuartiles, quintiles y deciles

Parámetros de dispersión:

· Varianza, cuasivarianza y desviación típica · Desviación media, Desviación mediana. · Coef. Variación de Pearson y Coef. Variación Media. · Recorrido y recorrido remiintercuartílico. · Momentos respecto al origen y momentos centrales.

Medidas de la forma de la distribución:

· Coef. de Asimetría de Pearson · Coef. de Asimetría de Fisher · Curtosis

Distribuciones bidimensionales (X,Y):


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· Coeficiente de correlación lineal de Pearson. · Covarianza. · Desviaciones marginales. · Momentos respecto al origen, momentos centrales. · Varianzas marginales · Coef. de regresión · Cálculo de valores (X ó Y) en las respectivas rectas de regresión.

Incorpora un pequeño tratamiento de texto que permite guardar el enunciado de los problemas y observaciones .

En cuanto a los gráficos, StadiS permite representar diagramas de barras, de sectores, polígono de frecuencias, etc.. (para frecuencias absolutas).


Es una práctica y potente herramienta tanto para el profesor como para los alumnos y para utilizar tanto en clase ordinaria como en el domicilio de los alumnos.

Se puede utilizar como sustituto de la calculadora científica y tiene la ventaja de cada momento de los cálculos nos recuerda las fórmulas empleadas.


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Es ideal para usarla en la clase con un ordenador portátil y un cañón de proyección.

Programación lineal

Se trata de otro de los programas útiles y sencillos de Jordi Lagares, creado con una finalidad exclusiva y sin más pretensiones: resolver problemas de programación lineal.

En el programa podemos definir las inecuaciones que representan las condiciones y la función entre las variables. Se pueden ajustar los intervalos y las unidades de los ejes.

El gráfico nos muestra las regiones determinadas por las inecuaciones, sus intersecciones y nos permite evaluar las regiones que cumplen las condiciones y los puntos de corte de las rectas.



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Para el profesor es un valioso instrumento para explicar de forma gráfica las técnicas de resolución de problemas de programación lineal. La facilidad para cambiar parámetros, e inecuaciones y funciones permite realizar estudios comparados de las condiciones de un mismo problema de forma rápida y visual.

Ideal para utilizarlo en la clase con un solo ordenador y un mecanismo de proyección.

06. analisis matematico

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